(Menentukan Akar Fungsi, f(x)=0)Ol hOleh

Dian Yayan Sukma, ST., MT.JTE FT‐UR 20112011

Menentukan akar persamaan dengan garis y xMenentukan akar persamaan dengan garis y=x.Akar ditentukan pada saat persamaan f(x)=0Ubah persamaan di atas secara aljabar menjadi bentuk: Ubah persamaan di atas secara aljabar menjadi bentuk: x=g(x)Persamaan tersebut membentuk dua persamaan garis: y=x p g ydan y=g(x)Iterasi bergerak diantara dua garis tersebut menuju suatutitik solusi ang kon ergentitik solusi yang konvergenSolusi konvergen merupakan akar suatu persamaan f(x) =0 berada pada titik potong kedua garis tersebut.berada pada titik potong kedua garis tersebut.Solusi divergen akan menjauh dari titik akar persamaanf(x)=0.

y = x m=1g(x) m>1 yg(x), m>1

y = x m=1y = x m=1

g(x), m>-1

y = x m=1m>1

m<1

y = -x m=-1

m>-1

m<-1

Kesimpulan:Metode berhasil: ‐1<m<1Selain itu  metode gagal

K   t d  it i titik t t  dit t k  Konvergennya metoda iterasi titik tetap ditentukan oleh ketepatan pemilihan fungsi g(x).M t d  i i k  jik   di   i   i  Metoda ini konvergen jika gradien garis singgung fungsi g(x), (mg(x)) berada pada: ‐1 < mg(x) < 1.U t k f i   li   di   dit t k  Untuk fungsi non linear, gradien, mg(x) ditentukan pada nilai x di sekitar nilai akar fungsi tersebut  (titik potong fungsi dengan sumbu x)potong fungsi dengan sumbu x).Fungsi g(x) yang memenuhi kriteria dipilih dan digunakan dalam proses iterasi titik tetap untuk digunakan dalam proses iterasi titik tetap untuk menentukan akar  fungsi suatu persamaan [f(x)].

It i titik t t  di l i d   b ik   il i Iterasi titik tetap dimulai dengan memberikan nilai taksiran (akar) awal, x0. D  t f i  il i  k  f i  ( )   Dengan transformasi nilai x0 ke fungsi g(x0) yang sesuai diperoleh nilai x pada iterasi pertama, x1.P  it i titik t t  i i dit li  d l  b t k Proses iterasi titik tetap ini ditulis dalam bentuk persamaan: xn+1=g(xn).P  i i   dil k k   i di k   k  Proses iterasi terus dilakukan sampai ditemukan akar persamaan dari f(xn)=0, atau nilai |xn+1‐xn| < E.E  k   l  i i   di kE merupakan galat iterasi yang ditetapkan.

Start

Nilai awal, x0

Tentukan g(x )

Iterasi=1

Tentukan g(xn)

xn+1= g(xn)Iterasi=Iterasi+1

f(xn+1) =0|   |xn+1 ‐ xn|<E

tidak

?

r=xn+1

ya

End

Tentukan akar persamaan dari, p ,f(x) = x3‐3x+1 

menggunakan metoda iterasi titik tetap?menggunakan metoda iterasi titik tetap?

G fik   f i f( )    3Grafik persamaan fungsi f(x) = x3‐3x+1:

15

20

10

15

0

5

-10

-5 r

-15

-3 -2 -1 0 1 2 3-20

P ilih  F i  ( )  (K   [ ] )Pemilihan Fungsi g(x), (Kovergen: ‐1<m[1,2]<1)berdasarkan gradien g(x) pada nilai 1<x<2:1). g(x)=1/3.(x3+1),  mg(x)= x2 m[1,2]= [1 ,4]2). g(x)=‐1/(x2‐3),  mg(x)=2x/(x2 ‐3)2 m[1,2]= [1/2,4]) g( ) /( 3), g(x) /( 3) [ , ] [ / ,4]3). g(x)=3/x ‐ 1/x2, mg(x)=(‐3x+2)/x3 m[1,2]=[‐1,‐1/2]

Berdasarkan  kriteria, maka dipilih fungsi g(x) ketiga: g(x)=3/x ‐ 1/x2. g g( ) 3/ /Metoda iterasi titik tetap:  xn+1= 3/xn – 1/xn2

P   t d   il i  l    E 5Penerapan metoda: nilai awal, x0=1,5; E=10‐5

n x(n) x(n+1) E(n)

0 1,500000000000000 1,555555555555550 0,055555555555556

1 1,555555555555550 1,515306122448980 0,040249433106576

2 1 515306122448980 1 544286864152180 0 0289807417032042 1,515306122448980 1,544286864152180 0,028980741703204

