||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
1
APUNTES DE MECANICA DE FLUIDOS I
JOSE CUAUHTEMOC RUBIO ARANA [email protected]
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA, ELÉCTRICA Y
ELECTRÓNICA
Salamanca, Gto., enero 19 del 2006.
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
2
UNIVERSIDAD DE GUANAJUATO FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA, ELECTRICA Y ELECTRONICA
PROGRAMA DE: IMI.12.09 MECANICA DE FLUIDOS I TRIMESTRE DE INVIERNO DEL 2006 PROFESOR: M. en I. J. CUAUHTEMOC RUBIO ARANA BIBLIOGRAFIA: - J.R. Welty, C. E. Wicks Y R. E. Wilson, “Transferencia de Calor Momento y Masa”, Edit. LIMUSA S.
A. DE C. V. , 1984 * - F.M. WHITE, “Mecanica de Fluidos”, 4a. EDICION, Edit. John Wiley & Sons. - R. L. Mott, “Aplied Fluid Mechanics”, 4th Edition, Prentice Hall, 1994. - CRANE, “Flujo de Fluidos”, Mc Graw Hill, 1985.
FECHA ENERO 13 16 18 20 23 25 27 30 FEBRERO 01 03 06 08 10 13 15 17 20 22 24 27 MARZO 01 03 06 08 10 13 15 17 24
HORAS 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5
CAPITULO 1.1-1.4, 2.1,2.2 2.3,2.4, PROBLEMAS PROBLEMAS 3.1-3.5, 4.1,4.2,4.3, PROBLEMASPROBLEMAS 5.1,5.2, PROBLEMAS 5.3, 5.4,5.5, PROBLEMAS PROBLEMAS 6.1,6.2, PROBLEMAS PROBLEMAS PROBLEMAS EXAMEN I 7.1-7.5, PROBLEMAS PROBLEMAS 8.1-8.3, PROBLEMAS 9.1-9.3, PROBLEMAS PROBLEMAS 11.1-11.4 PROBLEMAS 14.1-14.2 14.3, PROBLEMAS 14.4, PROBLEMAS 14.5, PROBLEMAS PROBLEMAS PROBLEMAS PROBLEMAS PROBLEMAS EXAMEN II
TAREAS TAREA 1 TAREA 2 TAREA 3 TAREA 4 TAREA5 TAREA 6 TAREA 7 TAREA 8 TAREA 9 TAREA 10 TAREA 11 TAREA 12 TAREA 13 TAREA 14 TAREA 15
*texto Forma de evaluación: La calificación final será el promedio de las calificaciones de los dos exámenes mas un punto por tareas y participación o actividad relacionada con la clase.
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
3
INDICE
CAPITULO PAG.
1 CONCEPTOS Y DEFINICIONES
4
2 ESTATICA DE FLUIDOS
15
3 DESCRIPCION DE UN FLUIDO EN MOVIMIENTO
33
4 LEY DE LA CONSERVACION DE LA MASA
34
5 SEGUNDA LEY DE NEWTON
48
6 LEY DE LA CONSERVACION DE LA ENERGIA
64
7 ESFUERZO CORTANTE EN FLUJO LAMINAR
82
8 ANALISIS DE UN ELEMENTO DIFERENCIAL DEL FLUIDO EN FLUJO LAMINAR
89
9 ECUACIONES DIFERENCIALES DE FLUJO DE FLUIDOS
101
11 ANALISIS DIMENSIONAL
116
14 FLUJO EN CONDUCTOS CERRADOS
125
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
4
MECÁNICA DE FLUIDOS I
1 CONCEPTOS Y DEFINICIONES
La transferencia de momento de un fluido es el estudio del movimiento de los fluidos, así como las fuerzas que se originaron. Ley de conservación de masa Ecuación de continuidad Segunda ley de Newton Ecuación de momento Primera ley de la termodinámica Ecuación de la energía Fluido Continuo.- Sustancia que se deforma que se deforma continuamente en la acción de un esfuerzo cortante.
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
5
Continuo.-En ingeniería la mayor parte del trabajo se relaciona con el comportamiento por lotes por lo que en gran parte de problemas es mejor imaginar un fluido como una distribución continua de materia. Propiedades de un fluido: Cuando un fluido está en movimiento las cantidades que se asocian con el estado y el movimiento del fluido varían de un punto a otro. Variables del fluido en un punto: Densidad
)1.1(lim >−−−−−∆∆
=→∆ V
mdVV
ρ
Donde: ∆m Masa contenida en un volumen ∆V Volumen dV Volumen mínimo
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
6
Propiedades del fluido y del flujo. Algunos fluidos (como los líquidos) presentan densidades que permanecen constantes con la presión y temperatura y se conocen como INCOMPRESIBLES Más los efectos de la compresibilidad son una propiedad de la situación mas allá del fluido mismo, como por ejemplo el aire a bajas velocidades se describe con las mismas ecuaciones que describen el flujo de agua. Desde un punto de vista externo el aire es un flujo compresible y el agua es incompresible. En lugar de considerarlos de acuerdo con el fluido, los efectos de compresibilidad de se consideran propiedad de flujo. Esfuerzo en un punto.
)2.1(lim −−−−=∆∆
→∆ii
dAA AFn σ
)3.1(lim −−−−=∆∆
→∆ij
dAA AFs τ
Donde: iiσ Esfuerzo normal ijτ Esfuerzo cortante dA Área más pequeña Las fuerzas ejercidas en un fluido son: 1.- Fuerzas que actúan sobre el cuerpo. (Gravedad, fuerzas eléctricas) 2.- Fuerzas superficiales. (Presión, fricción) Presión en un punto de un fluido. Para determinar el esfuerzo normal en un punto a partir de la aplicación de las leyes de Newton, a un elemento del fluido se hace que este tienta a ya que el elemento está en reposo el z=0 y las únicas fuerzas superficiales serán las debidas a esfuerzos normales y gravedad.
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
7
PESO DEL ELEMENTO DEL FLUIDO…..W
[ ] NmmNVW =>⎥⎦⎤
⎢⎣⎡= 3
3δ
323 m
Nsm
mKgg =>⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡= ρδ
gVW ρ21
=
( ) )4(2
−−−−−−∆∆∆
=zyxgW ρ
PARA UN FLUIDO EN REPOSO:
)5(0 −−−−−=ΣF En eje x: )6(0 −−−−−−=⋅∆−∆ θSenFsFx
)7(0 −−−−−−−−=∆∆
∆−∆syFsFx
Dividiendo 7 entre ∆y ∆z y tomando como limites ∆V 0
0lim =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∆∆⋅
∆∆∆
−∆∆
∆
→∆ sy
zyFs
zyFx
oV
)8(0lim −−−−−−−−−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∆∆
∆−
∆∆∆
→∆ szFs
zyFx
oV
0=− ssxx σσ )9(−−−−−−−−−−−−−= ssxx σσ
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
8
En el eje y:
0=ΣF ( ) )10(0
2−−−−−−=
∆∆∆−⋅∆−∆
zyxgCosFsFy ρθ
( ) )11(0
2−−−−−−=
∆∆∆−
∆∆⋅∆−∆
zyxgsxFsFy ρ
Dividiendo entre ∆x∆z y sacando limites cuando ∆V 0
( ) 02lim =⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
∆∆∆∆∆
−∆∆⋅
∆∆∆
−∆∆
∆
→∆ zxzyxg
sx
zxFs
zxFy
oV
ρ
( ) 02lim =⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ ∆
−⋅∆∆
∆−
∆∆∆
→∆
ygzs
Fszx
FyoV
ρ
0)0(2
=++−g
ssyyρσσ
ssyy σσ = -----------------------(12) Por lo tantoθ no se aparece en las ecuaciones (9) y (12) ya que el esfuerzo normal σ en un punto de un fluido estático no depende de la dirección y por tanto es: UN ESCALAR
( ) )13(31
−−−−−−−++−= zzyyxxP σσσ
VARIACIÓN PUNTO A PUNTO DE LAS PROPIEDADES DE UN FLUIDO
De acuerdo al principio de continuidad para la transferencia d momento, se UTILIZARAN CAMPOS DE presión, temperatura, velocidad, densidad y esfuerzo. Como ya se vio se ha introducido el campo de gravedad, siendo la gravedad un campo vectorial.
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
9
El cambio de presión entre dos puntos cuales quiera dentro de una región se da por: dP Separadas por las distancias dx, dy, y se representan por:
)14(−−−−−−−−−−∂∂
+∂∂
= dyy
dxx
dP ρρ
En la ecuación anterior las D.P. representan la forma de que la presión cambia a lo largo de los ejes X y Y. Cuando se tiene una trayectoria S en un punto x, y la derivada total es:
)15(−−−−−−−−−−∂∂
+∂∂
=dsdy
ydsdx
xdsdP ρρ
De la figura adyacente:
dsdySen
dsdxCos == αα ,
Sustituyendo en 15 los resultados anteriores:
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
10
)16(cos −−−−−−−−−∂∂
+∂
= αραρ senydxds
dP
Hay infinidad de trayectorias en el plano X Y, más existen dos trayectorias muy importantes, a saber:
a) 0=dsdP
b) dsdP MAXIMA
Para el caso,
a) 0=dsdP
αραρ senydx ∂
∂+
∂= cos0
αραρ senydx ∂
∂=
∂− cos ;
yPxP
sen
∂∂∂∂
−=αα
cos
αtg
yPxP
dxdy
dsdP =
∂∂∂∂
−==0
; dxdy
=α
)17(0
−−−−−−−−−−==
αtgdxdy
dsdP
P= Constante y dicha trayectoria se le conoce como ISOLINEA
b) dsdP MAXIMA
Para encontrar la dirección donde P es máxima se tiene:
0=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
dsdP
ddα
0coscos =∂∂
+∂∂
−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
+∂∂
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
yP
xpsensen
yp
xP
dd
dsdP
dd αααα
αα
Ahora:
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
11
)18(max
−−−−−−−−−
∂∂∂∂
=⋅
xPyP
tges
dsdpα
22maxcos
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
∂∂
=⋅
yP
xP
xP
esdsdpα
22max
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
∂∂
=⋅
yP
xP
yP
senes
dsdpα
Sustituyendo cosα y senα en la ecuación 16:
22
22
2222
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
∂∂
∂∂
+
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
∂∂
∂∂
=
yP
xP
yP
xP
yP
xP
yP
yp
yP
xP
xP
xP
dsdP
Factorizando:
22
22
22
22
22
baba
ba
ba
ba+=
+
+⋅
+
+
Por lo tanto:
)'18(22
−−−−−−−−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
=yP
xP
dsdP
MAX
Las ecuaciones (18) y (18’) indican que la máxima derivada direccional es un vector de la forma:
yx eyPe
xP
∂∂
+∂∂
Donde: yx ee , Son vectores unitarios La derivada direccional a lo largo de la trayectoria de máximo valor se aplicara mucho en análisis de procesos de transferencia y se conoce como
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
12
GRADIANTE→∇
→∇P )19(−−−−−−−−−−−−−∂∂
+∂∂
+∂∂
zyx ezPe
yPe
xP
Donde: P=P(x,y,z)
zyx ez
ey
ex ∂
∂+
∂∂
+∂∂
=∇
SISTEMA DE UNIDADES.
-Internacional Kg., m, seg., N -Ingles lb., ft, s, lbf Slug, ft, s, lbf PROBLEMAS Problema 1.2.- Encontrar el gradiante de presión en el punto (a,b) cuando el campo de presión está dado por:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ += ∞∞ a
xbysen
axsenvP 22ρ
Donde: bav ,,, ∞∞ρ son constantes
zyx Pez
Pey
Pex
P∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅+=∇ ∞∞ yx eo
bby
axsene
aaax
bysen
axsenvP 1cos21cos)0(2ρ
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=∇ ∞∞ yx e
by
axsen
be
ax
bysen
avP cos12cos12ρ
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=∇ ∞∞ yxba e
bb
aasen
be
aa
bbsen
avP cos12cos12
),( ρ
( ) ( ) ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ++= ∞∞ yx esen
besen
av 1cos1121cos112ρ
De la relación trigonometrica:
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
13
Sen2x=2senxcosx; senxcosx=22xsen
Sustituyendo:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=∇ ∞∞ yxba esen
besen
avP
2212
2212
, ρ
1.6.- Demuestre que los vectores unitarios er y eθ en un sistema de coordenadas cilíndricas con los vectores unitarios ex y ey por medio de:
θθ seneee yxr += cos
θθθ seneee yx +−= cos
Cosθ=
yyrxxrr eeeee +=
yxr esenee θθ += cos
yx
yxlllll θθθ +=
yxsen lll θθθ cos+−= Por lo tanto:
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
14
ysenxr lll θθ += cos
1.12.-Si el fluido del problema 1.10, cuya densidad es 1ρ obedece a la ley de los gases perfectos. Obtener la ecuación de estado de la mezcla, es decir;
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= xm
MRTsf ,, ρρρ ¿Es valido este resultado si se encuentra presente un líquido
en lugar de un sólido?
( )xsxsm
−+=
1ρρρρρ
Para un gas perfecto:
yx eesene θθθ cos+−=
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
15
Sistema no inercial. ΣF = ma
( )
( )
( )
( )( )
( ) ( )( )
( )
( )X
sm
Xm
Xsms
Xsm
mXsXsm
XsmsmXXsmsmX
sXsmXm
sXsmmX
Xsx
sm
Xsxsm
MRTpRTpv
ρρ
ρρ
ρρρ
ρρρ
ρρρρρ
ρρρρρρρρρρρ
ρρρρρρ
ρρρρρ
ρρρρ
ρρρρρ
ρ
−
−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−=
−−
=
−=+−−−=−
=−+
=−+
−+=
−+=
==
1
1
1
1
11
11
1
1
1
;
Sustituyendo @ ρ por ( )
MRT
Xsm
Xm
ρρ
ρρ−
−=
1
1
Si, si el fluido es incompresible
2 ESTATICA DE FLUIDOS
Aquí se analizara la variación de la presión∑ de un punto a otro de un fluido en reposo.
Tierra
Sistema inercial de referencia. ΣF = 0
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
16
y
x
z
P1 P2
P3
P4 P5
P6
Fig. 2.1 Fuerzas de presión sobre Un elemento estático de
fluido
∆X ∆Y
∆Z
2.1.- VARIACION DE LA PRESION DE UN FLUIDO ESTATICO.
( ) ( )( ) 0
0
=∆∆−+∆∆∆−
∆∆−+∆∆−
=∑
∆+
∆+∆+
zZZZy
yYYYxXXX
YeXPPZeYXg
ZeXPPZeYPPF
ρ
Dividiendo por el V.C.
0=∆
−+
−∆
−+
∆
−
∆+
∆+∆+
zZZZ
zyYYY
xXXX
eZPP
geeYPP
eXPP
ρ
Sacando límites cuando 0,, →∆∆∆ ZYX . El V.C 0→
)22(
:
→=∇
∂∂
+∂∂
+∂∂
=
gP
ezpe
ypxe
xpg zyx
ρ
ρ
La ecuación 22 es la ecuación básica de la estática de fluidos
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
17
A
B C
D
d2
d1
Pat. g
Fluido manométrico
. . . . . . . ..
. . . . . . . ..
.
. . . . . . . .
. .
. . . . . . . .
.
. . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
.. .. ..
. . . . .
. . . . . . .
Ejemplo: *Determinar la presión en A
gP ρ−=∇ *Integrando entre C y D.
gdydP
gdyd
zPz
yPy
xPx
P
ρ
ρ
−=
−=
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇ lll
*Integrando de C @ D
( ))1(→−=−
−−=−
−=∫ ∫
gdzPcPatCDgPcPat
dygdP
m
Pat
Pc
D
Cm
ρρ
ρ
*Integrando de B @ A
( )
CB
TBA
TBA
TBA
P
P
A
B
PPgdPP
gdPPBAgPP
dygdPA
B
=→−=→−=−−−=−
−=∫ ∫
)3()2(
1
1
ρρρ
ρ
De 1:
gdzPatP mC ρ+= Sustituir el valor de Pc en 3:
( )12
12
ddgPatPgdgdPatP
TmA
rmA
ρρρρ−=−−+=
Otra forma de cálculo:
( )( )
( )21
21
ddgPatPgdgdPP
PPyygPPyygPP
mTA
mTDA
BC
DBmDC
BATBA
ρρρρ
ρρ
+−=−−−=−
=−−=−−−=−
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
18
Ejemplo 2.3 (WHITE). Encontrar la presión PA, si la Pa=2116 lbf/ft2, zA=7 plg, z1=4 plg, z2= 13 plg, el fluido 1 es agua y6 el 2 es mercurio. ¿Cual seria el valor de z2, si con la misma PA, se sustituyera el mercurio por la glicerina? PA=? Pa=2116 lbf/ft2 Za= 7 plg=0.5830’ Z1= 4 plg=o.333’ Z2= 13plg=1.083’
)()()()(
/9.2734
)25.0(4.62)75.0(8462116)()(
)()()(
(;
(;
/9.2734
846)25.0(4.622116
)()()()(
)()(
111222
122112
2
111222
111222
12221
22122
111
2
32
212112
212112
2121
111
22
2
1
2
1
1 1
2
ZZgZZgPPZZgZZgPP
ftlbfP
PZZgZZPP
ZZgZZgPPZZgPP
ZgPPdygdp
ZgPPdygdp
ftlbfPflb
ftftlbf
ftlbf
P
ZZZZPPZZgZZgPP
ZZgPPZZgPP
z
AA
AA
A
A
AA
AA
P
P
Z
Z
P
P
Z
Z AA
A
A
AA
AA
L
AA
glicerinaPCalculadoP
A A
A
−−−+=−+−−=−
=
−+=−−−+=
−−−+=−+=
−−=−−=
−=−−=
=
−−=
−−−−=−−−−=−
−−=−−−=−
∫ ∫
∫ ∫
=
===
ρρρρ
ργ
ρρρ
ρρ
ρρ
γγρρ
ρρ
ρ
Hg
Agua
ZA, PA
Z1, P1 P1, Z1
Z2, P2
P2
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
19
2.2.-ACELERACION RECTILINEA UNIFORME Cuando el sistema de coordenadas x, y, z del volumen de control de loa fig. 2.1 no sea inercial, la ecuación (1), no es valida. Para el caso de aceleración rectilínea uniforme, el fluido estaría en reposo con respecto al sistema de coordenadas acelerado. Si hay una aceleración constante, se aplicara el mismo análisis que el caso del sistema inercial de coordenadas, a excepción que:
y )2()( →−=∆∆∆∆==Σ
agPzyxamaF
ρρ
Obteniéndose la máxima rapidez de cambio de la presión en la dirección (g-a) y las líneas de presión constante son perpendiculares a (g-a). Por ejemplo: Calcular la PB cuando el tanque se somete a una aceleración constante a
dagPP
dagPP
dagPP
dyagdp
eagedydpP
gP
aB
Ba
Ba
dP
P
yx
a
B
22
22
22
0
++=
+=+−
+−=−
−−=
−−==∇
−=∇
∫
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
a
Ventila
Bomba combustible
B
g
X
y
d
g g - a
B
Pa
90°
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
20
2.3.-FUERZAS SOBRE SUPERFICIES SUMERGIDAS
La estática de fluidos calcula las fuerzas que actúan sobre las superficies sumergidas: dichas fuerzas se deben a la presión, por lo que se hará uso de las relaciones que describan la variación de la presión de un punto a otro, vistas antes. De la figura: A= Área del plano inclinado ρ = Densidad del fluido La fuerza en el elemento de área dA es:
αραρ
ρ
gnsenPnsengP
gyPdAPdF
G
G
G
G
=−−=
−==
)(
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
21
Sustituyendo PG en (3) dAgnsendF αρ=
Integrando sobre la superficie de la placa
∫ ∫= ndAgsendF αρ Por definición el centroide de área es:
)4(
1
→=
∴= ∫AngsenF
ndAA
nA
αρ
P(X, Y) = Centroide del área Si y solo si es homogénea la placa.
