CAPITOLUL I: MECANICA MODELAREA MATEMATICĂ A MIŞCĂRII DIN REALITATEA IMEDIATĂ

(UNIVERSUL MACROSCOPIC)

Originile fizicii, ca de altfel ale tuturor ştiinţelor Occidentului, se află în prima perioadă a filozofiei grecilor - sec. VI î.e.n. – într-o cultură în care ştiinţa, filosofia şi religia nu erau separate. Filosofii aparţinând şcolii din Milet nu operau asemenea distincţii. Scopul lor era să găsească esenţa sau adevărul tuturor lucrurilor, pe care îl numeau “physis” . De la acest cuvânt grecesc derivă termenul “fizică” şi, la început, el desemna efortul de căutare a esenţei lucrurilor.

Domeniul actual de interes al fizicienilor este constituit de orice înseamnă cunoaştere raţională (ştiinţifică); cealaltă cunoaştere posibilă, cunoaşterea intuitivă, este apanajul misticii. Ambele, în prezent, sunt abordate şi de fizicieni şi de mistici.

Discuţie:Vremurile pe care le trăim ne-au relevat fapte deosebit de importante:- cele două forme de cunoaştere nu se exclud; ele se completează (sunt complementare). Fiecare are dovezile şi rezultatele ei concrete şi, ca urmare, susţinătorii ei

convinşi: cunoaşterea raţională - apanajul civilizaţiei de tip european - aduce argumentele întrgii tehnici actuale, în timp ce cunoaşterea intuitivă - apanajul civilizaţiei de tip indo-asiatic - aduce argumentele unor fenomene absolut reale care transcend ştiinţa actuală, nefiind exprimabile cantitativ (analitic). Se pare că omul de ştiinţă modern nu mai are voie să excludă nici una din cele două căi de cunoaştere şi, aşa cum o arată numeroase studii de ultimă oră, un rezultat obţinut printr-una din cele două căi, trebuie „verificat” şi prin cealaltă.

Cunoaşterea raţională se realizează prin cercetare ştiinţifică şi comportă patru faze distincte:I. Prima fază constă în acumularea de date experimentale (empirice) cu privire la un anumit tip de fenomene ce va constitui ulterior clasa de

fenomene investigate.

Discuţie:În cazul obiectului acestei lucrări este vorba despre fenomenele mecanice care vor fi definite ulterior. Etapa acumulării datelor despre astfel de fenomene poate fi

considerată ca începând de la ... Adam şi Eva - practic, de la apariţia conştinţei umane cu privire la mişcare - şi până la cel care a formulat principiile ce guvernează clasa fenomenelor mecanice, Isaac Newton. Aşadar, o foarte lungă perioadă... Însă nu toate ramurile ştiinţelor actuale au avut parte de o asemenea istorie îndelungată; la extrema „scurtă” se poate aminti clasa fenomenelor cuantice unde, de la punerea în evidenţă a acestora şi până la formularea principiilor ce le guvernează nu s-au scurs decât câţiva zeci de ani...

II. În faza a doua datele experimentale acumulate în prima fază sunt „strânse”, clasificate şi sintetizate, astfel încât acestea să fie specifice numai fenomenului investigat (se elimină fenomenele “parazite”). Odată identificate caracteristicile specifice acestuia, se trece la definirea marimilor măsurabile (observabilele fenomenului) şi, în finalul acestei etape se asociază acestora simboluri matematice corespunzătoare (scalari, vectori, operatori, funcţii reale, complexe etc.) evidenţiindu-se relaţiile primare dintre ele (cele empirice, oferite de experienţă sau deductibile prin consideraţii matematice simple). Toate aceste aspecte calitative şi cantitative fundamentale se formulează în fraze şi relaţii matematice fără echivoc ce contituie esenţa analitică (aceea care se poate scrie) a senzaţiilor oferite de simţurile noastre - direct sau prin intermediul unor dispozitive construite în vederea „extinderii” domeniului de percepţie al acestora. Spunem că au fost date principiile teoretice ale clasei de fenomene evidenţiate.

Discuţie:Această fază este realizată de un număr foarte restrâns de oameni de ştiinţă. Este apanajul geniilor absolute (Newton, Maxwell, Einstein, Schrödinger, Heisenberg), de a

sesiza aspectele calitative şi cantitative esenţiale ale unei clase de fenomene, de a le structura conform criteriilor fireşti date de însăşi natură şi, în final, de a „extrage” esenţa analitică cu privire la acestea, numai în câteva fraze şi formule simple...

În sensul acestor afirmaţii şi al obiectului nostru de studiu, trebuie să remarcăm geniul deosebit al lui Newton. După o perioadă de mari frământări şi izolare (se pare că s-a retras timp de 10 ani din viaţa publică), acesta a sesizat natura intrinsecă a fenomenelor mecanice (marea descoperire „calitativă” cu privire la acestea reprezentând-o frecarea dintre corpuri), a sesizat importanţa esenţială a unor noţiuni primare ca viteză, acceleraţie, forţă etc. şi-a construit aparatul matematic necesar pentru a modela matematic aceste noţiuni (este vorba despre calculul diferenţial şi cel integral) şi, în final, a formulat cele trei principiiale mecanicii clasice sub o formă forte apropiată de cea binecunoscută în prezent.

III. În cea de-a treia fază, plecând de la mărimile şi relaţiile simple stabilite în stadiul anterior, pe baza unor operaţii de logică matematică (inducţie şi deducţie) ce vizează o abstractizare şi o generalizare cât mai înaintate, se elaborează o schemă matematică a fenomenului investigat ce realizează interconectarea riguroasă şi unică a mărimilor definite iniţial sau derivate din acestea în decursul procesului (în conformitate cu necesităţile impuse de studiul fenomenelor din clasa considerată). O asemenea schemă se numeşte model matematic sau, dacă este mai complex, teorie.

Discuţie:În ceea ce priveşte clasa fenomenelor mecanice, plecând de la principii, Newton a fost primul care a dezvoltat o teorie a fenomenelor mecanice, cunoscută sub denumirea

generică de formalismul newtonian. Aceasta este valabilă şi în prezent, însă a constituit doar un început pentru teorii ulterioare cu grade de abstractizare matemtică superioare. Istoric, sunt consemnate următoarele formalisme importante:

- formalismul lagrangean;- formalismul hamiltonian.Ultimul, cel hamiltonian, a realizat dezideratul de abstractizare matematică totală, fiind un model matematic absolut, complet lipsit de ambiguităţi, de noţiuni non-

matematice cu posibile sensuri ambigue, interpretabile.

IV. Cea de-a patra fază o reprezintă aplicaţiile practice ale teoriei construite până la acest moment. Pe baza modelului matematic se fac predicţii asupra unor experimente viitoare relative la fenomenul investigat; confirmarea acestora reprezintă finalul muncii fizicianului: dacă modelul său este validat de noile experienţe, teoria sa este preluată de specialişti (ingineri, tehnicieni etc.) şi convertită în diverse tehnologii de îmbunătăţire a unor aspecte concrete ale vieţii.

Discuţii: 1. În momentul în care a elaborat un model matematic pe care ştie să-l folosească pentru a face predicţii, fizicianul poate fi satisfăcut. Dar, dacă va dori să vorbească

despre rezultatele obţinute unor persoane neavizate (chiar altor fizicieni neavizaţi cu aparatul matematic dezvoltat în decursul construirii modelului său) va trebui să formuleze un

1

model verbal şi imaginativ (geometric) care să corespundă cu modelul matematic. Pentru fizician însuşi, formularea în limbaj comun a teoriei sale va constitui un criteriu pentru evaluarea gradului de înţelegere a fenomenului.

2. Modul de abordare a studiului unei clase de fenomene descris mai sus, în care teoria are la bază experimentul, se numeşte metodă ştiinţifică de cercetare a clasei de fenomene respective şi este specifică modului de cunoaştere raţională, “din aproape în aproape”.

3. Cunoaşterea ştiinţifică constituie, e drept, componenta majoră a cercetării, dar nu este totul. Ea nu ar funcţiona dacă nu ar fi completată de intuiţie; aceasta oferă oamenilor de ştiinţă revelaţii, fiind acea “străfulgerare de moment”, acel “scurt circuit” nejustificabil şi impredictibil care se produce pe scoarţa cerebrală, fiind răspunzător de creativitatea cercetătorului şi de progres în ştiinţă. Revelaţiile apar brusc şi nu atunci când cercetătorul este aplecat asupra ecuaţiilor la care lucrează, ci atunci când se relaxează în cadă sau printr-o plimbare prin pădure, pe plajă etc. În decursul unor astfel de perioade de relaxare ce urmează unor activităţi intelectuale de maximă concentrare, intuiţia pare să preia rolul raţionalului, producând idei care rezolvă problema şi constituie deliciul muncii de cercetare.

Aşadar, descoperirile în ştiinţa actuală se fac pe baza metodei ştiinţifice de cercetare - apanajul oricărui cercetător sârguincios – şi a intuiţiei – apanajul geniilor. Teoriile dezvoltate nu au nici o valoare dacă nu sunt formulate în limbaj matematic şi însoţite de o interpretare dată în limbaj curent.

Se pune întrebarea firească: de ce este necesar limbajul matematic, abstract şi greu de înţeles, atâta timp cât, în final, trebuie să ne întoarcem tot la limbajul

nostru comun, „cel de toate zilele”? Răspunsul este următorul şi el justifică intr-o mare măsură de ce oamenii trebuie să înveţe „limba matematică”:

Caracterul ambiguu, lipsa de precizie a limbajului nostru uzual sunt adecvate poeticii, care operează cu asociaţiile şi terminologia percepute la nivelul subconştientului. Ştiinţa, în schimb, are nevoie de definiţii clare şi de asociaţii lipsite de ambiguitate, care să aibă aceeaşi valoare (semnificaţie) în oricare punct al planetei (şi nu numai...) şi în orice perioadă a istoriei omenirii. Pentru aceasta ea abstractizează limbajul curent, limitând semnificaţiile cuvintelor şi standardizându-i structura în concordanţă cu regulile logicii. Abstractizarea de cel mai înalt nivel a limbajului curent se realizează în cadrul limbajului matematic: aici cuvintele au sensuri unice, fiind astfel înlocuite cu simboluri, iar construcţiile sintactice sunt înlocuite cu operaţiile matematice, acestea corelând în mod riguros şi fără echivoc simbolurile implicate.

Discuţii: Opinia că matematica n-ar fi decât limbajul abstract de cel mai înalt nivel, aşa cum l-am descris mai sus, nu este unanim împărtăşită. Mulţi oameni de ştiinţă susţin în

prezent tot mai adesea şi tot mai argumentat că matematica nu este numai un limbaj potrivit pentru a descrie natura, ci limbajul naturii însăşi. Cel care a afirmat pentru prima dată acest lucru a fost Pitagora în faimosul enunţ “Lucrurile sunt numere”, el dezvoltând chiar o mistică a numerelor.

În prezent, tot mai multi oameni de ştiinţă sunt “împinşi” să considere acest fapt ca real; “presiunea” asupra lor nu vine din “exterior”, adică din partea celor ce acceptă deja naturalul limbajului matematic, ci din “interior”, chiar de la natură. Astfel, odată cu descoperirile ciudatelor legi ale micro şi macrocosmosului, oamenii de ştiinţă s-au convins de faptul ca percepţiile noastre – şi odată cu ele şi limbajul uzual care le descrie – sunt extrem de limitate, anume doar la realitatea imediată, care reprezintă un univers extrem de mic. Pentru ceea ce depăşeşte această realitate nu suntem înzestraţi de natură să putem percepe – nu avem simţurile necesare; de aceea mintea noastră nu posedă nici un model imaginativ al acestei “extrarealităţi” şi, deci, nici limbajul uzual nu va putea descrie obiectele şi procesele suferite existente aici. Suntem ca o “muscă” într-o farfurie: nu putem vedea dincolo de marginile acesteia.

Exemplu: Să considerăm în continuare „banalul” electron. De la descoperirea sa, acesta a ajuns foarte repede să fie cunoscut de toţi oamenii. Dar foarte puţini sunt aceia care îşi

pun o „banală” întrebare:- cine sau ce eşti dumnata, „domnule” electron?Adesea am pus această întrebare multor persoane cu care am dezbătut această problemă, de la elevi şi studenţi, la oameni de ştiinţă români sau de altă naţionalitate. Am

primit răspunsuri care de care mai „interesante”. La cerea mea de a mi se explica „mai în detaliu”, în cele mai multe cazuri interlocutorul intră în impas. Pentru a-l scoate din această stare ofer un creion şi cer „să-mi fie desenat electronul”. Uzual, obţin clasicul model Rutherford al atomului, model în care electronii sunt nişte „biluţe” mici care se rotesc în jurul unei „bile” mai mari, nucleul - precum planetele în jurul Soarelui.

Dacă am considera valabil acest model corpuscular al electronului (şi în general al oricărei alte „microparticule”), acesta fiind asimilat unei sfere solide cu raza medie

rezultată din măsurători de , atunci, ţinând cont de valoarea a momentului cinetic de spin, rezultă că un punct de pe ecuatorul său se va roti cu o

viteză de trei sute de ori mai mare decât viteza luminii în vid. Dacă considerăm şi momentul magnetic al acestuia, calculul conduce la concluzia că masa electronului trebuie să

depăşească pe cea a protonului, ceea ce este contrar datelor experimentale. În sfârşit, dacă am menţine masa de repaus a electronului rezultată din măsurători, , atunci

valoarea momentului magnetic al acestuia conduce la dimensiuni ale electronului mult superioare întregului atom. Prin urmare, ipoteza de la care am plecat este falsă.Dacă acum, în locul electronului considerăm fotonul, „particula” fundamentală din care este alcătuită lumina şi care şi-a câstigat dreptul la existenţă prin verificări şi aplicaţii

de circa un secol, lucrurile sunt şi mai complicate. Nu putem nicicum să ne imaginăm - şi, desigur, nici să desenăm - o astfel de „microparticulă” care în universul nostru ar avea masa zero! Şi totuşi suntem tentaţi să-i conferim caracterul de particulă datorită faptului că este „dotat” cu impuls real, manifestat în universul perceptibil. Amintesc în acest sens devierea măsurabilă a unui pendul foarte uşor „bombardat” cu un fascicul LASER intens, deviaţie previzibilă teoretic.

Toată această demonstraţie conduce la o concluzie generală: nici o „microparticulă” nu este... particulă! Dar atunci ce este? Ce este electronul? Ce este fotonul?Ei bine, niciodată un om nu va putea desena un electron sau un foton, din simplul motiv că acestea nu au un corespondent geometric în universul nostru perceptibil. După

unele teorii relativ recente, la nivel microscopic avem de-a face cu entităţi cu mai mult de trei dimensiuni spaţiale şi chiar dimensiunea timp este pusă sub semnul întrebării.Şi totuşi, vorbim curent despre electron şi foton, îi folosim în numeroase aplicaţii concrete şi le calculăm caracteristicile corpusculare. Cum este posibil acest lucru? Tocmai

pentru că ne salvează matematica. Ea ne spune ce este microparticula: o funcţie de undă complexă, , care, împreună cu semnificaţia fizică cunoscută la acest moment, reprezintă singurul model actual viabil al acestor entităţi. Aşadar, imediat ce depăşim micul univers macroscopic, cel perceptibil de simţurile noastre, imaginaţia nu ne mai este de nici un folos, iar singurul mijloc de comunicare cu natura îl constituie modelul matematic.

Natura nu a fost însă cu oamenii “la fel de tirană ca şi cu musca”; ea ne-a permis să ne extindem universul perceptibil. Oamenii au construit diverse dispozitive (microscoape, telescoape, acceleratoare de particule etc.) cu ajutorul cărora şi-au “lărgit” spectrul simţurilor. Problema gravă ce apare este însă aceea că toate aceste dispozitive de sondare a extrarealităţii umane (microcosmos, macrocosmos etc.) nu ne oferă decât informaţii tot de factura simţurilor noastre, de fapt singurele pe care le putem percepe (de exemplu, “fotografia” unui electron realizată într-un accelerator de particule nu ne oferă imaginea electronului, ci efectul trecerii acestuia prin emulsia fotografică, efect detectabil de simţurile noastre: o dâră pe placa fotografică…). Însă din noianul acestor informaţii, oamenii de ştiinţă au reuşit să desprindă numeroase relaţii cantitative, mai întâi, şi calitative, mai apoi, cu privire la obiectele şi fenomenele din extrarealitate. Cu ajutorul lor, prin metoda ştiinţifică descrisă anterior, sau dezvoltat modele matematice ale acestora, modele ce s-au verificat prin consecintele lor practice extrem de bine. Exemple concrete de astfel de “verificări” sunt arhicunoscute: reactoarele nucleare, laserul, microelectronica etc. Partea deosebită faţă de studiul realităţii este însă aceea că aceste modele nu mai suportă acea “traducere” în limbaj uzual, tocmai datorită faptului că transcend realitatea palpabilă.

În concluzie, cunoaşterea realităţii palpabile este posibilă atât prin intermediul simţurilor noastre (există modele imaginative – a se vedea exemplul ciocnirii a două bile), cât şi prin intermediul matematicii, în timp ce realitatea extrasenzorială nu ne este accesibilă decât prin intermediul modelului matematic (nu există modele imaginative – a se vedea exemplul ciocnirii unei „microparticule” cu antiparticula sa, in care ambele dispar, fenomen real ce nu are însă corespondent în imaginaţia noastră, în lumea accesibilă simţurilor noastre).

Toate acease concluzii arată că limbajul matematic este un limbaj universal, cunoscut atât de noi oamenii cât şi de natură, deci singurul în care putem comunica cu aceasta. Cei care nu îl cunosc sunt “puşcăriaşii” lumii simţurilor noastre, care este atât de mică… Cei care vor să “evadeze” nu au decât o modalitate: să înveţe acest limbaj…

2

CAPITOLUL II:MODELAREA MECANO-MATEMATICĂ A UNIVERSULUI MACROSCOPIC (NOŢIUNI FUNDAMENTALE DE MECANICĂ)

1. Mecanica. Introducere

Vom da mai întâi în acest paragraf câteva definiţii ce ne vor introduce în obiectul de studiu al mecanicii definind-o pe aceasta ca o ramură a fizicii de sine-stătătoare:

- Def.: mecanica - ramura fizicii care studiază fenomenele mecanice (mişcarea mecanică) - Def.: sistem mecanic - un ansamblu de corpuri (materiale sau nu!) caracterizate numai prin dimensiunile şi poziţiile lor în spaţiu în raport cu

un sistem de referinţă (nu interesează nimic altceva despre ele, cum ar fi structura internă, sarcina electrică etc.).- Def.: stare mecanică a sistemului mecanic [poziţia sistemului mecanic] - reprezintă totalitatea parametrilor necesari localizării în timp şi

spaţiu a sistemului mecanic considerat în raport cu sistemul de referinţă.- Def.: fenomen mecanic = reprezintă schimbarea stării mecanice a acestuia, în raport cu un alt sistem mecanic numit sistem de referinţă.

Dacă starea mecanică a sistemului nu se modifică în raport cu sistemul de referinţă, spunem că sistemul mecanic este în repaus sau în echilibru mecanic.

- Def.: interacţiune mecanică - este acel tip de interacţiune ce se exercită între două sau mai multe sisteme mecanice şi are ca rezultat modificarea stării mecanice a acestora.

Mecanica prezintă trei subramuri distincte de cercetare:- statica = studiază starea de repaus (echilibru) a sistemelor mecanice;- cinematica = se ocupă cu studiul fenomenelor mecanice în condiţiile neglijării cauzelor acestora;- dinamica = are ca obiect studiul fenomenelor mecanice cu considerarea cauzelor ce le determină.

Discuţii şi definiţii: 1. Conform definiţiei, studiul mişcării unui sistem mecanic presupune alegerea unui alt sistem mecanic drept reper, considerat “fix”, în raport

cu care studiem această mişcare. În natură însă nu există corpuri absolut fixe. Experienţa ne arată că întregul univers se află într-o mişcare continuă şi eternă. De aceea caracteristica de “fix” a reperului este o convenţie ce se referă mai mult la punctul de vedere al observatorului.

2. Mişcarea corpurilor faţă de reperele fixe se numeşte mişcare absolută, iar faţă de cele mobile, mişcare relativă.3. Definiţiile anterioare, fiind noţiuni primare, sunt date în limbaj uzual; ele introduc câteva noţiuni fundamentale în mecanică: spaţiu, timp,

sistem mecanic, stare mecanică, interacţiune mecanică. În acest limbaj primele două noţiuni - spaţiul şi timpul - au diverse sensuri (de exemplu putem avea timp ca noţiune ştiinţifică, timp

ca noţiune metaforică - în poezie - timp utilizat cu sensul de vreme ş. a. m. d.) şi, odată cu acestea şi următoarele noţiuni primare devin ambigue, ceea ce nu este permis – cum afirmam anterior – în cadrul unei teorii ştiinţifice pe care dorim să o dezvoltăm aici. Este deci necesară abstractizarea acestora; în final, în momentul matematizării acestora, când semnificatia lor va fi unică, vor fi înlocuite cu simboluri matematice cu această semnificaţie.

Evident, abstractizarea acestor noţiuni este un proces dificil, de fineţe, ce are loc “din aproape în aproape”; trebuie ţinut cont de informaţiile despre lumea înconjurătoare oferite de simţurile omeneşti. Aceste informaţii descriu caracteristicile celor două noţiuni, determinând modelarea lor matematică (de exemplu, simţurile noastre ne arată că timpul se scurge într-un singur sens; nimic până acum nu a contrazis ireversibilitatea acestuia; acest fapt va conduce -aşa cum vom vedea ulterior - la considerarea timpului ca un parametru matematic strict pozitiv şi crescător ca funcţie de evenimente succesive).

În continuare vom face direct prezentarea noţiunilor matematice de spaţiu şi timp, fără o fundamentare extrem de riguroasă şi completă - care ar depăşi cu mult cadrul fizic al lucrării de faţă - dar încercând să pierdem cât mai puţin din semnificaţiile fizice şi să parcurgem cât mai natural - şi astfel logic - toate etapele tranziţiei de la definiţia în limbaj uzual la matematizarea completă a acestora.

2. Modelarea matematică a universului macrosopic: spaţiul euclidian E3; sisteme de coordonate; coordonate carteziene şi curbilinii

2.1. Spaţiul euclidian E3. Coordonate. Transformări de coordonate

În algebra liniară se construieşte, pas cu pas, modelul matematic al spaţiului fizic. Se ajunge, în final, la structura liniară relativ simplă a spaţiului euclidian tridimensional E3, cu toate proprietăţile acestuia pe care le considerăm cunoscute. Baza în E3 este, de obicei, baza canonică ortonormată:

(1)

Împreună cu un punct fixat, notat cu O şi numit origine, având în această bază, prin convenţie, componentele {0,0,0}, baza canonică formează un aşa numit reper canonic (modelul matematic al noţiunii de reper definită mai sus).

3

Fig. 1Versorii definesc, prin direcţia şi sensul lor, trei axe rectangulare gradate (cu unitatea de măsură definită de modulul lor), concurente în

originea O. Aceste axe, împreună cu originea şi cei trei versori formează aşa-numitul sistem de coordonate cartezian din E3. În acest sistem, poziţia unui punct oarecare din spaţiu este complet stabilită de coordonatele sale carteziene, ce reprezintă abscisele proiecţiilor acestuia pe cele trei axe: P P(x, z, y).

Datorită izomorfismului canonicE3 V3

cele trei coordonate se pot considera a fi componentele pe cele trei axe ale vectorului

(2)

în ultima egalitate utilizând aşa-numita convenţie de sumare după indicele „mut” (sau irelevant) i.Astfel, poziţia lui P poate fi descrisă în acest caz şi de acest vector (tocmai datorită izomorfismului canonic), numit vector de poziţie:

(3)

Discuţii:Sistemul de coordonate cartezian nu este unic; există chiar o infinitate de astfel de sisteme, datorită arbitrariului alegerii în ceea ce priveşte originea sa precum şi direcţia şi

sensul celor trei axe de coordonate.

2.2. Sisteme de coordonate curbilinii generalizate

Discuţie:În afara sistemului de coordonate cartezian, aşa cum vom vedea ceva mai târziu, există şi alte sisteme de coordonate în care se poate descrie poziţia unui punct din

spaţiu. Specific sistemului de coordonate cartezian este faptul că toate cele trei axe de coordonate sunt drepte rectangulare; în cazul general, avem de-a face cu curbe oarecare, motiv pentru care aceste sisteme generalizate se numesc sisteme de coordonate curbilinii generalizate.

Datorită modului nostru de gândire “drept”, sistemul cartezian de coordonate este cel uzual, “de bază”. Nu întotdeuna este însă cel mai convenabil pentru consideraţiile ce trebuiesc făcute în probleme concrete de mişcare mecanică (de exemplu, în cazul mişcării circulare va fi convenabil de considerat aşa-numitul sistem de coordonate plan-polar, despre care vom vorbi separat - considerarea acestuia simplifică drastic toate consideraţiile ce se fac).

Se pune deci problema trecerii de la un sistem de coordonate cartezian la un alt sistem de coordonate curbiliniu. Acest lucru este realizat în cele ce urmează.

În spaţiul euclidian E3 ce modelează spaţiul real macroscopic poziţia unui punct P se poate determina, în general, cu ajutorul unui set de trei parametri (q1, q2, q3) numiţi coordonatele punctului P.

Aceşti trei parametri se pot stabili în mai multe moduri, ceea ce impune următoarea definiţie:Def.: Legea care permite asocierea fiecărui punct din spaţiul euclidian coordonatele sale într-un anumit mod se numeşte sistem de

coordonate.În particular, sistemul de coordonate cartezian despre care am discutat până acum este cel mai utilizat sistem de coordonate, fiind cel

mai accesibil imaginaţiei noastre. În acest sistem, aşa cum am văzut, coordonatele lui P sunt abscisele proiecţiilor punctului pe trei axe rectangulare şi concurente într-un punct dat, numit origine. Orice alt sistem de coordonate în afara acestuia îl vom numi sistem de coordonate curbilinii.

Considerăm în continuare în E3 un sistem de referinţă oarecare căruia îi asociem două sisteme de coordonate: unul cartezian notat cu S

(S = 321 xxxO ) şi un alt sistem de coordonate curbiliniu. Vom nota cu (x1, x2, x3) coordonatele carteziene şi cu (q1, q2, q3) coordonatele curbilinii ale unui punct oarecare P. Întrucât punctul P este unic, rezultă că între cele două seturi de coordonate, când P parcurge spaţiul euclidian (sau doar un anumit domeniu), trebuie să existe o corespondenţă biunivocă. Această corespondenţă va fi o aplicaţie vectorială:

),),,,((),,(: 32321132133 xxqqqxFxxxFEEF (75)ale cărei componente le-am notat, pentru simplitatea consideraţiilor ce vor urma, cu aceleaşi litere ca şi coordonatele carteziene ale lui P. Avem, pe componente, următoarele relaţii:

3,1,, 321 iqqqxx ii (76)Aceste relaţii se numesc relaţii de trecere (de la sistemul de coordonate curbilinii la cel cartezian).Ca şi în cazul transformărilor de coordonate carteziene, realitatea fizică va impune lui F anumite condiţii matematice. În primul rând este

necesar ca F să fie o funcţie local reversibilă – modelarea matematică a faptului că, fizic, trebuie să putem raporta mişcarea la orice reper, şi deci la orice sistem de coordonate, şi să putem trece de la unul la altul fără nici o piedică. De aici, conform teoremei funcţiilor inverse, rezultă că F trebuie să fie, cel puţin local, de clasă C1 şi determinantul său funcţional nenul:

J(F) 0 (77)Ţinând cont de caracterul local al proprietăţii de mai sus, o vom considera îndeplinită pe domeniul D (x) şi, corespunzător, D(q)=F(D(x)).Tot local, în acest domeniu, definim curbele

32133

32122

321113

32133

32122

321112

32133

32122

321111

,,,,,,

:,,,,,,

:,,,,,,

:qqqxxqqqxxqqqxx

qqqqxxqqqxxqqqxx

qqqqxxqqqxxqqqxx

qoo

oo

oo

oo

oo

oo

oo

oo

oo

(78)

unde indicele superior “0” indică faptul că respectivele variabile sunt “fixate”, adică au o valoare dată. Acestea se numesc curbe de coordonate ale punctului P. Evident ele sunt disticte şi concurente în P.

4

Fig. 2Vom defini următorii vectori:

3,1,,, 321

iqx

qx

qx

qre

iiiii

(79)

Aceştia sunt tangenţi în P la qi, (conform interpretării geometrice cunoscute a derivatelor parţiale). În plus, din condiţia ca determinantul funcţional al transformării să fie nenul, conform teoremei corespunzătoare din analiza funcţională, rezultă că sistemul de vectori

321 ,, eee

(80)este liniar independent, deci formează o bază în E3. Vom nota versorii corespunzători acestor vectori cu:

i

ii e

eu

(81)

Aceşti versori sunt, de fapt, versorii curbelor de coordonate în P. Vom distinge cazul particular în care sistemul de vectori este şi ortogonal, caz în care va forma baza canonică

ortonormată din E3 corespunzătoare sistemului de coordonate curbilinii considerat şi utilizată în mod uzual. În acest caz curbele de coordonate vor fi reciproc ortogonale în P şi spunem că avem de-a face cu un sistem de coordonate curbilinii ortogonale.

Discuţie:Sistemele de coordonate curbilinii utilizate în consideraţiile de fizică teoretică sunt în majoritatea cazurilor ortogonale; de aceea, în cele ce urmează vom considera doar

astfel de sisteme. Mai mult, vom descrie succint cele două sisteme de coordonate curbilinii uzuale în fizică.

2.2.1. Sistemul de coordonate sferice

Fie P un punct din spaţiul euclidian tridimensional, având coordonatele carteziene (x1, x2, x3). Poziţia acestui punct poate fi deteminată şi dându-se valorile următorilor trei parametrii:

- distanţa r= = OP [0, ) (modulul razei vectoare), - unghiul [0, ], dintre Ox3 şi raza vectoare;unghiul [0, 2], dintre Ox1 şi proiecţia razei vectoare în planul x1Ox2, OP’ Aceşti trei parametrii se numesc coordonatele sferice ale lui P.

