METODIKA POETNE NASTAVE MATEMATIKE

1. NAZIV, PREDMET PROUAVANJA, ODNOS PREMA DRUGIM ZNANOSTIMA

1.1. ODREENJE PREDMETA (I TRIJU TERMINA): METODIKA znanstvena disciplina koja prouava odgoj i obrazovanje u nastavnom predmetu, odgojno-obrazovnom podruju ili kojem drugom odgojno-obrazovnom radu. MATEMATIKA (gr.mathema, navika o veliinama) nauka o odnosima meu veliinama i prostornim formama. Predmet su prouavanja kvantitativni odnosi i prostorni oblici. NASTAVA MATEMATIKE je nastavni predmet u kojem se odgoj i obrazovanje ostvaruju matematikim sadrajima. Matematika je pretpostavka nastave matematike, a nastava matematike je pretpostavka metodike nastave matematike. METODIKA NASTAVE MATEMATIKE pedagoka je znanstvena disciplina koja prouava odgoj i obrazovanje u nastavi matematike na svim stupnjevima kolovanja. (Od osnovnih, preko visokih kola do fakulteta.) METODIKA POETNE NASTAVE MATEMATIKE oznaava znanstvenu disciplinu koja prouava matematiko odgajanje i obrazovanje u prva etiri razreda osnovne kole, tj.u razrednoj nastavi. KARAKTERISTIKE MPNM: Poetno formiranje matematikih pojmova kao to su: prirodni broj relacije i operacije s tim brojevima pojmovi o zakonitostima raunskih operacija elementarni geometrijski pojmovi Sadraji uenja visoke apstrakcije Pojmovni objekti (crtice) Kvantitativni odnosi i prostorni oblici koji su apstrakcijom i generalizacijom dobiveni elementi logikog miljenja Stupanj i kvaliteta intelektualne razvijenosti kolskih poetnika

-

Visok stupanj metodikog oblikovanja matematikih nastavnih sadraja

1.2.PREDMET PROUAVANJA U prvom redu to je matematiko odgajanje i obrazovanje u prva etiri razreda osnovne kole. Elementi koji ulaze u sadraj metodikog prouavanja u predmetu prouavanja MPNM: odgojno obrazovna funkcija matematikih sadraja (nastavni predmet), uvjete u kojima se ostvaruje i uinke te funkcije proces matematikog odgoja i obrazovanja uloga pojedinih faktora: nastavnog gradiva, uenikovog intelektualnog razvoja zornosti vlastita aktivnosti uenika naela matematikog odgoja i obrazovanja u RN praenje, vrednovanje i ocjenjivanje psiholoko utemeljenje matematikog odgajanja i obrazovanja MPNM istrauje i: Nastavne metode, Nastavna sredstva i pomagala, Organizacija nastavnog procesa: - sadraj i struktura sata - aktivnosti na satu i dinamika njihove izmjene - uloga uenika i nastavnika - trajanje sata u cjelini i pojedinih njegovih etapa - upotreba nastavnih metoda, oblika rada te nastavnih sredstava i pomagala 1.3.METODIKA POETNE NASTAVE MATEMATIKE I DRUGE ZNANOSTI MPNM JE: - pedagogijska disciplina (s obzirom na predmet prouavanja)

- interdisciplinarna znanost (s obzirom na nain na koji prouava svoj predmet) -autonomna znanost (s obzirom na spoznaje koje otkriva) svoje spoznaje ostvaruje u okviru vlastite znanstvene predmetnosti ODNOS MPNM I MATEMATIKE: - uspostavlja vezu ponajvie s matematikim sadrajima kojima se ostvaruje odgojno-obrazovni proces - dodiruju se i putem metodike interpretacije programskih sadraja - putem metodologije (analogija, indukcija, dedukcija) ODNOS MPNM I PEDAGOGIJE: -dok opa pedagogija prouava i utvruje najopenitije zakonitosti odgoja i obrazovanja, dok ih MPNM prouava u uem o-o podruju ODNOS MPNM I DIDAKTIKE: -izraava se u preuzimanju i primjeni opih didaktikih zakonitosti o nastavi, iako MPNM ima ue podruje primjene ODNOS MPNM I POVIJEST: -MPNM otkriva i sistematizira spoznaje o koncepcijama i nainima izvoenja poetnog matematikog odgajanja i obrazovanja u razliitim vremenskim razdobljima i drutvenopovijesnim uvjetima, kao i s opom povijesti pedagogije ODNOS MPNM I PSIHOLOGIJSKIM ZNANOSTIMA: -veza s psihologijskim zakonitostima, razvojnom psihologijom te psihologijom uenja -iroko podruje primjene psiholokih spoznaja u MPNM, posebno kod oblikovanja metodike interpretacije matematikih sadraja

2. POETNA NASTAVA MATEMATIKE U SUSTAVU OPEG I OSNOVNOG OBRAZOVANJA POELJNE KOMPETENCIJE NASTAVNIKA MATEMATIKE (to ini matematiara kvalitetnim) 1. poznavanje matematikog sadraja 2. razumijevanje djejeg intelektualnog razvoja i djejih potreba 3. kreativnost u radu 4. otvorenost za promjene 5. pravilna, jasna, pozitivna komunikacija

6. vrenje evaluacije 7. informatika pismenost 8. primjena strategija za smisleno pouavanje i uenje 9. razumijevanje didaktikih elemenata 10. razumijevanje pedagokih osnova 2.1. CILJEVI I ZADATCI POETNE NASTAVE MATEMATIKE OPI CILJ poetne nastave matematike jest odgajanje i obrazovanje uenika na podlozi i pomou matematikih sadraja to ih za prva etiri razreda osnovne kole propisuje nastavni program. ZADATCI PNM: a) OBRAZOVNA KOMPONENTA: usvajanje programom propisanih sadraja: prirodni brojevi, relacije meu tim brojevima, operacije s tim brojevima i neke osnovne zakonitosti koje vrijede za te operacije. Poinju se formirati i osnovni geometrijski pojmovi. b) FUNKCIONALNA KOMPONENTA: razvijaju se psihike, osobito intelektualne sposobnosti uenika kao to su: miljenje, panja, pamenje, promatranje, razvijanje misaonih operacija s pojmovnim objektima kao to su analiza, indukcija, sinteza itd. c) ODGOJNA KOMPONENTA: formiraju se pozitivna svojstva linosti uenika kao to su: tonost, urednost, upornost u rjeavanju zadataka, navika sluenja geometrijskim priborom, njeguje se osjeaj za ljepotu i dr. CILJEVI PNM: a) usvajanje matematikih sadraja b) razvijanje psihikih sposobnosti c) formiranje pozitivnih svojstava uenikove linosti OBRAZOVNA KOMPONENTA Ostvaruje se: - formiranjem matematikih pojmova - razumijevanjem i ovladavanjem osnovnim raunskim operacijama s prirodnim brojevima (zbrajanje, oduzimanje, mnoenje i dijeljenje) - usvajanjem i razumijevanjem svojstava raunskih operacija (komutativnost, asocijativnost, distributivnost) - shvaanjem matematikih generalizacija - osposobljavanjem uenika za primjenu matematikog znanja u rjeavanju

Zadataka svakodnevnog ivota - formiranjem odreenih geometrijskih pojmova FUNKCIONALNA KOMPONETA Ostvaruje se: - razvijanjem psihikih i intelektualnih sposobnosti - razvijanjem uenikova miljenja i pamenja (uenjem mat.sadraja) - razvijanjem panje, usmjerene i distributivne - izgraivanjem sposobnosti promatranja ODGOJNA KOMPONENTA Ostvaruje se: - formiranjem i umnoavanjem pozitivnih svojstava ljudske linosti 2.2.NASTAVNI PROGRAM PNM Sadraje programa poetne nastave matematike karakteriziraju dva obiljeja: a) APSTRAKTNOST oituje se u injenici sa su to iskljuivo misaoni proizvodi izvedeni iz kvantitativnih odnosa i prostornih oblika objektivnog svijeta. Nisu realno egzistirajui objekti kao u nekim nastavnim premetima, ve su apstrahiranjem (odbacivanjem nebitnih oznaka) i generaliziranjem (upuivanjem bitnih oznaka) dobiveni elementi logikog miljenja. b) HIJERARHIJSKO LOGIKI RASPORED oituje se u nadreenosti odnosno podreenosti jednih sadraja drugima. Takav meusobni odnos uvjetovan je veom, odnosno manjom sloenou pojedinih sadraja, a sloenost ili jednostavnost programskih sadraja odreena je koliinom spoznaja u njima.