∫
∫∫
∫
=
=
=
=
YdAA
Y
YdAY
XdAA
X
XdAX
A
A
1
1
Por lo que: La fuerza debida a la presión es igual a la presión evaluada en el centroide del área sumergida multiplicada por el área sumergida. El punto en que actúa esta fuerza se conoce como centro de presión c. p. (No es el centroide del área). Para determinar el c. p. se deberá localizar un punto en el que esta concentrada la fuerza total ejercida sobre la placa para producir el mismo momento que la presión distribuida, es decir,
∫∫
∫
=
=
=
Apc
Apc
A
Cpc
dAgsennFn
dAgnsennFn
dFdAP
nFn
αρ
αρ2
.
.
.
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
22
Sustituyendo F
AnnIaa
IaaAn
n
dAnAn
n
dAngsenAnngsen
pc
pc
Apc
Apc
.
.
2.
2.
)5(1
1
=
→=
=
=
∫
∫αραρ
Momento de Área ∫= A
dAnIaa 2
El momento del área cerca de la superficie se puede trasladar de un eje a-a que este en la superficie del fluido a un eje b-b que pase por el centroide por medio de: )6(2 →+= AnIbbIaa De (5) AnnIaa pc.= Sustituyendo en (6)
)7(.
.
2
.
2.
→=−
+=
+=
+=
AnIbbnn
nAn
Ibbn
AnAn
AnIbbn
AnIbbAnn
pc
pc
pc
pc
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
23
FUERZAS SOBRE SUPERFICIES SUMERGIDAS Del diagrama de cuerpo libre:
)9(0`
)8(0`
→=−−=Σ
→=−=Σ
ACABCVZ
HBCX
FWFF
FFF
En donde
)11(`)10(`→+=
→=
ABCACV
BCH
WFFFF
De la incapacidad de cuerpo libre del Fluido para soportar esfuerzos de corte Se concluye que: HF` Debe ser colineal con BCF Y VF` Debe ser colineal con la resultante de ACABC FW , Para calcular ACF y BCF se emplean los métodos p/una superficie plana sumergida y planar ABCW es el peso del fluido y actúa sobre su c. de g.
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
24
Manómetro con sistema impractico pero complicado, sin embargo es una aplicación muy buena e ilustrativa. Calcular PA-PB
KPaPP
mNPP
PPPP
ZZZZZZZZPP
ZZgPPZZgPPZZgPPZZgPP
mN
mN
mZmZmZmZ
mZ
BA
BA
BA
BA
BaBA
BB
L
aA
AM
881.284
/284881
119520117481859208811)8.19.0(132800)9.01.2(9790)1.27.0(132800)7.06.1(9790
)()()()(
)()()()(
/132800
/9790
8.19.01.27.0
6.1
2
3432321211
343
32332
2121
111
342
331
4
3
2
1
=−
=−
+−+−=−−−−−−−−−=−
−−−−−−−−=−
−−=−−−=−−−=−−−=−
==
==
=====
γγγγ
ρρρρ
γγ
γγ
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
25
Prob. 2.3 (Welty).- En el agua el modulo β, definido en el problema 2.2 es casi constante y vale 300,000 psi. Determine al porcentaje de cambio de volumen en el agua debido a una presión de 2000 psi.
?2000
300000
==∆
=
=
psiPV
psi
dPdP
βρ
β
%66.0
00666.0
1066.6
3000002000
3
−=∆
−=∆
×−=∆
−=∆
−=∆
∴
−==
−
VV
VV
VV
psipsi
VV
dPVV
VdVdPdP
β
βρ
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
26
2.9.- (WELTY).- Se usa un manómetro diferencial para medir el cambio de presión ocasionado por una reducción de flujo en el sistema de tubos del sistema. ¿Cuál es la P∆ entre los puntos A y B en lbf/plg2?¿Cual sección tiene la presión mas alta?
[ ]
[ ]
2
23
2121
2211
3
33
22
2121
11
lg/601.4
lg)100(489.0)1210()010(
lg0361.0
)()()(
)()()(
lg489.0
lg0361.04.62
)(
)()(
plbfPP
plbf
plbfPP
ZZZZZZPP
ZZZZZZPP
plbf
plbf
ftlbf
ZZPP
ZZPPZZPP
BA
BA
HgBAWBA
BWHgAWBA
Hg
W
BWB
Hg
AWA
=−
−−−+−−=−
−−−+−−=−
−−−−−−=−
=
==
−−=−
−−=−−−=−
γγ
γγγ
γ
γ
γ
γγ
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
27
3.69.- En la figura 3.34 se muestra un manómetro que se utiliza para indicar la diferencia de presión entre dos puntos de un tubo. Calcule (PA-PB)
3
3
2
1
16.56
)4.62(98.0
4.62
'6'8'11
0
ftlbf
ftlbf
ZZZZ
ac
ac
W
B
A
=
=
=
====
γ
γ
γ
[ ] [ ][ ]
2
2
22
2121
22
2121
11
lg/73.2
lg1441lg/12.393
48.1686.561)8.11(16.56)68()'110(4.62
)()(
)()()(
plbfPP
pftplbfPP
PPPP
ZZZZZZPP
ZZgPPZZgPPZZgPP
BA
BA
BA
BA
ACBAWBA
BWB
AC
AWA
=−
=−
−=−−−+−−=−
−−−+−−=−
−−=−−−=−−−=−
γγ
ρρρ
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
28
3.71.- En la figura 3.36 se muestra un manómetro del tipo pozo inclinado en el que la distancia L indica el movimiento del fluido manométrico a medida que la presión PA se aplica por encima del pozo. El fluido manométrico tiene una gravedad especifica de 0.87 y L = 115mm. Despreciando la caída en el nivel del fluido en el pozo, calcule PA.
KPaPmNP
mmNP
hP
mmmhhSon
PmL
A
A
A
MA
A
M
2527.0/7.252
02970.0978087.0
02970.076.29;115
15
?115
87.056
3
==
∗∗=
−=
===
==
=
γ
o
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
29
FLOTACION
El cuerpo de la figura se sumerge en un fluido cuya densidad es ρ . La fuerza resultante F mantiene en equilibrio al cuerpo. Hay fuerzas debidas a la gravedad y a la presión que actúa en el cuerpo h dA. Componente en y de P2 :
)12(22 →− ydsCosP lα
El producto escalar de
)13(
)3(
2
2
2
→−
→=
ydAPCosds
dACosds
l
α
α
Sust. en (12)
La fuerza neta causada por la presión sobre el elemento es:
ydAPP l)( 21 − ∴La fuerza resultante ejercida Sobre el elemento h da es:
)5()(
)(
)14()(
21
21
→−=
−=
=−
→−−=
∫∫ygVF
ydAghghdF
ghPP
YghdAydAPPdF
B
B
B
l
l
ll
ρρ
ρρ
ρ
ρ
∴La ferza resultante se compone de: -El peso del cuerpo ygVB lρ -La fuerza boyante ygVlρ De ahí que: El cuerpo sufre una acción de una fuerza hacia arriba igual al peso el fluido desplazado (principio de Arquímides)
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
30
Cuando Bρ es menor que ρ el cuerpo flota. 2.23.(white).- El manómetro A indica 250kPa de presión absoluta a 20°C. ¿Cuál s la altura h del agua en cm. de agua?¿Que indicara el manómetro B en kPa de presión absoluta?
PA= 250kPa p=ρgh TA= 20°C p=γh h= cm H2O pB= ?
kPa
plbf
kPaplbfpAIRE 9.137
lg1
895.6lg
202
2 ==
PA= paire + pagua + pHg
PA = 137.9 + 9.79h + 132.7(0.8) 250= 244.14 + 9.79h
mh 598.079.9
14.244250=
−=
PB= paire + pagua PB= 137.9 + γ(20+h) PB= 137.9 + 9.7(1.398) PB= 137.9 + 13.5
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
31
PB= 151.5 kPa 2.101.(White).- La compuerta de la figura de 10m de ancho tiene forma parabólica y esta abisagrada en B. Calcular la fuerza necesaria F para mantenerla en equilibrio. Despreciar la presión atmosférica.
00 =−==Σ WFFy v VgAWWFv γρ ===
)10)(8)(5)(3/2(/9790 mNFv = MNFv 61.2=
gp ρ=< ghp ρ=
FH= pA; F=pghAproyectada FH= γHA= 9790(4)(80) FH= 3.132 MN
mmm
msenAhsenIy
proycg
XXpc 33.1
)80(4908)10(12/1
2
43
. =°
==θ
0)587.1()66.2()8( =−−=∑ VHB FFFM
MNF 655.18
)875.1(61.2)66.2(132.3=
+=
bax 3_
= ; 5
3hy =−
32ahA = ; H=am
5)8(3
=−
y= 4.8m
875.1=−
x 433 6.4266)8)(100(121
121 mbhI XX ===
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
32
2.104.(White).- El bote de la figura flota en la posición indicada. ¿ Cuál es su peso en Newton?
γa= 9790 N/m3 W= PESO DEL AGUA DESPLAZADA W= γa Ah
)08.0(9
)09.0(mN9790 3
π=w
W= 4.98 N
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
33
3 DESCRIPCION DE UN FLUIDO EN MOVIMIENTO
El desarrollo que describe analíticamente el movimiento de un fluido tiene como principio las leyes físicas relacionadas con el flujo de fluidos. De ahí que se expondrán leyes físicas necesarias y se mostraran los métodos utilizados para describir un fluido en movimiento. LEYES FISICAS FUNDAMENTALES. Ley Ecuación 1.- Conservación de la masa Continuidad 2.- Segunda ley de newton del movimiento
Teorema del momento
1.-Primera ley de la termodinámica Ecuación de la energía También se utilizaran relaciones auxiliares como la de los gases ideales, leyes de Hooke etc. CAMPOS DE FLUJO DE FLUIDOS. Campo es una cantidad definida como función tanto como de la posición como del tiempo en una región dada REPRESENTACIÓN DE CAMPOS. Lagrangiano.- Describe las variables físicas para un elemento particular de dicho fluido al moverse a lo largo del flujo:
),,,( tcbaνν = a,b,c son coordenadas en t=0 Euleriano.- Da el valor de la variable de un fluido en un punto y tiempo determinado.
),,,( tzyaνν = x,y,z,t son V.I Flujo permanente cuando es independiente de t Flujo no permanente cuando es dependiente de t Líneas de corriente son útiles para describir el movimiento de un fluido, y es la tangente al vector velocidad en cada uno de los puntos del campo de flujo
dxdy
xy=
νν
zdz
ydy
xdx
ννν==
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
34
4 CONSERVACIÓN DE LA MASA.
En este apartado se desarrollara una relación integral que exprese la ley de conservación de la masa para un V.C. general. Esta relación integral se aplicara a algunos casos que con frecuencia se encuentran en mecánica de fluidos.
RELACIÓN INTEGRAL.
)1(012 >−−−=∆+− mmm n= vector unitario
dAcosθ= proyección de dA a un plano normal a v→
θ = ángulo formado por v→
y h→
dA= superficie de control de análisis vectorial
cos θ = nv
nv→→
⋅ producto punto (escalar)
v→
.h→
= θcosnv ⋅ El flujo de masa a través de dAcos θ es:
θρθνρθρν coscoscos nvdAdAdA ==
)2()(cos >−−−−−⋅=→→
dAdA nvρθρν
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
35
La ecuación (2) designa la rapidez de flujo de salida a través de dA. Integrando la ecuación (2) sobre la superficie de control
∫∫ >−−−−−−⋅→
csdAnv )3()(ρ
La ecuación (3) dará el flujo neto de masa hacia fuera del V.C. En caso de que el flojo entre a la V.C. el producto es:
θcosnvnv→→→→
−=⋅
La rapidez de acumulación de masa dentro del V.C. es:
∫∫∫ >−−−−−−−∂∂
..)4(
CVdV
tρ
Por lo tanto el balance de masa en el V.C. es:
)4(0)(.:
>−−−−−−=∂∂
+⋅ ∫∫∫∫∫→→
CVdV
tdAnv ρρ
FORMAS PARTICULARES DE LA ECUACIÓN 1.- Para flujo permanente.
∫∫∫ =∂∂
.:0
CVdV
tρ
)5(0)( >−−−−−=⋅∴→→
∫∫ dAnvρ 2.- Para flujo incompresible.
;0.:∫∫∫ =
∂∂
CVdV
tρ .cte=ρ
∫∫ >−−−−−−−−=⋅→
csdAnv )6(0)(ρ
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
36
PROBLEMAS 4.1. (White).- El vector velocidad en un flujo bidimensional esta dado por la ecuación
xeyex 210 +=ν m/s, donde x esta dada en m. Determine la componente de la velocidad que forma un Angulo de 30° con el eje x en el punto (2,2).
yx xee 210 +=ν
yx eee 21
23
−=→
La componente de v en dirección del vector unitario e en P(2,2)
( ) 23541021
23. −=+•⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
→→
yxy eeeeve
sftve /66.6. =→→
Sen30°=0.5=1/2 R2= x2+y2 X2= 4-1=3 X= 3
Cos30°=23
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
37
4.3.- Esta fluyendo agua por un conducto circular con un perfil parabólico de velocidad dado
por la ecuación sftr /16
162
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=ν . ¿Cuál es la velocidad promedio del agua en el tubo de
1.5ft?
)16
1(62r
−=ν
?=ν
∫∫ ∫∫∫ =∂∂
+⋅→
cs CVdV
tdAnv .:
0)( ρρ
∫∫∫∫ ∫∫ =⋅−⋅=⋅→→→
120)()()(
cscs csdAndAndAn vvv ρρρ
;)(1222 ∫∫ ⋅=
→
csdAnA vρνρ 12 ρρ =
∫ ∫ −=π
θν2
00
2
2
2 )16
1(61 R
rdrdrA
∫ −=R
drrrdrA 0
3
2
2 )16
()2(6 πν
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
64212
64212 4
12
1
20
42
22
RRA
rrA
Rππν
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −=
64256
216
)5.1(412
22 ππν
[ ] smv /33.854825.2
482 =−=
m2-m1=0 222111 νρνρ AA =
smsmAA /3/999.233.85
85.12
2
2
1
21 ≈=== νν
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
38
4.4.(Welty).- Entra agua en un canal cuadrado de 4plg con una velocidad de 10ft/s. El canal converge hasta llegar a cambiar en una sección cuadrada de 2”x2”. La sección de salida esta cortada a 30° de la vertical, pero la velocidad media del agua que sale permanece horizontal. Encontrar la velocidad media de salida del agua así como la rapidez total de flujo.
A1=0.111ft2
sft /10=ν ?2 =ν
∫∫∫∫ =⋅−⋅→→
120)()(
cscsdAndAn vv ρρ
222111 νρνρ AA =
1122 30 νν ACosA =°
12
12
30cosνν°
=A
A
sftft
ft /10)866.0(0277.0
11.0 2
2 =ν
sft /85.452 =ν
)85.45(30cos0277.0222 °== νAQ
sftQ /1.1 3
2 =
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
39
4.8. (Welty).- En la combinación de pistón y cilindro de la figura, el pistón grande tiene una velocidad de 2ft/s y una aceleración de 5ft/s2. Calcular la velocidad y aceleración del pistón más pequeño.
∫∫ ∫∫∫ =∂∂
+⋅→
cs CVdV
tdAnv .:
0)( ρρ
111222 νρνρ AA =
12
12 νν
AA
=
122
21
2 ννdd
=
sftsft /128/25.0
4 2
2 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=ν
122
21
2 adda =
222
2 /320/55.0
4 sftsfta =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
40
Calculo de la velocidad media en un tubo con perfil parabólico de velocidad
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
2
1Rrvv Max
Y flujo compresible
( )∫∫ ⋅=CS
dAnvAv rrr ρρ
( )∫∫ ⋅=
CSdAnvAv rrr
( )∫∫ ⋅=CS
dAnvA
v rrr 1
( )∫∫ ⋅=CS
dAnvA
v rrr 1 ; ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
2
1Rrvv Max = θ
ππ
rdrdRrv
RR
Max∫ ∫⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
2
0 0
2
2 11
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−= ∫∫
RR
MAX drRrrdrv
R 0 2
3
03 21 ππ
2
2
2
22
20
2
42
2 42
422
422
RvR
RvRR
Rv
Rrr
Rv MAXMAXMAX
R
MAX =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
2MAXv
v =
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
41
6.41. (Mott).- UN conducto de 150mm lleva 0.072 m3/s de agua, el conducto se ramifica en dos como se observa en la figura 6.15, si la velocidad en el conducto es de 12m/s ¿Cuál es la velocidad en el conducto de 100mm?
mmm 15.01501 ==φ
V1=0.072m3/s V2=12m/s
mmm 05.0502 ==φ V3=?
mmm 1.1003 ==φ
∫∫ ∫∫∫∫∫∫ ⋅−⋅+⋅==⋅→→→→
3 12)()()(0)(
cs cscsCSdAndAndAndAn vvvv ρρρρ
m2+m3-m1=0; m1=m2+m3; ρ1A1V1= ρ2A2V2+ ρ3A3V3
smm
xs
m
AV
m /177.40)12.0(
471.02
3
1
11 ===
πν
A1V1= A2V2+ A3V3
A3V3= A1V1- A2V2
3
21
2
223 A
VVA
AA vv −=
−=
ννν
smsmmAV /023.0/124
)05.0( 32
222 ===πν
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
42
sm /23.6)1.0(
4)023.0072.0(23 =
−=
πν
6.59 (MOTT).- La boquilla de flujo mostrada en la fig 6.20 se utiliza para medir la velocidad de flujo. Si la boquilla se instala dentro de un tubo de 14 pulgadas calibre 40 y tiene un diámetro de 2 ¾ pulgada, calcule la velocidad de flujo en a sección 1y en el cuello de la boquilla cuando 7.5ft3/s de agua fluyen por el sistema.
"14=TUBOφ CAL 40
4"32=BOQUILLAφ
v1=? v1=?
sftV
3
5.7=⋅
240"141 93960 ftA CAL −==φ De tabla
11 AvV =⋅
sft
fts
ft
AVv 982.7
9396.0
5.72
3
11 ===
⋅
1
.
2
.mm =
222111 vAvA ρρ =
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
43
12
12 v
AAv = =
sft
sft
pftp
ft 828.181982.7
lg12lg75.2
4
9396.02
2
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅π
3.36.- La bomba de chorro de la figura p3.36 inyecta agua a U1= 100ft/s a través de un tubo de 3” de diámetro y arrastra un flujo secundario de agua a U2=10ft/s en la región anular indicada. Los dos flujos se mezclan completamente aguas abajo, tomando una velocidad U3 casi constante. Si el flujo es estacionario e incompresible calcular U3 en ft/s.
