7/22/2019 Meh Sistem - dinamika sistema
1/41
Mainski fakultet, Beograd - Mehanika 3 Predavanje 1 1
Opte teoreme i zakoni dinamike sistema
Koliina kretanja take
Pod koliinom kretanja take ( ) podrazumeva se vektorska veliina koja je jednaka
proizvodu mase mtake i njene brzine V
Kr
r
, tj. VmK
rr=
.
Koliina kretanja materijalnog sistema
Neka materijalni sistem ini n taaka, ije su mase , i=1,2,...,n. Koliina kretanja
materijalnog sistema je tada .
im
==
==n
i
ii
n
i
i VmKK11
rrr
Imajui u vidu relaciju za odreivanje poloaja centra masa , tada je=
=n
i
iiC rmrm
1
rr
==
=
=
n
i
ii
n
i
iiC rm
dt
drm
dt
drm
dt
d
11
)()( rrr
, =
=n
i
ii
C
dt
rdm
dt
rdm
1
rr
, ,=
=n
i
iiC VmVm
1
rr
CC KVmKrrr
==
Impuls sile
1.) Elementarni impuls sile: Pod elementarnim impulsom sileId
rpodrazumeva se veliina koja je jednaka proizvodu sile
Fr
koja deluje na taku i infinitezimalno malog intervala
vremena dt, tj. dtFIdrr
= .2.) Impuls sile (ukupni impuls sile): Ako taka pod dejstvom
sile Fr
pree iz poloaja u kome se nala u trenutku t
u poloaj M, koji odgovara trenutku t, tada je u datom intervalu vremena ( t ,t)
impuls sile
0M 0
0
Fr
odreen sa .=t
t
dtFIrr
0
Teorema o promeni koliine kretanja materijalnog sistema
Diferencijalna jednaina kretanja i-te reprezentativne materijalne take je
u
i
s
ii
i FFdt
Vdm
rrr
, ( ) uisiiii FFdt
KdVm
dt
d rrr
r+== ,+=
odakle se sumiranjem, za sve take, dobija ====
+=
=
n
i
u
i
n
i
s
i
n
i
i
n
i
i FFKdt
d
dt
Kd
1111
rrrr
.
Kako je i , tada jesR
n
i
s
i FFrr
==1
01
===
u
R
n
i
u
i FFrr s
RFdt
Kd rr
= , tj.: izvod po vremenu
koliine kretanja materijalnog sistema jednak je glavnom vektoru spoljanjih sila koje
deluju na materijalni sistem. Projektovanjem lanova prethodne relacije na ose
izabranog koordinatnog sistema, npr. Oxyz, dobijaju se teoreme o promeni koliine
kretanja materijalnog sistema u odnosu na ose, tj.s
Rx XK =& , , .s
Ry YK =& s
Rz ZK =&
Ako se teorema o promeni koliine kretanja materijalnog sistema, u diferencijalnom
obliku, napie kaorr
, integracijom se dobijadtFKd sR=
7/22/2019 Meh Sistem - dinamika sistema
2/41
Mainski fakultet, Beograd - Mehanika 3 Predavanje 1 2
s
R
t
t
s
R IdtFKKrrrr
== 1
0
01 ,
to predstavlja teoremu o promeni koliine kretanja materijalnog sistema, u
(konanom) integralnom obliku, koja glasi: promena koliine kretanja materijalnog
sistema u konanom intervalu vremana jednak je impulsu glavnog vektora spoljanjihsila koje deluju na materijalni sistem, u istom intervalu vremena. Odgovarajue
skalarne jednaine su
s
R
t
t
s
Rxx xIdtXKK ==
1
0
01, , .s
R
t
t
s
Ryy yIdtYKK ==
1
0
01
s
R
t
t
s
Rzz zIdtZKK ==
1
0
01
Zakon o odranju koliine kretanja materijalnog sistema i zakon o odranju
poloaja centra masa
Ako na materijalni sistem deluje takav sistem spoljanjih sila da njegov glavni vektor
jednak nuli, tj. , tada iz teoreme o promeni koliine kretanja sledi zakon o
odranju koliine kretanja materijalnog sistema, u obliku
0=sRFr
0=Kdr
, .constK=r
, ili .01 constKK == rr
U specijalnom sluaju kada je i brzina centra masa materijalnog sistema u nekom
trenutku jednaka nuli, tada iz zakona o odranju koliine kretanja materijalnog
sistema sledi
0==== CCC rmVmKK &r
rrr, .constrC=
r
tj. u tom sluaju ne menja se poloaj centra masa materijalnog sistema.
esto se deava da za neku od osa inercijalnog koordinatnog sistema (npr. osu Ox)
vai . Tada vai zakon o odranju koliine kretanja za osu, tj. U
specijalnom sluaju, ako je u i nekom trenutku zadovoljeno , tada je
, tj.
0=sRX .constKx =
0t 0)( 0 =tKx
0=xK
011
=
==
==
n
i
ii
n
i
iix xmdt
dxmK & , ,.
1
constxmn
i
ii ==
.constxC = , .==
=n
i
ii
n
i
ii txmtxm
1
1
1
0 )()(
Moment koliine kretanja take
Moment koliine kretanja (kinetiki moment) take, u odnosu na neki pol Oje
VmrKrLOrrrrr
== ,
gde je rr
- vektor poloaja take u odnosu na pol O, a Kr
njena koliina kretanja.
Moment koliine kretanja take, u odnosu na neku osu Ou je projekcija na tu osu
kinetikog momenta OL
r
.
Moment koliine kretanja materijalnog sistema
Moment koliine kretanja (kinetiki moment) materijalnog
sitema, u odnosu na neki pol O je glavni vektor momenata
koliine kretanja taaka sistema odreenih u odnosu na isti
pol
==
==n
i
iii
n
i
iOiO VmrKML
11
)(rrrrr
=
=n
i
OL1
r
.
7/22/2019 Meh Sistem - dinamika sistema
3/41
Mainski fakultet, Beograd - Mehanika 3 Predavanje 1 3
Moment koliine kretanja materijalnog sistema u odnosu na neku osu koja prolazi
kroz pol O je projekcija na tu osu kinetikog momenta OLr
u odnosu na taj pol O
uLL Ourr
= . Kako je
==
==n
i
iiiiii
n
i
iiiO
zmymxm
zyx
kji
VmrL11
&&&
rrr
rrr,
tada je
=
==n
i
iiiOx zzymiLL
1
( &rr
iiy )&
= Oz kLL
, ...,
=
=n
i
iiiii xyyxm
1
)( &&rr
.
U sluaju obrtanja materijalnog sistema oko nepokretne ose,
npr. ose Oz, vai cosizi rx = , sinizi ry = i z=& , pa je
zz
n
i
ziz
n
i
zzi
n
i
iiiiiz JrmrmxyyxmL
ii ==+==
=== 1
2
1
222
1
)sin(cos)( && .
Do istog rezultata se dolazi i kada je u pitanju kruto telo.
Veza izmeu momenta koliine kretanja materijalnog sistema u odnosu na
nepokretni pol i sredite masa sistema
Uoimo dva koordinatna sistema: Oxyz Dekartov inercijalni koordinatni sistem, i
- Dekartov translatorno pokretni koordinatni sistem
smeten u sreditu masa. Poloaj proizvoljne take
materijalnog sistema odreen je sa r
111 zyCx
iCi r rrr
+= , pa je
C
MC iV
rri
i Vdt
rdV
rr
== + .
Sada je
( ) =
++==
== dt
dVmrVmrL iCi
n
i
iC
n
i
iiiO
rrrrrrr
11
( ) +
+=
==
n
i
iiC
n
i
CiCdt
dmrVmr
11
r
rrr
+ ( ) ==
+
n
i
i
ii
n
iCii dt
d
mVm11
rrrr
.
Imajui u vidu da je ,( ) KrVmr Cn
i
CiC
rrrr=
=1
01
=
=
n
i
iiC
dt
dmr
rr
,
( ) ( ) 011
== ==
n
i
Cii
n
i
Cii VmVm
rrrr , rC
n
i
i
ii Ldt
dm
rr
r=
, dobija se
=1
r
C
r
CCO LKOCLKrLrrrrrr
+=+=
Veza izmeu kinetikih momenata u odnosu na dva nepokretna
pola
Neka su kinetiki momenti u odnosu na nepokretne polove O i O1
7/22/2019 Meh Sistem - dinamika sistema
4/41
Mainski fakultet, Beograd - Mehanika 3 Predavanje 1 4
odreeni sa rCO LKOCLrrr
+= i rCO LKCOLrrr
+= 11 . Sada je
KOCCOLL OOrrr
+= )( 11 . Kako je OCOOCO += 11 , dobija se relacija koja
pokazuje promenu kinetikog momenta pri promeni pola, tj. KOOLL OOrrr
+= 11 .
Ako materijalni sistem vri translatorno kretanje, tada je 0=r
CL
r
, pa je kinetiki
moment takvog materijalnog sistema KOCLOrr
= .
