TEMA 1. VECTORES Y MATRICES
1.2. MATRICES. OPERACIONES ELEMENTALES
1. VECTORES Y MATRICES
1.2. MATRICES: OPERACIONES
ELEMENTALES
1.2.1. Concepto de matriz. Elementos.
1.2.2. Tipos de matrices
1.2.3. Suma y diferencia de matrices.
Producto de un nmero por una matriz.
Trasposicin de matrices. Propiedades.
1.2.4. Producto y potencia de matrices. Propiedades.
1.2.5. Rango de una matriz.
1.2.6. Inversa de una matriz. Propiedades.
1. VECTORES Y MATRICES
Una matriz real de orden o dimensin nm es un conjunto de nm nmeros reales estructurados en m filas y n columnas. Las matrices encierran esta estructura entre parntesis. Para referirnos al elemento situado en la fila i-sima y la columna j-sima utilizamos la notacin de elemento ija . De esta forma, una matriz de orden nm se escribe de forma genrica de la siguiente forma:
mnmmm
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A
321
3333231
2232221
1131211
, diremos tambin que njmiijaA
,...,1,...,1)(
.
Atendiendo al orden o dimensin de una matriz podemos tener varios tipos de matrices: Matriz rectangular, que es una matriz de orden nm , con nm . Matriz fila, que es una matriz de orden n1 . Matriz columna, que es una matriz de orden 1m . Matriz cuadrada, que es una matriz de orden nm , con nm . De las matrices cuadradas se suele decir que tienen orden n.
1.2. MATRICES OPERACIONES ELEMENTALES.
1.2.1. CONCEPTO DE MATRIZ. ORDEN. ELEMENTOS (1/4)
1. VECTORES Y MATRICES
EJEMPLO.
Determinar el orden de las matrices y clasifcalas:
421
302A
43
20
12
B 273 C
12
0
6
4
D
279
921
203
E
1.2. MATRICES OPERACIONES ELEMENTALES.
1.2.1. CONCEPTO DE MATRIZ. ORDEN. ELEMENTOS (2/4)
IGUALDAD DE DOS MATRICES
Dadas dos matrices, njmiijaA
,...,1,...,1)(
y
njmiijbB
,...,1,...,1)(
, diremos que son iguales si
y solo si verifica: 1) Tienen el mismo orden. 2) Los elementos que ocupan un mismo lugar son iguales, es decir, ijij ba
para todo njmi ,...,1;,...,1 .
EJEMPLO:
Determina los valores de los parmetros a,b,c,d para que las matrices A y B
sean iguales:
b
aA
72
3,
73
84
d
cB
1. VECTORES Y MATRICES
ELEMENTOS DE UNA MATRIZ. FILAS, COLUMNAS. Para referirnos a la columna j-sima de una matriz, utilizamos la siguiente
notacin: ja ; y para referirnos a la fila i-sima de una
matriz utilizaremos la siguiente notacin: ia .
EJEMPLO
843
110
301
302
A 301.2 a ; 843.4 a ;
3
0
1
2
1a .
En una matriz cuadrada los elementos iia constituyen la diagonal principal
de la matriz, y los elementos ija , con 1 nji , constituyen la diagonal
secundaria de la matriz
1.2. MATRICES OPERACIONES ELEMENTALES.
1.2.1. CONCEPTO DE MATRIZ. ORDEN. ELEMENTOS (3/4)
1. VECTORES Y MATRICES
EJEMPLOS:
1. Identifica en cada una de las siguientes matrices los elementos a12, a23, a34, a22, b12, b23, b22 e indica sus rdenes.
6145
1123
0210
4231
A ,
5410
3251B .