Fig. 3Pentru a găsi curbele de coordonate, trebuie să determinăm relaţiile de trecere de la sistemul de

coordonate cartezian la cel sferic. Acest lucru se face, evident, din considerente pur geometrice. Aşa cum se observă din figură, avem următoarele relaţii de trecere:

(102)

Ca urmare, conform definiţiei, ecuaţiile curbelor de coordinate corespunzătoare sistemului de coordonate sferice vor fi:

"sin"cos"

:,cos'sin'sin'

:,:

3

2

1

3

2

1

3

2

1

xxx

qxxxx

qrxrxrx

q r (103)

5

dreaptă cu originea cerc de rază r în planul cerc de rază r sin în planul în O “median” (Ox3 ,P) “ orizontal” ce trece prin PÎn particular, punând = /2 ne vom „mişca” doar în planul x1Ox2; spunem că avem de-a face cu coordonate plan- polare.

2.2.2. Sistemul de coordonate cilindrice

Poziţia lui P în spaţiu poate fi dată si prin aşa-numitele coordonate cilindrice date de fixarea următorilor parametrii:- proiecţia [0, ) a razei vectoare în planul x1Ox2;- unghiul [o, 2) dintre axa Ox1 şi proiecţia razei vectoare în planul x1Ox2, OP’;- “cota” z = x3 [0, ).

Fig. 4Relaţiile de trecere, în acest caz sunt următoarele:

(106)

Acestea ne dau imediat curbele de coordonate:

zxxx

qx

xx

qxxx

q z

3

2

1

3

2

1

3

2

1

""

:'

sin'cos'

::

(107)

dreaptă cu originea în O cerc în planul “orizontal” dreapta paralelă cu Ox3

ce trece prin P ce conţine pe P ce trece prin P

3. Modelarea matematică a timpului fizic

Pentru a defini într-un mod fără echivoc noţiunea de timp care, aşa cum am văzut, intervine în consideraţiile asupra mişcării mecanice a obiectelor, este necesară o abstractizare etapizată a acesteia, astfel încât, în final să ajungem la abstractizarea de cel mai înalt nivel: matematizarea noţiunii de timp. Pentru a obţine deci modelul matematic al timpului, vom da câteva definiţii preliminarii, (relativ ambigue, tocmai datorită faptului că sunt date în limbaj comun, cu semnificaţii multiple, şi nu în limbaj matematic, cu semnificaţie unică a noţiunilor):

Def.: eveniment = fenomen ce se desfăşoară într-un anumit domeniu spaţial centrat şi având o durată determinată, adică într-un anumit interval de timp.

eveniment ideal = eveniment limită al cărui fenomen asociat se desfăşoară instantaneu şi într-un singur punct din spaţiu;ceasornic = un şir de evenimente corespunzător unui eveniment standard (sigur, repetabil şi identic ori de câte ori se produce – în general un fenomen periodic);ceasornice sincrone = ceasornice pentru care corespondenţa dintre cele două şiruri de evenimente este bicontinuă (nu se poate face distincţie între ele).

Conform acestor definiţii, mişcarea mecanică a unui obiect reprezintă şirul de evenimente idealizate pentru care se specifică locul şi momentul producerii.

Putem da acum o definiţie matematică a timpului fizic; acest model matematic şi dezvoltarea lui ulterioară cuprinde toate aspectele sesizate de simţurile noastre cu privire la această noţiune, în contextul dat de realitatea imediată:Def.: timpul este un parametru scalar real şi pozitiv, notat, în general, cu t, care are o valoare unică pentru fiecare eveniment ideal şi

satisface următoarea convenţie (”curge” într-un singur sens):- dacă E1 şi E2 sunt două evenimente ideale pentru care t are valorile t1, respectiv t2, şi E1 se produce ulterior lui E2, atunci t1t2 .

Aceasta este o definiţie generală, valabilă in toate ramurile fizicii teoretice. În mecanica clasică se utilizează o noţiune mai abstractă numită timp absolut care, în afară de proprietatea de curgere într-un singur sens, mai satisface câteva condiţii suplimentare ce modelează timpul în realitatea imediată, condiţii care nu sunt valabile decât în aceast domeniu de studiu (în microcosmos şi macrocosmos, adică în teoria cuantică şi în cea a relativităţii, aceste condiţii suplimentare nu mai au sens, fapt dovedit de experienţă; mai mult, tot mai des în ultima vreme se pune chiar problema sensului fizic clar al noţiunii de timp):

- nu depinde de mişcarea corpuluiMatematic, această condiţie presupune ca, în cazul în care se utilizează aceeaşi unitate de măsură a scalarului timp în două

sisteme de referinţă oarecare (aflate sau nu în mişcare relativă unul faţă de altul) S şi S’ în care studiem mişcarea corpului, să avem respectate relaţiile (ce reprezintă forma matematică a principiului simultaneităţii clasice):

t’ = t - T t = t’- T’,6

unde T este momentul indicat de ceasornicul observatorului din S în momentul în care ceasornicul observatorului din S’ indică 0, iar T’ este momentul indicat de ceasornicul observatorului din S’ în momentul în care ceasornicul observatorului din S indică 0.

O consecinţă matematică imediată a acestei condiţii o reprezintă transpunerea în limbaj matematic a păstrării simultaneităţii şi ordinii evenimentelor în cele două sisteme de referinţă:

t1 = t2 t1’ = t2’ t1 t2 t1 ‘ t2’- este continuu

Această condiţie revine la aceea că alegând t0 = 0 momentul de timp corespunzător unui eveniment iniţial, atunci pentru orice valoare t (0, ) există un eveniment care se produce la acest moment.

4. Modelarea matematică a sistemului mecanic şi a stării mecanice a acestuia

4.1. Generalităţi

Vom modela matematic pentru început conceptul de stare mecanică.Odată fixat un reper, modelul matematic al stării mecanice a unui sistem mecanic, aşa cum am definit-o anterior, va fi dat de totalitatea

parametrilor necesari localizării acestuia la un moment dat, , în raport cu reperul stabilit (coordonatele sistemului).Aceşti parametri pot fi, în principiu, oricât de mulţi; nu însă şi oricât de puţini. Se impune astfel următoarea definiţie:

Def.: numărul gradelor de libertate ale sistemului mecanic reprezintă numărul minim de parametri (de poziţie) necesari determinării complete a stării mecanice (poziţiei) acestuia în condiţiile în care se află.

Discuţie:Un grad de libertate al unui sistem va corespunde deci unui parametru de stare mecanică (poziţie) al sistemului mecanic respectiv. Fiecare parametru, la rândul său,

corespunde unei posibilităţi de mişcare distinctă (unui efect mecanic elementar) a acestuia: variaţia sa presupune o mişcare elementară a sistemului şi reciproc, orice mişcare elementară presupune variaţia unui parametru de stare mecanică. Ca urmare denumirea de grad de libertate nu este întâmplătoare: sistemul are atâtea grade de libertate câte posibilităţi de mişcare elemetară îi sunt permise. (Prin mişcare elementară înţelegem translaţie în jurul axelor de coordonate carteziene sau rotaţii în jurul acestora).

Evident, atunci când sistemul mecanic este izolat (nu interacţionează mecanic cu alte sisteme) gradele sale de libertate sunt “intacte” fiindu-i permisă oricare dintre mişcările posibile; prin urmare, sistemul mecanic izolat va avea maximum de grade de libertate. De îndată ce scoatem sistemul din izolarea mecanică, interacţiunea cu mediul exterior poate conduce la limitări, în sensul interzicerii anumitor mişcări în anumite domenii spaţiale şi/sau pe anumite intervale de timp (de exemplu dacă aşezăm o bilă pe o suprafaţă, aceasta neputând străbate suprafaţa, rezultă că îi va fi interzisă o posibilitate de mişcare: cea în direcţia suprafeţei respective). Ca urmare, în aceste regiuni din spaţiu şi/sau în intervalele respective de timp, numărul gradelor de libertate ale sistemului mecanic va scădea faţă de valoarea maximă.

În cele ce urmează, modelarea matematică se va referi exclusiv la sisteme mecanice izolate.În ceea ce priveşte matematizarea noţiunii de sistem mecanic, aceasta se face de la simplu la complex în mod logic. În acest sens este

de remarcat faptul că există 5 modele matematice fundamentale:- punctul material;- sistemul de puncte materiale;- solidul (mediul continuu);

-solidul rigid-solidul deformabil (mediu continuu deformabil);

- câmpul.Fiecare model răspunde la 5 clase de situaţii reale concrete în care se pot face aproximaţii simplificatoare justificate de datele

experimentale.În continuare, aceste modele matematice vor fi construite în ordinea prezentată mai sus, care este aceea a creşterii gradului de

complexitate.

4.2. Punctul material (p.m.)

4.2.1. Punctul material ca model de sistem mecanic particular

- Def. : punctul material (p. m.) - este modelul mecanic simplificat al unui sistem mecanic a cărui mişcare se studiază în condiţiile neglijării deformărilor şi rotaţiilor proprii (în jurul unor puncte sau axe solidare cu acesta).

Discuţii:Evident, întrucât nu ne interesează decât deplasarea “globală” a acestui obiect, nu ne vor interesa nici dimensiunile sale, putându-l considera oricât de mic sau oricât de

mare; la limită, posibil doar în cadrul modelului matematic pe care îl construim - unde are sens noţiunea de limită (definită riguros; în natură această noţiune nu există cu adevărat – nu există puncte materiale!) - îl vom considera un punct geometric P din spaţiul E3 înzestrat cu câteva proprietăţi mecanice (modele matematice ale caracteristicilor mecanice observabile) care se vor evidenţia pe parcurs, din consideraţiile experimentale şi teoretice de mecanică clasică (masă, viteză, acceleraţie etc.).

4.2.2. Starea mecanică a punctului material

Conform modelului matematic al reperului mecanic (vezi modelul matematic al spaţiului fizic) şi a celui de punct material, starea mecanică a acestuia va fi descrisă de poziţia punctului P E3 în care se va afla acesta la momentul t considerat: P = P(t). Ori, conform amplelor discuţii anterioare, pentru descrierea completă a acestei poziţii este necesar şi suficient să stabilim coordonatele acestui punct în sistemul de coordonate considerat odată cu modelarea matematică a reperului stabilit la momentul respectiv:

(112)În particular poate fi vorba de coordonatele carteziene sau vectorul de poziţie ale punctului matematic ce modelează punctul material la

momentul considerat.Prin urmare modelul matematic al stării mecanice a p.m. la un moment fixat este dat de ansamblul celor trei coordonate ale punctului

matematic din E3 ce constituie modelul matematic al acestui sistem mecanic particular la momentul respectiv. Spunem că punctul material izolat are trei grade de libertate.

4.3. Sistemul de puncte materiale (s.p.m.)

4.3.1. Sistemul de puncte materiale ca model de sistem mecanic particular 7

Def.: sistemul de puncte materiale (s.p.m.) - este modelul mecanic simplificat al unui sistem mecanic alcătuit din mai multe subsisteme mecanice distincte ce interacţionează mecanic între ele şi a căror mişcare individuală şi de ansamblu se studiază în condiţiile neglijării deformărilor şi rotaţiilor proprii ale acestora (în jurul unor puncte sau axe solidare cu acesta).

Cu aceleaşi consideraţii ca în cazul punctului material se ajunge la concluzia că modelul matematic al acestui sistem mecanic particular este sistemul de puncte , unde n este numărul de subsisteme mecanice de tip puncte materiale ce intră în alcătuirea acestuia – fiecare modelat matematic de punctul respectiv.

4.3.2. Starea mecanică a sistemului de puncte materiale

De asemenea, cu consideraţii similare, rezultă că starea mecanică a acestui tip de sistem mecanic la un moment dat t se poate modela matematic prin ansamblul tuturor celor 3n coordonate ale celor n puncte de mai sus:

(113)Deci sistemul de puncte materiale izolat are 3n grade de libertate.

4.4. Solidul (mediul continuu)

4.4.1. Solidul (mediul continuu) ca sistem mecanic particular – consideraţii generale

Def.: solidul (mediul continuu) - corp material ce umple în mod continuu un anumit domeniu din spaţiu, adică astfel încât în fiecare punct geometric al domeniului ocupat de corp să se găsească câte un punct material al corpului.

Discuţie:După cum s-a văzut în ultimele secole, substanţa are o strucrură “granulară”. La limită avem electroni, protoni etc. ale căror dimensiuni sunt foarte mici în raport cu

distanţele dintre ele – spaţiul “ocupat” în mod real de un sistem macroscopic este mai mult ... gol la nivel microscopic. “Ici-colo” câte o mică particulă.... Prin urmare, noţiunea de continuitate definită mai sus trebuie mai bine precizată. Altfel, singurul model “mai general” de sistem mecanic ar rămâne sistemul de puncte materiale.

Pentru aceasta considerăm o porţiune din mediul continuu; volumul acesteia îl notăm cu , iar numărul de particule (molecule) cuprinse în acesta cu . Pentru ca mediul să posede proprietatea de continuitate trebuie să existe limita

(114)

adică, oricât de mic ar fi volumul elementar, în el să existe totuşi un număr suficient de particule. Întrucât, aşa cum am spus, în mod real o asemenea divizare nu se poate realiza la infinit, pentru ca formula anterioară să aibă sens se introduc câteva noţiuni specifice. Astfel:- Def.: prin domeniu (volum) infinit mic din punct de vedere fizic, vom înţelege acel domeniu (volum) elementar care este mic în comparaţie

cu domeniul spaţial de la care încep să se manifeste neomogenităţile microscopice, dar suficient de mare pentru a cuprinde un număr apreciabil de particule componente.

- Def.: numărul de particule conţinut într-un volum infinit mic din punct de vedere fizic se numeşte particulă infinit mică din punct de vedere fizic sau simplu, particulă (dar numai în acest context). Astfel, în mecanica mediilor continue, prin particulă, vom înţelege întotdeauna particulă infinit mică din punct de vedere fizic.

- Def.: Prin densitate de particule a mediului continuu într-un punct P vom înţelege inversul volumului ocupat de această particulă:

(115)

În cel mai general caz, densitatea de particule este o funcţie de poziţie şi timp:(116)

unde prin înţelegem vectorul de poziţie al particulei. Se poate deci vorbi despre un câmp (scalar) al densităţii. În funcţie de posibilităţile concrete de mişcare ale mediului continuu în raport cu un reper oarecare, detaliate la modelele respective,

distingem tipuri şi subtipuri de astfel modele matematice de sisteme mecanice (clasificare):- solid rigid: distanţa dintre oricare două particule ale acestuia nu se modifică în timpul mişcării;- solid (mediu continuu) deformabil: cazul contrar; la rândul lor pot fi:

- fluide: curg; distingem:- fluide incompresibile: densitatea nu variază cu timpul (lichidele, cu o bună aproximaţie);- fluide compresibile: densitatea variază în timp (ex.: gazele);

- solide: nu curg; avem următoarele subtipuri:- solide elastice: revin la starea mecanică iniţială după îndepărtarea acţiunii mecanice;- solide neelastice (plastice): cazul contrar.

Observaţii:1. Diferenţa dintre solidele elastice şi cele plastice nu este netă: dacă intensitatea acţiunii deformatoare depăşeşte o anumită limită, specifică fiecărui material în parte, orice

deformaţie elastică este însoţită de una plastică.2. Un tip special de mediu continuu deformabil îl constituie plasma. Acest sistem este alcătuit din atomi neutri şi atomi excitaţi, ioni, electroni, fotoni etc.3. Pentru fiecare dintre aceste modele există câte „o mecanică” separată: mecanica solidului rigid, mecanica mediilor deformabile, mecanica mediilor elastice, mecanica fluidelor

etc. Domeniul care le-ar cuprinde pe toate fiind extrem de vast, în prezenta tratare va fi considerat numai cazul particular al solidului rigid.

4.4.2. Solidul rigid

4.4.2.1. Consideraţii generale

8

Def.: solidul rigid - este modelul mecanic simplificat al unui sistem mecanic ce ocupă un domeniu compact în spaţiul mecanic şi a cărui mişcare se studiază în condiţiile neglijării deformărilor.

Conform acestei definiţii şi consideraţiilor privind modelarea spaţiului fizic, rezultă că acest sistem mecanic particular poate fi modelat matematic ca un domeniu compact din E3: D E3. Neglijarea deformaţiilor acestuia se “traduce” în acest model matematic prin condiţia ca oricare ar fi poziţia sistemului, domeniul D’ ocupat de acesta în E3 să fie similar cu cel “iniţial”, în sensul dat de algebra diferenţială acestei noţiuni (D’ să poată fi suprapus geometric peste D sau, din punct de vedere analitic D’ să se obţină din D prin rotaţii şi/sau translaţii – punctele din aceste domenii să se corespundă prin transformări de coordonate de acest tip).

4.4.2.2. Starea mecanică a solidului rigid

Dacă am considera solidul rigid ca ansamblul de puncte materiale din domeniul ocupat de acesta (solid rigid = „sistem continuu de puncte materiale”), ar rezulta că este imposibil să construim un model matematic: poziţia acestui sistem ar fi descrisă de o infinitate de coordonate, anume cele ale tuturor punctelor P D. Evitarea acestei “nedeterminări” este simplă şi se poate face prin următorul raţionament:

- fie A1, A2, A3 trei puncte oarecare necoliniare din D având coordonatele:(117)

Dintre cele nouă coordonate numai şase sunt independente, deoarece ele sunt legate prin 3 relaţii analitice care ne dau distanţele dintre cele 3 puncte – aceste distanţe vor fi cunoscute, deoarece domeniul ocupat de sistemul mecanic considerat este cunoscut odată ce a fost dat rigidul (domeniul însuşi, nu poziţia sa în spaţiu – de exemplu, în cazul unui elipsoid se cunoaşte ecuaţia de principiu a acestuia în sistemul de coordonate respectiv, dar nu şi ecuaţia efectivă în reperul considerat, adică poziţia sa). Prin urmare, poziţia celor trei puncte ale rigidului este complet determinată cu ajutorul a şase coordonate independente.

Odată cunoscută însă poziţia acestora, atunci va putea fi determinată poziţia oricărui punct din domeniul ocupat de rigid. Într-adevăr, domeniul fiind cunoscut se vor cunoaşte distanţele de la punctul considerat la cele trei puncte fixate şi, pe baza acestora se pot calcula cele trei coordonate ale punctului. Prin urmare, cunoaşterea celor 6 coordonate independente este necesară şi suficientă pentru cunoaşterea poziţiei rigidului considerat, sistemul acestora modelând astfel matematic starea mecanică a sistemului mecanic respectiv.Aşadar, solidul rigid izolat are şase grade de libertate.

Discuţie:Cei şase parametri necesari determinării stării mecanice a solidului rigid pot fi stabiliţi în multe moduri, nu neapărat în cel descris mai sus. Un mod utilizat adesea în

practică este următorul (descrierea sa conduce la aceaşi concluzie ca mai sus):- Fie S = Oxyz sistemul de referinţă fixat în E3 şi O’ D un punct în domeniul compact ocupat de solidul rigid considerat. Dacă în O’ construim un nou reper cartezian S’ =

O’x’y’z’, domeniul D fiind cunoscut înseamnă că pozitia oricărui punct al său va fi cunoscută în acest reper propriu S’. Deci, pentru determinarea poziţiei solidului rigid este suficient să determinăm poziţia lui S’ în S. Consideraţii ample anterioare ne spun că această poziţie poate fi dată prin poziţia lui O’ în S, (xo, yo, zo), şi prin unghiurile de înclinare a axelor lui S’ faţă de cele corespunţătoare din S, respectiv prin cei trei cosinuţi directori independenţi; în total 6 parametri independenţi.

Uzual, din considerente de simplitate a consideraţiilor analitice (calculelor), cele trei unghiuri independente ce definesc orientarea (poziţia unghiulară a) solidului rigid se aleg ca fiind unghiurile Euler, definite prin construcţia anterioară.

4.5. Câmpul

Câmpul este un alt model mecanic simplificat de sistem mecanic din universul imediat. El a fost creat în stare incipientă de Newton care, în formularea legii atracţiei universale, şi-a pus problema transmiterii la distanţă a interacţiunii gravitaţionale. Ulterior s-a constatat că există numeroase interacţiuni de tip mecanic care nu au un suport substanţial, “palpabil”, cele mai cunoscute fiind interacţiunea electromagnetică şi cea nucleară. Întrucât mintea umană nu poate concepe că în universul macroscopic se poate transporta ceva (energie, impuls etc.) fără intermediar substanţial, ea a creat un astfel de suport ipotetic, adică un sistem mecanic intermediar, “de transport”, nesubstanţial (adică diferit de substanţa ce se relevă simţurilor noastre), căruia i-a studiat proprietăţile generale şi l-a modelat matematic.

Discuţie:Teoriile microscopice (cuantice) ulterioare au arătat însă că, întra-devăr, acest transport nu se face fără suport material; este vorba însă de un suport microscopic alcătuit

din entităţi pe care nu le putem concepe (nu avem modele pentru acestea, întrucât la nivelul de percepere al simţurilor noastre – cel macroscopic – nu există nimic similar). De exemplu, s-a văzut că interacţiunea electromagnetică este “transportată” de fotoni, entităţi ce au masa (de repaus) nulă şi despre care am discutat în primul capitol al acestei lucrări. Care om poate concepe o entitate care te poate lovi (fotonul având impuls), dar fără a avea masă!? Ceea ce ştim despre entităţile microscopice sunt date statistice – medieri macroscopice. Teoriile cuantice au creat modele pur matematice ale acestora – bazate pe intuiţie şi pe principii de corespondenţă - capabile să prevadă la nivelul macroscopic – al ansamblurilor statistice spaţiale sau temporale – fenomenele relevate de simţurile noastre (cu ajutorul, eventual, al unor dispozitive ce constituie doar o simplă “prelungire” a acestora...).

Este vorba deci de un sistem mecanic „de transport” distinct, diferit de substanţă, numită radiaţie, (de fapt avem: substanţă + radiaţie = materie). Modelul macroscopic al acesteia a fost numit câmp. Ulterior, evidenţiindu-se faptul că elementele constitutive ale acestui sistem mecanic sunt complet diferite de clasicele puncte materiale sau particule infinit mici din punct de vedere fizic din cadrul mediului continuu, construcţia şi analiza acestuia au devenit apanajul preponderent al teoriilor cuantice, reunite în aşa-numita teorie a câmpului.

Observaţie:A nu se confunda câmpul ca model mecanic cu un câmp vectorial de forţe. Acesta din urmă, aşa cum vom vedea, este modelul unui anumit tip de interacţiune mecanică; el

poate fi foarte bine de tip substanţial cu distribuţie continuă – cum ar fi un câmp elastic.

5. Modelarea matematică a fenomenului mecanic (efectului mecanic)

5.1. Modelul matematic general al fenomenului (efectului) mecanic

Conform definiţiei date anterior, fenomenul mecanic reprezintă acel tip de fenomen din universul macroscopic ce are ca rezultat modificarea în timp a poziţiei (stării mecanice) a sistemului mecanic considerat.

Odată modelate matematic spaţiul, timpul, starea mecanică şi sistemul mecanic, putem modela matematic acum, conform acestei definiţii, fenomenul mecanic. Astfel, după cum am văzut, starea mecanică a sistemului mecanic reprezintă totalitatea coordonatelor independente ce descriu poziţia acestuia într-un reper stabilit:

(118)Prin urmare, modificarea acestei stări în timp, adică fenomenul mecanic, va fi modelat matematic prin orice tip de variaţie a acestor

coordonate.9

Discuţie:Până aici, pe baza informaţiilor directe furnizate de simţurile noastre nu putem impune funcţiilor q decât condiţia de continuitate pe domeniul lor de definiţie. Vom vedea în capitolul următor că implementarea observabilelor mecanice în modelul pe care tocmai îl construim va impune acestor funcţii condiţii suplimentare: este

necesar ca funcţiile q să fie de clasă C2, adică derivabile de două ori şi cu derivate continue (pentru a se putea defini noţiunile de viteză şi acceleraţie momentane).

5.2. Fenomene (efecte) mecanice directe (manifeste, mişcări) şi indirecte (nemanifeste, legături)

Experienţa ne arată că interacţiunile mecanice pot conduce la fenomene mecanice modelate matematic prin două tipuri de modificări ale coordonatelor sistemelor ce interacţionează:

a) fenomene mecanice directe (manifeste, mişcări): sunt modelate matematic prin variaţia sau nu a unora din coordonatele sistemului în raport cu timpulDe exemplu, prin acţiunea mecanică directă şi centrală asupra unei bile izolată mecanic până în acel moment, aceasta se va deplasa pe

direcţia acţiunii; dacă această acţiune este îndreptată pe Ox, evident că se va modifica doar coordonata x a bilei, celelalte rămânând neschimbate; spunem că avem translaţie a bilei pe această axă. Dacă aplicăm bilei încă o acţiune mecanică directă egală şi de sens opus primei, atunci cele două acţiuni se vor anula reciproc, înregistrându-se - aşa cum vom vedea - tot un fenomen mecanic manifest, numit echilibru mecanic al bilei, caracterizat (modelat) prin constanţa în timp a coordonatelor acesteia.

Fig. 5b) fenomene mecanice indirecte (nemanifeste, legături): sunt modelate matematic prin apariţia unor relaţii între coordonatele

sistemului De exemplu, dacă bila anterioară se află pe o masă plană, atunci, deplasarea ei prin aplicarea forţei nu va mai fi arbitrară ci se va face

obligatoriu în planul mesei. Acest lucru face ca în orice moment coordonatele sale să satisfacă ecuaţia planului ce modelează matematic masa respectivă. Prin urmare, acţiunea mecanică a mesei asupra bilei s-a concretizat matematic prin relaţia de dependenţă funcţională ce apare între coordonatele bilei faţă de situaţia anterioară în care nu acţionează decât forţa.

Fig. 6Discuţii:1. În general, sistemele mecanice sunt supuse simultan la interacţiuni ce determină fenomene complexe, constând în suprapunerea simultană a fenomenelor mecanice

directe şi indirecte (cazul bilei de pe masă, lovită efectiv). Ca urmare, în modelul matematic general, vom avea - aşa cum vom vedea, atât dependenţe temporale ale coordonatelor sistemului mecanic, cât şi relaţii de dependenţă între acestea.

2. În cazul fenomenelor mecanice indirecte, atunci când avem de-a face cu relaţii de dependenţă între coordonate, acestea vor conduce, tocmai prin modul lor de definire, la reducerea numărului de parametri independenţi de stare mecanică, deci la reducerea gradelor de libertate ale sistemului mecanic.

Prin urmare, modelul matematic al fenomenului mecanic va fi:

- fenomen mecanic direct: (ecuaţii de mişcare) (119)

- fenomen mecanic indirect (legătură): (ecuaţii de legătură) (120)

- fenomen mecanic general: (ecuaţii de mişcare) (121)

unde avem următoarele notaţii şi denumiri „noi”:- - condiţia iniţială = starea mecanică a sistemului mecanic în momentul declanşării interacţiunilor mecanice exterioare

(momentul iniţial to);- - totalitatea parametrilor mecanici de stare derivaţi (alţii decât coordonatele ale sistemului mecanic - viteze acceleraţii impulsuri etc.

);- simbolul (*) utilizat în relaţiile de mai sus poate fi, după caz, unul din următoarele simboluri algebrice opraţionale: , , , , .

Definiţia generală a legăturilor, prin forma ei, conduce la câteva clasificări ale acestora cu suport distinct în realitate, care devansează cu puţin noţiunile introduse până acum (se vorbeşte despre viteză, ca parametru derivat explicit):

după “valoarea” simbolului *:- legături unilaterale: dacă (*) (=)- legături bilaterale: dacă (*) = (=)

după cum apar sau nu parametri derivaţi în egalităţi:- legături olonome (geometrice, finite): nu apar explicit în aceste relaţii- legături neolonome: apar explicit în aceste relaţii

10

- legături cinematice (diferenţiale): dacă apar explicit numai vitezele după cum timpul apare sau nu explicit în egalităţi:- legături scleronome: t nu apare explicit în aceste relaţii- legături reonome: t apare explicit în aceste relaţii.

5.3. Fenomene (efecte) mecanice directe (mişcări) modelabile matematic. Fenomene (efecte) mecanice (mişcări) elementare

De remarcat că, în cazul general, un fenomen mecanic direct (manifest) este foarte complicat, ceea ce se reflectă şi asupra modelului său matematic, adică asupra funcţiilor ce îl modelează. În foarte puţine cazuri acestea există concret. Mişcarea mecanică a unui sistem mecanic real este imposibil de modelat matematic, fiind imposibil de găsit funcţii analitice (a căror expresie să poată fi scrisă) care să corespundă, conform modelului creat, mişcării reale.

Ca urmare, fenomenele mecanice directe (manifeste) nu pot fi studiate pe cazul general, ci doar pe anumite cazuri simple, ideale, ce pot fi reduse la suprapuneri de aşa-numite fenomene mecanice (mişcări) elementare.

Să vedem, în continuare, care sunt aceste fenomene elementare. Un prim fenomen elementar este acela în care care toate coordonatele sistemului mecanic sunt constante în timp, fenomen numit echilibru mecanic sau repaus.

Apoi, pentru restul situaţiilor, să observăm că putem avea două mari categorii de coordonate ce definescc starea mecanică, variaţia numai a celor dintr-o categorie delimitând cele două mari clase de fenomene elementare cunoscute:

- coordonate liniare – variaţia acestora modelează mişcarea sistemului mecanic de-a lungul unei direcţii, mişcarea numită translaţie de-a lungul direcţiei respective;- coordonate unghiulare – variaţia acestora modelează mişcarea sistemului în jurul unei axe, mişcare numită rotaţie în jurul axei

respective.Putem afirma acum că simplele cazuri de fenomene mecanice directe (mişcări) modelabile matematic la care ne-am referit anterior, ce

reprezintă suprapuneri ale celor elementare, sunt aşa-numitele rototranslaţii, în care sistemul are o mişcare complexă care se poate descompune în translaţii de-a lungul unor anumite direcţii şi rotaţii în jurul unor anumite axe. În modelul matematic al acestor fenomene simple vor varia numai acele coordonate corespunzătoare acestor mişcări elementare.