Teorema o promeni kinetikog momenta materijalnog sistema u odnosu na
nepokretni pol i nepokretnu osu
Za i-tu taku materijalnog sistema vai
( )iiiiiiiO Vmdt
drVmrL
rrr&r&r
+= , 0== iiiiii VmVVmrrrr
&r ,ii
i
O FrLrr&r = , ( )iOiO FML
rr&r= ,
gde je ui
s
ii FFFrrr
+= , pa je ( ) ( )uiOsiOiO FMFMLrrrr&r
+= . Sabirajui prethodnu relaciju,
za svaku od ntaaka materijalnog sistema, dobija se
uO
sOO MML
rr
&
r
+= . Imajui u vidu da je glavni moment unutranjih sila 0=uOM
r
, sledi
s
OO ML
r&r= ,
tj. izvod po vremenu kinetikog momenta materijalnog sistema, odreenog u odnosu
na nepokretni pol, jednak je glavnom momentu svih spoljanjih sila koje deluju na
sistem u odnosu na isti nepokretni pol.
Projektujui lanove prethodne relacije na ose nepokretnog koordinatnog sistema,
npr. Oxyz, dobijaju se izrazi koji predstavljaju teoremu o promeni kinetikog
momenta u odnosu na nepokretnu osus
OxOx ML =& , , .s
OyOy ML =& s
OzOz ML =&
Zakon o odranju kinetikog momenta materijalnog sistema u odnosu nanepokretni pol i nepokretnu osu
Ako za sve vreme kretanja materijalnog sistema vai da je 0=sOMr
, tada je , tj0=OL&r
.constLO =r
Dakle, ako je za sve vreme kretanja materijalnog sistema glavni moment spoljanjih
sila u odnosu na nepokretni pol jednak nuli, tada je kinetiki moment u odnosu na isti
pol konstantan.
Ako na materijalni sistem deluje takav sistem sila da za neku nepominu osu Ou vai
da je , tada je , tj.0=sOuM 0=OuL& .constLOu = , to predstavlja zakon o odranju
kinetikog momenta u odnosu na nepokretnu osu.
U posebnom sluaju, kada je 0=sOMr , a u nekom trenutku je0t 0)( 0 =tLO
r , tada je
0=OLr
, to predstavlja specijalni sluaj zakona o odranju kinetikog momenta u
odnosu na nepokretni pol. Ako za za neku nepominu osu Ou vai da je , a u
nekom trenutku je , tada je u svakom trenutku
0=sOuM
0t 0)( 0 =tLOu 0=OuL .
Teorema o promeni kinetikog momenta materijalnog sistema u odnosu na
pokretni pol i pokretnu osu
Neka je sa irr
odreen poloaj i-te materijalne take u odnosu na pol Onepokretnog
koordinatnog sistema Oxyz i neka je sa ir
odreen poloaj te take u odnosu na
pokretni polA.Tada vai iAi rr rrr += i , tj. .=
=n
i
iiiA VmL
1
rrr ( )=
=n
i
iiAiA VmrrL
1
rrrr
7/22/2019 Meh Sistem - dinamika sistema
5/41
Mainski fakultet, Beograd - Mehanika 3 Predavanje 1 5
Diferenciranjem po vremenu dobija se
( )==
+n
i
iiAi
n
i
iiAii VmrrVmVVm
11
&rrrrrr=
=n
i
iA VL
1
r&r.
Prvi lan u prethodnom izrazu jednak je nuli, a kako je
i==n
i
iiVmK1
rr
( ) ( ) sAn
i
s
ii
n
i
u
i
s
ii
n
i
iii
n
i
iiAi MFFFamVmrrrrrrrrrr&rrr
==+== ==== 1111
,
dobija se teorema o promeni kinetikog momenta materijalnog sistema u odnosu na
pokretni pol, u oblikus
ACAA MVmVLrrr&r
=+ .
Izrazi za teoreme o promeni kinetikog momenta u odnosu na nepokretni i pokretni
pol razlikuju se za lan V CA Vmrr
. Ove dve teoreme imae isti oblik ako je:
1. V 0=Ar
, tj. i polAje nepokretan,
2. V 0=Cr
, tj. polAje pokretan, a centar masa nepokretan,
3. V CA Vr r
|| , tj. brzine oba pola su paralelne
4. , tj. za pokretni pol se usvaja sredite masa C, i tada jeCA sCC MLr&r
= .
U specijalnom sluaju, kada je 0=sCMr
, sledi da je .constLC =r
, to predstavlja zakon
o odranju kinetikog momenta u odnosu na sredite masa. Ravan koja je u tom
sluaju upravna na CLr
i nepokretna, naziva se Laplasova ravan. Ako je 0=sCMr
i ako
su u nekom trenutku sve take sistema mirovale tada je za sve vreme kretanja 0=CLr
.
Projektovanjem lanova izrazas
ACAA MVmVL rrr&r =+ na pokretnu osu Ap, dobija se
teorema o promeni kinetikog momenta materijalnog sistema u odnosu na pokretnu
osu, u obliku
( ) ( ) sApApCAApAApAr MVmVLL =++ rrrr&r
,
gde je - ugaona brzina pokretne ose.r
Kinetika energija materijalnog sistema
Kinetika energija take je pozitivna skalarna veliina koja se definie kao
2
2
1
mVEk= , gde je m - masa take, a V intenzitet njene brzine. Kineti
ka energija
materijalnog sistema predstavlja zbir kinetikih energija pojedinih taaka, tj.
( )===
===n
i
iii
n
i
ii
n
i
KK VVmVmEE i11
2
1 2
1
2
1 rr.
Kinetika energija krutog tela, koje je podeljeno na elementarne delie masa dmje
=V
dmVEK2
2
1.
Kenigova teorema
Neka se kretanje materijalnog sistema posmatra u odnosu na nepokretni koordinatni
sistem Oxyz. Uvoenjem translatorno pokretnog koordinatnog sistema ,111 zyCx
7/22/2019 Meh Sistem - dinamika sistema
6/41
Mainski fakultet, Beograd - Mehanika 3 Predavanje 1 6
poloaj i-te take odreen je sa iCi rr rrr
+= . Apsolutna
brzina take je VirCii
VVrr r r
&r +== , pa je kinetika energija
( ) ( ) ( )=
++=n
i
rCrCiiii iiVVVVmVV
12
1 rrrrrr
=
=n
i
K mE
12
1,
( ) = =
++n
i
rr
n
i
irCiCi iiiVVmVVmV
1 1
2
2
1
2
12
rrrr
=
=n
i
K mE
12
1,
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1C
n
i
iC
n
i
Ci mVmVVm ==
==
, 02
1
2
1
11
==
==n
i
i
iC
n
i
rCidt
dmVVVm
i
r
rrr,
( ) 211 2
1
2
1iii r
n
i
irr
n
i
i VmVVm ==
= rr
, 2
1
2
2
1
2
1ir
n
i
iCK VmmVE =
+=
relKCK EmVE += 2
2
1,
to predstavlja Kenigovu teoremu: Kinetika energija materijalnog sistema jednaka je
zbiru kinetike energije centra masa, kao da je u njemu skoncentrisana masa celogsistema, i kinetike energije relativnog kretanja materijalnog sistema u odnosu na
centar masa.
Kinetika energija tela koje se kree translatorno
U sluaju translatornog kretanja tela vai da je Ci VVrr
= pa je kinetika energija
22
2
1
2
1mVdmVEK ==
V
. Isti izraz moe se dobiti i iz Kenigove teoreme. U sluaju
translatornog kretanja tela je 0=rVr
, pa je22
2
1
2
1mVmVE CK == .
Kinetika energija tela koje se obre oko nepokretne ose
Neka se telo obre oko nepokretne ose Oz. Brzina uoenog elementa mase dm je
zzrV= , gde je - rastojanje uoenog elementa od ose obrtanja, azr z - ugaona
brzina tela. Tada je
( ) 222222
1
2
1
2
1
2
1zzzzzzK JdmrdmrdmVE ====
VVV
.
Kinetika energija tela koje vri ravno kretanje
Koristei Kenigovu teoremu relKCK EmVE +=2
21 , i uoavajuu delimase tela, vai
=
=N
i
riK irelVmE
1
2
2
1. Kako je brzina uoenog delia iriV = , gde je i rastojanje
delia od centra masa, a ugaona brzina tela, dobija se
( ) ==
==N
i
ii
N
i
iiK mmE
rel
1
22
1
2
2
1
2
1 .
Graninim procesom kada N , sledi 22
1
CK JE
rel= , gde je sa oznaen
aksijalni moment inercije tela za pokretnu osu koja prolazi kroz centar masa i upravna
je na ravan kretanja tela. Tada je
CJ
7/22/2019 Meh Sistem - dinamika sistema
7/41
Mainski fakultet, Beograd - Mehanika 3 Predavanje 1 7
22
2
1
2
1
CCK JmVE += .