2. Dadas las matrices:
4811
1023A y
41
36B
a) Determina sus rdenes, clasifcalas en funcin del orden.
b) Determina los siguientes elementos: 214221222413 ,,,,, aabbaa y 2a , 2b
c) Calcula 22122311 5854 baaa .
d) Calcula 21 23 bb
1.2. MATRICES OPERACIONES ELEMENTALES.
1.2.1. CONCEPTO DE MATRIZ. ORDEN. ELEMENTOS (4/4)
1. VECTORES Y MATRICES
1. Determina los valores que han de tener dcba ,,, para que las siguientes matrices sean iguales:
a)
529
253
c
daA ,
5123
1058
cbB b)
dab
cac
a
A
2
30
,
abc
a
B
3
52
30
2. Sea la matriz
2137
1304
41173
A calcula: a) 21223113 765 aaaa
b) 421 523 aaa c) 3412232322 2276 aaaaa d) 132 32 aaa .
3. Una empresa de trabajo temporal dispone de cinco candidatos para tres puestos de trabajo diferentes. Han representado la idoneidad de cada aspirante segn el siguiente esquema:
Candidados Puesto 1 A,B 2 C 3 A,B,C 4 5 C
Escribe la matriz que representa estos resultados. (Nota: utiliza 1 si el candidato es idneo para el
puesto y 0 en caso contrario).
1.2. MATRICES OPERACIONES ELEMENTALES.
1.2.1. CONCEPTO DE MATRIZ. ORDEN. ELEMENTOS : EJERCICIOS
EJERCICIOS: Libro :
Problemas y cuestiones de lgebra lineal, P. OrtegaPg. 99: ejercicios: 1,2
1. VECTORES Y MATRICES
CLASIFICACIN DE MATRICES CUADRADAS SEGN LA DISPOSICIN DE SUS ELEMENTOS. Matriz triangular superior: es aquella matriz que tiene nulos todos sus elementos por debajo de la diagonal principal, es decir, 0ija , si ji . Matriz triangular inferior: es aquella matriz que tiene nulos todos sus elementos por encima de la diagonal principal, es decir, 0ija , si ji . Matriz diagonal: es aquella matriz que es triangular superior e inferior, es decir, cuyos elementos situados fuera de la diagonal principal son nulos: jiaij ,0 Matriz simtrica: es aquella matriz que tiene sus elementos simtricos iguales (tomando como eje de simetra la diagonal principal), es decir jiij aa para todo
., ji Matriz antisimtrica: es aquella matriz que verifica jiij aa . En una matriz antisimtrica la diagonal principal est formada por ceros.
1.2. MATRICES OPERACIONES ELEMENTALES.
1.2.2. TIPOS DE MATRICES
1. VECTORES Y MATRICES
EJEMPLOS:
Son matrices triangulares inferiores:
771
029
004
,
200
012
003
,43
01,
22
03
Son matrices diagonales:
10
03,
100
000
001
,
200
020
004
,
000
000
000
.
Son matrices simtricas:
1002
038
287
,
151
530
102
,32
21,
12
23.
Son matrices antisimtricas:
041
401
110
,
032
3012
2120
,02
20,
05
50.
1.2. MATRICES OPERACIONES ELEMENTALES.
1.2.2. TIPOS DE MATRICES
ALGUNAS MATRICES CUADRADAS IMPORTANTES. Matriz nula de orden n: matriz cuadrada formada toda ella por 0. Para cada orden tenemos una matriz nula. Matriz identidad de orden n: matriz diagonal que tiene todos los elementos de la diagonal iguales a 1. Para cada orden tenemos una matriz
identidad que se suele identificar de la forma nI .
1. VECTORES Y MATRICES
1. Clasifica las siguientes matrices segn la disposicin de sus elementos:
12
28A ,
20
13B ,
35
54C ,
30
02D ,
01
10E ,
00
01F
2. Construye tres matrices diagonales de orden 4 diferentes que contengan los elementos 0,1,2,3. 3. Clasifica las siguientes matrices cuadradas segn la disposicin de sus elementos:
183
852
321
A
003
002
001
B
01
00C
100
030
003
D
000
100
088
E
14
43F
000
009
090
G
001
009
190
H
40
04I
4. Determina qu valores deben tener los parmetros ba, y c para que las siguientes matrices sean antisimtricas:
a)
b
aA
0
0 b)
abc
B 502
020
c)
cb
aC
1
1.2. MATRICES OPERACIONES ELEMENTALES.
1.2.2. TIPOS DE MATRICES. EJERCICIOS
1. VECTORES Y MATRICES
B) MATRIZ OPUESTA. Sea A una matriz de orden nm . Se define la matriz opuesta de A, y se denota por -A, a la matriz de orden nm que se obtiene cambiando de signo a todos los elementos de la matriz A. Si )( ijaA , entonces )( ijaA . Si B es la matriz opuesta de A, se verifica que A+B=O, siendo O la matriz nula de orden nm .
