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1

Metodi Numerici per la

Valutazione di Attività

Finanziarie

2

Il Metodo Monte Carlo

3

Il metodo Monte Carlo

Il metodo Monte Carlo (MC nel seguito) è una tecnica basata

sulla simulazione di un numero elevato di possibili scenari

rappresentativi dell’evoluzione futura delle variabili di rischio

da cui dipende il valore di una generica attività finanziaria;

Infatti tale tecnica si basa sull’idea di approssimare il valore

atteso di una determinata funzione finanziaria calcolando la

media aritmetica dei diversi risultati ottenuti dalle simulazioni

effettuate sul possibile andamento futuro delle variabili da cui

essa dipende.

4


Esempio: Calcolo del prezzo di strumenti derivati.

Indicando con fT il valore dell’opzione stessa alla scadenza T, il valore

ad oggi, f, sarà dato da

essendo Ê il valore di aspettazione rispetto alla misura risk-neutral ed r il

tasso di interesse che assumiamo per semplicità costante nel tempo;

L’idea guida del metodo MC consiste nello stimare tale valore attraverso

la simulazione dei possibili valori assunti nel corso del tempo dalle

variabili sottostanti, di cui il prezzo del derivato è funzione;

Tramite il calcolo di un insieme sufficientemente ampio di possibili valori

finali possiamo poi stimare il nostro integrale come media aritmetica di

tali valori.

T

rT fEef ˆ

5


Metodo Monte Carlo e Integrazione

L’idea di base del metodo è del tutto generale;

Un’estrazione da un campione di numeri casuali può essere

utilizzata come stimatore di un integrale

1

0

)( dxxfI

Questa espressione può essere interpretata come ilvalore di aspettazione della funzione f di una variabilealeatoria a valori uniformemente distribuiti nell’intervallo[0, 1]

6


Spiegazione dell’affermazione precedente

Il valore di aspettazione di una funzione di una generica variabile

aleatoria con densità g(x) e dominio di valori in è dato da

Se consideriamo una variabile x uniformemente distribuita in [0,1]

otteniamo

dxxgxfxfE )()()]([

1

0

)()()()]([

]1,0[1

]1,0[0)(

dxxfdxxgxfxfE

xse

xsexg

7


Diventa così possibile stimare il valore del nostro integrale tramite una

media aritmetica di n valori di f(xi) dove ciascun xi rappresenta un campione

estratto da una distribuzione uniforme in [0, 1]. In altre parole possiamo

affermare che la quantità

n

i

in xfn

I

1

)(1~

rappresenta uno stimatore non distorto di I. La varianza di questastima risulta pari a:

n

dxIxfn

xfn

xfn

In

i

i

n

i

in

21

0

2

12

1

)(1

)(var1

)(1

var)~

var(

8


Il fondamento statistico del metodo MC è

rappresentato dal teorema del limite centrale;

secondo questo teorema la somma di n

variabili casuali indipendenti e identicamente

distribuite segue approssimativamente una

normale con media e varianza tendente a

zero per n crescente.

9


Formalmente: sia X1, ..., Xn una successione di variabilialeatorie indipendenti e identicamente distribuite con

Abbiamo

Cioè Sn si distribuisce normalmente con media e varianza2/n.

2)(,)( XVarXE

n

i

inn

NXn

S1

2

,1

10


l’errore quadratico medio dello stimatore, che può essere interpretato comel’errore quadratico medio della simulazione Monte Carlo, decresceall’aumentare di n come

Questo risultato risulta del tutto indipendente dalla dimensione delproblema.

E’ proprio quest’ultima caratteristica che rende attraente il metodo MonteCarlo per la risoluzione di problemi con un numero elevato di dimensioni. Inquesto caso tipicamente il metodo Monte Carlo risulta convergere verso ilvalore finale più velocemente dei metodi numerici tradizionali in cui ilnumero di iterazioni per raggiungere un’approssimazione prefissata crescecon l’aumentare del numero di dimensioni.

n/1

11


3.8

3.9

4

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

4.6

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000 50000

Monte Carlo Standard

Black & Scholes

12


Passando dal problema generale al caso più specifico della

determinazione del valore delle opzioni, si consideri il

processo di pricing di un’opzione call di tipo europeo;

Il punto di partenza consiste nella definizione del processo

dinamico seguito dal sottostante;

Nel caso dei derivati su indici azionari o su azioni è comune

assumere che il sottostante segua un processo di tipo

geometrico browniano.

