MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN,
POSICIÓN Y DISPERSIÓN
Matemáticas – PAI 5 (4ºESO)
Ejercicio 2 Actividad de aula 3 – Medidas
estadísticas
EJERCICIO 2
Recupera la tabla de frecuencias que realizaste en el ejercicio 2 de la actividad de aula 2 (actividad sobre las
canciones de Los Beatles) y calcula e interpreta todas las medidas estadísticas.
Intervalo xi fi Fi hi Hi xi·fi
[120-140) 130 10 10 0,42 0,42 1300
[140 – 160) 150 5 15 0,21 0,63 750
[160 – 180) 170 3 18 0,13 0,75 510
[180 – 200) 190 4 22 0,17 0,92 760
[200 – 220) 210 2 24 0,08 1,00 420
24 1,00 3740
MEDIDAS DE
CENTRALIZACIÓN
MEDIA: 𝑿 = 𝟑𝟕𝟒𝟎𝟐𝟒 = 𝟏𝟓𝟔𝒔
Interpretación:
Por término medio, las canciones
de los Beatles estudiadas duran
156 segundos.
EJERCICIO 2
Intervalo xi fi Fi hi Hi xi·fi
[120-140) 130 10 10 0,42 0,42 1300
[140 – 160) 150 5 15 0,21 0,63 750
[160 – 180) 170 3 18 0,13 0,75 510
[180 – 200) 190 4 22 0,17 0,92 760
[200 – 220) 210 2 24 0,08 1,00 420
24 1,00 3740
MEDIDAS DE
CENTRALIZACIÓN
MODA: La moda es el valor que más
se repite, por lo tanto el valor que
tenga mayor fi. Vamos a la tabla y
buscamos la mayor fi. El intervalo
correspondiente será la moda
buscada – Moda=[120-140)
Interpretación:
De las canciones estudiadas, la
duración más popular o más
frecuente es 130s
MAYOR fiMODA
EJERCICIO 2
Intervalo xi fi Fi hi Hi xi·fi
[120-140) 130 10 10 0,42 0,42 1300
[140 – 160) 150 5 15 0,21 0,63 750
[160 – 180) 170 3 18 0,13 0,75 510
[180 – 200) 190 4 22 0,17 0,92 760
[200 – 220) 210 2 24 0,08 1,00 420
24 1,00 3740
MEDIDAS DE
CENTRALIZACIÓN
MEDIANA: Es el valor central, es decir, si ordenamos
todas las respuestas obtenidas, la que nos quede en el
medio será la mediana. En este caso, tenemos
24canciones, por tanto 24/2=12canciones. Es decir, la
mediana estará entre la posición 12 y la 13 => vamos
a la columna de Fi y buscamos el valor
inmediatamente superior a 12.
Interpretación:
Significa que la mitad
de las canciones dura
menos de 150s y la otra
mitad dura más de 150s
Fi inmediatamente superior a 12
Mediana
EJERCICIO 2
Intervalo xi fi Fi hi Hi xi·fi fi 𝒙𝒊 − 𝑿
[120-140) 130 10 10 0,42 0,42 1300 258
[140 – 160) 150 5 15 0,21 0,63 750 29
[160 – 180) 170 3 18 0,13 0,75 510 43
[180 – 200) 190 4 22 0,17 0,92 760 137
[200 – 220) 210 2 24 0,08 1,00 420 108
24 1,00 3740 575
MEDIDAS DE
DISPERSIÓN
Rango o recorrido: R=máx-min= 210-130=80s
Interpretación:
Nos da una idea de la dispersión: a mayor
rango, más dispersos están los datos. En
este caso, el rango no es demasiado altoDesviación media: 𝟓𝟕𝟓
𝟐𝟒 = 𝟐𝟒𝒔
Interpretación: Indica que, por término medio, las
canciones se desvían 24s de la media
EJERCICIO 2
Intervalo xi fi Fi hi Hi xi·fi fi 𝒙𝒊 − 𝑿 fi 𝒙𝒊 − 𝑿 2 xi2fi
[120-140) 130 10 10 0,42 0,42 1300 258 6674 169000
[140 – 160) 150 5 15 0,21 0,63 750 29 170 112500
[160 – 180) 170 3 18 0,13 0,75 510 43 602 86700
[180 – 200) 190 4 22 0,17 0,92 760 137 4669 144400
[200 – 220) 210 2 24 0,08 1,00 420 108 5868 88200
24 1,00 3740 575 17983 600800
MEDIDAS DE
DISPERSIÓN
Varianza:
a) σ2=17983/24 = 749
b) σ2=600800/24 – 1562= 749
Desviación típica: σ = 𝟕𝟒𝟗 = 𝟐𝟕𝒔
Interpretación: La desviación típica nos indica si los
datos están muy dispersos o no. Si la desviación típica
es muy grande en comparación con la media significa
que los datos están muy dispersos, sino significa que
los datos están bastante agrupados en torno a la
media.
