Matrices
Contenido
• Definición de Matrices• Operaciones con Matrices• Fórmulas Recursivas de Operaciones con Matrices
Definición de Matrices
• Es un conjunto de números en un arreglo rectangular
• Los números pueden ser reales o complejos• Los números son sus elementos• No tiene valor numérico
𝑨𝑨 =
𝒂𝒂𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒂𝒂𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒂𝒂𝟏𝟏𝟏𝟏 ⋯ 𝒂𝒂𝟏𝟏𝟏𝟏𝒂𝒂𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒂𝒂𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒂𝒂𝟏𝟏𝟏𝟏 ⋯ 𝒂𝒂𝟏𝟏𝟏𝟏⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮𝒂𝒂𝒏𝒏𝟏𝟏 𝒂𝒂𝒏𝒏𝟏𝟏 𝒂𝒂𝒏𝒏𝟏𝟏 ⋯ 𝒂𝒂𝒏𝒏𝟏𝟏
Dimensión: (𝒏𝒏 × 𝟏𝟏)𝒏𝒏 son renglones𝟏𝟏 son columnas𝑨𝑨 = 𝒂𝒂𝒊𝒊𝒊𝒊 ; (𝒊𝒊 = 𝟏𝟏,𝒏𝒏; 𝒊𝒊 = 𝟏𝟏,𝟏𝟏)
Definición de Matrices
• Matriz de una Dimensión:• Matriz Renglón (vector renglón). Dimensión = 𝟏𝟏 × 𝟏𝟏
• Ejemplo:𝑨𝑨 = 1 2 3 4
• Matriz Columna (vector columna). Dimensión = 𝒏𝒏 × 𝟏𝟏• Ejemplo:
𝑨𝑨 =
1234
Definición de Matrices
• Tipo de Matrices:• Nula. 𝒂𝒂𝒊𝒊𝒊𝒊 = 𝟎𝟎, para toda 𝒊𝒊 y para toda 𝒊𝒊.
• Ejemplo:
𝑨𝑨 =0 0 00 0 00 0 0
• Unitaria. 𝒂𝒂𝒊𝒊𝒊𝒊 = 𝟏𝟏, para toda 𝒊𝒊 y para toda 𝒊𝒊.• Ejemplo:
𝑨𝑨 =1 1 11 1 11 1 1
• Transpuesta. 𝒂𝒂𝒊𝒊𝒊𝒊 ↔ 𝒂𝒂𝒊𝒊𝒊𝒊, para toda 𝒊𝒊 y para toda 𝒊𝒊.• Ejemplo:
𝑨𝑨 = 1 32 4 ⇒ 𝑨𝑨𝑇𝑇 = 1 2
3 4
Definición de Matrices
• Semejantes (misma dimensión). 𝒏𝒏𝟏𝟏 = 𝒏𝒏𝟏𝟏, and 𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏• Ejemplo:
𝑨𝑨𝟏𝟏 = 1 3 72 0 3 𝑨𝑨𝟏𝟏 = 5 3 9
0 1 1• Cuadradas. 𝒏𝒏 = 𝟏𝟏
• Ejemplo:
𝑨𝑨 =1 5 37 2 10 9 6
Definición de Matrices
• Tipo de Matrices Cuadradas:• Triangular Superior. 𝒂𝒂𝒊𝒊𝒊𝒊 = 𝟎𝟎, para toda 𝒊𝒊 > 𝒊𝒊.
• Ejemplo:
𝑨𝑨 =1 9 30 5 20 0 3
• Triangular Inferior. 𝒂𝒂𝒊𝒊𝒊𝒊 = 𝟎𝟎, para toda 𝒊𝒊 < 𝒊𝒊.• Ejemplo:
𝑨𝑨 =5 0 01 7 02 3 9
• Diagonal. 𝒂𝒂𝒊𝒊𝒊𝒊 = 𝟎𝟎, para toda 𝒊𝒊 ≠ 𝒊𝒊.• Ejemplo:
𝑨𝑨 =3 0 00 5 00 0 7
Definición de Matrices
• Identidad.