Kinetika energija tela koje se obre oko nepokretne take
Brzina uoenog delia tela, mase im , je ( )iii rrVr r rr r
== 0 , gde jer
- trenutna
ugaona brzina tela, ir
r
- vektor poloaja uoenog delia tela, u odnosu na nepokretnutaku, a 0
r- jedinini vektor trenutne ose obrtanja Op. Kinetika energija delia tela
je ( ) iiK mrE i =2
0
2
2
1 rr . Uvoenjem oznake ( ) 220 ipi dr =
rr , gde je -
rastojanje delia od trenutne ose obrtanja, uzimajui da
ipd
N , dobija se
222
1
22
1
22
1 2
1
2
1lim
2
1
2
1limlim
piii O
N
i
ipN
N
i
ipN
N
i
KN
K JdmdmdmdEE ===== =
=
=
V
gde je - promenljivi moment inercije tela u odnosu na trenutnu osu obrtanja Op.pO
J
Kinetika energija tela koje vri opte kretanjeOpte kretanje tela moe se razloiti na prenosno translatorno i relativno kretanje kojepredstavlja obrtanje oko trenutne ose obrtanja. Koristei Kenigovu teoremu, tj. da je
kinetika energijarelKCK
EmVE += 22
1, i uzimajui u obzir da je relativno kretanje
obrtanje oko nepokretne take, pri emu je u tom sluaju izraz za kinetiku energiju
2
2
1
pCK JE = , tada je kinetika energija tela koje vri opte kretanje
22
2
1
2
1
pCCK JmVE += .
Elementarni rad sileNeka se takaMkree pod dejstvom sile F
rpo putanji proizvoljnog oblika. Rad sile
Fr
na elementarnom pomeranju rdr
take ili elementarni
rad sile A jednak je skalarnom proizvodu sile Fr
i
elementarne (beskonano male) promene vektora poloajate take, tj.
rdFAr
, dtVFArr
= , IdVArr
= ,r
=
dsds
rdrd
r
dstrr
== dstFA,r r
= .
Iz prethodnih razmatranja vidi se da je
.,
,
,
A
oo
o
o
180900
900
9000
Ako se Fr
i drr
izraze u odnosu na Dekartov pravougli koordinatni sistem Oxyz
kZjYiXFrrrr
++= , kdzjdyidxrdrrrr
++= , tada je elementarni rad sile
ZdzYdyXdxA ++= .
Rad sile
Ukupni rad sile, ili samo rad sile, koja deluje na taku, predstavlja rad sile pri
konanom pomeranju take po putanji. U cilju odreivanja rada sile posmatra se
kretanje take M pod dejstvom sile Fr , po putanji proizvoljnog oblika. Ako se deo
7/22/2019 Meh Sistem - dinamika sistema
8/41
Mainski fakultet, Beograd - Mehanika 3 Predavanje 1 8
putanje take izme nd vau dva njena proizvoljna poloaja 1M i 2M izdeli se na elo ,
dobija se poligonalna linija. Analogno definiciji elementarnog
rada sile moe se uvesti mera dejstva sile iFr
, pri malom
nanom pomeranju take iz poloaja iM u poloaj 1+iM oja
je odre sa ii rF
ko
ena
, krr
, ,i( 21 )n,...,= , gde je iFr
- s
de ir
ila koja
luje na takuMkada se ona nae u poloaju iM i gde jer
prirataj vektora poloaja
-
rr
take izme njenih poloaja iM i 1+iM . Uk na a
dejstva sile
u up mer
Fr
, pri pomeranju takeMiz poloaja 1M u poloaj M du poligon e
linije, je n
ii rF rr
. G prelazom, tj.
2 , aln
1
aninim=i
r n
, koja predstavlja rad sile
dolazi se do
=
=
n
i
iin
MM rFlimA
121
rrFr
, na njenoj putanji izmeu taaka
i . Ova granina vrednost naziva se krivolinijski integral. Dakle, rad sile1M 2M F
r
obeleava se saAili i odreen je sa .21MM
A ==2M
M
AA
M
M
ZdzYdyXdxA &&&
21MM rdF
rr
1
Ako je za izraunavanje rada sile izabran Dekartov koordinatni sistem Oxyz, tada je
( ) ++=2
, .( )dtz1 1
U optem sluaju reenje prethodnih krivolinijskih integrala zavisi i od oblika putanje
i od duine luka po kome se kree taka. Samo u posebnom sluaju rad sile ne zavisini od oblika putanje take, niti od njenog preenog puta, ve samo od koordinata
poetnog i krajnjeg poloaja take. Da bi to bilo ispunjeno, linearni diferencijalniizraz mora da bude totalni diferencijal neke skalarne funkcije
poloaja take , to znai da se X, Y i Z mogu predstaviti kao parcijalni
izvodi te funkcije. Sile koje ispunjavaju te uslove zovu se konzervativne i rad takvihsila zavisi samo od poetnog i krajnjeg poloaja take na putanji. Svaka sila koja je
funkcija poloaja ne mora da ispunjava te zahteve koji se nazivaju uslovi
konzervativnosti.
ZyYxXA
t
t
++=2
ZdzYdyXdx ++
)z,y,x(f
Snaga sile
Snaga sile je veliina koja karakterie promenu po vremenu rada sile. U cilju
definisanja snage sile posmatra se taka na koju deluje sila F
r
, koja izvri rad A
zakonaan interval vremena , pri pomeranju take iz poloaja , u kome se
nalazila u trenutku t u poloaj koji odgovara trenutku t . Srednja snaga te sile,
za posmatrani interval vremena, odreena je sa
t 1M
1 2M 2
t
APsr
= . Snaga sile F
r, u trenutku t,
predstavlja graninu vrednost srednje snage sile kada posmatrani interval vremena
tei nuli, tj.dt
A
t
AlimP
t
=
=
0. Dakle, snaga sile u datom trenutku jednaka je odnosu
elementarnog rada sile i intervala vremena u kome je taj rad izvren i predstavljabrzinu vrenja rada u tom trenutku.
7/22/2019 Meh Sistem - dinamika sistema
9/41
Mainski fakultet, Beograd - Mehanika 3 Predavanje 2 1
Rad rezultante sistema sila
Neka na takuM, mase m, deluje sistem sila )F,...,F,F( nrrr
21 . Rezultanta ovog sistema
sila je . Rad rezultante takvog sistema sila izmeu
poloaja take i , je ,
=
=+++=n
i
in FF...FFF1
21
rrrrr
1M 2M ( ) +++==2
1
2
1
21 21
M
M
n
M
M
MM rdF...FFrdFA rrrrrr
+++=2
1
2
1
2
1
21 21
M
M
n
M
M
M
M
MM rdF...rdFrdFA rrrrrr
, .=
=+++=n
i
inMM AA...AAA
1
2121
Rad sile tee
Neka se posmatra kretanje takeM, mase mu polju tee, u odnosu
na Dekartov koordinatni sistem Oxyzkod koga je osa Ozusmerena
vertikalno navie. Projekcije teine take ( gmG rr
=
= YX
) date su sa
,0= mgZ = , pa je
( ) mghgmA MM =r21 .
U sluaju materijalnog sistema, za i tu taku vai iii gdzmA = , a za ceo sistem je
, odakle jeC
n
i
ii
n
i
ii mgdzdzmggdzmA === == 11
==2
1
21)(
C
C
z
z
CC zzmgmgdzA
Rad centralne sile
Posmatra se kretanje take M na koju deluje centralna sila Fr
,
koja je funkcija samo rastojanja iiji je centar u ta
ki O. Tada je
( ) rdr
rrFFA
r
r
rMM
rr
r
=2
1
21)( . Ako se uzme u obzir da je
2rrr =
rr,
odakle diferenciranjem sledi r rdr rd = rr
, dobija se
( )FA MM 21r
dr)r(F
r
r
r=2
1
.
Rad linearne sile elastinosti
Linearna sila elastinosti (linearna sila uspostavljanja) Fcr
, je sila
koja ima smer ka centru sile O i koja deluje shodno Hukovom
zakonu, tj. lcF , gde je c koeficijent krutosti, a
deformacija. Pod deformacijom
c =l
l podrazumeva se veliina
. Sada je0rrl =
( ) ( ) ==2
1
2
1
21 0
r
r
r
r
ccMM drrrcrdFFA rrr
,
( ) ( ) ( )2022012
1
2
121
rrcrrcFA cMM =r
, ( ) )(2
1 22
2
121llcFA cMM =
r.
7/22/2019 Meh Sistem - dinamika sistema
10/41
Mainski fakultet, Beograd - Mehanika 3 Predavanje 2 2
Rad sile trenja klizanjaPosmatra se kretanje take M po realnoj, stacionarnoj, holonomnoj, zadravajuoj
vezi koju ini povr nekog tela. Reakcija veze Rr
, ima dve
komponente: Nr
u pravcu normale i FTr
u pravcu tangente na
putanju take. Ako otpor kretanju ta
ke M po povri poti
e od
suvog trenja, sila trenja klizanjar
jeTF
tsNV
VNFT
r&
rr
sgn == . Rad sile trenja klizanja pri
prelasku takeMiz poloaja u poloaj , je
T
rF
1M 2M
( ) ===2
1
2
1
2
1
21sgn
M
M
M
M
M
M
TTMM dsNdssNrdFFA &
rrr.
