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UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR

MATEMÁTICA IV

DANIEL TELLOHERNÁN TIPANTÁSIG

ING. JULIO QUILLUPNAGUI

CALCULO DE RAICES DE ECUACIONES

Existen varios métodos para calcular las raíces de ecuaciones:

• Método de bisección• Método de las aproximaciones sucesivas• Método de Newton• Método de la Secante• Método de la Falsa Posición

Los métodos mencionados son bastante similares entre si, las pequeñas variaciones entre estos métodos, serán ilustradas a continuación con un ejemplo práctico.


• Método de bisección𝑓 (𝑥 )=3 𝑥3+2𝑥−1Intevalo de solucion [ 0,1 ]

𝑓 (0 )=−1<0

𝑓 (1 )=4>0

𝑥1=0+1

2=0,5

𝑓 (0,5 )=0,375>0

Nuevo intevalo de solucion [ 0 ; 0,5 ]

𝑥2=0+0,5

2=0,25

𝑓 (0,25 )=−0,453<0

Nuevo intevalo de solucion [ 0,25 ; 0,5 ]

𝑥3=0,25+0,5

2=0,375

𝑓 (0,375 )=−0,092<0


0,1262

𝑓 (0,4062 )=0,0135>0


0,4375

𝑓 (0,4375 )=0,1262>0

𝐸=|0,4023−0,4062|

0,4023=0,00969<1 %

Valor exacto de la raiz 0,4023199381


• Método de las Aproximaciones Sucesivas𝑓 (𝑥 )=3 𝑥3+2𝑥−1

Se despeja el termino con el mayor grado 𝑥=3√ 1−2 𝑥3

𝐺 (𝑥 )=3√ 1−2𝑥3

𝑥1=3√ 1−2 (0)

3=0,69336

𝑥2=3√ 1−2(0,69336 )

3=−0,50515

𝑥3=3√ 1−2(0,1)

3=0,64365

𝑥4=3√ 1−2(0,2)

3=0,5848

𝑥5=3√ 1−2(0,3)

3=0,5108

𝑥6=3√ 1−2(0,4 )

3=0,4054

𝑥7=3√ 1−2(0,5)

3=0

𝑥8=3√ 1−2(0,6)

3=−0,4054

𝐸=|0,4023−0,4057|

0,4023=0,00845<1 %

x g(x)

0,401 0,404124

0,404124 0,3998277

0,3998277 0,40571288


• Método de Newton

𝑥1=𝑥0−𝑓 (𝑥0 )𝑓 ′ (𝑥0 )

=0−3(0)3+2 (0 )−1

6 (0)2+2=0,5

𝑓 (𝑥 )=3 𝑥3+2𝑥−1

𝑓 ′ (𝑥 )=6 𝑥2+2

𝑥2=𝑥1−𝑓 (𝑥1 )𝑓 ′ (𝑥1 )

=0,5−3 (0,5 )3+2 (0,5 )−1

6 (0,5 )2+2=0,3928

𝑥3=𝑥2−𝑓 (𝑥2 )𝑓 ′ (𝑥2 )

=0,3928−3 (0,3928 )3+2 (0,3928 )−1

6 (0,3928 )2+2=0,4039

𝑥4=𝑥3−𝑓 (𝑥3 )𝑓 ′ (𝑥3 )

=0,4039−3 (0,4039 )3+2 (0,4039 )−1

6 (0,4039 )2+2=0,4021

𝑥5=𝑥4−𝑓 (𝑥4 )𝑓 ′ (𝑥4 )

=0,5−3 (0,4021 )3+2 ( 0,4021 )−1

6 (0,4021 )2+2=0,4023 𝐸=

|0,4023−0,4023|0,4023

=0<1 %


• Método de la Secante

𝑥2=𝑥1−𝑓 (𝑥1 ) (𝑥0−𝑥1 )𝑓 (𝑥0 )− 𝑓 (𝑥1 )

=1−[3 (1 )3+2 (1 )−1 ] (0−1 )

[3 ( 0 )3+2 (0 )−1 ]− [3 (1 )3+2 (1 )−1 ]=0,2

𝑓 (𝑥 )=3 𝑥3+2𝑥−1

Intevalo de solucion [ 0,1 ]

𝑥3=𝑥2−𝑓 (𝑥2 ) (𝑥1−𝑥2 )𝑓 (𝑥1 )− 𝑓 (𝑥2 )

=0,2−[3 (0,2 )3+2 (0,2 )−1 ] (1−0,2 )

[3 (1 )3+2 (1 )−1 ]− [3 ( 0,2 )3+2 (0,2 )−1 ]=0,3006

𝑥4=𝑥3−𝑓 (𝑥3 ) (𝑥2− 𝑥3 )𝑓 (𝑥2 )− 𝑓 (𝑥3 )

