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Méthodes non-linéaires appliquées à la dynamique
des structures avec contacts
Jean-Jacques Sinou Journée CSMA « contact et dynamique » - Jeudi 3 Avril 2008 – Ecole Centrale de Nantes
Ecole Centrale de Lyon
Laboratoire de Tribologie et Dynamique des Systèmes UMR CNRS 5513
Equipe Dynamique, Durabilité, Fiabilité - Groupe Dynamique des Structures et des Systèmes
http://ltds.ec-lyon.frhttp://d2s.ec-lyon.fr
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Intégration temporelle⇒ Temps de calcul prohibitif
Méthodes de réduction (variétes, approximants,…) Modes non-linéaires complexes
Balance harmonique,…
Systèmes non-linéaires avec interfaces frottantes
Mécanismes avec contactet jeux de fonctionnement
Structures avec desjonctions complexes,…
Méthodes classiques Méthodes non-linéaires
Préambule
Dynamique des structures
Compréhension du comportement dynamique non-linéaire
Régime « stationnaire », réponses à excitations multiples,vibrations auto-entretenues,…
Structures avec contacts et interfaces non-linéaires
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Deux exemples de résultats de recherche
• Thématique n°1Dynamique non-linéaire des systèmes tournants avec roulements
Régimes périodiques et quasi-périodiques
• Thématique n°2 Dynamique non-linéaire des systèmes avec interfaces frottantes
Stabilité et vibrations stationnaires auto-entretenues
Conclusions
Cadre général
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Systèmes mono et bi-rotors
Partenariat LTDS - Safran/secteur Dynamique D’Ensemble
Roulements non-linéaires: contact de Hertz, jeu radial
Thème n°1: dynamique non-linéaire des rotors
Rotor HPRotor BP
1- ExemplesThématique 1
2- Conclusion
ENSEMBLEENSEMBLE
Rotor BP
Banc DDE mono-rotor
Banc DDE bi-rotors
ROTOR BP
STATOR
ROTOR HP
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Modélisation
• Dissymétrie tournante– Joint d’accouplement
• Roulement non-linéaire– Cinématique et géométrie des billes
– Contact de Hertz + jeu radial sur chaque bille
Mono-rotor: modélisation non-linéaire
Système mono-rotor non-linéaire
1- ExemplesThématique 1
2- Conclusion
( ) ( )k cage billesθ t =ω t+2π k-1 /N
( )3 2k k H k
k k
∆ > : Q K ∆ -∆ < : Q 0
/δ = δ
δ =
balourdsgravité
Roulement non-linéaire
( ) ( ) ( )( ) ( )1 2 3 icos 2ωt sin 2ωt t, , ,+ +ω + + + + = + + ω θNLMx C G x K K K K x Q W f x
Dissymétrie tournante
balourdsgravité
Roulement non-linéaire
( ) ( ) ( )( ) ( )1 2 3 icos 2ωt sin 2ωt t, , ,+ +ω + + + + = + + ω θNLMx C G x K K K K x Q W f x
Dissymétrie tournante
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Balance harmonique
• Approximation de la réponse non-linéaire
• Equation dynamique non-linéaire (pour n=1,…,H)
• Contribution des termes non-linéaires: passages fréquentiel/temporel
Dynamique non-linéaire
Gravité Composantes NLDissymétriesContact - Jeu
Balourds
1- ExemplesThématique 1
2- Conclusion
( ) ( ) ( )( )H
0 n nn=1
t cos nωt sin nωt= + +∑x B B A
( )( )
Wn 1 1
Q Wn 0 0 n 1
2n
nn
fnf2
1
n n 0
n n=
= =
⎡ ⎤⎡ ⎤ δ⎢ ⎥+⎢
⎡ ⎤− ω − ω ⎡ ⎤⎢ ⎥ = +⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦− ω − ω⎣⎥
δ ⎢ ⎥⎢ ⎥ δ⎣
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎦⎦ ⎦ ⎣ ⎦ ⎥⎣
K SM D ABD CM
S
K C C
( ) ( ) ( )( )H
f fn n
n=0
t cos nωt sin nωt, ,ω = +∑NLf x C S
( ) ( )1
fFFT FFTn n
fn ¨n 1,...,H n ¨n 1,...,H
St t
C
−
= =
⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎯⎯⎯→ → ⎯⎯⎯→ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
NLNL
AX x f F
B
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• Partition sur les interfaces non-linéaires de contact (roulement)
• Substitution sur les interfaces non-linéaires
⇒ Interaction directe roulement-balourd sur l’ordre 1, indirecte pour l’ordre n⇒Contribution des non-linéarités de contact sur les ordres n pour l’élément
« roulement »⇒ Influence du contact sur la réponse globale par substitution