DiscuţieDeformaţiile mediului continuu deformabil sunt reductibile prin simplificările ce teoretizează în prezent aceste tipuri de fenomene mecanice, tot la rototranslaţii, cu caracter

local.

6. Modelarea matematică a interacţiunii mecanice

6.1. Generalităţi

Def.: interacţiunea mecanică dintre două sau mai multe sisteme mecanice este acel tip de interacţie fizică ce are ca rezultat final doar modificarea sau nu a stărilor mecanice ale acestora, adică modificarea sau nu a poziţiilor lor într-un reper fixat. Pentru a vedea cum stau lucrurile în detaliu, adică pentru a pune în acord teoria cu experienţa astfel încât să putem modela matematic

acest tip de interacţie, vom considera cazul elementar: un sistem mecanic martor (de probă), Q ce interacţionează mecanic cu mediul său exterior, pe care îl considerăm un alt sistem mecanic W, (spunem că cele două sisteme au fost aduse în contact mecanic), suferind un fenomen mecanic notat simbolic în cele ce urmează cu .

În cadrul modelării matematice a interacţiunii mecanice, trebuie mai întâi sa observăm că modelul ce dorim să-l construim depinde decisiv de doi factori:

- modelul sistemului mecanic Q;- modelul fenomenului mecanic suferit de acesta, .Aşadar, înainte de a trece la operaţiunea anunţată în titlul paragrafului, trebuie să revedem clasificările celor două noţiuni, clasificări ce

vor determina clasele de modele matematice ale interacţiunii mecanice:- model de sistem mecanic:

- punct material;- sistem de puncte materiale;- solid rigid;- solid (mediu continuu) deformabil;- câmp;

- model de fenomen mecanic:- fenomen mecanic elementar (modelabil matematic) direct:

- translaţie;- rotaţie;- repaus;- rototranslaţie;

- fenomen mecanic indirect (legătură).În paragrafele următoare vom trata pe rând toate cazurile distincte - din puctul de vedere al modelării matematice a interacţiunii

mecanice care rezultă din clasificările anterioare.

6.2. Modelarea matematică a interacţiunii mecanice care generează fenomene mecanice directe

6.2.1. Modelarea matematică a interacţiunii mecanice care generează fenomene mecanice directe în cazul punctului material. Forţa ca vector determinat

11

Ca urmare a definiţiei acestui sistem mecanic, fenomenele mecanice directe pe care le poate „suferi” sunt doar repausul şi translaţia; nu are sens să vorbim despre rotaţia sau rototranslaţia punctului material.

În cazul interacţiunii mecanice a punctului material Q cu mediul său mecanic exterior W, experienţa arată că modificările (deplasările acestuia) induse în sistemul Q se produc cu o anumită intensitate (sunt mai mari sau mai mici) şi în mod direcţionat (deplasări pe sau în jurul anumitor direcţii şi în anumite sensuri).

Modelul matematic ce înglobează aceste caracteristici ale interacţiunii mecanice este, evident, cel de vector. El are un punct de aplicaţie bine determinat (spre deosebire de cazul mediilor continue), anume punctul geometric ce modelează matematic punctul material.

Acest model este confirmat şi de alte fapte experimentale: dacă asupra lui Q acţionează două sisteme mecanice W1 şi W2, atunci, cunoscând efectul fiecărei interacţiuni în parte, efectul total se poate construi prin regula paralelogramului, în sensul că modificarea globală a poziţiei sistemului este dată de diagonala mare a paralelogramului construit cu modificările individuale. Ori aceasta este chiar regula de compunere a (adunarea) vectorilor. În acelaşi mod se poate verifica orice altă proprietate vectorială a interacţiunilor mecanice.

Prin urmare:- modelul matematic al interacţiunii mecanice exercitată asupra punctului material este un vector bine determinat (cu intensitate, direcţie

sens şi origine) ce se notează uzual cu şi se numeşte forţă.

Fig. 7De fapt, mai mult, avem de-a face cu o funcţie vectorială ce depinde (explicit sau implicit) atât de spaţiu şi timp, cât şi de sistemul

mecanic asupra căruia se exercită interacţiunea mecanică: (122)

Discuţie:Expresia analitică efectivă (122) a forţelor modelabile matematic nu este accesibilă din punct de vedere teoretic. Există o infinitate de tipuri de interacţiuni mecanice; dintre

acestea foarte puţine sunt teoretizabile, în sensul că foarte puţine admit simplificări convenabile din punct de vedere teoretic - astfel încât să se poată postula, pe baza determinărilor experimentale, o expresie analitică – şi experimental – astfel încât rezultatele obţinute să concorde cu experienţa în limite acceptabile. Fiecare dintre acestea fac obiectul câte unui capitol distinct al fizicii:

- forţa elastică oscilaţii mecanice,- forţa de frecare tribologie,- forţa gravitaţională gravitaţie etc.

6.2.2. Modelarea matematică a interacţiunii mecanice care generează fenomene mecanice directe în cazul sistemului de puncte materiale. Forţe exterioare şi forţe interioare

Evident, vom avea de-a face cu acelaşi model matematic ca în cazul punctului material, însă „multiplicat” cu N, numărul de particule componente ale sistemului.

Este de menţionat însă o distincţie cu caracter doar generic între două categorii de forţe ce acţionează asupra punctelor componente (nu există nici o deosebire legată de modelarea matematică între aceste tipuri de forţe):

- forţă exterioară - este modelul matematic al acţiunii mecanice a mediului exterior sistemului mecanic asupra punctelor materiale componente ale acestuia:

(123)

- forţă interioară - este modelul matematic al interacţiunilor mecanice reciproce dintre punctele materiale ce constituie sistemul mecanic considerat, luate două câte două:

(124)

Fig. 8Prin urmare:

12

- modelul matematic al interacţiunii mecanice exercitată asupra sistemului de N puncte materiale este un sistem de forţe format din două subsiteme de vectori bine determinat (cu intensitate, direcţie sens şi origine): N forţe exterioare descrise de relaţia (123) şi forţe interioare descrise de relaţia (124).

6.2.3. Modelarea matematică a interacţiunii mecanice care generează fenomene mecanice directe în cazul solidului rigid

DiscuţiePrin natura acestui sistem, el poate modela fenomene mecanice directe de cel mai general tip. Aşa cum spuneam, cele modelabile

matematic sunt rototranslaţiile. Vom arăta într-un capitol ulterior (la cinematica şi dinamica solidului rigid) că, din puctul de vedere al procesului de modelare matematică, acestea sunt decompozabile în fenomene elementare de translaţie şi rotaţie (în sistemul de referinţă legat de centrul de masă), concluziile finale putându-se obţine printr-o anumită suprapunere a rezultatelor obţinute din studiul acestor fenomene „componente”.

Se impune astfel studiul separat al fenomenelor de translaţie şi rotaţie şi modelarea matematică corespunzătoare.

6.2.3.1. Cazul fenomenului elementar de translaţie. Forţa ca vector alunecător

Ca urmare a definiţiei fenomenului mecanic elementar de translaţie (variaţie numai a coordonatelor „liniare”), situaţia considerată în acest paragraf este similară într-o măsură extrem de mare celui legat de fenomenele mecanice în care sistemul mecanic este modelabil printr-un punct material. Modelarea matematică a interacţiunii mecanice responsabilă de producerea translaţiei rigidului solid va fi dată tot de noţiunea de vector, păstrându-se aceeaşi denumire de forţă.

Singura deosebire este legată de caracterul „finit” al solidului rigid (faţă de punctul material): acţiunea mecanică asupra acestuia, în mod real, nu se face într-un singur punct - această situaţie reprezentând, evident, un caz ideal, teoretic - ci într-o zonă finită a sistemului - pe o suprafaţă sau într-un anumit volum(de exemplu, cazul forţelor de frecare distribuite pe suprafaţa de contact). Se foloseşte termenul de forţă distribuită.

Fig. 9

În cele mai multe cazuri distribuţia forţei nu se poate determina, în sensul că sunt foarte puţine situaţiile în care se poate scrie o expresie analitică a acestui vector în punctele de interacţiune (numai în cazurile cu o anumită simetrie - distribuţii uniforme, triunghiulare, câmpuri de forţe cunoscute etc.). Pentru a se evita acest inconvenient se apelează la caracterul de vector al forţei, „lucrându-se uzual” în cazul solidului rigid cu rezultanta forţei distribuite (suma vectorială a forţelor sistemului). Aceasta este un vector unic care, spre deosebire de punctul material nu va mai avea un punct unic de aplicaţie, acesta putând fi ales convenabil în oricare punct al dreptei suport a acestui vector. Se spune în acest caz că forţa este vector alunecător.

Prin urmare:- modelul matematic al acţiunii mecanice care determină translaţia solidului rigid îl constituie un vector alunecător (cu intensitate direcţie

şi sens) numit forţă, notat uzual cu .

Fig. 10

6.2.3.2. Cazul fenomenului elementar de rotaţie. Momentul forţei în raport cu un punct şi în raport cu o axă

Experienţa evidenţiază faptul că rotaţia solidului rigid nu depinde numai de cele trei caracteristici ale forţei; în mod suplimentar, efectul de rotaţie al interacţiunii mecanice, depinde şi de regiunea din sistem unde se produce aceasta (sau echivalent, de punctul sau axa la care îl raportăm).

Studiul experimental al acestui efect (pe cazuri simple cunoscute: cilindri, discuri, bare etc.) a relevat faptul că modelul matematic cel mai adecvat pentru descrierea efectului de rotaţie al interacţiunii mecanice cuprinde două noţiuni: produsul vectorial şi produsul mixt.

Vom considera mai în detaliu dezvoltarea acestor modele matematice.

6.2.3.2.1. Tipuri de momente ale forţei

13

Pentru concretizarea celor două modele să considerăm modelul matematic dezvoltat până acum: spaţiul matematic E3, reperul natural cartezian Oxyz, o dreaptă de versor sau unghiuri directoare (, , ), un sistem mecanic Q şi o forţă ce acţionează asupra acestuia în punctul . Cu aceste consideraţii avem: Def.: modelul matematic al efectului de rotaţie indus de forţă în sistem în raport cu originea (arbitrară) O este vectorul alunecător

(acest efect fiind caracterizat de intensitate, direcţie şi sens).

(125)

numit momentul (polar al) forţei în raport cu punctul (polul) O.Def.: modelul matematic al efectului de rotaţie indus de fortă în sistem în raport cu axa este scalarul (acest efect este caracterizat doar de

intensitate şi sens, direcţia fiind dată de axa considerată)

zyx FFFzyxFreFM coscoscos

(126)

numit momentul (axial al) forţei în raport cu (axa) .

Discuţii:1. Prin urmare, vectorul moment polar şi scalarul moment axial nu mai sunt arbitrare, determinabile numai prin experienţă, ca în cazul forţei; acestea sunt un vector,

respectiv un scalar ce depind de forţa respectivă şi de punctul de aplicaţie al acesteia prin relaţiile postulate. Ele vor admite o expresie analitică dacă şi numai dacă forţa la care se referă admite o astfel de formă.

2. Dacă O atunci vom avea relaţia evidentă: FMprFM O

(127)

6.2.3.2.2. Proprietăţi fundamentale ale momentelor forţei

a) Dacă punctul de aplicaţie al forţei se mută din A în A’, celelalte caracteristici ale forţei rămânând neschimbate, momentul polar se modifică conform formulei

FAAFMFM OO

'' (128)

Dem.:

...)'(')(' FAArFrFM O

b) Dacă polul se mută din O în O’, momentul polar se modifică după relaţia

FOOFMFM OO

'' (129)

Dem.:

...)'(')(' FOOrFrFM O

c) (consecinţe) Momentul polar al forţei este invariant faţă de alunecarea (glisarea) acesteia pe suportul său şi faţă de deplasarea polului pe o dreaptă paralelă cu suportul forţei (caracterul de vector alunecător al forţei nu afectează deci nici modelul matematic de moment al forţei respective).

d) Momentul forţei este nul dacă forţa este nulă sau suportul acesteia trece prin pol.e) Forţa, ca vector liber (punct de aplicaţie complet arbitrar), şi momentul acesteia determină unic dreapta suport a vectorului alunecător forţă.Dem.:

Notând cu vectorul de poziţie al unui punct oarecare al axei pe care se poate deplasa forţa , avem, conform definiţiei:

FrFMO

)( (130)Înmulţind vectorial la stânga cu vectorul de poziţie şi ţinând cont de egalitatea vectorială

baccabcba (131)

obţinem:

(132)

Ultima relaţie reprezintă ecuaţia vectorială canonică a dreptei suport a forţei. Aşadar un vector alunecător este caracterizat de vectorul liber şi de vectorul moment, , unde . Putem astfel admite

reprezentarea cu pentru vectorul alunecător forţă. Vectorul liber, în această reprezentare se numeşte vector principal.În sfârşit, apelând la proiecţii pe trei axe carteziene se obţine pentru vectorul alunecător reprezentarea în aşa-numite coordonate

pluckeriene:

(133)

f) Momentul axial al forţei este invariant faţă de alunecarea acesteia pe suportul său.14

g) Momentul axial al forţei este nul dacă forţa este nulă sau dacă aceasta este coplanară cu axa.h) Momentul axial se poate exprima ca produs reciproc al vectorilor alunecători :

(134) (demonstraţiile sunt imediate).

6.2.3.3. Cazul fenomenului elementar de rototranslaţie. Reducerea unei forţe în raport cu punct (pol)

Aşa cum spuneam anterior, vom vedea că în anumite condiţii (în sistemul de referinţă al centrului de masă), rototranslaţia rigidului se descompune într-o translaţie şi o rotaţie care se pot analiza separat; ca urmare este util teoretic - în cadrul modelului matematic ce îl construim - să reuşim separarea „pură” a efectului de rotaţie creat de sistemul de forţe de cel de translaţie.

Problema admite o soluţie unică numită reducerea sistemului de forţe în raport cu polul dat la un torsor. Această soluţie va fi prezentată în cele ce urmează. Sunt însă necesare anumite consideraţii preliminare.

6.2.3.3.1. Cuplul de forţe

În acest paragraf vom analiza în sensul propus un sistem de două forţe particular dar de mare importanţă pentru consideraţiile ce urmează.

Def.: se numeşte cuplu de forţe un sistem de două forţe egale ca mărime, având aceeaşi direcţie (suporturi paralele) şi sensuri opuse.

Modelul matematic al acestui sistem de interacţiuni mecanice va fi, evident, sistemul de forţe , cu precizarea că suporturile celor doi vectori opuşi şi egali ca mărime sunt două drepte paralele. Să analizăm în continuare efectele mecanice ale acestui sistem:

Fig. 11

a) efectul de translaţieEfectul de translaţie al fiecărei interacţiuni componente este modelat matematic, aşa cum afirmam şi anterior, chiar de

vectorii forţă respectivi. Ca urmare, efectul global va fi modelat matematic de suma acestor vectori; avem însă (135)

ceea ce conduce la următoarea concluzie importantă:- cuplurile de forţe nu produc efecte de translaţie a sistemelor mecanice asupra cărora acţionează.

b) efectul de rotaţieAnalog considerând un pol oarecare, modelul matematic al efectului de rotaţie al cuplului va fi dat de suma momentelor

polare ale celor două componente ale sale în raport cu polul fixat (acestea fiind mărimi vectoriale); cu notaţiile din figură avem:(136)

Mărimea vectorială notată cu se numeşte momentul cuplului. Conform consideraţiilor anterioare, aceasta este modelul matematic al efectului de rotaţie al cuplului de forţe considerat.

Este remarcabil faptul că, aşa cum reiese din expresia sa, momentul cuplului este un vector liber; el nu depinde în nici un fel de polul fixat, având aceeaşi valoare pentru orice pol din spaţiu. Dacă vom alege polul în punctul de aplicaţie al uneia din forţe, A, rezultă, în primul rând că momentul cuplului este perpendicular pe planul forţelor.

Concluzie importantă:Cuplul de forţe este modelul unui sistem de interacţiuni mecanice cu efect „pur de rotaţie” (fără nici un efect de translaţie) şi reciproc

(dacă un sistem de interacţiuni mecanice produce numai efect de rotaţie asupra unui sistem mecanic, atunci modelul său mecanic se poate considera a fi un cuplu de forţe). Din această cauză modelul matematic al acestui sistem de interacţiuni mecanice şi reprezentarea sa grafică se pot reduce la momentul cuplului, ca vector liber (putând fi localizat oriunde în spaţiu).

6.2.3.3.2. Reducerea unei forţe în raport cu un punct (pol)

Fie o forţă ce acţionează asupra rigidului solid Q în punctul A (posibil a reprezenta rezultanta unui sistem oarecare de forţe ce

acţionează asupra sistemului mecanic). Dacă în punctul B A vom introduce un sistem de interacţiuni mecanice nul , efectul

mecanic global nu se va modifica; spunem că sistemul de forţe este echivalent mecanic cu forţa iniţială. Conform discuţiei din paragraful dedicat cuplului de forţe, acest sistem echivalent poate fi „distribuit” teoretic astfel:

15

- putem considera că asupra sistemului acţionează forţa în punctul B, şi cuplul de forţe al cărui moment îl notăm cu şi care este egal cu momentul forţei iniţiale în raport cu polul B.

Prin aceste operaţii de înlocuire a forţei iniţiale am obţinut, în final următorul sistem echivalent cu aceasta din punct de vedere mecanic:

(137)

Fig. 12Să analizăm sistemul mecanic echivalent obţinut:- în raport cu punctul considerat, B, forţa nu va produce decât efect mecanic de translaţie (sau deformare) a sistemului Q -

momentul acesteia în raport cu acest punct fiind nul - iar cuplul doar efect mecanic de rotaţie, reprezentând cuplul de forţe descris.

Întreaga operaţie descrisă până aici se numeşte reducerea forţei în raport cu punctul (polul) B.Putem spune deci că prin acest procedeu am realizat în mod echivalent mecanic „decuplarea” efectelor de translaţie şi rotaţie în raport

cu punctul B ce alcătuiesc fenomenul global de rototranslaţie al suferit de rigidul solid în urma acţiunii mecanice modelată matematic de forţa .

6.2.3.4. Sisteme de forţe. Reducerea sistemului de forţe în raport cu un pol. Torsorul

Situaţia în care asupra unui solid rigid se exercită o singură interacţiune mecanică este o situaţie ideală (teoretică). În universul real asupra oricărui sistem mecanic se exercită o numeroase de interacţiuni mecanice în acelaşi timp. Pentru a ne menţine în limite modelabile şi a ne apropia mai mult de situaţia reală (faţă de cazul ideal) putem neglija pe cele care nu ne interesează sau au efecte extrem de reduse în raport cu cele studiate, astfel că putem considera sisteme numărabile (finite sau nu) ori distribuţii continue de acelaşi tip de interacţiuni mecanice acţionând simultan asupra unui solid rigid dat. În mod corespunzător, conform discuţiilor anterioare, modelarea matematică a acestora va fi:

(138)Problema principală ce se ridică este următoarea:

- nu putem să „lucrăm” cu atâtea forţe şi nici nu ne interesează; cunoaştem efectul mecanic al fiecăreia dintre acestea şi ne interesează care este efectul global al sistemului de interacţiuni, modelarea matematică a acestuia pe baza modelelor matematice individuale.

Considerăm în continuare cazul mai general al unui sistem discret de forţe, , ce modelează matematic un sistem de interacţiuni macanice corespunzător ce acţionează asupra rigidului solid Q şi fie O un pol fixat (un punct de interes). Reducând fiecare componentă a sistemului în raport cu polul O prin metoda descrisă anterior, vom putea înlocui sistemul prin „sistemul de sisteme” echivalent

mecanic . Grupând elementele acestui sistem echivalent pe forţe şi momente, îl vom putea scrie ca:

(139)

Avem astfel două subsisteme: unul format din forţe având punctul de aplicaţie în O, deci numai cu efect de translaţie, iar unul format numai din cupluri de forţe, deci numai cu efect de rotaţie. Cele două efecte globale vor fi date, conform modelului matematic construit până acum, de sumele vectoriale ale elementelor celor două subsisteme, notate:

(140)

Denumirile şi semnificaţiile celor 3 noi elemente introduse de aceste consideraţii privind modelarea matematică a sistemului de forţe ce acţionează asupra solidului rigid sunt următoarele:

- rezultanta sau vectorul principal al sistemului de forţe în punctul O; este modelul matematic al efectului total de translaţie (şi deformare) în raport cu punctul O al sistemului de acţiuni mecanice considerat;

- momentul rezultant al sistemului de forţe în raport cu polul O ; este modelul matematic al efectului total de rotaţie în raport cu punctul O al sistemului de acţiuni mecanice considerat;

- torsorul (de reducere al) sistemului de forţe în raport cu polul O; este modelul matematic general al sistemului de interacţiuni mecanice considerat în care sau separat efectele de translaţie şi cel de rotaţie.

Discuţie:

16

Trebuie subliniat faptul important că vectorul forţă nu reprezintă rezultanta efectivă a sistemului de forţe considerat, adică nu este modelul matematic al acestuia; aşa cum am spus, ea este modelul matematic al componentei de translaţie al efectului mecanic al sistemului de forţe. Modelul matematic al acestui sistem va fi, cum am spus, torsorul,

element care cuprinde şi efectul de rotaţie. Analitic, rezultanta totală şi reală a sistemului de forţe este suma vectorială a forţelor ca vectori legaţi, cu punctul de aplicaţie în Ai, în

timp ce vectorul principal este suma vectorială a aceloraşi vectori, dar liberi, neavând astfel un punct de aplicaţie definit. În acest sens, pentru acest vector ar fi mai adecvată denumirea de vector principal al sistemului de forţe decât cea de rezultantă.

Întrucât torsorul este o noţiune atât de importantă, ne interesează proprietăţile sale; mai exact ne interesează modul în care acesta se modifică la modificarea punctului de reducere şi ce anume rămâne neschimbat (invarianţii). Cu privire la aceste aspecte avem următoarele consideraţii:

a) variaţia torsorului cu punctul de reducereFie O’ un alt punct de reducere. Deoarece este o sumă de vectori liberi – deci ea însăşi un vector liber - rezultanta nu se va modifica

la schimbarea făcută. Momentul rezultant se va modifica însă. Cu notaţiile din figura următoare, avem:

(141)

Fig. 13

b) invarianţii torsorului la schimbarea punctului de reducereDin consideraţii anterioare reiese că primul invariant este chiar vectorul principal.Apoi, dacă înmulţim scalar ultima relaţie cu acest vector şi ţinem seama că obţinem imediat relaţia:

(142)care scrisă cu cosinusurile unghiurilor notate în figură devine

(143)Aceasta ne evidenţiază un al doilea invariant al torsorului: proiecţia momentului rezultant pe direcţia rezultantei sistemului de forţe.

c) momentul minim al torsoruluiAtunci când în sistemul mecanic considerat (solidul rigid) nu avem nici un punct de reducere remarcabil, prin considerarea unor puncte

diferite vom obţine torsori diferiţi; acest fapt nu este convenabil din punctul de vedere a modelării matematice – mai multe modele matematice pentru aceeaşi noţiune mecanică! Este deci necesar să stabilim un criteriu care să aleagă între punctele de reducere, astfel încât să obţinem acelaţi torsor în raport cu acestea.

După cum s-a arătat momentul rezultant este un vector variabil cu punctul de reducere, dar astfel încât proiecţia sa pe rezultantă rămâne constantă. Rezultă că vom putea găsi puncte de reducere pentru care mărimea torsorului să ia valoarea minimă, egală cu cea a acestei proiecţii, adică componenta normală pe rezultantă să fie nulă. Obţinerea acestui moment minim va constitui criteriul căutat pentru alegerea unor puncte remarcabile de reducere a sistemelor de forţe.

Să vedem în continuare care sunt aceste puncte cât este vectorul minim şi care sunt punctele de reducere pentru care se obţine.Fie O un pol de reducere oarecare. Aşa cum am spus valoarea momentului minim va fi dată de proiecţia momentului rezultant pe

vectorul principal care, fiind un invariant al torsorului este aceeaşi în cazul oricărui punct de reducere:

(144)

În ceea ce priveşte momentul minim ca vector, direcţia acestuia nu poate fi alta decât cea a rezultantei, orice altă direcţie implicând o componentă normală nenulă pe direcţia rezultantei. Ca urmare, având modulul de mai sus şi direcţia rezultantei, momentul minim va fi dat de relaţia:

(145)

unde am notat cu , expresie care este şi ea un invariant al torsorului (derivată, ca şi momentul minim din invarianţii fundamentali),

numită parametrul torsorului.

DiscuţieMomentul minim se poate obţine şi din condiţia analitică de minim, impunând ca derivata momentului general al torsorului în raport cu un parametru variabil (de exemplu

cu unghiul făcut cu rezultanta) să fie 0.

17

Fie acum P un punct în raport cu care reducerea sistemului de forţe conduce la un torsor având ca element momentul minim. Conform expresiei de mai sus a momentului minim şi a relaţiei de transformare a momentului rezultant la schimbarea punctului de reducere rezultă că P va trebui să satisfacă relaţia vectorială:

(146)

De subliniat că în această relaţie necunoscuta este vectorul de poziţie al lui P faţă de O, notat , celelalte elemente fiind calculabile din cunoaşterea sistemului de forţe considerat. Pentru a “scoate” vectorul necunoscut din relaţia anterioară se procedează în mod clasic pentru situaţiile în care avem produse vectoriale: înmulţim la stânga vectorial cu şi transformăm produsul vectorial dublu cu relaţia utilizată anterior:

(147)Obţinem succesiv:

(148)

unde am notat ; aceasta este ecuaţia unei drepte paralelă cu şi situată la distanţa ro de O. Această dreaptă este

deci locul geometric al tuturor punctelor pentru care prin reducerea sistemului de forţe dat se obţine torsorul minim (ce conţine momentul minim) şi se numeşte axa centrală a sistemului de forţe.

Pe componente (orice ecuaţie vectorială este echivalentă cu trei ecuaţii scalare în care sunt implicate rspectiv proiecţiile vectorilor pe axele de coordonate) ecuaţia axei centrale va fi:

(149)

sau, eliminând parametrul p:

(150)

Discuţie:Reducerea unui sistem de forţe la torsorul minim este unică! Aceasta pentru că, aşa cum am văzut, elementele acestuia sunt invariante. Prin urmare acest torsor poate fi

considerat ca modelul matematic concret al sistemului de forţe, cu sens unic, fără ambiguităţi. Odată construit acest torsor, el înlocuieşte echivalent sistemul de forţe dat, fără a mai fi necesară nici o precizare suplimentară. (nu trebuie să precizăm punctul de reducere ca în cazul altui torsor neminimal).

d) tipuri de torsori

În funcţie de anularea uneia sau ambelor componente ale torsorului putem avea următoarele cazuri de reducere a sistemelor de forţe:- spunem că sistemul de forţe este echivalent cu zero; un astfel de sistem de forţe nu are nici un efect mecanic.

El nu va schimba starea mecanică a sistemului mecanic asupra căruia acţionează; spunem că sub acţiunea acestui sistem de forţe sistemul se află în echilibru mecanic. Prin urmare, condiţia generală, necesară şi suficientă ca un sistem mecanic să se afle în echilibru mecanic este ca sistemul forţelor ce acţionează asupra sa să fie echivalente cu zero, condiţie care se scrie analitic sub forma:

(151)

- spunem că avem un sistem de forţe echivalent cu o forţă; această forţă unică va fi situată pe axa centrală. Un astfel de sistem de forţe nu va avea decât un efect de translaţie asupra sistemului mecanic asupra căruia acţionează.

- spunem că avem un sistem de forţe echivalent cu un cuplu de forţe; momentul cuplului echivalent va fi momentul minim.

- spunem că sistemul de forţe este echivalent cu un torsor complet; pentru torsorul minim în acest caz se mai utilizează şi denumirile de dinamă, răsucitor sau şurub.

e) teorema lui Varignon generalizată

Să considerăm în continuare un sistem de forţe relativ particular, în sensul că torsorul său minim este echivalent cu o forţă (momentul minim este nul). În acest caz, dacă O este un pol oarecare, reducând sistemul de forţe în raport cu acest pol obţinem un torsor complet având momentul rezultant dat de relaţia:

(152)

unde este vectorul de poziţie al punctului de reducere O faţă de originea rezultantei aflată pe axa centrală (punctul în raport cu care am calculat torsorul minim). Am obţinut astfel forma analitică a teoremei lui Varignon generalizată care afirmă următoarele:

- momentul rezultant al unui sistem de forţe echivalent cu o forţă în raport cu un punct O este egal cu momentul rezultantei în raport cu acelaţi punct, rezultanta fiind situată pe axa centrală.

6.2.3.5. Reducerea unor sisteme particulare de forţe

18

6.2.3.5.1. Reducerea sistemelor de forţe concurente

Fie un sistem de forţe concurente într-un punct. este convenabil să alegem acel punct ca origine O. În raport cu acesta, avem astfel că momentul rezultant va fi nul. Prin urmare orice sistem de forţe concurente este echivalent cu o forţă.

Vom avea atunci două cazuri distincte de reducere:

- sistemul mecanic căruia îi este aplicat sistemul de forţe este în echilibru;- sistemul de forţe se reduce la o forţă unică ce trece prin O.