13

SdwSdtdS

dwdtSd

2)ln(

2

Lemma di Ito

tzt2S

SSSS

2

0

0

ln)ln()ln()ln(

Un processo per i prezzi azionari

14

tzt2S

S 2

0

ln

tzt

2SS

2

0

exp


Nota: In queste formule zrappresenta una variabilealeatoria estratta da unadistribuzione normalestandard N(0,1).

15


Processi per il Sottostante

Generazione Scenari

Distribuzione probabilistica dei premi

Calcolo della media e dell’errore

16

Generazione degli Scenari

17

Generazione di Scenari

Da un punto di vista del tutto generale la generazione di uno scenario

equivale alla generazione di un possibile percorso per il processo stocastico

del sottostante S(t) descritto da un’Equazione Differenziale Stocastica (SDE)

del tipo:

Più precisamente, uno scenario è un insieme di valori

che rappresentano un’approssimazione della j-esima realizzazione,S j(ti), della

soluzione dell’equazione differenziale stocastica ai tempi

dWtSbdttSatdS ),(),()(

IitS i

j ,,1, )(ˆ

IiTti ,,1,0

18


19


Ci sono diversi modi per costruire uno scenario, vediamo i

due più importanti:

Costruire un percorso della soluzione della nostra SDE ai tempi ti

per mezzo di una propagazione esatta della soluzione;

Questo metodo è possibile solo quando disponiamo di una

soluzione in forma chiusa per la probabilità condizionale;

Approssimazione numerica dell’equazione differenziale stocastica;

Questo metodo viene utilizzato ogniqualvolta non si dispone

della soluzione chiusa di cui sopra;

Come nel caso delle equazioni differenziali ordinarie, esistono

diverse tecniche numeriche per la risoluzione delle equazioni

differenziali stocastiche.

20


Propagazione della Soluzione

Esempio: Processo log-normale con drift e volatilità

costanti.

dWdtS

dS

)()(

2

1exp)()( 11

2

1 iiiiii tWtWtttStS

)(

2

1exp)0()( 2 tWtStS

Soluzione

Generazione Traiettorie

21


Integrazione Numerica della SDE

Come abbiamo già detto, l’integrazione numerica è un altro metodo

per la risoluzione di un’equazione differenziale stocastica;

Nel caso dell’integrazione numerica di Equazioni Differenziali

Ordinarie, i vari schemi di integrazione, come abbiamo visto,

introducono diversi errori di discretizzazione che si riflettono

sull’errore finale e che in genere sono proporzionali ad una potenza

dell’intervallo temporale utilizzato.

Questo errore viene chiamato Errore di Troncamento dello schema

di discretizzazione.

22



Nel caso dell’integrazione numerica di SDE tramite le differenze finite,

l’interpretazione degli errori numerici introdotti dal processo di

discretizzazione diventa più complicata;

A differenza del caso delle ODE dove l’unico aspetto al quale siamo

interessati è la soluzione dell’equazione stessa, quando abbiamo a che fare

con una SDE ci sono almeno due aspetti distinti che meritano la nostra

attenzione:

Il primo aspetto è legato all’accuratezza con la quale calcoliamo le traiettorie di

una particolare realizzazione della soluzione;

Il secondo è legato all’accuratezza con la quale possiamo stimare una generica

funzione del processo stocastico sottostante come ad esempio i momenti.

23



L’aspetto interessante è che l’ordine di accuratezza con il quale un

determinato schema di discretizzazione può approssimare una

traiettoria della soluzione in generale non è lo stesso con il quale lo

stesso schema può approssimare una funzione del processo

stocastico sottostante;

La convergenza delle traiettorie calcolate numericamente alle traiettorie

“reali” viene chiamata convergenza forte e l’ordine dello schema

corrispondente viene detto ordine di convergenza forte;

La convergenza della soluzione numerica di una funzione del processo

stocastico sottostante è detta invece convergenza debole e il

corrispondente ordine viene chiamato ordine di convergenza debole.