=0,3006−[3 (0,3006 )3+2 (0,3006 )−1 ] (0,2−0,3006 )

[ 3 (0,2 )3+2 (0,2 )−1 ]− [ 3 (0,3006 )3+2 (0,3006 )−1 ]=0,4239

𝑥5=𝑥4−𝑓 (𝑥4 ) (𝑥3−𝑥4 )𝑓 (𝑥3 )− 𝑓 (𝑥4 )

=0,4239−[3 (0,4239 )3+2 ( 0,4239 )−1 ] (0,3006−0,4239 )

[3 (0,3006 )3+2 (0,3006 )−1 ]− [3 (0,4239 )3+2 (0,4239 )−1 ]=0,3999

𝑥6=𝑥5−𝑓 (𝑥5 ) (𝑥4−𝑥5 )𝑓 (𝑥4 )− 𝑓 (𝑥5 )

=0,3999−[ 3 (0,3999 )3+2 (0,3999 )−1 ] ( 0,4239−0,3999 )

[3 (0,4239 )3+2 (0,4239 )−1 ]− [3 (0,3999 )3+2 (0,3999 )−1 ]=0,4023

𝐸=|0,4023−0,4023|

0,4023=0<1 %

CALCULO DE RAICES DE ECUACIONES• Método de la Falsa Posición

𝑓 (𝑥 )=3 𝑥3+2𝑥−1

𝑥2=𝑓 (𝑥1 ) (𝑥0 )− 𝑓 (𝑥0 ) (𝑥1 )

𝑓 (𝑥1 )− 𝑓 (𝑥0 )=

[3 (1 )3+2 (1 )−1 ] (0 )− [3 (0 )3+2 (0 )−1 ] (1 )

[3 (1 )3+2 (1 )−1 ]− [3 (0 )3+2 (0 )−1 ]=0,2

𝑥3=𝑓 (𝑥2 ) (𝑥1 )− 𝑓 (𝑥1 ) (𝑥2 )

𝑓 (𝑥2 )− 𝑓 (𝑥1 )=

[3 (0,2 )3+2 (0,2 )−1 ] (1 )− [3 (1 )3+2 (1 )−1 ] (0,2 )

[3 (0,2 )3+2 ( 0,2 )−1 ]− [3 (1 )3+2 (1 )−1 ]=0,3006

𝑥4=𝑓 (𝑥3 ) (𝑥2 )− 𝑓 (𝑥2 ) (𝑥3 )

𝑓 (𝑥3 )− 𝑓 (𝑥2 )=

[3 ( 0,3006 )3+2 (0,3006 )−1 ] (0,2 )− [3 ( 0,2 )3+2 (0,2 )−1 ] (0,3006 )

[ 3 (0,3006 )3+2 (0,3006 )−1 ]− [ 3 (0,2 )3+2 (0,2 )−1 ]=0,4239

𝑥5=𝑓 (𝑥4 ) (𝑥3 )− 𝑓 (𝑥3 ) (𝑥4 )

𝑓 (𝑥4 )− 𝑓 (𝑥3 )=

[3 (0,4239 )3+2 (0,4239 )−1 ] (0,3006 )− [3 (0,3006 )3+2 (0,3006 )−1 ] (0,42399 )

[3 ( 0,4239 )3+2 (0,4239 )−1 ]− [ 3 (0,3006 )3+2 (0,3006 )−1 ]=0,3999

𝑥6=𝑓 (𝑥5 ) (𝑥4 )− 𝑓 (𝑥4 ) (𝑥5 )

𝑓 (𝑥5 )− 𝑓 (𝑥4 )=

[3 (0,3999 )3+2 (0,3999 )−1 ] (0,4239 )− [3 (0,4239 )3+2 (0,4239 )−1 ] (0,3999 )

[3 (0,3999 )3+2 (0,3999 )−1 ]− [3 (0,4239 )3+2 (0,4239 )−1 ]=0,4023

𝐸=|0,4023−0,4023|

0,4023=0<1 %

METODOS DIRECTOS PARA LA RESOLUCION DE ECUACIONES

LINEALES

MÉTODO DE ELIMINACIÓN GAUSSIANA

SELECCIÓN DEL PIVOTE:

Un modo sencillo de calcular el valor de un determinante es haciendo uso del PIVOTE.¿A qué llamamos PIVOTE?

Fijémonos en el determinante siguiente:

En este caso, llamo PIVOTE al primer elemento igual a 1 que aparece en el determinante:

¿Por qué el 1? Porque el producto de un valor por 1 es muy simple de calcular.

¿Si no tenemos un 1?. Bastará hacer alguna operación de multiplicar o dividir a una línea (fila o columna) para que sumando con otra línea obtengamos el 1.

