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Mathematik macht Freu(n)de Vektorrechnung in der Ebene

KOMPETENZHEFT ZUR VEKTORRECHNUNG IN DER EBENE

Inhaltsverzeichnis

1. Aufgabenstellungen 12. Vektorrechnung in der Ebene 63. Koordinatengeometrie 154. Weitere Aufgabenstellungen 20

1. Aufgabenstellungen

Aufgabe 1.1. Gegeben sind die Vektoren #»a = ( −32 ) und #»

b = ( 24 ).

Bestimme die folgenden Vektoren rechnerisch und grafisch:

a) 2 · #»a =

b) − #»

b =

c)12 ·

#»

b =

d) #»a + #»

b =

e) #»a − #»

b =

f) #»

b − 2 · #»a =

Aufgabe 1.2. Gegeben sind die Vektoren ~a = ( −21 ) und~b = ( −3

b2). Berechne jenen Wert b2, sodass die

beiden Vektoren normal zueinander stehen. Für welche Werte ist der eingeschlossene Winkel spitz,für welche stumpf?

Aufgabe 1.3. Gib alle möglichen Werte x ∈ R an, sodass die Vektoren ( 3−x7 ) und ( 3+x

1 ) normalzueinander stehen.

Datum: 4. April 2018.

1


Aufgabe 1.4. Gegeben sind die Punkte A = (2 | 3), B = (1 | −3), C = (−1 | −1).

a) Berechne die Vektoren# »

AB,# »

BA und # »

BC,

und stelle sie grafisch dar.

b) Berechne den Abstand zwischen den PunktenA und C, sowie den Abstand zwischen denPunkten B und C.

c) Bestimme rechnerisch und grafisch zwei ver-schiedene Normalvektoren zum Ortsvektor # »

OA.

Aufgabe 1.5. Von einem Parallelogramm sind die Punkte A = (2 | 3), B = (−1 | −1) undC = (1 | −4) gegeben.

– Bestimme die Koordinaten des viertenEckpunkts D grafisch und rechnerisch.

– Berechne den Flächeninhalt des Parallelo-gramms.

Aufgabe 1.6. Die geradlinige Schiffsroute zweier Schiffe ist in Parameterdarstellung gegeben:Die Position des ersten Schiffs zum Zeitpunkt t ≥ 0 (in Sekunden) beträgt

X = ( 7−10 ) + t · ( 0

1 ).

Das zweite Schiff befindet sich zum Zeitpunkt s ≥ 0 (in Sekunden) im Punkt

X = ( −950 ) + s · ( 1

−2 ).

Für alle Koordinatenangaben gilt: 1 Einheit entspricht 5 m.

a) Berechne die Geschwindigkeit der beiden Schiffe in m/s.b) Berechne jenen Punkt, in dem sich die beiden Schiffsrouten kreuzen.

2


c) Sollten sich die Zeitpunkte, an denen die Schiffe den Schnittpunkt erreichen, um weniger als8 Sekunden unterscheiden, kommt es zu einer Kollision.Begründe, ob sich die beiden Schiffe auf Kollisionskurs befinden.

Aufgabe 1.7. Ein Vogel fliegt vom Punkt A = (−1 | 8) geradlinig zum Punkt B = (7 | 2).Berechne seine Position P , nachdem er 30 % der Flugstrecke zurückgelegt hat.

Aufgabe 1.8. Es findet ein Fahrradrennen statt.

Die Rennstrecke führt geradlinig von A über B nach C.C hat die Koordinaten (8 | y0).Die Richtung von B nach C ist durch den Vektor ( 2

1,5 ) ge-geben.– Berechnen Sie die Länge des Weges von A nach B.– Zeichnen Sie den Punkt C in die nebenstehende Grafik ein.– Beschreiben Sie, was mit dem Ausdruck −

(# »

AB + # »

BC)be-

rechnet wird.

Aufgabe 1.9. Ein Segelboot startet im Punkt R und fährt geradlinig zum Punkt C. Dortfindet eine Kursänderung statt, um den Punkt D zu erreichen.

– Lesen Sie die Koordinaten des Vektors #»c ab.– Zeichnen Sie den Punkt D ein, der ausgehend vomPunkt C mit dem Vektor #»

d = ( −1−0,5 ) angefahren wird.

– Berechnen Sie das Skalarprodukt #»c · #»

d .– Interpretieren Sie dieses Skalarprodukt geometrisch.

Aufgabe 1.10. Forme die GeradeX = ( −1

5 ) + t · ( −23 )

von der Parameterdarstellung um in

a) eine allgemeine Geradenform a · x+ b · y = c.b) die Normalform y = k · x+ d.