3.PSIHOLOKE OSNOVE POETNE NASTAVE MATEMATIKE 3.1.INTELEKTUALNA RAZVIJENOST KOLSKIH POETNIKA Intelektualna razvijenost dio je ope psihike razvijenosti i za uenje u poetnoj nastavi matematike najvaniji njen element. JEAN PIAGET (1895-1980) TEORIJA INTELEKTUALNOG RAZVOJA: - senzomotoriko razdoblje (2-5 godine) - predoperacijsko razdoblje (5-7 godina) - stupanj konkretnih operacija (7-11 godina)

- stupanj formalnih operacija (12-odrasla dob) STADIJ KONKRETNIH INTELEKTUALNIH OPERACIJA Znaajan za PNM jer su uenici koji u njoj sudjeluju upravo u tom stadiju intelektualnog razvoja i stoga raspolau obiljejima miljenja karakteristinim za taj stadij. -karakterizira ga za nastajanje i razvijanje sposobnosti logikog miljenja -dijete ovoga stadija svoje odgovore zasniva na percepcijama odnosno osjetilnim podacima dijete vrlo dobro shvaa invarijantnost svojstava veliina i objekata to je glavno sredstvo za spoznavanje onoga to ostaje nepromijenjeno Invarijantnost: 1.mora shvatiti ovisnost gustoe - mislima kompenzirati percepciju (RECIPROCITET) 2.mora odbaciti percepciju negirati poveanje niza (NEGACIJA) 3.mora posjedovati reverzibilnost miljenja (IDENTITET) da se u mislima vrati na polaznu opciju i shvati stalnost broja elemenata -miljenje djeteta ovog stadija karakterizira i poetno formiranje operacija tj. aktivnosti koje su postale interiorizirane (konkretna radnja se pretvara u misaonu) i reverzibilne (miljenje se postupno odvaja od perceptivnih podataka). -poinje se oblikovati operativno miljenje, a koje moe funkcionirati samo ako se zasniva na aktivnostima s konkretnim objektima -dvije su vrste aktivnosti s konkretnim objektima: a) aktivnosti koje rezultiraju spoznajom kvalitativnih, fizikih svojstava objekta b) aktivnosti to rezultiraju spoznajom svojstava koje objekti manipuliranja inae sami po sebi ne posjeduju -ta obiljeja miljenja djeteta ovog stadija smatraju se subjektivnim uvjetom uenja u PNM 3.2.SUBJEKTIVNE PRETPOSTAVKE ZA FORMIRANJE OSNOVNIH MATEMATIKIH POJMOVA - Ovim izrazom oznaavamo skup intelektualnih sposobnosti nunih za usvajanje osnovnih matematikih pojmova. Na poetku uenja to je stanje subjekta, a ukljuuje misaone operacije specifine za formiranje pojma prirodni broj, relacije i operacije s prirodnim brojevima. - Potrebno je poznavati intelektualne sposobnosti potrebite za njihovo formiranje jer one utjeu na oblikovanje nastavnog procesa, te metodiku interpretaciju matematikog sadraja. 1. sposobnost razlikovanja svojstva objekta od objekta (po kvalitativnom svojstvu: boja, oblik, veliina)

- zahvaljujui toj sposobnosti mogue je razlikovati i u svijesti odvajati objekte kao to su ekvivalentni skupovi od svojstava brojnosti tj. broja elemenata u njima (potrebno je osposobiti uenika za pojam broja mora odvojiti kvalitativna svojstva: nije bitna boja, oblik isl.) 2. sposobnost apstrahiranja i generaliziranja identificiranja zajednikog svojstva u grupi ili pojava (otkrivanje zajednikog) 3. sposobnost razumijevanja invarijantnosti svojstava veliina i objekata (u procesu transformiranja broj elemenata ostaje nepromijenjen: negacija, reciprocitet, identitet) 3.3. PROCES FORMIRANJA MISAONIH OPERACIJA - U PNM uenici usvajaju i pojmove zbrajanja, oduzimanja, mnoenja i dijeljenja prirodnih brojeva one se izvode misaonim aktivnostima, ali na konkretnim objektima. P.J.Galjperin izgradnja misaonih radnji kroz etape: 1. MATERIJALNO IZVOENJE RADNJE - prvi korak u izgradnji misaonih operacija kao to su +, -, x, : -pojmovni sadraj transformira se u perceptivni to omoguuje da se vidi sadraj budue misaone radnje. 2. GOVORNO IZVOENJE RADNJE - oslobaa od manipuliranja konkretnim objektima i usmjerava prema misaonim radnjama - vrijednost govornog izvoenja je u misaonom rekonstruiranju materijalne radnje i u stjecanju slijeda misli o njoj. 3. PRENOENJE RADNJE NA MISAONO PODRUJE - materijalna radnja ponovno postaje unutranja, misaona radnja. - proces transformiranja vanjske radnje u unutranju nazivamo interiorizacijom 3.4. ULOGA PREDZNANJA U UENJU MATEMATIKIH SADRAJA PREDZNANJE oznaava skup prethodno i trajno usvojenih spoznaja o matematikim pojavama i objektima koje su uporitem miljenju u uenju. Kao skup spoznaja predznanje moe biti jednostavna ili sloena hijerarhijski ureena cjelina sastavljena od irokog kruga znanja.

PREDZNANJE POTREBNO ZA UENJE U PNM je znanje koje slui stjecanju novog znanja, a glavna mu je funkcija transformiranje postojeeg znanja u sredstvo usvajanja novog znanja. Nedostatak predznanja uzrokovat e tekoe u uenju, to najee rezultira neuspjehom. Predznanje mora posjedovati tri obiljeja: OBILJEJE IDENTINOSTI je svojstvo predznanja da ima neke iste ili zajednike elemente s novim znanjem koje se stjee. To obiljeje transformira predznanje u sredstvo stjecanja novog znanja. OBILJEJE ADEKVATNOSTI oituje se u ispravnosti i potpunosti predznanja. Ispravno je predznanje koje se sastoji od znanstveno vjerodostojnih spoznaja, a predznanje koje nije uspjeno sredstvo stjecanja novog znanja jer pogrene i netone prethodne spoznaje uzrokuju loe i netone rezultate uenja. Potpuno je predznanje ono koje sadri sve prethodne spoznaje koje omoguuju stjecanje novog znanja. OBILJEJE STRUKTUIRANOSTI je svojstvo da predznanje potrebno za usvajanje sloenih sadraja mora biti na odgovarajui nain ureeno. SAMO ono predznanje koje posjeduje sva tri obiljeja moe postati pouzdanim sredstvom stjecanja novog matematikog znanja. Tako predznanje nazivamo RELEVANTNIM predznanjem. 3.5. UNAPREIVANJE INTELEKTUALNE SPREMNOSTI UENIKA ZA UENJE U PNM Temelji se na dvjema znanstvenim spoznajama: o mogunosti unapreivanja mentalnih sposobnosti nunih za razumijevanje invarijantnosti, klasifikacije, inkluzije itd. o mogunosti unapreivanja opeg intelektualnog razvoja djeteta Unapreivanje intelektualne spremnosti uenika sadri dva bitna elemenata: promatranje i manipuliranje konkretnim objektima (zorna sredstva, didaktiki materijal) prva etapa misaono preraivanje perceptivnih podataka i vlastitih aktivnosti objektima druga etapa 3.5.1. UPOZNAVANJE SVOJSTAVA OBJEKTA I SKUPA OBJEKATA

Da bi dijete shvatilo brojnost (spoznaje se miljenjem) mora otkrivati i upoznavati kvalitativna svojstva objekata (spoznaju se percepcijom). Da bi smo u uenika unaprijedili intelektualne sposobnosti treba: 1. Promatrati pojedine predmete i govorom izraavati svojstva tih objekata 2. Promatrati dva razliita predmeta s ciljem: da se u svakom premetu uoe njegova svojstva (boja, oblik, veliinai sl.) da se otkriju razliita svojstva promatranih predmeta (npr. jedan je velik, drugi je malen) da se otkriju ista, zajednika svojstva promatranih predmeta (boja, materijal, svrha kojoj su namjenjeni) da se govorom ispravno izraze perceptivni podaci steeni promatranjem 3. Vlastitom aktivnou mijenjati svojstva pojedinih objekata 4. Promatrajui skupove objekata otkrivati razliita i ista svojstva elemenata u skupu 5. Promatrati skupove objekata i otkrivati jedno svojstvo koje posjeduju svi elementi skupova 3.5.2. OSPOSOBLJAVANJE UENIKA U KLASIFICIRANJU Klasificirajui objekte, dijete razvija i obogauje miljenje, to je nuna pretpostavka za mnoge aktivnosti u nastavi matematike. Razlikujemo: Klasificiranje predmeta na osnovi jednog svojstva predmeta: 1. na osnovi boje predmeta 2. na osnovi oblika predmeta 3. na osnovi veliine predmeta 4. na osnovi materijala od kojih su nainjeni 5. na osnovi funkcije kojoj su namijenjeni Klasificiranje predmeta na osnovi dva svojstva: 1. na osnovi boje i oblika 2. na osnovi boje i veliine 3. na osnovi boje i materijala iz kojeg su nainjeni

3.5.3.OSPOSOBLJAVANJE UENIKA U RAZUMIJEVANJU INVARIJANTNOSTI Ima vie mogunosti za osposobljavanje uenika u razumijevanju invarijantnosti tj. onoga to u procesu transformiranja ostaje nepromijenjeno. Za upoznavanje invarijantnosti koliine mase, plotine povrine, duljine duine te invarijantnosti broja elemenata u skupu mogu se provoditi ovakva vjebanja: 1. promatraju se dvije kugle jednake veliine i koliine mase 2. dvije posude jednake veliine s jednakom koliinom tekuine 3. dva pravokutnika jednakih plotina i duljina stranica 4. dvije vrpce ili ice istih duljina 4. SPOZNAJNE OSNOVE POETNE NASTAVE MATEMATIKE S obzirom na gradivo u PNM uenici preteno usvajaju pojmove, za razliku od drugih predmeta gdje se preteno usvajaju injenice. Iz takve prirode usvajanja pojmova i injenica proizlaze i razlike u njihovu usvajanju: usvajanje injenica rezultat je EMPIRIJSKOG, a usvajanje pojmova RACIONALNOG SPOZNAVANJA. Takoer, injenice se mogu uiti bez razumijevanja, dok pojmovi ne mogu. Bez razumijevanja ne mogu se usvajati npr. definicije, pravila, zakonitosti koje predstavljaju skup meusobno povezanih pojmova. Pojmovi u PNM po sadraju mogu biti: jednostavni koji imaju jednu oznaku (esto apstraktniji, npr. broj) sloeni koji sadre vie oznaka