3 1,544286864152180 1,523325730876890 0,020961133275294

4 1,523325730876890 1,538437600112360 0,015111869235471

5 1,538437600112360 1,527517193884530 0,010920406227822

6 1,527517193884530 1,535395407597430 0,007878213712892

7 1,535395407597430 1,529704961431550 0,005690446165874

…  …  …  … 27 1 532093772591140 1 532085358621060 0 00000841397007827 1,532093772591140 1,532085358621060 0,000008413970078

J l h It i  Jumlah Iterasi: 27Nilai akar fungsi: 1,532085358621060Error: 0,000008413970078

M t k   k    d  b t   i  Menentukan akar persamaan dengan bantuan garis singgung kurva.

P   i   i  kPersamaan garis singgung kurva:( ) ( )101

xxxfy

xxxfy −

=−

( ) ( ) ( ) ( ) ( );0;. 1'

10

101

10

101

101

xfxxxfyymanadixx

xxxfyxfy

xxxx

=−

−=−

−−

+=

−−

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ).;..

.0

1'

11'

11'

11'

1

1010

xfdengandibagixfxfxxfx

xxxfxf

−=

−+=

( )( ) ;1

'1

1 xfxfxx −=

K il i “ ” k il i d it i b ik t k

( )nxfxx −=

Karena nilai “x” merupakan nilai pada iterasi berikutnya, maka

( )nnn xf

xx '1 =+

Proses metoda Ne ton dimulai dengan memberikan nilai Proses metoda Newton dimulai dengan memberikan nilai awal, x0 yang berada dekat dengan nilai akarnya.Pastikan kurva fungsi memiliki kecendrungan memotong Pastikan kurva fungsi memiliki kecendrungan memotong sumbu x dengan cara mengamati turunan pertama fungsi tidak sama dengan nol. Jika turunan pertama sama dengan g J p gnol maka metoda gagal menentukan nilai akar. Jika sebaliknya gunakan persamaan iterasi Newton untuk 

k   il i    k i i b ikmenentukan nilai x untuk iterasi berikutnya.Periksa apakah nilai fungsi pada nilai x tsb sama dengan 

l  t  k il d i  l t   dit t knol atau kecil dari galat yang ditetapkan.Jika benar maka tetapkan nilai akar sama dengan nilai x terakhir  jika tidak terpenuhi lanjutkan iterasi berikutnyaterakhir, jika tidak terpenuhi lanjutkan iterasi berikutnya.

Start

Nilai awal: x0, E

Tentukan , f(xn) 

Iterasi=1

f ’(xn) =0 ya

f ’(xn)

xn+1= xn‐f(xn)/f ’(xn)Iterasi=Iterasi+1

?

tidak

f(xn+1) =0|   |xn+1 ‐ xn|<E

tidak“Gagal”

?

r=xn+1

ya

End

Tentukan akar persamaan dari, f(x) = x3‐3x+1 

menggunakan metoda Newton dengan nilai awal, gg g ,x0=1,5?

P   t d   il i  l    E 5Penerapan metoda: nilai awal, x0=1,5; E=10‐5:

n x(n) x(n+1) E(n)

0 1,500000000000000 1,533333333333330 0,033333333333333

1 1,533333333333330 1,532090643274850 0,0012426900584800

Jumlah itersi: 2

2 1,532090643274850 1,532088886241460 0,0000017570333870

JNilai akar fungsi: 1,5320888886241460Error: 0 000001757033387Error: 0,000001757033387

M t k   k    d  b t   i  Menentukan akar persamaan dengan bantuan garis yang memotong dua titik kurva.

P   t ti   i   i   l l i   titik Persmaan matematis garis singgung melalui 2 titik pada kurva:  ( ) ( ) ( )122 xfxfxfy −

=−

( ) ( ) ( ) ( ) ;0;. 212

122

122

ymanadixxxx

xfxfxfy

xxxx

=−−−

+=

−−

( ) ( ) ( ) ( ).0 212

122

12

xxxx

xfxfxf

xx

−−−

+=

( ) ( ) ( ) ;.12

1222 xfxf

xxxfxx−−

−=

K il i “ ” k il i d it i b ik t kKarena nilai “x” merupakan nilai pada iterasi berikutnya, maka

( ) ( ) ( )1

1 . −+

−−= nn

nnn ffxxxfxx ( ) ( ) ( )1

1−

+ − nnnnn xfxf

f

Start

Nilai awal, x0,  x1, x2, E

Tentukan  f ’(x )

Iterasi=1

f ’(xn) =0 yaTentukan , f (xn)

xn+1= xn‐f(xn)(xn‐xn‐1)/ [f(x )‐f ’(x )]Iterasi=Iterasi+1

?

tidak

[f(xn) f (xn‐1)]

f(xn+1) =0|   |xn+1 ‐ xn|<E

tidak“Gagal”

?

r=xn+1

ya

End

Tentukan akar persamaan dari  Tentukan akar persamaan dari, f(x) = x3‐3x+1 

menggunakan metoda Secant dengan nilai awal  x =1 5?menggunakan metoda Secant dengan nilai awal, x0=1,5?