3

https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=512&file=Fahrradrennen.pdf

https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=620&file=Segeln_*.pdf


Aufgabe 1.11. Brieftauben werden bei Wettkämpfen an einen Ort gebracht, von dem sieselbstständig wieder zurück nach Hause fliegen. Bei der vorliegenden Aufgabe wird angenommen,dass Brieftauben stets den kürzesten Weg nach Hause suchen.

Die nachstehende Grafik zeigt einige Städte in Oberösterreich, in denen es Taubenzüchter/innengibt, in einem Koordinatensystem. Dabei entspricht eine Längeneinheit im Koordinatensystem einerEntfernung von 10 Kilometern.

a) Eine Taube wird in Freistadt losgelassen und fliegt auf direktem Weg nach Steyr.– Ermitteln Sie die Koordinaten desjenigen Vektors (Pfeil von Anfangspunkt zu Endpunkt desFluges), der die Flugstrecke der Taube beschreibt.

b) Eine Brieftaube fliegt von Ried i. I. in ihre Heimatstadt. Dieser Flug wird durch den Vektor#»v = ( 8

3 ) beschrieben.– Lesen Sie die Heimatstadt dieser Brieftaube ab.– Berechnen Sie den Betrag des Vektors #»v .

c) Eine Taube startet in Linz. Sie fliegt eine Strecke von 67,08 km Länge in Richtung des Vek-tors ( −1

−2 ).– Ermitteln Sie die Koordinaten desjenigen Vektors, den die Taube von Linz bis zu ihrem Zielentlangfliegt. Geben Sie die Koordinaten dabei in den Längeneinheiten des obigen Koordina-tensystems an.

4

https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=676&file=Brieftauben_*.pdf


1.1a)2·#»a=(−6

4)b)−#»

b=(−2−4)c)1

2·#»

b=(12)d)

#»a+

#»

b=(−16)e)

#»a−

#»

b=(−5−2)f)

#»

b−2·#»a=(8

0)1.2RechterWinkel:b2=−6,SpitzerWinkel:b2>−6,StumpferWinkel:b2<−61.3x1=4,x2=−41.4a)

# »AB=(−1

−6),# »BA=(1

6),# »BC=(−2

2)b)|

# »AC|=5,|

# »BC|=

√8

c)# »nL=(−3

2),# »nR=(3

−2)1.5D=(4|0),A=171.6a)v1=5m/s,v2=11,18...m/s

b)S=(7|18)c)DasersteSchiffbefindetsichnach28SekundenbeiS,daszweiteSchiffnach16Sekunden.DasichdieZeitpunkte

um12Sekundenunterscheiden,befindensichdieSchiffenichtaufKollisionskurs.1.7P=(1,4

6,2)

1.8

|# »AB|=10,198...km

−(# »AB+

# »BC)=

# »CA.

EswirdalsoderVektorvomPunktCzumPunktAberechnet.

1.9

#»c=(1

−2)#»c·

#»

d=0=⇒DiebeidenVektorenstehennormalzueinander.

1.10a)3·x+2·y=7b)y=−32·x+7

21.11a)

# »FS=(−1

−5),b)Freistadt(8|6),|#»v|=8,544...,c)6,708 √

5·(−1−2)≈(−3

−6)

5


2. Vektorrechnung in der Ebene

Die Quadrate, aus denen sich das folgende Raster zusammensetzt, haben Seitenlänge 1:

1) Berechne die Seitenlängen a, b und c mit dem Satz von Pythagoras.2) Berechne die Winkel α, β und γ mit dem Cosinussatz.

Pythagoras

Um den Weg von einem Punkt A zu einem anderen Punkt B zu beschreiben, brauchen wir die exaktenKoordinaten der Punkte nicht zu kennen. Uns kümmert nur, um wie viel sich die Koordinaten aufdem Weg von A nach B verändern. In obigem Fenster sieht das so aus:

Bewege dich horizontal1 um +24 Einheiten, und dann vertikal2 um +7 Einheiten.

Die Anleitung für eine solche Verschiebung fassen wir kurz in einem sogenannten Vektor#»v = ( +24

+7 )

zusammen. Die Zahlen, die den Vektor bilden, heißen die Komponenten des Vektors. Der Vektorbeschreibt, wie wir einen beliebigen Anfangspunkt zu einem Endpunkt verschieben. Der Pfeil vonAnfangspunkt zum Endpunkt ist eine Darstellung des Vektors.