24



I due schemi di discretizzazione più importanti per l’integrazione

di SDE sono l’ Explicit Euler scheme e il Milshtein scheme

))()()(),(ˆ()),(ˆ()(ˆ)(ˆ 11 iiiiiiii tWtWttSbtttSatStS

ttWtWS

ttSbttSb ii

iiii

2

1 )()()),(ˆ(

)),(ˆ(2

1

dWtSbdttSatdS ),(),()(

EULER

MILSHSTEIN

25

Metodi di Riduzione della Varianza

26

Metodi di Riduzione della Varianza

Il fatto che l’errore quadratico medio della previsione

effettuata con la tecnica MC decresce all’aumentare delle

simulazioni rappresenta come abbiamo già detto un aspetto

interessante della metodologia in quanto risulta indipendente

dal numero di dimensioni del problema;

Tuttavia la particolare forma di convergenza (1/n½) è di per se

piuttosto lenta per cui sono state sviluppate delle tecniche di

riduzione della varianza che permettono di accorciare (entro

certi limiti) i tempi di elaborazione.

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Un Problema di Efficienza

Immaginiamo di voler calcolare un certo parametro P (ad esempio

il prezzo di un’opzione) e di poter scegliere fra due diverse stime

ottenibili con il metodo Monte Carlo rappresentate dalle due serie

di valori ottenuti con il processo di simulazione

Supponiamo poi che entrambi gli stimatori siano corretti, cioè valga

ma con

niPi ,...,1,ˆ1 niP i ,...,1,ˆ

2

PPE 1ˆ PPE 2

ˆ

21

28


Chiaramente sulla base di queste sole informazioni saremmo

portati a scegliere il primo stimatore in quanto, a parità di

numero di simulazioni, l’errore di stima risulterà senz’altro

minore.

Tuttavia, come accennavamo poco sopra, questa conclusione

rischia in realtà di non essere corretta in quanto non tiene

conto del fatto che i due stimatori possono richiedere risorse

computazionali molto diverse fra loro;

in particolare generare n replicazioni di P1 potrebbe richiedere

molto più tempo che generare n replicazioni di P2.

29


Un primo approccio al problema potrebbe essere quello di

introdurre esplicitamente nelle nostre considerazioni il tempo

di calcolo richiesto.

Supponiamo che il tempo richiesto per generare una singola

replicazione di Pj possa essere espresso da una costante

che indicheremo con bj, avendo a disposizione un tempo

totale di calcolo pari a t il numero di replicazioni di Pj che

possiamo generare sarà pari a t/bj.

I due stimatori possono pertanto essere riscritti introducendo

esplicitamente il tempo di calcolo nelle formule

1/

1

11 ˆbt

i

iPt

b

2/

1

22 ˆbt

i

iPt

b

30


Per valori sufficientemente alti di t queste due quantità sono normalmente

distribuite con media P e standard deviation

pertanto per grandi valori di t il primo stimatore sarà preferibile al secondo

se

l’inverso del prodotto della varianza per il tempo necessario ad eseguire un

singolo run viene indicato in letteratura col nome di efficienza (Hammersley

e Handscomb, 1964).

Usando l’efficienza come base per il confronto fra diversi stimatori possiamo

concludere che lo stimatore a bassa varianza è preferibile all’altro solo se il

rapporto delle varianza è più piccolo del rapporto fra i tempi di singola

replicazione.

t

b

t

b 22

11

2

2

21

2

1 bb

31

Variabili Antitetiche

Uno dei metodi più semplici e più utilizzati in campo finanziario per la

riduzione della varianza è senz’altro il metodo delle variabili

antitetiche.

Consideriamo di nuovo la procedura classica di stima del prezzo di

un’opzione, per semplicità espositiva ci limiteremo ancora al contesto

del modello di Black e Scholes.

Se si adotta la tecnica della variabile antitetica, in ogni

simulazione si devono determinare due valori.

Il primo valore è quello calcolato nel modo consueto...

... mentre il secondo valore viene calcolato cambiando

segno a tutti i campioni estratti casualmente dalle

distribuzioni normali standardizzate.

32


I due stimatori hanno chiaramente le stesse proprietà

statistiche essendo estratti dallo stesso campione (in

particolare hanno la stessa varianza).

Il valore campionario del derivato calcolato in ogni

simulazione è la media di questi due valori e la sua varianza è

data da

iii

iiii

CCCovCVar2

1

CCVar4

1

2

CCVar

~,

~~

33


Pertanto

In questo caso occorre tuttavia tenere presente che questa procedura richiede un

numero di simulazioni doppio rispetto al caso standard per cui è necessario ragionare

in termini di efficienza;

Se supponiamo che la generazione dei numeri casuali richieda un tempo trascurabile

rispetto al calcolo del prezzo allora possiamo affermare che il tempo impiegato

utilizzando le variabili antitetiche sia all’incirca doppio di quello richiesto nel caso

standard.

