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MATRICES
MATEMÁTICA II
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Zapatos Carteras Correas
Mano de obra: 5 3 2
Material 6 2 1
Introducción En una fábrica se producen zapatos, carteras y correas, siendo los costos de mano de obra y material los que se indican en la siguiente tabla:
COSTOS DE FABRICACIÓN (en $)
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MATRICES
Definición.- Una matriz es un arreglo rectangular de números dispuestos en filas y columnas y encerrados entre corchetes o paréntesis.
Para representar a una matriz se utilizan letras mayúsculas
4
1
2
0
5
3
AEjemplo: Es una matriz de 3 filas y 2 columnas
ORDEN DE UNA MATRIZ
El orden de una matriz se representa como: m x n, donde “m” es el número de filas y “n” el número de columnas.
Para el ejemplo anterior A es una matriz de 3 x 2
4
REPRESENTACIÓN GENERAL DE UNA MATRIZ DE ORDEN m x n
nxmmnmm
n
n
a...aa.
.
.
.a...aa
a...aa
A
21
22221
11211 Donde:
aij : es el elemento o entrada
general ubicado en la fila “i” , columna j
REPRESENTACIÓN ABREVIADA DE UNA MATRIZ DE ORDEN m x n
A = [ aij ]m x n
Donde:
aij : es el elemento o entrada general
i = 1, 2, 3, ….., m
j = 1, 2, 3, ….., n
5
Matriz fila o Vector fila
Es una matriz que tiene sólo una fila
Ejemplo: B = [ 3 -2 5 6 1 ]1 x 4
Matriz columna o Vector columna
Es una matriz que tiene sólo una columna
Ejemplo:
131
0
2
x
C
6
Construcción de una Matriz
Construir una matriz de 2x3 con la siguiente información:
a21 = -6
a12 = 4
a11 = 0
a23 = 1
a13 = -2
a22 = 5
A
Fila 1
Fila 2
Col. 1 Col. 2 Col. 3
-6
40
1
-2
5
Solución:
7
Construcción de una Matriz
Construir la siguiente matriz:
A = [ aij ]2x3 tal que:
jiSi,ji
jiSi,jiaij
2
2
A
a11 =
a12 =
a13 =
a21 =
a22 =
a23 =
Solución:
Col. 1 Col. 2 Col. 3
Fila 1
Fila 2
1
3/2
2
3/2
2
5/2
1 3/2 2
3/2 2 5/2
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IGUALDAD DE MATRICES
Definición.- Las matrices A=[aij] y B=[bij] son iguales si y sólo si tienen
el mismo orden, además aij = bij para cada i y cada j (esto es,
entradas correspondientes iguales)
54
31
52
1
y
x 23 yx
2340
31
52
x
A
TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ
Definición.- La transpuesta de una matriz de orden m x n se denota AT, es la matriz de orden n x m cuya i-ésima columna es la i-ésima fila de A
32435
012
x
TA
PROPIEDAD: (AT)T = A
Ejemplo:
Ejemplo:
9
MATRICES ESPECIALES
Matriz Nula o Matriz Cero.- Es una matriz que tiene todos sus elementos iguales a cero. Se denota por O.
430000
0000
0000
x
O
Ejemplo:
Matriz Cuadrada.- Es una matriz que tiene el mismo número de filas y columnas,
Es una matriz nula de orden 3x4
Ejemplo:
672
014
523
A Es una matriz cuadrada de orden 3
Diagonal principal
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MATRICES ESPECIALES
Matriz Diagonal.- Una matriz cuadrada A es llamada matriz diagonal si todos los elementos que se encuentran fuera de la diagonal principal son cero, es decir: aij = 0 para todo i ≠ j
Ejemplos:
500
010
002
A Matriz diagonal de orden 3
7000
0000
0050
0003
B Matriz diagonal de orden 4
11
Matriz Triangular superior.- Una matriz cuadrada A es llamada matriz triangular superior si todos los elementos que se encuentran debajo de la diagonal principal son cero, es decir: aij = 0 para todo i > j
Ejemplo:
300
150
941
A
Matriz Triangular inferior.- Una matriz cuadrada A es llamada matriz triangular inferior si todos los elementos que se encuentran arriba de la diagonal principal son cero, es decir: aij = 0 para todo i < j
Ejemplo:
7863
0129
0057
0003
B
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OPERACIONES CON MATRICES
Considere que un comerciante de vehículos vende dos modelos: Deluxe y Super. Cada uno está disponible en dos colores, rojo y azul. Suponga que las ventas de enero y febrero están representadas por las matrices de ventas:
53
21E
Deluxe Super
Rojo
Azul
24
13F
Deluxe Super
Rojo
Azul
Si queremos las ventas totales para cada modelo y color durante los dos meses, ¿Qué operación debemos hacer y cómo?
Resultado:
77
34V
Deluxe Super
Rojo
Azul
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SUMA DE MATRICES
Definición.- Si A=[aij] y B=[bij] son matrices de orden m x n, entonces
la suma A+B es la matriz de orden m x n que se obtiene sumando los correspondientes elementos de A y B, es decir:
A+B =[aij + bij]mxn
Ejemplos:
2x32x312
52
87
810
50
32
2x3712
02
55
89
31
92
43
15 No está definida ya que las matrices son de diferente orden
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PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES
1. A + B = B + A (propiedad conmutativa)
2. A + (B + C) = (A + B) + C (propiedad asociativa)
3. A + O = O + A = A (propiedad del neutro aditivo)
Si A, B y C son matrices del mismo orden, entonces:
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MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR
Definición.- Si A es una matriz de orden m x n y k es un número real (también llamado escalar), entonces kA es una matriz de orden m x n que se obtiene multiplicando cada elemento de A por k, es decir:
kA =[ kaij ]mxn
Ejemplo:
704
1532
1408
2106
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PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR
1. k(A + B) = kA + kB
2. (k1 + k2)A = k1A + k2A
3. k1(k2A) = (k1k2)A
4. 0A = O
5. kO = O
PROPIEDADES DE LA MATRIZ TRANSPUESTA
1. (A + B)T = AT + BT
2. (kA)T = kAT