1 Himmel und Meer treffen sich am Horizont, besonders in kitschigen Texten.2 Im Mittelpunkt des Filmklassikers „Vertigo“ von A. Hitchcock steht ein Polizist mit Höhenangst.

6


Zu jedem Vektor gibt es unendlich viele Pfeile, die ihn darstellen:

Und zwar genau einen Pfeil für jeden möglichen Anfangspunkt.

Vektoren sind Zahlenpaare, mit denen wir auf die folgende Art und Weise rechnen.

Für Vektoren #»v = ( v1v2 ), #»w = ( w1

w2 ) und r ∈ R vereinbaren wir folgende Operationen:

• Addition zweier Vektoren: #»v + #»w = ( v1v2 ) + ( w1

w2 ) = ( v1+w1v2+w2 )

• Vielfaches eines Vektors: r · #»v = r · ( v1v2 ) = ( r·v1

r·v2 )

Vektorrechnen

Wir können uns das mit Verschiebungspfeilen vorstellen, müssen das aber nicht. Du wirst sehen,dass sich Vektorrechnen in vielen Bereichen aufdrängt, z.B. in der Mechanik oder der Ökonomie.

Erkläre, warum die Verschiebung durch den Vektor #»v + #»w einem Hin-tereinanderausführen der Verschiebungen durch #»v und #»w entspricht.

Geometrische Interpretation der Vektoraddition

Zwei Vektoren #»v und #»w haben die gleiche Richtung, wenn es eine Zahl r 6= 0 gibt, sodass#»v = r · #»w.

Sie haben sogar die gleiche Orientierung, wenn es eine Zahl r > 0 gibt, sodass#»v = r · #»w.

In beiden Fällen ist der eine Vektor ein Vielfaches des anderen Vektors.

Richtung und Orientierung

7


Sei #»v = ( v1v2 ) ein Vektor. Beachte, dass

2 · #»v = #»v + #»v 3 · #»v = #»v + #»v + #»v .

Siehst du das im Bild? Wie sieht ein Pfeil zu12 ·

#»v

aus? Bei r · #»v wird der Vektor #»v um den Faktor r skaliert. Dabei bleibt

die Richtung dieselbe. Der Vektor wird gestreckt oder gestaucht.

Siehst du ein, dass 12 ·

#»v + 12 ·

#»v = #»v ?

Zeichne einen Pfeil für (−1) · #»v . Die Richtung bleibt gleich, aber die Orientierung ändert sich.

Geometrische Interpretation des Skalierens

Jeder Vektor #»v = ( v1v2 ) hat einen sogenannten Gegenvektor

− #»v = ( −v1−v2

).

Das ist wie bei der Zahl 42 und ihrer Gegenzahl −42. Das „−“ ist ein Vorzeichen.

Die Summe von Vektor und Gegenvektor ergibt den Nullvektor:#»v + (− #»v ) = ( v1

v2 ) + ( −v1−v2 ) =

(v1+(−v1)v2+(−v2)

)= ( v1−v1

v2−v2 ) = ( 00 ).

Vektor und Gegenvektor

Zeichne zum Vektor #»v seinen Gegenvektor − #»v ein.

Es ist also − #»v = (−1) · #»v , genauso wie −42 = (−1) · 42.

Geometrische Interpretation des Gegenvektors

Genau wie bei Zahlen vereinbaren wir #»v − #»w = #»v + (− #»w). Freilich ist das einfach#»v − #»w = ( v1

v2 ) + ( −w1−w2 ) = ( v1−w1

v2−w2).

Subtraktion zweier Vektoren

8


Um #»v − #»w grafisch darzustellen, gibt es zwei Möglichkeiten:

1) #»v − #»w = #»v + (− #»w) Wir zählen zu #»v den Gegenvektor von #»w dazu.

2) #»w + ( #»v − #»w) = #»v Wieviel fehlt von #»w auf #»v ?

Erkläre die beiden Möglichkeiten anhand der Skizze.

Geometrische Interpretation der Vektorsubtraktion

Das Wort Skalar wird uns beim Vektorrechnen immer wieder begegnen. Es kommt vom lateinischenWort scala für Leiter. Kannst du dir denken, wie in der Mathematik aus Skalar das Fremdwort derWahl für Zahl wurde? Es ist uns wichtig, dass du Skalare aufmerksam von Vektoren unterscheidest.

Für die Länge („Betrag“) eines Vektors #»v schreiben wir | #»v |.Erkläre, warum die Länge eines Vektors #»v = ( v1

v2 ) wie folgt berech-net werden kann:

| #»v | =√v2

1 + v22.