4.3. METODIKI PRISTUP FORMIRANJU OSNOVNIH MATEMATIKIH POJMOVA 4.3.1. PERCEPTIVNO PREDODBENI PRISTUP - Zasniva se na shvaanju po kojemu su percepcije i predodbe glavnim izvorima pojmova prirodnog broja i operacija s tim brojevima. - Pojmovi se izgrauju na osnovi percepcija i predodbi (steenih promatranjem kvantitativnih obiljeja objektivne realnosti)

- Predmet promatranja i objekti rasporeeni u prostoru, slike objekata i sve vrste brojnih slika. - Manipulirajui brojevnim rijeima i znamenkama bolje se shvaa njihovo znaenje Prednost: napredak u odnosu na verbalni Nedostatak: statinost brojevnih slika uvjetuje poistovjeivanje rasporeda tokica s brojnou elemenata tono fiksiran raspored 4.3.2. BROJEVNI PRISTUP - Zasniva se na shvaanju po kojem se pojam prirodnog broja i pojmovi operacija s tim brojevima izgrauju brojenjem i aktivnou s brojevima. - Polazei od pretpostavke da dijete dolaskom u kolu zna brojiti, brojevni pristup to znanje uzima za sredstvo upoznavanja broja, relacija meu brojevima te operacija s brojevima. - Glavna obiljeja toga pristupa moemo razmotriti na primjerima formiranja pojmova broja, relacija i operacija s brojevima. FORMIRANJE POJMA PRIRODNOG BROJA - Do pojma broja dolazi se, prema brojevnom pristupu, brojenjem. Pribrajajui po 1 moe se izgraditi svaki prirodni broj ako se jedan dovoljno puta uzima kao pribrojnik - Pojam prirodnog broja formira se odreivanjem neposrednog sljedbenika; broj 2 je neposredni sljedbenik broja 1, broj 3, broja 2 itd. Jedna od zornih podloga tog procesa u nastavi moe biti brojevni pravac/crta. FORMIRANJE POJMA RELACIJE MEU BROJEVIMA - Pojam relacija meu brojevima brojevni pristup izgrauje uzastopnim odreivanjem sljedbenika, odnosno uzastopnim odreivanjem prethodnika. - Pojam relacija brojevni pristup izgrauje raunskim postupkom, a formiranje pojmova svodi na pribrajanje, odnosno oduzimanje po 1. - Zbog apstraktnosti toga postupka i nedovoljne intelektualne razvijenosti kolskih poetnika ovaj takvo formiranje pojmova nije prilagoeno njihovim mogunostima. FORMIRANJE POJMOVA ZBRAJANJA I ODUZIMANJA

- Zasniva se na uzastopnom odreivanju sljedbenika odnosno uzastopnom odreivanju prethodnika, a pojmove mnoenja i dijeljenja na uzastopnom viekratnom pribrajanju odnosno oduzimanju istog broja - Glavno je stoga obiljeje brojevnog pristupa da pojmove zbrajanja, oduzimanja, mnoenja i dijeljenja izgrauje uzastopno odreivanje sljedbenika odnosno prethodnika. - Brojevni pristup nije pogodan za poetno formiranje pojmova osnovnih raunskih operacija u uenika na poetku kolovanja. Meutim, efikasno je sredstvo kada se osnovno formiranje pojmova produbljuje i proiruje u skupu brojeva do 20. 4.3.3. SKUPOVNI PRISTUP -Zasniva se na shvaanju da se pojmovi prirodni broj, pojmovi relacija i operacija s tim brojevima, izgrauju radom sa skupovima konkretnih predmeta, apstrahirajui pritom nebitna i generalizirajui bitna kvantitativna svojstva. - ISHODITE uenja: radnje sa skupovima - CILJ uenja: operacija s brojevima -Skupovi se uoavaju, njima se manipulira, u okolini se identificiraju, verbalno iskazuju i grafiki prikazuju. -Prednost ima u poetnom formiranju pojmova zbog karakteristika pristupa i karakteristika intelektualnog razvoja uenika. -Idealno za izvoenje matematikih pojmova iz realnosti -Omoguuje da se intelektualne aktivnosti potkrijepe vlastitom aktivnou

5.NAELA METODIKE POETNE NASTAVE MATEMATIKE METODIKA NAELA temeljne su ideje kojima se ureuju subjektivni i objektivni uvjeti uenja u PNM. To su polazne osnove pri uspostavljanju, procjenjivanju i vrednovanju cjelokupnog odgojno obrazovnog procesa u nastavi. A u osnovi to su polazne smjernice kojih bi se trebalo drati u organizaciji i provedbi nastave. Rezultat su prouavanja pozitivne nastavne prakse, zakonitosti uenja, psihikih osobina uenika i matematikih sadraja.

CILJ naela je uiniti matematiko obrazovanje to efikasnijim. Temeljna naela u poetnoj nastavi matematike su: - ona se uzajamno uvjetuju - simultano realiziraju - nisu hijerarhijski ureena - svako naelo je bitan aspekt PNM 5.1. NAELO PRIMJERENOSTI Sadraj ovog naela izraava se stupnjem teine odnosno lakoe kojima uenici usvajaju matematiko nastavno gradivo. Prelagani, kao i preteki zahtjevi podjednako ine nastavu neprimjerenom premali zahtjevi nedovoljno potiu intelektualne sposobnosti (zahtjevi ispod razine mogunosti), a preveliki oteavaju i koe misaone procese (zahtjevi iznad razine mogunosti). Uvjetovano je injenicom da se uenici u toku kolovanja razvijaju i da su im mogunosti razliite na poetku, u toku i na kraju kolovanja, stoga je i optereenje razliito ovisno o opsegu i sadraju nastavnog gradiva. Primjerenost matematikog sadraja mogunostima uenika postie se takoer svoenjem sloenijih sadraja na jednostavnije. 5.2. NAELO ZORNOSTI Zornost oznaava sve radnje kojima se apstraktni matematiki sadraji transportiraju u empirijske (perceptivne) sa svrhom da budu dostupni osjetilnom spoznavanju. Zornost je uzrokovana dvama faktorima: a) prirodom matematikog sadraja b) razinom intelektualne razvijenosti uenika Uloga zornosti je da razliitim materijalnim objektima (nastavnim sredstvima) naelo primjerenosti naelo zornosti naelo vlastite aktivnosti naelo individualizacije naelo postupnosti naelo objektivne realnosti

konkretizira sadraje matematikih pojmova. Zornost je polazite u spoznajnom putu prema razumijevanju matematikih sadraja. Ueniku misao ne smije se ostavljati na razini zornosti, ve je treba usmjeravati apstraktnosti. Usmjeravanje prema apstraktnom, na kraju dovodi do usvajanja pojmova i razvijanja intelektualnih sposobnosti. 5.3. NAELO VLASTITE AKTIVNOSTI Aktivnost uenika univerzalni je i permanentni uvjet uenja; zahtjev za uenikom aktivnou u nastavi uvijek je i trajno aktualan. Razlikujemo: a) INDIVIDUALNA AKTIVNOST UENIKA su sve djelatnosti pojedinog uenika usmjerene na stjecanje matematikog znanja - to je vlastita, najee samostalna uenikova djelatnost na razliitim izvorima znanja b) KOLEKTIVNA AKTIVNOST UENIKA je zajednika aktivnost uenika i nastavnika koja se najee ostvaruje izlaganjem novog gradiva, vjebanjem i ponavljanjem, analizom razliitih zadataka, provjeravanjem znanja i sl. - kolektivnu ueniku aktivnost organizira i njome rukovodi nastavnik Iako su obje ove aktivnosti znaajne, individualna u matematikom odgajanju i obrazovanju ima prednost i presudno znaenje. Naelo vlastite aktivnosti viestruko je uvjetovano: 1) BIOLOGIJSKA UVJETOVANOST dijete je aktivno bie ijim ivotom dominira aktivnost, ono vlastitom aktivnou dijete utjee na okolinu, ali i na sebe. 2) PSIHOLOGIJSKA UVJETOVANOST temelji se na spoznaji vlastite aktivnosti subjekta kao faktora razvoja. 3) PEDAGOGIJSKA UVJETOVANOST proizlazi iz zadatka matematikog obrazovanja koji obvezuje na trajnost i primjenjivost steenog znanja. 4) KOGNITIVNA ILI GNOSEOLOKA UVJETOVANOST odreena je injenicom da je aktivnost objektima upotpunjena postupcima transformiranja u misaone radnje s pojmovnim objektima. U PNM koriste se razliite vrste uenikih aktivnosti: 1) INTELEKTUALNE djelatnosti koje se ostvaruju miljenjem, panjom, pamenjem, zakljuivanjem, analizom, sintezom