P   t d   il i  l      E 5Penerapan metoda: nilai awal, x0=1,4; x1=1,5; E=10‐5:n x(n‐1) x(n) x(n+1) E(n)

1 1,400000000000000 1,500000000000000 1,537764350453170 0,037764350453172

2 1,500000000000000 1,537764350453170 1,531876649316410 0,0058877011367570

3 1 537764350453170 1 531876649316410 1 532087523331610 0 00021087401519503 1,537764350453170 1,531876649316410 1,532087523331610 0,0002108740151950

4 1,531876649316410 1,532087523.331610 1,532088886566950 0,000001363235343

Jumlah iterasi: 4Nilai akar fungsi: 1 532088886566950Nilai akar fungsi: 1,532088886566950Error: 0,000001363235343 

M t k   k    d   il i t h d i Menentukan akar persamaan dengan nilai tengah dari dua nilai awal yang mengurung akar persamaan.

P   t ti   il i t h   [ ]Persamaan matematis nilai tengah:  [xa:r:xb]

::

fungsipersamaanakarmengurungyangawalNilairfungsipersamaanAkar

−−

::

:

b

a

atasawalnilaixbawahawalnilaix

fungsipersamaanakarmengurungyangawalNilai

:

b

tengahNilai−

.2

ba xxm

g+

=

:errorNilai−

2ab xxE −

=

Start

Nilai awal, a0,  b0 , E

Tentukan , 

Iterasi=1Iterasi=Iterasi+1

Tentukan , mn=(an+bn)/2en=(bn‐an)/2

an+1=mnbn+1=bn

an+1=anbn+1=mn

> 0

en < E?

tidakf(an) x f(mn) …  ?

< 0

> 0

r=xn+1

ya= 0

End

Tentukan akar persamaan dari, f(x) = x3‐3x+1 

menggunakan metoda Bagi Dua dengan nilai awal, gg g ga=1,5; b=2 ?

P   t d   il i  l    b  E 5Penerapan metoda: nilai awal, a=1,5; b=2,0; E=10‐5:

n a(n) b(n) m(n) E(n)

0 1,500000000000000 2,000000000000000 1,750000000000000 0,250000000000000

1 1,500000000000000 1,750000000000000 1,625000000000000 0,125000000000000

2 1,500000000000000 1,625000000000000 1,562500000000000 0,062500000000000

3 1,500000000000000 1,562500000000000 1,531250000000000 0,031250000000000

4 1 531250000000000 1 562500000000000 1 546875000000000 0 015625000000000 4 1,531250000000000 1,562500000000000 1,546875000000000 0,015625000000000

5 1,531250000000000 1,546875000000000 1,539062500000000 0,007812500000000

6 1,531250000000000 1,539062500000000 1,535156250000000 0,003906250000000

7 1,531250000000000 1,535156250000000 1,533203125000000 0,001953125000000

… … … …

15 1,532073974609370 1,532089233398430 1,532081604003900 0,000007629394531

Jumlah iterasi  Jumlah iterasi: 15Nilai akar fungsi: 1,532081604003900E   6Error: 0,000007629394531

Metoda Iterasi Nilai akar fungsi Jumlah Iterasi Errorg J

Newton 1,532088886241460 2 0,000001757033387

Secant 1,532088886566950 4 0,000001363235343

B gi D 1 532081604003900 15 0 00000762939453 Bagi Dua 1,532081604003900 15 0 ,00000762939453

Titik Tetap 1,532085358621060 27 0,000008413970078

Memberikan nilai a al ang tepat (dekat dengan nilai akarMemberikan nilai awal yang tepat (dekat dengan nilai akarfungsi) dapat mempercepat proses iterasi.Metoda Newton sangat ampuh dalam mencarikan solusiMetoda Newton sangat ampuh dalam mencarikan solusipersamaan dengan iterasi, karena memiliki konvergensitasyang cepat.y g pMetoda titik tetap sangat peka terhadap pemberian nilaiawal dan pemilihan fungsi g(x) karena denganmemberikan nilai awal dan fungsi g(x) yang tidak tepatmenyebabkan iterasi menjadi divergen.