Betrag eines Vektors

Sei #»v = ( v1v2 ) und r ∈ R ein Skalar.

Berechne die Länge von r · #»v = ( r·v1r·v2 ) und vergleiche mit der Länge von #»v . Schließe daraus, dass

|r · #»v | = |r| · | #»v |.

Warum brauchen wir rechts den Absolutbetrag von r?

Betrag vom Vielfachen eines Vektors

Jeden Vektor mit Länge 1 nennen wir auch Einheitsvektor. Erkläre, warum der Vektor

#»v0 = 1| #»v |· #»v

ein Einheitsvektor ist, der die gleiche Richtung und Orientierung wie #»v hat.

Erkläre, weshalb der Vektor t · #»v0 die Länge t hat (t ≥ 0).

Einheitsvektor

9


Beispiel 2.1. Berechne jenen Vektor, der die gleiche Richtung und Orientierung wie #»a = ( 4−3 ) hat,

aber die Länge 7.

Lösung. Die Länge von #»a beträgt| #»a | =

√42 + 32 = 5.

Der Einheitsvektor#»a0 = 1

5 · ( 4−3 ) =

(4/5−3/5

)hat die gleiche Richtung und Orientierung wie #»a , aber Länge 1.Der Vektor

7 · #»a0 =(

28/5−21/5

)hat also die gleiche Richtung und Orientierung wie #»a , aber Länge 7. �

Aufgabe 2.2. Gegeben sind die Vektoren #»a = ( −12 ), #»

b = ( 11 ), #»c = ( 1

−1 ) und #»

d = ( −1−2 ).

Stelle ausgehend vom Punkt H die folgende Verschiebung grafisch dar:

2 · #»a + #»

b + #»c + #»

b + #»c + 2 · #»

d

Kontrolliere das Ergebnis rechnerisch.

Aufgabe 2.3. Stelle die Vektoren #»v + #»w und #»v − #»w grafisch dar.

10


Du stehst am Punkt P und machst dich bereit, dem Vektor #»v = ( 42 ) zu folgen.

Du hast dir das auch gut überlegt: Zuerst +4 Einheiten horizontal, dann +2 Einheiten vertikal.

a) Du bist wieder einmal sprunghaft und drehst dich um 90◦

„nach links“ (gegen den Uhrzeigersinn), bevor du die eingeüb-ten Schritte tust. Du gehst also Einheiten inRichtung, und dann Einheiten in Richtung.Zeichne den Verschiebungsvektor #»vL ein und schreibe ihn alsZahlenpaar an:

#»vL =

b) Wie bei a), nur dass du dich spontan um 90◦ „nach rechts“ (im Uhrzeigersinn) drehst. Zeichneden Verschiebungsvektor # »vR in der Skizze ein und schreibe ihn als Zahlenpaar an:

# »vR =Die beiden Vektoren

# »vL = ( −v2v1

) und # »vR = ( v2−v1 )

stehen im rechten Winkel auf #»v = ( v1v2 ). Wir nennen sie daher auch Normalvektoren von #»v .

Normalvektoren

Das Skalarprodukt zweier Vektoren #»v = ( v1v2 ) und #»w = ( w1

w2 ) ist#»v · #»w = ( v1

v2 ) · ( w1w2 ) = v1 · w1 + v2 · w2.

Skalarprodukt zweier Vektoren

Rechne nach, dass für jeden Vektor #»v = ( v1v2 ) folgende Gleichheit gilt:

#»v · #»v = | #»v |2 .

Aufgabe 2.4. Berechne das Skalarprodukt der angegebenen Vektoren.

#»a · #»

b =

#»c · #»

d =

#»e · #»

f =

#»g · #»

h =

11


Erinnere dich an den Cosinussatz, der für beliebige Dreiecke gilt:

c2 = a2 + b2 − 2 · a · b · cos(γ)

Erkläre mit dem Cosinussatz folgende beiden Aussagen:1) Wenn γ = 90◦ ist, dann gilt: c2 = a2 + b2.2) Wenn γ 6= 90◦ ist, dann gilt: c2 6= a2 + b2.Gibt es im Dreieck mit Seitenlängen 4, 6 und 7 einen rechten Winkel?

Cosinussatz

Wir stellen zwei Vektoren #»v und #»w so dar, dass sie den gleichen Anfangs-punkt haben. Wie können wir den eingeschlossenen Winkel ϕ berechnen?

Die Vektoren #»v , #»w und #»v − #»w spannen jedenfalls ein Dreieck auf. Erkläre, warum also

| #»v − #»w|2 = | #»v |2 + | #»w|2 − 2 · | #»v | · | #»w| · cos(ϕ).