EJEMPLO. Calcula la opuesta de
42
01
43
A
1.2. MATRICES OPERACIONES ELEMENTALES.
1.2.3. SUMA Y DIFERENCIA DE MATRICES. PRODUCTO DE UN
NMERO POR UNA MATRIZ. TRASPOSICIN DE MATRICES.A) SUMA DE MATRICES.
Dadas dos matrices )( ijaA y )( ijbB del mismo orden, la suma de las matrices A y B es
otra matriz C del mismo orden que los sumandos tal que CBA , siendo )( ijij baC .
EJEMPLOS:
1)
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211
,
mnmm
n
n
bbb
bbb
bbb
B
21
22221
11211
mnmnmmmm
nn
nn
bababa
bababa
bababa
BA
2211
2222222121
1112121111
2)
511
248
523
105
032
143
1. VECTORES Y MATRICES
PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES Dadas A, B, C tres matrices de orden nm se verifica:
1. Propiedad conmutativa: A+B=B+A
2. Propiedad asociativa: (A+B)+C=A+(B+C)
3. Existencia de elemento neutro. Existe una matriz de orden nm O que verifica que A+O=A (O es la matriz nula de orden nm ).
4. Toda matriz A tiene asociada una matriz -A, denominada matriz opuesta que se obtiene
cambiando de signo todos los elementos de la matriz A, verificndose que A+(-A)=O.
1.2. MATRICES OPERACIONES ELEMENTALES.
1.2.3. SUMA Y DIFERENCIA DE MATRICES. PRODUCTO DE UN
NMERO POR UNA MATRIZ. TRASPOSICIN DE MATRICES.
C) DIFERENCIA DE DOS MATRICES
Dadas dos matrices A y B de orden nm , se define la diferencia de matrices, y se denota por A-B, a la operacin que resulta de sumar a la primera la matriz opuesta de la segunda, es decir, A-B=A+(-B).
EJEMPLO:
41
51
74
32
35
21
74
32
35
21
1. VECTORES Y MATRICES
PRODUCTO DE UN NMERO POR UNA MATRIZ. Dada una matriz )( ijaA de orden nm , se define el producto de un nmero real k por la matriz A a la operacin Ak cuyo resultado es otra matriz de orden nm , cuyos elementos se obtienen multiplicando por k cada elemento de la matriz A, es decir, )( ijkaAk .
Sea
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211
entonces
mnmm
n
n
akakak
akakak
akakak
Ak
21
22221
11211
.
EJEMPLO: si
420
132A , entonces AA 7,5 .
1.2. MATRICES OPERACIONES ELEMENTALES.
1.2.3. SUMA Y DIFERENCIA DE MATRICES. PRODUCTO DE UN
NMERO POR UNA MATRIZ. TRASPOSICIN DE MATRICES.
1. VECTORES Y MATRICES
1.2. MATRICES OPERACIONES ELEMENTALES.
1.2.3. SUMA Y DIFERENCIA DE MATRICES. PRODUCTO DE UN
NMERO POR UNA MATRIZ. TRASPOSICIN DE MATRICES.
PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE UN NMERO REAL POR UNA MATRIZ Dadas A, B dos matrices de orden nm y Rhk , se verifica: 1. Propiedad distributiva respecto de la suma de matrices: BkAkBAk )( 2. Propiedad distributiva respecto de la suma de nmeros reales: AhAkAhk )( 3. Propiedad pseudoasociativa: )()( AhkAhk 4. Existencia de elemento unidad: El nmero real 1, verifica que AA1 .
1. VECTORES Y MATRICES
TRASPOSICIN DE MATRICES: Sea A una matriz de orden nm . Se define la matriz traspuesta de A, y se denota como A o bien At , a la matriz de orden mn que se obtiene colocando las filas de A como columnas de A.