𝐈𝐈𝐈𝐈𝐈𝐈𝐈𝐈𝐈𝐈𝐈𝐈𝐈𝐈𝐈𝐈𝐈𝐈 𝑰𝑰 = �𝒂𝒂𝒊𝒊𝒊𝒊 = 𝟏𝟏, para toda 𝒊𝒊𝒂𝒂𝒊𝒊𝒊𝒊 = 𝟎𝟎, para toda 𝒊𝒊 ≠ 𝒊𝒊
• Ejemplo:
𝑨𝑨 =1 0 00 1 00 0 1
• Simétrica. 𝒂𝒂𝒊𝒊𝒊𝒊 = 𝒂𝒂𝒊𝒊𝒊𝒊, para toda 𝒊𝒊 y para toda 𝒊𝒊.• Ejemplo:
𝑨𝑨 =
1 2 3 42 5 6 73 6 8 94 7 9 10
Operaciones con Matrices
• Suma (o Resta).• Restricción: Semejantes (misma dimensión)
𝑪𝑪 = 𝑨𝑨 + 𝑩𝑩 → 𝒄𝒄𝒊𝒊𝒊𝒊 = 𝒂𝒂𝒊𝒊𝒊𝒊 + 𝒃𝒃𝒊𝒊𝒊𝒊; (𝒊𝒊 = 𝟏𝟏,𝒏𝒏; 𝒊𝒊 = 𝟏𝟏,𝟏𝟏)𝑫𝑫 = 𝑨𝑨 − 𝑩𝑩 → 𝒅𝒅𝒊𝒊𝒊𝒊 = 𝒂𝒂𝒊𝒊𝒊𝒊 − 𝒃𝒃𝒊𝒊𝒊𝒊; (𝒊𝒊 = 𝟏𝟏,𝒏𝒏; 𝒊𝒊 = 𝟏𝟏,𝟏𝟏)
• Ejemplo:𝑨𝑨 = 1 3 2
0 5 7 𝑩𝑩 = 5 2 19 0 7
⇒ 𝑪𝑪 = 𝑨𝑨 + 𝑩𝑩 = 6 5 39 5 14 ; 𝑫𝑫 = 𝑨𝑨 − 𝑩𝑩 = −4 1 1
−9 5 0
Operaciones con Matrices
• Producto Escalar.𝑩𝑩 = 𝒌𝒌 � 𝑨𝑨 → 𝒃𝒃𝒊𝒊𝒊𝒊 = 𝒌𝒌 ∗ 𝒂𝒂𝒊𝒊𝒊𝒊 ; (𝒊𝒊 = 𝟏𝟏,𝒏𝒏; 𝒊𝒊 = 𝟏𝟏,𝟏𝟏)
• Ejemplo:
𝑨𝑨 =1 24 50 3
,𝒌𝒌 = 2 ⇒ 𝑩𝑩 = 𝒌𝒌𝑨𝑨 =2 48 100 6
Operaciones con Matrices
• Producto Matricial o Vectorial.• Restricción: El número de columnas del primer factor debe ser igual al
número de renglones del segundo factor.
�𝑨𝑨(𝒏𝒏 × 𝟏𝟏)𝑩𝑩(𝟏𝟏 × 𝒑𝒑) ⇒ 𝑪𝑪(𝒏𝒏 × 𝒑𝒑)
• Propiedades:• No es conmutativo• Si 𝑨𝑨 ≠ 0 and 𝑩𝑩 ≠ 0 ⇒ el producto de 𝑨𝑨𝑩𝑩 puede ser nulo
Operaciones con Matrices
• Ejemplo:
𝑨𝑨 = 3 4 71 2 0 2 × 3 ; 𝑩𝑩 =
1 34 50 6
(3 × 2)
⇒ 𝑪𝑪 = 𝑨𝑨𝑩𝑩 = 19 719 13 (2 × 2)
Operaciones:𝑐𝑐11 = 3 1 + 4 4 + 7 0 = 19𝑐𝑐21 = 1 1 + 2 4 + 0 0 = 9𝑐𝑐12 = 3 3 + 4 5 + 7 6 = 71𝑐𝑐22 = 1 3 + 2 5 + 0 6 = 13
Fórmulas Recursivas de Operaciones con Matrices• Suma (o resta) de Matrices.
𝑪𝑪 = 𝑨𝑨 + 𝑩𝑩; 𝑫𝑫 = 𝑨𝑨 − 𝑩𝑩Dimensiones: 𝑨𝑨 𝒏𝒏 × 𝟏𝟏 ; 𝑩𝑩 = 𝒏𝒏 × 𝟏𝟏 ; 𝑪𝑪 𝒏𝒏 × 𝟏𝟏 ; 𝑫𝑫(𝒏𝒏 × 𝟏𝟏)Fórmula Recursiva:
𝒄𝒄𝒊𝒊𝒊𝒊 = 𝒂𝒂𝒊𝒊𝒊𝒊 + 𝒃𝒃𝒊𝒊𝒊𝒊; (𝒊𝒊 = 𝟏𝟏,𝒏𝒏; 𝒊𝒊 = 𝟏𝟏,𝟏𝟏)𝒅𝒅𝒊𝒊𝒊𝒊 = 𝒂𝒂𝒊𝒊𝒊𝒊 − 𝒃𝒃𝒊𝒊𝒊𝒊; (𝒊𝒊 = 𝟏𝟏,𝒏𝒏; 𝒊𝒊 = 𝟏𝟏,𝟏𝟏)
𝑖𝑖 = 1
𝑗𝑗 = 1
𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 + 𝑏𝑏𝑖𝑖𝑖𝑖
Read I, JRead 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 , 𝑏𝑏𝑖𝑖𝑖𝑖
(𝑖𝑖 = 1, 𝐼𝐼; 𝑗𝑗 = 1, 𝐽𝐽)
𝑗𝑗: 𝐽𝐽
𝑖𝑖: 𝐼𝐼
Write Output𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 (𝑖𝑖 = 1, 𝐼𝐼; 𝑗𝑗 = 1, 𝐽𝐽)
𝐃𝐃𝐈𝐈𝐈𝐈𝐃𝐃𝐃𝐃𝐈𝐈𝐃𝐃𝐈𝐈 𝐈𝐈𝐈𝐈 𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅
𝑗𝑗 = 𝑗𝑗 + 1
𝑖𝑖 = 𝑖𝑖 + 1
<
<
𝑖𝑖 = 1
𝑗𝑗 = 1
𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 − 𝑏𝑏𝑖𝑖𝑖𝑖
Read I, JRead 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 , 𝑏𝑏𝑖𝑖𝑖𝑖
(𝑖𝑖 = 1, 𝐼𝐼; 𝑗𝑗 = 1, 𝐽𝐽)
𝑗𝑗: 𝐽𝐽
𝑖𝑖: 𝐼𝐼
Write Output𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 (𝑖𝑖 = 1, 𝐼𝐼; 𝑗𝑗 = 1, 𝐽𝐽)
𝑗𝑗 = 𝑗𝑗 + 1
𝑖𝑖 = 𝑖𝑖 + 1
<
<
𝐃𝐃𝐈𝐈𝐈𝐈𝐃𝐃𝐃𝐃𝐈𝐈𝐃𝐃𝐈𝐈 𝐈𝐈𝐈𝐈 𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅
Fórmulas Recursivas de Operaciones con Matrices• Producto Escalar.
𝑩𝑩 = 𝒌𝒌 � 𝑨𝑨Dimensión: 𝑨𝑨(𝒏𝒏×𝟏𝟏)
Fórmula Recursiva:𝒃𝒃𝒊𝒊𝒊𝒊 = 𝒌𝒌 ∗ 𝒂𝒂𝒊𝒊𝒊𝒊 ; (𝒊𝒊 = 𝟏𝟏,𝒏𝒏; 𝒊𝒊 = 𝟏𝟏,𝟏𝟏)
𝑖𝑖 = 1
𝑗𝑗 = 1
𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑘𝑘𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖
Read I, J, kRead 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖
(𝑖𝑖 = 1, 𝐼𝐼; 𝑗𝑗 = 1, 𝐽𝐽)
𝑗𝑗: 𝐽𝐽
𝑖𝑖: 𝐼𝐼
Write Output𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 (𝑖𝑖 = 1, 𝐼𝐼; 𝑗𝑗 = 1, 𝐽𝐽)
𝑗𝑗 = 𝑗𝑗 + 1
𝑖𝑖 = 𝑖𝑖 + 1
<
<
𝐃𝐃𝐈𝐈𝐈𝐈𝐃𝐃𝐃𝐃𝐈𝐈𝐃𝐃𝐈𝐈 𝐈𝐈𝐈𝐈 𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅
Fórmulas Recursivas de Operaciones con Matrices• Producto Matricial.
𝑪𝑪 = 𝑨𝑨𝑩𝑩Dimensiones: 𝑨𝑨 𝒏𝒏 × 𝟏𝟏 ; 𝑩𝑩 = 𝒏𝒏 × 𝟏𝟏 ; 𝑪𝑪 𝒏𝒏 × 𝟏𝟏Fórmula Recursiva:
𝒄𝒄𝒊𝒊𝒊𝒊 = �𝒊𝒊=𝟏𝟏
𝟏𝟏
𝒂𝒂𝒊𝒊𝒊𝒊𝒃𝒃𝒊𝒊𝒌𝒌 ; (𝒊𝒊 = 𝟏𝟏, … ,𝒏𝒏;𝒌𝒌 = 𝟏𝟏, … ,𝒑𝒑)
𝑖𝑖 = 1
𝑗𝑗 = 1
𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 + 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖𝑏𝑏𝑖𝑖𝑖𝑖
Read I, J, KRead 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖; 𝑖𝑖 = 1, 𝐼𝐼; 𝑗𝑗 = 1, 𝐽𝐽
Read 𝑏𝑏𝑖𝑖𝑖𝑖; (𝑗𝑗 = 1, 𝐽𝐽; 𝑘𝑘 = 1,𝐾𝐾)
𝑗𝑗: 𝐽𝐽
𝑖𝑖: 𝐼𝐼
Write Output𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 (𝑖𝑖 = 1, 𝐼𝐼;𝑘𝑘 = 1,𝐾𝐾)
𝑗𝑗 = 𝑗𝑗 + 1
𝑖𝑖 = 𝑖𝑖 + 1
<
<
𝑘𝑘 = 1
𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 = 0.0
𝑘𝑘:𝐾𝐾 𝑘𝑘 = 𝑘𝑘 + 1<
𝐃𝐃𝐈𝐈𝐈𝐈𝐃𝐃𝐃𝐃𝐈𝐈𝐃𝐃𝐈𝐈 𝐈𝐈𝐈𝐈 𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅𝐅
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