Rechne nach, dass

| #»v − #»w|2 = (v1 − w1)2 + (v2 − w2)2 und

| #»v |2 + | #»w|2 = v21 + v2

2 + w21 + w2

2.

Folgere daraus| #»v − #»w|2 = | #»v |2 + | #»w|2 − 2 · #»v · #»w

und erkläre damit folgende Aussage:

Der von zwei Vektoren #»v und #»w eingeschlossene Winkel ϕ erfüllt

cos(ϕ) =#»v · #»w

| #»v | · | #»w|.

Wann bilden #»v , #»w und #»v − #»w ein rechtwinkeliges Dreieck?

Zwei Vektoren #»v und #»w stehen genau dann im rechten Winkel zueinander, wenn#»v · #»w = 0.

Skalarprodukt und Winkel

12


Aufgabe 2.5. Bestimme den von #»v = ( 52 ) und #»w = ( −1

2 ) eingeschlossenen Winkel rechnerisch undgrafisch.

Erinnere dich daran, dass (Definition von Cosinus im Einheitskreis)

cos(ϕ) > 0, falls 0◦ ≤ ϕ < 90◦,

cos(ϕ) = 0, falls ϕ = 90◦,

cos(ϕ) < 0, falls 90◦ < ϕ ≤ 180◦.

Leite daraus einen Schnelltest ab, wie du nur durch Berechnung des Skalarprodukts feststellenkannst, ob zwei Vektoren einen spitzen, rechten oder stumpfen Winkel einschließen.

Vorzeichen des Skalarprodukts

Nicht nur das Vorzeichen, sondern auch der Betrag des Skalarprodukts hat eine geometrischeBedeutung. In der Skizze ist der Vektor nor~v

#»w dargestellt, der durch Normalprojektion von#»w auf #»v entsteht:

Die Vektoren #»v und #»w schließen einen spitzen Winkel ϕ ein.Erkläre die folgende Umformung:

#»v · #»w = | #»v | · | #»w| · cos(ϕ) = | #»v | · | nor~v#»w|

Hat zum Beispiel #»v die Länge 5 und nor~v#»w die Länge 2,

dann hat das Skalarprodukt von #»v und #»w den Betrag 10.

Diese geometrische Interpretation des Skalarprodukts wird uns noch öfters begegnen.In welche Richtung zeigt der Vektor nor~v

#»w und welche Länge hat er?Erkläre damit die folgende Formel:

(1) nor~v #»w =#»v · #»w

| #»v |· # »v0,

wobei v0 = 1| #»v | ·

#»v der Einheitsvektor von #»v ist. (Gleiche Richtung und Orientierung wie #»v , aber Länge 1.)

Was passiert, wenn ϕ = 90◦ ist?Die Formel (1) gilt selbst dann, wenn der Winkel ϕ stumpf ist:

Erinnere dich, dass cos(180◦ − ϕ) = − cos(ϕ). (Einheitskreis)

Erkläre, weshalb in diesem Fall

| nor~v#»w| = − cos(ϕ) · | #»w| = −

#»v · #»w

| #»v |

gilt. Womit hebt sich das Vorzeichen für Formel (1) wieder auf?

Normalprojektion

13


Gegeben sind Vektoren #»v und #»w. Erkläre, warum der Vektor #»x in der Skizze die Gleichung

#»v · #»w = #»v · #»x

erfüllt.Diese Gleichung hat viele Lösungen #»x . Wie würdest dudie Lösungen der Gleichung geometrisch beschreiben?

Geometrische Interpretation des Skalarprodukts

Wirkt auf einen Körper entlang einer geraden Strecke der Länge s eine konstante Kraft F inWegrichtung, dann ist

W = F · s

die dabei verrichtete Arbeit (Work). Wird ein Körper um den Vektor #»s verschoben, währenddie konstante Kraft #»

F wirkt, dann ist die dabei verrichtete Arbeit

W = #»

F · #»s .

Arbeit als Skalarprodukt

Beispiel 2.6. Eine Straßenbahn wird von einem Einsatzfahrzeug abgeschleppt.

Auf einem geraden Abschnitt in Richtung #»s = ( 40 m20 m ) wirkt

auf die Straßenbahn eine konstante Kraft #»

F = ( 2,5 kN−0,5 kN ).

