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Mecânica Quântica

• Postulados da Mecânica Quântica.• Equação de Schrondiger.• Bandas de Energia.

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Postulado de de Broglie

E h

hp

Para de Broglie a matéria está associada a uma freqüência :

Relação de de Broglie:

este é o comprimento de onda de de Broglie de uma onda de matéria associada ao movimento de uma partícula material com

momento p.

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Dualidade Onda-ParticulaNiels Henrik David Bohr enunciou o

princípio da complementaridade .

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Dualidade Onda-Partícula

• Niels Bohr enunciou o princípio da complementaridade . Radiação e matéria não são apenas ondas ou partículas.

• Einstein unificou as teorias corpuscular e ondulatória para radiação e Max Born para a matéria.

• Funções de onda de matéria :

tx2senA)t,x(

Análogo ao campo elétrico de uma onda eletromagnética

vtx2senA)t,x(E

(leis da probabilidade)

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Dualidade Onda-Particula

, i wt kr i wt krr t Ae Be

Análogo ao campo elétrico de uma onda eletromagnética

leis da probabilidade

Niels Henrik David Bohr enunciou o princípio da complementaridade .

Einstein unificou as teorias corpuscular e ondulatória para radiação e Max Born para a matéria.

Funções de onda de matéria de Max Born:

.

0, i wt k rE r t E e

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Dualidade Onda-Particula

, , ,P r t r t r t

Esta grandeza especifica a probabilidade, por unidade de comprimento, de encontrar a partícula próxima da coordenada x em um instante t.

Max Born postulou esta relação:

A função de onda proposta por Max Born não tem significado físico.

A ligação básica entre as propriedades da função de onda (x,t) e o comportamento da partícula associada é expressa em termos da densidade de

probabilidade P(x,t):

( , ) , , 1P x t dx x t x t dx

Onde temos:

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Primeiro Postulado

O estado de um sistema físico é definido por uma função de onda r, t).

Any system can be described by a wave function  , where t is a parameter representing the time and r represents the coordinates of the system. Function must be continuous, single valued and square integrable.

P(x,t) * (x,t) (x,t)

P(x,t) dx * (x,t) (x,t) dx 1

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5) A Interpretação da função de onda

( , )x t

2( , ) ( , )P x t x t (Interpretação probabilística)

Dualidade onda-partícula: Todos os portadores de energia e momento se propagam como onda e trocam energia como partícula.

Princípio da incerteza:

2 1dx

2xx p

(Werner Heisenberg)

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Segundo PostuladoTo every observable in classical mechanics there corresponds a linear, Hermitian operator in quantum mechanics. http://vergil.chemistry.gatech.edu/notes/quantrev/node20.htmlhttp://vergil.chemistry.gatech.edu/notes/quantrev/node16.html#subsub:HermitOps

Every measurable physical quantity A is described by an operator A acting in E; this operator is an observable.

Com a função de onda podemos calcular a probabilidade de “localização” de uma partícula em qualquer instante. Entretanto, para calcular outras grandezas relativas ao seu movimento é preciso introduzir o conceito de operador. A cada grandeza física corresponde um operador matemático que opera na função de onda.

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Table 1: Physical observables and their corresponding quantum operators (single particle)

Observable Observable Operator OperatorName Symbol Symbol OperationPosition     Multiply by  

Momentum                                   Kinetic energy                                   Potential energy               Multiply by       

Total energy                                             Angular momentum                           

                                                       

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Operadores.A função de onda de um elétron livre é dada por:

0ik x iwt(x,t) Ae O operador energia é dado por:

opE it

Aplicado a função de onda do elétron livre isto leva a:

0ik x iwtopE (x,t) i Ae w (x,t)

tE w

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Operadores

)],([)],([

:,

),(21

),(2

2

2

txt

itxH

tiHe

xip

ondeoperadoresdefunçãoumaéEstat

itxVx

im

txVm

pH

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Any observable (i.e., any measurable property of the system) can be described by an operator. The operator must be linear and hermitian. http://xbeams.chem.yale.edu/~batista/vvv/node2.html

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Terceiro PostuladoThe only possible experimental results of a measurement of an observable are the eigenvalues of the operator that corresponds to such observable.

