UNIVERSITAS INDONESIA
METODE ELEMEN HINGGA
PROBLEM PLANE STRESS – PERBAIKAN UTS
WISNU PRATAMA PUTRA
0806329691
FAKULTAS TEKNIK
PROGRAM STUDI TEKNIK SIPIL
DEPOK
APRIL 2013
PROBLEM PLANE STRESS (Q4)
Properti material :
E : 2,1 x 105 kN/m2
υ = 0,18
h = 0,1 m
Pertanyaan :
1. Hitung displacement di setiap nodal elemen.
2. Hitung tegangan di semua nodal dan di pusat elemen.
3. Hitung tegangan utama di pusat elemen.
4. Gambarkan lingkaran Mohr di pusat elemen.
Jawab :
MATRIKS KEKAKUAN
Dengan kondisi simetris yang dialami 3 buah elemen Q4 tersebut, kita bisa menganalisa hanya
satu elemen saja (ambil elemen 8-5-6-7) :
Pembebanan dengan gambar diatas memberikan bentuk terdeformasi seperti berikut :
Kondisi simetris : u8, v8, u5, v5 = 0
Kondisi simetris lain : tidak digunakan.
Matriks Hooke Plane Stress [Hσ] :
Hσ =
1 υ2[
1 υ 0
υ 1 0
0 01 2υ
2
] = [217031 83 39065 73 0
39065 73 217031 83 0
0 0 88983 05
]
Koordinat riil dan koordinat referensi :
Nilai koordinat :
Nodal X y
8 0 0
5 4 0
6 3 1.73
7 1 1.73
Elemen Q4 – Fungsi Geometri
= ∑ i i an = ∑ i i
i=1,4i=1,4
Fungsi bentuk
= i , i=1,4 en an i= 1
4 1
1 1
1 atau dapat ditulis juga :
= 1
4 1 1
= 1
4 1 1
= 1
4 1 1
= 1
4 1 1
Matriks [J] (Jacobian) yang ada menjadi :
[ ]= [ 11 12 21 22
] = 1
4[ 21(1- ) 34 1
21(1- )
34 1
41(1- ) 32 1 41(1- )
32 1
] dan matriks regangan-peralihan
[ m]= [
1, 0 2, 0 3, 0 4, 0
0 1, 0 2, 0 3, 0 4,
1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4,
], dimana :
( i, i,
)= [ 11 12 21 22
] 1
( i,
i, )
Sehingga :
[ m, , ]= [
j11 i, j
12 i, 0
0 j21 i, j
22 i,
j21 i, j
22 i, j
11 i, j
12 i,
]
Untuk mendapatkan matriks kekakuan, diperlukan integrasi numerik terhadap 4 titik Gauss.
Titik-titik yang bersangkutan ialah
Titik 1 : ( , ) = (-1/√3 , -1/√3
Titik 2 : ( , ) = (-1/√3 , -1/√3
Nodal ξ η
8 -1 -1
5 1 -1
6 1 1
7 -1 1
Titik 3 : ( , ) = (-1/√3 , -1/√3
Titik 4 : ( , ) = (-1/√3 , -1/√3
Dan [k] = ∑ [ m]T [Hσ] [ m] h et [ ]
- Titik 1 (ξ , η) = (-1/√3 , -1/√3)
Hσ =
1 υ2[
1 υ 0
υ 1 0
0 01 2υ
2
]= [217031 83 39065 73 0
39065 73 217031 83 0
0 0 88983 05
]
[ ]= [1 79 0
0 29 0 87]
[ m]= [ 0 22 0 0 22 0 0 06 0 0 06 0
0 0 38 0 0 2 0 0 1 0 0 48
0 38 0 22 0 2 0 22 0 1 0 06 0 48 0 06
]
[k] = [Bm]T [Hσ] [ m] h et [ ]
Matriks kekakuan yang sudah direduksi dengan menggunakan kondisi batas (u8, v8, u5, v5
= 0) ialah :
[k1] = [
261 62 119 89 552 66 86 5
400 06 350 22 1585 97
3227 81 -556 61
s m 7634 67
]
- Titik 2 (ξ , η) = (-1/√3 , -1/√3)
Hσ =
1 υ2[
1 υ 0
υ 1 0
0 01 2υ
2
]= [217031 83 39065 73 0
39065 73 217031 83 0
0 0 88983 05
]
[ ]= [1 79 0
0 29 0 87]
[ m]= [ 0 22 0 0 22 0 0 06 0 0 06 0
0 0 2 0 0 38 0 0 48 0 0 1