In questo caso il metodo delle variabili antitetiche è preferibile al metodo standard se

si verifica la condizione

)()()()~

,( imedioiii CVarCVarCVarCCCov

)()(2 imedio CVarCVar

34


Questa condizione è equivalente a richiedere che

0~

, ii CCCov

Verifichiamo se questa condizione è valida.

Indichiamo con la funzione definita dalla relazione )( ii ZC ; supponiamo che sia

la composizione di due funzioni monotone, la prima è quella che lega il valore del

sottostante alla variabile aleatoria Z, la seconda è la funzione che calcola il payoff come

valore massimo fra 0 e la differenza fra il prezzo del sottostante e lo strike price. In

queste condizioni anche è monotona.

35


Utilizzando una disuguaglianza standard possiamo allora verificare che

)()()()( iiii ZEZEZZE

da cui segue immediatamente

0)()()()(~

, iiiiii ZEZEZZECCCov

Quindi il metodo delle variabili antitetiche è più efficiente del metodo standard a patto che siano verificate le condizioni di monotonicità citate.

Nel caso di payoff non monotoni il metodo non necessariamente fornisce prestazioni

migliori del Monte Carlo standard, anzi, in alcune condizioni i risultati sono

sensibilmente peggiori.

36

Moment Matching

Il metodo dei momenti (moment matching) comporta l’aggiustamentodei campioni estratti da una distribuzione normale standardizzata in mododa assicurare l’uguaglianza tra i momenti campionari (in genere il primo eil secondo) e i corrispondenti momenti della distribuzione probabilistica.

Indichiamo con Zi i campioni estratti da una distribuzione normaleusati per calcolare la variazione di valore di una certa variabile in un certoperiodo di tempo. Per assicurare l’uguaglianza dei primi due momenticalcoliamo la media campionaria m e la deviazione standard campionarias. Quindi definiamo nel modo seguente i campioni aggiustati

s

mZZ i

i

'

37

Moment Matching

Dim Media As Double

Dim StDev As Double

' vettore di variabili normali standard

Dim z() As Double

' vettore di variabili normali standard con

' moment matching

Dim y() As Double

ReDim z(1 To n) As Double

ReDim y(1 To n) As Double

' generazione del vettore di variabili normali

For i = 1 To n

z(i) = Application.WorksheetFunction.NormSInv(Rnd)

Next

' calcolo di media e standard deviation

Media = Application.WorksheetFunction.Average(z)

StDev = Application.WorksheetFunction.StDev(z)

' matching dei primi due momenti e generazione di y

For i = 1 To n

y(i) = (z(i) - Media) / StDev

Next

38

Campionamento stratificato

La campionatura stratificata (stratified

sampling) comporta la suddivisione in strati,

o intervalli, della distribuzione probabilistica

sottostante e l’estrazione di campioni da

ciascun intervallo in base alla probabilità che

è ad esso associata.

Consideriamo, per esempio, la generazione

di 100 variabili distribuite normalmente.

Il metodo più ovvio di fare ciò consiste nel generare

100 numeri uniformemente distribuiti fra 0 ed 1 e

calcolare per ciascuno di questi la funzione inversa

della distribuzione normale.

Questo metodo tuttavia produce un risultato che

risulta alquanto scadente poiché le code della

distribuzione saranno sicuramente

sottocampionate

senza campionamento stratificato

0

2

4

6

8

10

12

14

-3

-2.2

5-1

.5

-0.7

5 00.

75 1.5

2.25 3

ClasseF

req

ue

nza

39

Campionamento stratificato

Un metodo alternativo, più efficace,consiste nel forzare ciascun numerogenerato al passo i a cadereesattamente fra l’ (i-1)-esimopercentile e l’i-esimo.

Un modo estremamente semplice perottenere questo risultato consiste nelgenerare 100 numeri Uiuniformemente distribuiti in [0, 1 ] ecalcolare*

* I numeri così generati non sono più indipendenti e questo complica lastima dell’errore e del livello di confidenza. Questo problema è comune atutte le tecniche di riduzione della varianza e non viene discusso inquesta introduzione. Il lettore comunque deve essere consapevole dellasua esistenza.

100

1~ 1 ii

UiNU

con campionamento stratificato

0

2

4

6

8

10

12

-3

-2.2

5-1

.5

-0.7

5 00.