Dynamique non-linéaire1- ExemplesThématique 1
2- Conclusion
n 1
cc cu c c W fn n n n n 1 1 nTuc uu u u W fn n n 1 n 1 1 n=
=
=
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤δ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥δ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦δ
Θ Θ X F S SΨ
Θ Θ X F C C
Q f0 00= +KB C COrdre 0 :
Ordres n :c=«non-linéaire»u=«linéaire» n 1
cc cu c c W fn n n n n 1 1 nTuc uu u u W fn n n 1 n 1 1 n=
=
=
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤δ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥δ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦δ
Θ Θ X F S SΨ
Θ Θ X F C C
Q f0 00= +KB C COrdre 0 :
Ordres n :c=«non-linéaire»u=«linéaire»
( ) ( )|nl |nl |nl |nl |nl |nl,ω = + +NL 0r X Λ X F X F
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Résultats
A BC D
1- ExemplesThématique 1
2- Conclusion
A
B
Réponse non-linéaire
Contacts• Contacts continus « fond de roulement »
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Résultats1- ExemplesThématique 1
2- Conclusion
Réponse non-linéaire
Contacts• Contacts continus « fond de roulement »• Contacts intermittents
A BCD
C
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Résultats1- ExemplesThématique 1
2- Conclusion
A BC D
Montée
Descente
Réponse non-linéaire
Contacts• Contacts continus « fond de roulement »• Contacts intermittents• Sauts et solutions multiples
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Modélisation• 5 roulements non-linéaires:
– 3 sur le rotor BP: n°3–4-5– 1 sur le rotor HP: n°1– 1 à l’inter-arbre: n°2
Méthode non-linéaire• Balance harmonique bi-dimensionnelle
• Equation du mouvement dans le domaine fréquentiel
Bi-rotors: modélisation non-linéaire
1 2 3 54
1- ExemplesThématique 1
2- Conclusion
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )BP HP BP HP BP HP BP HP i, , , , ,+ ω ω + ω ω + = + ω + ω + ω ω θdys NLMx D x K K x Q W W f x
balourds BP et HPgravité Roulements non-linéairesContact de Hertz + jeu
Dissymétries tournantes
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )BP HP BP HP BP HP BP HP i, , , , ,+ ω ω + ω ω + = + ω + ω + ω ω θdys NLMx D x K K x Q W W f x
balourds BP et HPgravité Roulements non-linéairesContact de Hertz + jeu
Dissymétries tournantes
( ) ( ) ( ) ( )H H
cos sini,j 1 2 i,j 1 2
i=-H j=-Ht cos i +j cos i +j t= τ τ + τ τ =∑∑x U U T U i iω tτ =avec( ) ( ) ( ) ( )
H Hcos sini,j 1 2 i,j 1 2
i=-H j=-Ht cos i +j cos i +j t= τ τ + τ τ =∑∑x U U T U i iω tτ =avec
( )22 2
mm=1 n=1 m n m
, , ,⎛ ⎞∂ ∂
= ω + + + + +⎜ ⎟∂τ ∂τ ∂τ⎝ ⎠∑ ∑ NL
Y Yr U Y M D KY Y f Y Q W
N= ⊗Y T I2 2 T
1 2 1 2 1 20 0d d,
π π= τ τ∫ ∫X X X Xavec et
( )22 2
mm=1 n=1 m n m
, , ,⎛ ⎞∂ ∂
= ω + + + + +⎜ ⎟∂τ ∂τ ∂τ⎝ ⎠∑ ∑ NL
Y Yr U Y M D KY Y f Y Q W
N= ⊗Y T I2 2 T
1 2 1 2 1 20 0d d,
π π= τ τ∫ ∫X X X Xavec etN= ⊗Y T I
2 2 T1 2 1 2 1 20 0
d d,π π
= τ τ∫ ∫X X X Xavec et
12/21*Résultats de thèse: M. Guskov, 2007, collaboration Snecma-Moteur.
Réponses non-linéaires
Influence du jeu de roulement
(0,2)
(1,0)
(0,1)
(2,0)
Résultats expérimentaux
Calculs numériques*
Résultats
Ordre (ω1,ω2)
Contact non-linéaire et jeu*
Contact roulement
1- ExemplesThématique 1
2- Conclusion
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Deux exemples de résultats de recherche
• Thématique n°1Dynamique non-linéaire des systèmes tournants avec roulements
Régimes périodiques et quasi-périodiques
• Thématique n°2 Dynamique non-linéaire des systèmes avec interfaces frottantes
Stabilité et vibrations stationnaires auto-entretenues
Conclusions
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Thème n°2: stabilité des systèmes frottantsContexte
• Stabilité et dynamique des systèmes non-linéaires avec frottement • Freins aéronautique et automobile
Objectifs• Prédictions du comportement « instable » des systèmes• Estimation des amplitudes non-linéaires: « cycles limites »• Quelle méthode non-linéaire suivant le niveau de complexité ?