In Wegrichtung wirkt dann also genau die Kraft nor~s#»

F .Die dabei verrichtete Arbeit ist somit

W = | nor~s#»

F | · | #»s | = #»

F · #»s = 90 kJ. (1 J = 1 N ·m)

~F

~snor~s ~F ·

Die Definition des Skalarprodukts zweier Vektoren ( v1v2 ) und ( w1

w2 ) scheint auf den ersten Blicksehr willkürlich. Das Ergebnis ist nicht der Vektor ( v1·w1

v2·w2 ), sondern die Zahl („Skalar“)

( v1v2 ) · ( w1

w2 ) = v1 · w1 + v2 · w2.

Wir müssen das Skalarprodukt sorgsam vom skalaren Vielfachen eines Vektors unterscheiden:• Beim Skalarprodukt #»v · #»w werden zwei Vektoren multipliziert.Das Ergebnis v1 · w1 + v2 · w2 ist ein Skalar.• Bei r · #»v werden ein Skalar und ein Vektor multipliziert. Das Ergebnis ( r·v1

r·v2 ) ist ein Vektor.

Zwei verschiedene Multiplikationen

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3. Koordinatengeometrie

Bisher haben wir Vektoren als Verschiebungen in einem Raster veranschaulicht. Ist kein Anfangs-punkt gegeben, können wir die gleiche Wegbeschreibung von jedem beliebigen Punkt aus einzeichnen.

Wir erweitern das Raster zu einem Koordinatensystem, indem wir einen Koordinatenursprung O =(0 | 0) wählen. Jeder Punkt in der Zahlenebene ist dann durch seine zwei Koordinaten festgelegt.

Für den Vektor mit Anfangspunkt A und Endpunkt B schreiben wir auch kurz # »

AB.Betrachte die beiden Punkte A = (2 | 1), B = (5 | 3) und den zugehörigen Vektor # »

AB = ( 32 ).

Erkläre, warum für alle Punkte A = (a1 | a2) und B = (b1 | b2)# »

AB = ( b1−a1b2−a2

)

gilt.Wie üblich bei Pfeilen heißt der Anfangspunkt A Schaft und der Endpunkt B Spitze.

„Spitze minus Schaft – Regel“

Rechne die folgenden Eigenschaften von Vektoren nach:

1) # »

AB + # »

BC = # »

AC

2) # »

AB = − # »

BA

Erkläre anhand von Verschiebungen in der Skizze.

Befindet sich der Anfangspunkt im Koordinatenursprung O = (0 | 0), nennen wir den Vektor# »

OB = ( b1b2

) auch Ortsvektor. Zwischen dem Punkt B = (b1 | b2) und dem Ortsvektor # »

OB = ( b1b2

)unterscheiden wir anhand der Schreibweise in Zeilen- bzw. Spaltenform.

Rechne nach, dass# »

AB = # »

OB − # »

OA.

15


Beispiel 3.1. Berechne den Abstand der beiden Punkte A = (3 | −2) und B = (−1 | 1).

Lösung. Der Vektor von A nach B – also die pfeilgerade Verschiebung, um von A nach B zu gelangen– ist

# »

AB = # »

OB − # »

OA = ( −11 )− ( 3

−2 ) = ( −43 ).

Der Abstand der beiden Punkte ist die Länge des Vektors:∣∣∣ # »

AB∣∣∣ =

√(−4)2 + 32 = 5.

�

Du befindest dich im Punkt A = (1 | 2) und folgst dem Vektor #»v = ( 42 ). Danach befindest du

dich im Punkt B = (5 | 4):

Erkläre, warum man den Ortsvektor # »

OB berechnen kann, indemman zum Ortsvektor # »

OA den Vektor #»v dazu addiert.

Man schreibt auch gerne A+ #»v = B anstelle von # »

OA+ #»v = # »

OB

und liest „der Punkt A versetzt um den Vektor #»v ergibt denPunkt B“ – oder schreibt im Interesse der Übersicht einfach

( 12 ) + ( 4

2 ) = ( 54 ) „Anfangspunkt + Vektor = Endpunkt“.

Man meint dabei immer dasselbe. Entscheide du, was dir am liebsten ist.

Beispiel 3.2. Von einem Parallelogramm sind die Eckpunkte A = (−2 | −5), B = (5 | −4) undC = (9 | 2) bekannt. Berechne den vierten Eckpunkt D und den Flächeninhalt des Parallelogramms.

Lösung.