EJERCICIO 2
Intervalo xi fi Fi hi Hi xi·fi fi 𝒙𝒊 − 𝑿 fi 𝒙𝒊 − 𝑿 2 xi2fi
[120-140) 130 10 10 0,42 0,42 1300 258 6674 169000
[140 – 160) 150 5 15 0,21 0,63 750 29 170 112500
[160 – 180) 170 3 18 0,13 0,75 510 43 602 86700
[180 – 200) 190 4 22 0,17 0,92 760 137 4669 144400
[200 – 220) 210 2 24 0,08 1,00 420 108 5868 88200
24 1,00 3740 575 17983 600800
MEDIDAS DE
DISPERSIÓN
Coeficiente de variación:
CV= σ/ 𝑋 = 27/156 = 0,17 (17%)
Interpretación: Realmente es el más fácilmente
interpretable, pues para saber si σ es muy grande o
muy pequeño va a depender de la magnitud de la
variable con la que estemos trabajando. Sin embargo,
como CV se expresa en forma porcentual, la magnitud
de las variables no es relevante. Si CV<20% significa
que los datos no están muy dispersos, por lo que la
media es representativa del conjunto de datos.
Nos permite comparar la
dispersión de dos conjuntos
de datos diferentes
EJERCICIO 2
Intervalo xi fi Fi hi Hi
[120-140) 130 10 10 0,42 0,42
[140 – 160) 150 5 15 0,21 0,63
[160 – 180) 170 3 18 0,13 0,75
[180 – 200) 190 4 22 0,17 0,92
[200 – 220) 210 2 24 0,08 1,00
24 1,00
MEDIDAS DE
POSICIÓN
CUARTILES:
a) Primer cuartil: Posición=24/4= 6
Q1 se encuentra entre sexta y séptima posición => buscamos F1 inmediatamente superior a 6
=> Q1=130
b) Q2=Me= 150
c) Tercer cuartil: Posición=24· 3/4= 18
Q3 se encuentra entre 18ºy 19ºposición => buscamos F1 inmediatamente superior a 18=>
Q3=190
Interpretación: El 25% de las
canciones duran menos de 130s
(o el 75% de las canciones duran
más de 130s).
El 50% de las canciones duran
menos de 150s.
El 75% de las canciones duran
menos de 190s.
EJERCICIO 2
Intervalo xi fi Fi hi Hi
[120-140) 130 10 10 0,42 0,42
[140 – 160) 150 5 15 0,21 0,63
[160 – 180) 170 3 18 0,13 0,75
[180 – 200) 190 4 22 0,17 0,92
[200 – 220) 210 2 24 0,08 1,00
24 1,00
MEDIDAS DE
POSICIÓN
PERCENTILES:
a) P10: Posición=24 · 10100= 4,8
P10 es el dato que se encuentra en 5ª posición=> buscamos Fi≥ 5=> P10=130
b) P85: Posición=24 · 85100= 20,4
P85 es el dato que se encuentra en 21ª posición=> buscamos Fi≥ 21=> P85=190
Interpretación: El 10% de las
canciones duran menos de 130s
(o el 90% de las canciones duran
más de 130s).