2) VERBALNE sredstvo transformiranja materijalnih radnji u misaone. 3) MANUELNE one aktivnosti u kojima uenici manipuliraju konkretnim predmetima kao to su didaktiki materijal, plodovi ili koji drugi predmeti, a svrha im je konkretizacija pojmova koje usvajaju. 4) GRAFIKE koriste se radi konkretizacije (vizualizacije) sadraja, crtanje, slikovno prikazivanje 5.3. NAELO INDIVIDUALIZACIJE INDIVIDUALIZACIJA je postupak kojim uenje u nastavi se prilagouje mogunostima svakog pojedinog uenika. Uvjeti uenja prilagoavaju se ueniku, ne obrnuto. Mentalni razvoj kod svakog je djeteta razliit. Pretpostavka individualizacije je dobro poznavanje svakog uenika. Tradicionalna nastava: nastavni listii najee sredstvo provoenja individualizacije, skup zadataka namijenjen samostalnom radu uenika, a karakterizira ga diferencijacija zadataka za pojedinog uenika. Suvremena nastava: sve se individualizira. - Individualizacija se postie diferenciranom nastavom boljim uenicima postavljaju se sloeniji zahtjevi, a slabijim jednostavniji. - Diferenciranjem razine nastave svi se uenici maksimalno aktiviraju, motivacija za rad je vea, a to pozitivno utjee na obrazovni rezultat. Individualizacija se najee svodi na diferencijaciju na tri razine: - Nadprosjeni - Prosjeni - Ispodprosjeni 5.4. NAELO POSTUPNOSTI Uvjetovano je psiholokom injenicom da se odreeno gradivo ne moe shvatiti i uiti, da se nisu prethodno usvojili i shvatili relevantni sadraji. Ostvaruje se u skladu s didaktikim pravilima: 1) od jednostavnog prema sloenom 2) od poznatog prema nepoznatom

3) od konkretnog prema apstraktnom Najprije se usvajaju pojmovi, zatim termini i znakovi kojima se prikazuju. A proces uenja zapoinje u razini konkretnosti. Uitelj mora tono znati imaju li uenici potrebna predznanja za uenje novih matematikih sadraja. 5.5.NAELO OBJEKTIVNE REALNOSTI Uvaavanjem naela objektivne realnosti stvaraju se pretpostavke za primjenu steenih matematikih znanja. Osnovni se matematiki pojmovi izvode iz kvantitativnih odnosa objektivne realnosti. Naelo objektivne realnosti uvjetovano je genezom djetetova spoznavanja kvantitativnih odnosa koje svoj poetak uvijek ima u realnosti. Uvaavanjem ovog naela stvaraju se pretpostavke za primjenu steenog znanja jer izvodei osnovne matematike pojmove iz realnosti mogue ih je na prirodan nain i primjenjivati u realnosti. Potivanjem ovog naela stvaraju se preduvjeti za razumijevanje formalistikih zapisa matematikih spoznaja. DODATNA NAELA NAELO ODGOJNE PRIMJERENOSTI proizlazi iz drutveno postavljenih ciljeva i zadataka matematike NAELO MOTIVIRANOSTI kao pokretaka snaga mlade osobe

6. ORGANIZACIJA POETNE NASTAVE MATEMATIKE To je postupak kojim se razliiti faktori i djelatnosti konstituiranju u funkcionalnu cjelinu radi stvaranja uvjeta za realizaciju poetnog matematikog odgoja i obrazovanja. to tono znai oblikovati nastavni sat? Kritiki promisliti i procijeniti funkciju svih relevantnih imbenika i aktivnosti kojima se ostvaruje cilj nastavnog sata.

6.1. METODIKO OBLIKOVANJE SATA PNM Metodiki oblikovati nastavni sat znai, s obzirom na cilj koji se njime ostvaruje, podijeliti ga u manje vremenske jedinice s tono odreenom svrhom. S obzirom na cilj, obrauje se novi nastavni sadraj, ponavlja obraeni, utvruje, uvjebava, evaluira (analizira i provjerava efikasnost) skup razliitih djelatnosti. Pojedini nastavni sati oznaavaju se posebnim imenima, najee identinim s djelatnou koja na satu prevladava: 1) SAT OBRAIVANJA I USVAJANJA upoznavanje i razumijevanje novog nastavnog sadraja 2) SAT VJEBANJA I PONAVLJANJA aktivnosti trajnog usvajanja nastavnih sadraja 3) SAT PROVJERAVANJA ZNANJA provjeravanje uenikih dostignua; znanje, razumijevanje, primjena 4) SAT ANALIZE - kritika procjena nastavnog rada Elementi sata PNM koji su predmetom metodikog oblikovanja jesu: a) CILJ SATA zamisao, prijedlog, nacrt onoga to se radom na satu eli postii, a ukljuuje stjecanje znanja, razvijanje sposobnosti i izgraivanje odreenih svojstava uenike linosti b) ETAPE NASTAVNOG SATA njihovim oblikovanjem odreuje se kojim e se etapama ostvarivati proces uenja i to se pojedinom etapom eli postii, predvia se nain na koji e se to postii te naznauje priblino trajanje i meusobni odnos pojedinih etapa: etapa pripreme etapa obraivanja novog gradiva etapa vjebanja i ponavljanja

c) DJELATNOSTI UENIKA I NASTAVNIKA promiljanje uenikih aktivnosti kojima e se ostvarivati cilj sata, kako ih na satu realizirati te meusobno uskladiti. d) NASTAVNE METODE e) OBLICI NASTAVNOG RADA f) NASTAVNA SREDSTVA I POMAGALA 6.1.1. SAT OBRAIVANJA I USVAJANJA NOVOG GRADIVA

Obraivanjem novog gradiva nastavni se sadraji izlau tako da uenici shvate i trajno usvoje injenice, generalizacije i procese. To je djelatnost u kojem se matematiki sadraji transportiraju u oblik dostupan uenikom shvaanju. Sadraj ovog tipa sata je relativno zaokruena cjelina matematikog znanja koje uenici mogu shvatiti i radom na satu usvojiti. Odreen je dvama faktorima: karakteristikama gradiva spremnou uenika

Opsegom i dubinom sadraj uenja na satu mora biti primjeren individualnom statusu uenika Etape sata obraivanja i usvajanja novog gradiva: PRIPREMA ILI UVOD Svrha pripreme je pripremiti uenike za neposredno uenje, a obuhvaa spoznajni i psiholoki aspekt. Spoznajni aspekt pripreme ostvaruje se poznavanjem cilja neposrednog uenja i osiguravanjem relevantnog predznanja. Priprema se najee ostvaruje ponavljanjem odgovarajueg starog gradiva, a samo u rijetkim prilikama kakvim drugim postupkom. Psiholoka priprema uenika za uenje ostvaruje se uspostavljanjem optimalnog psihikog statusa: - upoznavanjem cilja sata (motivacija) poticanjem interesa za uenje (isticanjem problema koje treba rijeiti) stvaranjem pozitivnog emocionalnog odnosa prema uenju (ohrabrivanjem, poticanjem uenika, pozitivnom povratnom informacijom) uspostavljanjem ugodne atmosfere (korektan odnos izmeu uenika i nastavnika, te izmeu samih uenika) i sl. Psiholoka priprema osobito je vana kada je rije o uenicima nedovoljno snanih i nestabilnih interesa i motiva za uenje, uenicima s nekoncentriranom panjom i sl. Relevantno predznanje potrebno za uenje najee se uspostavlja: a) pregledavanjem domae zadae komentirajui ispravna i neispravna rjeenja b) usmenim ponavljanjem usmeno se postavlja zadatak, a jedno ili dvoje djece saopava rezultat rjeavanja. Nedostatak je to ne ukljuuje u rad sve uenike

c) pismenim ponavljanjem zadaci u pismenoj formi postavljaju se svakom ueniku (zbirka zadataka, udbenik, nastavni listii) a oni ih samostalno rjeavaju. Nedostatak je to nije uvijek mogue pripremiti zadatke u pismenom obliku d) usmenim ponavljanjem uz zapisivanje rezultata rijeenog zadatka: nastavnik postavlja zadatak, uenici ga napamet rjeavaju a u biljenicu upisuju samo rezultat e) ponavljanjem, rjeavajui zadatke na ploi jedan uenik rjeava na ploi, drugi u biljenici Cilj sata. Pri kraju pripreme uenici se upoznaju s ciljem sata tj. sa sadrajem neposrednog uenja. To je znaajan element psiholoke pripreme. Cilj neposrednog uenja doznaje se isticanjem problema koji treba rijeiti ili jednostavnom govornom formulacijom. OBRAIVANJE NOVOG GRADIVA Svrha je toga rada sadraj uenja izloiti tako da uenici na osnovi izloenih primjera shvate generalizaciju koja se usvaja. Uspjenost uenja znatno ovisi o prvom susretu s novim gradivom, a to pomae dobro objanjavanje, dok duga, zamorna, nesuvisla i monotona objanjenja nisu izvorom novog znanja i ne djeluju poticajno na uenike. Da bi bilo sredstvom uspjenog stjecanja novog znanja, nastavnikovo objanjenje moralo bi posjedovati nekoliko kvaliteta: mora biti sadrajno korektno, matematiki ispravno objanjavanje mora biti koncizno, jasno i razgovijetno mora se izvoditi odreenim redom koji odreuju gradivo i psiholoke karakteristike uenika koristiti vie nastavnih metoda U objanjavanju novog gradiva sudjeluju svi uenici. Njihovo sudjelovanje ostvaruje se koncentriranim i paljivim primanjem sadraja objanjavanja, a to pozitivno utjee na razvoj panje. Nastavnikovo objanjavanje mora udovoljiti elementarnim zahtjevima govorne komunikacije kao to su dikcija, artikulacija, tempo, upotreba poznatih rijei i dr. Obraivanje novog gradiva trebalo bi zavriti postupkom uopavanja-generaliziranja, za koje je bitan dovoljan broj primjera (rijeenih zadataka) koji imaju zajedniko svojstvo; kolektivnom analizom s uenicima se otkriva ono to je njima zajedniko, ope, a zatim se sadraj generalizacije govorno formulira. Ono nije lako uenicima, ali je u spoznajnom smislu