Note que se o espectro de A é discreto os resultados obtidos ao medir A´ são quantizados.

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Postulado 3Uma vez definidos os operadores, pode-se obter o valor das respectivas propriedades de uma função de onda empregando-se: a) a equação de autovalores ou b) o teorema do valor médio. Uma equação de autovalores corresponde a seguinte expressão:

Se Ψ corresponde a uma função de onda bem-comportada e  é o operador de uma propriedade física qualquer, diz-se que Ψ é uma autofunção do operador  quando a acima é obedecida. Em outras palavras, a aplicação do operador  sobre a função de onda Ψ, produz a mesma função de onda multiplicado por uma constante λ. O valor da propriedade desejada corresponde ao da constante λ. Esta constante λ também é chamada de autovalor do operador Â. Sendo o operador  hermitiano, pode-se garantir que λ será sempre um número real e, conseqüentemente compatível com grandezas mensuráveis fisicamente.

A

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ExpansãoThe eigenfunctions of a linear and hermitian operator form a complete basis set. Therefore, any function that is continuous, single valued, and square integrable can be expanded as a linear combination of eigenfunctions fj of a linear and hermitian operator   as follows,

j jj

(x) C (x) f

j j jA (x) (x)f f

http://vergil.chemistry.gatech.edu/notes/quantrev/node20.html

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Valor MédioEntretanto, é comum o fato de termos várias funções de onda que são autofunções de um determinado operador (ou melhor, uma função de onda que é composta por diversas). Neste caso, para determinar-se o valor dessa propriedade lança-se mão da seguinte expressão:

onde   corresponde ao valor médio da propriedade representada pelo operador  em um sistema caracterizado por uma função de onda Ψ. A barra sobre o símbolo λ é utilizada para caracterizar o valor médio. Entretanto, é comum encontrarmos o valor médio representado como <λ>.

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Quarto Postulado - Pula

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Quinto PostuladoA evolução no tempo do estado de um sistema não perturbado é dada pela equação de Schroedinger dependente do tempo

http://www.mloos.eti.br/oldqt1/ccm/ccm1/tempo1.html

Se possível, ver págs 60 ... do livro texto.

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Equação de Schroedinger• A equação de Schroedinger é a equação

diferencial que satisfaz a todas as hipóteses relativas à equação de onda da mecânica quântica.

dx)t,x().t,x(*

dx)t,x(.x).t,x(*xe1dx)t,x().t,x(*

)t,x().t,x(*)t,x(Pt

)t,x(i)t,x()t,x(Vx

)t,x(m2

_

2

22

• P(x,t) é a probabilidade de uma partícula ser encontrada em uma coordenada entre x e x+dx no instante t.

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Equação de SchrödingerZurique, 1926: Peter Debye pede ao jovem físico

Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger para discutir as idéias de de Broglie em um

seminário

Schrödinger procura a “equação de onda“ que deveser satisfeita pela função de onda de Max Born,

sabendo que:

E h w hp k

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Equação de SchrödingerTomando a função de onda proposta por de Broglie

E iwE iwt t

pik ik i

, i wt krr t Ae e utilizando a mesma seqüencia feita para as ondas eletromagnéticas

. .E ik E ik

Operador Momentoi pr

Eiw iw it t

i Et

Operador Energia

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Equação de Schrödinger

2 2

2i ( , )2

U r tt m r

212

E mv U

Sabendo que a energia pode ser escrita como:i p

r

i Et

212

p Um

Substituindo na equação de energia, temos:

Operador Hamiltoniano

A aplicação deste operador na função de onda de Max Born, nos fornece a Energia do sistema e seu momento e qual a relação de

dispersão.

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Equação de Schrödinger

22

2

, ,i ( , ) ,

2r t r t

U r t r tt m r

Esta é a equação de Schrödinger

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Solução Para Partícula Livre)]wtkx(isen)wtkx[cos(C)t,x(

A função de onda é complexa.

Equação Independente do Tempo

ikxxmE2i

2

22

/iEt

AeAe)x(,0)x(VPara

)x(E)x()x(Vdx

)x(dm2

e)t(e)t()x()x(

)x(V)t,x(VSe

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