?3 =u
( ) ∫∫∫∫∫ =∂∂
+⋅.:
0CVCS
dVt
dAnv ρρ rr
0123 =−−⋅⋅⋅
mmm
123 mmm⋅⋅⋅
+= = 222111 vAvA ρρ +
( )2211 vAvAm +=⋅
ρ = ( )2221
214
vv φφπρ+
= ( ) ( ) ( ) 52.64694.625.649101210100
123
44.62
2
=+=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛π
slb
sftft
ftlb
→⋅⋅ 23
slbm 52.6463 =
⋅
;3333vAm ρ=
⋅
3
33 A
v mρ
⋅
=
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
44
sft
ftftlb
slb
v 99.18
1210
44.62
52.464
22
3
3 =
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=π
4.6.- Se midieron las velocidades de un conducto circular de 20” de diámetro. Encuentre a).- La velocidad media y b) la rapidez de flujo en ft3/s
vAQ =
r plg Velocidad ft/s
0 7.5 3.16 7.1 4.45 6.75 5.48 6.42 6.33 6.15 7.07 5.81 7.75 5.47 8.37 5.1 8.94 4.5 9.49 3.82
10.00 2.40
drrvdrrvdrrvQ ∫∫∫ ++=10
49.9 10
45.4
16.3 2
16.3
0 1 2......22 πππ
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+
+⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+
+⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+
+⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+
+⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=
2222
2222
2222
2222
222
1249.9
1210
240.282.3
1294.8
1249.9
282.35.4
1237.8
1294.8
25.410.5
1275.7
1237.8
210.547.5
1207.7
1275.7
247.581.5
1233.6
1207.7
281.515.6
1248.5
1233.6
215.642.6.6
1245.4
1248.5
242.675.6
1216.3
1245.4
275.61.7
1216.3
21.75.7
πQ
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
45
sftQ
3
214.12214.0292.0328.0366.0394.0
0411.0438.467.0472.0506.0=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++++
+++++= π
sfts
ft
AQv 598.5
1220
4214.122
3
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⋅==
π
DIAGRAMA DE FLUJO
INICIO
PIDE RADIOS Y VELOCIDADES
REALIZA LA OPERACIÓN INDICADA:
q=q+(v[i+1]+v[i])*((r[i+1]*r[i+
1])-(r[i]*r[i])); q = (3.14159/288)*q;
PIDE LAS (N) ITERACIONES
NO
FIN DEL PROGRAMA
SI
HACE EL NUMERO DE
ITERACIONES PEDIDAS
MUESTRA EL RESULTADO
EL PROGRAMA FUNCIONA PARA CUALQUIER VALOR DADO POR EL USUARIO
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
46
MECANICA DE FLUIDOS 1. GRAFICA DE RADIO CONTRA VELOCIDAD.
>>A=[7.5,7.1,6.75,6.42,6.15,5.81,5.47,5.10,4.5,3.82,2.40]; >>B=[0,3.16,4.45,5.48,6.33,7.07,7.75,8.37,8.94,9.49,10.00]; >>plot(A,B); >>grid on; >>hold on; >>C=[0,-3.16,-4.45,-5.48,-6.33,-7.07,-7.75,-8.37,-8.94,-9.49,-10.00]; >>plot(A,C); >>grid on, xlabel('Velocidad en (ft/s)'), ylabel('Radio en (Plg)'); >>title('Grafica de Flujo Masico') >>gtext('Velocidad Maxima') >>gtext('Mecanica de Fluidos 1')
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
47
SOLUCIÓN AL PROBLEMA QUE VIENE ILUSTRADO EN LOS ACETATOS:
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
48
5 SEGUNDA LEY DEL MOVIMIENTO DE NEWTON Relación integral para momento lineal. La segunda ley de Newton se enuncia como: La rapidez de cambio de momento de un sistema es igual a la fuerza neta que actúa sobre el sistema y seda en la dirección de la fuerza neta.
( )tyttIIIttII
tI
∆+→∆+→
→
( )
( ) )1(>−−−−−−=Σ
=Σ
==Σ⋅
PdtdF
mvdtdF
vmaF m
Donde: P Momento lineal del sistema. En tt ∆+ : ttIIIttIItt PPP ∆+∆+∆+ += En t: tIIItIt PPP += Restando la segunda ecuación de la primera y dividiendo por ∆t:
tPPPP
tPP ttIIItIttIIIttIIttt
∆
−−+=
∆
− ∆+∆+∆+∆+
Sacando limites cuando ∆t 0
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∆
−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∆
−=
∆
− ∆+
→∆
∆+
→∆
∆+
→∆ tPP
tPP
tPP tIIttII
t
tIIIttIII
t
ttt
tlimlimlim
000
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
49
Donde: ΣF Es la suma de fuerzas que actúan sobre el V.C.
( )( ) θρθρ
θρcoscos
cosnvdAvdAvv
dAvvvP m
rrr
r
r
=
=⋅
El flujo de momento es: ( ) ( )dAnvvdAvv rrr
⋅= ρθρ cos Integrando esta ecuación:
dAv nv )(→→
∫∫ ⋅rρ Flujo neto de salida de momento lineal del V.C.
∫∫∫∂∂
.:CVdVv
tρr Rapidez neta de acumulación de momento lineal dentro del V.C.
Y el balance total de momento lineal para un volumen de control es:
)4()(.:
>−−−−−∂∂
+⋅=Σ ∫∫∫∫∫→→
CVdVv
tdAvF nv ρρ rr
La ecuación (4) es muy importante en mecánica de fluidos y se conoce como: Teorema del momento Se debe notar que la ecuación 4 es una expresión vectorial muy diferente a la forma escalar de equilibrio total de masa. En coordenadas rectangulares:
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
50
∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫
∂∂
+⋅=Σ
∂∂
+⋅=Σ
∂∂
+⋅=Σ
→→
→→
→→
.:
.:
.:
)(
)(
)(
CV zzz
CV yyy
CV xxx
dVvt
dAvF
dVvt
dAvF
dVvt
dAvF
nv
nv
nv
ρρ
ρρ
ρρ
rr
rr
rr
------------------ > (5)
Cuando se aplican cualquiera de las ecuaciones (5), se debe recordar que cada termino tiene un signo con respecto a las direcciones x. y e z y que se han definido como positivas. Aplicaciones de la expresión integral para el momento lineal.
Fuerzas externas 1.- Debidas a la presión en (1) y (2) 2.- Debido al peso del fluido. 3.- Ocasionadas por la presión de las paredes del codo así como del rozamiento: Pw
ByWsenAPFyBxAPAPFx
+−=Σ+−=Σ
θθ
22
2211 cos
Bx y By son las componentes de la fuerza resultante que el tubo ejerce sobre el fluido (Pw y ZW). Fuerzas internas:
∫∫∫∫∫ ∂∂
+⋅=Σ→→
.:)(
CVdVv
tdAvFx nv ρρ rr
∫∫∫∫∫∫→→→→→→
⋅−⋅=⋅1..2....
)()()(SC xSC xSC x dAvdAvdAv nvnvnv rrr ρρρ
( ) ( )11112222 cos vAvvAv ρρθ −+=
∫∫∫∫∫∫→→→→→→
⋅−⋅=⋅1..2....
)()()(SC ySC ySC y dAvdAvdAv nvnvnv rrr ρρρ
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
51
( )2222 vAsenv ρθ−= Igualando FΣ :
ByWsenAPBxAPAP +−=+− θθ 222211 cos
( )222222 vAsenvByWsenAP ρθθ −=+−
θρθρ coscos 2211112122
22 APAPAvAvBx +−−=
WsenAPsenAvBy +−−= θθρ 2222
22
Las relaciones serán:
θρθρ coscos 2211112122
22 APAPAvAvRx −++−=
WsenAPsenAvRy −+= θθρ 2222
22
( ) θθ coscos 221112 APAPvvRx m −++−=⋅
( ) WsenAPsenvRy m −+=⋅
θθ 222 Las fuerzas debidas a PW y ZW son denominadas por B.
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
52
PROBLEMAS 5.6.- (WELTY) La bomba de la figura bombea 3ft3/s del agua del acueducto sumergido, que tiene un área de 0.25ft2 en la popa. Determine la tensión en la cuerda de amarre. Suponiendo que las presiones de entrada y salida son iguales.
21
22
21
3
?15.0
25.0
3
PPT
ftA
ftA
sftV
===
=
=⋅
∫∫∫∫∫ ∂∂
+⋅=Σ→→
.:)(
CV xx dVvt
dAvFx nv ρρ rr
( ) ( )11112222 cos vAvvAvFx ρρθ −=Σ
f
f
f
lbT
lbFxTTFx
lbFx
lbflbmft
lbfss
lbmft
ftsft
ftlbm
AAAA
AA
VVV
VVVV
69.53866.05.46
30cos;30cos
5.46
5.462.32
6.1497
125.01
15.0134.62
112
2
2
22
22
3
121
2
2
2
12
2
=
===
=Σ
==
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
⋅⋅⋅
⋅⋅
⋅⋅
o
o
ρρ
ρρ
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
53
RELACIÓN INTEGRAL PARA EL MOMENTO DE MOMENTO
pdtdmv
dtdF ==Σ
Aplicada a un sistema de partículas:
=>ΣFxrrr Momento resultante, ( MΣ ) con respecto al origen.
MFxrFxrrrrrr
Σ=Σ=Σ∴ Donde:
Mr
Es el momento total (impulso total) con respecto al origen de todas las fuerzas actúan sobre el sistema.
Pdtdxrrr Es el impulso de la rapidez de cambio de momento lineal con respecto al
tiempo y se puede representar:
( ) ( )
( ) )6(
)(
>−−−−−−−−−−−=Σ
===
HdtdM
HdtdPxr
dtdvxmr
dtdP
dtdxr
rrrrrr
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
54
RAPIDEZ NETA DE LA EMISIÓN DEL IMPULSO EN EL VOLUMEN DE CONTROL
( ) ( ) )7()(.:
>−−−−−−∂∂
+⋅=Σ ∫∫∫∫∫→→
CVdVvxr
tdAvxrM nv ρρ rrrr
La ecuación (7) se expresa por medio de tres escalares para coordenadas ortogonales inerciales e las direcciones x. y. z como:
( ) ( )∫∫∫∫∫ ∂∂
+⋅=Σ→→
.:)(
CV xx dVvxrt
dAvxrMx nv ρρ rrrr I
( ) ( )∫∫∫∫∫ ∂∂
+⋅=Σ→→
.:)(
CV yy dVvxrt
dAvxrMy nv ρρ rrrr -I---------- >(8)
( ) ( )∫∫∫∫∫ ∂∂
+⋅=Σ→→
.:)(
CV zz dVvxrt
dAvxrMz nv ρρ rrrr I
Las direcciones asociadas a MX y (rxv) son las consideradas en mécanica y se rigen por la regla de la mano derecha para determinar la orientación de las cantidades que tienen un sentido de rotación.
( ) ( )∫∫∫∫∫ ∂∂
+⋅=Σ→→
.:)(
CV zz dVvxrt
dAvxrMz nv ρρ rrrr
FLECHAMFz =Σ Momento externo aplicado al eje que actúa sobre el volumen de
control.
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
55
Donde Mflecha es el momento que la flecha ejerce sobre el rotor y es el único que actua sobre el v. c. La integral de superficie: ( ) ( )∫∫ SC
dAnvsr.
** ρ
Es la rapidez neta de emisión del impulso. La componente del fluido que sale del volumen de control en la dirección X es:
( )[ ]( ) ( )[ ]( )
( )[ ] ( )[ ] VrvVrwvrwrMVrvVrwvrwrMM
VrvVrwvrwrdAuvvxr
rvrw
OOSOOSZ
SC oo
Xwo
ρρθρρθ
ρρθρ
θ
−−−−=−−−−==∴
−−−=•↓∴
−−
∑∫∫
coscos
cos
cos
.
l
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
56
PROBLEMAS Prob.5.2 (WELTY). La figura muestra un motor estacionario de jet. El aire con
3/0805.0 ftlbm=ρ entra en la forma indicada. Las áreas transversales de entrada y salida son de 10.8 ft2. La masa de combustible representa el 1% de masa de aire que entra a la sección de prueba. Calcule el impulso que desarrolla dicho motor para las condiciones dadas.
( )
( )( )
lbfRx
lbfFxlbmft
lbfssftft
ftlbm
sft
sft
sftft
ftlb
VVAVVAVVA
VVAVVAVAVAFx
dVvt
dAuvvFx
mm
CV XSC X
aC
9.4932
9.4932
9.49322.32
4.158839
300900*01.13008.10*0805.0
01.101.1
01.0
2
2
22
3
23
121
21112122
11112222
2111
2222
..
−=
=
==
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −=
−=−=
−=−=
∂∂
+•=
=
∑ ∫∫∫∫∫
ρρρ
ρρρρ
ρρ
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
57
5.27.- Una presa vierte agua en un canal ancho constante como el de la figura se observa que una región de agua tranquila se encuentra detrás del chorro a una altura H. Tanto que la velocidad como la altura de flujo en el canal están dadas por v y h, respectivamente, siendo su densidad ρ . Aplicando el teorema de momento así como la superficie de control que se indica, determine lts desprecie el momento horizontal del flujo que esta entrando al volumen de control desde la parte superior y suponga que se desprecia la fricción. La presión del aire existente en la cantidad que hay bajo la cresta del agua que esta cayendo se debe tomar como la atmosférica. H=?
( )( )
( )
( )( )∫∫
∑
∑
∫∫
∑ ∫∫∫∫∫
=•
−=
−=
−=•∂∂
+•=
SCX
SC X
CV XSCX
vAdAnvv
hHgFx
ghgHFx
vAvvAvdAnvv
dVvt
dAnvvFx
.
2222
22
22
. 11112222
..
2121
ρρ
ρ
ρρ
ρρρ
ρρ
Igualando fuerzas externas a internas:
( )
←+=+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=+=
=−
=
=−
=
=−
222
22
222
222
2222
2
22222
2
2222
22
22
22
2
1*
;2
21
hg
hvh
gv
hH
hgv
hhg
hvH
ghv
hH
hAg
vAhH
vAhHg
ρρ
ρρ
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
58
FUERZAS SOBRE OBJETOS ESTACIONARIOS E 16.1(L. MOTT) Un chorro de agua de 1” de diámetro que tiene una velocidad de 20 ft/s se reflecta por medio de una paleta curvada a 90º como se muestra en la figura 16.1. El chorro fluye libremente en la atmósfera sobre un plano horizontal. Calcule la fuerza en x o y que ejerce la paleta sobre el agua.
º90"1
==
θφ
v=20 ft/s Fx=? Fy=?
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
←=
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
==+=
=
•=
←−=
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
−=−+=•
=∂∂
+•=
∫∫
∑∑ ∫∫
∫∫
∑∑ ∫∫ ∫∫∫
lbfFylbmft
lbfstsft
ftlbmFy
vmvvAvvAdAnvv
RyFy
dAnvvFy
lbfFxlbmft
lbfsftft
lbmsft
ftft
lbmsftFx
mvvAvAvvdAnvv
RxFx
dvvt
dAnvvFx
SC yYYY
SCY
SC XXXX
SC CVX
227.42.32
1*121
4*20*4.62
0*
227.42.32
*13.136
121
4*4.62*20
22
2
2
22
3
.
º
2222222222
.
22
32
2
22
2
2.
º
1111112222
. .
π
ρρρ
ρ
π
ρρρ
ρρ
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
59
16.2(L.MOTT).- En una fuente decorativa de 0.05 m3/s de agua que tiene una velocidad de 8 m/s están siendo reflectados por la caída en un ángulo mostrado en la figura. Calcule las reacciones sobre la caída en las direcciones x o y mostradas. También calcule la fuerza resultante total y la dirección en que actúa. Desprecie los cambios de elevación.
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
←=
=
==
==
==
=
==
=
=+=+=
←==
+=
+=−−=•
+−=
←⇒−=
−=−=
−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+=•
+=∂∂
+•=
==
=
∑
∫∫∑∑
∫∫
∑∑ ∫∫ ∫∫∫
º47.743.179
646
27.7º75
656.5º45
07.2º75
656.5
º458º45
/7.6707.6706463.179
646646
656.527.705.010
º75º45
/3.179
3.179656.507.205.010
º75º45
?,,,/8
05.0
2
1
2
1
1
2222
2
3
33
12. 12
21
2
3
33
12
º
.
º
1
º
2
21
3º
θ
θ
ρρρρ
ρρρρ
ρρ
θ
tg
smvSenv
smvSenv
smvCosv
smv
CosvCosv
smFFyFxF
NsmkgFy
sm
sm
mkg
vvvvvvvdAnvv
SenFSenFFy
NskgFx
Nsm
sm
mkg
vvvvvvvdAnvv
CosFCosFFx
dVvt
dAnvvF
RRyRxsmv
smv
Y
Y
X
X
X
YYSC YYY
XXSC xXX
CS
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
60
E. 16.5 (L.MOTT).- En la figura se muestra un chorro de agua a una velocidad v1 que impacta a una paleta que se mueve con velocidad vo. Calcule las fuerzas por la paleta sobre el agua si v1=20 m/s y vo=8 m/s. El chorro tiene un diámetro de 50 mm.
( ) ( )
( )
( )
( )
←=
==
==
←=
=++−=
=++−=
=+−−=
=+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−=
∂∂
+•=
===
=⇒=−=
⇒
===
∑
∑∑
∑
∑ ∫∫ ∫∫∫
NRys
mmkgSen
smRy
RyvSenvFy
NRx
Rxsm
sm
mkg
RxCosvvFx
RxvvCosvvFx
RxvvvCosvFx
dvvt
dnnvvFx
smm
smAvv
QefectivovolumetricFlujoQsmv
efectivavelv
mmsmvsmv
ee
ee
eeee
eeee
SC CV XX
ee
ee
e
e
o
132.195
132.195023.0*10º*4512
º45
1.471
;0707.0112*023.0*10
0º451
0º45
0º45
023.005.04
20
,./12820
.
50/8/20
3
33
º
3
33
º
ºº
ºº
. .
322
º
1
ρ
ρ
ρρ
ρρ
ρρ
π
φ
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
61
3.57.-Un chorro de agua empuja a una cuchara 160º de una turbina como la de la figura a 40 ft/s hacia la derecha. Calcular la fuerza ejercida sobre la cuchara en lb y b).- La potencia comunicada. (WHITE)
( )
( )
←=
==
=
==
=
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−==
←=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
−=−−=
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−+−=
∂∂
+•=
=
==
∑
∑ ∫∫ ∫∫∫
KWW
HPKWHPW
slbfft
HPsftlbf
sftlbfFxvW
vv
sftftsftAvv
lbfFx
lbmftlbfs
sft
sft
ftlbm
vvvvvv
vvvvvv
dVvt
dAnvvFx
W
Fsftv
C
ee
ee
eeeeee
eeeeee
SC CVX
C
C
15.37
15.371
746.080.49
550
198.27393
/40*84.684
/945.2123
440100
84.684
2.32*945.2*60*4.622
2
;
?
?/40
º
º
º
21
332º
23
3
ººº
21
º
1
º
2
. .