1- ExemplesThématique 2
2- Conclusion
Conception Intégration
Fonc
tion
Org
ane
Piè
ce
TempsFabrication
Test véhicule complet
Test système de freinage
Modèle de conception
Modèle de développement
Modèle « phénoménologique »
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Démarche globale
Modélisation non-linéaireStructure, contacts, non-linéarités,…
Etude de stabilitéEquilibres statiques non-linéairesAnalyse aux valeurs propres du
système linéarisé
Equilibresstables
Equilibres instables
Optimisation des systèmesModifications des paramètres physiques,
matériaux, géométrie, contacts,…
Niveaux acceptables
Conception validée
A
1- ExemplesThématique 2
2- Conclusion
Méthodes non-linéairesRéduction du système
Approximation de la réponse…
Dynamique non-linéaireIntégration temporelle
⇒Temps de calcul prohibitif
Niveaux élevés
A
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Contacts et pertes de contacts*• Évolution des positions statiques • Contacts permanents ou intermittents
Stabilité
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.81930
1940
1950
1960
1970
1980
1990
2000
2010
2020
2030
2040
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.81930
1940
1950
1960
1970
1980
1990
2000
2010
2020
2030
2040
Coefficient de frottement normé
Fréq
uenc
e (H
z) InstableStable
1- ExemplesThématique 2
2- Conclusion
Parie
sré
elle
s no
rmée
s
Coefficient de frottement normé
Fréquence (Hz)
InstableStable
A
B
B
A
*Résultats de thèse: G. Fritz, 2007, thèse CIFRE Renault.
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Méthode de la variété centrale étendue• Réduction du nombre de degrés de liberté
• Simplification des termes NL par approximants fractionnels multivariables
Cas A: Modèles phénoménologiques
Au voisinage du point de bifurcation
de Hopf!!
1- ExemplesThématique 2
2- Conclusion
Proche de µ0« Loin » de µ0
Hypothèse de contact permanent
( ) 1 22 0 0
ˆ ˆavec , .p pm
i j lc c
p i j l j lv v
= + + = = =
= = ∑ ∑∑s c ijlv h v aµ µ( ) ( )ˆ ˆ. , ,
ˆ 0
= +⎧⎪⎨
=⎪⎩
c c c c sv J v G v vµ µ
µ
( ) ( )ˆ ˆ. , ,= +s s s c sv J v G v vµ µ
( ) 1 22 0 0
ˆ ˆavec , .p pm
i j lc c
p i j l j lv v
= + + = = =
= = ∑ ∑∑s c ijlv h v aµ µ( ) ( )ˆ ˆ. , ,
ˆ 0
= +⎧⎪⎨
=⎪⎩
c c c c sv J v G v vµ µ
µ
( ) ( )ˆ ˆ. , ,= +s s s c sv J v G v vµ µ
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Modes complexes non-linéaires/HBM sous contraintes• Approximation de la solution non-linéaire
• Suivi du mode complexe non-linéaire instable
Balance harmonique condensée• Fréquence inconnue • Passages fréquentiel/temporel
• Réduction sur les inconnues non-linéaires
Contrainte sur la condition de stationnarité
• Linéarisation équivalente• Suivi de la solution non-linéaire « temporelle divergente »
Cas B: modèles avec perte de contact 1- ExemplesThématique 2
2- Conclusion
( ) ( ) ( )( )H
0 2j-1 2jj=1
t cos jωt sin jωt= + +∑x X X X
( ) ( )λt λtt p e e= +z ψ ψ
( ) ( )1FFT FFTt t
−
⎯⎯⎯→ → ⎯⎯⎯→NL NLX x f F
( ) ( )|nl |nl |nl |nl |nl |nl,ω = + −NL 0r X Λ X F X F
( ) ( )1FFT FFTt t
−
⎯⎯⎯→ → ⎯⎯⎯→NL NLX x f F
( ) ( )|nl |nl |nl |nl |nl |nl,ω = + −NL 0r X Λ X F X F
( ) ( )≡ +NLz = Jz + g z J J' z( )( )Max Re λ < ε
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RésultatsCycles limites*
Intérets• Phénomènes de contacts et pertes de contacts• Loin du point de bifurcation• Fréquence inconnue• Gain en temps de calcul (HBM=30 sec.)
Limitations• Cycles limites stationnaires recherchés• Modèles « simplifiés »
* Résultats de thèse: N. Coudeyras, thèse CIFRE PSA.
Interfacesfrottantes
1- ExemplesThématique 2
2- Conclusion
Proche de µ0 « Loin » de µ0
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Deux exemples de résultats de recherche
• Thématique n°1Dynamique non-linéaire des systèmes tournants avec roulements
Régimes périodiques et quasi-périodiques
• Thématique n°2 Dynamique non-linéaire des systèmes avec interfaces frottantes
Stabilité et vibrations stationnaires auto-entretenues
Conclusions
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Conclusion
Apports de la prise en compte des contacts et non-linéarités• Meilleure description du comportement vibratoire
– des systèmes tournantes mono et bi-rotors– des systèmes frottants
• Non-linéaire ≠ « modélisation trop complexe » des systèmes• Définitions de critères « avancés » pour la conception des systèmes
Développements de méthodes non-linéaires• Gain en temps de calcul ⇒ outil utilisable pour l’optimisation des structures …• Interactions non-linéaires ⇒ compréhension, définitions de critères,…
Limitations - perspectives• Notions des régimes stationnaires uniquement• Aller vers une modélisation physique «plus juste » • Prise en compte des dispersions/incertitudes• Aspects expérimentaux en parallèle pour validation
1- Exemples2- Conclusion