Rad unutranjih sila izmenljivog i neizmenljivog materijalnog
sistemaNeka su uoene bilo koje dve take materijalnog sistema. Njihovi
vektori poloaja su r1r
i r2r
, a sile kojima meusobno deluju su
. Zbir elementarnih radova ovih sila jeuu FF 2112rr
=
121221122112221112 )()( MMdFrrdFrdrdFrdFrdFA uuuuuu ===+= rrrrrrrrrrr
,
( ) ( )( )udMMuMMdFuMMdFMMdFA uuuuirrrrrr
12121212121212 +=== .
Kako je: u ,2uu =rr
02 = udu rr
, 012 = udMM r
, 012 = udFu r
r, tada sledi
- ako je materijalni sistem izmenljiv, tada je ( ) 012 MMd , ( ) 01212 uMMdFu rr ,01212
= udMMF
u rr
i , tj. rad unutranjih sila izmenljivog materijalnogsistema nije jednak nuli.
0u
iA
- ako je materijalni sistem neizmenljiv, tada je ( ) 012 =MMd i F 012 = udrur , pa je, tj. rad unutranjih sila neizmenljivog materijalnog sistema jednak je
nuli. Zakljuci izvedeni za posmatrani par unutranjih sila proiruju se na radsvih unutranjih sila. Kruto telo moemo smatrati neizmenljivim materijalnim
sistemom pa je u tom sluaju rad unutranjih sila jednak nuli.
0=uiA
Rad spoljanjih sila koje deluju na kruto telo
Rad spoljanjih sila koje deluju na kruto telo koje se kree translatorno
Na telo, koje se kree translatorno, deluje sistem spoljanjih silas
iF
r
(i=1,2,...,N).Trajektorije taaka tela koje se kree translatorno istovetne, a pomeranja svih taaka
tela meusobno su jednaka, tj. rdrd irr
= . Elementarni rad spoljanje sile je tada
rdFA siirr
= , a elementarni rad svih sila koje deluju na telo je
rdFrdFAA sR
N
i
s
i
N
i
i
rrrr===
== 11
.
Ukupni rad svih sila, pri prelasku tela iz poloajaI, u poloajII, je
===
II
I
s
R
N
i
II
I
s
i rdFrdFA rrrr
1
.
7/22/2019 Meh Sistem - dinamika sistema
11/41
Mainski fakultet, Beograd - Mehanika 3 Predavanje 2 3
Rad spoljanjih sila koje deluju na kruto telo koje se obre oko nepokretne ose
Neka se telo obre oko nepokretne ose Oz, ugaonom brzinom dtdkkz /rrr
== .
Ako u nekoj taki tela, iji je vektor poloaja rr
, deluje spoljanja sila Fr
, tada je njen
elementarni rad
( ) ( ) dMdtkMdtFrdtrFdtVFrdFAOzzO
======
rrrrrrrrrrrr
,
pa je ukupni rad .=2
1
dMAOz
Rad spoljanjih sila koje deluju na kruto telo koje vri ravno kretanje
Neka je telo koje vri ravno kretanje izloeno dejstvu sistema spoljanjih sila siFr
(i=1,2,...,N). Ako se izvri paralelno prenoenje svih sila u pol translacije (centar
mase), dobija se glavni vektor sRFr
i glavni moment spoljanjih sila. Elementarni
rad sada je odreen sa
s
CM
dMrdFA
s
CC
s
R += rr
, dok je rad na konanom pomeranju
+=2
1
2
1
dMrdFA sC
C
C
C
s
Rrr .
Rad spoljanjih sila koje deluju na kruto telo koje se obre oko nepokretne takeU sluaju kada se telo obre oko nepokretne take O, i ako na njega deluje sistem
spoljanjih sila, njihovim paralelnim prenoenjem u nepokretnu taku O dobija se
glavni vektor sRFr
i glavni moment sOMr
. Kako je taka O nepokretna, tada rad vri
samo glavni moment. Imajui u vidu da se sferno kretanje moe predstaviti obrtanjem
oko trenutne ose obrtanja Op, elementarni rad svih spoljanjih sila je
sOpMA = ,
gde je - elementarni ugao obrtanja tela oko trenutne ose obrtanja. Treba imati uvidu da takav ugao ne postoji i da d jer trenutna ugaona brzina nije izvodnekog ugla po vremenu, veje funkcija tri Ojlerova ugla.
Rad spoljanjih sila koje deluju na kruto telo koje vri opte kretanjeKada telo vri opte kretanje, moe se smatrati da se ono obre oko pokretne take C,pa u ovom sluaju, za razliku od prethodnog, rad vri i glavni vektor sistema
spoljanjih sila. Tada je elementarni rad odreen sa
sCCs
R pMrdFA +=
rr,
gde je - glavni moment spoljanjih sila u odnosu na trenutnu osu obrtanja koja
prolazi kroz pokretni pol (centar masa) C.
s
CpM
Polje sile. Potencijalna energija
Polje sile. Funkcija sile. Konzervativna sila
Polje neke fizike veliine je ogranien ili neogranien deo prostora ijoj svakoj takiodgovara odreena vrednost te fizike veliine. Zavisno od prirode fizike veliine
postoje skalarna (npr. temperaturno, ) ili vektorska polja (polje sile, brzine, ).
Polje sile je ogranien ili neogranien deo prostora u ijoj svakoj taki se oseadejstvo sile, koja zavisi od poloaja take i vremena. Bie razmatrana samo
stacionarna polja sila, tj. )z,y,x(fFrr
= . U sluaju Dekartovog koordinatnog sistema
Oxyz, slede odgovarajua skalarna polja ),,(1 zyxfX= . Ako postoji takva skalarna funkcija
),,(2 zyxfY=),,(3 zyxfZ= ( )z,y,xU , iji su parcijalni izvodi
7/22/2019 Meh Sistem - dinamika sistema
12/41
Mainski fakultet, Beograd - Mehanika 3 Predavanje 2 4
po koordinatama jednaki projekcijama sile na odgovarajue ose Dekartovog
koordinatnog sistema, tj. Xx
U=
, Y
y
U=
, Z
z
U=
, onda se takva funkcija U
naziva funkcija sile, a polje okarakterisano takvom funkcijom naziva se potencijalno
ili konzervativno polje sile. Takva sila Ugradkz
Ujy
Uix
UF =
+
+
=
rrrr
, naziva se
konzervativna sila. Funkcija sile ( )z,y,xU odreena je do na proizvoljnu konstantu
jer je )CU(gradUgradF 1+==r
, gde je proizvoljna konstanta. Elementarni rad
konzervativne sile
1C
Fr
ima oblik
dUZdzYdyXdxrdFA =++== rr
, dUA= .
Uslovi konzervativnosti sile
Konzervativna sila moe se napisati i na sledei nain UUgradF ==r
, gde se
gradijent funkcije smatra kao primena operatora
(Hamiltonov operator) na skalarnufunkciju U, tj. k
zj
yi
x
rrr
+
+
= . Sada je ( ) 0=== UUF
r,
0=
==
ZYX
zyx
kji
FrotF
rrr
rr, 0,0,0 =
=
=
y
X
x
Y
x
Z
z
X
z
Y
y
Z.
Ovi uslovi nazivaju se uslovi konzervativnosti sile.
Potencijalna energija
Za konzervativne sisteme, tj. sisteme u kojima deluju konzervativne sile, pojampotencijalne energije uvodi se na sledei nain: ( ) ( z,y,xUz,y,xEp )= , gde je
funkcija sile. Tada je( z,y,xU ) pEgradUgradF ==r
,x
EX
p
= ,
y
EY
p
= ,
z
EZ
p
= . Elementarni rad tako date konzervativne sile ima oblik
pdEZdzYdyXdxrdFA =++== rr
, pdEA = ,
a rad konzervativnog polja sila, pri prelazu take iz poloajaM1u poloajM2, je
( ) ( 211
2
2
1
21 MEMEdEdEA pp
M
M
p
M
M
pMM === ).
Rad konzervativnih sila nezavisan je od oblika putanje pokretne take kao i od njenog
preenog puta i zavisi samo od potencijalne energije u poetnom i krajnjem poloaju
take, pa je rad konzervativne sile po zatvorenoj putanji take jednak nuli.
Polazei od relacije , sledidUdEp = 1CUEp += , gde je C1 konstanta koja se
moe izabrati proizvoljno. Ova injenica koristi se tako to se poloaj take
u kojem e, uslovno, potencijalna energija biti jednaka nuli, tj.
, moe izabrati za taku nultog potencijala ili nulti nivo potencijalne
energije.
( 0000 z,y,xM )( ) 0000 =z,y,xEp
7/22/2019 Meh Sistem - dinamika sistema
13/41
Mainski fakultet, Beograd - Mehanika 3 Predavanje 2 5
Ekvipotencijalne povri
Jednaina , predstavlja geometrijsko mesto taaka u kojima je ista
vrednost potencijalne energije. Ta jednaina predstavlja jednainu povri koja senaziva ekvipotencijalna povr. Za sve vrednosti parametra C dobija se familija
ekvipotencijalnih povri. U sluaju kada je
( ) Cz,y,xEp =
0C= , dobija se nulta ekvipotencijalnapovr.