75 1.5

2.25 3

Classe

Fre

qu

en

za

40

Variabili di Controllo

Supponiamo che Y1,….,Yn siano gli output di n replicazioni di una simulazione;

Supponiamo anche che gli Yi siano iid e che il nostro obiettivo sia quello di

stimare E[Yi ];

Per ogni simulazione calcoliamo adesso un’altra variabile Xi assieme ad Yi, il cui

valore atteso E[X] sia noto;

A questo punto prendiamo come output dell’i-esima simulazione la quantità

XEXbYbY iii )(

41


… il valore medio è lo stesso della variabile Y

La nostra variabile X viene detta variabile di controllo;

L’errore osservabile <X>-E[X] serve come controllo nella stima di

E[Y];

Tuttavia si può dimostrare che lo stimatore con variabile di controllo

ha una varianza minore dello stimatore originale a patto che

i

i

i

ii YN

XEXbYN

XEXbYbY1

][1

][)(

XYYX bb 2

42


L’efficacia di una variabile di controllo …

Dipende moltissimo dall’intensità della correlazione fra la variabile da

stimare e la variabile di controllo stessa

Può variare molto con i parametri del problema!

Si può dimostrare che per una singola variabile di

controllo il valore ottimale del parametro b*

)var(

),cov(*

X

YX

43

Opzioni asiatiche

Le opzioni asiatiche sono opzioni il cui valore finale dipende dalla

media aritmetica dei prezzi dell’attività sottostante, rilevati in date

predeterminate:

average price call:

Le opzioni asiatiche sono meno care delle opzioni ordinarie in

quanto il calcolo della media diminuisce di fatto la volatilità del

sottostante.

m

i

iaverage

average

tSm

S

ESMax

1

)(1

0,off-Pay

44

Opzioni asiatiche

Il problema di gran parte delle opzioni asiatiche è che sono

scritte su medie aritmetiche del sottostante osservato a diverse

date di rilevazione.

Nel modello di Black e Scholes, in cui la distribuzione dei prezzi

è log-normale, questo crea un problema perché la distribuzione

di probabilità di somme di variabili a distribuzione log-normale

non è nota.

Tecniche di valutazione: Moment matching (Turnbull e Wakeman): la distribuzione della media è

approssimata con una distribuzione log-normale con uguale media e varianza.

Metodo Monte Carlo: vengono generati scenari per le date di campionamento,

calcolati i pay-off per ogni sentiero e ne viene calcolata la media

45

Variabile di Controllo

Applicazione al Pricing di un’Opzione Asiatica

Se si assume che il prezzo dell’attività sottostante, S, sia distribuito in modo

log-normale e che Save sia una media geometrica degli S, possiamo

utilizzare delle formule analitiche per valutare le opzioni asiatiche di tipo

europeo.

Ciò dipende dal fatto che la media geometrica di un insieme di variabili

distribuite in modo log-normale è anch’essa log-normale.

Si può dimostrare che in un mondo neutrale verso il rischio il prezzo di

un’opzione asiatica scritta su una media geometrica calcolata su m periodi

temporalmente equidistanziati...m

m

j

t jSG

/1

1

)()(

2

1exp)exp( 21

2 dKNdNrTC GGG

è pari a ...

46



dove

mThhT

qrSG / 22

1ln 2

0

m

mmhG

6

)1)(12(22

G

GG Kd

2

1

)ln(

Gdd 12

47



Nella simulazione Monte Carlo standard il prezzo dell’opzione viene calcolato come

niKAEeC irTi ,,1 ,)0,max( )()(

dove A(i) è la media aritmetica discreta campionata

m

j

tii

jS

mA

1

)()( 1

calcolata su un insieme discreto di punti

mjtm

Thhtt jj ,,2,1 ,0 , , 01

ed n è il numero di simulazioni. Questo porta allo stimatore

n

i

iCn

C1

)(1ˆ

48



Utilizzando il metodo della variabile di controllo oltre alle variabili descritte sopra dobbiamo calcolare la media geometrica per ogni simulazione