vrlo plodotvorno. Njime se proiruje podruje spoznavanja, ali istodobno se kultiviraju miljenje, panja, pamenje, zakljuivanje VJEBANJE I PONAVLJANJE Iako su to razliite djelatnosti, u nastavi matematike se one povezuju u cjelinu zbog nekih zajednikih elemenata, naime, obje ove djelatnosti imaju za cilj stjecanje i trajno usvajanje znanja. Dva su bitna elementa u metodikom oblikovanju ove etape: 1) sadraj vjebanja i ponavljanja bitno je odreen prijanjim radom 2) nainom na koji e se ono provoditi bez obzira da li je rije o zadatcima u udbeniku, nastavnim listiima, zbirkama zadataka ili onima koje za pojedinu svrhu izrauje nastavnik, ili sami uenici. Ono se treba provoditi individualnim radom uenika, a frontalnim se koristiti samo radi dodatnih objanjenja. PROVJERAVANJE UINKA SATA Tim radom eli se ustanoviti konaan efekt uenja na satu. Provjeravanjem uinka sata i nastavnik i uenici dobivaju povratnu informaciju o rezultatu izvedenog rada. Moe se provesti na dva naina: 1) usmenim ispitivanjem 2) pismenim ispitivanjem bolje, jer daje potpuniji uvid u ueniko znanje Na osnovi rezultata ispitivanja uitelj zakljuuje kako je ostvaren cilj sata: potpuno, djelomino ili nije ostvaren. 6.1.2. SAT VJEBANJA I PONAVLJANJA Provode se da bi se postigla trajnost znanja i da bi se uenici osposobljavali u primjeni znanja. Vremenski oni slijede nakon sata obraivanja novog gradiva i u praksi jednako su esti, a ponekad i ei. to se tie sadraja sata vjebanja i ponavljanja metodiko oblikovanje tei za tonim ogranienjem dijela gradiva koje e se vjebati i ponavljati. Sadraj mora biti logika i smislena cjelina, povezana zajednikim elementima. Polazei od cilja sata mogu se naznaiti sljedei dijelovi:

PRIPREMA ILI UVOD Cilj je ove etape pripremiti uenike za neposredno vjebanje i ponavljanje to se ini obnavljanjem prethodno obraivanih sadraja. Ponavljanje u toj etapi obuhvaa samo najvanije, bitne elemente, kao to su generalizacije, algoritmi, procesi i sl. Na kraju etape uenici se upoznaju s ciljem neposrednog vjebanja i ponavljanja kako bi se panja, motivacija i intelektualne aktivnosti usmjerile na ono to slijedi. VJEBANJE I PONAVLJANJE Vjebaju se razliite operacije, ponavljaju injenice i na njima utemeljene generalizacije. Panja se uglavnom usmjerava na oblike nastavnog rada, nastavne metode te nastavna sredstva i pomagala. Za vjebanje i ponavljanje najpogodnije je individualni rad i to stoga to sve uenike aktivira, a ono znatno poveava produktivnost jer se u istoj jedinici vremena rjeava vie zadataka nego radei frontalno. Frontalni se ne iskljuuje posve, njego se njime pristupa kada se neto eli dodatno naglasiti, napomenuti, objasniti. PROVJERAVANJE UINKA SATA Provodi se da svrhom da se ustanovi efekt uenja i to na isti nain kao i na satu obraivanja novog gradiva. 6.1.3. SAT PROVJERAVANJA ZNANJA Tim se sato stjee uvid u to kako su uenici usvojili sadraj vee nastavne cjeline. Budui da se provodi pismenim ispitivanjem ima ove strukturne dijelove: PRIPREMA Cilj je pripremiti uenike za neposredno ispitivanje, a sadraj je materijalno-tehnike (upute i materijal za rad) i psiholoke naravi (motivacija, stimulacija). Da bi se pripremili za ispitivanje, uenike treba upoznati: a) s ciljem sata priopava se da e se ispitivati ono to se prethodno uilo, da bi se vidjelo kako je naueno. Ukratko treba naznaiti sadraj ispitivanja kako bi se aktiviralo znanje; b) s nainom na koji e se ispitivanje provesti pokazuje se ispitni materijal, mjesto gdje e se zadatci rjeavati, gdje e se upisivati rezultati i sl.

c) s nainom na koji e se rjeavati zadatci upuuju se na paljivo itanje zadataka i razmiljanje o rjeenju, a zatim ga rjeavaju; d) kako postupiti ako se zadatak ne moe ili ne zna rijeiti taj zadatak preskoiti i rjeavati sljedei, a kad se rijee ostali vratiti se na nerijeene. e) s uputom da svatko radi sam, da ne prepisuje i zapitkuje druge uenike i nastavnike. RJEAVANJE ISPITNIH ZADATAKA Nakon uputa uenici rjeavaju zadatke, to traje dok veina ne zavri rad. Nastavnik prati rad uenika dajui eventualne tehnike upute. OBRADA I KORITENJE REZULTATA Nakon ispitivanja provodi se kvantitativna analiza (pokazuje koliko su usvojili gradivo) i kvalitativna analiza (pokazuje koje gradivo je usvojeno, a koje nije). Podatci se koriste za unapreenje nastavnog procesa. S rezultatima se upoznaje svaki uenik pa se moe utvrditi napreduje li ili zaostaje u uenju. 6.1.4. ANALIZA NASTAVNOG SATA Analiza sata naknadna je kritika procjena rada na nastavnom satu. Obavlja s neposredno nakon odranog nastavnog sata, a provodi je: Svrha analize sata je dvojaka: nastavnik koji je sat odrao drugi nastavnici koji su promatrali sat koji se procjenjuje uenici vanjski promatra a) procijeniti ga sa stajalita realizacije cilja sata b) procijeniti ga sa stajalita unapreivanja vlastitog nastavnog rada Analiza sata poinje s pitanjem: je li cilj sata ostvaren ili nije. Ako se ustvrdi da je ostvaren treba navesti razloge, na osnovi kojih se to zakljuuje. Utvrdi li se da nije, takoer treba navesti razloge za to. Glavni pokazatelj ostvarivanja cilja sata jest ueniko znanje, tj. mogunost rjeavanja zadataka, poznavanje sadraja generalizacije, primjena znanja i sl.

Analizom sata obuhvaaju se i nastavne metode (s obzirom na izbor, upotrebu, aktivnost uenika), nastavna sredstva, oblici rada na satu, procjena uenikih aktivnosti na satu, uiteljevo objanjavanje novog gradiva, odnos uenik-uitelj. Analizu sata treba zavriti procjenom onoga to je bilo pozitivno, ali i upozoriti na negativnosti.

6.2. METODE U POETNOJ NASTAVI MATEMATIKE Metode PNM sredstvo su realizacije matematikog odgajanja i obrazovanja uenika, a osnovno obiljeje metoda u PNM je aktivnost sudionika nastavnog procesa, uenika i uitelja. Prema izvorima znanja metode se dijele na: 1) VERBALNE predavaka nastava, metoda razgovora 2) VIZUALNE demonstracijska metoda, rad na pripremljenom tekstu 3) DOKUMENTACIJSKE pisani rad, metoda eksperimenata, praktini rad Prema oblicima zakljuivanja: a) metoda analogije b) metoda analize i sinteze c) metoda indukcije i dedukcije d) metoda apstrahiranja i konkretiziranja e) metoda razlikovanja sluaja f) metoda generalizacije i specijalizacije g) heuristika metoda h) problemska metoda Prema didaktikoj teoriji, ope prihvaene su: 6.2.1. METODA USMENOG IZLAGANJA (VERBALNA monoloka predavaka metoda) Metoda usmenog izlaganja je nain rada kojim nastavnik, a ponekad i uenici, izlae sadraj onoga to se ui. Najea je pri obradi novog nastavnog sadraja. Temelji se na usmenoj komunikaciji onih koji u radu sudjeluju. Vrlo je ekonomina i sistematina, a i jedna je od najstarijih metoda.