Postavlja se pitanje pravca i smera konzervativne sile Fr
. Neka se taka pod dejstvom
konzervativne sile Frpomera po ekvipotencijalnoj povri saglasno jednainama koje u
odnosu na Dekartov koordinatni sistem Oxyzglase )(txx= )(tyy= )(tzz= . Tada iz
sledi ,[ ] C)t(z),t(y),t(xEp = 0=
+
+
= z
z
Ey
y
Ex
x
EE
ppp
p &&&& , ,0=++ zZyYxX &&&
0=VFrr
, odakle sledi zakljuak: sila konzervativnog polja ima pravac normale na
ekvipotencijalnu povr u datoj taki. Za odreivanje smera konzervativne sile moe se
pretpostaviti da se taka pomera u pravcu i smeru sile konzervativnog polja.
Elementarni rad konzervativne sile Fr
na tom pomeranju, dat je sa 0>= rdFA rr
.
Kako je pdEA = sledi da je 0
7/22/2019 Meh Sistem - dinamika sistema
14/41
Mainski fakultet, Beograd - Mehanika 3 Predavanje 2 6
Integracijom prethodne jednaine, pri konanom pomeranju sistema iz poloaja 1 u
poloaj 2, dobija se teorema o promeni kinetike energije materijalnog sistema ukonanom obliku
+=)2(
)1(
)2(
)1(
12 )()( us
KK AAtEtE ,
a ako se integrali na desnoj strani mogu izraunati, tada je usKK AAtEtE += )()( 12U sluaju neizmenljivog materijalnog sistema, rad unutranjih sila jednak je nuli, pa je
tada . Diferenciranjem po vremenu izraza koji predstavlja
teoremu o promeni kinetike energije materijalnog sistema u diferencijalnom obliku
dobija se , tj. izvod po vremenu kinetike energije sistema jednak je
zbiru snaga svih spoljanjih i unutranjih sila koje deluju na materijalni sistem.
s
KK AtEtE = )()( 12
us
K PPE +=&
Zakon o odranju mehanike energije materijalnog sistema
Neka se materijalni sistem od n taaka kree pod dejstvom konzervativnih sila. To
znai da postoji funkcija koordinata taaka sistema( )
nnnPP zyxzyxEE ,,,...,,, 111=
koja se zove potencijalna energija sistema, takva da jei
P
ix
EX
= ,
i
P
iy
EY
= i
i
P
iz
EZ
= . Kako je pdEA = , sledi da je ( ) ( )21 tEtEA PP = , pa se iz teoreme o
promeni kinetike energije materijalnog sistema u konanom obliku dobija da je
( ) ( )2112 )()( tEtEtEtE PPKK = , ( ) ( ) .)()( 1122 consttEtEtEtE PKPK =+=+ ,tj. , to predstavlja zakon o odranju mehanike energije
materijalnog sistema.
.constEE PK =+
Ako na taku deluju konzervativne sile i sila otpora proporcionalna brzini take
VbFVrr
= , tada se iz diferencijalnog oblika teoreme o promeni kinetike energije
take dobija
rdVbdErdFdEdE PVPKrrrr
=+= .
Kako je dtbVdtVVbrdVb2==
rrrr, , tj.dtbVdEdE PK
2=
( ) dtEEd PK =+ 2 ,
gde je2
2bV
= , funkcija rasipanja (disipacije) ili Relejeva funkcija. Izraz na desnoj
strani prethodne jednaine je negativna veliina odakle sledi da, u sluaju delovanjaotporne sile, mehanika energija take opada. Mehanika energija, u ovom sluaju ne
nestaje, ona samo prelazi u drugi oblik energije.
7/22/2019 Meh Sistem - dinamika sistema
15/41
Mainski fakultet, Beograd - Mehanika 3 Predavanje 5 1
Kretanje take pod dejstvom centralne sileZakon povrine
Neka se posmatra kretanje takeM, mase m, na koju deluje samo centralna sila Fr
, pri
emu je centar sile u nepokretnoj taki O. Moment sile Fr
u odnosu na taku Oje za sve vreme kretanja take jednak
nuli, tj. ( ) 00 =FMrr
, tako da vai zakon o odranju
momenta koliine kretanja take. Odatle sledi
( ) .constVrmLO == rrr
, 00 VmrVmrLOrrrrr
== .
Razlikuju se dva sluaja: 0. =constLOr
i 0=OLr
. Ako je
0. =constLOr
vektor LOr
je upravan na vektore rr
i Vmr
,
pa sledi da je trajektorija take kriva koja pripada ravni koja prolazi kroz centar sile
O, a upravna je na vektor OLr
. Ta ravan naziva se Laplasova ravan. Ako je 0=OLr
taka se kree pravolinijski. Sektorska brzina take moe se izraziti u obliku
( )Vrdt
AdS
rr
r
,r
==2
1.constS=
r2 , to znai da je u sluaju kretanja take pod dejstvom
centralne sile sektorska brzina take konstantan vektor, pa je Cdt
dA= , ,
gde je - integraciona konstanta. Dakle, pri kretanju take na koju deluje centralna
sila, povrina koju opisuje njen vektor poloaja menja se proporcionalno vremenu. Na
osnovu prethodnog sledi da je
1CCtA +=
1C
SmLOrr
2= , a ako se taka na koju deluje centralna sila
kree u ravni, na primer Oxy, a vektor OLr
je stalno upravan na tu ravan, sledi
, odnosnozzOz CmSL = 2 m
C
S z
z 2= . Kinetiki moment ta
ke, izraen u prethodnom
obliku naziva se integral povrine. U polarno-cilindarskom koordinatnom sistemu je
0
002
100
&&
rr r
r
rr
r
kpr
S= , kSkrS zrr
&r
== 22
1, .&2mrLOz =
Diferencijalne jednaine kretanja take pod dejstvom centralne sile
00rVr cos0V=& , sin0V000 rpV= = =&
r
mma = (&p
mma
Iz osnovne jednaine dinamike take dobija se
r
Frr = )2&& ,p
Frr =+= )2( &&&& .
Kako je )r(dt
d
rrra , diferencijalne jednaine
kretanja take su m ,
p &&&&&21
2 =+=
= )( 2&&& rFrr 0)(1 2 =&r
dt
d
r.
Iz druge, od prethodnih jednaina, sledi njen prvi integral koji se moe izraziti preko
projekcije zS sektorske brzine Sr
na osu Oz, tj. .constCSr z ==== 22& . Na taj
sinVr 000 = .
2
nain je Vrrr p002
0
2 == &&
Tada vai da je sinVrrrC , a diferencijalne jednaine su0002
0
2
2
1
2
1
2
1=== &&
)()(2
rFrrm r= &&& .C22
constr ==&
7/22/2019 Meh Sistem - dinamika sistema
16/41
Mainski fakultet, Beograd - Mehanika 3 Predavanje 5 2
Bineova jednaina
Pretpostavlja se da je 000 Vmrrr
, tj. da je 0C . Izvodi po vremenu potega take
su
===
rd
dC
r
C
d
dr
d
drr
12
22
&& ,
=
==
rd
d
r
C
rd
dC
d
d
r
C
d
rdr
1412
22
2
2
2
2
&&
&& ,
pa je
2
2
2
2
4
11
mC
)r(Fr
rrd
d r=+
,
to predstavlja Bineovu jednainu, tj. diferencijalnu jednainu kretanja take poddejstvom centralne sile.
Kretanje take pod dejstvom Njutnove sile opte gravitacije
Neka se posmatra kretanje take mase m, koju privlai telo mase M sa centromprivlaenja u taki O, silom koja se definie pomou Njutnove sile opte gravitacije
rr
rmMfF
rr
2= , gde jef univerzalna gravitaciona konstanta, a r rastojanje take od
centra tela centra privlaenja. Projekcija sile Fr
na pravac koji prolazi kroz centar
tela i taku, a koji je odreen jedininim vektorom 0rr
( 0rrr rr
= ), data je sa
2r
mMf)r(Fr = . Diferencijalna jednaina kretanja posmatrane take je
22
2
4
11
C
Mf
rrd
d=+
,
pC
Mf 1
4 2 = ,
prrd
d 1112
2
=+
,
a reenjeph rrr
+
=
111, sinCcosC
r h21
1+=
,
pr p
11=
,
psinCcosC
r
1121 ++= ,
cosCsinC
V
V
r
r
rd
dr
rrd
d
p
r
2122
1111+====
&
&.
,sin,0
,cos,
000
000
0
0
VrV
VrVOM
p
r
==
==
&
&,0
0
00
rt
=
==
0
1
0
1
1
prC = ,
0
2r
ctgC
= ,
p
sin
r
ctgcos
11
00
+
prr
11
0
= ,
Uvoenjem novih konstanti cosA=11
0 pr ,
sinA
0r
ctg= ,
reenje jep
)cos(Ar
11+= ,
22
0
2
0
2
0
2
pr
)rp(
r
ctgA
+=
,
pr
ctgptg
=
0
, a ako je
p
eA = i = , reenje je
cose
pr
+=
1i predstavlja liniju putanje posmatrane
take. Poteg r dostie ekstremnu vrednost za 0= pri 1e , odnosno za =
pri .U prvom sluaju imenilac u prethodnoj relaciji ima minimalnu vrednost, tj.1e
eprr min+
===1
0 , a u drugom sluaju poteg dostie maksimalnu vrednost, tj.