Lo que tenemos que conseguir es que en la fila del 1 elegido todos los demás valores de los elementos sean ceros. ¿Por qué? Porque sabemos que el resultado de un determinante lo hallamos al sumar los productos que obtenemos de multiplicar cada elemento de una línea por sus respectivos adjuntos y cuando los elementos son ceros el cálculo es muy sencillo.

Ejemplo:

Resolver el valor del determinante:

Para que el valor de sea cero, hacemos la operación:

Columna1 = Columna1 – 2 X Columna3

Para que el valor desea cero, hacemos la operación:

Columna2 = Columna2– 2 x Columna3

El determinante nos queda:

Nos falta que el primer elemento de la cuarta columna sea cero.

Para que el valor de sea cero, hacemos la operación: Columna4 = Columna4 – 3 X Columna3

Finalmente el determinante nos queda:

Calculamos la suma de los productos de cada elemento de la fila 1ª por sus adjuntos:

Vemos que la suma vale:

El resultado es:

Método de Gauss con pivoteo total y parcial.Para elegir el elemento pivote en la primer columna se escoge el elemento mayor (con valor absoluto) de toda la primer columna.

Para elegir el elemento pivote en la segunda columna, se escoge el elemento mayor (con valor absoluto ) de toda la segunda columna exceptuando el elemento .

Para la tercer columna se exceptúan los elementos y , etc

Ejemplo :

Usar eliminación Gaussiana con pivoteo para resolver el siguiente sistema:

Escribimos la matriz aumentada del sistema:

Para escoger el primer elemento pivote en la columna 1, tomamos el elemento mayor con valor absoluto entre -1 , -2 y -0.2 , el cual obviamente es el -2 ; por lo tanto intercambiamos el renglón 1 y 2 (éste es el primer pivoteo realizado):

Y procedemos a hacer ceros debajo del pivote. Para ello, multiplicamos el renglón 1 por y se lo sumamos al renglón 2. También, multiplicamos el renglón 1 por y lo sumamos al renglón 3.

Esto nos da la matriz:

Olvidándonos del renglón 1 y de la columna 1, procedemos a escoger el pivote de la columna 2, pero unicamente entre 0.5 y 1.25 , el cual obviamente resulta ser 1.25. Por lo tanto intercambiamos los renglones 2 y 3 (éste es el segundo pivoteo realizado):

Y procedemos a hacer ceros debajo del elemento pivote. Para ello multiplicamos el renglón 2 por y lo sumamos al renglón 3 para obtener:

La cual es una matriz escalonada. El sistema equivalente es:

Y con la sustitución hacia arriba, obtenemos la solución del sistema:

Matriz inversa.Dada una matriz cuadrada A de orden n, diremos que es inversible y tiene por inversa la matriz A-1 si y sólo si A·A-1=A-1·A=In donde In es la matriz identidad de orden n. Condición necesaria y suficiente para que una matriz sea inversible es que su determinante sea no nulo.

Para determinar la inversa de A aplicamos la fórmula

Los pasos a seguir son:a. Calculamos |A| - Si es nulo A no tiene inversa, hemos acabado. - Si es no nulo A tiene inversa, en este caso calculamos la traspuesta de A, A t.b. Determinamos la matriz de adjuntos .

El adjunto de un elemento está formado, por el determinante de los números que no están ni en su fila ni en su columna. Por ejemplo A11 está formado por el determinante de aquellos números que están en las filas 2 , 3 y columnas 2,3.

Otro elemento que hay que tener en cuenta para el adjunto es el signo, hay un truquillo, sumanos los subindices, si la suma es impar se precede el determinante por un menos, si es par se precede por un mas, pero mejor observa el ejemplo.

Queda:

Método de factorización de Crout y Doolitle.En el método de Crout la matriz A es factorizada como A= LU en donde la matriz L es una matriz triangular inferior y U una matriz triangular superior con diagonal unitaria. En el método de Doolitle se realiza la descomposición de la matriz A en el producto LU, donde L tiene diagonal unitaria.El método de Crout es un procedimiento del tipo recursivo, esto significa el desarrollo de un conjunto de pasos sucesivos en donde el trabajo a realizar en cada paso resulta similar o del mismo tipo pero basado en resultados obtenidos en pasos anteriores.

Factorización de Cholesky

Así obtendríamos que:

Y de manera general para:

METODOS ITERATIVOS

Un método iterativo trata de resolver un problema matemático como una ecuación o un sistema de ecuaciones, mediante aproximaciones sucesivas a la solución, empezando desde una estimación inicial.

Esta aproximación contrasta con los métodos directos, que tratan de resolver el problema de una sola vez. Los métodos iterativos son útiles para resolver problemas que involucran un número grande de variables (a veces del orden de millones), donde los métodos directos tendrían un coste prohibitivo incluso con la potencia del mejor computador disponible.