U praksi se pojavljuje u nekoliko oblika: pripovijedanje, opisivanje, objanjavanje i predavanje, a u svemu tome negativnost je ako uitelj dominira. Objanjavanje se najvie koristi u PNM s obzirom na prirodu matematikog sadraja, to je komunikacija iji je cilj osposobiti nekog a za razumijevanje onoga to nije prije razumio. To je postupak u kojem se uenici upoznaju s novim gradivom, a glavna mu je svrha razumijevanje, otkrivanje i uoavanje pojmovnog sadraja matematikih znakova, termina, procesa, operacija i sl. Metodu objanjavanja treba primjenjivati kratko zbog motivacije i interesa uenika (uvijek provjeravati ueniko razumijevanje izlaganja), a uvijek ju je poeljno kombinirati s drugom metodom, osobno s metodom demonstracije ili rada na tekstu. 6.2.2. METODA RAZGOVORA (dijaloka metoda: N-U i U-U) Metoda razgovora je zajedniki rad uenika i nastavnika koji se odvija u obliku pitanja i odgovora. Formuliraju ih uenici i nastavnik, ali tako da su nastavnikova pitanja uvijek usmjerena prema uenicima, dok uenici postavljaju pitanja meusobno. Ova metoda potie ueniku misaonu aktivnost, aktivira panju. Razgovorom se moe shvatiti kako su uenici shvatili i usvojili ono to se ui. Razvojna pitanja pitanja koja potiu na razmiljanje, koja se postavljaju uenicima u toku razgovora. Jednoznana pitanja pitanja kojima se trai direktan odgovor, a koja zahtijevaju preciznost miljenja, a potom i odgovora. Pomona ili dopunska pitanja esta u praksi, a postavljaju se ako se ne zna odgovor na prvo pitanje. Sugestivna i dvosmislena pitanja sugestivna nisu prihvatljiva jer ne potiu na razmiljanje nego na pogaanje, a dvosmislena jer djeluju zbunjujue. Najprihvatljivija su ona pitanja koja potiu na razmiljanje i dovode do zakljuka a takva su: razvojna, divergentna, otvorenog tipa Metoda razgovora pojavljuje se u razliitim oblicima od kojih je najpodesniji tzv. heuristiki, otkrivaki razgovor. On je vrlo podesan pri izvoenju generalizacije. Pitanjima heuristike naravi uenici se navode na uoavanje onoga to je u nizu primjera isto, a to bez takva razgovora sigurno ne bi otkrili. Ova metoda najea je na satima vjebanja, ponavljanja i provjeravanja znanja

6.2.3. METODA RADA S TEKSTOM (vizualna metoda) To je nain stjecanja znanja i razvijanja sposobnosti radei s tekstom; u poetnoj nastavi matematike to su udbenik, nastavni listii, zbirke zadataka ili kakvi drugi uenicima primjereni tekstovi matematikog sadraja. Uenici rade, stjeu znanja, razvijaju odreene sposobnosti kroz vjebu i ponavljanje te provjeravamo njihova dostignua na pripremljenom tekstu. Koristei se tekstom, stvara se navika sluenja knjigom odnosno tekstom kao izvorom znanja, a ue se i pronalaenju informacija. Rad na tekstu je individualna aktivnost uenika, stoga je obaveza uitelja da uenike pripremi za rad s tekstom, a to ukljuuje nekoliko elemenata; - prvi je korak u radu s tekstom uputa o mjestu teksta u knjizi (stranica) i o mjestu na stranicidobro je zatraiti da ga oznae olovkom - daljnja uputa se odnosi na sadraj teksta. Neki nastavnici kau: rijeite zadatke na 75.str od broja 7 do broja 14., dok drugi trae od uenika da proitaju redom sve zadatke, ime je uputa za rad zavrena. Ni jedno ni drugo nije prihvatljivo Uitelj treba dati detaljan naputak za rad: istaknuti bitno, tono objasniti kako raditi, koliko dugo oni trebaju pouavati uenike kako itati s razumijevanjem te reproducirati i objasniti proitano. 6.2.4. METODA DEMONSTRACIJE To je nain rada koji se ostvaruje pokazivanjem i promatranjem. Ukljuuje dva aspekta: pokazivanje (najee aktivnost uitelja) i promatranje (aktivnost uenika). Metoda se koristi u svim situacijama kada se upoznaju razliiti predmeti, aktivnosti, procesi i sl. Primjena ove metode u PNM je specifina jer predmet demonstriranja i promatranja nije uvijek i predmet uenja. U PNM demonstriraju se razliita nastavna sredstva kao to su didaktiki materijal, modeli geometrijskih likova, razliita mjerila za mjerenje duina, povrina, volumena, mase, vremena, razliiti grafiki prikazi, aplikacije na magnetofonu i sl. Sredstva koja se demonstriraju pomo su pri usvajanju matematikih sadraja. Osim nastavnih sredstava, u PNM demonstriraju se i razliiti postupci, procesi usmenog i pismenog raunanja, upotreba geometrijskog pribora, naini izvoenja geometrijskog crtea.

Svaka demonstracija i promatranje mora biti u funkciji stjecanja novog znanja ili pak u funkciji vjebanja i ponavljanja pa ih u skladu s tim treba i upotrebljavati. DODATNE METODE S PREDAVANJA: METODA EKSPERIMENTIRANJA (DOKUMENTACIJSKA METODA) - Uitelji potiu uenike na samostalno istraivanje, promatranje i zakljuivanje Pr. Eksperimentiranje s razliitim modelima geometrijskih tijela, mjeriti mase, opsege, povrine, obujam - Znaaj ove metode uenici svim osjetilima sudjeluju u prouavanju konkretnih objekata i pojava te na osnovu njih stjeu nove spoznaje, nove pojmove i nova znanja (dok uitelj odreuje cilj i obim rada sukladno njihovim potrebama, sposobnostima, mogunostima i interesima) METODA PISMENIH RADOVA, GRAFIKIH RADOVA I CRTANJA (DOKUMENTACIJSKA METODA) - nain rada u kojem se pojedini dijelovi nastavnih sadraja zapisuju rijeima ili izraavaju crteom, tablicom ili dijagramom (matematikih simbola, raunskih izraza, formula, definicija, naina razmiljanja) - bit metode grafikih radova je transportiranje odnosa meu brojevima i veliinama u vizualni podatak koji tako postaje dostupan osjetilnom spoznavanju - crtei mogu biti unaprijed pripremljeni (plakati) ili izraeni u tijeku sata KVALITETNA NASTAVA MATEMATIKE Metoda rjeavanja problema koja predstavlja najvii oblik uenja koje prelazi u miljenje i stvaralatvo Metoda samouenja kojoj npr. odgovara programirana nastava Metoda heuristikog razgovora pokree uenike u otkrivanju novih spoznaja. Pitanjima se trai analiza, sinteza, usporedba, indukcija, dedukcija, klasifikacija, generalizacija i sl. Metoda problemskostvaralakih zadataka rije je o takvim tipovima zadataka u koje su ukljueni elementi problemske nastave (ovdje posebno dolazi do izraaja princip samoaktivnog stvaralatva gdje uenik ima mogunost za izraavanjem vlastite sklonosti, sposobnosti i za realiziranjem osobnih zamisli).

Metoda uenja kroz igru nastavni sadraj oblikovan i kreiran u vidu djeje igre; kroz igru djeca uvjebavaju i ponavljaju odnose, relacije, brojeve i operacije.

6.3. NASTAVNA SREDSTVA I POMAGALA Terminom nastavna sredstva i pomagala oznaavaju se najrazliitiji materijalni objekti koji se koriste pri uenju i pouavanju u pojedinom nastavnom predmetu. Upotreba nastavnih sredstava ovisi o stupnju i kvaliteti intelektualne razvijenosti uenika kojima su namijenjena. Uenje je uspjenije ako se ostvaruje s vie komponenata za primanje informacija. Psiholoka istraivanja pokazuju da se najvei broj informacija prima vizualnom komponentom, priblino 80%, te da su za uenje u koli najvanije dvije komponente: vizualna i auditivna. To je osobito vano za PNM ije gradivo ne obiluje vizualnim obiljejima. Vizualna komponenta se ostvaruje upotrebom nastavnih sredstava i pomagala, a auditivna najee izlaganjem nastavnika, uenika ili nastavnih pomagala. Kada je rije o vizualnom predoavanju u PNM treba razlikovati sadraj vizualnog prikaza od sadraja uenja. Npr. Sadraj vizualnog prikazivanja su npr. jednakobrojni skupovi (sastavljeni od razliitih predmeta), a sadraj uenja su prirodni brojevi. Sadraji vizualnog prikazivanja usvajaju se osjetilnim (promatranje), a sadraji pojmova racionalnim spoznavanjem (miljenje). Nastavna sredstva i pomagala moraju poticati i unapreivati uenikovo miljenje; perceptivni podaci steeni promatranjem podloga su uenikovu miljenju. Ona su samo nuna pomo koja se koristi dok je potrebna. Za potrebe PNM postoje razliita nastavna sredstva i pomagala koja se obino dijele na: 1) prirodna sredstva i pomagala iz neposredne okoline ili ona koja se neznatnim preoblikovanjem podeavaju nastavnim potrebama Npr. predmeti iz neposredne okoline (klupe, stolci, kreda i sl. - sredstva), predmeti koje uenici posjeduju (kuglice, sliice, tapii, plodovi iz okoline, knjige, olovke, gumice i sl. - pomagala) 2) umjetna sredstva i pomagala koja su u svrhu uenja posebno konstruirana i proizvedena Npr. sredstva: plastine ploice (trokuti, kvadrati, krugovi), etoni (razliitih boja i oblika), modeli geometrijskih likova, razna mjerila (za mjerenje duine, povrine, mase,