EJEMPLO:
187
431A entonces
14
83
71
'A .
Propiedades de la trasposicin de matrices:
1. Si A es una matriz de orden nm , entonces se verifica que AA )''( . 2. Si A es una matriz simtrica de orden n, entonces se verifica 'AA . 3. Si BA, son matrices de orden nm , entonces '')'( BABA . 4. Si A es una matriz de orden nm y k un nmero real no nulo, entonces ')'( AkAk . 5. Si A es una matriz de orden mxn, B de orden nxp, AB es de orden mxp y
(AB)t=BtAt
VER EJEMPLOS DE ESTAS PROPIEDADES.
1.2. MATRICES OPERACIONES ELEMENTALES.
1.2.3. SUMA Y DIFERENCIA DE MATRICES. PRODUCTO DE UN
NMERO POR UNA MATRIZ. TRASPOSICIN DE MATRICES.
1. VECTORES Y MATRICES
1.2. MATRICES OPERACIONES ELEMENTALES.
1.2.3. SUMA Y DIFERENCIA DE MATRICES. PRODUCTO DE UN
NMERO POR UNA MATRIZ. TRASPOSICIN DE MATRICES.
PROPIEDADES SIMPLIFICATIVAS: 1. Sean A, B, C matrices de orden nm . Si A+C=B+C entonces A=B. 2. Si A es una matriz de orden nm y k es un nmero real distinto de cero, entonces se verifica
que BABkAk . 3. Si A es una matriz no nula de orden nm y hk, dos nmeros reales, entonces se verifica
que hkAhAk . EJEMPLO:
dcba
dc
ba
dc
ba,,,
74
31
23
53
23
53
74
31.
EJEMPLOS.
1) Sean las matrices:
32
14
31
A ,
74
51
33
B ,
21
30
03
C
Calcula: a) BA b) CB c) CBA 523 d) tBA )( e) tt BA
2) Comprueba que si A y B son dos matrices simtricas de orden 2
cb
baA y
de
edB
entonces tBA )( es una matriz simtrica.
1. VECTORES Y MATRICES
1.2. MATRICES OPERACIONES ELEMENTALES.
1.2.3. SUMA Y DIFERENCIA DE MATRICES. PRODUCTO DE UN
NMERO POR UNA MATRIZ. TRASPOSICIN DE MATRICES.
EJERCICIOS
1) Sean
71
83
51
A ,
53
87
12
B y
23
68
10
C . Calcula:
a) tt CBA )53(
b) tttt CBA )3(
c) )26( CBA
d) CCBA )738(
e) tt BA
f) ttt CBA 523
2) Si
1322
1101
1253
3021
A y
4012
0321
1220
2101
B calcula )(2)32( BABA t
1. VECTORES Y MATRICES
A) PRODUCTO DE UNA MATRIZ FILA POR UNA MATRIZ COLUMNA
Sean las matrices )( 1 jaA de orden m1 (matriz fila) y )( 1ibB de orden 1m (matriz
columna). Definimos el producto
m
iii baBA
111, es decir,
1121121111
1
21
11
11211 ... mm
m
m bababa
b
b
b
aaaBA
EJEMPLO: 17143322
1
3
2
432
Efecta los siguientes productos de matrices fila por matrices columna:
A)
0
7
3
)723( B)
5
894 c)
5
2
3
7
3118
1.2. MATRICES OPERACIONES ELEMENTALES.
1.2.4. PRODUCTO Y POTENCIA DE MATRICES
1. VECTORES Y MATRICES
B) PRODUCTO DE MATRICES
Sean las matrices )( ijaA una matriz de orden nm y sea )( ijbB una matriz de orden pn . Se define el producto de las matrices A y B, a la matriz C de orden pm , en la que cada el elemento ijc de C se obtiene multiplicando la fila i-sima de A por la columna j-sima de B:
jiij bac .
Por ejemplo, si
21
23
21
A y
10
32B , la matriz BAC ser de orden 23 , y sus
elementos se obtienen de la siguiente forma:
20
2211111
bac ; 1
1
3212112
bac ;
60
2231221
bac ; 7
1
3232222
bac ;
20
2211331
bac ; 5
1
3212332
bac .
