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OptimisationOptimisation de de GRAPHESGRAPHES
Mathématiques Mathématiques CSTCST- L’optimisation de- L’optimisation de GRAPHESGRAPHES --
Arbre de valeurs minimales et maximales
Arbre qui relie tous les sommets du graphe par une Arbre qui relie tous les sommets du graphe par une sélection sélection d’arêtesd’arêtes pour que le pour que le poids de l’arbrepoids de l’arbre soit le plus soit le plus petitpetit possible possible ((minimalminimal) ou le plus ) ou le plus grandgrand possible ( possible (maximalmaximal).).
MÉTHODEMÉTHODE : : Algorithme de KruskalAlgorithme de Kruskal
1.1. Énumérer toutes les Énumérer toutes les arêtesarêtes et les placer en et les placer en ordre croissantordre croissant de poids de poids (arbre de valeurs minimales).(arbre de valeurs minimales).
2.2. Choisir l’ Choisir l’arêtearête ayant le ayant le plus petit poidsplus petit poids..
3.3. Répéter Répéter l’étape 2l’étape 2 jusqu’à ce que tous les sommets soient reliés jusqu’à ce que tous les sommets soient reliés en en évitantévitant celles qui formeraient un celles qui formeraient un cycle simplecycle simple..
MÉTHODEMÉTHODE : : Algorithme de KruskalAlgorithme de Kruskal
1.1. Ordre croissant : Ordre croissant :
ExempleExemple : Situation qui illustre les coûts estimés de la construction de : Situation qui illustre les coûts estimés de la construction de trottoirs entre des immeubles. On veut s’assurer que tous les trottoirs entre des immeubles. On veut s’assurer que tous les immeubles soient reliés à un coût immeubles soient reliés à un coût minimalminimal..
AA
BB132132
00CC
FF
DD EE
850850
920920
835835
11611600
790790
28828800
750750
26426400
750750 - - 790790 - - 835835 - - 850850 - - 920920 - - 11601160 - - 13201320 - - 26402640 - - 28802880
ExempleExemple : Situation qui illustre les coûts estimés de la construction de : Situation qui illustre les coûts estimés de la construction de trottoirs entre des immeubles. On veut s’assurer que tous les trottoirs entre des immeubles. On veut s’assurer que tous les immeubles sont reliés à un coût immeubles sont reliés à un coût minimalminimal..
AA
BB132132
00CC
FF
DD EE
850850
920920
835835
11611600
790790
28828800
750750
MÉTHODEMÉTHODE : : Algorithme de KruskalAlgorithme de Kruskal
2.2. Arête avec le plus petit poids : Arête avec le plus petit poids :
750750 - - 790790 - - 835835 - - 850850 - - 920920 - - 11601160 - - 13201320 - - 26402640 - - 28802880
EE
FF
26426400
MÉTHODEMÉTHODE : : Algorithme de KruskalAlgorithme de Kruskal
3.3. Répéter en évitant de former un Répéter en évitant de former un cycle simplecycle simple ::
750750 - - 790790 - - 835835 - - 850850 - - 920920 - - 11601160 - - 13201320 - - 26402640 - - 28802880
ExempleExemple : Situation qui illustre les coûts estimés de la construction de : Situation qui illustre les coûts estimés de la construction de trottoirs entre des immeubles. On veut s’assurer que tous les trottoirs entre des immeubles. On veut s’assurer que tous les immeubles sont reliés à un coût immeubles sont reliés à un coût minimalminimal..
AA
BB132132
00CC
FF
DD EE
850850
920920
835835
11611600
790790
28828800
750750
EE
FF
CC
BB
DD
AA
26426400
La construction des trottoirs coûtera donc
4545 $ .
La construction des trottoirs coûtera donc
4545 $ .
Poids de l’arbre :Poids de l’arbre : 750 750 + + 790790 + + 835835 + + 850850 + + 13201320 = = 45454545
MÉTHODEMÉTHODE : : Algorithme de KruskalAlgorithme de Kruskal
Exercice #1Exercice #1 : Détermine l’arbre de valeurs : Détermine l’arbre de valeurs minimalesminimales et son poids. et son poids.
AA BB44
11 – – 22 – – 22 – – 33 – – 33 – – 44 – – 44 – – 44 – – 55 – – 5 5 –– 5 5 –– 6 6 – – 6 6 –– 8 8 –– 10 10
GG HH
DD
CC
II
EE FF
1010
22 66
55 55
33
11
44 55
33
66
22
88
44
BB
HH
AA
DD
II
FF
CC
EE
GG
inutiles
Poids de l’arbre :Poids de l’arbre : 1 1 ++ 2 2 ++ 2 2 ++ 3 3 ++ 3 3 ++ 4 4 ++ 5 5 ++ 5 5 == 25 25
MÉTHODEMÉTHODE : : Algorithme de KruskalAlgorithme de Kruskal
Exercice #2Exercice #2 : Détermine l’arbre de valeurs : Détermine l’arbre de valeurs maximalesmaximales et son poids. et son poids.