6.2.3.5.2. Reducerea sistemelor de forţe coplanare

a) Torsorul de reducere

Fie un sistem de forţe situate în planul (P); alegem un sistem de axe carteziene astfel încât (P) = (xOy). Avem atunci:

(153)Aşadar rezultanta sistemului este situată în acelaşi plan cu forţele componente şi are expresia de mai sus.Analog, pentru momentul rezultant se obţine:

(154)

Această relaţie, pe lângă faptul că ne oferă expresia analitică a momentului rezultant ne spune că acesta este normal la planul forţelor.

b) Cazurile de reducere

- sistemul de forţe este echivalent cu zero; sub acţiunea acestui sistem de forţe sistemul se află în echilibru mecanic. - sistem de forţe echivalent cu o forţă; această forţă unică va acţiona în punctul O

- sistem de forţe echivalent cu un cuplu de forţe situat în planul (P)

- sistemul de forţe va fi echivalent tot cu o forţă pentru că momentul rezultant şi rezultanta fiind perpendiculare rezultă că momentul minim este 0, ceea ce presupune că torsorul minim are doar componenta de forţă; de data aceasta rezultanta este un vector situat pe axa centrală a sistemului de forţe.

c) Axa centrală

Momentul minim fiind nul aplicăm teorema lui Varignon din care rezultă ecuaţia vectorială a axei centrale:(155)

Reprezentările geometrice sunt cele din figură.

Fig. 14

6.2.3.5.3. Reducerea sistemelor de forţe paralele (în spaţiu)

a) Torsorul de reducere

Fie sistemul de forţe anterior, paralel cu o dreaptă () de versor . În rest vom face aceleaşi notaţii ca în figura anterioară.Particularitatea forţelor în acest caz ne permite să le scriem sub forma:

(156)Atunci, pentru rezultanta sistemului se va obţine expresia analitică:

(157)iar pentru momentul rezultant:

(158)Aşadar rezultanta este paralelă cu forţele date, iar momentul rezultant este normal pe acestea, deci şi pe rezultantă.

b) Cazurile de reducere

19

- sistemul de forţe este echivalent cu zero; sub acţiunea acestui sistem de forţe sistemul se află în echilibru mecanic. - sistem de forţe echivalent cu o forţă; această forţă unică va fi situată în punctul O

- sistem de forţe echivalent cu un cuplu de forţe de moment

- sistemul de forţe va fi echivalent tot cu o forţă pentru că şi în acest caz momentul rezultant şi rezultanta fiind perpendiculare rezultă că momentul minim este 0, ceea ce presupune că torsorul minim are doar componenta de forţă; de data aceasta rezultanta este un vector situat pe axa centrală a sistemului de forţe.

c) Axa centrală; centrul forţelor paralele

Momentul minim fiind nul putem aplica teorema lui Varignon. Notând cu vectorul de poziţie al unui punct oarecare al axei centrale, avem succesiv:

(159)

Ultima relaţie este îndeplinită dacă vectorul din paranteză este coliniar cu , adică dacă avem:

(160)Am obţinut astfel ecuaţia vectorială a axei centrale sub forma:

(161)unde am notat

(162)

Vectorul defineşte un punct C de pe axa centrală numit centrul forţelor paralele. Coordonatele acestui punct vor fi deci:

(163)

Acesta este un element intrinsec al sistemului de forţe paralele; el nu depinde de sistemul de referinţă. Întradevăr, considerând un alt sistem de referinţă cu originea într-un punct O’ şi notând cu C’ „noua” poziţie a centrului sistemului dat, avem:

(164)

ceea ce ne arată că C şi C’ coincid.Centrul forţelor paralele nu depinde nici de înclinarea forţelor (vectorul de poziţie nu depinde de ).

6.2.3.5.4. Reducerea sistemelor de forţe continuu distribuite

a) Torsorul de reducere

Adesea întâlnim cazul sistemelor de forţe uniform şi continuu distribuite pe o curbă (distribuţie liniară), pe o suprafaţă (distribuţie superficială) sau într-un volum (distribuţie volumică). Uzual se consideră că aceste tipuri de sisteme de forţe sunt „cuminţi “ din punct de vedere matematic, în sensul că pot fi modelate printr-o funcţie vectorială de punct: . În acest caz, pe baza consideraţiilor de calcul diferenţial, modelul matematic al procesului de reducere a sistemului de forţe discret se transpune în acest caz continuu prin înlocuirea sumelor cu integrale pe domeniile geometrice respective:

(165)

Caz particular: forţe paralele uniform distribuite

În acest caz va fi paralelă în orice punct cu vectorul şi atunci momentul rezultant va fi perpendicular pe rezultantă. Centrul forţelor paralele va avea expresia integrală corespunzătoare:

(166)

Rezultanta va fi paralelă cu versorul direcţiei forţelor şi va avea expresia analitică:20

(167)

6.2.5. Contactul mecanic direct. Acţiunea mecanică normală şi tangenţială. Frecarea

Fie un sistem mecanic W ce exercită o interacţiune mecanică asupra sistemului mecanic Q, considerat anterior. Vom distinge între două situaţii:

a) Q şi W se află în contact indirect, mijlocit de un alt sistem

În acest caz se pune problema „sistemului de transport” T al interacţiunii. Acesta poate fi material - caz în care dăm peste situaţia b), studiind contactul între Q şi W ca format din cele două contacte directe (Q, T) şi (T, W) - sau nematerial. În acest ultim subcaz, conform unei discuţii anterioare, sistemul de transport se numeşte câmp de forţe. Modelul său matematic este relativ laborios şi face obiectul unui capitolul special al fizicii, intitulat „Teoria câmpului”.

Multe din câmpurile de forţe ce se manifestă în „felia de univers” în care trăim (în universul macroscopic pe care îl percepem) sunt cunoscute şi modelate analitic: câmpul gravitaţional, câmpul electric, câmpul magnetic etc.

b) Q şi W se află în contact direct, nemijlocit

Vom trata acest caz în mod deosebit, datorită aşa-numitelor interacţiuni de frecare ce se manifestă în mod universal la contactul nemijlocit al corpurilor reale şi despre care vom vorbi pe larg în paragraful dedicat forţelor de legătură.

Vom considera un caz „semigeneral” - util discuţiei noastre legate de modelare matematică - în care contactul între cele două sisteme mecanice se realizează pe o suprafaţă - cazul general în care avem un volum de contact fiind mult prea complicat pentru consideraţiile din acest paragraf şi fiind apanajul mecanicii mediilor deformabile. Mai mult, situaţia reală, în care zona de contact are în general dimensiuni volumice neglijabile în raport cu cele ale celor două sisteme mecanice, conduce la concluzia că aproximaţia făcută este foarte aproape de realitate în cele mai multe cazuri.

Experienţa ne arată că în fiecare punct al suprafeţei de contact se dezvoltă forţe de mărimi, direcţii şi sensuri necunoscute ce modelează acţiunea lui W asupra lui Q. Să notăm cu sistemul acestor forţe (numărabile sau uniform distribuite). Modelul matematic al acestora presupune înlocuirea lor cu un torsor (minimal); în raport cu originea reperului cartezian considerat O vom avea:

(168)Cele două componente ale torsorului poartă denumirea generică de acţiuni (rezultanta acţiunilor sau acţiune, respectiv momentul

acţiunilor).În general, în cazurile reale, suprafaţa de contact este relativ redusă în raport cu cea a sistemelor mecanice aflate în contact direct; ca

urmare ea poate fi bine aproximată ca plană, generând astfel două elemente geometrice distincte: direcţia normală şi planul tangenţial de acţiune.

Fig. 15Dacă descompunem acţiunea şi momentul acţiunii după cele două elemente geometrice vom obţine:

(169)

se numeşte acţiunea normală sau, simplu, normală şi acţiunea tangenţială sau forţă de frecare (coulombiană).Cu privire la interacţiunile mecanice modelate de componentele acestui ultim sistem, experienţa arată următoarele fapte deosebite:

- componenta tinde să deplaseze corpul în planul de contact (este modelul matematic al acestei componente a efectului mecanic al forţelor directe); această deplasare posibilă se numeşte alunecare. Ea nu se va produce decât după o anumită limită a acestei componente, , numită forţă de frecare la alunecare. Până la această valoare, componenta tangenţială a contactului direct se numeşte forţă de frecare statică.

- componenta tinde să rotească corpul în jurul unei axe din planul de contact (este modelul matematic al acestei componente a efectului mecanic al forţelor directe); această mişcare (posibilă) se numeşte rostogolire. Ea se va produce efectiv numai de la o anumită limită a componentei tangenţiale a cuplului rezultant, numită cuplu de frecare de rostogolire.

- componenta tinde să rotească corpul în jurul normalei la planul de contact (este modelul matematic al acestei componente a efectului mecanic al forţelor directe); această mişcare (posibilă) se numeşte pivotare. De asemenea, se va produce efectiv de la o anumită limită a componentei normale a cuplului rezultant, numită cuplu de frecare de pivotare.

21

Vom analiza pe rând cele 3 tipuri de mişcări posibile (componente elementare ale efectului mecanic al forţelor directe) şi, corespunzător, frecările implicate de acestea.

6.2.5.1. Alunecarea. Frecarea la alunecare

Primele studii sistematice cu privire la frecarea de alunecare au fost făcute de Ch. Coulomb (1736-1806). Concluziile sale actualizate sunt cunoscute drept legile frecării (coulombiene). Conţinutul lor, cu consideraţiile de până acum, pot fi concentrate în următoarea relaţie:

(170)

Discuţii:1) Forţa maximă de frecare se realizează deci în momentul începerii alunecării. Teoretic ea nu se mai modifică ulterior, oricare ar fi deplasarea relativă a sistemelor în

contact. 2) se numeşte coeficient de frecare la alunecare; el este adimensional şi depinde, în principal, de natura corpurilor şi de starea suprafeţei de contact. Experienţa arată

însă că această dependenţă simplă este valabilă numai până la anumite limite; peste acestea avem:- scade când viteza relativă a sistemelor mecanice creşte peste anumite limite;- depinde de presiunea exercitată de cele două sisteme mecanice pe suprafaţa de contact (de valoarea reacţiunii normale şi de mărimea suprafeţei de contact) peste

anumite limite.3) Fenomenul de frecare este foarte complicat şi face obiectul de studiu al unei ramuri distincte a mecanicii (Tribologia). O explicaţie a sa este dată de existenţa

neregularităţilor microscopice ale corpurilor aflate în contact, neregularităţi ce se întrepătrund. Ca urmare, ne aşteptăm ca, pe măsură ce netezim suprafeţele corpurilor aflate în contact, frecarea la alunecare să se reducă oricât de mult. Experienţa arată că această concluzie este valabilă şi ea tot până la anumite limite, până la un anumit grad de netezire; peste acesta forţele de frecare cresc foarte rapid. Acest fapt se datorează apariţiei unui nou tip de frecare de alunecare, de tip electromagnetic: în jurul atingerii distanţei medii de ordinul razei de acţiune moleculară (10-10 m) între cele două corpuri apar forţe de coeziune moleculară.

4) Tot experienţa arată ca ar trebui să considerăm un coeficient de frecare statică (sau coeficient de aderenţă), o, care să descrie frecarea fără alunecare; acesta este mai mare decât cel din cazul frecării cu alunecare, , numit şi coeficient de frecare dinamică. Explicaţia diferenţei dintre acestea este tot de tip molecular (intervenţia unor forţe de coeziune moleculară mai mari în cazul static).

5) Determinarea coeficientului de frecare la alunecare se face experimental cu ajutorul tribometrului (planului înclinat); se obţine în acest caz (vezi statica rigidului cu frecare) relaţia care defineşte aşa-numitul unghi de frecare:

(171)Prin urmare, condiţia necesară şi suficientă ca două sisteme mecanice aflate în contact direct să nu alunece este ca forţa de frecare la alunecare ce se dezvoltă să nu

atingă valoarea maximă permisă de condiţiile contactului (natura sistemelor, starea suprafeţei de contact, presiunea exercitată pe aceasta etc.); analitic, această condiţie revine la inegalitatea anterioară.

6.2.5.2. Rostogolirea. Frecarea de rostogolire

Rezultatele experimentale cu privire la acest tip de deplasare conduc la rezultate similare celor din cazul alunecării; condiţia necesară şi suficientă de menţinere a stării de repaus mecanic în ceea ce priveşte componenta de rostogolire se scrie analitic:

(172)

Discuţii:1) s se numeşte coeficient de frecare la rostogolire. El nu mai este adimensional ca µ, ci are dimensiune de distanţă. Acest coeficient depinde, în principal de dimensiunea

lăţimea suprafeţei de contact pe direcţia tendinţei de rostogolire.2) Există şi în acest caz un moment maxim static, atunci când nu se produce rostogolirea efectivă, care atinge maximul înaintea începerii rostogolirii şi unul dinamic, constant, ce

se realizează în timpul rostogolirii şi este mai mic decât maximul celui static (explicaţia este similară cu cea de la alunecare).

6.2.5.3. Pivotarea. Frecarea de pivotare

Experienţa ne oferă o condiţie analitică similară celei de la rostogolire:

(173)

k se numeşte coeficient de frecare la pivotare. În rest, discuţiile sunt absolut similare celor de la rostogolire.

6.3. Modelarea matematică a interacţiunii mecanice care generează fenomene mecanice indirecte (legături)

Raţionamentul ce urmează prezintă un grad de abstractizare mai avansat, solicitând mai mult imaginaţia celui ce va încerca să desluşească sensul noţiunilor introduse. De aceea, toate raţionamentele se vor face pe un exemplu concret, urmând ca ulterior, prin generalizare, să fie obţinut modelul matematic „pur” al legăturilor.

Să considerăm pentru aceasta un sistem mecanic modelabil printr-un punct material situat într-un „tub” circular.

22

Fig. 16Oricare ar fi deplasarea acestuia - sub influenţa unor acţiuni mecanice oarecare - coordonatele sistemului vor trebui să satisfacă relaţiile:

(174)

ce reprezintă ecuaţiile cercului „orizontal” de rază R, cu centrul în originea sistemului de axe.Conform deiniţiei legăturii dată în paragraful 5.2., rezultă că avem de-a face cu un astfel de fenomen mecanic, modelat matematic prin

chiar relaţiile (170). De remarcat faptul că între tub şi punctul material, în lipsa oricărei acţiuni directe, nu va exista nici o interacţiune mecanică: punctul

material nu se deplasează şi nu interacţionează în vre-un fel cu tubul (a se considera cazul imponderabilităţii!). De îndată însă ce cel puţin o interacţiune mecanică directă va tinde să deplaseze punctul material, va apare o interacţiune corespunzătoare dintre acesta şi tub, care va face ca deplasarea să se facă în interiorul acestuia, astfel încât la orice moment ulterior să fie satisfăcute relaţiile (170). Prin urmare, rezultă un fapt deosebit de important:

- interacţiunea de legătură este nemanifestă în lipsa unei interacţiuni directe; ea apare numai odată cu aceasta şi depinde de ea. Evident, interacţiunea cu tubul, în prezenţa forţelor exterioare, va deveni o interacţiune mecanică obişnuită. Distinct este însă numai

caracterul nemanifest al acesteia în lipsa altor interacţiuni mecanice directe. Ca urmare a acestor discuţii, se poate considera următorul model matematic al interacţiunilor ce generează fenomene mecanice de

legătură (toate aceste aspecte, uneori incomplete, se întâlnesc sub denumirea de axioma legăturilor):- vector, numit forţă de legătură, ce nu poate apărea singur, ci doar în prezenţa a cel puţin unei interacţiuni exterioare.

Discuţie:În cele mai multe lucrări, aspectul distinct al forţelor de legătură subliniat în discuţiile din acest paragraf este neglijat. Vom vedea la formalismele mecanicii că acesta nu

numai că nu poate fi neglijat, dar este esenţial, ridicând probleme ce au făcut necesare formalisme mecanice superioare celui newtonian. La acest moment, condiţia de nemanifestare a forţelor de legătură în lipsa forţelor directe nu poate fi modelată corespunzător. Conform unei definiţii proprii, sunt necesare

consideraţii de ordin superior: deplasare virtuală, lucru mecanic virtual etc. În principiu, acestea ar putea fi făcute şi aici, însă nu aici ar fi locul lor firesc şi, ca urmare, introducerea lor nefirească le-ar face de neînţeles.

CAPITOLUL III:

MODELAREA MATEMATICĂ A MĂRIMILOR MECANICE DERIVATE (A OBSERVABILELOR MECANICE DERIVATE). PRINCIPIILE ŞI TEOREMELE MECANICII CLASICE

Discuţie:Odată construit modelul matematic – geometric şi analitic – al mişcării (mecanice), ne propunem să vedem care sunt carcteristicile derivate ale acesteia, care sunt

modelele matematice ale mărimilor mecanice măsurabile şi de interes (se pot măsura sau deduce din cele măsurabile direct), numite observabile. Acestea sunt relevate direct de experientă. Prin urmare va trebui să le definim în modul în care ni le relevă experimentele asupra clasei de fenomene mecanice – în limbaj uzual – după care să le matematizăm, conform modelului matematic construit până acum (să le integrăm acestui model).

Tot experienţa ne relevă şi o parte dintre relaţiile ce există între observabilele astfel construite, primare sau derivate (principiile mecanicii); cealaltă parte le vom deduce din acestea, constituind aşa- numitele teoreme ale macanicii.

Experienţa arată că observabilele mişcării mecanice a sistemelor mecanice (corpurilor) sunt viteza, acceleraţia, impulsul, momentul cinetic şi energia (cinetică, potenţială, totală); acestea vor fi definite în continuare pentru fiecare tip de sistem mecanic modelat matematic anterior.

1. Observabilele mecanice derivate ale punctului material. Principiile şi teoremele mecanicii clasice a punctului material

1.1. Traiectorie. Viteză. Acceleraţie

În mişcarea sa prin spaţiu, punctul material va trece succesiv prin diverse poziţii. Modelul matematico-geometric al său fiind punctul geometric din spaţiul E3, rezultă imediat că modelul matematico-geometric al mişcării va fi o curbă în spaţiul E3 descrisă prin deplasarea corespondentă a punctului material, numită traiectorie. Prin urmare:Def.: traiectoria = locul geometric al punctelor corespondente prin care trece punctul material în deplasarea sa prin spaţiul E3.

23

Discuţie:Simţurile noastre ne conduc la două condiţii puse, deocamdată, traiectoriei, grupate în aşa numitul principiul perfectei localizări din

mecanica clasică:- traiectoria este o curbă continuă (experienţa de zi cu zi ne arată că, în decursul mişcării lor, corpurile macroscopice nu “dispar” pentru a

apărea ulterior într-o poziţie situată la o distanţă finită, reală);- traiectoria este o curbă precis determinată (tot simţurile noastre ne arată că în lumea înconjurătoare poziţia oricărui corp macroscopic

poate fi determinată în orice moment cu precizie – dată de instrumentele de măsură).

Fig. 17De remarcat faptul deosebit de important că acest principiu este valabil numai în mecanica clasică, adică numai în realitatea

înconjurătoare, cea relevată direct de simţurile noastre. De îndată ce ieşim din această realitate imediată, experienţa relevată de diverse dispozitive ce ne “prelungesc” întrucâtva simţurile, ne arată că acest principiu nu se mai respectă în nici unul din cele două aspecte. Astfel, experienţe numeroase asupra microcosmosului relevă faptul că “obiectele” din această lume (ce or fi ele!) nu pot fi localizate cu precizie; ele se pot găsi într-o anumită zonă din spaţiu a cărei dimensiune nu depinde de imprecizia dispozitivelor de măsură. Probabilitatea de a găsi “particula” într-o astfel de regiune este o caracteristică intrinsecă a oricărei microparticule. De asemene este posibilă dispariţia particulelor, la un moment dat, fenomen numit dezintegrare şi, invers, apariţia spontană a unor particule, proces numit generare de particule.

Dacă traiectoria parcursă de punctul geometric asociat punctului material este modelul geometric al mişcării corpului, rezultă că ecuaţiile acesteia vor fi modelul analitic al acestei mişcări. Pe de altă parte, în cadrul acestui model, a cunoaşte mişcarea cinematică a corpului, a punctului material, revine la a cunoaşte poziţia acestuia - coordonatele sale sau vectorul de poziţie - în fiecare moment:

(175)Cele trei ecuaţii ale coordonatelor se numesc ecuaţiile parametrice ale mişcării punctului material, iar ecuaţia echivalentă este ecuaţia

vectorială parametrică a mişcării punctului material. Ele vor reprezenta deci şi ecuaţiile corespunzătoare ale traiectoriei. În cazul în care este posibilă eliminarea parametrului (timpului) – a se vedea teorema funcţiilor implicite din analiza funcţională – se

obţine aşa numita ecuaţie analitică a traiectoriei (a mişcării).

Def.: - viteza = reprezintă spaţiul parcurs de corp în unitatea de timp;- acceleraţia = reprezintă variaţia vitezei în unitatea de timp.

Discuţie:Matematizarea acestor noţiuni este simplă; conform modelului matematic al mişcării mecanice a punctului material corespunzător obiectului studiat, avem, cu notaţii

cunoscute: (fig. 25). Experienţa ne arată însă că există mişcări mecanice complicate, în care atât viteza, cât şi acceleraţia variază, practic, în

continuu. În această situaţie, definiţiile acestea devin mediile unor definiţii „instantanee”, în cadrul cărora intervalul de timp trebuie făcut foarte mic. Modelul matematic al acestei cerinţe îl constituie noţiunea de limită şi, ulterior de derivată, introduse odată cu matematizarea fenomenelor mecanice chiar de către Newton.

Fig. 18Prin urmare, în cadrul modelării matematice a observabilelor cinematice ale mişcării mecanice a punctului material, definim:

Def.: - viteza medie a puncului material:

(176)

- acceleraţia medie a puncului material:

(177)

- viteza (instantanee) a puncului material:

24

(178)

- acceleraţia (instantanee) a puncului material:

(179)

Discuţii:1. Conform interpretării geometrice a derivatei, viteza va fi tangentă la traiectorie în punctul P unde se află punctul material în momentul când este calculată.

Fig. 192. Modulul vitezei se poate scrie şi în modul următor, conform consideraţiilor de la elementul de arc:

(180)

unde s este coordonata naturală (abscisa curbilinie) a punctului material. Această expresie este utilă adeseori când cunoaştem traiectoria.

Încheiem acest paragraf cu câteva definiţii uzuale în cinematica punctului material:Def.: mişcare uniformă;

mişcare uniform accelerată.- hodograful vitezei curba descrisă de vârful vectorului viteză, în condiţiile menţinerii fixe a originii acestuia.

1.2. Principiile mecanicii clasice (newtoniene) a punctului material

Notă: principiu (axiomă) = o legitate (regulă) intrinsecă a naturii, de nedemonstrat în contextul cunoştinţelor actuale, relevată prin experienţe repetate.

Discuţie:Este posibil ca dezvoltarea ulterioară, a ştiinţei, noi experienţe, să mărească universul cunoaşterii clasei de fenomene respective, astfel încât un principiu actual să devină

o teoremă viitoare, demonstrat pe baza altor principii relevate, mai generale. De exemplu, Coulomb a postulat “legea” sa; cercetarea ulterioară a fenomenelor electrice şi magnetice a condus la principiile (ecuaţiile) Maxwell, “principiul” Coulomb devenind o consecinţă a acestora (cazul a două particule încărcate electric şi aflate în repaus), adică o lege.

PRINCIPIUL I (INERŢIEI):Un corp rămâne în repaus sau mişcare rectilinie uniformă atâta timp cât asupra sa nu se exercită nici o acţiune care să-i

modifice această stare.

Def.: inerţia = proprietatea intrisecă a corpurilor de a-şi menţine starea de repaus sau mişcare rectilinie uniformă în absenţa acţiunilor exterioare care să-i schimbe această stare şi de a se opune la orice acţiune exterioară ce caută să producă acest fapt.

Def.: masa inerţială = observabila punctului material (mărimea mecanică măsurabilă) în legătură cu inerţia acestuia.

Discuţii şi definiţii :

1. Despre masă nu facem, deocamdată alte consideraţii în afară de definiţie. Pentru a clarifica această noţiune sunt necesare alte noţiuni ce se vor introduce ulterior.

Putem spune la acest moment că această mărime este una fundamentală în sistemul internaţional de unităţi şi măsuri, unitatea de măsură pentru masă numindu-se kilogram:

2. Pentru ca principiul I să aibă un conţinut bine determinat este necesar să se indice reperul faţă de care se consideră mişcarea corpului dat (punctului material). În acest sens experienţa ne arată că acest principiu nu este valabil în orice reper:

Ex.: într-un tren care accelerează, un observator, în lipsa frecării, va constata că, în raport cu acesta el se mişcă accelerat înapoi, în condiţiile în care asupra sa nu se exercită nici o acţiune. Aşadar, în rapor cu trenul nu se respectă principiul I.

Newton a presupus existenţa unui spaţiu absolut, totdeauna acelaşi şi imobil în care toate corpurile au o mişcare absolută (el a descris acest reper absolut ca fiind constituit din stelele “fixe”, aşa cum erau considerate pe atunci). Simţurile noastre şi toate experientele efectuate până în prezent au infirmat această presupunere: universul cunoscut este într-o mişcare eternă şi continuă. Prin urmare, suntem obligaţi să acceptăm existenţa a două clase de repere (sisteme de referinţă – ca model matematic):

SRI – s. r. inerţial, în care este respectat principiul inerţiei;

25

SRNI – s. r. neinerţial, în care nu este respectat acest principiu.Vom căuta, în cele ce urmează, expresia matematică a condiţiei impusă unui sistem de referinţă de a fi inerţial, în cadrul modelului

matematic construit până aici. Cu notaţiile consacrate, să impunem lui S şi S’ condiţia de inerţiale. Aşa cum am văzut, dacă P este un punct material studiat în cele două sisteme de referinţă, între coordonatele acestuia există relaţia:

(181)Prin derivarea de două ori a acestei relaţii în raport cu timpul, obţinem legătura corespunzătoare dintre acceleraţii:

(182)Să impunem acum mobilului, pentru a analiza conţinutul principiului inerţiei, condiţia de a fi în repaus sau mişcare rectilinie uniformă în S;

avem deci . S’ fiind şi el inerţial, va trebui, conform discuţiei anterioare, ca P să aibă aceeaşi stare şi în acest sistem, deci să avem . De aici, conform relaţiei anterioare, rezultă:

(183)Reciproc, dacă este îndeplinită această ultimă relaţie, din relaţia de compunere a acceleraţiilor rezultă , adică P este în repaus

sau în mişcare în S’. Aceasta înseamnă că în S’ se respectă principiul inerţiei, adică S’ este inerţial.Aşadar:

S’ = inerţial S şi S’ se află în repaus relativ sau în mişcare rectilinie uniformă

PRINCIPIUL II (AL ACŢIUNII FORŢELOR):Variaţia mişcării unui corp este proporţională cu acţiunea mecanică şi se realizează pe direcţia şi în sensul acesteia.

Discuţii şi definiţii:

a. Noţiunea de masă inerţială

Conform modelului matematic de acţiune mecanică construit anterior, rezultă că principiul al II-lea are următoarea formă în limbaj matematic:

(184)unde este modelul matematic al unei acţiuni mecanice directe (cele de legătură, conform unei discuţii anterioare, nu pot produce variaţia mişcării punctului material)

Partea mai puţin evidentă a acestei relaţii este motivul pentru care acceleraţia punctului material reprezintă variaţia mişcării acestuia. Conform definiţiei vitezei, aceasta reprezintă mişcarea punctului material tocmai prin aceea că exprimă variaţia poziţiei acestuia. Ori acceleraţia, exprimând variaţia vitezei punctului material, rezultă că va exprima chiar variaţia mişcării, ceea ce îi conferă locul din expresia anterioară.

Constanta de proporţionalitate din relaţia anterioară se notează cu m şi va fi, din punct de vedere matematic, o mărime scalară şi pozitivă; astfel relaţia devine:

(185)Această constantă a fost introdusă deci “în vârful creionului”, din considerente de matematică; se impune găsirea semnificaţiei mecanice

a acesteia pe care o vom căuta în continuare.În primul rând, m este o caracteristică intrinsecă a fiecărui corp. Întradevăr, dacă „schimbăm” punctul material menţinând aceeaşi

acţiune, acceleraţia imprimată acestuia din urmă va fi, în general, diferită (experienţa ne arată că nu este posibil ca toate corpurile din univers să aibă aceeaţi acceleraţie sub acţiunea unei forţe date); ori, pentru a mentine egalitatea, rezultă că m trebuie să se modifice.

În al doilea rând, să observăm că, în condiţiile unei forţe constante aplicate unor puncte materiale diferite cu m1m2, acestea vor căpăta acceleraţii cu aceeşi direcţie şi acelaşi sens, între modulele acestora fiind relaţia inversă ca la mase, adică a1a2. Prin urmare, cu cât masa este mai mare, cu atât acceleraţia produsă de o forţă dată este mai mică; altfel spus, cu cât corpul are masa mai mare, cu atât el se opune mai mult modificării stării sale iniţiale de mişcare, ce poate fi, în particular, repaus sau mişcare rectilinie uniformă. Conform unei definiţii anterioare rezultă că m este modelul matematic al noţiunii de masă inerţială.

Noţiunea de masă mai apare şi în alte 2 contexte:- în chimie, masa corpului se numeşte masă molară şi este măsura cantităţii de materie conţinută de acesta şi se măsoară în moli;- conform legii atracţiei gravitaţionale, orice corp este atras de Pământ (sau de orice alt corp) cu o forţă numită greutate. La o

anumită distanţă de centrul Pământului greutatea corpurilor este proporţională cu o aceeaşi constantă ce nu depinde de corp, ci doar de masa Pământului şi de distanţa respectivă. Constanta de proporţionalitate respectivă se numeşte tot masă, dar de data aceasta este vorba de aşa-numita masă gravifică.