La matriz C ser:
52
76
12
C .
1.2. MATRICES OPERACIONES ELEMENTALES.
1.2.4. PRODUCTO Y POTENCIA DE MATRICES
1. VECTORES Y MATRICES
c)PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE MATRICES. 1) Propiedad asociativa. Dadas tres matrices multiplicables, es decir A de orden nm , B de orden rn y C de orden sr , se verifica que )()( BCACAB . 2) Si A es una matriz cuadrada de orden n, e nI la matriz identidad de orden n, entonces se verifica que:
AAIIA nn . 3) No se verifica la propiedad conmutativa. Sean A una matriz de orden nm y B una matriz de orden mn . Aunque existan los productos BA y AB en general ABBA . 4) Propiedad distributiva respecto de la suma de matrices. - Sea A una matriz de orden nm y dos matrices B y C de orden rn . Se verifica: ACABCBA )( . - Sean A y B dos matrices de orden nm y C una matriz de orden rn . Se verifica: BCACCBA )( . 5) No se verifica la propiedad cancelativa: Si CABA , entonces no podemos asegurar que .CB
Por ejemplo, ,1141
62
31
144
72
20
12
62
31
y sin embargo
11
41
20
12.
6) Si 0BA (siendo 0 la matriz nula del orden correspondiente) entonces A y B no tienen por qu ser
necesariamente matrices nulas. Por ejemplo
00
00
24
12
24
12.
1.2. MATRICES OPERACIONES ELEMENTALES.
1.2.4. PRODUCTO Y POTENCIA DE MATRICES
EJEMPLO:
Calcula, si es posible: BCACCBABCABA ,,,,, siendo
41
21
02
A
,
510
201
632
B
,
321
105C
EJERCICIOS: Libro:
Problemas y cuestiones de lgebra lineal P. OrtegaPg. 120, ejercicio 20
1. VECTORES Y MATRICES
D) POTENCIA DE MATRICES
Sea A una matriz cuadrada de orden n. Se define la potencia n-sima de A como el resultado de
multiplicar A por s misma n veces: nA AAvecesn
. EJEMPLO:
Sea
10
21A , calcula las siguientes potencias de la matriz A:
432 ,, AAA .
Podras deducir el valor de nA ?
1.2. MATRICES OPERACIONES ELEMENTALES.
1.2.4. PRODUCTO Y POTENCIA DE MATRICES
EJEMPLO
Sean las matrices:
373
801,
16
51
32
BA comprueba que BAAB
1. VECTORES Y MATRICES
1.2. MATRICES OPERACIONES ELEMENTALES.
1.2.5. RANGO DE UNA MATRIZ
Se define el rango de una matriz A de orden nm como el nmero mximo de filas o de columnas linealmente independientes que tiene la matriz. Se suele denotar por rg(A). Se verifica que },{)( nmmnArg .
EJEMPLO: Calcular el rango de:
30
12A ,
2971
3801B ,
7032
3012
1031
C
Mtodo de Gauss para la obtencin del rango de una matriz. Para hallar el rango de una matriz A de orden nm , aplicamos el mtodo de Gauss para obtener una matriz escalonada, es decir, una matriz cuyos elementos por debajo de la diagonal principal sean nulos. El rango de la matriz A ser el nmero de filas no nulas que contenga la matriz escalonada final.
El Mtodo de Gauss permite realizar tres tipos de transformaciones elementales entre las filas (o columnas) de una matriz: 1) Intercambiar dos filas entre s, situando la fila i-sima en el lugar de la fila j-sima y viceversa, es decir, ji FF 2) Sustituir una fila iF por el resultado de multiplicarla por un nmero no nulo, es decir,
ii FkF , 0k . 3) Sustituir una fila por una combinacin lineal de esta con otra u otras filas, es decir,
jii FnFmF EJEMPLO (con la matriz C anterior)
OBSERVACIN
El rango de una matriz A coincide con el rango de su traspuesta: )()( tArgArg .