mm

j

i

t

i

jSG

/1

1

)()(

e il valore campionato dell’opzione asiatica a media geometrica

)0,max()exp( )()( KGrTC ii

G

Questa volta però utilizzeremo lo stimatore

n

i

G

i

G

i CCCn

C1

)()( )(1ˆ

49



0,00

5,00

10,00

15,00

20,00

25,00

0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50

Volatilità Sottostante

Asiatica Aritmetica

Europea Black & Scholes

Asiatica Geometrica

50

0,00

5,00

10,00

15,00

20,00

25,00

30,00

35,00

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0

Tempo a Scadenza

Asiatica Aritmetica

Europea Black & Scholes

Asiatica Geometrica



51



0,0000

0,1000

0,2000

0,3000

0,4000

0,5000

0,6000

0,7000

0,8000

0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50

Volatilità Sottostante

MC Standard MC Controllo MC Antithetic

52



0,0000

0,1000

0,2000

0,3000

0,4000

0,5000

0,6000

0,7000

0,8000

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0

Tempo a Scadenza

MC Standard MC Controllo

MC Antithetic

53

Stima della Sensitività

54

Greek Letters: Differenze Finite

Consideriamo il problema legato al calcolo del Delta di un’opzioneeuropea

Un approccio diretto al problema può consistere nella generazione didue prezzi finali, il primo

a partire dal valore S0 , e il secondo a partire dal valore perturbato S0 +

0S

C

ZTTrT eSS )2/(

0

2

')2/(0

2

)( ZTTrT eSS

Z e Z’ sono due estrazioni indipendenti da una

normale standard

55

Greek Letters

Per ogni valore del prezzo finale possiamo poi calcolare il valore

dell’opzione corrispondente

),0max(0 KSeSC TrT

))(,0max(0 KSeSC TrT

00~ SCSC

56

Greek Letters

Problema

Poiché i valori per ST e ST() sono generati indipendentemente l’unodall’altro la varianza di delta diverge al diminuire del valore di .

Per ottenere uno stimatore che converga verso il valore effettivo delDelta occorre diminuire in maniera graduale (e lenta) il valore di all’aumentare di n. Complessivamente questo rallenta la velocità diconvergenza fino a livelli del tutto inaccettabili.

)()()(~ 2

00

2 OSCVarSCVarVar

57

Greek Letters

Una stima migliore può essere ottenuta utilizzando il metodo deiNumeri Casuali Comuni (Common Random Numbers) che nellafattispecie si traduce nell’utilizzare lo stesso numero casuale Z sia nelcalcolo di S0 che di S0 + .

Se denotiamo con ^ la stima del Delta così calcolata; per un valore di fissato, la media di un campione di repliche indipendenti di ^converge al valore effettivo di Delta ma il calcolo della varianza orafornisce un valore diverso in quanto C(S0) e C(S0 + ) non sono piùindipendenti

)1(00 O

SCSCVar

Cov > 0

)(),(2)()(ˆ0000

2 SCSCCovSCVarSCVarVar

58

Simulazioni Multivariate

59

Opzioni multivariate

Basket: il valore del sottostante è calcolato con una

media ponderata di un insieme di titoli

Rainbow: utilizzano funzioni diverse per il calcolo del

pay-off:

opzioni sul massimo o sul minimo di un paniere dei titoli (option

on the max/min)

opzioni che consentono di scambiare un’attività finanziaria con

un’altra (exchange option),

opzioni scritte sulla differenza di valori tra due sottostanti

(spread option),

opzioni con strike diversi per ogni titolo del paniere (multi-

strike).

60

Opzioni basket

Per le opzioni basket si pone lo stesso problema che

per le opzioni asiatiche. Da un lato se la media del

basket fosse geometrica l’opzione potrebbe essere

prezzata utilizzando la formula di Black e Scholes

(medie geometriche di variabili log-normali sono log-

normali). Dall’altro in gran parte dei casi si utilizzano

medie aritmetiche, nel qual caso la non ne conosciamo

la distribuzione.

Anche in questo caso le alternative sono due

Moment matching

Simulazione Monte Carlo

61

Misure di co-dipendenza

Distribuzioni Marginali

Data la distribuzione congiunta di due variabili x ed y la

funzione di densità marginale di x è definita come

E, analogamente,

)(

),()(yD

x dyyxx

)(

),()(xD

y dxyxy

62


Indipendenza

Due variabili x ed y si dicono indipendenti se la loro

funzione densità congiunta si fattorizza nel prodotto

delle densità marginali

)()(),( , yxyxtiindipendenyx yx

63

Correlazione Lineare

Ricordiamo la definizione di correlazione lineare tra due

variabili x ed y


222

2

,

)()()()(

)()(),(

)()(

),cov(

dyyydyyydxxxdxxx

dyyydxxxdxdyyxxy

yx

yx

yyxx

yx

yx

64

Correlazione Lineare

Spesso si ritiene che la conoscenza del coefficiente di

correlazione lineare unitamente alla specificazione delle

distribuzioni marginali, permetta di determinare la distribuzione

di probabilità congiunta.