S-a pus o problemă foarte importantă:- ce legătură există între cele două tipuri de mase fizice?Experienţe celebre şi minuţioase efectuate de Eotvos (1890) şi Zeeman (1897), precum şi alteltele recente, de mare precizie, au arătat

că cele două mase sunt numeric proporţionale, respectiv egale dacă se aleg în mod corespunzător unităţile de măsură.În mecanica newtoniană (clasică) masa este o mărime ce depinde numai de corpul căreia îi este asociată, fiind o caracteristică mecanică

intrinsecă a acestuia.În teoria relativităţii dezvoltată de Einstein (1905) se arată – şi se verifică experimental - că masa depinde şi de mişcarea corpului în

raport cu alte corpuri (repere), crescând cu viteza după legea

(186)

În acest caz, relaţia matematică ce exprimă principiul II, trebuie să aibă o formă mai generală, care să includă şi

posibilitatea variaţiei masei, dar care, în limitele mecanicii clasice, să „revină” la aceasta formă. Singura expresie care să satisfacă ambele cerinţe este următoarea:

(187)

26

b. Interpretări şi situaţii reale

Ecuaţia ce constituie modelul matematic al principiului II nu ne spune nimic despre natura forţei; aceasta poate fi gravitaţională, centrifugă, de frecare etc. Acest lucru evidenţiază caracterul universal al acestui principiu, acela de lege a naturii.

Forţa trebuie determinată însă pentru a putea rezolva această ecuaţie şi a găsi astfel expresia matematică (modelul matematic) a mişcării corpului. Această determinare se face pur experimental; de exemplu, experienţa arată că forţa elastică este proporţională cu deformarea, că forţa de frecare este proporţională cu apăsarea normală pe suprafaţa de contact, că forţa gravitaţională este proporţională cu acceleraţia gravitaţională la sol etc.

În cazul cel mai general „rezolvabil” din mecanica teoretică, avem de-a face cu câmpuri de forţe, ce au o anumită valoare în orice punct din regiunea în care se deplasează p.m., şi care depind de timp şi de viteza acestuia:

(188)

dependenţa respectivă „postulându-se”, adică reprezentând, aşa cum am discutat, modelul matematic al rezultatelor experimentale. Odată stabilită această expresie, ecuaţia principiului II se scrie în forma generală:

(189)

Această este o ecuaţie vectorială diferenţială de ordinul doi în , respectiv un sistem de ecuaţii diferenţiale scalare de ordin doi, şi reprezintă ecuaţia fundamentală a mecanicii clasice (newtoniene).

Problema fundamentală a mecanicii punctului material – determinarea mişcării acestuia – revine astfel, în modelul matematic construit, la rezolvarea ecuaţiei fundamentale, imediat ce a fost stabilită expresia matematică a forţei.

Această rezolvare nu este facilă. Tratarea problemei în cadrul adecvat al cursului de ecuaţii diferenţiale şi a celui de analiză funcţională, arată că determinarea soluţiilor ecuaţiei (integrarea ecuaţiei fundamentale) este posibilă numai pentru anumite clase „cuminţi” de astfel de ecuaţii; pentru acestea, metode matematice puse la punct conduc la soluţii analitice de forma

(190)Mişcarea punctului material este însă unică, astfel că şi soluţia ecuaţiei fundamentale, care este modelul matematic al acestei mişcări,

trebuie să fie unică. Ori, până acum, avem o infinitate de soluţii, determinate de arbitrariul absolut al celor 6 constante de integrare. Aceleaşi ramuri ale fizicii matematice numite mai sus arată că unicitatea impusă soluţiei ecuaţiei fundamentale este complet asigurată de condiţiile iniţiale ale mişcării punctului material, adică de valorile concrete ale poziţiei şi vitezei la momentul considerat iniţial:

(191)

Prin aceasta modelul matematic este pus în acord perfect cu experienţa.

Experienţa arată, ca şi în cazul primului principiu, că principiul II este valabil numai în repere inerţiale ecuaţia fundamentală modificându-se la trecerea de la un SRI la un SRNI. Modul în care se realizează această transformare, datorită importanţei sale, este tratat într-un paragraf ulterior, separat (“dinamica mişcării relative a p.m.”).

Principiile I şi II ale mecanicii clasice se pot grupa sub forma unui singur principiu echivalent, dar mai puţin semnificativ; cu notaţiile şi discuţiile de până acum, acesta s-ar formula astfel:

- există cel puţin un reper spaţio-temporal faţă de care este valabilă legea . Din formularea anterioară a principiului echivalent şi din discuţia anterioară cu privire la universalitate, se deduce imediat un alt „principiu”

important al mecanicii clasice, care face diferenţa de „alte mecanici”:- legile mecanicii newtoniene sunt aceleaşi faţă de orice reper inerţial

numit principiul relativităţii clasice.

PRINCIPIUL III (AL ACŢIUNII ŞI REACŢIUNII):La orice acţiune (forţă) cu care un corp acţionează asupra altui corp (puncte materiale), îi corespunde o reacţiune (tot forţă)

egală, pe aceeaşi direcţie, dar de sens opus cu care corpul din urmă acţionează asupra primului, simultan.

Discuţii şi definiţii:

a) forţa de inerţie

Să presupunem că avem situaţia din figura 27. Conform principiului II, corpul B va căpăta o acceleraţie dată de ecuaţia fundamentală: (192)

Fig. 20Conform principiului III, corpul B va „răspunde” acţionând asupra lui A cu o forţă de reacţiune ; acesta se numeşte forţă de

inerţie.27

1.3. Noţiunile de impuls, moment cinetic, energie mecanică. Teoremele fundamentale ale mecanicii clasice a punctului material

Fără multă discuţie, foarte concis, vom defini observabilele mecanice respective şi vom enunţa şi vom demonstra aceste teoreme pe baza principiilor de mai sus.

A. Teorema impulsului

Notă: efectul de deplasare a punctului material realizat de o forţă aplicată este descris de observabilele definite în continuare.

Def.: - impulsul punctului material de masă m şi viteză : (193)

- impulsul forţei ce acţionează asupra punctului material :

(194)

TEOREMA IMPULSULUI:- forma diferenţială (locală): derivata impulsului punctului material este egală cu rezultanta forţelor aplicate:

(195)

- forma integrală (globală): impulsul forţei rezultante aplicată p.m. este egal cu variaţia corespunzătoare a impulsului acestuia: (196)

Dem.:Ecuaţia fundamentală, în condiţiile masei constante din mecanica newtoniană, se scrie succesiv:

(197)

Forma integrală rezultă imediat din integrarea finită a teoremei locale (cu care este echivalentă). Corolar: dacă rezultanta acţiunilor ce acţionează asupra punctului material este nulă, atunci impulsul acestuia se conservă

(198)

Discuţii:a. Impulsul nu s-a definit „de dragul” teoremei impulsului; el este o observabilă importantă a corpurilor, având, în acelaşi timp, şi o importanţă teoretică mare, aşa cum se

va vedea din consideraţiile viitoare. b. Conform principiului III, forţa rezultantă este efectul interacţiunii p.m. cu alte corpuri; asupra acestora se va exercita, simultan, reacţiunea din partea p.m., astfel că vom

avea succesiv:

(199)

Semnificaţia acestei relaţii este foarte importantă: modificarea impulsului p.m. se face pe seama modificării opuse a impulsului corpurilor cu care acesta interacţionează. Avem deci un transfer de impuls realizat, ca model matematic, prin intermediul forţei în decursul interacţiunii dintre corpuri (puncte materiale). De aici, conform şi unei discuţii anterioare, putem afirma că impulsul descrie cel mai bine mişcarea corpului. (mai semnificativ decât viteza).

c. Teorema impulsului, aşa cum arată consideraţii superioare de mecanică analitică, exprimă o lege de conservare a materiei legată de proprietatea de omogenitate a spaţiului fizic newtonian, modelată matematic prin simetria la translaţie a ecuaţiei fundamentale.

B. Teorema momentului cinetic

Notă: efectul de rotaţie a punctului material realizat prin aplicarea unei forţe acestuia este descris de observabilele definite în continuare.

Def.: - momentul cinetic al punctului material în raport cu polul O: (200)

- impulsul momentului forţei:

(201)

TEOREMA MOMENTULUI CINETIC:- forma diferenţială (locală): derivata momentului cinetic al p.m. în raport cu un pol este egală cu momentul forţei în raport cu acelaşi

pol:

(202)

- forma integrală (globală): impulsul momentului forte rezultante aplicată p.m. în raport cu un pol este egal cu variaţia corespunzătoare a momentului cinetic al acestuia, în raport cu acelaşi pol:

(203)Dem.:Conform definiţiilor, avem:

(204)28

Derivând această relaţie şi ţinând cont de teorema impulsului, obţinem succesiv:

(205)

De aici, prin integrare finită, obţinem forma integrală a teoremei.

Corolar: dacă momentul rezultantei forţelor aplicate unui p.m. în raport cu un pol este nul, atunci momentul cinetic al acestuia se conservă în raport cu acel pol:

(206)

Discuţii:a) Momentul forţei este nul nu numai când aceasta este nulă, ci şi în situaţia când forţa are este coliniară cu vectorul de poziţie.b) Teorema momentului cinetic exprimă şi ea o lege de conservare a materiei legată, de această dată de proprietatea de izotropie a spaţiului newtonian, modelată

matematic prin simetria la rotaţii a ecuaţiei fundamentale.

C. Teorema energiei cinetice

Notă: efectele „utile” măsurabile ale forţei aplicată punctului material sunt modelate de mai multe mărimi, definite în continuare.

Def.: - lucrul mecanic efectuat de forţă asupra punctului material (de corpurile ce-i produc, prin interacţiune, deplasarea):- elementar (diferenţial):

(207)- global (finit):

(208)

- puterea forţei aplicată punctului material- instantanene:

(209)

- medie:

(210)

- energia cinetică a punctului material :

(211)

TEOREMA ENERGIEI CINETICE:- forma diferenţială (locală): lucrul mecanic elementar al rezultantei forţelor ce acţioneză asupra punctului material este egal în orice

moment cu diferenţiala energiei cinetice a acestuia: (212)

- forma integrală (globală): lucrul mecanic al rezultantei ce acţionează asupra punctului material este egal cu variaţia corespunzătoare a energiei cinetice a acestuia:

(213)Dem.:Conform definiţiei lucrului mecanic elementar şi teoremei impulsului, avem succesiv:

(214)

Integrând finit forma locală se obţine forma globală.

Corolar: dacă rezultanta forţelor ce acţionează asupra p.m. este nulă, atunci energia cinetică a acestuia se conservă: (215)

Dem.: Avem imediat:

(216)

Discuţie:Teorema energiei cinetice este legată şi ea de o proprietate deosebită a spaţiu-timpului newtonian, anume de omogenitatea timpului, modelată matematic prin simetria

la translaţii temporale a ecuaţiei fundamentale.

D. Teorema conservării energiei mecanice

O situaţie reală este aceea în care asupra unui punct material acţionează un câmp de forţe (gravitaţional, electric etc.). „Subsituaţia” uzuală modelabilă matematic este aceea în care funcţia ce modelează acest câmp, dependentă de poziţie şi timp, are expresia analitică dată de gradientul unei funcţii scalare:

29

(217)

În acest caz câmpul de forţă se numeşte câmp potenţial, iar funcţia scalară U potenţialul câmpului.Definiţia funcţiei U nu o determină pe aceasta în mod univoc. Într-adevăr, dacă luăm

(218)

obţinem acelaşi câmp. Spunem atunci că originea potenţialului poate fi aleasă arbitrar, cât mai convenabil.Dacă funcţia U nu depinde explicit de timp, câmpul de forţe respectiv se numeşte conservativ (vom vedea din teorema următoare

motivaţia acestei denumiri), iar U se numeşte energie potenţială. Lucrul mecanic efectuat de către câmp pentru a deplasa un punct material între două poziţii oarecare , pe o traiectorie dată, va fi în acest caz:

(219)

Se observă că acesta nu depinde de traiectoria dintre cele două puncte pe care a fost transportat punctul material, ci numai de poziţiile iniţială şi finală ale acestuia.

Notă: în general, lucrul mecanic elementar nu este o diferenţială totală exactă (diferenţiala unei funcţii), motiv pentru care, în definiţia sa se foloseşte simbolul de element diferenţial, , şi nu cel de diferenţială, d. În cazul unui câmp conservativ se întâmplă acest lucru, lucrul mecanic fiind diferenţiala totală exactă a potenţialului câmpului; într-adevăr, conform definiţiei diferenţialei, avem:

(220)

În acest caz, concluzia anterioară rezultă direct din analiza funcţională care ne spune că circulaţia lui între punctele P1 şi P2 nu depinde de drum, ci doar de poziţiile acestora.

Suprafeţele de ecuaţie U = const. se numesc suprafeţe echipotenţiale. Curbele de-a lungul cărora este tangent în orice punct al acestora se numesc linii de forţă. Ele vor fi deci normale pe suprafeţele echipotenţiale.

Def.: în câmpul conservativ descris anterior, mărimea (221)

se numeşte energia mecanică a punctului material aflat în punctul .

TEOREMA CONSERVĂRII ENERGIEI MECANICE:Energia mecanică a unui punct material supus acţiunii unui câmp de forţe conservativ se conservă.Dem.:Avem imediat:

(222)

Discuţii:a) Această teoremă ne spune că, într-un câmp de forţe conservativ are loc în tot timpul mişcării punctului material transformarea energiei cinetice a acestuia în energie

potenţială şi invers, per ansamblu suma acestora rămânând aceeaşi.b) Pentru un câmp de forţe neconservativ, numit disipativ, lucrul mecanic depinde, în general, de traiectoria de deplasare a punctului material, precum şi de modul de

mişcare al acestuia. În astfel de câmpuri nu se poate defini energia potenţială (ca funcţie a cărei diferenţială să ne dea lucrul mecanic elementar). Energia mecanică se poate considera că se reduce la energia cinetică şi, în acest caz nu se mai conservă. Ea se transformă în alte forme de energie, nemecanice (căldură etc.)

c) În cazul în care avem suprapus peste câmpul conservativ considerat un alt câmp disipativ , lucrul mecanic efectuat la deplasarea unui punct material va fi dat de

(223)

Pe de altă parte, aplicând teorema energiei cinetice, rezultă:

(224)

Aşadar, lucrul mecanic al forţelor neconservative este egal cu variaţia energiei mecanice a p.m.

2. Observabilele mecanice derivate ale sistemului de puncte materiale. Principiile şi teoremele mecanicii clasice ale sistemului de puncte materiale

2.1. Transpunerea consideraţiilor similare de la punctul material la sistemul de puncte materiale pe baza aditivităţii clasice

Discuţie:În general, teoria sistemului de puncte materiale, a solidului rigid şi a mediilor continue deformabile reliefează modul nostru de gândire aditiv, specific

mecanicii newtoniene şi lumii pe care noi o putem percepe direct, prin intermediul simţurilor noastre: principiul aditivităţii clasice. Acest punct de vedere este cel care a dominat gândirea (cunoscută a) omenirii până la descoperirea fenomenelor cuantice şi relativiste neaditive (neliniare), precum şi a altor fenomene de ultimă oră.

Definitoriu acestui mod de gândire este relaţia de construcţie liniară 1 + 1 = 2 (225)

şi reciproca ei (descompunerea liniară) 2 = 1 + 1 (226)

Experienţa ne-a arătat că acest model matematic al cuplării a două corpuri pentru a forma un sistem ce se poate descompune ulterior în aceleaşi corpuri, fără nici o deosebire, este specific doar realităţii percepute de noi direct, şi ca aproximaţie: se neglijează efectele electrice, magnetice etc. ce se produc

30

cu siguranţă la contactul celor două corpuri, dar pe care simţurile noastre nu le relevă. În realitate, cuplarea oricăror două sau mai multe corpuri conduce la formarea unui sistem cu proprietăţi noi, distincte de cele ale componentelor, separarea ulterioară a acestora nemaiconducând la starea iniţială – nici chiar când este vorba de două particule.

Consecinţa acestei gândiri liniare este, în primul rând, modul de definiţie a tuturor observabilelor sistemului de puncte materiale şi mediului continuu prin însumarea simplă, respectiv integrarea mărimilor corespunzătoare ale particulelor componente. Astfel, dacă „a” este o mărime specifică particulei componente, mărimea corespunzătoare „A” a sistemului va fi:

(227)

De exemplu, impulsul sistemului de puncte materiale se defineşte astfel:

(228)

În cele ce urmează vom subânţelege aceste definiţii, nescriindu-le pe fiecare în parte.Conform acestui mod liniar de a vedea sistemele mecanice în general, principiile şi teoremele corespunzătoare din cadrul mecanicii punctului material

„se transpun” practic în cazul sistemului de puncte materiale, solidului rigid şi mediilor continue; asupra veridicităţii acestei afirmaţii în cazul sistemului de puncte materiale ne vom convinge în consideraţiile anterioare.

Evident, cele trei sisteme mecanice fiind „superioare” punctului material din punctul de vedere al complexităţii - al organizării - vor prezenta şi proprietăţi specifice; în cazul sistemului de puncte materiale, cum vom vedea, centrul de masă, cel de greutate şi proprietăţile acestora sunt câteva exemple de astfel de proprietăţi.

În continuare ne vom referi numai la sistemele de puncte materiale discrete. Vom relua modelarea matematică a sistemului de puncte materiale „în lumina” noilor consideraţii introduse de principiile mecanicii punctului material.

Fig. 21- vom nota cu N numărul total de puncte materiale conţinute de sistemul considerat, cu P1, ..., PN aceste puncte materiale. Dacă Pn şi Pm

sunt două puncte „curente” ale acestuia, forţele ce acţionează asupra acestora le notăm respectiv cu - Fn, Fm – forţele externe - Fnm – forţa cu care Pm acţionează asupra lui Pn

- Fmn – forţa cu care Pn acţionează asupra lui Pm

Conform principiului III vom avea (229)

- vectorii de poziţie ai celor N puncte materiale în raport cu sistemul de coordonate cartezian S considerat până acum.

- Fn(e) rezultanta forţelor exterioare ce acţioneză asupra lui Pn;

- m1, m2, ..., mN masele punctelor materiale ce alcătuiesc sistemul considerat.În general, pentru forţele ce acţionează asupra lui Pn avem dependenţele (expresiile analitice):

(230)

A cunoaşte mişcarea mecanică a sistemului presupune, conform definiţiei acestuia, să cunoaştem mişcarea fiecărui punct material component al său, ceea ce, conform modelului matematic dezvoltat până acum, revine la rezolvarea ecuaţiilor fundamentale corespunzătoare. Ecuaţia fundamentală pentru particula n se va scrie, pe componente:

(231)

Avem de-a face deci, pentru întregul sistem de puncte materiale, cu un sistem fundamental de 3N ecuaţii diferenţiale de ordin II, termenii nediferenţiali având dependenţele analitice de mai sus. Rezolvarea acestuia – atunci când este posibil - ne conduce la integrala generală a acestui sistem diferenţial:

(232)

cu cele 6N constante reale determinate în mod unic de condiţiile iniţiale:

(233)

2.2. Teoremele generale ale sistemelor de puncte materiale

31

Teoerema 1 Rezultanta forţelor interne şi momentul rezultant al forţelor interne în raport cu orice pol sunt nule.Dem.:Pentru rezultanta forţelor interne avem succesiv:

(234)

Analog, pentru momentul rezultant al forţelor interne, pe baza distributivităţii produsului vectorial faţă de adunare, obţinem mai întâi:

(235)

În suma dublă, termenii apar cuplaţi în perechi de forma: (236)

ultima egalitate justificându-se prin coliniaritatea celor doi vectori. Rezultă astfel nulitatea momentului rezultant al forţelor interne, faţă de orice pol, întrucât nu am făcut referire la vreunul anume (relaţiile anterioare sunt scrise în raport cu originea O a sistemului S considerat, dar alegând un alt reper, S’, obţinem şi în acesta acelaşi lucru).

Teorema 2 Dacă sistemul este nedeformabil (solid rigid), atunci lucrul mecanic al forţelor interne este nul.Dem.:Conform definiţiei lucrului mecanic elementar, avem:

(237)

Dacă sistemul este rigid, vom avea: (238)

Pentru sistemele deformabile, în general, nu vom avea această anulare; în acest caz rezultă că forţele interne sunt cele responsabile de deformarea acestora.

Teorema 3 (a impulsului total) Derivata în raport cu timpul a impulsului total al sistemului este egală cu rezultanta forţelor exterioare aplicate acestuia:

(239)

Dem.:Considerăm relaţia dată de teorema corespunzătoare pentru Pn şi sumăm; obţinem succesiv (ţinem cont de teorema 1):

(240)

Corolar 1: dacă rezultanta forţelor exterioare aplicate sistemului exte nulă, impulsul acestuia se conservă.Corolar 2 (forma integrală):

(241)

Teorema 4 (a momentului cinetic) Derivata în raport cu timpul a momentului cinetic total al s.p.m. este egală cu momentul rezultant al forţelor exterioare aplicate sistemului:

(242)

Dem.:Analog, prin însumarea relaţiei dată de teorema corespunzătoare pentru Pn şi ţinând cont de partea a doua a teoremei 1, se obţine

relaţia corespunzătoare sistemului de puncte materiale.

Corolar 1: dacă momentul rezultant al forţelor exterioare aplicate sistemului de puncte materiale este nul, impulsul acestuia se conservă.Corolar 2 (forma integrală):

(243)

32

Teorema 5 (a energiei cinetice) Diferenţiala energiei cinetice totale a sistemului de puncte materiale este egală cu suma lucrurilor mecanice ale forţelor interioare şi ale celor exterioare:

(244)Dem.:Însumarea relaţiei dată de teorema corespunzătoare pentru Pn ne conduce imediat la relaţia de mai sus (în acest caz, conform teoremei

2, lucrul mecanic al forţelor interne nu mai este, în general, nul, astfel că acesta nu va dispărea ca termenii corespunzători din teoremele pentru impuls şi moment cinetic).

Corolar 1: dacă rezultanta forţelor exterioare aplicate s.p.m. este nulă, energia cinetică elementară a acestuia va fi egală cu lucrul mecanic elementar al forţelor interne (nu se mai conservă neapărat!)

Corolar 2 (forma integrală): (245)

Teorema 6 (a energiei mecanice totale) Într-un câmp de forţe conservativ energia sistemului de puncte materiale se conservă.Dem.:Analog.

2.3. Centrul de masă al sistemului de puncte materiale. Proprietăţi (teoremele Koenig)

Discuţie:Există, aşa cum vom vedea, o caracteristică deosebită a sistemului de puncte materiale, numită centru de masă. Aceasta şi proprietăţile

ei sunt consideraţii specifice, urmare a complexităţii acestui sistem mecanic, fără corespondent în consideraţiile cu privire la punctul material.

Def.: centrul de masă al sistemului de puncte materiale (c.m.) = este punctul din reperul S notat cu G şi definit prin vectorul de poziţie

(246)

Teorema 7 (a c.m.) Centrul de masă al unui sistem de puncte materiale se deplasează ca şi cum în el ar fi concentrată toată masa sistemului şi asupra sa ar acţiona rezultanta forţelor exterioare aplicate acestuia.

Dem.:Derivând relaţia de definiţie a centrului de masă de două ori în raport cu timpul, obţinem:

(247)

Conform ecuaţiei fundamentale sub formă vectorială scrisă pentru Pn, membrul drept devine:

(248)

Corolar 1: impulsul total al sistemului de puncte materiale este egal cu masa totală a sistemului, M, înmulţită cu viteza centrului de masă.

Corolar 2: rezultanta forţelor externe este egală cu masa sistemului înmulţită cu acceleraţia centrului de masă.Corolar 3: forţele interne nu pot schimba mişcarea centrului de masă (viteza, impulsul sau acceleraţia acestuia).

Notă:Aceste corolare suportă şi demonstraţie directă, imediată; de exemplu demonstraţia corolarului 1 este următoarea:

(249)

Să considerăm în continuare sistemul de referinţă neinerţial S’ = [G, x’, z’, z’], având axele de direcţie fixă în raport cu S, adică aflat doar în mişcare de translaţie faţă de acesta, numit sistemul centrului de masă (s.c.m.) sau sistemul propriu. Mişcarea sistemului de puncte materiale în sistemul propriu se numeşte mişcare de spin (de la “speen” = fus) sau mişcare proprie, iar mişcarea centrului de masă în S mişcare orbitală. În acest reper important se „petrec” multe aspecte de mare interes; cele mai importante sunt cele cuprinse în următoarele teoreme:

Teorema 8 (Koenig I) momentul cinetic al sistemului de puncte materiale, în raport cu originea O a lui S, este egal cu momentul cinetic orbital (al centrului de masă faţă de O), plus momentul cinetic de spin (al sistemului de puncte materiale în sistemul centrului de masă):

(250)Dem.:Conform definiţiilor corespunzătoare ale momentelor cinetice din enunţul teoremei, obţinem succesiv:

(251)

Pentru particula Pn, conform unor consideraţii anterioare, vom avea următoarea relaţie între coordonatele din cele două sisteme: (252)

iar prin derivare, obţinem:

33

(253)

Deoarece sistemul centrului de masă se deplasează doar prin translaţie, rezultă că versorii acestuia nu se modifică, astfel că în derivata de mai sus variază cu timpul numai conponentele vectorului de poziţie al lui Pn din sistemul centrului de masă şi deci, spre deosebire de cazul general tratat la cinematica mişcării relative, vom avea:

(254)Prin urmare, relaţia între vitezele din cele două sisteme se reduce, în acest caz la:

(255)Înlocuind vectorii de poziţie şi vitezele, rezultă:

(256)

Să considerăm fiecare termen al sumei în parte:- în primul termen suma este masa totală a s.p.m., deci acest termen, conform corolarului 1 va fi egal cu , care

este momentul centrului de masă faţă de originea reperului S, adică conform definiţiei, chiar .- în al doilea termen suma este nulă, deci termenul acesta este nul; într-adevăr, în sistemul centrului de masă viteza centrului de masă

va fi nulă, , pentru că acest reper este solidar cu acest punct; atunci, conform corolarului 1, vom avea, relativ la impulsul sistemului în acest reper:

(257)Pe de altă parte, acest impuls este tocmai suma din termenul considerat.- şi al treilea termen este nul, pentru că acesta se scrie

(258)

şi în sistemul centrului de masă vom avea, evident, , iar pe de altă parte , de unde rezultă că suma

respectivă este nulă;- în sfârşit, al patrulea termen este chiar momentul cinetic de spin al sistemului de puncte materiale în sistemul centrului de masă, .Prin urmare se obţine relaţia din enunţul teoremei.

Teorema 9 (Koenig II) Energia cinetică a sistemului de puncte materiale este egală cu suma dintre energia cinetică orbitală (a centrului de masă în S) şi energia cinetică de spin (a sistemului de puncte materiale în sistemul centrului de masă ):

(259)Dem.:Analog demonstraţiei anterioare şi folosind relaţiile între viteze stabilite în cadrul acesteia, avem:

(260)

Primul termen este chiar TG, iar ultimul T’. Cel din mijloc este

(261)

astfel că din sumă vor rămâne doar cei doi termeni particulari.

2. Observabilele mecanice derivate ale solidului rigid. Principiile şi teoremele mecanicii clasice ale solidului rigid

2.1. Transpunerea consideraţiilor similare de la punctul material la solidul rigid pe baza aditivităţii clasice

Discuţie:

2. Observabilele mecanice derivate ale solidului deformabil. Principiile şi teoremele mecanicii clasice ale solidului deformabil

2.1. Transpunerea consideraţiilor similare de la punctul material la solidul deformabil pe baza aditivităţii clasice

Discuţie:

- under construction...

34

CAPITOLUL IV:

STATICA – MODELAREA MATEMATICĂ A STĂRII DE ECHILIBRU MECANIC

1. Modelarea matematică a stării de echilibru mecanic al sistemului mecanic

Vom modela matematic în acest paragraf aşa-numita stare de echilibru mecanic a sistemelor mecanice (repausul). Conform şi unor discuţii anterioare, această stare se defineşte în modul urător:

- spunem că un sistem mecanic se află într-o stare de echilibru mecanic (sub acţiunea unui sistem de forţe - interacţiuni mecanice), dacă aceasta nu se modifică în timp.

Să modelăm matematic această stare specială a sistemelor mecanice aflate sub acţiunea unor forţe generale.Fie un sistem mecanic oarecare Q asupra căruia acţionează un sistem de forţe directe şi un sistem de forţe de legătură

(modelele matematice ale interacţiunilor mecanice la care este supus acesta), aflat în starea de echilibru mecanic notată . Unele forţe sunt modele matematice ale reacţiunilor unor contacte mecanice directe. După cum am văzut, aceste două sisteme se pot reduce mecanic echivalent la doi torsori. Considerând acelaşi punct de reducere O, îi vom nota cu şi respectiv

. Atunci, conform definiţiei anterioare, sistemul Q va fi în echilibru mecanic dacă şi numai dacă suma celor doi torsori este torsorul nul, echivalent cu zero (torsorul ce modelează matematic sistemele de forţe fără nici un efect mecanic):

(262)Aceasta relaţie constitiue condiţia necesară pentru ca sistemul Q să fie în echilibru sub acţiunea forţelor considerate. Pentru a

fi şi suficientă, adică pentru ca starea E să fie determinată, aceasta trebuie completată cu relaţiile de legătură impuse de forţele de legătură (dacă impunem numai anularea sumei de torsori, fără relaţiile de legătură, putem ajunge într-o altă stare decât E, care satisface aceste relaţii) precum şi de inegalităţile de frecare corespunzătoare contactelor mecanice respective. Prin urmare, modelul matematic general al stării de echilibru mecanic al sistemului mecanic Q este dat de următorul sistem:

(263)

Ea poate fi explicitată conform consideraţiilor anterioare (numai relaţiile între forţe) astfel:- într-un reper cartezian, avem:- relaţii vectoriale:

(264)

- relaţii între componentele carteziene:

35

(265)

- relaţii între componentele pe o direcţie şi cele pe planul normal la aceasta:

(266)

Acestea sunt relaţiile generale de echilibru ale sistemului mecanic supus acţiunii unui sistem de forţe directe. Ele suportă particularizări în funcţie de tipul de sistem mecanic şi de sistem de forţe, particularizări de care ne vom ocupa în paragrafele

ulterioare.Cu ajutorul acestor ecuaţii se pot rezolva următoarele categori de probleme specifice staticii:

a) problema directă: cunoscându-se sistemul de forţe (echivalent cu zero) se determină starea de echilibru a sistemului mecanic (poziţia acestuia în reperul considerat);

b) problema indirectă: cunoscând poziţia de echilibru a sistemului mecanic se determină sistemul de forţe care acţionează asupra acestuia.Astfel de probleme nu sunt în general determinate (se numesc static nedeterminate) decât dacă se impun forţelor componente condiţii

suplimentare care să reducă numărul necunoscutelor din sistemul anterior (în general mai mare decât al ecuaţiilor).c) problema mixtă: cunoscându-se unii dintre parametrii stării de echilibru mecanic şi unele dintre caracteristicile sistemului de forţe, se

determină ceilalţi parametrii şi celelalte caracteristici.