D = A+ # »

AD = A+ # »

BC = ( −2−5 ) + ( 4

6 ) = ( 21 )

=⇒ D = (2 | 1)# »

AB = ( 71 ), # »

AD = ( 46 )

ϕ = arccos # »

AB · # »

AD

| # »

AB| · | # »

AD|

= arccos(

34√50 ·√

52

)

=⇒ ϕ = 48,17...◦

A = a · h = | # »

AB| · | # »

AD| · sin(ϕ) = 38�

16


Eine Gerade kann durch einen Punkt und einen Richtungsvektor eindeutig festgelegt werden.Der Punkt A = (3 | 1) und der Richtungsvektor #»v = ( 1

2 ) legen zum Beispiel die dargestellteGerade g fest:

Genau die gleiche Gerade kann auch durch andere Kombina-tionen von Punkt und Richtungsvektor erzeugt werden, zumBeispiel A = (5 | 5) und #»v = ( −2

−4 ).

Kannst du weitere Beispiele für Punkte und Richtungsvek-toren angeben, die die gleiche Gerade festlegen?

Welche Punkte kommen in Frage? Was haben alle möglichenRichtungsvektoren gemeinsam?

Allgemein liegt ein Punkt X genau dann auf der Gerade g, wenn es eine Zahl t ∈ R gibt, sodass

(2) X = A+ t · #»v .

Die Zahl t wird dann auch Parameter genannt, und (2) eine Parameterdarstellung derGerade.

Eine mögliche Parameterdarstellung von g ist also

X = ( 31 ) + t · ( 1

2 ).

Der Punkt P = (5 | 5) liegt auf der Gerade, weil

A+ 2 · #»v = P,

und der Punkt Q = (2 | −1) liegt auf der Gerade, weil

A+ (−1) · #»v = Q.

Rechne nach, dass der Punkt R = (3,5 | 2) auf der Geradeliegt.

Erkläre, wie du aus einem Richtungsvektor die Steigung der Gerade berechnen kannst.

Parameterdarstellung einer Gerade

17


Beispiel 3.3. Gegeben ist eine Gerade g in Parameterdarstellung:

g : X = ( −34 ) + t · ( 2

−2 ).

Bestimme rechnerisch und grafisch, ob die Punkte P = (4 | −3) bzw. Q = (3 | −1) auf der Geradeliegen.

Lösung.Wenn P auf der Gerade liegt, muss es einen passendenWert für t geben, sodass

( 4−3 ) = ( −3

4 ) + t · ( 2−2 ).

Aus der ersten Komponente können wir den einzigen Kan-didaten für t berechnen:

4 = −3 + 2 · t =⇒ t = 3,5.

Mit dem Parameterwert t = 3,5 landen wir im Punkt

( −34 ) + 3,5 · ( 2

−2 ) = ( 4−3 ),

also liegt P = (4 | −3) auf der Gerade.

Gibt es einen Wert für t, mit dem wir in Q = (3 | −1) landen? Also suchen wir eine Lösung von( 3−1 ) = ( −3

4 ) + t · ( 2−2 ). Aus der ersten Komponente erhalten wir

3 = −3 + t · 2 =⇒ t = 3

Mit t = 3 landen wir aber in ( −34 ) + 3 · ( 2

−2 ) = ( 3−2 ), also liegt Q nicht auf der Gerade. �

Beispiel 3.4. Berechne den Schnittpunkt der beiden Geraden

g : X = ( −2−1 ) + t · ( 1

1 ) und h : X = ( 15 ) + s · ( 1

−2 ).

Lösung. Wir suchen einen Wert für t und einen Wert für s, sodass

( −2−1 ) + t · ( 1

1 ) = ( 15 ) + s · ( 1

−2 ).

Das lineare Gleichungssystem

I : −2 + t = 1 + s

II : −1 + t = 5− 2 · s

hat die Lösung s = 1, t = 4.Durch Einsetzen in die Parameterdarstellung erhalten wir den Schnittpunkt S:

S = ( −2−1 ) + 4 · ( 1

1 ) = ( 23 ) (= ( 1

5 ) + 1 · ( 1−2 ))

�

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Wird der Minigolfball in das Loch fallen, wenn er die richtige Geschwindigkeit hat?

Beantworte die Frage grafisch und rechnerisch:

B =

L =

#»v =

Der Punkt P = (3 | 1) und der Vektor #»n = ( 21 ) sind gegeben.

Für welche Punkte X = (x | y) steht #»n normal auf den Verbindungsvektor # »

PX = ( x−3y−1 )?

Wir lösen dazu die Gleichung#»n · # »

PX = 0,

also

( 21 ) · ( x−3

y−1 ) = 0

2 · (x− 3) + 1 · (y − 1) = 0

2 · x+ 1 · y = 7 Komponenten von #»n

y = −2 · x+ 7

Diese Punkte bilden also eine Gerade – zeichne sie ein.Weise zurückblickend, war die Rechnung wirklich nötig?