In realtà questo è vero solo per certe classi di distribuzioni tra

cui la distribuzione normale.

In generale quindi l’inferenza

Non è valida


),(),(),( , yxyx yxyx

65

Oltre l’indice di correlazione lineare

La correlazione lineare è un buona misura di co-dipendenza per variabili

normali. Per distribuzioni che non sia allontanano troppo dalla “normalità”

continua a fornire indicazioni utili ma all’allontanarsi da queste condizioni

(in molti casi soltanto ideali) l’indice di correlazione lineare fornisce risultati

sempre più fuorvianti!

L’indice di correlazione lineare non è invariante rispetto a trasformazioni

non lineari delle variabili.

A differenza degli stimatori non-parametrici, l’indice di correlazione lineare

può non coprire l’intero range da – 1 a + 1, rendendo problematica

l’interpretazione del grado di dipendenza


66

Rho di Sperman

Questo indice è definito come coefficiente di correlazione lineare fra le

funzioni di distribuzione delle due variabili. In altre parole, date due

variabili x ed y e le loro distribuzioni marginali, calcoliamo prima di tutto le

distribuzioni marginali cumulate

Utilizzando due semplici risultati …


y

yy

x

xx dydx )(:)( )(:)(

1

0

22

1

03

1)()( ,

2

1)()( duudxxxududxxx xxx x

67

Rho di Sperman … possiamo scrivere

Tau di Kendal


3),()()(12 dxdyyxyx yxS

1),(),(4 dxdyyxyxK

68


Il tau di Kendal e il Rho di Sperman appartengono alla

categoria delle cosiddette rank correlation ;

Sono invarianti per un’ampia tipologia di trasformazione

delle variabili;

Questo tipo di indicatori, a differenza del coefficiente di

correlazione lineare, ha la proprietà che date due

distribuzioni marginali esiste sempre una distribuzione

congiunta per ogni valore dell’indice compreso

nell’intervallo [-1, 1].

69

Variabili Normali Multivariate

Cholescky Decomposition

Indichiamo con X un vettore di variabili aleatorie indipendenti ciascuna delle

quali distribuita secondo una normale standard, la matrice di varianza-

covarianza di X sarà pertanto data dalla matrice unità di dimensione n n.

Supponiamo di voler derivare da questo insieme di variabili un secondo set

di variabili, che indicheremo con Y, non più indipendenti bensì dotato di

matrice di varianza-covarianza assegnata .

Il nuovo insieme di variabili aleatorie può essere ricercato come

combinazione lineare delle variabili indipendenti , cioè si pone

Il problema si riconduce così alla determinazione di una matrice A di

dimensione n n tale che

AXY

tAA

70

N

j

N

j kj

kjikijjij

N

j kj

kjikij

N

j

jijii

N

j

jiji

N

j

jiji

ij

jij

ii

axxaaxa

xxaaxa

xayyyy

xayxay

1

2

1

22

1

22

2

1

2222

11

2

2

)(

0


1)(22 jj xx

AXY

0),cov( kjkj xxxx

71


La soluzione della precedente equazione non è unica nel senso che

esistono più matrici A che, moltiplicate per la loro trasposta, danno

come risultato . Se la matrice è definita positiva il metodo più

efficiente dal punto di vista computazionale per risolvere il problema

consiste nell’applicazione della scomposizione di Cholescky.

nnnn AAA

AA

A

A

21

2221

11

0

00


Il punto chiave di tale

metodologia consiste nel

ricercare A nella forma di una

matrice triangolare inferiore,

ovvero una matrice in cui tutti gli

elementi sopra la diagonale

sono nulli,

72


Sviluppando il prodotto AAt in componenti è facile verificare che gli elementidi A sono ricavabili dalle seguenti formule iterative

Ad esempio per il caso semplice di due variabili troviamo

1

1

2i

k

ikiiii aa

1

1

1 i

k

jkikij

ii

ji aaa

a

222

1

1

0

A


73

Il Condizionamento della Matrice di Varianza e Covarianza

Può accadere, specialmente quando si lavora con problemi ad elevata

dimensionalità, che la matrice di correlazione non risulti semi-definita

positiva;

In tal caso almeno uno degli autovalori della matrice risulterà negativo.

Spesso questo fatto è riconducibile alle procedure che hanno portato

alla costruzione della matrice stessa;

ad esempio è sufficiente avere serie storiche di prezzi non perfettamente allineate

o prezzi registrati a tempi diversi per produrre quasi sicuramente una matrice di

correlazione mal definita.