Discuţii:1. În general, datorită numărului mare de necunoscute introduse de forţele de legătură, sistemul de ecuaţii este nedeterminat.2. Forţele de legătură nu se cunosc, dar nici nu sunt, în problemele uzuale, necunoscute în totalitate. Sunt accesibile anumite caracteristici ale acestora, în funcţie de

particularităţile problemei; de exemplu, putem cunoaşte direcţia lui , caz în care, în loc de cele trei necunoscute din sistem corespunzătoare acesteia ( )

vom avea una singură, anume modulul acesteia, Np.

2. Statica punctului material

2.1. Statica punctului material liber (fără legături)

Discuţie:Evident, tratarea oricărui tip de mişcare mecanică sub acţiunea unor forţe aplicate (directe) şi fără frecare corespunde ca modelare

matematică interacţiunii mecanice mediată de câmpuri de forţe: de exemplu, în acest mod poate fi modelată matematic mişcarea (clasică a) unui electron în câmp electric sau magnetic, ori căderea unei pietre în câmp gravitaţional etc. Aşadar, consideraţiile ce se vor face în analiza interacţiunilor mecanice fără frecare nu sunt simple „exerciţii matematice” (cazuri ideale); ele modelează matematic situaţii reale în limitele permise de anumite aproximaţii.

Orice sistem de forţe care acţionează asupra unui punct material nu poate fi decât concurent şi anume în punctul ce modelează acest sistem mecanic simplificat. Ori, conform unor consideraţii anterioare, torsorul unui astfel de sitem este echivalent cu o forţă.

În ceea ce priveşte statica punctului material liber, consecinţa imediată a acestui fapt este aceea că sistemul ecuaţiilor de echilibru se reduce la anularea rezultantei forţelor directe aplicate:

(267)

cu toate consecinţele ce decurg de aici (se particularizează banal discuţia generală).O situaţie mai deosebită este aceea a punctului material supus acţiunii unui câmp de forţe (rezultant) potenţial, în care expresia analitică

a rezultantei forţelor aplicate este de tipul . În acest caz, ţinând cont de definiţia diferenţialei, condiţia de echilibru se transformă echivalent:

(268)

36

Prin urmare, în punctul de echilibru E potenţialul U are un punct staţionar: energia potenţială admite un extrem absolut sau relativ. Analiza diferenţialei de ordinul al II-lea în aceste puncte ne conduce, pe baza interpretării geometrice a acesteia, la considerarea a trei stări distincte de echilibru:

- U admite un minim în E: stare de echilibru stabil

- E este punct de inflexiune: stare de echilibru indiferent

- U admite un maxim în E : stare de echilibru instabilDenumirile celor trei tipuri de echilibre nu sunt întâmplătoare. Analiza cinematică a scoaterii punctului material din această stare

(deplasarea sa din E în E’ foarte apropiat) ne arată că:- dacă E este punct de echilibru stabil, punctul material va rămâne în apropierea sa, efectuând mici oscilaţii de o parte şi de alta a acestei

poziţii;- dacă E este punct de echilibru indiferent, scoaterea sa din această stare conduce fie la o nouă stare de echilibru, fie la o depărtare

constantă şi lentă de E;- dacă E este punct de echilibru instabil, atunci scoaterea punctului material din această stare conduce la depărtarea sa rapidă

(„exponenţială”) de această poziţie.

2.2. Statica punctului material supus la legături

Particularizarea sistemului general de echilibru la cazul de faţă conduce la relaţiile următoare:

(269)

Vom considera în continuare situaţiile elementare de legături fără frecare la care poate fi supus punctul material (orice altă situaţie este o suprapunere a acestora):

a) echilibrul p.m. rezemat pe o suprataţă

Să presupunem că punctul material este obligat să rămînă permanent pe o suprafaţă netedă, fixă (în reperul ales) şi nedeformabilă S, dată de ecuaţia carteziană implicită (modelul matematic al acesteia creat de geometria diferenţială)

(270)Considerând punctul P(x, y, z) ca punctul de echilibru al punctului material şi notând cu () planul tangent în P la S, conform modelului

matematic al forţelor de legătură în situaţia contactului mecanic direct, rezultă că sistemul forţelor de legătură ce acţionează asupra punctului material din partea suprafeţei S se reduc doar la reacţiunea normală, (normală în P la S şi având sensul opus sensului mişcării posibile, interzisă de suprafaţă), deci .

Dar geometria diferenţială ne arată că aceeaşi direcţie, normală în P la S, o are şi gradientul lui f în punctul P; rezultă de aici că vom avea:

(271)Cu acestea, condiţiile de echilibru se scriu

(272)

Discuţii:1. Prima relaţie vectorială are o consecinţă imediată: pentru ca punctul material să fie în echilibru, trebuie ca rezultanta forţelor directe aplicate

să fie normală în punctul de echilibru, P, la suprafaţa de sprijin (îndreptată în sens opus reacţiunii normale), deci: (273)

2. În situaţia considerată este posibil să eliminăm parametrul şi obţinem trei relaţii ce dau numai starea de echilibru (nu şi normala):

(274)

3. Ecuaţia suprafeţei poate fi dată şi sub alte două forme echivalente, în care avem următoarele consideraţii:- forma carteziană explicită:

Notând avem aceleşi consideraţii, dar pentru această relaţie de legătură implicită.

37

- forma carteziană parametrică:

În acest caz derivatele parţiale ale lui f se înlocuiesc cu jacobienii corespunzători:

(275)

b) echilibrul p.m. rezemat pe o curbă netedă

Considerăm aici o altă situaţie elementară în care punctul material este obligat să rămână permanent pe curba netedă C, modelată matematic prin sistemul de ecuaţii implicite carteziene

(276)

Aceste ecuaţii le putem considera ca ecuaţiile carteziene a două suprafeţe S1 şi S2, a căror intersecţie este C: problema pusă revine deci la a obliga punctul material să rămână simultan pe cele două suprafeţe. Sunt valabile astfel consideraţiile anterioare, cu considerarea a două reacţiuni normale date de relaţiile:

(277)

2.3. Statica p.m. supus la legături cu frecare

a) echilibrul p.m. rezemat pe o suprafaţă aspră (cu frecare)

Fie un punct material obligat să rămână pe suprafaţa S modelată matematic prin ecuaţia carteziană explicită (278)

şi rezultanta forţelorce acţionează asupra acestuia. Cu notaţiile din figura 29 şi conform celor discutate la forţele de frecare, sistemul ecuaţiilor de echilibru se scrie în acest caz după cum

urmează (apare, în plus, condiţia de nealunecare pe suprafaţă):

Fig. 22

(279)

Discuţii:Dacă înlocuim coeficientul de frecare cu şi înlocuim în condiţia de nealunecare componentele reacţiunii cu cele ale rezultantei, obţinem imediat condiţia de

nealunecare sub forma unghiulară:

-

-

Aceasta arată că echilibrul punctului material este realizat dacă şi numai dacă rezultanta forţelor directe „rămâne” în aşa-numitul con de frecare reprezentat în figura anterioară (axa coincide cu normala la suprafaţă în punctul P, iar generatoarea face cu aceasta unghiul ).

Sub o formă unică, indiferent de valoarea lui , relaţiile anterioare se scriu: (280)

Aceasta, împreună cu relaţiile de mai jos, ne conduc la expresia analitică a relaţiei de echilibru:

38

(281)

Această inecuaţie (scrisă explicit) delimitează o întreagă zonă pe suprafaţa S în care punctul material este în echilibru.

b) echilibrul punctului material situat pe o curbă aspră

Considerăm în cele ce urmează situaţia elementară în care p.m. este obligat să rămână permanent pe curba aspră C, modelată matematic prin sistemul de ecuaţii implicite carteziene

(282)

sub acţiunea unui sistem de forţe directe de rezultantă .Dacă notăm cu indicii n, respectiv t componentele normală şi tangenţială la curbă şi cu aceleaşi componente ale reacţiunii,

ecuaţiile de echilibru vor avea aceeaşi formă ca cele pentru suprafaţă aspră, diferenţa fiind că avem cele două relaţii de legătură corespunzătoare curbei.

Discuţie:În acest caz, nu se utilizează unghiul ca mai sus (nu prea are sens să îl definim!), ci unghiul dintre rezultantă şi tangenta la curbă; condiţia unghiulară de nealunecare

devine atunci

(283)

ceea ce presupune de astă dată, din punct de vedere geometric, ca echilibru să se realizeze dacă şi numai dacă rezultanta forţelor directe este în afara conului de frecare care are

axa situată pe tangenta la curbă, iar generatoarele sale formează unghiul cu tangenta la curbă.

Condiţia unghiulară se transpune în condiţia analitică (284)

Notând cu tx, ty, tz proiecţiile vectorului tangent la curbă în punctul P, , această condiţie devine:

(285)

care determină o porţiune a curbei în care punctul material este în echilibru.

3. Statica sistemului de puncte materiale

Aşa cum am văzut anterior, asupra sistemelor de puncte materiale pot acţiona două tipuri de forţe directe sau de legătură):- forţe exterioare – modelează interacţiunile dintre punctele materiale ale sistemului de puncte materiale şi celelalte sisteme mecanice;- forţe interioare – modelează interacţiunile reciproce ale punctelor materiale componente, considerate ca sisteme mecanice de sine

stătătoare.Conform principiului III al mecanicii clasice, forţele interioare vor fi, două câte două, egale şi opuse, în modul următor:

(286)Mai mult, am arătat că rezultanta şi momentul rezultant al acestor forţe sunt nule, adică: torsorul rezultant al forţelor interioare este

echivalent cu zero.Conform definiţiei stării mecanice a sistemului de puncte materiale şi a stării de echilibru mecanic al sistemelor mecanice în general,

acesta va fi în echilibru dacă şi numai dacă fiecare punct material al său este în echilibru mecanic. Pe de altă parte, conform consideraţiilor anterioare, punctul material (i) va fi în chilibru mecanic dacă şi numai dacă torsorul forţelor ce acţionează asupra sa este echivalent cu zero. Separând forţele exterioare de cele interioare, condiţia analitică necesară şi suficientă de echilibru mecanic al s.p.m. se scrie:

(287)

Acestea sunt cele 3n ecuaţii ce modelează matematic echilibrul sistemului de puncte materiale liber; în cazul apariţiei forţelor de legătură şi frecărilor, ele trebuiesc completate cu condiţiile matematice corespunzătoare fiecărui punct material component, aşa cum am arătat în consideraţiile din paragraful precedent.

Consecinţe directe ale acestor fapte sunt următoarele teoreme:

- (teorema solidificării) dacă sistemul de puncte materiale este în echilibru atunci torsorul total al forţelor externe în raport cu orice punct de reducere este nul.

Dem.:Dacă sumăm după indicele i relaţiile de mai sus şi ţinem cont că rezultanta forţelor interioare este nulă rezultă imediat că rezultanta

sistemului forţelor exterioare este nulă.

39

Apoi, dacă înmulţim vectorial aceste relaţii cu şi, de asemenea, sumăm după i şi ţinem cont că momentul rezultant al forţelor interioare este nul rezultă că momentul rezultant al forţelor exterioare este nul.

Obs.:Reciproca acestei teoreme nu este valabilă, în sensul ca anularea acestui torsor nu presupune echilibrul s.p.m. (adică al tuturor

punctelor materiale componente ale acestuia).

- (teorema echilibrului părţilor) Dacă un sistem de puncte materiale. este în echilibru sub acţiunea unui sistem de forţe exterioare (directe şi de legătură), atunci orice subsistem al său va fi în echilibru sub acţiunea forţelor aplicate acestuia.

Obs.:Pentru subsisteme, forţele interioare din sistemul global exercitate de particulele din afara acestuia asupra particulelor sale, devin

exterioare.

4. Statica solidului rigid

În cazul solidului rigid avem de-a face, în cazul general cu sisteme de forţe active şi de legătură ce se reduc la câte un torsor complet; ca urmare, starea de echilibru va fi descrisă sistemul general de ecuaţii stabilit anterior:

(288)

explicitată conform consideraţiilor anterioare (numai relaţiile între forţe) astfel:- într-un reper cartezian, avem:

- relaţii vectoriale:

(289)

- relaţii între componentele carteziene:

(290)

În continuare vom considera, ca şi pentru sistemele mecanice anterioare, situaţiile elementare cu privire la tipul de forţe ce acţionează asupra solidului rigid.

4.1. Echilibrul rigidului liber

În acest caz dispar din sistemul general condiţiile de legătură şi inegalităţile de frecare. Rămân, practic doar sistemele de relaţii anterioare scrise în diverse forme.

Acest caz permite însă o modelare matematică simplă, matricială, prin trecerea la coordonate pluckeriene, conform următoarelor consideraţii:

-Fie o dreaptă (D) de versor . Conform unor discuţii anterioare, momentul forţei din sistemul de forţe directe ce acţionează asupra rigidului faţă de dreapta D se poate exprima prin relaţia

(291)

unde este momentul versorului dreptei faţă de polul O, , iar este momentul forţei faţă de acelaşi pol,

. Dacă sumăm aceste relaţii după i, obţinem relaţia globală:

(292)

fiind momentul global al sistemului de forţe faţă de dreapta (D): , iar celelalte fiind componentele torsorului de reducere al sistemului de forţe în raport cu punctul O.

În notaţiile pluckeriene descrise anterior, avem:

(293)

Şi astfel momentul sistemului de forţe faţă de dreapta (D) se poate scrie ca produsul scalar al celor doi vectori în spaţiul 6 – dimensional pluckerian:

40

(294)Să considerăm acum 6 drepte independente (D1),…, (D6); coordonatele pluckeriene ale acestora determină o matrice 6 x 6 cu

determinantul nenul, . Să considerăm că momentele sistemului de forţe în raport cu toate cele 6 drepte sunt nule, adică

(295)Această relaţie matricială reprezintă un sistem de 6 ecuaţii liniare şi omogene în componentele torsorului. Cum determinantul

coeficienţilor este nenul, acest sistem va admite doar solutia nulă, adică torsorul este echivalent cu zero. Reciproca este imediată, astfel că rezultă următoarea concluzie importantă:

- rigidul liber este în echilibru dacă şi numai dacă există şase drepte independente în raport cu care se pot scrie cele 6 relaţii în coordonate pluckeriene.

4.2. Echilibrul rigidului supus la legături ideale (fără frecare)

Vom considera în continuare legăturile elementare la care poate fi supus rigidul:1. Reazemul simplu (cuplă cinematică de clasă CI)

Noţiunea de rezemare se foloseşte pentru a desemna simplul contact mecanic direct între corpuri. Acest contact se poate realiza pe suprafeţe mai mari sau mai mici. La limită, în cazul ideal în care această suprafaţă se reduce la un punct, spunem că avem un contact (reazem) simplu.

Aşadar: un rigid este rezemat simplu dacă este obligat să aibă permanent un punct comun cu o suprafaţă S sau o curbă C. Reprezentarea grafică este cea din figura 30.

Fig. 23

Această legătură suprimă numai mişcarea de translaţie a rigidului pe direcţia normală la suprafaţa de contact prin punctul de contact. Ca urmare, rigidul cu reazem simplu va avea 5 grade de libertate. După cum legătura suprimă această mişcare într-un singur sens sau în ambele, spunem că avem o legătură unilaterală, respectiv bilaterală.

Într-un paragraf anterior am văzut că în cazul contactului direct a două corpuri, se dezvoltă un sistem de forţe ce se reduc la un torsor, deci la o rezultantă şi un moment, în raport cu un punct oarecare. În cazul reazemului simplu, toate forţele fiind concurente în punctul de contact, rezultă că torsorul acestora este echivalent cu o forţă, anume cu rezultanta sistemului, având ca punct de aplicaţie punctul de contact. Mai mult, dacă reazemul considerat este şi ideal, adică nu apar forţe de frecare, rezultă că componenta tangenţială a rezultantei, responsabilă de frecare (

), este nulă. Rămâne astfel în acest caz doar componenta normală a sistemului forţelor, notată cu şi numită reacţiune normală.Cu aceste consideraţii, ecuaţiile de echilibru generale de mai sus se reduc la forma:

(296)

sau, echivalent pe componente carteziene, cu alegerea axei Oz pe direcţia normalei la S în punctul de contact:

(297)

Discuţii: 1. Din primele două relaţii rezultă, în primul rând că rezultanta forţelor directe aplicate trebuie, la echilibru, să fie normală pe S în punctul de contact.2. Sistemul ecuaţiilor de echilibru este un sistem unic determinat de 6 ecuaţii cu 6 necunoscute: o componentă a reacţiunii normale şi cei 5 parametri de poziţie

necunoscuţi ai rigidului; avem deci o problemă static determinată.

b) Reazemul multiplu plan

Considerăm în continuare că rigidul este obligat să aibă mai multe puncte de reazem simplu, A1, ... , An, necoliniare, în planul xOy. Cu aceleaţi consideraţii ca la reazemul simplu rezultă că sistemul forţelor de legătură se reduce la câte o forţă normală pe planul xOy ce acţionează asupra rigidului în fiecare punct de contact cu acest plan, . Sistemul ecuaţiilor de achilibru devine atunci similar:

41

(298)

Discuţii:1. Din primele două relaţii rezultă că rezultanta forţelor directe trebuie să fie normală pe planul de sprijin, iar din ultima că componenta momentului rezultant al acestor

forţe pe Oz este, de asemenea nulă la echilibru. 2. Celelalte trei relaţii permit determinarea distribuţiei forţelor de legătură în punctele de sprijin; aceste trei ecuaţii permit însă determinarea a cel mult trei necunoscute.

Cum reacţiunea fiecărui punct de sprijin introduce în problemă o singură necunoscută (modulul reacţiunii din punctul respectiv), rezultă că problema poate fi static determinată numai dacă numărul punctelor de sprijin este cel mult 3: .

3. Pentru cazul a trei puncte de sprijin vom avea determinare statică dacă şi numai dacă determinantul coeficienţilor necunoscutelor Nx, Ny, Nz din cele trei ecuaţii distincte este nenul,

(299)

adică dacă cele trei puncte de reazem nu sunt coliniare.

Dacă punctele de reazem sunt coliniare, alegând Oy pe dreapta definită de acestea, ecuaţiile de echilibru se reduc la două:

(300)

Pentru ca problema să fie static determinată trebuie ca forţele exterioare să fie coplanare – pentru cazul analizat, situate în planul yOz – şi solidul rigid să se sprijine în cel mult două puncte distincte. Reacţiunile se determină în acest caz din ecuaţiile de mai sus ce devin:

(301)

În practică, cu aceste ecuaţii se determină, de exemplu, reacţiunile unei grinzi simplu rezemată în două puncte.

c) Articulaţia simplă sferică (cupla cinematică de clasă CIII)

Articulaţia simplă sferică este legătura prin care se asigură fixarea unui punct al rigidului. Se suprimă astfel toate posibilităţile de translaţie ale rigidului, rămânând posibile doar cele 3 de rotaţie, în jurul a trei axe rectangulare ce trec prin centrul cuplei (vom avea deci trei grade de libertate).

Reprezentarea geometrică a acesteia este prezentată în figura 31.

Fig. 24

Considerând această legătură ca fiind rezultatul contactului mecanic punctual cu un corp fix (în reperul considerat), consideraţii similare celor din cazul reazemului simplu conduc la concluzia că sistemul forţelor de legătură ce se dezvoltă trebuie să fie la echilibru echivalent cu o reacţiune unică trecând prin punctul respectiv. Ca urmare, sistemul ecuaţiilor de echilibru devin:

(302)

Discuţii:1. Din ultimele trei ecuaţii rezultă că echilibrul rigidului supus unei astfel de legături este în echilibru numai dacă sistemul forţelor exterioare se reduce în raport cu punctul

de articulaţie la o rezultantă unică al cărei suport trece prin acest punct. Aceste ecuaţii permit determinarea celor trei parametri de poziţie.2. Primele trei ecuaţii servesc la determinarea componentelor reacţiunii. Se observă că în acest caz ideal, în care legătura se realizează într-un singur punct, sistemul este

static determinat. Nu acelaşi lucru se întâmplă în cazul legăturii reale, când legătura se realizează pe o anumită suprafaţă.

d) Articulaţia cilindrică (cupla cinematică de clasă CIV)

42

Articulaţia cilindrică este acea legătură a rigidului solid prin care se fixează o axă a acestuia – solidul se poate doar roti în jurul axei sau translata de-a lungul ei – va avea deci doar două grade de libertate.

Alegând axa de legătură de-a lungul axei O şi reducând forţele directe şi pe cele de legătură în raport cu originea (un punct de pe aceastaă axă), rezultă următoarele: pentru a interzice numai translaţiile pe Ox şi Oz şi rotaţiile în jurul acestor axe, rezultanta forţelor şi momentul rezultant al acestora trebuie să aibă componente doar pe aceste axe. Sistemul ecuaţiilor de echilibru devine în acest caz:

(303)

Discuţii:1. Conform celei de-a doua şi a patra ecuaţii, echilibrul solidului rigid supus acestei legături este posibil numai dacă torsorul forţelor directe date se reduce faţă de un punct

de pe axa de rotaţie la un torsor ale cărui elemente sunt conţinute într-un acelaşi plan perpendicular pe aza de rotaţie.2. Celelalte 4 ecuaţii permit deteminarea unică a celor două componente ale reacţiunii şi celor doi parametri ai poziţiei de echilibru corespunzători celor două grade de

echilibru.

e) Articulaţia de rotaţie (cupla rotoidă de clasă CV)

Această legătură este una de tip articulaţie cilindrică, dar în plus se interzice şi mişcarea de translaţie a solidului pe axa de rotaţie. Solidul are deci o singură posibilitate de rotaţie – deci un singur grad de libertate.

În ceea ce priveşte forţele de legătură, în plus faţă de situaţia anterioară, mai avem şi componentă pe Oy a rezultantei de legătură; astfel, ecuaţiile de echilibru devin:

(304)

Discuţii:1. Din cea de-a patra ecuaţie rezultă că este posibil echilibrul rigidului supus la acest tip de legătură numai dacă momentul rezultant al sistemului de forţe directe este

situat într-un plan perprndicular pe axa de rotaţi ( componenta sa pe axa de rotaţie este nulă).2. Celelalte 5 ecuaţii permit deteminarea unică a celor 5 componente ale reacţiunii şi parametrului de poziţie de echilibru corespunzător unicului grad de echilibru.

f) Încastrarea

Încastrarea este legătura ce suprimă corpului toate cele 6 grade de libertate.În acest caz vom avea un torsor complet al forţelor de legătură. Ecuaţiile de chilibru vor fi atunci cele generale:

(305)

Discuţii:1. Aceste relaţii arată că solidul rigid va fi în echilibru în acest caz numai dacă torsorul forţelor directe este egal şi opus celui al forţelor de legătură.2. Cele 6 ecuaţii permit determinarea unică a necunoscutelor (stare static determinată): cele 6 componente ale torsorului de reducere al forţelor de legătură.

g) Legătura prin fire sau bare articulate

Legătura prin fir sau bară articulată este echivalentă cu rezemarea simplă, ea suprimând rigidului un singur grad de libertate. Spre deosebire de acesta, în acest caz se cunoaşte direcţia reacţiunii normale: axa firului întins sau a bării. Mai mult, în cazul firelor, condiţia ca acestea să fie întinse ne dă şi sensul reacţiunii: de la rigid către punctul de ancorare al firului.

4.3. Echilibrul rigidului supus la legături cu frecare

43

Faţă de situaţiile precedente, modelul matematic al forţelor de legătură, torsorul acestora, va cuprinde şi componentele tangenţiale, în legătură directă cu frecarea. Acestor componente, la echilibru, li se vor impune condiţiile corespunzătoare: de nealunecare, de nerostogolire, respectiv de nepivotare.

5. Statica sistemelor de solide rigide

5.1. Consideraţii generale

Sunt valabile aceleaşi consideraţii de la statica sistemelor de puncte materiale (modelare, forţe interioare reciproc nule, torsorul rezultant al forţelor interioare echivalent cu zero), cu modificările corespunzătoare apariţiei condiţiilor de rotaţie. Mai precis, condiţiile de echilibru devin:

(306)

Avem deci 6n ecuaţii ce permit determinarea celor 6n parametri de poziţie ai sistemului global.Cele două teoreme nu îşi modifică conţinutul. Numai în ceea ce priveşte demonstraţiile privind partea de anulare a momentului rezultant

total, de această dată se procedează la sumarea ecuaţiilor de moment de mai sus după indicele i, ţinându-se cont că momentul rezultant al forţelor interioare este zero.

Discuţii:Metodele cel mai frecvent utilizate în studiul echilibrului sistemelor materiale (sisteme de puncte materiale sau de rigide) sunt:- metoda echilibrului fircărui corp;- metoda echilibrului întregului sistem;- metoda echilibrului părţilor sau a subsistemelor izolate.Procedeul de lucru la oricare dintre acestea cuprinde următoarele etape:- se alcătuieşte modelul geometric al părţii a cărui echilibru se studiază, eliminându-se legăturile acesteia cu celelalte subsisteme şi cu sistemele exterioare sistemului dat

(se modelează matematic aceste legături conform consideraţiilor de până acum): se figurează toate forţele exterioare directe ce acţionează numai asupra părţii izolate, reacţiunile legăturilor suprimate şi reacţiunile subsistemelor cu care partea interacţionează;

- se pun în evidenţă toţi parametri geometrici (unghiuri sau distanţe) ce determină poziţia de echilibru pentru porţiunea izolată în raport cu un sistem de referinţă convenabil ales:

- se scriu ecuaţiile de echilibru pentru porţiunea izolată, admiţând ipoteza solidificării ei şi teorema echilibrului părţilor.Condiţia ca sistemul de ecuaţii obţinut să fie static determinat este

(307)

unde- n este numărul de corpuri (sau puncte materiale) în echilibru- l numărul de legături la care este supus acesta- e numărul ecuaţiilor de echilibru ce se pot scrie (0 e 6n în spaţiu şi 0 e 3n în plan)- q numărul gradelor de libertate (0 q 6n în spaţiu şi 0 q 3n în plan)- ni şi ne numărul necunoscutelor introduse de reacţiunile interioare, respectiv exterioare (0 ni + ne 6l în spaţiu şi 0 ni + ne 3l în plan).După rezolvarea şi verificarea sistemului de ecuaţii obţinut se interpretează rezultatele. Dacă problema admite matematic mai multe soluţii se alege (pe considerente

practice) soluţia ce corespunde sensului fizic al problemei.

5.2. Grinzi cu zăbrele

Sistemul particular ce îl modelăm în continuare are o mare utilitate în practică.

Def.: Sistemele de bare articulate se numesc grinzi cu zăbrele.

În modelarea matematică a acestor sisteme se consideră următoarele ipoteze simplificatoare:- barele sunt articulate, articulaţiile fiind denumite noduri (pot fi şi suduri)- forţele exterioare sunt aplicate în noduri (dacă sunt aplicate în afara acestora le putem descompune în raport cu nodurile vecine în

forţe paralele)Conform acestui model şi a consideraţiilor anterioare, forţele acţionând doar în noduri rezultă că o bară oarecare este acţionată numai la

capete de forţele . Echilibrul acesteia impune condiţiile

(308)

Ultima condiţie arată că pentru realizarea echilibrului acestei bări, forţa trebuie să fie situată în lungul barei; aşadar barele sunt supuse numai la eforturi axiale (întinderi sau compresiuni).

Problema ce se pune în construcţia acestor sisteme este asigurarea rigidităţii. Pentru ca rigiditatea grinţii cu zăbrele să fie asigurată trebuie să existe o relaţie bine determinată între numărul barelor şi numărul nodurilor. Această relaţie se deduce pentru grinzile plane plecând de la observaţia că orice grindă cu zăbrele plană are la bază un triunghi format din trei bare şi trei noduri. Completând triunghiul de bază cu alte două bare şi un nod se obţine o grindă compusă din două triunghiuri etc.

În final, notând cu b numărul de bare şi cu n numărul de noduri, relaţia dintre acestea pentru rigidizarea sistemului devine (309)

Dacă b 2n – 3 numărul barelor este insuficient pentru formarea unor grinzi rigide, iar dacă b 2n-3 se obţin grinzi cu bare de prisos.În ceea ce priveşte calculul grinzilor cu zăbrele, în general se parcurg următoarele etape:- se realizează modelul geometric al grinzii (graful şi forţele de încărcare aplicate în noduri);- se determină reacţiunile în legăturile exterioare (reazeme);- se determină forţele interioare ce apar în bare (eforturile);Dacă toate forţele necunoscute ce trebuiesc determinate se pot determina din ecuaţiile de echilibru ale staticii, atunci grinda se numeşte

static determinată. În caz contrar este static nedeterminată şi calculul acesteia se efectuează prin metode speciale, ce ţin seama de deformaţiile reale ale barelor. Grinda va fi static determinată dacă numărul ecuaţiilor de echilibru este egal cu numărul necunoscutelor. Dar aşa cum am văzut mai sus, în cazul plan, fiecare bară introduce o necunoscută; în plus, în acest caz, reazemurile de regulă sunt o articulaţie plană şi un reazem simplu, ce introduc 3 necunoscute. În consecinţă, având 2n ecuaţii (n numărul de noduri), condiţia de determinare statică devine:

(310)

44

Se observă că avem aceeaşi condiţie ca cea pentru rigiditate. Prin urmare, grinda cu zăbrele fără bare de prisos este static determinată.