volumena, vremena), grafika sredstva (crtei, slike, brojne slike), geoplan, tapii u boji (brojevi u boji), razliite aplikacije za magnetograf, logiki blokovi.. U tu skupinu mogu se ubrojiti i ona nastavna sredstva kojima se u uenje unose elementi igre, a koja se preteito koriste u vjebanju i ponavljanju Iako su ta sredstva namijenjena uenju u PNM, mnoge kole raspolau malim brojem istih. Ono to se veinom koristi, naroito u prvom razredu je didaktiki materijal , - skup predmeta kojima uenici mogu lako manipulirati. Npr. kocke, krugovi, kamenii, plodovi, tapii, trokuti (od drva ili plastike). Razliite su podjele nastavnih sredstava i pomagala npr. na auditivna, vizualna manipulativna, tehnika, kvalitativna, kvantitativna, kombinirana Nastavna sredstva: npr. modeli geometrijskih tijela i likova, kartice dekadskih jedinica, kuglice, kockice, predmeti iz okoline s odreenim svojstvima, udbenici i nastavni listii, crtei i slike, tablice Nastavna pomagala: npr. geometrijski pribor (moe biti i sredstvo), ploa i krede, raunalo, grafoskop, pano, TV, mjerni instrumenti (i sredstvo), kalkulator Glavni metodiki zahtjevi u sluenju didaktikim materijalima: - mora biti kvalitativno neutralan, sa to manje kvalitativnih obiljeja (boja, oblik, veliina, materija) kako ne bi odvraali panju uenika od kvantitativnih odnosa. Za PNM najprimjereniji su meusobno slini predmeti npr. kamenii, tapii, kocke, kvadrati i sl. - mora biti manipulativan, da uenici njime mogu lako i pregledno rukovati ni preveliki ni premali, nego prilagoeni uzrastu, -ni pretanki, ni okrugli i sl. - manje koliinom - upotreba se ne smije svesti na puko fiziko manipuliranje, fizika aktivnost s tim materijalom postaje sredstvom uenja, tek kada ju prati intelektualna aktivnost. - svaka aktivnost s didaktikim materijalom mora biti praena govornom reprodukcijom, a vie je razloga koji upuuju na takvu upotrebu didaktikog materijala: Prvi je razlog psiholoke naravi, govornom reprodukcijom materijalna radnja se transformira u misaonu, postajui tako unutranjom, mentalnom radnjom. Drugi je razlog injenica da se na taj nain intenzivira djelatnost uenikova miljenja. UVIJEK IMATI U VIDU: - nastavna sredstva i pomagala nisu sama po sebi dovoljna da bi se stvorio odgovarajui metodiki model. Pitanje koje se namee je kako ih ispravno i efikasno upotrijebiti - uitelj treba pamtiti da uporabom raznovrsnih nastavnih sredstava i pomagala moe i treba pruiti uenicima potreban dinamizam u radu

- razliita djeca preferiraju razliita pomagala a univerzalnih didaktikih materijala nema

6.4. OBLICI RADA U POETNOJ NASTAVI MATEMATIKE Oblicima rada u nastavi nazivaju se razliiti naini sudjelovanja u nastavnom procesu koji proizlaze iz razliitog meusobnog odnosa uenika, nastavnika i nastavnog gradiva. Postoje frontalni, grupni rad u skupinama, individualni i individualizirani, te rad u parovima. Iako se mogu primjenjivati svi oblici nastavnog rada, ipak se zbog razliitih razloga neki koriste vie, a neki manje. Na to utjeu i uenici sa svojim dobnim karakteristikama, ali i nastavnikova spremnost da osim frontalnog u nastavu uvodi i druge oblike nastavnog rada. 6.4.1. FRONTALNI RAD Oblik nastavnog rada koji se sastoji u zajednikom, istovremenom radu svih uenika jednog razreda, u istom gradivu, pod rukovodstvom nastavnika. Obiljeja: - istodobnost rada sa svim uenicima odjeljenja - jednakost gradiva - nastavnikovo rukovoenje radom - koristi se u svim nastavnim predmetima i u svim etapama nastavnog procesa, kao i u svim etapama nastavnog procesa i u svim razredima Koristi se kada se svim uenicima daju iste informacije, primjerice pri obradi novog gradiva, pokazivanju procesa i informacija, davanju uputa za neposredni rad i sl. Omoguuje da uenici dobiju vie objanjenja, to je esto potrebno u PNM, omoguuje komunikaciju sa svim uenicima, lako se primjenjuje, ne zahtjeva veu materijalnu opremu i vrlo je pragmatian oblik rada. ( PREDNOSTI: - ekonominost - nezamjenjiv u davanju uputa i objanjenja - osjeaj zajednitva i jednakosti - promatranje svih uenika - laka primjena ) Frontalni oblik rada ima i dosta ozbiljnih nedostataka koje je potrebno nadopunjavati ili zamjenjivati drugim oblicima rada. Nedostatci: - cjelokupan proces uenja se podeava prosjenim uenicima prisiljavajui

uenike razliitih mogunosti na jednak tempo uenja i rada. Ta jednakost usporava uenike, a u nekim situacijama i posve zaustavlja proces uenja. - prisiljava uenike na isti tempo rada (ueniku natprosjenih mogunosti treba puno manje vremena da rijei zadatak na ploi) - frontalno vjebanje i ponavljanje pasivizira uenike umjesto da ih aktivira - nemogunost uvida u uspjenost svih uenika 6.4.2. INDIVIDUALNI RAD To je takav oblik rada unutar razrednog sustava nastave gdje svaki uenik radi samostalno na svom zadatku, koji moe biti identian ili razliit s obzirom na zadatke drugih uenika. Obiljeja su mu posvemanja samostalnost uenika, te identinost tj. varijabilnost zadataka koji se rjeavaju, a najee se primjenjuje u vjebanju i ponavljanju, te pismenom provjeravanju. Glavna je pretpostavka individualnog rada postojanje zadataka za samostalan rad, to iziskuje posebno angairanje nastavnika. Prednosti: - uitelj moe pismenim putem brzo provjeriti odreena znanja svih uenika (testovi, kontrolni, ispiti) - potie se samostalnost - lako se primjenjuju Nedostatci: - esto zamoran ako se predugo primjenjuje - nedostatak komunikacije - nedostaje pomoi ukoliko se ne uspijeva rijeiti problem - zapostavljeni nadareni i uenici s tekoama INDIVIDUALIZIRANI OBLIK RADA Znaajke individualiziranog oblika rada: svaki uenik radi na svom zadatku potie se samostalnost uenici rade svojim tempom Diferencirani zadatci razliita oekivanja; drugaija nastavna sredstva i pomagala izbor; razliite aktivnosti isti cilj (izbor prema stilu uenja)

Prednosti: - uvaava djeje potrebe, interese, mogunosti, sposobnosti razvijaju se djeji puni potencijali - potie koncentraciju i panju - rad u vlastitom tempu - razvija samostalnost i kreativnost - potie intelektualne aktivnosti ali i razvoj sposobnosti - uenici se ne takmie nego se usmjeravaju na vlastiti razvoj i napredak Nedostatci: - oteano pripremanje uitelja - Uvjet: uitelj mora dobro poznavati uenike Razlika izmeu individualnog i individualiziranog rada: - U individualnom radu svi rade zadatke istog sadraja i opsega - U individualiziranom radu svi rade zadatke razliitog sadraja i opsega 6.4.3. GRUPNI (SKUPNI) RAD Takav oblik nastavnog rada gdje se uenici jednog razrednog odjeljenja dijele u vie grupa (skupina), koje za vrijeme nastave gotovo samostalno obrauju neko gradivo pod indirektnim rukovodstvom nastavnika. Bitna obiljeja: - podjela razrednog odjeljenja na grupe, skupine od 3 do 6 uenika; homogene i heterogene grupe - razliiti naini podjele u grupe (sluajnim odabirom brojanjem, mjesec roenja, rjeenje zadataka i sl.; prema sposobnostima, unaprijed isplaniran...) - velika samostalnost rada s odreenim gradivom - indirektno rukovoenje uitelja prati rad, daje upute: voditelj, facilitator Grupni je rad svojevrsna sinteza individualnog rada pojedinih uenika, jer svaki uenik obavlja dio rada koji mu je u grupi dodijeljen. Sve grupe razrednog odjeljenja mogu raditi na istom sadraju, ali mogu imati i razliite zadatke koji su dio gradiva koji se obrauje. Potrebno je odrediti uloge u grupi da bi svi bili ukljueni. A uenici u grupi rade na zajednikom cilju. Grupni rad metodiki se oblikuje u tri etape: 1. etapa: radei frontalno, uenici se upoznaju s ciljem sata, grupe preuzimaju dio gradiva na kojem e raditi, prave plan rad i sl. Nastavnik ih upuuje u rad i pomae im u sastavljanju plana.

2. etapa: grupe prikupljaju podatke, uglavnom samostalno. Taj je dio vremenski najdui. Uenici prikupljaju i rjeavaju zadatke, te na kraju sastavljaju izvjetaj o radu 3. etapa: radei frontalno objedinjuju se rezultati rada svih grupa Prednosti: - razvijaju se komunikacijske vjetine - ue uvaavati druge - istie se aktivno sluanje - rad na zajednikom cilju - bolje se razumiju - stimulativno zanimljivo - aktivnost i interakcija uenika Nedostatci: - problemi s disciplinom (razliiti aktivni govor od galame) - dominacija odreenih uenika - gubitak kontrole nad uspjehom pojedinog uenika - ne odgovara svakom ueniku 6.4.4. RAD U PARU Oblik nastavnog rada u kojem po dva uenika rade na odreenim zadacima. Njime se, donekle, kompenziraju nedostaci individualnog i grupnog rada, dakle, to je prijelazni oblik rada izmeu individualnog i grupnog Koristi se u svim etapama nastavnog sata ali najee se koristi kod vjebanja i ponavljanja, a rijetko kod obrade i provjeravanja. esto mu je uvod frontalni oblik rada (objanjavanje novog gradiva) Prednosti: - izaziva pozitivan emocionalan odnos meu parovima - tiha komunikacija koja ne naruava koncentraciju - lako se kombinira s ostalim oblicima rada - suzbija monotoniju - stvara pozitivnu klimu u razredu Nedostatci: - uenici esto ne ele ili nisu pripremljeni za zajedniki rad - moe se izgubiti mogunost uvida u rad pojedinih uenika