In questi casi non è sempre possibile ricostruire la matrice stessa (si

pensi al caso limite in cui la matrice viene scaricata da un provider

esterno come nel caso di RiskMetrics) per cui è necessario disporre di

metodi che possano rimuovere gli autovalori negativi in modo che la

matrice risulti definita positiva col minor impatto possibile sui valori

della matrice stessa.

74

Una procedura possibile è la seguente

Calcolare autovalori e autovettori della matrice di correlazione

Porre gli autovalori negativi uguali a zero;

Ricostruire la nuova matrice di correlazione;

L’ultimo passaggio è facilmente realizzabile a partire dalla matrice degli

autovettori E e dalla matrice (diagonale) degli autovalori

Il Condizionamento della Matrice di Varianza e Covarianza

tEEC

E’ molto probabile che la nuova matrice così ottenuta abbia elementi lungo la diagonale diversi da 1. Per questo è

necessario procedere ad una normalizzazione ponendo

dove D1/2 è una matrice diagonale i cui elementi sono le radici quadrate degli elementi diagonali di C.

DC

DC

11

75

Funzioni di copula: concetti base

Una funzione z = C(u,v) è detta copula se e solo se

1. z, u e v sono in [0,1]

2. C(0,v) = C(u,0) = 0, C(1,v) = v, C(u,1) = u

3. C(u2, v2 ) – C(u1, v2 ) – C (u2, v1) – C (u1, v1) 0 per tutti i valori u2 >

u1 e v2 > v1

Teorema di Sklar

Ogni distribuzione congiunta può essere scritta come una funzione dicopula che abbia le distribuzioni marginali come argomenti e qualsiasifunzione di copula che abbia distribuzioni come argomenti è unadistribuzione congiunta

76

Possiamo quindi scrivere

L’utilizzo delle funzioni di copula consente di specificare

separatamente le distribuzioni marginali delle variabili e la loro

struttura di dipendenza

Le funzioni di copula sono legate alle statistiche non-parametriche di

dipendenza, ad esempio il di Kendall o il di Spearman.

Funzioni di copula: concetti base

)(),(),( yxCyx yx

77

Copule

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

S1

S4

S7

S10

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

Copula Massima

78

Copule

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

S1

S6

S11

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

Copula Minima

79

Copule

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

S1

S5

S9

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

Copula Prodotto

80

Algoritmi per la modellazione della dipendenza

La copula gaussiana

Calcolo della pseudo-radice di R

A: R=AAT

INPUT

n funzioni di densità marginali

matrice di correlazione R

)(,),(),()( 2211 nxnxxx xxxx

Generazione di n variabili normali

standard non correlate

z

Da z si ricava un vettore di variabili v

uniformemente distribuite fra 0 ed 1

ponendo

vi = N(z’

i)

Introduzione della correlazione

z’ = Az

Calcolo del vettore x utilizzando la

distribuzione cumulativa inversa

marginale

)(1

1 ixi vx

END

START

L’algoritmo si riassume nei seguenti passi generare un vettore di variabili normali con

correlazione assegnata;

Trasformare tali variabili in variabili con distribuzioneuniforme in [0, 1] utilizzando la funzione comulatadella normale;

Utilizzare queste variabili come base per generare ilvettore x, secondo il metodo della trasformazioneinversa utilizzando come funzioni di trasformazionele inverse delle comulate marginali specificate ininput.

E’ importante ricordare che i coefficienti dicorrelazione che controllano la copulagaussiana, e che vengono utilizzatinell’algoritmo descritto a lato, possono esseremolto diversi dalla correlazione lineare

81

Algoritmi per la modellazione

della dipendenza

La copula tCalcolo della pseudo-radice di R

A: R=AAT

INPUT

n funzioni di densità marginali

matrice di correlazione R

Generazione di n variabili normali

standard non correlate

z

Introduzione della correlazione

z’ = Az

START

Generare una variabile, s, distribuita

secondo una chi-quadro con n gradi

di libertà. Per n intero questo può

essere ottenuto semplicemente

generando n variabili normali

indipendenti e sommando i loro

quadrati.

Da y si ricava un vettore di variabili v

uniformemente distribuite fra 0 ed 1

utilizzando la funzione di probabilità

comulativa della t di Student

Porre

zs

ny

Calcolo del vettore x utilizzando la

distribuzione cumulativa inversa

marginale

)(1

1 ixi vx

END