AA BB44
GG HH
DD
CC
II
EE FF
1010
22 66
55 55
33
11
44 55
33
66
22
88
44
BB
HH
AA
DD
II
FF
CC
EE
GG
Poids de l’arbre :Poids de l’arbre : 10 10 ++ 8 8 ++ 6 6 ++ 6 6 ++ 5 5 ++ 5 5 ++ 4 4 ++ 4 4 == 48 48
10 10 –– 8 8 –– 6 6 –– 6 6 –– 5 5 –– 5 5 –– 5 5 –– 4 4 –– 4 4 –– 4 4 –– 3 3 – – 3 3 –– 2 2 – – 2 2 –– 1 1
inutiles
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Chaîne de poids minimal
Chaîne qui a la Chaîne qui a la plus petite valeurplus petite valeur..
MÉTHODEMÉTHODE : Algorithme de : Algorithme de Dijkstra Dijkstra
1.1. On assigne à chaque sommet un On assigne à chaque sommet un nombrenombre et une et une lettrelettre.. NombreNombre : distance la plus courte : distance la plus courte LettreLettre : sommet précédent d’où provient la chaîne : sommet précédent d’où provient la chaîne
2.2. Répéter Répéter l’étape 1l’étape 1 jusqu’au dernier sommet. jusqu’au dernier sommet.
3.3. Identifier la chaîne la plus courte par une Identifier la chaîne la plus courte par une lecture à rebourslecture à rebours..
ExempleExemple : Situation où les arêtes représentent des chemins et les : Situation où les arêtes représentent des chemins et les sommets, des lieux. Trouver le chemin le plus court du point sommets, des lieux. Trouver le chemin le plus court du point A à F.A à F.
AA
BB
77
CC
FF
DD
EE
77
3344
22
55
44
44
44
22
2 (A)2 (A)
6 (B)6 (B)
6 (B)6 (B)
5 (B)5 (B)
9 (E)9 (E)
Chaîne la plus courte : ABEF
Poids : 9
FF
EE
BB
AA
Exercice #1Exercice #1 : :
AA
BB
CC
DD
EE GG
FF HH JJ
55
66 1010
44
99
77
33 11
66
55
5 (A)5 (A)
3 (A)3 (A)
7 (A)7 (A)
12 (D)12 (D) 21 21 (F)(F)
22 (H)22 (H)
7 (C)7 (C) 17 17 (E)(E)
JJHHFF
DD
AA
Chaîne de poids minimal : ADFHJ
Poids de la chaîne : 7+5+9+1 = 22
Exercice #2Exercice #2 : :
AA
BB
CC
DD
EE GG
FF HH JJ
44
22 55
44
22
66
77 11
33
33
55
44
66
4 (A)4 (A)
7 (A)7 (A)
6 (A)6 (A)
8 (B)8 (B) 10 (F)10 (F) 11 (H)11 (H)
6 (B)6 (B) 11 11 (E)(E)
JJHHFFAA
Chaîne de poids minimal : ABFHJ
Poids de la chaîne : 4+4+2+1 = 11
BB
Chemin critique
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Pour réaliser une Pour réaliser une tâchetâche (bâtir une maison, faire une recette, (bâtir une maison, faire une recette, construire un avion, etc.)construire un avion, etc.), on doit souvent réaliser plusieurs , on doit souvent réaliser plusieurs étapesétapes..
Certaines Certaines étapesétapes doivent doivent obligatoirementobligatoirement être faites avant être faites avant certaines autres tandis que plusieurs étapes peuvent se faire certaines autres tandis que plusieurs étapes peuvent se faire en en même tempsmême temps (par des personnes ou des équipes différentes)(par des personnes ou des équipes différentes)..
Le Le chemin critiquechemin critique, c’est le temps , c’est le temps minimumminimum requis pour exécuter requis pour exécuter la tâche. Malheureusement, on doit attendre que certaines la tâche. Malheureusement, on doit attendre que certaines étapes soient terminées avant de passer aux étapes suivantes.étapes soient terminées avant de passer aux étapes suivantes.
Donc, c’est la chaîne ayant la Donc, c’est la chaîne ayant la plus grande valeurplus grande valeur entre le début entre le début et la fin du projet.et la fin du projet.