º
π
ρρρ
ρρ
ρρ
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
62
5.22.-(WELTY). Un irrigador de agua consta de dos chorros de 3/8” de diámetro en los extremos de una varilla hueca. Si el agua sale con una velocidad de 20 ft/s. ¿Qué par será necesario para mantener el irrigador en su lugar?
?/20
"8/3
2
===
Msftv
φ
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
∑
∫∫
∑ ∫∫ ∫∫∫
∑
←=
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
−=
−=•∂∂
+•=
=
ftlbfMo
ftlbmlbfs
slbmft
ftft
lbmsftft
Avr
AvvrdAnvvxr
dvvxrt
dAnvvxrMo
Mo
Y
SC Y
SC CV
*594.0
2.3214.19
8*123
44.62205.02
2
2
0
2
2
2
22
32
22
2.
. .
π
ρ
ρρ
ρρ
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
63
16.23(L.MOTT).- Para la rueda descrita en el prob. 16.22 calcule la fuerza ejercida sobre el remo cuando la rueda gira a 40 rpm.
( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
←=
===
==
=
=
=
==∂∂
+=
===
=
=
==
====
−
−−
−
−
−
−
∑∑∑
∑
∑∫∫
∫∫ ∫∫∫∑
NxF
Nxm
mNxrM
F
FrMFxrM
mNxM
msmkgx
mxmkg
smm
MvrvdAnvvxr
dvvxrt
dAnvvxrM
mxmA
smvsrev
radmrevrWv
mkg
smvmmrpmW
F
Z
ZZ
Z
ZSC A
SC CVZ
aire
aire
R
7
56
6
26
2432
22
.
. .
2422
3
10209
1009.2075.010568.1
;
10568.1
10568.1
10767.1*20.1*314.0*075.0
*
*
10767.14
015.04
/314.060min1
12075.0*
min40
*/20.1
/35.01540?
ρρ
ρρ
ππφ
π
ρ
φ
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
64
6 CONSERVACION DE LA ENERGIA
La primera ley de la termodinámica que es útil en el análisis de flujo es la tercera ley fundamental o ecuación de la energía. RELACION INTEGRAL PARA LA CONSERVACION DE LA ENERGIA.
( )∫ ∫ →= 11 WJ
Q δδ
Donde:
JmN
BtuftlbfJ
calordemecanicoeEquivalentJ
117.778 ==
⇒
El calor total que el sistema adquiere de la región circundante es proporcional al trabajo realizado por el sistema sobre la región circundante.
( )
( )3
22
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
→+=+
→+=+
∫ ∫∫∫∫ ∫∫∫
a bab
a aaa
WWQQ
WWQQ
δδδδ
δδδδ
Restando (3) de (2)
( ) ( ) ( )∫ ∫∫ ∫ ∫∫
→−=−
−=−1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
4a b
a b ba
WQWQ
WWQQ
δδδδ
δδδδ
Como cada lado de la ecuación 4 representa el integrando calculado entre los mismos puntos pero a lo largo de trayectorias diferentes:
dEcomodesignadaesxpuntofuncionunaEsWQ ⇒−δδ
( )
( )( )( )( ) salrededorelosderecibesistemaelCuandoW
salrededorelosadonaseCuandoWsistemadelsaleCuandoQ
sistemaalagregaseCuandoQsistemadeltotalenergialaesquepuntofuncionunaEsdE
dEWQ
−⇒+⇒−⇒+⇒
⇒→=−∂
.5δ
Para un sistema durante un tiempo dt la ecuación 5 se transforma en:
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
65
( )
tEtEtE
ttEttEttEEnergia
tddE
tW
tQ
IIII
IIIII
///
///:
6
+=
∆++∆+=∆+
→=∂∂
−∂∂
Restando la segunda ecuación de la primera:
tEttEtEttEtEttE IIIIIIIII ////// −∆++−∆+=−∆+ Dividiendo entre t∆ y sacando limites cuando 0→∆ t
EEEdtdE
ttEttE
ttEttE
ttEttE IIIIIIIII
t
∆+−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∆
−∆++
∆−∆+
=∆
−∆+→∆
12
0
//////lim
E2 – E1= Razón neta de energía abandonando el sistema de control.
=∆ t Acumulación de energía en el sistema de control
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
cvelenenergiadenacumulacio
deRapidez
fluidodejoflualdebidocvalentra
queenergiadeRapidez
fluidodefujoalcvelabandona
queenergiadeRapidez
ecircundantregionsusobre
cvporzadorealitrabajodelRapidez
vecinaregionlaadebido
cvelencalordeaumento
elenRapidez
.
..
..
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
66
Aplicamos esta ecuación a un volumen de control: Rapidez de flujo de energía a la salida:
( )dAuve
CosuveCosvdAe
uvyge
especificaenergia
CosvdAem
•=
=
++=
↓
ρ
θρθρ
θρ
2
2
º
La forma integral de la ecuación de la energía es:
( ) ∫∫∫∫∫ ∂∂
+•=∂∂
−∂∂
CVSCdve
tdAuve
tW
tQ
..ρρ
Existen tres tipos de trabajo a saber: 1.- Trabajo en la flecha, WS 2.- Trabajo de flujo, que es el realizado sobre la s.c. para vencer los esfuerzos normales que hay en la s.c. donde hay flujo de fluidos, Wσ . 3.- Trabajo cortante es el realizado sobre la región de control para vencer los esfuerzos cortantes que hay en la s.c., Zij. Intensidad de esfuerzo con componente ijij z,σ en dirección normal y tangencial a la superficie. Rapidez de trabajo realizado por el fluido que fluye a través de dA.
( )
sJ
smNm
mN
sm
dAsvW
⇒⇒
→•=
22
º10
La rapidez neta de trabajo realizado por el v.c sobre su región circundante es
( )∫∫ →−−SC
dAsv.
11
El signo (-) indica el hecho que la fuerza por unidad ejercida sobre la región circundante es (-s).
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
67
Por lo tanto la ecuación de la primera ley de la termodinámica queda como:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )13
12
..
.. ....
. ..
→∂∂
+•−∂∂
=∂∂
∂∂
+∂
∂+
∂∂
=∂∂
•=•=−
→∂∂
+•=•+∂∂
−∂∂
∫∫
∫∫ ∫∫∫∫
∫∫ ∫∫∫∫∫
tWzdAuv
tWs
tW
tWz
tW
tWs
tW
dAuvdAuvdAsv
dvet
dAuvedAsvt
WstQ
SC ij
SC SC ijijSC
SC CVSC
σ
σ
σσ
ρρ
Sustituyendo la ecuación (13) en (12):
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )14
:,modPr
:
:
.. ..
.. ....
....
.....
→∂∂
+∂∂
+•⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
∂∂
−∂∂
∂∂
+∂∂
+•+•=∂∂
−∂∂
⇒⇒
∂∂
−•−=∂∂
−•
∂∂
+•=∂∂
−•+∂∂
−∂∂
∫∫ ∫∫∫
∫∫ ∫∫∫∫∫
∫∫∫∫
∫∫∫∫∫∫∫
SC MCV
SCM
CVSC
ij
MSCSC ij
CVSCSC ij
Wt
dvet
dAuvPet
Wst
Q
tW
dvet
dAuvPdAuvet
Wst
Q
entoncesPdenegativoelEsinamicaTeresionP
Dondet
WdAuvP
tWzdAuv
siY
dvet
dAuvet
WzdAuvt
Wst
Q
ρρρ
ρρ
σ
σ
ρρσ
La ecuación 14 es la ecuación de la primera ley de la Termodinámica. Aplicaciones: Condiciones:
• Flujo permanente • Perdidas por fricción Se desprecian Aplicando la ecuación de energía:
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
68
( )
ρρρ
ρρ
ρρρ
PuvPuhvAvAM
PuygvPe
Wt
dvet
dAuvPet
WstQ
CV MSC
+=+===
+++=+
∂∂
+∂∂
+•⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
∂∂
−∂∂
∫∫∫∫∫
222111
º
2
....
2
La ecuación general se transforma:
( )
sKJ
sKJ
KgKJ
sKg
sKJ
yygvvhhmWQ
ygv
hygv
hmWsQ
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+
−+−=−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++=−
;
2
22
12
21
22
12
1
21
12
22
2
ooo
ooo
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
69
LA ECUACION DE BERNOULLI
( )
∫∫∫
∫∫∫∫∫
=∂∂
=∂∂
=∂∂
=∂∂
∂∂
+∂∂
+•⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
∂∂
−∂∂
..
....
0,0,0,0
:
CV M
CV MSC
Wt
dvett
WstQ
Cuando
Wt
dvet
dAuvPet
WstQ
ρ
ρρρ
La ecuación de la primera ley de la Termodinámica se convierta en: La Ecuación de Bernoulli:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
{CARGA
SC
mg
Pg
vy
gP
gv
y
BERNOULLIDEECUACION
mNPvygPvyg
Pvyg
Pvyg
PPvvyyg
AvPvygvAPvyg
vAPevAPe
dAuvPedAuvPedAuvPe
ρρ
ρρ
ρρ
ρρρρ
ρ
ρρ
ρρ
ρρ
ρρ
ρρ
ρρ
ρρ
222
21
21
1
22
22
21
21
1
212
222
21
121
1
1221
22
12
1111
121
12222
222
2
12
12..
22
22
;22
02
220
1
++=++
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+++++
=++=++
=−
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −++
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++=
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
•⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++•⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=•⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+∫∫
NICA: Restricciones a la primera ley de la Termodinámica: Flujo permanente Incompresible No viscoso No hay trabajo en la flecha No hay transferencia de calor No hay transferencia de energía interna.
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
70
Aplicación de la ecuación de Bernoulli
( )
←==
==−
=−
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+−
1222
22
1
22
1
2122
21
21
2;2
20
2
02
ygvygv
gv
yg
vy
gPP
gvv
yyρ
E-2 (WELTY).- Si fluye agua en condiciones continuas en las que la bomba entrega 3 HP al fluido, encuentre la rapidez de flujo de masa si se desprecia las perdidas por fricción.
0?
3
=∂∂
=
=
tW
m
HPW
Mo
Aplicando la primera ley de Termodinámica:
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
;
2
22
2211650
211650
36001
1778
1
25453
.
2
21
1212
21
22
1111
11
21
2222
222
22
..
22
22
22
..
.. ..
vhh
uuPu
Pvuhmhhyygvv
vAPuygvvAPuygvdAuvPe
hhvvhh
sftlbfWs
vhhs
ftlbfW
hhhs
hrBtu
ftlbfHP
hBtu
HPsWt
Ws
dAuvPet
Ws
Wt
dvet
dAuvPet
WstQ
ST
SC
STsT
sT
dST
SC
SC MCV
=−
=+=
+=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+−+
−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++=•⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−=⇒=−
⋅=−
+=⋅
=
+=⋅
==∂∂
•⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
∂∂
−
∂∂
+∂∂
+•⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
∂∂
−∂∂
∫∫
∫∫
∫∫ ∫∫∫
ρ
ρ
ρρ
ρρ
ρρ
ρρ
ρ
ρρ
ρρρ
o
o
o
o
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
71
( )
( ) ( )
( )
( )
[ ]
←=
=
←≅
≠=+−
=++−=+++−
⋅−=−=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=•⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=•⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
∫∫
∫∫
slbm
sftft
ftlb
vAm
sftv
vvs
ftlbfvvsftvft
ftlbmslbf
sftv
ftlb
Hgpftp
plbf
Hgp
sftvft
datosdosustituyen
vhhvA
vhhmm
vhhdAuvPe
Entonceshhv
siY
mvv
mvv
dAuvPe
ST
STSTSC
ST
SC
/15.784
1614
*4.062
/16
0313034263113
0165017763113;0165011160.0
165076.01117854.0
2
2.32*4.62
lg036.21
lg144lg
1lg2*2
14
:2
2
22
2
:2
:222
223
1
131
3111
2
2
2
2213
2
2
122
1
21
111
21
21
..
22
21
22
21
22
..
o
o
oo
oo
πρ
π
ρρ
ρ
ρρ
ρρ
ρ
ρ
ρρ
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
72
E-3.-Una flecha gira con una velocidad angular constante, w en el cojinete que aparece en la figura. El diámetro es d y el esfuerzo constante que actúa sobre el eje ej. E. Encuentra la rapidez con la que se debe remover energía del cojinete para que la temperatura del lubricante que hay entre el eje que jira y la superficie estacionaria del cojinete permanece constante, supóngase que la flecha tiene poco peso y es concéntrico con el eje.
cteTtQzdcte
==
∂∂
=?
,,ω
1.- El flujo masico no atraviesa el s.c. 2.- El trabajo de la flecha no atraviesa la s.c. 3.- El flujo es permanente.
( )
ZM
CVM
SC
Wtt
WtQ
tWdve
tdAuvPe
tWs
tQ
∂∂
=∂∂
=∂∂
∂∂
+∂∂
+•⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
∂∂
−∂∂
∫∫∫∫∫ ....ρρ
ρ
Todo el trabajo viscoso se utiliza para Vencer los esfuerzos cortantes:
( )∫∫ •=∂∂
..SC tM evZWt
En la frontera exterior, v=0 y en la Frontera interior:
( )
( )
cteTaricanteelmantener
pararequeridacalorde
enciadeTransferRapidezdZtQ
ddZtQ
AdZdAevZSC
=
→−=∂∂
−=∂∂
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=•∫∫
lub
2
12
2
2
..
ωπ
πω
ω
Donde: eT = indica el sentido del esfuerzo constante
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
73
Si no se disipa energía del sistema:
0=∂∂
tQ y entonces:
tWdve
tM
CV ∂∂
−=∂∂∫∫∫ ..
ρ
Ya que solo la energía interna del lubricante alimentara con respecto al tiempo:
( )2
14
222 dZt
WtduddDdve
tM ωππρρ∫∫∫ −=
∂∂
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=
∂∂
Con calor específico constante: C
( )
( )
( ) ←−
−=
=−
−=
−=−
22
2
22
2
222
2
;22
dDdZ
tdTdc
dtcuddD
dZtdud
dZtduddD
ρω
ρω
ωρ
Notar que: 1.- El trabajo viscoso solo incluye cantidades que se encuentran en el v.c.
2.- Cuando la velocidad desarrollada sobre la s.c. del v.c. es nula, 0=∂∂
tWM
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
74
Ejemplo 4. (WELTY).- En el conducto de la figura se presenta un ensanchamiento súbito, la presión que actúa sobre la región y es uniforme y es P1 encontrar el cambio de u entre las regiones 1 y 2 para un flujo permanente e incompresible. Desprecie el esfuerzo constante que actúa sobre las paredes y exprese u∆ en términos de A 1, A2 y v1.
( )121
1
,,0,
,?,
vAAfuZbleincompresie
permanenteFlujouP
=∆=
=∆
Aplicando la ecuación de Continuidad:
( )
←=
==−
=∂∂
+• ∫∫∫∫∫
12
12
21111222
....
0
0
vAA
v
vAvA
dvt
dAuvCVSC
ρρρρ
ρρ
Aplicando la ecuación de momento
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=∆←−=
−
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=∆−=−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=∆=−=−
−+−=∆−=
−+
−=−−+=•
=−
+−+−
+−−=
+++=+++∂∂
+•=
∫∫
∑
∫∫∫∑ ∫∫
122
221
21
2;
int22
22
02
22
2
1
2
2
1212
12
122
21
212
12
121
2
2
11
212
22221
21
2
2
1212
12
121
2
2
1121
212
222211
22
212
12
1221
212
22
22121
121111222.. 2
1212
21
22
122211
1
111
21
2
222
22
....
AA
AAv
uvAA
vPP
vv
AA
vAA
uAvAvAPP
vAAv
vAA
vAA
uAAAvAvAPAP
externasaernasfuerzasIgualando
vvv
AA
vuAvAv
vvPPuuvAvvAvdAuvv
PPyyg
vvuuAPAPFx
Puyg
vPuyg
vdvv
tdAuvvFx
SC X
CV XSC X
ρ
ρ
ρ
ρ
ρρρρ
ρ
ρρρρ
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
75
Aplicando la ecuación de la energía. 2
2
121 12 ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−=∆
AAvu
( )
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=−→=−−+
=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
∂∂
+∂∂
+•⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
∂∂
−∂∂
∫∫∫∫∫
2
2
121
121
11
2
22
21
112
22
.
12
0
0*
AAv
uuP
eP
e
mm
mPemPe
Wt
dvet
dAuvPet
WstQ
MSC
ρρ
ρρ
ρρρ
oo
oo
Esta ecuación muestra que la energía interna aumento con el ensanchamiento súbito. El cambio de temperatura con este u∆ es expresable por ser insignificante por lo que el cambio de u∆ total E:
( )
( ) ←−+−
+−
=
←−+−
+−
=−
++=−++
21
22
2121
2
12
21
2212
2
2
222
21
211
2
2
22
yygvvPP
h
yygvvPP
h
ygvP
hygvP
ρ
ρ
ρρ
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
76
PROBLEMAS 3.122 (WHITE) Calcular despreciando las perdidas el nivel del agua h, de la figura para el cual comienza a formarse burbujas de vapor en la garganta de la tubería.
Aplicando la ecuación de Bernoulli; Entre (1) y (2):
2;
2
.22
22
22
21
22
2112
21
222
211
22
221
1
21
vvPvPavvPP
PatPyPvPqueYa
vPvP
Pyg
vPyg
v
−=
−−=
−
==
+=+
++=++
ρρ
ρρ
ρρ
Aplicando la ecuación de continuidad: Entre (1) y (2)
2121
221
22
21
21222111
56.2;2564
,
vvvv
vvAA
vvAvA
==
===φφ
ρρ
Sustituyendo en la ecuación de Bernoulli ( )
( )
( ) ( )
←=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −
=
−=
=−
=−
smvmkg
Nsmkg
mN
mN
PvPav
vvvPvPa
/89.5
99677.2
1/14242100000
77.2
77.22
56.2
2
3
2
22
2
22
22
22
ρ
ρ
Y si se sabe que:
tablasmkgdeagua
devaporPaPvCTh
3/996
4242:º30@?
=
===
ρ
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
77
←=
=
==
=
mhsmsmh
gvhhgv
hgv
76.1/81.9*2/89.5
2;2
2
2
222
222
2
2
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
78
6.3.- (WELTY) Fluye aire a 70º F hacia un deposito de 10 ft3 con una velocidad de 90 ft/s. Si la presión en el depósito es de 14 psig y sus temperaturas de 70 ºF. Determinar la rapidez de aumento de la temperatura dentro del depósito. Suponga que el aire que entra esta a la presión del deposito y fluye a través de un tubo de 3” de diámetro. De la ecuación de la energía:
( )
( )
( )
Mut
dvet
hm
mvPumP
uygv
mP
uygv
dAuvPe
Wt
dvet
dAuvPet
WstQ
CV
SC
MCV
∂∂
=∂∂
−=
+=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+++−
−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+++=•⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
∂∂
+∂∂
+•⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
∂∂
−∂∂
∫∫∫
∫∫
∫∫∫∫∫
..
11
111111
11
21
22
22
22
..
..