0 2 0 22 0 38 0 22 0 48 0 06 0 1 0 06
]
[k] = [Bm]T [Hσ] [ m] h et [ ]
Matriks kekakuan yang sudah direduksi dengan menggunakan kondisi batas (u8, v8, u5, v5
= 0) ialah :
[ ] =
[ 3227 81 556 61 552 66 -350 22
7634 67 -86 5 1585 97
261 62 -119 89
s m 400 06 ]
- Titik 3 (ξ , η) = (-1/√3 , -1/√3)
Hσ =
1 υ2[
1 υ 0
υ 1 0
0 01 2υ
2
]= [217031 83 39065 73 0
39065 73 217031 83 0
0 0 88983 05
]
[ ]= [1 21 0
0 29 0 87]
[ m]= [ 0 09 0 0 09 0 0 33 0 0 33 0
0 0 15 0 0 43 0 0 56 0 0 1 0 15 0 09 0 43 0 09 0 56 0 33 0 1 0 33
]
[k] = [Bm]T [Hσ] [ m] h det [J]
Matriks kekakuan yang sudah direduksi dengan menggunakan kondisi batas (u8, v8, u5, v5
= 0) ialah :
[ ] =
[ 5380 66 2465 71 -2341 75 -1695 46
8227 99 -711 24 -816
2414 48 -59 01
s m 993 38 ]
- Titik 4 (ξ , η) = (-1/√3 , -1/√3)
Hσ =
1 υ2[
1 υ 0
υ 1 0
0 01 2υ
2
]= [217031 83 39065 73 0
39065 73 217031 83 0
0 0 88983 05
]
[ ]= [1 21 0
0 29 0 87]
[ m]= [ 0 09 0 0 09 0 0 33 0 0 33 0
0 0 43 0 0 15 0 0 01 0 0 56
0 43 0 09 0 15 0 09 0 01 0 33 0 56 0 33
]
[k] = [Bm]T [Hσ] [ m] h et [ ]
Matriks kekakuan yang sudah direduksi dengan menggunakan kondisi batas (u8, v8, u5, v5
= 0) ialah :
[ ] =
[ 2414 48 59 01 -2341 75 711 24
993 38 1695 96 -816
5380 66 -2465 71
s m 8277 99 ]
Matriks kekakuan total elemen menjadi :
[k] = [k1] [k2] [k3] [k4]
[ktotal]= [
11284 57 3201 22 3578 18 1247 93
3201 22 17256 11 1247 93 1539 95
3578 18 1247 93 11284 57 3201 22
1247 93 1539 95 3201 22 17256 11
]
PERSAMAAN KEKAKUAN ELEMEN
{fn} = [k] {un} – {fn}BNE
=
[ 6=0
6=30
7=0
7=30]
[ 6
6
7
7]
=
[ 11284 57 3201 22 -3578 18 -1247 93
3201 22 17256 11 1247 93 1539 95
-3578 18 1247 93 11284 57 -3201 22
-1247 93 1539 95 -3201 22 17256 11]
[
u6v6u7v7
] -
[ 6=0
6=30
7=0
7=30]
[
u6v6u7v7
]= [
2 13
16 2
2 13
16 2
] 10 4 m
Akibat kondisi simetris, berarti peralihan tiap titik dapat dihitung sebagai berikut :
u6 = u9 = u3 = -2.13 x 10-4
m
u7 = u1 = u4 = 2.13 x 10-4
m
v6 = v9 = v3 = 16.2 x 10-4
m
v7 = v1 = v4 = 16.2 x 10-4
m
PERHITUNGAN TEGANGAN
[σ] = [Hσ] [ε]
[σ] = [Hσ] [ m] un}
- Titik 8 (ξ , η) = (-1 , -1)
[
σ
σ
]= [
217031 83 39065 73 0
39065 73 217031 83 0
0 0 88983 05
] [0 0 0 0
0 0 0 0 58
0 0 0 58 0
] [
-2 13
16 2
2 13
16 2
] 10-4 m
[
σ
σ
]= [
36 5
202 77
10 93
] k /m2
- Titik 5 (ξ , η) = (1 , -1)
[
σ
σ
]= [
217031 83 39065 73 0
39065 73 217031 83 0
0 0 88983 05
] [0 0 0 0
0 0 58 0 0
0 58 0 0 0
] [
2 13
16 2
2 13
16 2
] 10 4 m
[
σ
σ
]= [
36 5
202 77
10 93
] k /m2
- Titik 6 (ξ , η) = (1 , 1)
[
σ
σ
]= [
217031 83 39065 73 0
39065 73 217031 83 0
0 0 88983 05
] [
0 5 0 -0 5 0
0 0 87 0 -0 29
0 87 0 5 -0 29 -0 5
] [
-2 13
16 2
2 13
16 2
] 10-4 m
[
σ
σ