7/22/2019 Meh Sistem - dinamika sistema
17/41
Mainski fakultet, Beograd - Mehanika 3 Predavanje 5 3
e
prr max
===
1 . Zapaa se da su potezima i odreene dve take na pravcuminr maxr
0= . Ako se taj pravac usvoji za osu Ox Dekartovog pravouglog koordinatnog
sistema Oxy, linija putanje take moe se izraziti i na sledei nain
, tj. predstavlja jednainu konusnog preseka
u Dekartovim koordinatama. Pri tome je: taka O- fokus (ia)
konusnog preseka; r- fokusni poteg; Ox- fokusna osa simetrijekoja prolazi kroz najbliu taku Pkonusnog preseka (perihel) i
najudaljeniju taku konusnog preseka (afel), a usmerena je
prema perihelu;
(
222
expyx =+
)
- ugao izmeu fokusne ose simetrije i potega;
p - parametar duina potega normalnog na fokusnoj osi
simetrije i e- ekscentricitet konusnog preseka. U sluaju kada je
sledi , to predstavlja jednainu parabole.
Kada je izraz
1=e pxpy 222 =
1>e cose+1 moe biti jednak nuli to znai da poteg moe da bude
i beskonano veliki. Ovakvo svojstvo ima hiperbola. Kada je 1
7/22/2019 Meh Sistem - dinamika sistema
18/41
Mainski fakultet, Beograd - Mehanika 3 Predavanje 5 4
2.) Vektori poloaja planeta u odnosu na Sunce opisuju za jednaka vremena,jednake povrine.
3.) Kvadrati vremena obilaenja planeta oko Sunca, odnose se kao kubovi veihpoluosa njihovih putanja.
Zapaa se da je razmatrano kretanje pod dejstvom Njutnove sile opte gravitacije, u
saglasnosti sa I Keplerovim zakonom. Takoe se zapaa da je u dosadanjimrazmatranjima prouen i II Keplerov zakon koji ukazuje na injenicu da je sektorska
brzina planeta, pri kretanju planeta oko Sunca, konstantna.
Pri jednom punom obilasku planete oko Sunca vektor poloajaplanete opie povrinu elipse koja je odreena sa
CTabA == gde je a velika poluosa elipse, b malapoluosa elipse, C sektorska brzina planete i T vreme
obilaska planete oko Sunca. Kako je )rr(a maxmin+=2
1,
2
1 e
pa
= , a rastojanje izmeu ia (fokusa) celipse dato sa
sledi . Mala poluosa elipse b moe se povezati sa veliinom p
polazei od relacije
minrac = aec=
22cab , pa je= apb . Sada je vreme obilaska planete oko
Sunca
=
2
232
C
paT
= , 3
22 4
afM
T = . Ako su Ti T vremena obilaenja dveju planeta
oko Sunca, a i a vee poluose njihovih putanja, sledi
1 2
1a 2 31
3
2
2
1
2
2
a
a
T
T= .
Trajektorije vetakih Zemljinih satelita
Neka su poetni uslovi kretanja satelita dati sa: minre
p
r =+= 10
ili maxre
pr =
=
10 i ( ) o90=V,r 00
rr, odnosno da se
ekscentricitet e moe izraziti u obliku 12
00 =ZfM
Vre ,gde je sa
oznaena masa Zemlje. Kada se satelit nalazi na povri
Zemlje, tada se Njutnova sila opte gravitacije svodi na
ZM
2R
mMfmg)r(F Zr ==
r, gde
jeRpoluprenik Zemlje i uzima se da je kmR 3706 , pa je , tako da je
intenzitet poetne brzine satelita
2gRfMZ =
0
2
0
1
r
)e(gRV .+=
a) Trajektorija satelita bie krunica ako je 0=e i tada je0
2
0r
gRV .=
b) Trajektorija satelita bie elipsa ako je 0 1
7/22/2019 Meh Sistem - dinamika sistema
19/41
Mainski fakultet, Beograd - Mehanika 3 Predavanje 5 5
Ako je0
2
0
0
2 2
r
gRV
r
gR .
Za uslove poletanja satelita u blizini Zemlje, kada je Rr =0 , dobija se prva kosmika
brzina, tj. neophodan intenzitet poetne brzine satelita da bi on kruio oko Zemlje
s
km,gRVV 9701 == . Druga kosmika brzina, tj. neophodan intenzitet poetne
brzine satelita da bi on napustio orbitu oko Zemlje jes
km,gRVV 211202 == .
Samo trajektorije oblika krunice i elipse, koje se postiu poetnim brzinama
odreenim sas
km,V
s
km, 21197 0
7/22/2019 Meh Sistem - dinamika sistema
20/41
Mainski fakultet, Beograd - Mehanika 3 Predavanje 5 6
dt
dr oznaen lokalni (relativni) izvod po vremenu, i gde su
rr, i
r- jedinini vektori
pokretnog koordinatnog sistema A . Sada je RFamamam acorrprrrrr
+=++ ,
odnosno corpa
r amamRFam rrrrr
+= . Ako se uvedu oznake inpp Famrr
= ,
in
corcor Famrr = , prethodna jednaina dobija oblik
in
cor
in
p
a
r FFRFamrrrrr
+++= .
Vektori inpFr
i incorFr
imaju dimenziju sile, a njihov smer je suprotan od smera vektora
ubrzanja par
i corar
, respektivno. Vektor inpFr
naziva se prenosna inercijalna sila, a
vektor incorFr
- Koriolisova inercijalna sila.
Prethodna jednaina odreuje kretanje take u odnosu na neinercijalni koordinatni
sistem A i ona se naziva osnovna jednaina dinamike relativnog kretanja take.
U optem sluaju, prenosna inercijalna sila ima tri komponente: Ain
pA amF rr= -
prenosna translatorna, )(mFinp rrr
=1 - prenosna obrtna i
))((mF ppin
p rrrr
=2 - prenosna aksipetalna.
Ako je za neinercijalni (pokretni) koordinatni sistem A izabran Dekartov
pravougli koordinatni sistem, tada jein
cor
in
p FFRFm
+++=&& , , .in
cor
in
p FFRFm
+++=&& in
cor
in
p FFRFm
+++=&&
Ako je za neinercijalni (pokretni) koordinatni sistem izabran prirodni trijedar, u taki
relativne putanje, tada se dobijaju sledee skalarne diferencijalne jednaine relativnog
kretanja take
inptt
at
r FRFdt
dVm ++= ,in
ncorin
pnna
n
k
r FFRFRVm +++=
2
, .in bcorinpbbab FFRF +++=0
Relativna ravnotea take
Pod relativnom ravnoteom (mirovanjem) take podrazumeva se njeno mirovanje u
odnosu na neinercijalni koordinatni sistem. Tada je 0=rVr
, 0=rar
i
02 == rpin
cor VFrrr
, pa je
in
p
aFRFrrr
++=0 .
Ova jednaina predstavlja jednainu relativne ravnotee take.
Teorema o promeni kinetike energije pri relativnom kretanju ta
keDiferencijalna jednaina relativnog kretanja take je
)V(mFRFam rpin
p
a
r
rrrrrr++= 2 .
Mnoei skalarno, relativnom brzinom take r
&r
&r
&
rr
++==dt
dV rr , levu i desnu
stranu prethodne jednaine, sledi
rrpr
in
prr
arrr V)V(mVFVRVF
dt
VdVm
rrrrrrrrrr
r++= 2 . (7.47)
Kako je 0= rr V)V(rrr
, tj. rrrrrrrr
r
in
prr
a
rrr dFdRdFVdVm ++= . Leva strana
ove jednaine moe se transformisati na slede
i na
in
7/22/2019 Meh Sistem - dinamika sistema
21/41
Mainski fakultet, Beograd - Mehanika 3 Predavanje 5 7
krrrrrr dEmVdVdVm =
= 2
2
1rr, to znai da predstavlja diferencijal kinetike
energije take pri njenom relativnom kretanju. Sabirci na desnoj strani jednaine
predstavljaju elementarne radove odgovarajuih sila na relativnoj putanji take. Toznai da se ta jednaina moe pisati u obliku
( ) ( ) ( )inprrarkr FARAFAdE rrr ++= ,to predstavlja diferencijalni oblik teoreme o promeni kinetike energije take pri
njenom relativnom kretanju i moe se formulisati na sledei nain: diferencijalkinetike energije take, pri njenom relativnom kretanju, jednak je zbiru elementarnih
radova na relativnom pomeranju rezultante svih aktivnih sila, reakcije veze i prenosneinercijalne sile.
Integracijom, u odgovarajuim granicama relativne brzine take, od do i u
granicama od poloaja do poloaja relativne putanje, tj.
1rV
2rV
1M 2M
( ) ( ) ( ++=
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1 M
M
in
pr
M
M
r
M
M
a
r
V
V
rr FARAFAmVd
r
r
rrr
),dobija se
( ) ( ) ( inp)MM(r)MM(ra)MM(rrr FARAFAmVmV )rrr
21212112
22
2
1
2
1++= , (7.52)
to predstavlja teoremu o promeni kinetike energije take u konanom obliku, pri
njenom relativnom kretanju, a koja se moe formulisati na sledei nain: konanapromena kinetike energije take, pri njenom relativnom kretanju, na nekom
konanom relativnom pomeranju take, jednaka je zbiru radova svih aktivnih sila,
reakcija veza i prenosne inercijalne sile na tom istom relativnom pomeranju take.