CAPITOLUL V:

CINEMATICA – MODELAREA MATEMATICĂ A FENOMENELOR MECANICE FĂRĂ CONSIDERAREA CAUZELOR CE LE PRODUC

1. Modelarea matematică a fenomenului mecanic în absenţa cunoaşterii cauzelor ce-l produc

În capitolul I am realizat modelarea matematică a tuturor fenomenelor mecanice. După cum am văzut acestea sunt de trei feluri distincte:- directe - mişcări, manifestate prin modificarea sau nu a parametrilor de poziţie (coordonatelor) în timp;

(ecuaţii de mişcare sau ecuaţiile parametrice ale traiectoriei)- indirecte - legături, manifestate prin apariţia unor relaţii între coordonate, independente de timp:

(ecuaţii de legătură)- generale:

(ecuaţiile generale de mişcare)

Discuţii:În principal, conform definiţiei sale, cinematica stabileşte forma concretă a relaţiilor respective, adică a ecuaţiilor de mişcare, respectiv a relaţiilor de legătură, fără a pune

problema cauzelor ce le produc (forţelor). Din acest motiv, cinematica este o ramură a mecanicii foarte puternic legată de experiementul mecanic. Astfel, determinarea expresiilor analitice anterioare se poate realiza numai prin două procedee, ambele implicând experimentul mecanic de laborator:

a. Se observă direct (experimental - prin diverse metode, dintre care cea mai modernă este înregistrarea prin filmare rapidă şi superrapidă, cu captarea digitală a imaginilor) fenomenul mecanic, determinându-se starea mecanică a sistemului mecanic (poziţia completă ) la diferite momente de timp t, cât mai apropiate între ele (aspect în care tehnica de observaţie experimentală are rol decisiv). Ulterior, pe baza unor metode matematice corespunzătoare (regresii, interpolări etc.) şi cu ajutorul calculatorului electronic (softuri şi pachete de programe dedicate), se determină expresiile analitice anterioare care aproximează cel mai bine (conform unor consideraţii probabilistice) variaţiile discrete determinate experimental.

b. Se apelează la un studiu experimental dinamic preliminar. Algoritmul de studiu complet al unui fenomen mecanic în cadrul dinamicii este următorul:Pas 1o. Se studiază experimental fenomenul mecanic considerat şi se determină din aproape în aproape expresia analitică a forţelor ce acţionează (mai întâi pe cazuri

simple, elementare, după care se generalizează expresiile obţinute);Pas 2o. În cazul concret analizat se particularizează expresia analitică a forţelor şi se scriu ecuaţiile fundamentale corespunzătoare;Pas 3o. Se rezolvă ecuaţiile respective, analitic - dacă este posibil - sau numeric, cu ajutorul calculatoarelor electronice;

Partea „teoretică” a cinematicii constă doar în două aspecte ulterioare acestei analize experimentale:1. Analiza experimentală a unui fenomen mecanic se poate face, în funcţie de necesităţi concrete ale unor aplicaţii (diverse tipuri de mişcări, diverse tipuri de simetrii etc.),

în raport cu diferite sisteme de referinţă şi/sau în diferite sisteme de coordonate, fiind necesare ulterior, trecerea relaţiilor obţinute în alte sisteme de referinţă şi/sau sisteme de coordonate. Intervine aici un anumit „automatism teoretic” dezvoltat în interiorul cinematicii şi menit să ofere această trecere în mod cât mai rapid, fără a fi necesare consideraţii laborioase în fiecare caz în parte. De remarcat că dezvoltarea acestui „automatism teoretic” nu este facilă. Ea necesită cunoştinţe matematice superioare (cum ar fi geometrie diferenţială, calcul tensorial etc.). În cele ce urmează, fără a intra în detalii matematice foarte riguroase (nu este obiectul acestei lucrări), va fi dezvoltat formal respectivul „automatism teoretic” specific cinematicii.

2. În numeroase cazuri concrete este necesar ca, imediat după determinarea caracteristicilor generale ale mişcării (observabile, traiectorie etc.), să se determine mai multe particularităţi ale mişcării (periodicităţi, traiectorii particulare ale unor puncte distincte etc.). În lucrare nu vor fi considerate astfel de cazuri, ele constituind apanajul unor aplicaţii ale noţiunilor teoretice introduse aici.

2. Cinematica punctului material

2.1. Analiza cinematică a mişcării punctului material în sistemul de referinţă al laboratorului („fix”)

Discuţii:Tendinţa naturală a omului este de a raporta orice mişcare din jurul lui la propria sa persoană care, desigur este considerată ca sistemul de referinţă „fundamental”, numit

şi „fix”. Ţinând cont că cercetarea se face în laborator, acest sistem „unic” a mai primit şi denumirea sugestivă de sistemul de referinţă al laboratorului. Evident, toate aceste consideraţii sunt simple speculaţii; în realitate nu există nici un sistem de referinţă fix, această noţiune ţinând strict de relativitatea simţurilor noastre

(tot ceea ce este în legătură cu persoana noastră ni se pare a fi „fix”, întregul univers mişcându-se în jurul nostru...), deci fiind vorba de o simplă comvenţie. Mişcarea relativă a tuturor sistemelor de referinţă cunoscute, unele în raport cu altele, generează de fapt consideraţiile teoretice din prezentele paragrafe.

Se pune întrebarea firească, mai ales pentru cei novice într-ale mecanicii: - DE CE ESTE NECESAR SĂ SE STUDIEZE ANUMITE MIŞCĂRI ŞI ÎN ALTE SISTEME DE REFERINŢĂ DECÂT ÎN CEL NATURAL ŞI ÎN ALTE SISTEME DE

COORDONATE DECÂT SISTEMUL DE COORDONATE CARTEZIAN? Răspunsul este conferit de „practica” mecanică: anumite simetrii ale mişcărilor mecanice particulare (cel mai „frumos” exemplu este mişcarea planetelor) sunt mult mai

uşor de studiat cinematic în alte sisteme de referinţă sau de coordonate; în sistemul de referinţă al laboratorului şi în coordonate carteziene, studiul respectiv este, practic, imposibil...

2.1.1. Expresia observabilelor mecanice în sisteme de coordonate carteziene45

În cazul cel mai simplu din acest paragraf, conform discuţiei anterioare, sistemul de referinţă este cel „fix” al laboratorului; acestuia îi este ataşat sistemul de coordonate carteziene Oxyz, cu originea într-unul din punctele laboratorului de cercetare al fenomenului mecanic studiat.

Ca urmare, în cadrul cinematicii punctului material considerat, se vor măsura în sistemele considerate coordonatele carteziene ale acestuia la momente de timp cât mai apropiate. Ulterior, prin metode numerice şi cu ajutorul calculatorului electronic, se va considera traiectoria cea mai probabilă care aproximează punctele experimentale determinate. Se vor obţine ecuaţiile generale de mişcare descrise anterior sub forma carteziană:

Problema ce se pune este aceea a modului de modificare a acestor ecuaţii la trecerea la un alt sistem de referinţă tot legat de laborator (schimbarea originii O) şi/sau alt sistem de coordonate cartezian (schimbarea axelor de coordonate carteziene). Consideraţiile mai de amploare se vor face în cele ce urmează. Ele presupun în final determinarea modului în care se schimbă coordonatele de poziţie la o modificare dată a elementelor amintite.

a) Transformarea coordonatelor carteziene ale punctului material (în alte coordonate carteziene)

Fie S = Oxyz şi S’ = O’x’z’y’ două sisteme de coordonate carteziene ce reprezintă modelele matematice a două sisteme de referinţă legate de laborator. Problema pusă revine la întrebarea: cum se modifică coordonatele punctului material P la trecerea de la S’ la S?

Matematic, în cadrul modelului matematic descris până acum, trecerea respectivă va fi dată de o transformare R în E3:),(: 3,2133 fffREER (4)

adică, dacă punctul PE3 are coordonatele (x, y, z) în S şi (x’, y’, z’) în S’, atunci între acestea trebuie să existe relaţiile:3,1),',','()'( 321 ixxxfxrRr ii

(5)

Realitatea fizică relevată direct de simţurile noastre impune acestei transformări câteva condiţii:1) să invarieze formele geometrice;2) să invarieze mărimile.Aceasta, întrucât simţurile noastre ne arată că în lumea ce ne înconjoară nici formele, nici mărimile nu trebuie să depindă de sistemul de

referinţă.

Discuţie:Descoperirile din ultimul deceniu ne-au arătat că, de îndată ce „ieşim” din universul macroscopic, fie în microunivers (universul cuantic), fie în macrounivers (universul

relativist), geometria euclidiană şi cele două condiţii impuse transformării de coordonate nu mai sunt valabile. Mai mult, nici măcar nu suntem siguri de faptul că se poate vorbi despre forme şi mărimi. Modelările matematice verificate până acum ne-au arătat însă ca, pentru noţiunile

corespondente este necesar să considerăm extinderi ale celor valabile în universul nostru perceptibil. Aşa cum discutam anterior, în microunivers nemaifiind valabilă noţiunea de particulă, în accepţiunea simţurilor noastre, vor trebui reconsiderate şi cele de distanţă şi formă.

Se pare că discuţiile în acest sens sunt abia la început, existând ipoteze asupra unui spaţiu microscopic multidimensional (cu 11 dimensiuni) ce îşi aşteaptă confirmarea experimentală. La rândul ei, aceasta aşteaptă o evoluţie adecvată a mijloacelor tehnice ale omenirii care să facă posibile experienţe ce par, la momentul actual, de domeniul fantasticului...

În ceea ce priveşte macrouniversul, teoria relativităţii generalizate a arătat - şi s-a verificat experimental de această dată - că la nivelul acestuia este valabilă geometria riemanniană şi că la schimbarea reperelor formele şi distanţele se modifică în funcţie de viteza sau acceleraţia relativă a sistemului de referinţă în care se trece faţă de cel iniţial.

Matematic, cele două condiţii se pot restrânge astfel:1) R să invarieze ecuaţia planului;2) R să invarieze distanţa, adică să fie o izometrie.Să vedem cum se repercutează efectiv cele două condiţii asupra transformării de coordonate carteziene R, adică cum trebuie să arate

aceasta.

invarianţa planului

Să vedem, mai întâi, ce este un plan în E3. Fie () un plan şi n

un vector unitar normal pe acest plan. Cu notaţiile din figura 2, această relaţie ne conduce la:

Fig. 25

)(,)(,)(

,.)()(,0)(

)(,0)(,0)(

1212

211212)12

2,121

rPcxnrPcrnrP

cctrnrnrPrrn

PPPnvvnn

ii

(6)

Această echivalenţă ne spune că ultima relaţie determinată este ecuaţia planului considerat (modelul matematic al acestuia). Fie acum planul considerat cu ecuaţia stabilită mai sus în reperul S. Condiţia de invarianţă a planului revine acum la condiţia ca în S’

acesta să fie descris de o ecuaţie similară, adică:

46

)'(,'''

)'(,'''..'rPcxn

rPcrnîan

ii

(7)

Punând în condiţia (6) expresiile coordonatelor date de relaţia de transformare (5), obţinem:cxxxfn ii )',','( 321 (8)

Scăzând, membru cu membru cele două ecuaţii ale planului, pe componente, găsim relaţia: iiii xnxxxfn '')',','( 321 (9)

Această relaţie o putem particulariza, adică putem considera planuri () particulare; anume, vom considera plane paralele cu planele de

coordonate. Pentru () paralel cu planul ( 21xxO ) obţinem:

13213321 ')',','('1,0 iiii xnxxxfnnşinnn (10)

şi analog şi pentru celelalte două situaţii particulare similare. În consecinţă, din condiţia de invarianţă a planului, rezultă că transformarea de coordonate carteziene R trebuie să fie o transformare

liniară (RL(E3)). Fie 3,1,][ jiijRR matricea acestei transformări (matricea de trecere de la S la S’). Relaţia de trecere va avea atunci forma matriceală:

3,1,' iaxRx ijiji (11)

sau matriceal-vectorială: arRr

' (12)

invarianţa distanţei

În continuare, doar pentru uşurinţa scrierii, vom considera 0a

, ceea ce revine la a considera cele două sisteme de coordonate ca având aceeaşi origine; figura 3 (a se vedea şi semnificaţia ulterioară a acestui vector).

Fig. 26Cu aceleaşi consideraţii ca mai sus, condiţia de invarianţă a distanţei revine, matematic, la următoarea relaţie geometrică

vectorială:

3', EPOPOP

SS (13)

ceea ce, analitic, implică succesiv:

iiiii i

ii xxxxxxrrrr

'''''3

1

3

1

2222 (14)

Înlocuim coordonatele din sistemul cartezian S prin relaţiile de trecere în forma stabilită până acum: kjikijkikjijii xxRRxRxRxx '''''' (15)

În membrul drept i şi j sunt indici de sumare muţi, nerelevanţi; ca urmare putem să îi schimbăm între ei. Ţinând cont şi că iikiik xxxx '''' (16)

relaţia anterioară devine: 3321 ',',','''' ExxxxxRRxx kiikjikiik (17)

În fiecare membru avem câte un polinom de grad doi. Identificând coeficienţii acestora (conform definiţiei egalităţii a două polinoame), rezultă:

ikjkjiRR (18)sau, matriceal

][][][ IRR T (19)Ţinând cont că

][det][det]][[det][det][det BABAşiAA T (20)rezultă că matricea [R] a transformării studiate satisface relaţia

1det1det 2 RR (21)adica transformarea R este o transformare liniară ortogonală.

În particular, din relaţia precedentă rezultă că determinantul matricii [R] este nenul, deci matricea [R] va fi inversabilă. Putem astfel înmulţii ambii membrii ai relaţiei matriciale cu matricea inversă şi obţinem:

47

TRR 1 (22)Ţinând cont de acest lucru, relaţia (19) ne oferă şi relaţia de trecere inversă, de la S’ la S:

jijiT xRxrRrRr '' 1

(23)

Concluzii:1. Dacă S şi S’ sunt două sisteme de coordonate carteziene date, trecerea de la S’ la S este dată de o transformare liniară ortogonală

33: EER de matrice [Rij] i, j =1,2,3, conform relaţiei3,1,')'( iaxRxarRr ijiji

(24)

iar trecerea inversă, de la S la S’, de transformarea liniară ortogonală de matrice [R]T şi termen afin a

:3,1,')(' iaxRxarRr ijjii

T (25)

2. În sensul celor spuse şi demonstrate până acum rezultă că putem face o primă clasificare a transformărilor de coordonate carteziene, care trebuie să fie liniare şi ortogonale:

)(1det)(1det

0)(

)(1det

.)(1det0)(

)(..

improprieRproprieR

aetriicentroizomomogene

improprieRIR

translIR

proprieRaizometriineomogene

arRrRrlinTransf

Discuţie:Toate consideraţiile anterioare ne-au condus la concluzii matematice abstracte. În sensul discuţiilor din primul capitol, pentru a putea fi utilizate, acestea necesită

transformarea în limbaj accesibil, ceea ce revine la determinarea semnificaţiei lor fizice. Vom stabili în continuare interpretarea geometrică (imaginativă) a termenul afin al

transformării liniare – vectorul a

- şi a componentele matricii de trecere [R]. În majoritatea situaţiilor de acest tip - şi vor exista numeroase în consideraţiile viitoare - se procedează astfel: se consideră situaţii particulare cunoscute pe care se

stabilesc semnificaţiile fizice căutate, după care acestea se generalizează (conform unei reguli de logică matematică).

] interpretarea fizică (geometrică) a termenului afin

Pentru început să vedem cine este vectorul a

corespunzător transformării de coordonate carteziene. Considerăm, pentru aceasta, cazul

particular în care punctul P coincide cu originea sistemului de coordonate carteziene S’: )0,0,0('OP în S’. Relaţia de transformare (12) ne dă imediat coordonatele lui P = O’ în S:

arr

0' (26)Această relaţie ne spune că originea O are ca vector de pozitie în S’ chiar termenul afin:

orOOa

' (notaţie uzuală) (27)

Altfel spus:- termenul afin al transformării de coordonate carteziene S-S’ este vectorul de poziţie al originii sistemului S’, punctul O’, în sistemul S.

] interpretarea fizică (geometrică) a elementelor matricii de trecere, R = (R ij)

Să recapitulăm:

- fie sistemele de referinţă S şi S’ fixe (date). Lui S îi asociem reperul }},,{{ 321 uuuO

şi, corespunzător, sistemul de coordonate

cartezian 321 xxxO , iar lui S’ reperul }}',','{{ 321 uuuO

şi, corespunzător, sistemul de coordonate cartezian ''' 321 xxxO , cele două baze fiind canonice (otonormate).

Fig. 27

Am văzut că trecerea de la S’ la S este modelată matematic printr-o transformare liniară ortogonală de coordonate 33: EER , de

matrice asociată

3,1,

jiijRR, descrisă de una din relaţiile vectoriale sau algebrice următoare:

48

(28)

Odată fixate aceste “date iniţiale”, pentru scopul propus va trebui, în primul rând, să determinăm coeficienţii Rij tocmai pe baza acestora. Să vedem însă care este relatia geometrică corespondentă ce descrie trecerea S’ – S. Aceasta este relaţia vectorială cunoscută:

(29)Pentru calculul coeficienţilor matricei de trecere vom rescrie algebric echivalent această relaţie; ţinând cont că cele două baze sunt

ortonormate şi de proprietăţiile simbolului lui Kronecker, avem succesiv:

oljjll

klokjljili

lkokljjlii

lkkjjii

xxuux

xxuux

uuxuuxuux

uuxuxux

rrr

''

''

''

/''

'0

0

(30)

De asemenea, rescriem şi relaţia ce dă transformarea de coordonate sub forma:oljljl xxRx (31)

Identificând coeficienţii celor două ultime egalităţi (acestea sunt valabile pentru orice punct din spaţiu), obţinem: jijiij OxxOuuR ,''cos'

(32)

Prin urmare:- odată stabilite reperele ataşate celor două sisteme de referinţă date, matricea [R] este unic determinată şi anume: elementele acesteia sunt

cosinusurile directoare, adică cosinusurile unghiurilor făcute de axele sistemului de coordonate cartezian asociat lui S cu cele ale sistemului de coordonate cartezian asociat lui S’.

Este adevărată şi afirmaţia reciprocă: dacă Rij satisfac relaţia (32), atunci reperul ataşat lui S’ este obţinut din cel ataşat lui S prin transformarea liniară de coordonate de matrice R.

Într-adevăr, avem:

oijijio

ijiji

jiij xuuxxxxRx

uuR

''

''

(33)

Înlocuind

jioiij

oi

oi

jiiijji

uuxxx

uuxxx

''

''

(34)

şi simplificând apoi cu iu '

, obţinem(35)

ceea ce dovedeşte ceea ce spuneam anterior.Aşadar:

- componentele matricii ortogonale de trecere sunt cosinuşii directori dacă şi numai dacă are loc relaţia0' rrr

(36)

Concluzie finală: La trecerea de la un sistem de referinţă al laboratorului înzestrat cu un sistem de coordonate carteziene

la un alt sistem de referinţă al laboratorului înzestrat, de asemenea, tot cu un sistem de coordonate

carteziene , transformarea algebrică a coordonatelor de poziţie ale punctului material

se face după formula

unde este vectorul de poziţie al originii O’ în sistemul S ( ), iar matricea de trecere este matricea cosinuşilor directori (

jijiij OxxOuuR ,''cos'

). Geometric, transformarea respectivă se scrie în forma vectorială binecunoscută:

b) Transformarea vitezei şi acceleraţiei punctului material

Ţinând cont de faptul că depind de timp exclusiv coordonatele carteziene ale punctului material din cele două sisteme de coordonate considerate, rezultă că relaţiile de transformare ale vitezei şi acceleraţiei punctului material se obţin imediat din cele ale coordonatelor, prin simpla derivare în raport cu timpul (acelaşi în ambele sisteme - specific timpului absolut din mecanica newtoniană):

- viteza:- relaţii de transformare algebrică:

49

- relaţii de transformare geometrică:

- acceleraţia:- relaţii de transformare algebrică:

- relaţii de transformare geometrică:

c) Proprietăţi ale transformărilor de coordonate carteziene importante în mecanică

O primă problemă ce se va pune în decursul studiului mişcării mecanice în diverse sisteme de referinţă cărora le sunt ataşate sisteme se coordonate carteziene este următoarea:- ce relaţie există între bazele ortonormate (canonice) din cele două repere?

Răspunsul la această întrebare îl oferă, complet, următoarea teoremă:

TEOREMA 0. Componentele matricii ortogonale de trecere sunt cosinuşii directori dacă şi numai dacă bazele ortonormate din cele două repere ataşate sistemelor de referinţă se corespund prin relaţia:

kiki uRu

' (37)Dem.: Să presupunem că elementele matricii de trecere sunt, respectiv, cosinusurile directoare; avem deci:

jijiij uuOxxOR

',' (38)

Avem însăjkikkjikij uuRRR

(39)

Înlocuind, obţinemjijkik uuuuR

' (40)

relaţie care, ţinând cont de distributivitatea produsului scalar faţă de adunare şi scădere, ne dă: 3,1,0' juuuR jikik

(41)

Cum baza din S este ortonormată, această relaţie implică imediat3,1,'0' iuRuuuR kikiikik

(42)

Analog, obţinem relaţia “inversă” dintre cele două baze ortonormate:3,1,'' iuRuRu kkikik

Ti

(43)

Să presupunem acum că bazele ortonormate din cele două repere se corespund prin relaţia din teoremă. Aceasta se

transformă succesiv în modul următor:

ijjkikjkikji

jkiki

RRuuRuu

uuRu

'

,/'(44)

Discuţie:Din ultimele două enunţuri stabilite rezultă, prin tranzitivitatea relaţiei de echivalenţă, că:

treceredematriceaRRunde

uRuuRu

jiOxxOuuRErPrrrSS

jiijkkii

kiki

jijiij

3,1,

30

,'

'

3,1,,,''cos')(''

(45)

Pentru consideraţiile ce urmează – şi care vor conduce la câteva proprietăţi ale transformărilor de coordonate carteziene a căror utilitate la momentul de faţă este foarte puţin vizibilă, dar care se va constata la consideraţiile teoretice cu privire la mişcările relative şi circulare – vom efectua mai întâi câteva notaţii:

Iz = multimea tuturor transformărilor de coordonate carteziene (izometriilor);Iz (1) = mulţimea transformărilor proprii (det R = 1);Iz (-1) = multime transformărilor improprii (det R = -1).

TEOREMA 1. Mulţimea Iz este un grup (grupul izometriilor).Dem.: Legea de compoziţie a transformărilor de coordonate este şi ea un model matematic primar, bazat direct pe simţurile noastre, şi anume chiar operaţia de compunere a

funcţiilor, numită aici produsul transformărilor şi notată cu punct (sau fără nimic). După cum se ştie, această operaţie are proprietatea de asociativitate. Apoi, aşa cum am discutat anterior, orice transformare R este in versabilă, inversa acesteia fiind chiar transformarea de coordonate având ca matrice de trecere matricea transpusă. Evident, elementul neutru al acestei operaţii este matricea identică, aceasta fiind element al lui Iz deoarece det I=1.

În sfârşit, avemzz IRRRRRIR ][1detdetdet1det 211212 (46)

unde [R] este matricea compusă 21 RRR

.Toate acestea demonstrează, conform definiţiei noţiunii de grup, teorema enunţată.

TEOREMA 2. În grupul izometriilor, oricare se poate scrie ca produsul (compunerea) dintre o translaţie şi o centroizometrie.Dem.: Fie [F] o izometrie oarecare, de matrice [R], dată de relaţia vectorială:

arRrFr

)(' (47)

50

Notăm cu [T] translaţia de vector a

şi [R] centroizometria de matrice [R]:

'')(

rRrRrararIrTr

(48)

Rezultă imediat:TRFErPrTRrRTarRarRrFr 3)(),())(()()('

(49)

Discuţie:Fizic (geometric) aceasta înseamnă că putem face trecerea de la S la S’ printr-un sistem intermediar S” astfel:

')()( SRcentroizomSatranslS (50)

Avantajul este următorul:- despre translaţii ştim totul (sunt extrem de simple), atât matematic, cât şi fizic. Putem deci, în continuare să ne ocupăm numai de centroizometrii, deci să considerăm

numai transformări de coordonate carteziene omogene, fără termen afin.

TEOREMA 3. Mulţimea Iz(1) este subgrup al grupului Iz, numit subgrupul transformărilor proprii. Mulţimea Iz(-1) nu este grup.Dem.: imediată (a se vedea teoria subgrupurilor).

În sfârşit, următoarea teoremă ne oferă interpretarea fizico-geometrică a transformărilor proprii. Lăsând la o parte translaţia ce intră, eventual, în componenţa unei astfel de transformări (conform discuţiei de mai sus), avem:

TEOREMA 4 (EULER). o centroizometrie este proprie dacă şi numai dacă este o rotaţie.Dem.: Vom demonstra, mai întâi, implicaţia inversă: modelul matematic al unei rotaţii a unui sistem de referinţă este o centroizometrie proprie.

Fizic (geometric), rotaţia sistemului de referinţă S, revine la a roti axele sistemului de coordonate carteziene asociat, 321 xxxO , în mod solidar, în jurul originii O. Să vedem ce înseamnă acest lucru din punct de vedere matematic.

După cum am văzut, matematic, fiecărei transformări de coordonate carteziene S-S’ în E3 i se asociază o transformare liniară şi ortogonală. Fie R transformarea asociată rotaţiei făcute. Originea lui S’ fiind tot O, conform interpretării găsite pentru termenul afin, avem

1det,3,1,')('0 RcuixRxrRrRrOOa iiji

(51)

Întorcându-ne la sensul fizic al rotaţiei sistemului de axe, aceasta va fi unic determinată de unghiurile directoare ij , i,j = 1,2,3, care sunt unghiurile făcute de axele din S cu

cele din S’; în total 9 unghiuri. Matematic, aceste unghiuri determină matricea de trecere [R], deoarece, aşa cum am stabilit, componentele acestei matrici sunt jiij uuR

, adică cosinusurile unghiurilor directoare respective, unic determinate.

Dintre aceste ungiuri directoare însă, numai cel mult trei vor fi independente, întrucât avem 6 relaţii de dependenţă liniară între cosinusuri:

ikjkijRR (52)

Le putem considera ca fiind cele trei unghiuri făcute de axele din S’ cu Ox1, ca în figura următoare.

Fig. 28

Discuţie:Aşadar, rotaţia considerată este descrisă unic, atât fizic, cât şi matematic, dând trei unghiuri directoare independente. Acest mod de a descrie rotaţia nu este însă

convenabil: nu ne permite să deosebim o transformare proprie de una improprie. Trebuie să găsim un alt mod echivalent care să ne permită acest lucru. Mai exact, trebuie să găsim alţi trei parametri independenţi care să inlociască cele trei unghiuri directoare independente şi care să caracterizeze rotaţia şi din punctul de vedere cerut mai sus.

Pentru aceasta vom considera, mai întâi rotaţii simple, efectuate în jurul unei singure axe, după care le vom analiza şi pe cele generale, arătând că ele sunt produse de rotaţii simple.

Presupunem deci că S’ se obţine din S prin rotirea cu unghiul în jurul lui Ox3 în sens direct, trigonometric.

Fig. 29

51

În acest caz, matricea de rotaţie va avea elementele date de:

10cos'090cos090cos'090cos'

cos'sin90cos'

090cos'sin'cos'

3333

23'32

1331

3223

2222

1221

3113

2112

1111

uuRuuRuuRuuRuuRuuRuuRuuRuuR

(53)

Prin urmare, matricea unei rotaţii simple de unghi (în sens direct) în jurul lui Ox3 are forma:

1000cossin0sincos

3

R (54)

Analog, cu notaţii corespunzătoare, obţinem:

cossin0sincos0

001

cos0sin010

sin0cos

12 RR (55)

O observaţie imediată este aceea că: 1detdetdet 321 RRR (56)

adică, aşa cum era de aşteptat, rotaţiile simple sunt centroizomerii proprii. Reciproc, presupunem că matricea transformării S-S’ este de forma lui R3(). Să arătăm că, în acest caz, acem o rotaţie simplă. Mai întâi, din expresia matricei obţinem imediat componentele acesteia, aceleaşi scrise anterior. Apoi, ţinând cont de interpretarea fizică (geometrică) a coeficienţilor R ij

(respectivele cosinusuri directoare), rezultă că matricea [R] corespunde unei rotaţii ale cărei unghiuri directoare sunt date de relaţiile:

1cos0cos0cos0coscoscossincos0cossincoscoscos

333231

232221

131211

(57)

Ţinând cont şi că jkkiij coscos (58)

rezultă că unica soluţie ce se poate obţine din sistemul de mai sus este:

022

22

2

333231

232221

131211

(59)

Avem atunci: ', 1111 OxOx (60)

Apoi:

;''2/'2/

2132323

1331 OxxOxOxOxOxOx

(61)

iar pe de altă parte:

OOxOxOxxOx

33

213

'(62)

Rezultă imediat:coplanaresuntOxşiOxOxOxadicăOxOx '',,,' 212133 (63)

ceea ce arată că, într-adevăr, este vorba de o rotaţie simplă. La fel şi pentru celelalte două tipuri de matrici. Am demonstrat astfel că:- transformarea S-S’ este o rotaţie simplă dacă şi numai dacă matricea acesteia este de una din formele anterioare.

Să arătăm, în continuare, aşa cum spuneam, că orice rotaţie generală S-S’ se poate descompune într-un produs de rotaţii simple. Această descompunere se poate face în mai multe moduri. Cel mai important din punct de vedere teoretic este cel descris de L. Euler. Conform acesteia, trecerea de la S la S’ se face prin următoarele trei rotaţii simple:

a] precesie

52

Fig. 30Efectuam mai întâi o rotaţie simplă, de tipul celei descrise anterior, în jurul lui Ox3 până ce axele Ox’3, Ox3 şi Ox2 devin coplanare, situaţie realizabilă întrucât acestea sunt

concurente. Notăm cu unghiul de rotaţie şi îl numim unghi de precesie [0, 2], noul sistem de referinţă obţinut cu S1= Ox1”x2”x3” (deci Ox1” = Ox1) şi axa Ox1” cu OP şi o numim axa nodurilor.