El 85% de las canciones duran
menos de 190s.
¿A qué percentiles equivaldría cada uno de los cuartiles?
¿Se podrían calcular los percentiles empleando las frecuencias relativas acumuladas en lugar de Fi?
Ejercicio 3 Problema 52– pág. 227
EJERCICIO 3
Mujeres fi Fi hi Hi xi·fi xi2·fi fi 𝒙𝒊 − 𝑿
900 2 2 0,133 0,133 1800 1620000 466,67
1000 2 4 0,133 0,267 2000 2000000 266,67
1100 4 8 0,267 0,533 4400 4840000 133,33
1200 4 12 0,267 0,800 4800 5760000 266,67
1300 2 14 0,133 0,933 2600 3380000 333,33
1400 1 15 0,067 1,000 1400 1960000 266,67
15 1,000 17000 19560000 1733,33
Media 𝑋 =17000
15= 1133,33€ Varianza σ2= 19555,56
Mediana Posición=15/2=7,5 => Fi=8=> Me=1100€ Desv media DM=1733,33/15= 115,56€
Desv. típica σ= 19560000
15− 1133.33 = 139,84€ CV CV=139,84/1133.33 = 0,12
a) y b)
EJERCICIO 3
Hombres fi Fi hi Hi xi·fi xi2·fi fi 𝒙𝒊 − 𝑿
900 1 1 0,067 0,067 900 810000 513,33
1200 2 3 0,133 0,200 2400 2880000 426,67
1300 4 7 0,267 0,467 5200 6760000 453,33
1400 2 9 0,133 0,600 2800 3920000 26,67
1500 2 11 0,133 0,733 3000 4500000 173,33
1600 1 12 0,067 0,800 1600 2560000 186,67
1700 2 14 0,133 0,933 3400 5780000 573,33
1900 1 15 0,067 1,000 1900 3610000 486,67
15 1,000 21200 30820000 2840,00
Media 𝑋 =21200
15= 1413,33€
MedianaPosición=15/2=7,5 => Fi=8=>
Me=1400€
Desv. típicaσ=
30820000
15− 1413.33 = 239,07€
Varianza σ2=19555,56
Desv media DM= 2840/15=189,33 €Rango R= 1900 – 900= 1000€
CV CV=239,07/1413.33=0,17
a) y b)
EJERCICIO 3
c) Para comparar dos conjuntos de datos tenemos que comparar sus CV. En el caso de los hombres el CV
es 17% mientras que CV de mujeres es 12%. Esto significa que los datos en la distribución de hombres
están más dispersos que en el caso de las mujeres, donde están más concentrados. Aunque en ambos
casos es aceptable emplear la media como representante de los datos.
Personas fi Fi hi Hi xi·fi xi2·fi fi 𝐱𝐢 − 𝐗
900 3 3 0,100 0,100 69 62100 856,90
1000 2 5 0,067 0,167 2000 2000000 371,27
1100 4 9 0,133 0,300 4400 4840000 342,53
1200 6 15 0,200 0,500 7200 8640000 86,20
1300 6 21 0,200 0,700 7800 10140000 686,20
1400 3 24 0,100 0,800 4200 5880000 643,10
1500 2 26 0,067 0,867 3000 4500000 628,73
1600 1 27 0,033 0,900 1600 2560000 414,37
1700 2 29 0,067 0,967 3400 5780000 1028,73
1900 1 30 0,033 1,000 1900 3610000 714,37
30 1,000 35569 48012100 5772,40
Media 1185,63
Mediana 1300,00
Desv típica 441,22
Varianza 194676,93
Desv media 384,83
CV 0,37
d)