ExempleExemple : Situation où l’on doit repeindre une pièce d’une maison : Situation où l’on doit repeindre une pièce d’une maison
ÉtapesTemps requis (min)
Préalables
A. Début - -
B. Aller chercher au sous-sol l'escabeau, les pinceaux, le rouleau, le bac à peinture, ...
15 A
C. Sabler l'endroit où se trouvait la fissure 5 B
D. Couvrir le plancher d'un plastique 10 B
E. Acheter la peinture à la quincaillerie 20 A
F. Faire le découpage au pinceau 50 D, E
G. Peindre les murs au rouleau 30 C, D, E
H. Nettoyer le rouleau et le bac 5 G
I. Nettoyer les pinceaux 5 F
J. Ranger tout le matériel au sous-sol 15 H, I
K. Admirer le travail - J
Temps requis si on effectuait la tâche seul : 155 -
GrapheGraphe de la situation : de la situation :
ÉtapesTemps requis
(min)Préalables
A. Début - -
AA
GrapheGraphe de la situation : de la situation :
ÉtapesTemps requis
(min)Préalables
B. Aller chercher au sous-sol l'escabeau, les pinceaux, le rouleau, le bac à peinture, ...
15 A
AA BB1155
GrapheGraphe de la situation : de la situation :
ÉtapesTemps requis
(min)Préalables
C. Sabler l'endroit où se trouvait la fissure 5 B
CC55
AA BB1155
GrapheGraphe de la situation : de la situation :
ÉtapesTemps requis
(min)Préalables
D. Couvrir le plancher d'un plastique 10 B
CC55
AA BB1155
DD
1100
GrapheGraphe de la situation : de la situation :
ÉtapesTemps requis
(min)Préalables
E. Acheter la peinture à la quincaillerie 20 A
CC55
AA BB1155
DD
1100
EE
2200
GrapheGraphe de la situation : de la situation :
ÉtapesTemps requis
(min)Préalables
F. Faire le découpage au pinceau 50 D, E
CC55
AA BB1155
DD
1100
EE
2200
FF5500
5500
GrapheGraphe de la situation : de la situation :
ÉtapesTemps requis
(min)Préalables
G. Peindre les murs au rouleau 30 C, D, E
CC55
AA BB1155
DD
1100
EE
2200
FF5500
5500
GG
3300
3300
3300
GrapheGraphe de la situation : de la situation :
ÉtapesTemps requis
(min)Préalables
H. Nettoyer le rouleau et le bac 5 G
CC55
AA BB1155
DD
1100
EE
2200
FF5500
5500
GG
3300
3300
3300
HH55
GrapheGraphe de la situation : de la situation :
ÉtapesTemps requis
(min)Préalables
I. Nettoyer les pinceaux 5 F
CC55
AA BB1155
DD
1100
EE
2200
FF5500
5500
GG
3300
3300
3300
HH55
II55
GrapheGraphe de la situation : de la situation :
ÉtapesTemps requis
(min)Préalables
J. Ranger tout le matériel au sous-sol 15 H, I
CC55
AA BB1155
DD
1100
EE
2200
FF5500
5500
GG
3300
3300
3300
HH55
II55
JJ
1155
1155
GrapheGraphe de la situation : de la situation :
ÉtapesTemps requis
(min)Préalables
K. Admirer le travail - J
CC55
AA BB1155
DD
1100
EE
2200
FF5500
5500
GG
3300
3300
3300
HH55
II55
JJ
1155
1155
KK00
ProcédureProcédure pour trouver le chemin critique : pour trouver le chemin critique :
CC55
AA BB1155
DD
1100
EE
2200
FF5500
5500
GG
3300
3300
3300
HH55
II55
JJ
1155
1155
KK00
On assigne à chaque sommet un On assigne à chaque sommet un nombrenombre et une et une lettrelettre..
Le Le nombrenombre est la est la plus grande sommeplus grande somme des valeurs pour se rendre du point des valeurs pour se rendre du point de de départ au sommet étudié.départ au sommet étudié.
La La lettrelettre est le est le sommet précédentsommet précédent dans la chaîne (ou chemin) qui a cette dans la chaîne (ou chemin) qui a cette plus plus grande somme.grande somme. On identifie la chaîne (ou le chemin) par une On identifie la chaîne (ou le chemin) par une lecture à rebourslecture à rebours (à reculons). (à reculons).
15 15 (A)(A)
20 20 (A)(A)
20 20 (B)(B)
25 25 (B)(B)
75 75 (D)(D)
55 55 (D)(D)
60 60 (G)(G)
80 (F)80 (F)
95 (I)95 (I) 95 (J)95 (J)
Chemin critique : ABDFIJK Temps minimum pour réaliser le projet : 95 minutes
AA
BB
CC
DD
EE GG
FF HH JJ
55
66 1010
44
99
77
33 11
66
55
5 (A)5 (A)
3 (A)3 (A)
7 (A)7 (A)
12 (D)12 (D) 27 (G)27 (G) 28 (H)28 (H)
11 11 (B)(B)
21 21 (E)(E)
JJ
GGEEBB
Chemin critique : ADFHJ
Exercice #1Exercice #1 : :
AA HH
AA
BB
CC
DD
EE GG
FF HH JJ
44
22 55
77
22
66
77 11
33
33
55
44
66
4 (A)4 (A)
10 (D)10 (D)
6 (A)6 (A)
11 (B)11 (B) 25 (G)25 (G) 26 (H)26 (H)
17 17 (F)(F)
22 22 (E)(E)
JJHH
GGEE
FF
BB
AA
Chemin critique : ABFEGHJ
Exercice #2Exercice #2 : :