2
2
ρ
ρ
ρρ
ρ
ρρρ
o
oo
o
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
↑→→⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −=
∂∂
−=∂∂
−=∂∂
←=∂∂
−=∂∂
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=∂∂
−=∂∂
===+∂∂
=∂∂
+∂∂
==
=∂∂
+−
=∂∂
+•⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+ ∫∫∫∫∫
0111
011
11
11
11
3
22
11
00111
11
1
11
..
/º48.94
º530530171.024.0
10
90123
4
º171.0,
º24.0
º70@mod
::
0
0
TTCvCp
VvA
tT
CvTCpTVvA
tTCv
uhMm
tTCv
sRtTuhm
tTCvM
Rft
sftft
tTuhm
tuM
RlbBtuCv
RlbmBtuCphmmu
tuM
FaireelparainamicasTerTablasDehmt
MutuM
EntoncesCvTuyCpThSi
Mut
hm
dvet
dAuvPeCV
ρρ
π
ρρρ
o
o
o
oo
o
o
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
79
6.7.- (WELTY) Un ventilador succiona aire de la atmósfera a través de un conducto circular de 0.30 m de φ , que tiene una entrada suavemente redondeada. El manómetro diferencial conectado a una apertura que hay en la pared del conducto registra una presión de vacío de 2.5 mm H2O. La densidad del aire es de 1.22 Kg/m3. Determine la rapidez de flujo del volumen de aire del conducto. ¿Cuál es el rendimiento de salida en HP del ventilador?
?
?
/22.1
5.23.0
32
1
=
=
=
==
o
o
W
V
mKg
OHcmhm
AIRE
VACIO
ρ
φ
Aplicando la ecuación de Bernoulli, entre (1) y (2)
( )
←=
=
⋅==
←=
=
++=++
sftV
mft
sm
msmAvV
smvmKg
OHcmmNOHcm
v
PygvPygv
/1.50
0283.01418.1
3.04//20
/20/22.11
/2.985.2*2
22
3
3
33
22
2
32
2
222
22
221
1
21
o
o
π
ρρ
Aplicando la ecuación de la energía Entre (1) y (2)
( )
( ) ( )
←===∂∂
−
===∂∂
−
==
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
∂∂
−
====
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+−+−+
−=
∂∂
−∂∂
+
∂∂
+•⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
∂∂
−∂∂
∫∫∫∫∫
HPW
HPWsJ
WmN
Joules
mNt
Ws
sm
smkg
sm
sm
mkgv
Vt
Ws
VmvvY
vm
vm
tWs
uuPPPyy
PPuuyyg
vvm
tWsW
t
dvet
dAuvPet
Wst
Q
atm
M
CVSC
463.07461346
/11
11346
*3462
400*418.1*22.12
,
22
,2
22
23
3
23
23
23
23
131313
131313
21
23
....
o
oo
oo
o
ρ
ρ
ρ
ρρρ
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
80
6.18 WELTY. Un automóvil viaja a 90 MPH en contra de la dirección del viento de 50 MPH. Si la lectura del Barómetro es de 29 plg Hg y la temperatura de 40 ºF. ¿Cuál es la presión de un punto del automóvil en el que la velocidad del viento es de 120 ft/s con respecto al auto?
RlbmftlbfR
sftPRFT
psiHgpPsftMPHv
autoVvAUTO
am
at
a
º34.53
/120º500º40
28.14lg29/3.13995
/
=
=
====
==
Aplicando la ecuación de los gases para determinar la densidad del aire:
3
2
2
2
077.0
º34.53
1lg144*
lg28.14
;ft
lbm
Rlbmftlbf
ftp
plbf
TRPTRP
==== ρρ
Aplicando la ecuación de Bernoulli entre un punto del auto ( )AP en el que la sftv autoV /120/ = y el auto.
←=
=+=
==−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=−
−=
−+=+
++=++
2
2
22
2
2
2
2
222
3
2/
2
2/
222
/
22
73.14
73.1469.140418.0
lg0418.0
lg144102.6
02.62.32
*2
1203.139077.0
;2
2;
2/
2
2/
2
inlbfP
inlbfP
plbf
pft
ftlbfPP
ftlbmslbf
sft
ftlbmPP
PPvv
PP
vvP
PPAPvPv
Pyg
vPyg
v
A
A
aA
aA
atmaautova
aA
autovaaAautovaa
Aautov
autovaa
a
ρ
ρρ
ρρ
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
81
6.61.-( MOTT) Agua a 10 ºC fluye del punto A al punto B por el conducto mostrado en la fig. 6.22 a una rapidez de 0.37 m3/s si la presión en A es de 66.2 KPa. Calcular la presión en B.
?2.66
/37.0
º10@
3
==
=
→=
B
A
PKPaP
smv
BACTAgua
o
Aplicando la ecuación de Bernoulli Entre A y B
( )
( )
( )
←=
==+−=
==−=−
=−=−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=−=−
==−=−=−
−=
−+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
−
−+−
=−
++=++
KPaPsmvKPaKPaKPaP
sm
vKPaPP
smv
PaKPa
mNPa
mNPP
vmm
smkgPP
AvvAvv
sm
mkg
mkg
smPP
sm
msm
smPP
yygvvPP
PygvPygv
B
BB
BAB
AAB
AAB
AB
AB
BABAAB
BB
BAA
A
9.34
3.19.342.66290.31
3.16.0
4*37.0290.31
234.5101
1
131290
37.03.044
31290
;312901029.31
29.31
5.4081.92
3.1234.5
2
22
2
3
3
2
2
22
32
2
2
333
2
2
2
2
22
222
22
22
π
πφπ
ρ
ρ
ρρ
oo
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
82
7 ESFUERZO CORTANTE EN FLUJO LAMINAR
FLUIDOS NEWTONIANOS En los fluidos no Newtonianos Z depende de la rapidez de deformación cortante, en los fluidos Newtonianos se deforman continuamente bajo la acción de Z. Los plásticos soportan un cierto Z antes de que se produzca la deformación.
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
83
Esfuerzos Cortantes En Flujos Laminares. El esfuerzo cortante es una cantidad tensorial que requiere magnitud, dirección y orientación con respecto a un plano para su identificación
sPa
sPa
msm
mN
dyd
dyd
⋅→
⋅=
⋅
⇒=Ζ
=
=Ζ
µ
νµ
νµ
2
Z i j Z Magnitud.
i Dirección del eje normal al plano de acción del esfuerzo cortante. j Dirección de la acción.
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
84
La rapidez de deformación cortante en un punto se define como dtd∂
− de la figura anterior:
( ){ }⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∆
−⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
∆∆−−
=
∆
∂−∂−=
∂−
∆+
→∆∆∆
∆+
→∆∆∆
t
ytvvarctg
tdtd
yyy
tyx
ttt
tyx
22lim
lim
0,,
0,,
ππ
En el limite: dydv
dtd
=∂
− Rapidez de deformación cortante -------- > (7.3)
Sustituyendo (7.3) en (7.2), resulta:
dydνµ=Ζ ---------- >(7.4)
La ecuación 7.4 es la ley de Newton para la viscosidad. Para un flujo que se encuentra entre dos placas paralelas el perfil de velocidad es parabólico, así como la deformación cortante es proporcional a la derivada de la velocidad. Z varía en forma lineal.
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
85
PROBLEMAS Problema.- Si la viscosidad cinemática del benceno es de 7.42x10-3 stokes y su densidad es de 860kg/m3, calcule se viscosidad dinámica en kg/m3. D=7.42x10-3 stokes ρ=860kg/m3 1stokes=10-4m2/s µ=?
;ρµ
=∂ ∂= ρµ
poisex
scmg
poisescm
gx
scmgx
cmm
kgg
smkgx
smkgx
mkg
smx
stokess
m
stokesxmkg
33
32
34
43
24
24
33
1038.611038.6
1038.610
11
101038.6
1038.61038.6
1
101042.7860
−−
−−
−−
−
−
=
⋅⋅
=
⋅⇒
⋅=
⋅=⇒⋅=
∗=
µ
µ
µµ
µ
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
86
Problema.- El espacio entre dos placas paralelas horizontales separadas por 5mm en donde está lleno con aceite crudo de viscosidad dinámica de 2.5kgm/s. Si la placa inferior está en reposo y la superior es jalada con una velocidad de 1.75m/s, determine el esfuerzo cortante sobre la placa inferior.
h=5mm µ=2.5kg/m·s vplaca inferior=0 vplaca superior=1.75m/s Z=?
dydνµτ =
2
3
875
1015
75.15.2
mN
mmmmm
sm
smkg
=
∗=
τ
τ
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
87
Problema 7.3.- El pivote cónico de la figura tiene una velocidad angular y descansa sobre un capa de aceite cuyo espesor uniforme es h. Determine el momento de fricción en función del ángulo α, de la viscosidad, de la velocidad angular ω, de la distancia que separa las dos superficies y del diámetro del eje.
dLrddA φ=
;αsen
drdL = dLrdh
rdAdF φϖµ=Ζ=
απµϖ
απµϖ
πα
µϖ
φα
µϖ
φα
µϖα
φϖµφϖµ
φϖµ
π
π
hsenDM
rDsihsen
rM
hsenrM
drhsen
M
dsen
drrh
dM
sendrd
hrdLd
hrdM
dFrdM
dLdh
rdF
r
32
2....;.......
2
24
4
4
4
4
2
0
4
2
0 0
3
23
2
=
==
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
=
==
⋅=
=
∫
∫ ∫ ∫
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
88
Problema 7.6.- La rapidez de trabajo cortante por unidad de volumen está dado por el producto Z·v en un perfil parabólico de velocidad en un tubo circular (ver ejemplo 2 capitulo 4). Determine la distancia a la pared en el cual es máximo el trabajo cortante.
dydvZ
siM
Rdxdpv
Rrvv
rZvW
MAX
MAXX
MAXW
z
z
µ=
−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
=
=
=
4
1
?
2
2
&
&
( )
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
3
013
1320
132
2
RrRr
Rr
Rv
Rr
Rv
vdrd
rRr
Rv
v
MAX
MAXPROM
MAXPROM
=
=−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=Ζ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=Ζ
µ
µ
µ
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−=
=Ζ
=
=Ζ
4
4
2
22
2
212
2
2
Rr
Rrv
drd
drdvv
drdvv
Zv
drdv
vv
MAX
MAXPROM
MAXMAXPROM
MAXMAX
µ
µ
µ
µ
3
31
31
2
2
Rr
RrRr
=
=
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=Ζ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−=
rRr
Rvv
Rr
Rrv
Rr
Rrv
Rr
Rrv
MAXPROM
MAX
MAX
MAX
2
3
2
2
24
32
4
3
22
4
3
2
2
2
2
22
442
µ
µ
µ
µ
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
89
8 ANÁLISIS DIFERENCIAL DE UN ELEMENTO DIFERENCIAL DEL FLUIDO EN UN FLUJO LAMINAR.
El análisis de un elemento en flujo de fluidos como ya se mencionó anteriormente se puede realizar desde dos puntos de vista al microscopio (volumen de control) visto hasta aquí y el microscópico o diferencial, que es el que se vera en los siguientes capítulos, por lo que las expresiones resultantes de este análisis serán ecuaciones diferenciales. La solución de estas ecuaciones diferenciales darán información sobre el flujo de forma diferente a la obtenida en un análisis macroscópico (integral). Esta información puede ser de menor interés para el ingeniero que requiere de la información global para el diseño, pero puede dar un conocimiento más profundo de los mecanismos de transferencia de masa, momento y energía. Es posible cambiar una forma de análisis en otra, es decir, pasar fácilmente por integración de un análisis diferencial a un análisis integral y viceversa. La solución completa de las ED. del flujo de fluidez es posible solo si el flujo es laminar. Flujo laminar totalmente desarrollado en un conducto circular de sección transversal constante. Flujo totalmente desarrollado es cuando se perfil de rapidez no varía a lo largo del eje del flujo. Aplicando la segunda ley de Newton a este volumen de control se conoce la fuerza y los términos del momento para ka sección X.
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
90
∫∫∫∫∫ ∂∂
+⋅=Σ→→
.:)(
CV XXX dVvt
dAvF nv ρρ
Fuerzas externas:
( ) ( ) ( ) ( ) )1(02222 >−−−=Ζ−Ζ+−=Σ∆+∆+ rrXrrrXXXXX xdxxdxrdrprdrpF ππππ
Fuerzas internas:
( ) ( )
)3(0
)2(022)(
.:>−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−=
∂∂
>−−−−−=∆−∆=⋅
∫∫∫
∫∫ ∆+
→→
CV X
XXXXXXXX
dVvt
rvrvrvrvdAv nvρ
πρπρρ
De (1) ( ) ( ) ( ) ( ) 02222 =Ζ−Ζ+−
∆+∆+ rrXrrrXXXXxdxxdxrdrprdrp ππππ
( ) ( ) ( ) ( )[ ] [ ][ ]
)4(0
0
>−−−−−−−−−−−−−−−−−=∆
Ζ−Ζ+
∆
−−
Ζ−Ζ∆+−∆
=∆Ζ−∆Ζ+∆−∆
∆+∆+
∆+∆+
∆+∆+
rrr
xr
rrxrr
xrxrrrvr
rrxrrrxXXX
rrxrrrxXXX
rrXrrrXXXX
ρρ
ρρ
ρρ
Evaluando y sacando límites cuando ∆x∆r 0, se tiene:
( )( ) )5(0 >−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−=Ζ+− rXrdrd
dxdr ρ
Recordando que para un flujo completamente desarrollado: ctedxd
=ρ
( )( )
)6(2
02
02
0
1
1
1
2
>−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−+=Ζ
=+Ζ+−
=+Ζ+−
=Ζ+− ∫∫
rC
dxdr
rC
dxdr
Crdxdr
rddxdrdr
rx
rx
rx
rX
ρ
ρ
ρ
ρ
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
91
La C1 de (6) se puede calcular conociendo un valor de Zrx para una r determinada. Esta condición se conoce en el centro del conducto en:
r=0 0=Ζ rX Debido a que esto es físicamente imposible, el único calor real para C1=0 y por tanto la distribución del esfuerzo cortante para las condiciones y geometría especificadas es:
)7(2
>−−−−−−−−−−−−−−−−=Ζdxdr
rXρ
Como se podrá observar que Z varía linealmente a través del conducto, desde un valor de Z=0 en r=0 hasta un valor máximo en r=R, es decir
MAXΖ→Ζ ; Rr =
Además si el fluido es laminar y con viscosidad Newtonica
)8(−−−−−−−−−−−−−−−−−−=Ζdr
d XrX
νµ
Sustituyendo (8) en (7)
dxdr
drd X ρν
µ2
=
Separando variables
)9(22
121
2
2
−−−−−−−−−−−−−−−−+=
=∫ ∫
Crdxdv
rdrdxddv
X
X
ρµ
ρµ
Aplicando la condición de frontera de no deslizamiento: En r=R, vx=0
µρ
ρµ
ρµ
4
1410
2210
2
2
2
2
2
2
RdxdC
CRdxd
CRdxd
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
+=
+=
Sustituyendo C2 en (9):
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
92
[ ]
)10(14
41
4141
22
22
22
>−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−=
+−−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−+=
RrR
dxdv
Rrdxdv
Rdxdr
dxdv
X
X
X
µρ
µρ
µρρ
µ
La ecuación (10) gobierna un perfil parabolico de velocidad asi como también que la velocidad máxima esta en r=0 por tanto:
)11(4
2
>−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
µρ R
dxdvMAX
Sustituyendo (11) en (10)
)12(12
>−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
Rrvv MAXX
Como se recordara:
2MAX
Xvv =
Sustituyendo vmax en la ecuación (12)
)13(8
2
>−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
µρ R
dxdvPROM
Y el gradiente de presión queda entonces expresado como:
)14(8
2 >−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−=−Rv
dxd PROMµρ
En función del diámetro:
)15(32
2 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−=Dv
dxd PROMµρ
La ecuación (15) se le conoce como la ecuación de:
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
93
Hagen-Poiseville.
Esta ecuación se puede integrar sobre una longitud dada del conducto para encontrar el descenso de presión y arrastre asociado que se ejerce sobre e conducto como resultado de un flujo de fluido viscoso. Las condiciones para las cuales se obtuvo y se puede emplear son:
1.- Fluidos: a).- Newtoniano. b).- Se comporte continuo. Flujo: a).- Laminar. b).- Permanente. c).- Totalmente desarrollado. d).- Incompresible.
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
94
FLUJO LAMINAR DE UN FLUIDO NEWTONIANO QUE FLUYE HACIA ABAJO POR UNA SUPERFICIE PLANA INCLINADA. Aplicando la ecuación de momento al V.C
∫∫∫∫∫ ∂∂
+⋅=Σ→→
.:)(
CV XXX dVvt
dAvF nv ρρ
θρ ysenxgxxypypF
yyXyyyXXXXX ∆∆+∆Ζ−∆Ζ+∆−∆=Σ∆+∆+
( ) ( )XxXXxX yvYvdAv nv ∆−∆=⋅
∆+
→→
∫∫ 22)( ρρρ
Por que ;0=dxdv v=cte
Por lo tanto:
0=∆∆+∆Ζ−∆Ζ∆+
θρ ysenxgxxyyXyyyX
Dividiendo esta ecuación entre el V.C
0)1(
0)1(
=+∆
Ζ−Ζ
=+∆∆
∆Ζ−∆Ζ
∆+
∆+
θρ
θρ
gseny
gsenyx
xx
yyXyyyX
yyXyyyX
Si ∆y 0 y sacando el limite:
( ) 0=+Ζ θρgsendyd
yx
Separando variables:
( )
)16(
0
1
1
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−+−=Ζ
=+Ζ
=+Ζ ∫∫
Cygsen
Cygsen
dygsend
yx
yx
yx
θρ
θρ
θρ
Sujeta a las condiciones de frontera:
0=Ζ yx en y=L Aplicándola a la ecuación (16)
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
95
LgsenCCLgsen
θρθρ
=+−=
1
10
Sustituyendo C1 en la ecuación (16):
1Cygsenyx +−=Ζ θρ
( )
)17(1 >−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=Ζ
−=Ζ
+−=Ζ
Lygsen
yLgsen
Lgsenygsen
yx
yx
yx
θρ
θρ
θρθρ
Si:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
Ζ=
=Ζ
LygLsen
dyd
dyd
dyd
X
rXX
XyX
1
1
µθρν
µν
νµ
Separando variables e integrando:
2
2
2
1
CL
yygLsenv
dyLygLsendv
X
X
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −= ∫∫
µθρ
µθρ
Sujeta a las condiciones de frontera: vx=0 en y=0 por lo tanto:
200 C+= ; C2=0 y
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
LyygLsenvX 2
2
µθρ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
22
21
Ly
LysengLvX µ
θρ
Ahora:
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
96
MAXLyX vv ==
Entonces:
)18(2
211
2
2
>−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
µθρ
µθρ
sengLv
sengLv
MAX
MAX
En la superficie libre: y=L
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
97
PROBLEMAS Problema 8.6.- Un conducto hidráulico de 0.635cm se rompe repentinamente a 8m de un depósito cuya presión manométrica es de 207kPa. Compare la rapidez de flujo laminar con una rapidez de flujo no viscoso del conducto roto en m3/s.
QNV=? QV=? a).- Flujo laminar
Aplicando la ecuación de Bernoulli entre 1 y 2 (para flujo no viscoso).