1. VECTORES Y MATRICES
1.2. MATRICES OPERACIONES ELEMENTALES.
1.2.5. RANGO DE UNA MATRIZ. EJERCICIOS
1) Calcula el rango de las siguientes matrices:
152
430
012
A
53
43B
131225
6402
5021
C ,
2011
10122
2215
0126
D
100
682
091
F
1200
2301
1024
G
2) Determinar el valor que han de tener los parmetros a y b para que las siguientes matrices tengan rango mximo:
a
A
71
1012
1013
,
baB
102
3512,
7
13
33
a
C .
EJERCICIOS: Libro
Problemas y cuestiones de lgebra lineal, P. OrtegaPg. 115, ejercicio 16
1. VECTORES Y MATRICES
A) CONCEPTO DE MATRIZ INVERSA Sea A una matriz cuadrada de orden n. Diremos que la matriz B de orden n es la inversa de A, y lo denotaremos por 1 AB , si se verifica que nIABBA , donde nI es la matriz identidad de orden n.
EJEMPLO
Dadas las matrices
12
13A y
32
11B comprueba que B es la inversa de A
1.2. MATRICES OPERACIONES ELEMENTALES.
1.2.6. INVERSA DE UNA MATRIZ
B) CONDICIN DE INVERTIBILIDAD
Una matriz cuadrada A de orden n tiene inversa si y slo si rg(A)=n. Las matrices que tienen inversa se llaman matrices regulares o no singulares y las matrices que no tienen inversa se llaman singulares.
EJEMPLO:
Calcula, si existe, la inversa de las siguientes matrices:
21
31A ,
01
10B ,
12
11C ,
30
02D ,
42
21E
1. VECTORES Y MATRICES
c) Mtodo de Gauss para el clculo de la inversa. Para el clculo de la inversa de una matriz A no singular de orden n, consideramos una matriz que consta de dos bloques: un primer bloque que contiene los elementos de la
matriz A, y un segundo bloque que contiene la matriz identidad nI de orden n :
nIA | . El mtodo de Gauss consiste en realizar transformaciones admisibles con las filas de esta matriz para conseguir que la submatriz de la izquierda se convierta en la matriz identidad de orden n. En la submatriz de la derecha obtendremos la matriz inversa:
1|......| AIIA nn . Recuerda que las transformaciones admisibles son: - Intercambiar dos filas. - Multiplicar una fila por un nmero distinto de cero. - Sumar a una fila la combinacin lineal de otras filas.
1.2. MATRICES OPERACIONES ELEMENTALES.
1.2.6. INVERSA DE UNA MATRIZ.
1. VECTORES Y MATRICES
c) Mtodo de Gauss para el clculo de la inversa. EJEMPLO:
51
323
21
32
13
313
101
100
500
210
101
3010
101
001
130
210
111
101
010
001
210
130
111
100
010
001
101
130
111
FFF
FF
FF
FF
53
51
53
51
52
51
52
51
53
32
31
53
51
53 100
010
001
2101
100
100
210
101
FF
FF
,
53
51
53
51
52
51
52
51
53
1B.
1.2. MATRICES OPERACIONES ELEMENTALES.
1.2.6. INVERSA DE UNA MATRIZ.
1. VECTORES Y MATRICES
1.2. MATRICES OPERACIONES ELEMENTALES.
1.2.6. INVERSA DE UNA MATRIZ.
EJEMPLO:
Calcula, si existe, la inversa de las siguientes matrices:
21
31A ,
01
10B ,
12
11C
EJERCICIOS
1) Comprueba que
21
32 es la matriz inversa de
21
32 .
2) Determina el valor que ha de tener x para que las siguientes matrices tengan inversa:
12
1 xA ,
xB
1
03,
12
xxC ,
5
62
xD .
3) Comprueba que si A es una matriz que verifica IAA t entonces tiene inversa y 1 AAt .
Las matrices que verifican estas propiedades se llaman matrices ortogonales.
EJERCICIOS: Libro,
Problemas y cuestiones de lgebra lineal, P. OrtegaPgs: 126,-131,132-134
Ejercicios 26,27,28,30,33