Matricea de rotaţie va fi, din consideraţiile anterioare, dată de:

1000cossin0sincos

3

R (64)

b] nutaţieEfectuăm acum o rotaţie a sistemului S1 în sens direct, în jurul axei Ox”1 până când axa Ox3” se suprapune peste Ox3’ (în planul comun (x3”Ox2”) = (x3Ox2”)). Notăm cu S2 =

Ox1’’’x2’’’x3’’’ noul sistem de referinţă obţinut şi cu [0, ] unghiul de rotaţie pe care îl numim unghi de nutaţie. Matricea de rotaţie va fi în acest caz:

cossin0sincos0

001

"1R (65)

c] rotaţie proprieEfectuăm, în final, o rotaţie a sistemului S2 în sens direct, în jurul lui Ox3’’’ până Ox1’’’ se suprapune peste Ox1’. Fiind tot în planul rotaţiei şi formând acelaşi unghi ca şi Ox3’’’

cu Ox2’ se vor suprapune şi ele, astfel că obţinem sistemul S’ prin această a treia rotaţie. Notăm cu [0, 2] unghiul acestei rotaţii şi îl numim unghi de rotaţie proprie. Conform celor spuse mai înainte, matricea de rotaţie va fi:

1000cossin0sincos

3R (66)

Def.: unghiurile definite anterior se numesc unghiurile Euler. Cu ajutorul acestora matricea de trecere se scrie:

coscossinsinsin

cossincoscoscos

sinsincossincos

cossin

sinsinsincoscos

sincossinsincos

coscos

''

3"1"3

3"1"3

RRRR

rRrrRRRr

(67)

de unde obţinem imediat coeficienţii Rij. Rezultă că transformarea R se poate scrie ca produsul celor trei rotaţii simple efectuate prin construcţia Euler. Din forma matricii [R] de mai sus, întocmai ca o demonstraţie anterioară, se arată imediat că unghiurile Euler sunt unic determinate de rotaţia considerată.

Să demonstrăm acum implicaţia directă a teoremei Euler. Fie o transformare S-S’ descrisă matematic de centroizometria proprie de matrice [R]:

1det,' RcurRrRr

(68)Vom arăta că, din punct de vedere geometric, aceasta reprezintă o rotaţie. Pentru aceasta vom face din nou apel la interpretarea fizică (geometrică) a coeficienţilor Rij. De

data aceasta, raţionamentul este invers faţă de cel din demonstraţia implicaţiei inverse: din condiţia det R = 1 vom calcula aceşti coeficienţi (forma lor generală).Pentru început vom arăta că din condiţia det R = 1 rezultă că matricea [R] este de forma anterioară (cea “mare”). A arăta acest lucru este echivalent cu a arăta că sistemul

dat de identificarea coeficienţilor Rij cu elementele acestei matrici. Ori , ţinând cont de bijectivităţile funcţiilor trigonometrice pe intervalele de definiţie a unghiurilor Euler, unicitatea soluţiei sistemului respectiv se justifică destul de facil.

Din demonstraţia anterioară rezultă, mai departe, că matricea [R] se va scrie ca produsul matricilor corespunzătoare rotaţiilor simple:

3"1"'3 RRRR (69)

53

ceea ce, conform unui izomorfism amintit la început, rezultă că, de fapt, transformarea considerată este produsul celor trei centroizometrii simple corespunzătoare:

3"1"'3 RRRR (70)Cum aceste transformări corespund, geometric, unor rotaţii simple, rezultă că transformarea R, ca produs al acestora, vafi o rotaţie generală.

Discuţie:Am demonstrat astfel complet teorema Euler. Deşi amplă, demonstraţia este necesară, fiind importantă atât pentru înţelegerea noţiunilor vehiculate până acum, cât şi prin

ea însăşi, prin descrierea descompunerii Euler a unei rotaţii oarecare în rotaţii simple şi definirea astfel a unghiurilor Euler ce se întâlnesc adesea în fizică.

Pentru a încheia şi această parte a proprietăţilor rezultate din modelul matematic al transformărilor de coordonate carteziene, a mai rămas doar să ne ocupăm de transformările improprii. Dăm, mai întâi o definiţie importantă:

Def.: se numeşte inversie fundamentală (reflexie) o transformare improprie de matrice –I.

Discuţie:Notând cu R o astfel de transformare, rezultă că avem exact patru inversii fundamentale:

100010001

100010001

100010001

100010001

4321 IIII (71)

Conform teoremei Euler nici una din aceste transformări nu pot fi obţinute printr-o rotaţie a sistemului de coordonate iniţial S.Interpretarea fizică (geometrică) a acestora este simplă, ţinând cont de interpretarea geometrică a coeficienţilor Rij. Datorită acestei interpretări au primit şi denumirea de

reflexii, axele corespunzătoare sistemelor de coordonate respective obţinându-se prin “reflexia” câte unei axe, respectiv a tuturor axelor sistemului S în oglindă:

Fig. 31

Următoarea teoremă, ţinând cont de consideraţiile anterioare, spune totul despre transformările improprii, din punct de vedere geometric (fizic):

Toerema 5. Orice transformare improprie se poate descompune într-o transformare proprie şi o reflexie.

Dem.: Fie F o transformare improprie şi F matricea asociată. Avem deci:

1det,' FcuarFrFr

(72)

Notăm cu R transformarea R =(-I)F; avem:

1)1)(1(det)det(det,

FIRIRIIF zz

(73)

ceea ce arată că R este o transformare proprie, RIz(1). Pe de altă parte, ţinând cont că [-I]-1 = T[-I] = [-I], rezultă:

RIFIIR )()(/)( (74)Încheiem cu o clasificare generală a transformărilor de coordonate carteziene, de data aceasta în lumina consideraţiilor cu privire la interpretarea lor geometrică:

Fig. 32

2.1.2. Expresia observabilelor mecanice în sisteme de coordonate curbilinii ortogonale; cazuri particulare remarcabile

Problema ce se pune în acest paragraf este aceea a modului de modificare a ecuaţiilor generale ale mişcării (împreună cu expresiile vitezei şi acceleraţiei) la trecerea de la sistemul de referinţă al laboratorului şi sistemul de coordonate cartezian la un alt sistem de referinţă tot legat de laborator (schimbarea originii O) şi la un sistem de coordonate curbiliniu. De asemenea, consideraţiile mai de amploare se vor face în cele ce urmează.

1det

',:..

33

RarRrRrEER

cartezienecoorddeTransf

0)(

aizometriineomogene

0)(

aetriicentroizom

omogene

1det Rproprie

1det Rimproprie

1det Rproprii

1det Rimproprii

)(. IRtransl

)(.. IRrotxtransl

)(. IRreflexiextransl

)(.. IRreflexiexrotxtransl

)(. IRidenticătransf

)(. IRrot

)( IRreflexie

)(. IRreflexiexrot

54

a) Transformarea coordonatelor carteziene ale punctului material în coordonate curbilinii generalizate

Aceste transformări sunt date de relaţiile de trecere despre care am discutat în capitolul I al lucrării.

b) Transformarea vitezei, acceleraţiei punctului material, elementelor diferenţiale şi operatorilor diferenţiali la trecerea de la un sistem de coordonate cartezian la unul curbiliniu general

În continuare vom rezolva mai întâi problema foarte importantă legată trecerea la sisteme de coordonate curbilinii în problemele de mecanică: calculul elementului de arc, arie şi volum în coordonate curbilinii.

Discuţie:Consideraţiile de mecanică (în general de fizică) teoretică fac apel, în finalul modelării matematice la derivate şi integrale ale unor funcţii ce depind de coordonate. Astfel,

trecerea de la un sistem de coordonate la altul revine, din punct de vedere matematic, la schimbări de variabile. Acestea, la rândul lor, ca „artificiu” matematico-fizic, necesită calculul elementelor diferenţiale enumerate mai sus, care fie intervin direct în cadrul unor ecuaţii diferenţiale, fie in integranul unor diverse integrale curbilinii, de suprafaţă sau de volum. Aceasta justifică punerea problemei importante enunţată mai sus.

Să considerăm, în continuare, că poziţia punctului P variază (de ex. corpul a cărui mişcare se studiază se deplasează), în sensul că descrie o curbă netedă.

Pentru elementul de arc al curbei descrisă de P, avem (ţinând cont de regula de derivare a funcţiilor compuse):

iiii

qdedqqrrdsd

(82)

Însă

(83)

Atunci, elementul de arc orientat va fi: imutindiceledupăsumarecuudqhsd iii

(84)

Fig. 33

Cantităţile

3,1,2

32

22

1

iqx

qx

qx

qreh

iiiiii

(85)

se numesc coeficienţii Lamé ai transformării de coordonate curbilinii respective.Pentru elementul de suprafaţă în coordonate curbilinii vom obţine:

3

1

3

1

3

1 21

21

i i u

kjkjkjijkkjijki

i

ljkl

uudqdqhhsdsdorientat

uitriunghiulariaSdSd

3

1

3

1

,,,21

i iikjkjikjkjjklijk ciclicăpermutarekjicuudqdqhhudqdqhh

il

(86)

În sfârşit, pentru elementul de volum găsim imediat: 321321321 ,, dqdqdqhhhsdsdsdd

(87)

unde am ţinut cont de leme ale analizei funcţionale: elementul de suprafaţă orientat este semiprodusul elementelor de arc orientat, iar elementul de volum este produsul mixt al acestora.

Putem acum să determinăm şi două expresii deosebit de importante pentru cinematică, anume cele ale vitezei şi acceleraţiei în coordonate curbilinii ortogonale:

- viteza:Din definiţia vitezei şi expresia elementului de arc (aceeaşi cu a elementului de deplasare) obţinem imediat:

(__)

55

Prin urmare, pentru determinarea acestei expresii este necesar şi suficient să determinăm doar coeficienţii Lame ai transformării de coordonate cartezian-curbiliniu.

- acceleraţia:Expresia acestei observabile mecanice se obţine derivând în raport cu timpul expresia anterioară a vitezei. Ţinând cont că toţi cei trei

factori care apar în expresia vitezei depind de timp, utilizând artificiul de calcul datorat lui Lagrange (sau prin calcul diferenţial tensorial) se obţine formula de calcul generală:

(__)

Discuţie:În analiza funcţională se defineşte, urmare a unei deosebit de frecvente utilizări, operatorul diferenţial vectorial nabla (după forma unei harfe asiriene de formă

triunghiulară) sau operatorul lui Hamilton , definit în coordonate carteziene:

iiu

x

(88)

În probleme de mecanică teoretică, apare situaţia în care se trece la un sistem de coordonate curbiliniu şi, în acelaşi timp avem mărimi care cuprind în expresia lor acest operator sub diversele forme pe care le poate genera, dintre cele mai cunoscute fiind gradientul, divergenţa, rotorul şi laplaceanul. Se ridică deci întrebarea firească:

- ce formă vor lua aceşti operatori uzuali în urma acestei transformări de coordonate?Consideraţiile următoare vor răspunde la această întrebare. Pentru aceasta vom tine cont de expresiile de definiţie ale acestor operatori în coordonate carteziene, de faptul

ca la trecerea în coordonate carteziene argumentele acestor operatori devin funcţii x i = xi (q1, q2, q3), i = 1, 2, 3 – ceea ce impune utilizarea regulilor de derivare a funcţiilor compuse – şi a formulelor din consideraţiile anterioare.

- gradientul

Fie câmpul scalar),,( 321 xxx

dat în sistemul cartezian S. Conform definiţiei din analiza vectorială, gradientul acestuia este câmpul vectorial ce se obţine prin aplicarea operatorului nabla câmpului scalar:

iiu

xgrad

(89)

Avem atunci:

rdgraddxgraddxd

xddef

xgraddef

ii

ii

ii

)(

:

)(:(90)

Ţinând cont de definiţia coeficienţilor Lame, care fac legătura între sistemul cartezian şi cel curbiliniu, avem (vezi deducerea elementului de arc):

iiiiii

ii

udqhdquqrdq

qrrd

(91)

Înlocuind în relaţia anterioară, obţinem:iii dquhgradd

(92)

Identificând coeficienţii diferentialelor variabilelor curbilinii (acestea sunt independente) cu cei din relaţia de definiţie

iidq

qddef

: (93)

obţinem imediat relaţia căutată:

3,1,1

iuqh

gradq

uhgrad iiii

ii

(94)

- divergenţa

Fie câmpul vectorial definit în sistemul cartezian S, ),,( 321 xxxAA

; divergenţa acestuia este definită ca fiind câmpul scalar obţinut din

produsul scalar al acestui câmp cu operatorul nabla:

i

i

i

kikkk

ii x

AxA

uAx

uAAAdiv

))((

(95)

Pentru a calcula expresia acestei divergenţe când trecem de la sistemul cartezian în care am definit-o la un sistem curbiliniu generalizat, se consideră, pe baza regulii de derivare a produsului:

iiiiii gradAuudivAuAdivAdiv

)( (96)

De aici, consideraţiile matematice sunt relativ complexe şi nu fac obiectul prezentului studiu; putem afirma astfel că, în final, se obţine:

circularăpermutarekjicuhhAqhhh

Adiv kjiikji

,,,1

(97)

sau, sub formă dezvoltată:

2133

1322

3211321

1 hhAq

hhAq

hhAqhhh

Adiv

(98)

- laplaceianul

56

Fie câmpul scalar iniţial (x1, x2, x3) de mai sus; laplaceanul acestuia este tot un câmp scalar definit de aplicarea acestui câmp a operatorului , obţinut ca produsul scalar a doi operatori nabla:

ii xx

2)( (99)

Expresia acestuia în coordonate curbilinii se obţine imediat considerând divergenţa câmpului vectorial (grad ); conform relaţiilor anterioare obţinem imediat:

33

21

322

13

211

32

1321

1qh

hhqqh

hhqqh

hhqhhh

(100)

- rotorul

În sfârşit, considerăm, din nou, câmpul vectorial A

. Rotorul acestuia este câmpul vectorial obţinut prin aplicarea operatorului vectorial (x):

imparăpermutareestekjidacăparăpermutareestekjidacă

CivittaLevisimbolulesteundeuAAArot

ijk

ijkikijk

),,(,0),,(,1

:,

(100)

De asemenea, consideraţiile pentru obţinerea expresiei acestuia în coordonate curbilinii sunt relativ greoaie şi nu sunt necesare în prezentul studiu; în finalul lor obţinem:

3112

22121

2331

11313

1223

33232

1

11

uhAq

hAqhh

uhAq

hAqhh

uhAq

hAqhh

Arot

(101)

c) Sisteme de coordonate curbilinii particulare

c1) coordonate sferice

Coeficienţii Lame se obţin imediat din relaţiile de trecere corespunzătoare acestui sistem de coordonate:

sin

1

3

2

1

rhrh

h

(104)

Rezultă, conform consideraţiilor generale anterioare, următoarele expresii ale elementelor diferenţiale în variabile sferice:

uA

rArr

urAr

Ar

uA

Ar

Arot

rr

rr

rAArArrr

Adiv

ur

ur

ur

grad

dddrrd

ddrruddrruddruSd

drudrudrusd

rrr

r

r

r

r

1sinsin1sin

sin1

sin1sin

sin11

sinsinsin1

sin11

sin

sinsin

sin

2

22

2

2

2

2

(105)

şi următoarele expresii ale vitezei şi acceleraţiei:

(___)

În particular, punând = /2 ne vom „mişca” doar în planul x1Ox2; spunem că avem de-a face cu coordonate plan-polare, în care expresiile vitezei şi acceleraţiei se reduc la formulele:

(___)

c2) coordonate cilindrice

Coeficienţii Lame se calculează imediat din relaţiile de trecere corespunzătoare acestui sistem de coordonate:

1

1

3

2

1

hhh

(108)

57

şi, pe baza lor, caracteristicile diferenţiale ale transformării:

kA

AA

uA

zA

uzAA

Arot

z

Az

AAAdiv

kz

uugrad

dzddd

dzdkdzdudzduSd

dzkdudusd

zz

z

111

11

1

1

2

2

2

2

(109)

şi următoarele expresii ale vitezei şi acceleraţiei:

(___)

În particular, punând z=0 ne vom „mişca” doar în planul x1Ox2, cel al coordonatelor plan-polare, şi obţinem pentru expresiile vitezei şi acceleraţiei aceleaşi formulele anterioare.

2.1.3. Expresia observabilelor mecanice în sisteme de coordonate naturale (Frenet)

Fie P0 C un punct fixat pe curba ce constituie traiectoria punctului material aflat în mişcare. Vom nota cu S arcul de curbă P0P şi cu s lungimea acestuia, măsurată algebric, conform unei măsuri definite şi a unui sens pozitiv ales pentru parcurgerea curbei.

Def.: Mărimea s se numeşte abscisa curbilinie sau coordonata naturală a punctului P.

Fig. 34Cu ajutorul acestei definiţii se scrie aşa-numita ecuaţie parametrică a curbei C:

srrisxx ii

3,1, (110)Aceste relaţii sunt omologul relaţiilor de trecere de la sistemul de coordonate cartezian la un sistem de coordonate curbilinii şi ele ne dau

modul de transformare a coordonatelor la schimbarea respectivă.

Discuţie:Ele se determină din ecuaţia cunoscută a curbei-traiectorie.

Ecuaţia generală a mişcării punctului material (odată determinată ecuaţia parametrică în cadrul cinematicii mişcării respective) se reduce la aşa-numita ecuaţie orară a mişcării:

(___)

Expresia vitezei în coordonate naturale se obţine din definiţia sa, prin derivare ca funcţie compusă (vectorul de poziţie depinde de poziţia punctului material P, poziţie dată în consideraţiile de faţă de coordonata naturală s, care este funcţie de timp, conform ecuaţiei orare, deci

):

(___)

Pentru caracterizarea vectorului , ţinem cont că, întrucât , acest vector, pe care îl vom nota cu

, este unitar. Conform

interpretării geometrice a derivatei,

va avea direcţia tangentei la curba C în punctul P şi acelaşi sens cu cel de creştere a abscisei curbilinii s. Din aceste motive, vectorul

reprezintă chiar versorul tangentei în P la curba-traiectorie C şi, din acest motiv, se numeşte chiar tangenta în P

la C. Vom avea deci:

(___)În mod analog, pentru acceleraţie se obţine:

58

(___)

Ca şi , versorul

este funcţie compusă de timp prin intermediul coordonatei naturale s ( ). Când punctul material P se deplasează în timp, acesta descrie curba C, iar direcţia versorului variază; aceasta implică faptul că tangenta este o funcţie de timp compusă, prin intermediul coordonatei naturale s. Avem deci:

(___)

Pentru caracterizarea vectorului este necesar să apelăm la consideraţii din geometria diferenţială. Aici se arată că, abscisa

curbilinie este funcţie de unghiul de curbură, s = s (); mai exact, se arată că elementul de arc ds este funcţie de elementul de unghi de curbură d măsurat în radiani. Prin urmare, tangenta este funcţie compusă de unghiul de curbură, prin intermediul coordonatei naturale s (

). Avem atunci următoarele formule şi notaţii:

Csd

ddd

sdd

1

(111)

ceea ce impune următoarele consideraţii şi definiţii:

- vectorul

este unitar şi ortogonal pe

(pe C) în P şi, ca urmare va fi versorul unei direcţii normale în P la curba C, numit din acest motiv normala principală a curbei C în punctul P;

- scalarul C se numeşte curbura curbei C în punctul P;- se numeşte raza de curbură a curbei C în punctul P.

Cu acestea, acceleraţia punctului material în coordonate naturale va lua forma finală:

(___)

Cele două componente care apar în expresia acesteia se notează:

(___)

şi, corespunzător interpretării lor geometrice, se numesc acceleraţia tangenţială şi acceleraţia normală (în raport cu traiectoria punctului material).

Din geometria diferenţială mai avem şi următoarele definiţii importante în mecanică, legate de elementele introduse până acum:

- planul determinat de vectorii şi (ambii având acelaşi punct de aplicaţie, P) se numeşte plan osculator;

- versorul

se numeşte binormala la curba C în punctul P;

- triedrul de versori (

,, ) se numeşte triedrul Frenet: acesta este triedrul de versori liniar independenţi ce constituie o bază în E3 şi defineşte astfel sistemul de coordonate naturale (Frenet);

- planul determinat de

şi se numeşte planul normal la curbă în P.

Discuţie:În spatele acestor scurte consideraţii “geometrice” se “ascund” consideraţii laborioase de analiză şi algebră funcţională ce dau fundament teoretic corect şi complet acestei

modelări matematice “superficiale”.

2.2. Expresia observabilelor mecanice în sisteme de referinţă aflate în mişcare şi în sisteme de coordonate carteziene (mişcarea relativă a punctului material)

În cele ce urmează vom face consideraţiile şi notaţiile următoare:P - punct material aflat în mişcare C - traiectoria punctului material Po (curbă continuă, netedă)

S - sistemul de referinţă al laboratorului, având ataşat un sistem de coordonate cartezian

S’ - un sistem de referinţă mobil în raport cu S (aflat în mişcare în raport cu acesta cu viteza şi cu acceleraţia ), având ataşat un

sistem de coordonate cartezian

Def.: Mişcarea lui P analizată în S se numeşte mişcarea absolută, iar cea analizată în S’ se numeşte mişcare relativă.Mişcarea sistemului S’ cu punctul material P legat solidar de acesta (mişcare relativă nulă) analizată în sistemul laboratorului S se numeşte mişcare de transport (de antrenament).

59

Fig. 35Discuţie:Mişcarea absolută a punctului material se mai numeşte si mişcare compusă; aceasta este formată prin suprapunerea (neperturbată a) mişcării relative peste mişcarea de

transport.

2.2.1. Transformarea coordonatelor punctului material

Din triunghiul haşurat găsim imediat relaţia de compunere geometrică a vectorilor de poziţie ai punctelor implicate:(___)

Cu convenţia de sumare după indicele mult (Einstein) şi cu notaţiile algebrice ale coordonatelor de poziţie, expresiile celor trei vectori sunt:

(___)astfel că din relaţia geometrică anterioară obţinem relaţia algebrică:

Legătura instantanee (la momentul t considerat) dintre coordonatele de poziţie şi versorii celor două baze ortonormate sunt aceleaşi relaţii matriceale determinate în paragraful în care am tratat trecerea de la un sistem de coordonate cartezian la altul cu diferenţa că, de această dată, elementul afin şi componentele matricei de trecere nu mai sunt constante, ci sunt funcţii de timp.

2.2.2. Transformarea vitezei punctului material. Formulele Poisson şi relaţia Euler

Prin derivarea în raport cu timpul a relaţiei algebrice dintre coordonate - cu considerarea variaţiei temporare a tuturor coordonatelor carteziene şi a versorilor din S’) obţinem succesiv:

(___)

Cu excepţia ultimului termen, semnificaţia celorlalţi este imediată şi conduce la notaţii şi denumiri specifice: - viteza absolută a punctului material P (în S)

- viteza absolută a sistemului S’ în S - viteza relativă a punctului material P (în S’)

(___)

Pentru ultimul termen este necesară explicitarea derivatelor versorilor bazei ortonormate din S’. Notăm cu componentele versorului

în baza ortonormată din S’ . Vom avea relaţia:

(___)

Baza din S’ fiind ortonormată, rezultă că dintre cele 9 componente numai 3 vor fi distincte; într-adevăr, derivând relaţia de ortonormare, obţinem succesiv:

(___)

Ultima relaţie ne spune că tensorul de componente este antisimetric (are componentele de pe diagonala principală nule, iar cele de sub această diagonală egale cu opusul celor de deasupra). După cum se ştie, acesta are în acest caz un vector axial asociat, pe care îl vom nota cu şi numit viteza unghiulară de rotaţie instantanee a sistemului S’ în raport cu S (sau vector instantaneu de rotaţie). Între componentele tensorului antisimetric şi cele ale vectorului axial asociat sunt relaţiile:

(___)

60

(___)

Obs.: Am utilizat aici notaţiile uzuale şi pentru cunoscuţii tensori ai lui Kronecker şi Levi-Civitta.

Obţinem astfel pentru derivatele versorilor bazei ortonormate den S’ următoarea formulă:(___)

care, ţinând cont de scrierea tensorială a produsului vectorial, ne conduce la expresiile: - formulele Poisson (___)

Cu ajutorul acesteia, ultimul termen al relaţiei algebrice care ne dă viteza în sistemul de referinţă mobil va fi:(___)

astfel că relaţia finală de transformare a vitezelor va fi: - relaţia Euler (___)

Această relaţie se mai scrie sub forma(___)

unde termenul(___)

este, conform definiţiilor anterioare, viteza de transport (de antrenare) a punctului P de către sistemul S’ (dacă acestea ar fi solidare, caz în care )

Discuţie:Aşa cum se vede din consideraţiile anterioare ale acestui paragraf, vectorul instantaneu de rotaţie este o noţiune „introdusă în vârful creionului”, pur matematică până la

acest moment. Conform discuţiilor din capitolul I, paragraful 1, este necesară determinarea semnificaţiei fizice a acestuia („reîntoarcerea” de la limbajul matematic abstract la cel fizic, cu semnificaţie intuitivă). Acest lucru se face uzual considerând cazuri particulare simple, cunoscute şi bine studiate.

În cazul nostru considerăm un solid rigid aflat în mişcare elementară de rotaţie în jurul unei axe fixe. Fără a restrânge generalitatea presupunem că originile reperelor S şi S’ coincid ( ), iar este axa de rotaţie fixă.

Fig. 36Din formulele lui Poisson găsim imediat

(___)

ceea ce ne arată că vectorul instantaneu de rotaţie are direcţia axei de rotaţie, adică avem(___)

Din relaţia Euler rezultă că viteza unui punct oarecare P al rigidului este conţinută într-un plan ortogonal pe axa de rotaţie şi care trece prin punctul P, modulul acesteia fiind:

(___)unde R este raza cercului cu centrul pe axa de rotaţie şi conţinut în planul menţionat mai sus, cerc ce constituie traiectoria punctului P. Pe de altă parte, exprimând viteza în coordonate cilindrice, conform consideraţiilor din paragrafelor anterioare rezultă imediat

(___)

Comparând cele două expresii ale modulului vitezei punctului P obţinem expresia moduluilui vectorului instantaneu de rotaţie:

(___)Ţinând cont de consideraţii de cinematică a solidului rigid - unde se va arăta că mişcarea de rotaţie generală a unui solid rigid are o axă instantanee de rotaţie - rezultă

imediat semnificaţia fizică a vectorului , semnificaţie care a condus şi la numele acestuia.

61

2.2.3. Transformarea acceleraţiei punctului material. Relaţia Rivals

Transformarea acceleraţiei la trecerea de la sistemul mobil la cel fix este imediată. Derivând relaţia Euler, scrisă sub formă vectorială, şi ţinând cont de formulele Poisson, obţinem succesiv:

- relaţia lui Rivals

(___)

Termenii care apar în ultima relaţie au următoarele semnificaţii şi denumiri:- - acceleraţia absolută a punctului material P în S;- - acceleraţia absolută a reperului S’ în S;- - acceleraţia relativă a punctului material P în S’;- - vectorul instantaneu de acceleraţie a reperului S’ în raport cu S;

- - acceleraţia unghiulară a punctului material P;

- - acceleraţia centripetă a punctului material P;

- - acceleraţia Coriolis a punctului material P;

- - acceleraţia de transport (de antrenare) a punctului P de către sistemul S’ (dacă acestea ar fi

solidare, caz în care )

2.2.4. Cazurile mişcărilor elementare ale reperului mobil

În cazul mişcărilor elementare ale reperului mobil, formulele de transformare a coordonatelor nu se modifică, iar formulele anterioare stabilite pentru viteză şi acceleraţie devin imediat:

- mişcare elementară de translaţie (fără mişcare de rotaţie):

(___)

- mişcare elementară de rotaţie (fără mişcare de translaţie):

(___)

3. Cinematica sistemului de puncte materiale

Trecerea de la punctul material la sistemul de puncte materiale nu aduce nici un element diferit. Consideraţiile sunt aceleaşi, pentru fiecare punct material al sistemului.

4. Cinematica solidului rigid

- under construction...

CAPITOLUL VI:

DINAMICA – MODELAREA MATEMATICĂ A FENOMENELOR MECANICE CU CONSIDERAREA CAUZELOR CE LE PRODUC

1. Modelarea matematică a fenomenului mecanic şi a cauzelor ce-l produc

Conform modelărilor matematice din capitolul I, cunoaşterea cauzelor fenomenului mecanic, în limbaj matematic, presupune cunoaşterea expresiilor analitice ale forţelor (aplicate sau de legătură) la care este supus sistemul mecanic considerat. Pe baza acestora şi a

62

ecuaţiei fundamentale - în formele adecvate modelului considerat pentru sistemul mecanic - se determină ecuaţiile generale ale mişcării. Ulterior, problema ce se pune este una de cinematică, constând în analiza în detaliu a proprietăţilor concrete ale fenomenelor mecanice respective (periodicităţi, condiţii de extremum, condiţii de mişcări reduse etc.).

Prin urmare, algoritmul de studiu complet al unui fenomen mecanic în cadrul dinamicii este următorul:Pas 1o. Se studiază experimental fenomenul mecanic considerat şi se determină din aproape în aproape expresia analitică a forţelor ce

acţionează (mai întâi pe cazuri simple, elementare, după care se generalizează expresiile obţinute);Pas 2o. În cazul concret analizat se particularizează expresia analitică a forţelor şi se scriu ecuaţiile fundamentale corespunzătoare;Pas 3o. Se rezolvă ecuaţiile respective, analitic - dacă este posibil - sau numeric, cu ajutorul calculatoarelor electronice;Pas 4o. Se analizează rezultatele obţinute, prelucrându-se acestea pentru a se determina proprietăţile de interes ale fenomenului

mecanic analizat.

2. Dinamica punctului material

3. Dinamica sistemului de puncte materiale

4. Dinamica solidului rigid

63