( )
( )
( )ρ
π
ρπ
ρρ
ρρ
2122
2122
22
212
2221
2
222
1
211
24
24
.;.........
2;.........
2
22
ppDQ
ppDQAvQ
ppv
vpp
gzvp
gzvp
NV
NVNV
−=
−==
−==
−
++=++
b).- Para flujo viscoso.
- 2
32Dv
dxd PROMµρ
=
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
98
µπ
µπ
µ
µρ
LPDQ
DDLpAvQ
DLpv
Lp
dxd
V
V
PROM
128
3232
32..;.........
42
22
2
22
2
∆=
∆==
∆=
∆=−
Problema 8.9.- Un fluido fluye entre dos placas paralelar separadas una distancia h. La placa superior se mueve con una velocidad vo, la inferior está estática. ¿Para que valores del gradiente de presión será igual a cero el esfuerzo cortante sobre la pared inferior?
h, vo
dyC
dvydydxdp
Cdy
dvy
dxdp
dydv
ddydxdp
dydv
dyd
dxdp
dyd
dxdp
p
X
X
X
X
yx
henZ yx
µµ
µ
µ
µ
1
1
0..0
1+=
+=
=
=
Ζ=
=∆
∫∫
==
∫∫∫ =+ XdvdyC
ydydxdp
µµ11
21
2
21 Cv
yCydxdp
X +=+µµ
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
99
Aplicando las C.F. en: y=0; vx=0
( ) ( )
µµ
µ
yCydxdpv
C
CCdxdp
X1
22
21
21
0
001
+=
=
=+
Ahora en: y=h, vx=vo
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
+=
dxdphv
hC
hh
dxdpvC
hChdxdpv
O
O
O
µµ
µµ
µµ
2
21
21
2
1
2
1
12
Sustituyendo C1 en la sol. General
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+=
dxdphv
hyy
dxdpv
dxdphv
hyy
dxdpv
OX
OX
µµ
µµ
µµ
22
221
22
22
Si
0==oy
X
dydv :
02
2
21
21
22
0
2
2
=+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
−+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
= hvhy
dxdp
dydv
dxdph
hv
dxdpy
dydv
dxdphv
hdxdpy
dydv
dxdphv
hy
dxdp
dydv
O
y
X
OX
OX
OX
µµ
µµ
µµ
µµ
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
100
2
22
20
hv
dxdp
hh
v
dxdp
hvh
dxdp
O
O
O
µµ
µ
=
=
+−=
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
101
9 ECUACIONES DIFERENCIALES DE FLUJO DE FLUIDOS
Las leyes fundamentales de flujo de fluidos (continuidad, segunda ley de Newton y
conservación de energía), expresadas en forma integral para un volumen de control arbitrario, también pueden expresarse en forma diferencial para un volumen de control, de elemento diferencial. Estas ecuaciones diferenciales para el flujo de fluidos proporcionan un medio para determinar la variación en las propiedades del fluido punto a punto. 1.-ECUACIÓN DE CONTINUIDAD La ecuación de continuidad que se desarrollará, es la ley de conservación de la masa expresada en forma diferencial. Considérese el volumen de control ∆x∆y∆z que se muestra en la figura 1.
Figura 1.- Volumen de Control para el análisis de la ecuación de continuidad
La expresión del volumen de control para la conservación de masa es:
∫∫ ∫∫∫ =∂∂
+⋅ 0)( dVt
dAnv ρρ (4.1)
El flujo de masa )( nv ⋅ρ dA en cada una de las caras del volumen de control se ilustra en la figura 1. La masa dentro del volumen de control es zyx ∆∆∆ρ por lo tanto, la razón de que la masa dentro del volumen de control cambia con respecto al tiempo es:
)( zyxt
∆∆∆∂∂ ρ
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
102
Debe de tenerse en cuenta que la densidad en general es una función de la posición y del tiempo, esto es: ).,,,( tzyxρρ = El flujo de masa que sale del volumen de control es: en la dirección x
zyvvxxxxx ∆∆−
∆+)( ρρ
en la dirección y
zxvvyyyyy ∆∆−
∆+)( ρρ
en la dirección z ( yxvv
zzzzz ∆∆−∆+
)ρρ El flujo total neto de masa es la suma de los tres términos anteriores. Al sustituir en (4.1) se obtiene:
0)()()()( =∆∆∆∂∂
+∆∆−+∆∆−+∆∆−∆+∆+∆+
zyxt
yxvvzxvvzyvvzzzzzyyyyxyxxxxx ρρρρρρρ (2)
El volumen no cambia con el tiempo, de manera que puede dividirse ambos miembros de la ecuación (2) entre el volumen de control ∆x∆y∆z. En el límite a medida que el volumen de control se aproxima a cero, se obtiene:
0)()()()( =∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂ ρρρρ
tv
zv
yv
x zyx (9.1)
Los tres primeros términos comprenden la divergencia del vector ρv. La divergencia de un vector es producto punto con ∇ .
AdivA .∇= Por lo tanto la expresión más compacta de la ecuación de continuidad es:
0=∂∂
+⋅∇t
v ρρ (9.2)
La ecuación de continuidad anterior se aplica al flujo transitorio y tridimensional. Es evidente que cuando el flujo es incompresible la ecuación se reduce a:
0=⋅∇ vρ (9.3)
en la cual el flujo puede ser transitorio o no.
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
103
Para introducir la definición de la derivada sustancial se reordena la ecuación (2):
cialSusDerivada
zv
yv
xv
zv
yv
xv
tZyX
ZyX
tan.............................................
0
⇑
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂
∂+
∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂ ρρρρρ
zv
yv
xv
tDtD
ZyX ∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
= (9.4)
Aplicando esta definición se obtiene:
)5.9(. −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−⋅∇+ vDtD ρρ
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
104
2.- ECUACIONES DE NAVIER-STOKES Las ecuaciones de Navier-Stokes son la forma diferencial de la segunda ley de Newton del movimiento La cual se estableció para un volumen de control arbitrario como
∑ ∫∫ ∫∫∫∂∂
+•=.. ..
)(sc vc
vdVt
dAnvF ρρ (5.4)
En la forma diferencial, (esto es cuando el volumen de control tiende a cero), esto se refiere a las propiedades y análisis de un punto, en el fluido. Puesto que la expresión matemática para cada uno de los términos de la ecuación anterior es bastante larga, cada uno de ellos se evaluará por separado. A cada una de las partes se de la ecuación se divide entre (∆x, ∆y. ∆z) y se saca el limite cuando (∆x, ∆y. ∆z) tiende a cero.
zyx
vdVt
zyxdAnvv
zyxF
zyxzyxzyx ∆∆∆∂∂
+∆∆∆
•=
∆∆∆
∫∫∫∫∫∑→∆∆∆→∆∆∆→∆∆∆
ρρ000
lim)(
limlim
(1) (2) (3) (9.8)
• ANÁLISIS DE SUMA DE FUERZAS EXTERNAS: Las fuerzas que actúan sobre el volumen de control son las que se deben al esfuerzo normal y al esfuerzo cortante y a las fuerzas sobre el cuerpo, como la gravedad.
Figura 2 Volumen de control para el análisis de las fuerzas externas
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
105
Al sumar las fuerzas en dirección x se obtiene:
zyxxgyxzzxzzzx
zxyyxxyyxzyxxxxxxxF x∆∆∆+∆∆−
∆++
∆∆−∆+
+∆∆−∑ ∆+=
ρττ
ττσσ
))()((
))()(())()((
Donde gx es el componente de la aceleración gravitacional en la dirección x. En el limite a medida que las dimensiones del elemento se aproximan a cero, esto se convierte en
xzxyxxxx
zyxg
zyxzyxF
ρττσ+
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∆∆∆
∑→∆∆∆ 0
lim
Para las sumas de fuerzas en las direcciones y y z se obtiene expresiones parecidas:
zzzyzxzz
zyx
yzyyyxyy
zyx
gzyxzyx
F
gzyxzyx
F
ρσττ
ρτστ
+∂∂+
∂∂
+∂∂
=∆∆∆
+∂∂
+∂∂
+∂∂
=∆∆∆
∑
∑
→∆∆∆
→∆∆∆
0
0
lim
lim
• MOMENTO NETO DE FLUJO A TRAVÉS DEL VOLUMEN DE CONTROL
El momento neto de flujo a través del volumen de control se ilustra en la figura 3.
Figura 3 Flujo de momento a través de un Volumen de Control diferencial
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
106
Analizando el primer miembro de la derecha de la ecuación de la segunda ley de Newton que corresponde a la rapidez de momento lineal neto en el volumen de control. Tenemos que:
EntradasalidadAnvvdAnvvdAnvv )()()( ⋅−⋅=⋅ ∫∫∫∫∫∫ ρρρ
Entonces:
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ∆∆+∆∆+∆∆−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ ∆∆+∆∆+∆∆=⋅
∆+∆+∆+∫∫ zzyyxxzzzyyyxxx yvxvzvxvzvyvyvxvzvxvzvyvdAnvv ρρρρρρρ )(
Agrupando términos:
(i) )()()()(zz
zzzyy
yyyxx
xxx vvyxvvvzxvvvzyvdAnvv −∆∆+−∆∆+−∆∆=⋅
∆+∆+∆+∫∫ ρρρρ
Dividiendo la ecuación (i) entre el volumen de control (∆x∆y∆z) y haciendo el límite cuando este tiende a cero, se tiene que:
=⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
∆∆∆
∆∆−+
∆∆∆
∆∆−+
∆∆∆
∆∆−∆+∆+∆+
→∆∆∆ zyxyxvvv
zyx
zxvvv
zyxzyvvv
zzzzzyyyyyxxxxx
zyxLim
)()()(
0
ρρρ
(ii) ⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
∆
−+
∆
−+
∆
−= ∆+∆+∆+
→∆∆∆ zvvv
y
vvv
xvvv
zzzzzyyyyyxxxxx
zyxLim
)()()(
0
ρρρ
Aplicando la definición de derivada x
xfxxfdx
df Limx ∆
−∆+=
∆
)()( a la ecuación (ii),esta tomo la
forma:
(iii ) )()()()(
zyx vvz
vvy
vvxzyx
dAnvvρρρ
ρ
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∆∆∆
⋅∫∫
Haciendo la diferenciación que se indica en el lado derecho de la ecuación (iii),
=∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
=∂∂
+∂∂
+∂∂ )()()()()()()()()( v
zvv
zvv
zvv
zvv
yvv
xvvv
zvv
yvv
x xxxzyxzyx ρρρρρρρρρ
(iv) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
∂∂
+∂∂
+∂∂
+⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
∂∂
+∂∂
+∂∂
= )()()()()()( vz
vvy
vvx
vvz
vy
vx
v zyxzyx ρρρρ
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
107
Pero la ecuación de continuidad en forma diferencial esta dada por:
(a) 0)()()( =∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
zyx vz
vy
vxt
ρρρρ
al despejar de (a) la derivada parcial de la densidad respecto al tiempo se obtiene:
(b) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
∂∂
+∂∂
+∂∂
−=∂∂ )()()( zyx v
zv
yv
xtρρρρ
Sustituyendo la expresión obtenida en (b), en la ecuación de momento de flujo en el volumen de control descrita por la ecuación (iv), tenemos:
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
∂∂
+∂∂
+∂∂
+⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∆∆∆
⋅∫∫ )()()()()()()(
vz
vvy
vvx
vvz
vy
vx
vzyx
dAnvvzyxzyx ρρρρ
ρ
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
−= )()()( vz
vvy
vvx
vt
v zyxρρ
Por lo tanto el término de flujo de momento a través del volumen de control queda da la siguiente manera:
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
−=∆∆∆
⋅∫∫ )()()()(
vz
vvy
vvx
vt
vzyx
dAnvvzyxρρρ
• RAPIDEZ DE CAMBIO DE MOMENTO CON RESPECTO AL TIEMPO DENTRO DEL VOLUMEN DE CONTROL.
La relación de cambio del momento con respecto al tiempo puede evaluarse directamente:
tv
tvv
zyxzyxvt
zyx
Vvtlím
zyx ∂∂
+∂∂
=∂∂
=∆∆∆
∆∆∆∂∂=
∆∆∆
∂∂ ∫∫∫→∆∆∆
ρρρρρˆˆˆˆ)/(ˆ/
0,,
(9-14) Así, se han evaluado todos los términos en la ecuación (9-8):
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
108
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
+∂∂
+∂
∂+
∂∂
+∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
+∂∂
+∂
∂+
∂∂
=∆∆∆
∑→∆∆∆
zzzzyzxz
yyzyyyxy
xxzxyxxx
zyx
egzyx
egzyx
egzyx
zyxF
lím
r
r
r
)(
)(
)(
0,,
ρσττ
ρτστ
ρττσ
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
−=∆∆∆
⋅∫∫→∆∆∆
)()()()(
0,,v
zvv
yvv
xv
tv
zyx
dAnvvlím zyxzyx
ρρρ
tv
tvv
zyxzyxvt
zyx
Vvtlím
zyx ∂∂
+∂∂
=∂∂
=∆∆∆
∆∆∆∂∂=
∆∆∆
∂∂ ∫∫∫→∆∆∆
ρρρρρˆˆˆˆ)/(ˆ/
0,,
Puede verse que las fuerzas se expresan en forma de componentes, mientras que los
términos que corresponden a la rapidez de cambio del momento se expresan como vectores. Cuando los términos del momento se expresan como componentes, se obtienen tres ecuaciones diferenciales que corresponden a los enunciados de la segunda ley de Newton en las direcciones x, y y z:
zyxg
zv
yv
xv
tv
zyxg
zv
yv
xv
tv
zyxg
zv
yv
xv
tv
zzyzxzz
zz
zy
zx
z
zyyyxyy
yz
yy
yx
y
zxyxxxx
xz
xy
xx
x
vvv
vvv
vvv
∂∂
+∂
∂+
∂∂
+=∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂∂∂
+∂
∂+
∂∂
+=∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
σττρρ
τστρρ
ττσρρ
)(
)(
)(
Se observará que en las ecuaciones (9-15) anteriores, los términos del miembro
izquierdo representan la rapidez de cambio del momento con respecto al tiempo y los términos del lado derecho representan las fuerzas.
Si se enfoca la atención en los términos de la izquierda de la ecuación (9-15), se observa que:
xzyxx
zx
yx
xx v
zv
yv
xv
tzvv
yvv
xvv
tv )(
∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
=∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
109
donde la rapidez local de cambio es:
x
x
tv∂∂
donde la rapidez de cambio debida al movimiento:
zvv
yvv
xvv zyx ∂
∂+
∂∂
+∂∂
El primer término, tvx ∂∂ / , involucra a la rapidez de cambio con respecto al tiempo de
xv en un punto y se denomina aceleración restringida. Los términos restantes contienen el cambio en la rapidez de punto a punto, esto es, la aceleración convectiva. La suma de los dos términos, entre paréntesis, es la aceleración total. El lector puede verificar que los términos en el miembro de la izquierda de las ecuaciones (9-15) son todos de la forma
izyx vz
vy
vx
vt ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
donde zyxi vovvv ,= . El término anterior es la derivada verdadera de iv .
Cuando se utiliza la notación de la derivada verdadera, las ecuaciones (9-15) se transforman en
zyxg
DtDv
zyxg
DtDv
zyxg
DtDv
zzyzxzz
z
zyyyxyy
y
zxyxxxx
x
∂∂
+∂
∂+
∂∂
+=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+=
∂∂
+∂
∂+
∂∂
+=
σττρρ
τστρρ
ττσρρ
Las ecuaciones anteriores son válidas para cualquier tipo de fluido. Ahora se utilizaran las relaciones de viscosidad de Stokes que son las siguientes: Esfuerzo cortante:
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
110
)(xv
yv yx
yxxy ∂
∂+
∂∂
== µττ
)(yv
zv zy
zyyz ∂∂
+∂
∂== µττ
)(zv
xv xz
xzzx ∂∂
+∂∂
== µττ
Esfuerzo normal:
Pvxvx
xx −⋅∇−∂∂
= )322( vµσ
Pvyvy
yy −⋅∇−∂
∂= )
322( vµσ
Pvzvz
zz −⋅∇−∂∂
= )322( vµσ
Sustituyendo estas ecuaciones de Stokes en las ecuaciones obtenidas nos da lo siguiente:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )zzz
yyy
xxx
vzvv
zzPg
DtDv
vyvv
yyPg
DtDv
vxvv
xxPg
DtDv
∇⋅∇+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
⋅∇+⋅∇∂∂
−∂∂
−=
∇⋅∇+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
⋅∇+⋅∇∂∂
−∂∂
−=
∇⋅∇+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
⋅∇+⋅∇∂∂
−∂∂
−=
µµµρρ
µµµρρ
µµµρρ
rr
rr
rr
32
32
32
Las ecuaciones anteriores se conocen como las ecuaciones de Navier- Stokes y son las expresiones diferenciales de la segunda Ley del movimiento de Newton para un fluido newtoniano. Éstas ecuaciones son válidas tanto para flujos compresibles e incompresibles. En Mecánica de Fluidos nos limitaremos a estudiar flujos incompresibles. Restricción para flujos incompresibles: 0=⋅∇ v
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
111
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
+∂∂
+∂∂
−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂∂
−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
−=
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
zv
yv
xv
xPg
DtDv
zv
yv
xv
yPg
DtDv
zv
yv
xv
xPg
DtDv
zzzx
x
yyyx
x
xxxx
x
µρρ
µρρ
µρρ
Esta ecuación puede expresarse en forma más compacta en la ecuación vectorial simple:
vPgDtDv 2∇+∇−= µρρ
Las ecuación anterior es la ecuación de Navier-Stokes para un flujo incompresible. Las suposiciones, y por lo tanto las limitaciones son: 1. Flujo incompresible. 2. Viscosidad constante. 3. Flujo laminar. Todas las suposiciones anteriores se asocian con el uso de la relación de viscosidad de Stokes. Si el flujo es no viscoso 0=µ la ecuación de Navier-Stokes se convierte en:
PgDtDv
∇−= ρρ
Se conoce como la ecuación de Euler la cual tiene solo una limitación: que el flujo sea no viscoso.
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
112
3.-ECUACIÓN DE BERNOULLI El análisis de la ecuación de Bernoulli se comenzará con la ecuación de Euler que puede integrarse directamente para un caso particular y para el flujo a lo largo de una línea de corriente. La Ecuación de Euler nos dice que:
PgDtDv
∇−= ρρ
Para integrar la ecuación anterior es muy útil hacer uso de las coordenadas de las líneas de corriente. Las coordenadas de las líneas de corriente son, s y n, que se ilustran en la figura siguiente. La dirección s es paralela a la línea de corriente y la dirección n es perpendicular a dicha línea, alejándose del centro de curvatura en cada instante de tiempo. Este tipo de coordenadas se asemejan a las coordenadas normal – tangencial en movimiento curvilíneo. Por esto la velocidad y presión estarán dadas de esta manera, v = v(s, n, t) y P = P(s, n, t).
Las derivadas verdaderas de velocidad y de presión en la ecuación de Euler deben expresarse en términos de las coordenadas de las líneas de corriente, de manera que pueda integrarse dicha ecuación.