7/22/2019 Meh Sistem - dinamika sistema
22/41
Mainski fakultet, Beograd - Mehanika 3 Predavanje 6 1
Pravolinijske oscilacije takeOsnovne postavke
Kretanje take du prave linije, kod koga se rastojanje posmatrane take, od neke
nepokretne take, vie puta naizmenino poveava i smanjuje, naziva se pravolinijsko
oscilatorno kretanje. Ovakvo kretanje take, du neke prave linije, nastaje kada na
taku koja je izvedena iz poloaja u kome bi mirovala pod dejstvom sila (poloajstatike ravnotee), deluje sila koja nastoji da vrati taku u poloaj ravnotee. Takve
sile zavise od udaljenja take od poloaja ravnotee. Ove sile nazivaju se sile
uspostavljanja ili restitucione sile. Najrasprostranjeniji sluaj pravolinijskog
oscilatornog kretanja je onaj kod koga je sila uspostavljanja proporcionalna prvom
stepenu udaljenja take od poloaja ravnotee. Takve sile se nazivaju linearne sile
elastinosti ili linearne sile uspostavljanja i one deluju saglasno Hukovom zakonu.
- , gde se koeficijent proporcionalnosti c naziva
koeficijent krutosti i gde jex izduenje opruge. Znak minus
obezbeuje da linearna sila elastinosti bude uvek usmerena ka
poloaju ravnotee. Deformacija opruge u poloaju statikeravnotee naziva se statika deformacija opruge.
cxFc =
Zavisno od vrste oscilatornog kretanja, osim linearne sile elastinosti cFr
, koja je
funkcija samo poloaja, moe se uzeti da na taku deluju i sile koje su funkcije samo
brzine Vr
take ili samo vremena t. Od svih sila koje su funkcija samo brzine take,
ovde e biti razmatrane samo sile otpora WFr
, koje mogu biti posledica postojanja:
viskoznog trenja reje o silama koje nastaju pri kretanju take ili tela u fluidu i ove
sile otpora e biti oznaene sa TVFr
; suvog trenja reje o silama koje nastaju izmeu
posmatrane take i podloge i ove sile otpora e biti oznaene sa TFr
. Treu vrstu sila,
koje se u razmatranjima pravolinijskih oscilacija take uzimaju u obzir, predstavljajusile koje zavise od vremena. Ove sile e biti oznaene sa F
r i nazivaju se prinudne
(poremeajne sile).
U zavisnosti od toga koje sile deluju na taku, razlikuju se sledei sluajevi
pravolinijskih oscilacija take:
- slobodne (sopstvene) nepriguene oscilacije take,
- slobodne (sopstvene) priguene oscilacije take i one mogu biti slobodne
(sopstvene) priguene oscilacije take pri dejstvu viskoznog trenja i slobodne
(sopstvene) priguene oscilacije take pri dejstvu suvog trenja,
- prinudne nepriguene oscilacije take,
- prinudne priguene oscilacije take.
Slobodne nepriguene oscilacije take
NGFam crrrr
++= , cxxm =&& , ,02 =+ xx &&m
c=
)tsin(C)tcos(Cx 2+1= .
Neka je pretpostavljeno da je u poetnom
trenutku 00 =t taka zapoela kretanje iz
poloaja 00 x)t(x = , poetnom brzinom
ixi)t(xVr
&r
&r
000
== . Tada je ,01
xC =
0
2
xC ,
&= )tsin(
x)tcos(xx
0
0
&+= .
7/22/2019 Meh Sistem - dinamika sistema
23/41
Mainski fakultet, Beograd - Mehanika 3 Predavanje 6 2
Za sinRC =1 i cosRC =2 je )tsin(Rx += , gde je2
02
0
2
2
2
1
+=+=
xxCCR
& .
Ugao += t je faza slobodnih nepriguenih oscilacija, a ugao ==0t je
poetna faza slobodnih nepriguenih oscilacija ),( ,0
0
2
1
x
x
C
Ctg
&
== . Sledi
da su amplituda i poetna faza oscilovanja take konstantne veliine koje se odreuju
iz njenih poetnih uslova kretanja. Oscilatorna kretanja take kod kojih se koordinata
take menja po sinusnom ili kosinusnom zakonu nazivaju se harmonijska.
Vreme koje protekne izmeu dva uzastopna prolaza takeMkroz isti poloaj, u istom
smeru, to predstavlja vreme jedne oscilacije, naziva se period T slobodnih
nepriguenih oscilacija. Ako su to trenuci i , tada vaint 2nt
)t(x)t(x nn 2= , )tsin()tsin( nn +=+ 2 , 22 ++=+ nn tt ,
22 == nn ttT , tj.
c
mT 2= . Osobina perioda oscilovanja da ne zavisi od
amplitude naziva se izohronost oscilovanja. Reciprona vrednost perioda oscilovanja
T , tj.m
c
Tf
2
11== , naziva se frekvencija oscilovanja i ona odreuje broj punih
oscilacija u jednoj sekundi (jedinici vremena), pa je fT
22
== .
Ekvivalentna krutost dve paralelno vezane opruge je 21 ccce += , a u sluaju dve
redno vezane opruge vai21
111
ccce+= .
Slobodne priguene oscilacije take pri dejstvu viskoznog trenja
Na taku deluje sila elastinosti opruge cFr
, sila viskoznog trenja VbFTVrr
= koja se
javlja u cilindru amortizera kao posledica postojanja fluida u cilindru, zatim teina
take Gr
i reakcija glatke podloge Nr
.
Diferencijalna jednaina kretanja posmatranetake tada je
NGFTVcFamrrrrr
+++= xm&& =
2 2 =++ xxx &&&
, ,
,
xbcx &
0
m
b
2= - koeficijent priguenja.
Karakteristina jednaina je ,02 22 =++ 2221 =, .
1.) Ako je < , tada je u pitanju malo priguenje, a koreni karakteristinejednaine su konjugovano kompleksni brojevi.
2.) Ako je > , tada je u pitanju veliko priguenje, a koreni karakteristinejednaine su realni i razliiti.
3.) Ako je = , tada je u pitanju granini (kritini) sluaj priguenja, a korenikarakteristine jednaine su realni i jednaki.
1.) Malo priguenje ( < ): ,222 p= ip, = 21 . ,tt eAeAx 21 21 +=iptiptt
eAeAex += 21
, ( ))ptsin(C)ptcos(Cex t 21 +=
.
7/22/2019 Meh Sistem - dinamika sistema
24/41
Mainski fakultet, Beograd - Mehanika 3 Predavanje 6 3
Neka je taka Mu poetnom trenutku 00 =t bila u poloaju 000 = )(xx , i imala
brzinu ija je projekcija na osu Ox 000 = )(xx && . Tada je
01 xC = ,p
xxC 002
+=
&,
++= )ptsin(
p
xx)ptcos(xex t 000
& ,
)ptsin(Rex t +=
inilac ukazuje na to da e se amplitude oscilacija smanjivati u toku vremena, pa
se ovo kretanje naziva prigueno.
te
Vremena prolaska take kroz ravnoteni poloaj dobijaju se iz jednaina
0=+ )psin(Re ,p
nn
= , ,...),,n( 321= ,
pp
)n(
p
nnn
222 =
=
Veliinap
Tp2
= ne zadovoljava uslov periodinosti zbog postojanja lana u
zakonu kretanja, tj.
te
)Tt(x)t(x p , a naziva se period prividno periodinih
oscilacija (kvaziperiodinih oscilacija), ili period slobodnih priguenih oscilacija, iliuslovni period. Takoe, vai
222
1
2
2
=
=
pT ,
21 =
TTp , gde je
= - bezdimenzionalni
koeficijent priguenja.
2.) Veliko priguenje ( > ): U sluaju kada je > , . Ako seuvede oznaka ,
022 >222
q= q, = 21 . ( )tqtqt eAeAex += 21 ,
[ ])qt(shC)qt(chCex t
21 +=
.Karakteristika svih ovih kretanja je da su neoscilatorna i da je .0=
)t(xlim
t
3.) Granini sluaj(= ): U sluaju kada je , tj.022 = == 21 ,
( )21 CtCex t += , ( ) 0==
tt
t
t e
tlimetlim
. U graninom sluaju kretanja, taka
asimptotski tei ka svom ravnotenom poloaju. Takvo kretanje je prigueno
neoscilatorno kretanje ili aperiodino kretanje.
Prinudne nepriguene oscilacije take
NFFgmamc
r r rr r+++=
)t(Fx
F
, .)tcos(F =0
rdat je sa
=Period prinudne sile
2T .