VRSTE MATEMATIKIH ZADATAKA RJEAVANJE MATEMATIKIH ZADATAKA - najea uenikova djelatnost na nastavi matematike - suvremena nastava matematike tei: 1. Razvijanju umijea samostalnog uenikova prouavanja matematike 2. Stvaranje preduvjeta za uspjenu primjenu steenih matematikih znanja i umijea,te 3. Razvoju kreativnosti u iznalaenju rjeenja MATEMATIKI ZADATCI - su zahtjev, nalog, poticaj da se iz poznatih podataka i uvjeta pronae ili otkrije neto nepoznato - su vano sredstvo pri oblikovanju sustava osnovnih matematikih znanja, umijea i navika, - doprinose razvoju matematikih sposobnosti i kreativnog miljenja Primjereni izbor matematikih zadataka preduvjeti su za kvalitetnu nastavu matematike i dobre rezultate uenika. CILJEVI PRIMJENE MATEMATIKIH ZADATAKA: - poticanje logikog miljenja - poticanje matematikih sposobnosti - poticanje kreativnosti - poticanje interesa za matematiku - poticanje intelektualnog zadovoljstva - popularizacija matematike METODIKE ETAPE U RJEAVANJU MATEMATIKIH ZADATAKA - proces koji poinje ve u prvom razredu Uenik treba nauiti: - proitati zadatak

- razumjeti ga (analizirati poznato, nepoznato, to se treba otkriti) - napraviti plan rada - rijeiti - ponuditi konano rjeenje ili odgovor Sustavno i kontinuirano poduavati uenike pristupu rjeavanja matematikih zadataka: 1.razumijevanje i analiza 2.stvaranje plana 3.realizacija plana 4.osvrt Razumijevanje i analiza zadataka - to je poznato u zadatku - to je nepoznato - to se u zadatku trai - koje su veze izmeu poznatih i nepoznatih veliina Stvaranje plana - koja je teorijska osnova zadatka? - kako u od poznati veliina doi do nepoznatih - kako u postaviti brojevni izraz Realizacija, izvravanje plana - raunanje s podatcima ili konstrukcija - traenje rezultata Osvrt Ciljevi osvrta: - provjeriti rjeenje zadatka (korake koji su mu prethodili kao i nain razmiljanja) - uoiti veze izmeu tog zadatka i nekih ranijih ili vezu u svakodnevnom ivotu - poticati kreativnost nove ideje kako se mogu rijeiti - poticati uenike da smisle slian zadatak Bez osvrta: uenici doivljavaju cilj nastave matematike kao to bre rjeavanje

VRSTE ZADATAKA Treba razlikovati: 1. TEINU zadatka individualna, subjektivni doivljaj i procjena pojedinih uenika (nekom je teak nekom ne) - kategorija koja odraava odnos izmeu uenika i zadataka 2. SLOENOST objektivna je kategorija koja ovisi o odnosima traenih i danih veliina u zadatku PODJELA MATEMATIKIH ZADATAKA Prema cilju: - odredbeni i dokazni - standardni i nestandardni Prema svrsi i nainu oblikovanja (najee se primjenjuju): - numeriki - tekstualni - zadatci s veliinama - geometrijski PREMA CILJU: ODREDEBENI ZADATCI: - Cilj im je nalaenje nepoznate veliine ili traenog objekta - U algebarskim zadatcima nepoznata veliina je obino broj, a u geometrijskim zadatcima traeni objekt je obino geometrijska figura. DOKAZNI ZADATCI: - Cilj im je dokazati istinitost neke postavljene tvrdnje - Ovi zadatci rijetko se pojavljuju u poetnoj nastavi matematike, ali njihova je vanost neosporna za savladavanje matematike teorije STANDARDNI ZADATCI: Zadatci kod kojih nema nepoznatih sastavnica: - uvjeti su postavljeni jasno i precizno - cilj je oigledan - teorijska osnova se lako uoava i bez dublje analize - nain rjeavanja je poznat

Temeljna znaajka: Ne doprinose mnogo razvoju kreativnosti uenika, ali su vani kao sredstvo boljeg razumijevanja i breg usvajanja novih matematikih sadraja NESTANDARDNI ZADATCI: -Zadatci kod kojih je barem jedna sastavnica nepoznata Temeljne znaajke: - rjeavanje ovih zadataka viestruko je korisno jer omoguavaju razvijanje logikog miljenja i provoenje samostalnih istraivanja - za njihovo rjeavanje potrebni su: - pojaani umni napor - dublja analiza - vea koncentracija - ustrajnost - dosjetljivost Rjeavajui ove zadatke uenik naui cijeniti male pomake i ekanje ideje koja vodi do uspjenog zavretka. NAJEA PODJELA: 1. Numeriki ili raunski zadatci (zadatci brojevima) u kojima se pojavljuju brojevi, znakovi raunskih radnji (+,-), simboli(, ) 2. Zadatci rijeima i problemski zadatci u kojima su odnosi u zadatku formulirani rijeima 3. Zadatci s veliinama u kojima se pojavljuju mjerne jedinice 4. Geometrijski zadatci u kojima se trai usporedba geometrijskih objekata, konstrukcije, raunanje pripadnih elemenata NUMERIKI ILI ZADATCI BROJEVIMA Zadatci u kojima su brojevi povezani znakovima raunskih operacija i relacija. Npr. 4 + 6 =, 9 8 =, 7 < 9, 53 + 56 =, 986 : 7 = itd. - Svrha je izgradnja odgovarajue raunske tehnike . - Uvode se postupno jer sloeniji ukljuuju jednostavnije, prethodno nauene. Redoslijed zadataka u PNM (poevi od najjednostavnijih prema sloenijim): 1. Zadatci usporeivanja brojeva, npr. 4 < 6, 8 > 3

2. Zadatci u kojima se, operirajui s dva broja, pronalazi trei broj koji je prema njima u relaciji jednakosti, npr. 5 + 3 = 8, 15 5 = 10, 25 : 5 = 5 itd. Ovi se zadatci uvode postupno najprije u skupu brojeva do 20, zatim do 100, do 1000 i preko 1000 3. Zadatci s vie raunskih operacija unutar kojih se ralambom mogu uspostaviti pojedini stupnjevi tekoa. Najlaki su oni koji sadre raunske operacije prvog stupnja (zbrajanje i oduzimanje), a neto sloeniji oni koji sadre raunske operacije drugog stupnja (mnoenje i dijeljenje). Takoer su sloeniji i oni koji sadre operacije razliitog stupnja npr. 3 + 4 2 - 5, a najtei oni koji sadre sve etiri raunske operacije 14 + 8 : 2 + 3 5 3. TEKSTUALNI ILI ZADATCI RIJEIMA 1. itanje teksta zadatka najmanje dva puta 2. Ponavljanje zadatka slobodnim reproduciranjem 3. Zapis kratkih podataka 4. Traenje poznatih i nepoznatih veliina 5. Postavljanje raunskog izraza 6. Rjeavanje raunskog izraza 7. Formuliranje i zapisivanje odgovora PROBLEMSKI ZADATCI - Nestandardni su zadatci (svode se na neku nepoznanicu) - esto se svode na jednadbe ili sustave jednadbi - ponekad samo trae problemsko zakljuivanje - vano je pouiti djecu pristupanju ovim zadatcima (etape: analiza, skiciranje, postavljanje, rjeavanje osvrt) - poticati razliite naine dolaenja do rjeenja - poticati upornost i osjeaj sigurnosti - koristiti razliite metodike postupke u demonstraciji problema i njegova rjeenja - poticanje kritikog miljenja ZADATCI S VELIINAMA To su zadatci u kojima se uz brojeve, znakove za operacije i relacije, navode i oznake za odreene veliine, najee za duinu, povrinu, masu, volumen i vrijeme.

- Mogu biti u obliku tekstualnog ili numerikog zadatka GEOMETRIJSKI ZADATCI Zadatci geometrijskog sadraja koji ukljuuju crtanje geometrijskih likova, prenoenje, zbrajanje, oduzimanje duina, mjerenje duina i povrina, izraunavanje opsega i povrina nekih likova i sl. Dvije su skupine geometrijskih zadataka u PNM: 1. Zadatci kojima se uenici osposobljavaju u sluenju geometrijskom priboru 2. Zadatci rjeavanjem kojih stjeu elementarne geometrijske spoznaje - labirinti - koliko je pravokutnika koliko trokuta Zadatci kombinatorike - trae se razliite kombinacije ili permutacije elemenata - numeriki i geometrijski zadatci - mogue ih je popratiti zornim prikazom - potiu logiko miljenje i prostorno snalaenje Jednadbe i nejednadbe - pripremaju uenika za algebarski pristup matematici u viim razredima - ponekad su prikazani samo algebarskim izrazom, a ponekad tekstualno - uvijek se trai jedna ili vie nepoznanica Dokazni zadatci - cilj nije odrediti neku veliinu, ve dokazati tvrdnju - dokaz je temelj matematike teorije - potie matematiki nain razmiljanja i logiko miljenje - trai razumijevanje i koritenje teorije a ne samo vjetine raunanja Logiki zadatci - zagonetke - najee zadatci nizanja i zadatci zakljuivanja - trae uoavanje bitnih odrednica (prostornih ili brojanih odnosa) - obino nita nije egzaktno zadano

Zadatci igicama - zorni i manipulativni - numeriki i geometrijski - zabavni - ostavljaju mogunost kreiranja i dopunjavanja od strane uenika