Die Lösungen der Gleichung#»n · # »

PX = 0 #»n 6= ( 00 )

sind genau die Punkte auf jener Gerade, die durch den Punkt P verläuft, und die normal auf denVektor #»n steht. Diese Darstellung der Gerade nennen wir daher auch Normalvektorform.

Normalvektorform einer Gerade

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4. Weitere Aufgabenstellungen

Aufgabe 4.1. Gegeben sind die Vektoren #»a = ( 43 ) und #»

b = ( 14 ).

a) Berechne den Einheitsvektor #»a0.b) Berechne den Vektor 3 · #»a und gib seine Länge an.c) Gib den Vektor in Richtung #»a mit der Länge 4 an. Der Vektor soll auch die gleiche Orientierung wie #»a haben.

d) Berechne die Länge der Normalprojektion nor~a#»

b von #»

b auf #»a .e) Berechne den Vektor nor~a

#»

b .

Aufgabe 4.2. Wir suchen einen Vektor, der den Winkel zwischen #»v und #»w halbiert.

Erkläre anhand der Skizze, warum#»v0 + # »w0

in Richtung dieser Winkelsymmetrale zeigt.

Aufgabe 4.3. Zwei Personen halten einen Gegenstand an zwei Seilen wie in der nachstehen-den Abbildung dargestellt.

Beide halten das Seil unter demselben Winkel zur Horizontalen, also gilt: | # »

F1| = |# »

F2|.Für die Kraft # »

FR gilt: | # »

FR| = 50 N

– Stellen Sie eine Funktion für den Betrag des Vektors # »

F1 in Abhängigkeit vom Winkel α auf.– Zeichnen Sie den Graphen der aufgestellten Funktion für 10◦ < α < 90◦.

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http://www.michael-leitgeb.at/srdp/teilb1/402/KP1_16_C3_01.pdf


Aufgabe 4.4. Durch eine Kraft #»

F Zug = ( 260140 ) Newton (N) wird eine Last von A nach B und

danach von B nach C gezogen (siehe nachstehende Skizze).

– Berechnen Sie die durch die Kraft #»

F Zug an der Last ver-richtete Arbeit.

Aufgabe 4.5. Der Flächeninhalt eines Parallelogramms mit Seitenlänge a und zugehöriger Höhe ha

kann bekannterweise mit A = a · ha berechnet werden.

a) Begründe, warum der Flächeninhalt des von #»v = ( v1v2 )

und #»w = ( w1w2 ) aufgespannten Parallelogramms

A = | #»v | · | #»w| · sin(ϕ)

beträgt.

b) Begründe, warum wir den Flächeninhalt noch einfacher mit

A = |v1 · w2 − v2 · w1|

berechnen können. Hinweis: Verwende die geometrische Interpretation von #»v · #»w und Pythagoras zur Berechnung der Höhe.

Aufgabe 4.6. Schau dir die Landkarte von Oberösterreich nochmals an (Aufgabe 1.11 auf S. 4).Hast du eine Idee, wie man anhand der Landkarte die Fläche Oberösterreichs näherungsweise be-stimmen kann. Wie groß ist sie mindestens bzw. höchstens? Recherchiere die tatsächliche Fläche imInternet und vergleiche sie mit deinem Ergebnis. Wie könntest du die Abschätzungen verbessern?

4.1a)a0=(4/53/5),b)3·

#»a=(12

9),|3·#»a|=15,c)4·

#»a0=(16/5

12/5),d)16/5,e)#»a0·16

5=(64/2548/25)

4.2AlsDiagonaledervon#»v0und

# »w0aufgespanntenRautehalbiertderVektor

#»v0+

# »w0denWinkel.

4.3|# »F1(α)|=25N

sin(α)

4.4W=55400N·m=55400J4.5a)a=|

#»v|,ha=|

#»w|·sin(ϕ)

b)A=|#»v|·√|#»w|2−|nor~v

#»w|2=√|#»v|2·|#»w|2−(|

#»v|·|nor~v

#»w|)2=

=√(v21+v2

2)·(w21+w2

2)−(#»v·

#»w)2=

=√v21·w2

2+v22−w2

1−2·v1·v2·w1·w2=

=√(v1·w2−v2·w1)2=|v1·w2−v2·w1|

4.6EnthalteneQuadrate:85ÜberlappendeQuadrate:159FlächeninhaltproQuadrat:100km2

=⇒Flächeninhaltliegtzwischen8500km2und15900km2.

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