]= [
-9 66
194 46
-21 85
] k /m2
- Titik 7 (ξ , η) = (-1 , 1)
[
σ
σ
]= [
217031 83 39065 73 0
39065 73 217031 83 0
0 0 88983 05
] [
0 5 0 -0 5 0
0 -0 29 0 0 87
-0 29 0 5 0 87 -0 5
] [
-2 13
16 2
2 13
16 2
] 10-4 m
[
σ
σ
]= [
-9 66
194 46
21 85
] k /m2
- Pusat elemen (ξ , η) = (0 , 0)
[
σ
σ
]= [
217031 83 39065 73 0
39065 73 217031 83 0
0 0 88983 05
] [0 17 0 -0 17 0
0 0 29 0 0 29
0 29 0 17 0 29 -0 17
] [
-2 13
16 2
2 13
16 2
] 10-4 m
[
σ
σ
]= [
21 11
200
0
] k /m2
Karena kondisi simetris, nilai-nilai tegangan di semua nodal dapat dicari :
σ6 = σ9 = σ3} = [-9 66
194 46
-21 85
]
σ7 = σ1 = σ4} = [-9 66
194 46
21 85
]
σ8 = σ5 = σ2} = [36 5
202 77
10 93
]
TEGANGAN UTAMA DI PUSAT ELEMEN
[σ1
σ2] =
[ σ σ
2 √
σ σ
2
2
σ σ
2 √
σ σ
2
2
]
[σ1
σ2]=
[ 21 11 200
2 √
21 11 200
2
2
0
21 11 200
2 √
21 11 200
2
2
0]
= [200
21 11] pa
max = σ1 – σ2) / 2 = 89.445 kN / m2
tan 2θ = xy / σx – σy = 0
LINGKARAN MOHR DI PUSAT ELEMEN
PENGECEKAN DENGAN SAP 2000
Berikut merupakan pengecekan problem plane stress dengan bantuan software SAP
2000 v.15.0.1. Permodelan dan hasil analisa yang dilakukan dapat dilihat pada gambar
berikut :
Properti Material Elemen
Properti Elemen Plane
Faktor Modifikasi Kekakuan (default)
Permodelan Geometri Elemen
Bentuk Terdeformasi Elemen
Permodelan BNE
DISPLACEMENT
Perbedaan SAP dan Perhitungan Manual
Peralihan Manual (mm) SAP (mm) % diff
u6 -0.213 -0.21266 0.15962
v6 1.62 1.61818 0.11235
u7 0.213 0.21266 0.15962
v7 1.62 1.61818 0.11235
u9 -0.213 -0.21265 0.16432
v9 1.62 1.61824 0.10864
u1 0.213 0.21269 0.14554
v1 1.62 1.61824 0.10864
u3 -0.213 -0.21269 0.14554
v3 1.62 1.61824 -0.10864
u4 0.213 0.21265 -0.16432
v4 1.62 1.61826 -0.10741
Perbedaan tegangan :
TABLE: Element Stresses - Area Planes -
SAP Perhitungan Manual % diff
Area Joint S11 S22 S12 S11 S22 S12 S11 S22 S12
Text Text KN/m2 KN/m
2 KN/m
2 KN/m
2 KN/m
2 KN/m
2 KN/m
2 KN/m
2 KN/m
2
8-5-
6-7
8 40.05 203.41 10.09 36.5 202.77 10.93 9.73 0.32 7.69
5 40.05 203.41 -10.09 36.5 202.22 -10.93 9.73 0.59 7.69
6 -2.56 195.74 -20.17 -9.66 194.46 -21.85 73.50 0.66 7.69
7 -2.56 195.74 20.17 -9.66 194.46 21.85 73.50 0.66 7.69
2-8-
9-1
2 40.05 203.41 10.09 36.5 202.77 10.93 9.73 0.32 7.69
8 40.05 203.41 -10.09 36.5 202.22 -10.93 9.73 0.59 7.69
9 -2.56 195.75 -20.17 -9.66 194.46 -21.85 73.50 0.66 7.69
1 -2.56 195.74 20.17 -9.66 194.46 21.85 73.50 0.66 7.69
5-2-
3-4
5 40.05 203.41 10.09 36.5 202.77 10.93 9.73 0.32 7.69
2 40.05 203.41 -10.09 36.5 202.22 -10.93 9.73 0.59 7.69
3 -2.56 195.74 -20.17 -9.66 194.46 -21.85 73.50 0.66 7.69
4 -2.56 195.75 20.17 -9.66 194.46 21.85 73.50 0.66 7.69
Kontur tegangan
σx
σy
τxy