- Primero encontraremos la derivada verdadera de la rapidez de las líneas de corriente.
dnnvds
svdt
tvdv
∂∂
+∂∂
+∂∂
= ; dividiendo por un diferencial “dt”.
dtdn
nv
dtds
sv
tv
dtdv
∂∂
+∂∂
+∂∂
= ; Si conocemos que vsdtds
== & , y que 0== ndtdn
& .
dsdvv
dtdv
dtdv
DtDv
+== (9.22)
- Ahora se determinara el gradiente de presión en coordenadas s – n.
ns enPe
sPP
∂∂
+∂∂
=∇ (9.23)
Sustituyendo la ecuación (1) y (2) en la ecuación de Euler.
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
113
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+∂∂
−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+∂∂
ns enPe
sPg
svv
tv ρρ ; Tomando el producto punto esds con la ecuación.
dseenPe
sPdsegdse
svvdse
tv
snssss ⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+∂∂
−⋅=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅
∂∂
+⋅∂∂ ρρ
Si conocemos que svev
se
sv
ss ∂∂
=⋅∂∂
=⋅∂∂ )( ; además que 0=⋅ ns ee ; 1=⋅ nn ee .
dssPdsegds
svvdse
tv
ss ∂∂
−⋅=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+⋅∂∂ ρρ ;
dssPdsegdsv
sdse
tv
ss ∂∂
−⋅=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+⋅∂∂ ρρ
2
2
(9.24)
Si se escoge la gravedad “g” de manera que actúe en la dirección – y, se tiene gdydseg s −=⋅ . Tomando en cuenta que estamos considerando un flujo continuo e incompresible, la ecuación anterior puede integrarse:
dssPgdydsv
sdse
tv
s ∂∂
−−=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+⋅∂∂ ρρ
2
2
; En donde el término 0=⋅∂∂ dse
tv
s , para un flujo
incompresible. Dividiendo entre ρ.
dssPgdydsv
s ∂∂
−−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
ρ1
2
2
; integrando esta ecuación.
∫∫∫ ∂∂
−−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂ sys
dssPdygdsv
s 000
2 12 ρ
ssPgysv
s ∂∂
−−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
ρ1
2
2
; Derivando Implícitamente obtenemos.
ρPgyv
−−=2
2
; reordenando la ecuación, Obtenemos la Ecuación de Bernoulli.
EPgyv=++
ρ2
2
;
Donde E = constante. La cual se maneja para un flujo no viscoso, continuo e incompresible; además se puede aplicar solo a lo largo de una línea de corriente.
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
114
NOTA: Es importante observar que la suposición de energía interna constante en la ecuación de la energía es equivalente a la suposición de flujo no viscoso. Por lo que se puede interpretar que la viscosidad en el fluido provocará un cambio en la energía interna.
La expresión anterior constituye la ecuación de Bernoulli para un flujo irrotacional y
establece que la energía disponible es constante a través de todo fluido.
El termino de la presión se puede descomponer en dos partes: la presión hidrostática ps y la presión dinámica pd, de tal manera que se tenga p = ps + pd. Si se introduce esta relación en la ecuación se obtiene:
Eqppgh ds =+++
2
2
ρρ
Los primeros dos términos se pueden escribir como
( )hpp
gh ss γ
ρρ+=+
1
Donde h se mide verticalmente hacia arriba. La expresión anterior es igual a una constante, puesto que el lado derecho resulta ser la ley hidrostática de la presión. De este modo, como la suma de los dos términos del lado izquierdo es una constante, se puede, se puede incluir en la constante E de la ecuación de Bernoulli. Una vez eliminado el subíndice de la presión dinámica, esta ecuación quedaría como:
Eqgh =+2
2
Esta ecuación tan sencilla permite calcular la variación de presión si se conoce la
velocidad; o a la inversa, se conoce la presión, es posible calcular la variación de la velocidad. Suponiendo que se conozcan la presión dinámica po y la velocidad qo en un punto:
22
22 qpqp oo +=+ρρ
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
115
EJEMPLO: Un submarino se desplaza en el agua con una velocidad de 30 ft / s. con respecto al agua en un punto A situado a 5 ft arriba de la punta, la velocidad del submarino es de 50 ft/s. determínese tanto la diferencia de presión dinámica entre este punto y la nariz o punta del submarino, como la diferencia de presión entre los mismos puntos. Si el submarino se encuentra estacionario y el agua se mueve alrededor de él. La velocidad en la punta será cero y la velocidad en el punto A será de 50 ft/s. al seleccionar la presión dinámica en el infinito como cero, se obtiene:
2
2oo qp
E +=ρ
; 2
3002
+=E
sluglbftE /*450= Para la punta
450==ρpE ; p = ρE
2/870935.1*450 ftlbp == Y para el punto A
2
2qEp−=
ρ;
250450
2
−=ρp
Y también:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
250
230935.1
22
p
2/1548 ftlbp −= Por tanto, la diferencia de presión dinámica resulta
2/24188701548 ftlb−=−− La diferencia de presión total se puede obtener aplicando la ecuación al punto A y la nariz n
22
22nn
nAA
Aqp
ghqpgh ++=++ρρ
Obteniéndose
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+−=−
2505935.1
22
222
gqq
ghghpp AnAnnA ρ
nA pp − =-2740 lb/ft2
Se puede obtener este mismo resultado si se razona que la diferencia de presión total varia en 5γ de la presión dinámica ya que el punto A se encuentra 5 ft arriba de la nariz; así -2418-5*62.4=-2740 lb/ft2.
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
116
11 ANÁLISIS DIMENSIONAL Variables importantes en la transferencia de momento
Variables Símbolo Dimensión Masa M M
Longitud L L Tiempo t t Rapidez v L/t
Aceleración gravitacional G L/t2 Fuerza F ML/t2
Presión P M/Lt2 Densidad Ρ M/L3
Viscosidad µ M/Lt Tensión Superficial Г M/t2
Rapidez Sonica a L/t Similitud Geométrica y cinemática. La aplicación de los datos experimentales que se obtienen en un modelo y prototipo de tamaño natural requiere de que existan ciertas similitudes entre el modelo y el prototipo. Dos de estos tipos de similitudes son la geometría y la cinemática. Hay similitud geométrica entre dos sistemas si la relación de dimensiones significativas es la misma para los dos sistemas.
Hay similitud cinemática, si en los sistemas geométricamente similares (1) y (2) las velocidades en los mismos puntos se relacionan de acuerdo con las relacione:
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
117
21⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
y
X
y
X
vv
vv
21⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
Z
X
Z
X
vv
vv
Lo que conlleva a declarar que una condición para la similitud cinemática es que también exista una condición de similitud geométrica. Método de Buckinham El análisis dimensional se usa en donde no existe ninguna ecuación diferencial principal y el método a usar será el de Buckinham que establece: El numero de grupos adimensionales utilizado para describir una situación dada que involucre n variables es igual a n-r donde r es el rango de la matriz dimensional de las variables, por tanto:
rni −= Donde: i Número de grupos adimensionales independientes. n Número de variables implicadas. r Rango de la matriz.
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
118
Ejemplo: Determine los grupos s/n dimensión formados con las variables incluidas en el flujo externo del fluido hacia un cuerpo sólido. La fuerza ejercida sobre el cuerpo es una función de v, ρ, M y L que es una función significativa del cuerpo. F=f(v,ρ,µ,L)
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−−−
010131131101101
.........
tLM
LvF µρ
3=r 5=n 235 =−=−= rni π2 Escribiendo π, en forma adimensional:
23000 1
tMLL
LM
tLtLM c
ba
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛==
Igualando sus exponentes:
2000:130:
100:
−++−=++−=
++=
atcbaL
bM
Variable Símbolo Dimensiones Fuerza F ML/t2
Velocidad v L/t Densidad ρ M/L3
Viscosidad µ M/Lt Longitud L L
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
119
1−=b 2−=a ( )
20132
01132
−==+++−
=++−−−
ccc
2
2
1
2
2
221
2121
vL
FE
vL
F
LvF
FLv
U ρ
ρρ
ρ
==Π
==Π
=Π −−−
Para Π2:
23000 1
LtML
LM
tLtLM f
ed
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛==
10:130:
10:
−−=−+−=
+=
dtfedL
eM
1−=d 1−=e
10131
−==−++−
ff
µρρµ
µρ
vLR
RLv
FLv
e
e
=
==Π
=Π −−−
12
1112
El análisis dimensional permite que se relacionen las 5 variables en términos de solo dos parámetros adimensionales de la forma
( )eU RE φ=
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
120
PROBLEMAS Problema 11.7.- Un automóvil viaja sobre una carretera a 22.2m/s. calcular el Re: a).- Con base en la longitud del automóvil b).- Con base en el diámetro de la antena de radio. La longitud del automóvil es de 5.8m y el diámetro de la antena es de 6.4mm.
3
325
5
525
25
109
109105689.1
64.2.22
)1082
1082105689.1
8.52.22
)
105689.1
298250064.0
8.5/2.22
xR
xs
mx
mooosm
vdR
bxR
xs
mx
msm
vdR
as
mx
KCTm
mlsmv
e
e
e
e
ANTENA
=
==∂
=
=
===
=∂
===
==
−
−
−
µρ
φo
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
121
Problema 11.12.- EL funcionamiento de una chumacera sobre una flecha giratoria es una función de las siguientes variables: θ, rapidez del flujo del aceite lubricante al rodamiento en volumen por unidad de tiempo; D, diámetro del rodamiento; N, rapidez de la flecha en rpm; µ, viscosidad del lubricante; ρ, densidad del lubricante, y Г, tensión superficial del aceite lubricante. Sugerir los parámetros apropiados que se deben utilizar para correlacionar los datos experimentales en este sistema.
Rapidez de flujo Q L3/t
Diámetro del rodamiento D L Rapidez de la flecha N 1/t
Viscosidad µ M/Lt Densidad ρ M/L3
Tensión Superficial Г M/t2
ρµ ........ ΓNDQ
tLM
021101301013
111000
−−−−−−
336 =−=−= rni
Grupo básico propuesto:
Γ=Π
=Π
=Π
ihg
fed
cba
DN
DN
QDNND
ρ
µρ
ρ
ρ
3
2
1
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
122
( )
10:330:
:
1 3
31000
−−=++−=
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=Π=
btcaL
aoMt
LLtL
MtLM cba
0=a 1−=b 3−=c
31
311
NDQ
QDNo
=Π
=Π −−ρ
( )
10:130:
1:
132
000
−−=−+−=
+=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=Π=
etfdL
doMLtML
tLMtLM f
ed
1−=d 1−=e
22
2112
2013
ND
DNf
f
ρµ
µρ
=Π
=Π
−==−+
−−−
( )
20:30:
1:
1233
000
−−=+−=
+=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=Π=
htigL
goMtML
tLMtLM i
hg
1−=g 2−=h
33−=
=i
gi
32
3213
3 −
−−−
Γ=Π
Γ=Π
DN
DN
ρ
ρ
( )
0,,
0,,
3223
321
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ Γ
=ΠΠΠ
−DNNDNDQF
F
ρρµ
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
123
PRACTICA DEL PERFIL DE VELOCIDAD EN FLUJO
COMPLETAMENTE DESARROLLADO.
Válvula abierta al 100%; 2730rpm, pa=83991.6N/m2; Ta=22°C= 295K.
sTv
vsT
v
hhhhhh
OcmHh
−=+=
= 25.5
Calculo de la velocidad medida con la presión dinámica.
smU
U
PaThU
98.326.83991
2955.53.237
3.237
=
∗=
=
( )
smv
smmv
UDv
3
22
2
15.0
98.324076.0
4
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
=
&
&
&
π
π
Calculo de la velocidad medida por presión en la tobera.
smV
V
PaTh
V
OcmHh
b
b
3
2
1577.0
6.839912967006.1
006.1
7
=
∗=
=
=
&
&
&
( )
smv
ms
m
v
AVv
vAV
77.34
076.0
41677.022
3
=
∗=
=
=
π
&
&
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
124
Graficas:
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
125
14 FLUJO EN CONDUCTOS CERRADOS. En este apartado se analizara el flujo de fluidos tanto en régimen laminar como turbulento en conductos cerrados, haciendo notar que esto tiene una gran aplicación en ingeniería. Análisis Dimensional del flujo en conductos
Variable Símbolo Dimensiones Caída de presión ∆p M/Lt2
Rapidez v L/t Diámetro tubo D L Longitud tubo L L
Rugosidad tubo e L Viscosidad fluido µ M/Lt Densidad fluido ρ M/L3
Recordando los resultados del análisis dimensional se tiene:
µρ
ρvd
de
dL
vP
=Π=Π
=Π∆
=Π
43
221
,.......
,....
Π1 es el número de Euler. Como ∆P se debe a la fricción del fluido se tiene que:
LghP=
∆ρ
Donde hL es perdida de carga, transformando 1Π en:
gvhL
21 =Π
El tercer número de Π, Π3 es la relación entre la rugosidad de la tobera y el diámetro conocida como rugosidad relativa.
⇒=Πde
3 Rugosidad relativa
Y
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
126
⇒==ΠµρvdRe3 Número de Reynolds
Una expresión funcional que viene del análisis dimensional se representa como:
)1(,,12 >−−−−−−−−−−−−−−−−−−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= e
L RDe
DL
gvh
φ
Determine un conjunto apropiado de números adimensionales con:
( )eLdvfP ,,,,, µρ=∆
Variable Símbolo Dimensiones
Caída de Presión ∆P M/Lt2 Densidad ρ M/L3 Velocidad v L/t Diámetro D L Longitud L L
Viscosidad µ M/Lt Tamaño de la variación de
radio interno e L
010010211111310100011
.....
−−−−−−
∆
tLM
eLdvP µρ
437 =−=−= rni
edv
Ldv
dv
Pdv
lkj
ihg
fed
cba
ρ
ρ
µρ
ρ
=Π
=Π
=Π
∆=Π
4
3
2
1
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
127
( )
20:130:
1:
231000
−−=−++−=
+=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=Π=
btcbaL
aoMLtML
tL
LMtLM c
ba
21
−=−=
ba
00123
==−+−
cc
21
0211
v
Pdv
ρρ
ρ∆
=Π
∆=Π −−
( )
10:130:
1:
3000
−−=−++−=
+=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=Π=
etcedL
doMLtML
tL
LMtLM f
ed
11
−=−=
ed
Re1
2
1112
==Π
=Π −−−
vd
dv
ρµ
µρ
( )
htihgL
goM
LLtL
LMtLM i
hg
−=+++−=
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
0:130:
:
3000
dL
Ldvihg
=Π
=Π
−===
−
3
1003
100
ρ
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
128
( )
de
edvlk
ojkt
lkjLjoM
LLtL
LMtLM l
kj
=Π
=Π
−===
−=+++−=
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
−
4
1004
3000
10
0:130:
:
ρ
Por lo tanto
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
∆=Π
de
dLf
vP ,,
Re1
21 ρ
Experimentos realizados han demostrado que hL (perdida de carga) para flujos totalmente desarrollados es directamente proporcional al L/D, de ahí que esta no va dentro de la relación funcional:
)2(Re,22 >−−−−−−−−−−−−−−−−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
De
DL
guhL φ
La función 2φ que varia con la rugosidad relativa x el Re se representa como f, y el factor de fricción. Expresando la perdida de carga de la ecuación 2, en términos de f se tiene:
)3(22
>−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−=gu
DLfh fL
El factor 2 de la ecuación (3) es la relación que define ff conocido como factor de fricción de Fanning. Otro factor de fricción de uso común es el factor de fricción de Darcy f0, que se escribe como fD;
gu
DLfh DL 2
2
=
Siendo entonces: hL obtenida a través de dos factores, ff o fD, siendo fD=4ff, por lo que hay que tener cuidado en notar cual factor de fricción se está aplicando para determinar en forma apropiada la perdida de carga por fricción usando cualquiera de las ecuaciones 3 ó 4. En este curso se utilizara el factor de Fanning ff. Se podrá verificar que el ff es el coeficiente de fricción superficial, Cf :
ff Cf = A continuación se encontraran las relaciones para ff a partir de la teoría y los datos experimentales.
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
129
Factores de fricción para flujo laminar incompresible. Se debe notar que para los conductos cerrados el flujo es laminar para:
2300Re < Como ya se vio para flujos laminares:
( )
)6(32
32
32
32
)5(32
2Pr
2Pr
0
2Pr
0
02
2
>−−−−−−−−−−−−−−−−−−−=∆
=−
=−−
=−
>−−−−−−−−−−−−−−−−−−=−
∫∫
DLvP
DLvPP
DLvPP
dxD
vdp
Dv
dxdP
om
om
om
LPROMP
P
PROM
o
µ
µ
µ
µ
µ
Y si
)7(32
32
2
2
>−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−=
==∆
∆=
DLvh
DLvghP
Pgh
PROML
PROML
L
µ
µρ
ρ
Combinando (7) con (3)
)8(Re16
16
16
322
2
2
2
>−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−=
=
=
=
f
f
PROMf
PROMf
f
Duf
DuLvf
DLv
gu
DLf
ρµρµ
µ
Por lo tanto es inversamente proporcional a Re para flujos laminares. El ff no es una función de la rugosidad del tubo para Re<2300
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
130
Factor de fricción para flujo turbulento Para este tipo de flujo el ff no se obtiene de forma sencilla como el caso laminar, ya que no hay una relación como la de Hagen-poiseville, mas se puede utilizar en cierta forma los perfiles de velocidad para flujos turbulentos basados en conductos circulares. A continuación se resumen las variaciones de ff de acuerdo con las condiciones de superficie y flujo dadas: Para flujos laminares:
)9(Re16
>−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−=ff
Para flujos turbulentos (tubos lisos):
( ) )10(4.0Relog0.4110 >−−−−−−−−−−−−−−−−−= f
f
ff
Para flujos turbulentos (tubo rugoso)
01.0Re
1<
ff
)11(28.2log4110 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−+=
eD
f f
Para flujo en transición
)12(1Re
67.4log428.2log0.411010 >−−−−−−⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+∗−+=
ff fe
D
eD
f
Factor de fricción y cálculo de hL para flujo en tuberías. Moddy ha presentado un diagrama de solo ff basado en las ecuaciones 4, 10, 11 y 12. La figura 14.1 del texto (welty) es el diagrama de Moddy que grafica ff contra el Re en un conjunto de valores del parámetro rugosidad e/D. Al usar esta grafica se requiere conocer el valor e/D usado en un tubo de material y tamaño dado. Si una tubería o cañería ha estado trabajando por un tiempo, su rugosidad cambia notablemente, haciendo que e/D sea difícil de determinar Por esto Mdoddy hizo otra grafica (fig. 14.2) que determina e/D para un tamaño dado en un tubería o cañería de cierto material dado. Combinando las figuras 14.1 y 14.2 del texto se puede calcular hL para un tubo de longitud L y diámetro D, usando la ecuación (3)
gv
DLfh fL
2
2 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
131
Pérdida de carga en accesorios. La pérdida de carga debida a la fricción calculada por la ecuación (3) es solo una parte de la perdida total de carga que se debe vencer en una tubería y otros conductos que transporten fluidos. Las otras partes de la perdida total es por la presencia de válvulas, codos y otros accesorios que alteren la dirección del flujo del tamaño del conducto las perdidas de carga de estos accesorios son función de la geometría, del Re y de la rugosidad,
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
DeGeometriahH Re,,φ
Como una primera aproximación se ha encontrado que la perdida de carga en los accesorios independiente de Re y se puede evaluar como:
)13(2
2
>−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−=∆
=g
ukphL ρ
Donde k coeficiente que depende del accesorio. Otra forma de evaluar hL es introduciendo la longitud equivalente, Leq:
)14(2
22
>−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
uDL
fh eqfL
De las ecuaciones (13) y (14) se ve que:
DLf
k eqf4=
En la tabla (14.1) se dan valores de k y Leq para accesorios de tuberías. Para un ensanchamiento súbito:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
∆
2
121
22 A
AvvPρ
Diámetro equivalente: Las ecuaciones anteriores se aplican para conductos circulares. Estas ecuaciones también calculan la perdida de carga en un conducto cerrado de cualquier configuración si se usa un diámetro equivalente para un conducto no circular.