(Fcxxm x )t= +&& cos(2
hxx =+&&, ,)t
gde jem
c=2 i
m
Fh .0=
Homogeni deo reenja je )tsin(C)tcos(Cxh 21 += , a naziva se partikularni
integral i njegov oblik je vezan za odnos veliina
px
i . Sa fizike take gledita,
ovaj deo opteg integralaxposledica je dejstva prinudne sile Fr
, zbog ega se naziva
prinudna oscilacija take.1.) Nerezonantni sluaj ;
7/22/2019 Meh Sistem - dinamika sistema
25/41
Mainski fakultet, Beograd - Mehanika 3 Predavanje 6 4
2.) Bijenje (podrhtavanje) i 0>> ;3.) Rezonancija = .1.) Nerezonantni sluaj : )tcos(Cxp = , .)tcos(h)tcos()(C 22
)tcos(h
xp = 22 , )tcos(
h
xp = 22
1 , gde je sa oznaena
bezdimenzionalna veliina koja se naziva koeficijent
poremeaja, tj.
= . Kako je ,mhcfF st ==0
sst Ch
f ==2
, dobija se )tcos(f
x stp
=21
. Za
dst C
f=
21 dobija se )tcos(Cx dp = . Odnos veliina
i C naziva se dinamiki faktor pojaanja i obeleava se sadC S d , tj.
21
1
==
S
dd
C
C .
2.) Bijenje (podrhtavanje) ( i 0>> )3.) Rezonancija ( )= [ ])tsin(D)tcos(Ctxp += .Prinudne priguene oscilacije take
NFFFgmam TVcrrrrrr
++ ++=
xm
.
)tcos(Fxbcx += 0&&&
hxxx =++ 22 &&&
,
,)tcos(
gde jemc=
2 ,mb=2 i
mFh .0=
[ ]
( )( ),CtCex
;eCeCex
;)ptsin(C)ptcos(Cex
t
h
qtqtt
h
t
h
21
21
21
+==
+=>
+=+=
n
i
ii
a
i rNF rrr
. Kako su veze idealne,
tada je 01
>=
rr
tj. za svaku taku sistema mora da vai a NF
n
i
i
a
i rF , to je suprotno pola pretpostavka pogrena,
ii
znom uslovu, pa je
0=+r r
.
ncip moe seOvaj pri izraziti i u generalisanim koordinatama. S obzirom da za sistem
sa s stepeni slobode vai =s
jQA=
q , onda je uslov ravnotee =j 1 1
j 0=
s
j
a
j qQ .
Varijacije generalisanih kordinata
j
jq meusobno su nezavisne, pa da bi bila
cija mora bits
konzervativnzadovoljena prethodna rela i 0=== aaa QQQ L . Za i
sistem uslovi ravnotee su
21
021
=
==
=
ppp E
EL . Ovaj princip moe se
Def. Zbir virtualnih radova svih aktivnih sila koje deluju na mehaniki si
sq
E
primeniti i kada materijalni sistem iji je broj stepeni slobode jednak nuli.
Lagran-Dalamberov princip. Opta jednaina dinamike
stem i svih
slovno pridodatih sila inercije jednak je nuli.
erovog principa, vai
u
Za i-tu taku materijalnog sistema, primenom Dalamb
0=++ iniia
i FNFrrr
. Saoptavajui sistemu virtualno pomeranje i koristei Lagranev
princip, dobija se
( ) 0=++n
i
in
ii
a
i rFNF rrrr
.1=i
7/22/2019 Meh Sistem - dinamika sistema
39/41
6
, a veze idealne, tj. , tada je01
==
n
i
ii rN rr ( ) 0
1
==
n
i
iii
a
i ramF rrr
ii
in
i amF rr=Kako je .
a ima oblikOvaj princip, izraen u Dekartovim koordinatam
( ) ( ) ( )[ ] 01
=++=
n
ii zzmZyymYxxmX &&&&&& ,
a u generalisanim koordinatama, koristei
i
iiiiiiiiii
aaa
=
=
s
j
j
j
ii q
q
rr
1
rr
, je
( ) 0=+ n s
jiin
i
a
i qr
FF 1 1= =i j jq
rrr
, 01 11
=
+
s nin
iF= ==
j
j i j
in
i j
ia
i qq
r
q
rF
r rrr
.
Ako se uvedu oznake =n
=
i j
ia
i
a
jq
rFQ
1
r
=
=
n
i j
iin
i
in
jq
rFQ
1
rrr
, , tada je
=j
, (j=1,2,...,s)
Lagraneve jednaine I vrste
Kinetika energija materijalnog sistema je
( ) 0=+s
j
in
j
a
j qQQ , tj. + in
j
a
j QQ .
I1
0=
( )tqqEVVmE jjKn
i
iiiK ,,2
1
1
&rr
== =
, pa je
=
n iii
K
q
VVm
q
Er
=i jj 1 &
r. Kako je
&j
ii
q
r
q
V
=
r
j
r
, sledi =
=
n
i j
iii
j
K
q
rVm
q
E
1
rr
&&.
Diferenciranjem pret aza po vre obija sehodnog izr menu, d
==
+
=
i
ii
i j
i
j dtVm
qdtm
qdt 11
n
j
in
iiK
q
rdVdd rEr
rr r
&.
Osnovna jednaina kretanja take je ia
ii
i NFdt
Vdm
rrr
+= , a ve je pokazano da vai
j
ii
q
V
q
r
dt
d
=
r
j
r, pa je
( ) ==
+
+=
d
n
i j
i
ii
n
i j
i
i
a
i
j
K
q
VVm
q
rNF
q
E
dt 11
rrrrr
&.
Prvi lan na desnoj strani prethodnog izraza predstavlja zbir odgovarajuih
generalisanih sila
Nj
aj
ni
i
nia
i QQrNrF +=+ r
r
i ji j qq == 11
rr
,
a drugi lan je parcijalni izvod kinetike energije po generalisanoj koordinati, tj.
=
n iK VE
=
i jii
j qVm
q 1
rr
, pa je sadaj
jj
j qQQ
qdt ++=
&
. U sluaju stacionarnihKNaK EEd
idealnih veza je 011
=
=
=
s
i
N
j N ==
s
j j
i
i
j j
i
q
VN
q
rQ
&
rr
rr
e pravac vektora, jer jj
iVr
q&
ektora , pri emu je
odreen pravcem v iVr
ii NVrr
. T e II
vrste
ada su Lagraneve jednain
7/22/2019 Meh Sistem - dinamika sistema
40/41
7
aKEd
.j
j
K
j
E
qdt=
&
Za sisteme koji su izloeni dejstvu konzervativnih sila jej
p
jq
EQ
= , pa prethodna
jednaina postaje
j
p
j
K
j
K
q
E
q
E
q
E
dt
d
=
&.
U sluaju stacionarnih konzervativnih sistema vai da je , pa se dobija)( jpp qEE =
( ) ( )0=
j
pK
j
pK
qqdt &,
EEEEd0
dt,=
jj q
L
q
Ld
&
gde je - Lagraneva funkcija ili kin
Ako Lagraneva funkcija
etiki potencijal.pK EEL =
pK EEL = ne zavisi od neke od generalisanih koordinata,
jenpr. od koordinate rq , tada 0=
rqdt &KEd , pa je
.conr= stCq
E
r
K =
&,
to predstavlja prvi integral jedne od diferencijalnih jednaina kretanja i naziva se
ciklini integral. U tom sluaju generalisana koordinata naziva se ciklinarq
koordinata.
Kinetika energija sistema izraena u generalisanim koordinatama
Kako je
( )tqqEVVmE jjKn
iiiK ,,1 &rr == ,
i2 1=
t
rq
q
r
t
rq
q
rq
q
rq
q
rrV i
s
j
j
j
iis
s
iiiii
+
=
+
++
+
==
=
r
&
rr
&
r
L&
r
&
r
&rr
1
2
2
1
1
,
tada je
=
+
++
+
==
==
2
1
2
2
1
11
2
2
1
2
1 n
i
i
s
s
iii
i
n
i
iiKt
rq
q
rq
q
rq
q
rmVmE
r
&
r
L&
r
&
r
=
+
++
+
++
n
i
ss
s
i
s
iii
s
s
ii
i qq
q
r
q
rqq
q
r
q
rq
q
rq
q
rm
1
1
1
21
21
22
1
1
22
2
1&&
rr
L&&
rr
&
r
L&
r
+
++
2
1
1
22t
rq
t
r
q
rq
t
r
q
ri
si
s
iii
r
&
rr
L&
rr
.
Uvoenjem oznaka, zaj=1,2,...,si k=1,2,...,s,
k
in
i j
ikjjkqq
maa
== i rr
=
rr
1
,t
r
q
rmb
i
k= in
k
ii
=
r
1
r
, =
=
n
i
i
it
rmc
1
2
0
r
izraz za kinetiku energiju moe se napisati kao
== = kj k
kjjkK qqaE1 12
&& ++=s
kk
s s
cqb1
0
2
1& .
1
7/22/2019 Meh Sistem - dinamika sistema
41/41
Mainski fakultet, Beograd - Mehanika 3 Predavanje 10 i 11 8
Koeficijenti kjjk aa = nazivaju se inercioni koeficijenti (koeficijenti metrikog
tenzora).
U sluaju stacionarnog sistema je
0=
t
rir
, odakle sledi da je 0=kb i 00 =c . Tada je
kinetika energija odre
ena sa
= =
=s
j
s
k
kjjkK qqaE1 12
1&& .