Matriks dan TransformasiLinierS1 Sistem KomputerMusayyanah,S.ST., MT
1
2
Kita adalah apa yang kita kerjakan berulang-ulang. Karena itu, keunggulan bukanlahsuatu perbuatan, melainkan sebuah kebiasaan. Aristoteles
List of Content
Menentukan nilai determinan matrik ordo 2x2
Menentukan nilai determinan matrik ordo 3x3 dengan
aturan Sarrus
Menentukan nilai determinan matrik ordo nxn
Dengan matriks kofaktor
Dengan Transformasi Baris Elementer
3
Pengertian Determinan
βͺ Determinan : setiap matriks persegi yang memilikielemen-elemen bilangan real, terdapat satu nilaiyang berhubungan dengan matriks tersebut. Satunilai real ini disebut determinan.
βͺ Simbol determinan dari A π΄ atau det(A)
βͺ Contoh : π©2π₯2 =π11 π12π21 π22
βͺ det(B) = π© = π11π22 - π12π21
4
Aturan SarrusDeterminan Matriks 3x3
πΆ3π₯3 =
πππ πππ ππππππ πππ ππππππ πππ πππ
πππππππππ
πππππππππ
πΆ3π₯3 =
π11 π12 π13π21 π22 π23π31 π32 π33
Det(πΆ) = πΆ
πππππππππ+πππππππππ+πππππππππ- πππππππππ-πππππππππ-πππππππππ
5
Sifat-Sifat Determinant
1. Jika matriks A mengandung satu baris/kolom yang semuaelemenya nol
Ex :
βͺ πͺ =0 β1 30 2 40 β3 6
, maka det(πΆ) = 0
βͺ π« =1 β1 30 0 08 β3 6
, maka det(π·) = 0
6
det(A) = π
2. Jika A adalah matriks bujur sangkar, maka
Contoh :
7
π¨ =2 3 40 1 44 β1 β7
, ππππ det π΄ = 26
det(A) = det(π¨π»)
π¨π» =2 0 43 1 β14 4 β7
,ππππ det π¨π» = 26
βͺ Jika setiap elemen dari suatu baris atau kolom padadeterminan dari matrisk A dikalikan dengan suatu scalar k,maka k bisa dikeluarkan dari tanda determinan
βͺ Contoh :
8
Det(kA) = k.det(A)
π΄ =2 3 40 1 44 β1 β7
, maka det(A) = 26
π =2 3 40.3 1.3 4.34 β1 β7
= 2 3 40 3 124 β1 β7
, maka det(A) = 78
Det(X) = 3.det(A) = 3.26 = 78
βͺ Jika matriks B diperoleh dari matriks A dengan caramempertukar dua baris atau dua kolom, maka :
9
det (B) = -det(A)
π΄ =2 3 60 1 64 β1 6
, maka det(A) =72
π΅ =4 β1 60 1 62 3 6
, maka det(B) =-72
βͺ Jika dua bris atau kolom matriks A identik, maka
βͺ Ex
10
det(A) = π
π΄ =5 3 109 8 184 β1 8
, det π΄ = 0
Baris ke 1 = 2baris ke 3
βͺ Jika A dan B dua matriks bujur sangkar yang mempunyai ukuran sama, maka :
11
det (AB) = det(A) det(B)
π΄ =1 7 102 8 94 β3 6
, maka det(A) =-137
π΅ =2 4 910 3 61 2 8
, maka det(B) =-119
π΄. π΅ =82 45 13193 50 138β16 19 66
= det(AB) = 16303
det(A)det(B) = (-137)(-119) = 16303
Menentukan Determinan denganMetode Kofaktor
βͺ Definisi Metode Kofaktor
Jika A adalah suatu matriks bujur sangkar, maka minoranggota πππ dinyatakan oleh πππ dan didefinisikan sebagaideterminan sub-matrik yang masih tersisa setelah baris ke-idan kolom ke-j dihilangkan dari A. Bilangan (β1)π+ππππdinyatakan oleh πΆππ dan disebut π€π¨πππ€ππ¨π« ππ§π π π¨ππ πππ .
12
π΄3π₯3 =3 1 β42 5 61 4 8
Minor anggota π11 adalah
π11 =3 1 β42 5 61 4 8
=5 64 8
= 16
ππππππ‘ππ π11 = πΆ11 = (β1)1+1 π11 = 16
13
βͺ Cara cepat untuk menghubungkan kofaktor (πΆ11) dan minor (π11) β βpapan periksaβ
βͺ+ β +β + β+ β +
β β¦ .+ β¦β β¦ . .
βͺ Misalnya πΆ11 = π11, πΆ21 = -π21, πΆ12 = -π12, πΆ22 = π22 dansebagainya
Determinan dari suatu matriks = jumlah perkalian elemen-elemendari sebarang baris atau kolom dengan kofaktor β kofaktornya
π = π=1π πππ πππ = π11π11 + π12π12+ β¦. + ππππππ
Menentukan determinan matriks nxn denganTBE (Transformasi Baris Elementary)
βͺ Menukarkan dua baris
Notas : πππ --(menukarkan baris ke βi dengan baris ke -j).
Mengalikan suatu barus dengan scalar k, kβ 0
Notasi = k.ππ -- (mengalikan setiap elemen dari baris ke- i, dengan skalar k, kβ 0 ).
βͺ Menambahkan baris ke-i dengan k kali baris ke-j (kβ 0)
Notasi = πππ (k)
Arti : ππ+ k.ππ (Perubahan terjadi pada ππ)
14
15
βͺ Dengan Menggunakan TBE, ubahlah matriks yang ada, menjadi matriks Segitiga Atas/Segitiga Bawah
βͺ Harga determinanya adalah perkalian antarelemen-elemen pada diagonal utamanya
Contoh Soal
Tentukan determinant matris B dengan metode TBE
π¨πππ =π π πβπ π ππ βπ π
16
Latihan Soal
βͺ Tentukan nilai determinan berikut dengan caraSarrus, kofaktor dan TBE
βͺ Untuk NIM GASAL
β5 6β7 β2
βͺ Untuk NIM GENAP
17
β2 1 43 5 β71 6 2
β1 7β8 3
8 2 β1β3 4 β61 7 2
18