MojadoPerímetroFlujoTransSecciónAreaulicoRadioHidra
MojadoPerímetroFlujoTransSecciónAreaDeq
..........
..........4
=
=
En procesos de transferencia de calor es muy común encontrar áreas angulares como:
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
132
( )
( )io
iTRANSV
DDojaPerimetroM
DDA
+=
−=
π
π
.4
220.
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
133
Ejemplo 1.- Fluye agua a 59°F a través de la sección recta de un tubo 6’’ de diámetro de hierro colado con una velocidad de 4ft/s. El tubo tiene una longitud de 120ft y existe un aumento de altura de 2ft entre la entrada y salida del tubo. Encuentre la potencia requerida para producir este gasto en dichas condiciones:
sftx
Wft
lbmsftvFT
25
3
1022.1
?
3.62
/459
−=∂
=
=
==
&
o
ρ
Aplicando la ecuación de la energía:
( )
( )
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++=⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=∂∂
⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
∂∂
−
∂∂
+⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
∂
∂−
∂∂
−∂∂
∫∫
∫∫
∫∫∫∫∫
11
1
21
22
2
22
22uPgyvuPgyvAvdAnvpe
Wt
w
dAnvpet
w
edVt
dAnvpet
wt
wtQ
ss
s
s
ρρρ
ρρ
ρρ
ρρ
ρµ
&
( )
( ) ( )122
1212
12
21
22
2
uuyygAv
W
uuPPyygvvAv
W
s
s
−+−=−
−+−
+−+−
=−
ρ
ρρ&
&
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
134
Y si Lghuu =− 12
( )( )( )[ ]
gu
DLfh
hyygwghyygw
ghyygw
fL
L
L
L
22
)1(2
21
21
12
=
>−−−−−−−−−−−−−−=−−=+−=−
De la figura 14.2 para hierro colado:
4.163934Re
1022.1
1264
Re
0017.0
'''6
25
=
=∂
==
=
=
−
sftx
ftsft
vDvD
De
µρ
φ
Por lo tanto el flujo es turbulento. Con Re y e/D de la figura 14.1
006.0=ff Calculando ahora hL
( )
fthsft
sft
ft
fth
L
L
435.1
1.32
16
126
129006.02
2
2
2
=
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
Sustituyendo hL y valores en la ecuación (1)
( )[ ]
( )
ftlbfHPs
s
ftlbfW
lbmft
lbfs
s
lbmftW
s
ftft
ft
lbm
s
ftmWW
s
ftW
ftfts
ftW
⋅
⋅=
=
∗=∗=
=
−−−=
5501
8.167
2.32
17.5403
44
5.04.6226.110
26.110
435.1201.32
2
3
2
22
32
2
2
2
2
&
&
&&π
kWWHP
kWHPW
2273.01745.0305.0
=
=
&
&
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
135
PROBLEMAS Problema 14.1.- Un aceite cuya viscosidad cinemática es de 0.08x10-3ft2/s y una densidad de 57lbm/ft3 fluye por un tubo horizontal de 0.24plg de diámetro con una rapidez de 106PH. Calcule la caída de presión en 50ft de tubo.
ftLP
hGalQ
pft
lbmsftx
50?
10
lg24.0
57
1008.0
3
23
==∆
=
=
=
=∂ −
φ
ρ
( )
sftv
pftp
sh
Galft
hGal
v
AQv
vAQ
182.1
lg1441lg24.0
43600
148.7110
2222
3
=
∗=
=
=
π
52.295Re
1008.0
1224.0182.1
Re
Re
23
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=
∂==
−
sftx
ftsft
vDvDµρ
Por lo tanto el flujo es laminar Re<2300
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
136
054.052.295
16Re16
=
==
f
f
f
f
L
L
ghP
ghP
ρρ=∆
=∆
2
2
2
2
uDLfP
gu
DLfgP
f
f
ρ
ρ
=∆
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=∆
( ) ( )
2
2
2
2
2
2
2
22
3
lg64.4
lg144175.667
2.3274.21501
182.157
1224.0
50054.02
plbfP
pft
ftlbfP
lbmftlbfs
ftslbmP
sft
ftlbmP
=∆
=∆
=∆
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=∆
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
137
Problema 14.2.- Una tubería de lubricación tiene un diámetro de 0.1plg y una longitud de 30plg. Si la caída de presión es de 15P si G. Calcule el gasto del aceite, use las propiedades del problema 1.
3
23
2
57
1008.0
?
15
lg30lg1.0
ftlbm
sftx
QinlbfP
pLp
=
=∂
=
=∆
==
−
ρ
φ
2
2
2
2
2
2
2
)2(
)1(32
uDLfP
gu
DLfgP
gu
DLfh
ghPD
LvP
f
f
fL
L
ρ
ρ
ρ
µ
=∆
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=∆
=
>−−−−−−=∆
>−−−−−=∆
De (2) y (1)
232gD
LvgPhL ρ
µρ
=∆
=
LPDv
DLvP
gDLvgP
∂∆
=
=∆
=∆
ρ
ρρµ
ρµρ
32
32
32
2
2
2
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
138
sftv
lbfslbmft
slbmlbfv
sftx
ftlbm
ftpftp
ftp
plbf
v
416.13
1.32416.0
1008.05732
121.0
lg121lg30
1lg144
lg15
2
33
3
2
2
2
2
=
∗=
∗∗
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=−
6.1397Re
1008.0
121.0416.13
Re 23
=
=∂
=−
stfx
ftsft
vD
Por lo tanto el flujo es laminar y las ecuaciones utilizadas son las correctas.
hGalQ
hs
ftGal
sftQ
ftsftQ
vAQ
7.19
13600
148.7317.7
121.0
4912.13
3
3
22
=
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
=
π
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
139
Problema 14.3.- Una tubería de 280km de longitud conecta dos estaciones de bombeo. Si se van a bombear 0.56m3/s por una línea de 0.62m de diámetro. La estación de descarga está a 250m más abajo que la estación corriente arriba y se debe mantener una presión de descarga de 300 000Pa. Calcule la potencia que se requiere para bombear el aceite, el cual tiene una viscosidad cinemática de 4.5x10-6m2/s y una densidad de 810kg/m3. El tubo es de acero comercial. La presión de entrada se tomara como la presión atmosférica.
2
26
2
3
810
105.4
?
30000025062.0
56.0
200
mkg
smx
W
PaPmH
ms
mV
kmL
=
=∂
=
==∆
=
=
=
−
ρ
φ
&
&
Acero comercial.
( )
5
26
22
3
1
1055.2Re
1045
62.0854.1Re
854.162.0
456.0
xs
mx
msm
vD
sm
ms
m
v
AVv
vAVPP ATM
=
=∂
=
==
=
=
=
−
π
&
&
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
140
Por lo tanto el flujo es turbulento. Para tubo de acero comercial
lg5.240254.0
lg162.0
pm
pm
=
=
φ
φ
De la figura 14.2: e/D=0.000075 Con Re y e/D de la figura 14.1 ff=0.0049 Calculo de hL
( )
mhsmsm
mm
gv
DLfh
L
fL
75.1550
81.9
854.1
62.02800000049.022
2
2
2
22
=
==
Aplicando la ecuación de la energía entre 1 y 2
( )
( )
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++=⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=∂∂
⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
∂∂
−
∂∂
+⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
∂
∂−
∂∂
−∂∂
∫∫
∫∫
∫∫∫∫∫
11
1
21
22
2
22
22uPgzvuPgzvAvdAnvpe
Wt
w
dAnvpet
w
edVt
dAnvpet
wt
wtQ
ss
s
s
ρρρ
ρρ
ρρ
ρρ
ρµ
&
( ) 1212
12
21
22
2uuPPzzgvv
AvWs −+
−+−+
−=−
ρρ
&
Si Lghuu =− 12
( )
( ) L
L
ghPPzzgvvW
ghPPzzgvvW
−−
+−+−
=
+−
+−+−
=−
ρ
ρ
2121
22
21
1212
21
22
2
2
Como A1=A2 y ρ=ρ1= ρ2, v1=v2
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
141
( )
( ) ( )[ ]
( )
2
2
2
2
2
3
2221
2
2
221
2121
5.1520575.155081.9
2.245810
300000101325
5.2452250081.9
smm
smgh
sm
mkg
Nskgm
mN
PP
smm
smzzg
ghPPzzgW
L
L
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−−=−
−=−
=−
−=−−−=−
−−
+−=
ρ
ρ
Sustituyendo datos en la ecuación del W
[ ]
kgJW
smkgJ
smW
smW
8.12507
8.12507
5.152052.2455.2452
2
22
2
2
2
=
=
+−−=
kWW
WkW
s
WsJW
skg
kgJW
skg
smm
mkgAvm
mwW
S
S
S
S
8.5670
101
115670860
4.4538.12507
4.453854.162.04
810
3
223
=
=
=
=∗==
⋅=
&
&
&
&
&&
πρ
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
142
Problema 14.9.- Calcule la presión a la entrada de una bomba que esta a 3’ sobre el nivel del fluido. La tubería tiene 6’’ de diámetro, 6ft de longitud y esta fabricada de acero comercial. El gasto a través de la bomba es de 500 galones por minuto. Usar la suposición errónea de que el flujo es totalmente desarrollado.
min500
'6''6
?2
GalQ
L
P
=
===
φ
Tubería de acero comercial. Flujo totalmente desarrollado Aplicando la ecuación de Bernoulli en 1 y 2
sft
ft
sft
AQv
sftQ
sGalftGalQ
hzg
vP
zv
PatmP
zg
vPhzg
vP
L
L
57.5
126
4114.1
114.1
60min1
48.71
min500
2
00
22
22
3
3
3
2
233
1
1
1
2
222
1
211
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∗==
=
=
++=−
=≅=
++=−++
π
δ
δδ
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
143
e/D=0.0003 de figura 14.2
52
5
1032.21022.1
5.067.5Re x
sftx
ftsft
vD==
∂=
−
Con Re y e/D de la figura 14.1 ff=0.0046
( )
( )
ftg
P
ftg
Psftsft
ft
sft
sft
gP
61.3
011.35.0
1.32
67.5
5.060046.023
1.322
67.5
2
2
2
2
22
2
2
2
2
=−
++=−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛++
∗=−
ρ
ρ
ρ
22
2
2
22
2
2322
lg55.1
lg14415.224
2.3217232014.621.3261.3
plbfP
pft
ftlbfP
lbmftlbfs
ftslbm
ftlbm
sftftP
−=
=−
=∗∗=−
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
144
Ecuación de Bernoulli
gv
zP
gv
zP
gvz
gP
gvz
gP
22
2222
22
21
11
22
22
21
11
++=++
++=++
γγ
ρρ
Ecuación de la energía
gvzPhh
gvzP
LA 22
22
22
21
11 ++=−+++
γγ
gvzPE2
21
11
1 ++=γ
gv
zP
E2
22
22
2 ++=γ
Perdidas de energía: hL= h1+ h2+ h3+ h4+ h5 +h6 hL Perdida total h1 Perdida en la entrada h2 Perdida por fricción en la L.D.S. h3 Perdida en la válvula. h4 Perdida en los codos de 9.5’ h5 Perdida por fricción en la L.D.D h6 Perdida à la salida. En el diseño o análisis de un sistema de flujo de tuberías haY 6 parámetros básicos involucrados a saber: 1.- hL o hA 2.- m& 0 V& 3.-φ Tubería (succión y descarga) 4.-L Tubería (succión y descarga) 5.- E Rugosidad en la pared de la tubería 6.- Propiedades del fluido.
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
145
Normalmente se calcula uno de los tres primeros parámetros en tanto los demás se conocen o especifican para el diseñador. Métodos para realizar el análisis de diseñó: Clase I.- Se calculan las perdidas o adiciones de energía. Clase II.- Se calcula el flujo volumétrico. Clase III.- Se calcula el diámetro de la tubería.
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
146
Problema 11.1.- De un deposito grande fluye agua a 10°C con un flujo volumétrico de 1.5x10-
2m3/s a través del sistema mostrado en la figura. Calcular la presión en B.
Agua a T=10°C
?
105.13
2
=
= −
BPs
mxV&
A T=10°C de la tabla A.1
smx
msNx
mkgmN
26
23
33
3
103.1
103.1
10
81.9
−
−
=
⋅=
=
=
υ
µ
ρ
γ
Con ''4=φ de la tabla H
2310538.7
97.97
mxA
mm
f
IN−=
=φ
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
147
Aplicando la ecuación de Bernoulli entre A y B
( )
)1(2
02
02
22
2
2
2
22
>−−−−−−−−−−−−−−−=
=−−−+−
=−−−+−
++=−++
gvhzzP
gvhzzP
gvhzzPP
gvzPh
gvzP
BLBA
B
BLBA
B
BLBA
BA
BB
BL
AA
A
δ
δ
δ
δδ
Calculo de la velocidad vB
smv
sm
mxs
mxv
AVv
AvV
B
B
B
B
989.1
989.110538.7
105.1
;
23
32
=
==
=
=
−
−
&
&
( )
mg
v
m
smsm
gv
B
B
2016.02
2016.081.92
989.1
2
2
2
22
2
2
=
=∗
=
Calculo de las perdidas totales hL: Perdida a la entrada
( )( ) mhfiguraladek
gvkh B
2016.02016.0113.10................1
2
1
2
1
===
=
Calculo de las perdidas por fricción en la tubería
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
gv
DLfh B
2
2
2
f Factor de fricción Darcy
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
148
Calculo de f
5
26
1049787.1Re149787Re
103.1
09797.0989.1Re
x
smx
msm
vD
=
=
=∂
=−
Con Re y Tubería de cobre (sin rugosidad) del diagrama de Moody f=0.018
( )
mh
mh
87.2
2016.009797.0
5.77018.0
2
2
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
Calculo de las perdidas en los codos. De la tabla 10.4
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
=
gv
DLefh
DLe
BT 2
30
2
3
fT =f por ser tubería lisa ( )( )mh
mh108.0
2016.030018.0
3
3
==
Calculo de hL
( )mh
hhhhh
L
L
L
17.3108.0387.22016.0
321
=++=
++=
Sustituyendo valores en la ecuación 1.
( )
kPaPmkNkPa
mkNP
mP
mmmP
B
B
B
B
64.84
1181.9
6284.8
2016.017.3012
2
2
=
=
=
−−−=
δ
δ
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
149
Problema 11.6.- Para el sistema mostrado en la figura, calcule la distancia vertical entre las superficies de los dos depósitos cuando el agua a 10°C fluye entre A B a una rapidez de 0.03m3/s. Los codos son estándar. La longitud total de la tubería de 3’’ es de 100m. Para la tubería de 6’’ es de 300m. Utilice E= 6x10-5m para la rugosidad de la tubería.
?=AZ Agua T=10°C flujo de A B
smV
3
03.0=& Codos estándar
smx
mx
mLmL
T
T
26
5''6
''3
103.1
106
300100
−
−
=∂
∈=
==
Aplicando la ecuación de Bernoulli entre A y B
( )BLA
LBA
BB
BL
AA
A
zhzhzz
gvzPh
gvzP
+==−
++=−++22
22
δδ
Calculo de las perdidas de energía, hL *Perdidas a la entrada del tubo ene. Tanque A, h1
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
gvkh2
23
1
De la tabala I-1 con diámetro nominal de 3’’
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
150
233
10585.5
3.84
mxA
mmD
f−=
=
smv
mxs
m
AQv
AvQ
128.5
10585.5
03.0
3
23
3
33
33
=
==
=
−
De la figura 10.13, k=1.0
34.12
81.92
128.5
2
23
2
2
23
=
∗
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=
gv
sm
sm
gv
( ) mmg
vkh 34.134.112
23
1 ==⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
Perdida de la energía por fricción del tubo de ''3=φ , h2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
gv
DLfh
2
23
1
Obtención de f
5
26
33
103.3Re
103.1
0843.02
128.5Re
Re
xs
mx
mm
Dv
=
=
∂=
−
Por lo tanto el flujo es turbulento: La rugosidad es mx 5106 −∈=
14051060843.0
5 ==∈
= − mxmDe
Con Re y e del diagrama de Moody : f= 0.0195
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
151
Sustituyendo valores en la ecuación de h2
mh
mm
mh
99.30
34.10843.01000195.0
2
2
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
Perdida de energía en los codos de 90° de 3’’, h3
De la tabla 10.4, 30=DLe
También de la tabla 14.1 k=0.7
( )( )( )
mhmh
mmhg
vkh
gv
DLefh T
876.1938.02
938.034.17.022
2
3
3
3
23
3
23
3
==
==
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
Perdida de energía en los codos de 90° Perdida de energía en el ensanchamiento subito, h4 De la tabla I-1
smvv
mm
DD
DD
mxA
mDDD
f
IN
128.5
85.10843.0156.0
10910.1
156.0'''6
31
3
6
1
2
226
62
==
===
=
===
−
Con 3
6
DD y v3 de la figura 10.2; k=0.45
( )
mhg
vkh
603.0
34.145.02
4
23
4
=
==
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
152
Perdidas de la energía por fricción en la tubería de 6’’, h5:
188400Re
103.1
156.057.1Re
2
1256.081.9
57.1
2
57.10191.0
03.0
26
66
26
65
2
2
26
2
3
66
66
=
=∂
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=
===
=
−
smx
msm
Dv
gv
DLfh
m
smsm
gv
sm
ms
m
AQv
AvQ
Por lo tanto el flujo es turbulento.
2600106156.0
106
56
5
==∈
∈=
−
−
mxmD
mx
Con Re y ∈
6D del diagrama de Moody:
f=0.0188
( )
mh
mm
mh
54.4
1256.0156.0
3000188.0
5
5
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
Perdida en los codos estándar de 90° de 6’’, h6: De la tabla 14.1 WELTY, k=0.7
mh
mg
vkh
1758.0
1256.07.022
6
26
6
=
∗∗==
||||
Rubio Arana J.C. 19/01/05
153
Perdida de energía en la descarga, h7:
( )
mh
mg
vh
1256.0
1256.012
1
7
26
7
=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
Perdida de energía en la válvula de compuerta abierta a la mitad, h8: De tabla 14.1 WELTY, k=4.4
( )
mh
mg
vkh
896.5
34.14.42
8
23
8
=
==
Cálculo de la pérdida total, hL:
( )mh
mhhhhhhhhhh
L
L
L
546.45896.51256.01758.054.4603.0876.199.3034.1
87654321
=+++++++=
+++++++=
Calculo de ZA
mzz
zhz
A
A
BLA
546.450546.45
=+=
+=