Ing. Fernando
Montesinos Andreses
CICLO 2013-I Módulo: I Unidad: 01 Semana: 01
MÉTODOS NUMÉRICOS Y
PROGRAMACIÓN DIGITAL
ORIENTACIONES
Para llegar a donde deseas necesitas una
meta, que tu meta sea pasar este curso con
un buen resultado, es decir que puedas
lograr aprender a aprender. Para llegar a
ello debes tener un plan, el cual debe
incluir los puntos siguientes:·
• Prepararse para la clase.
• Asistir a clase.
• Solicitar ayuda especial cuando la
necesites·
CONTENIDOS TEMÁTICOS
TEORÍA ELEMENTAL DE ERRORES
• Error Absoluto.
• Error Relativo. Cifras Significativas exactas.
• Cifras Decimales Exactas.
• Notación decimal y redondeo de números.
• Relación entre el número de cifras justas y el erro del
número.
• Errores al realizar operaciones básicas.
TEORIA DE ERRORES
Cuando se mide una cantidad, ya directa, ya
indirectamente, la medida que se obtiene no
es necesariamente el valor exacto de tal medida,
ya que el resultado obtenido estará afectado por
errores debidos a multitud de factores
Entonces el error es definido la diferencia entre
un valor que se obtiene de una medición y un
valor considerado verdadero.
El error de las medidas es la incertidumbre que
tienen estas medidas y deben darse siempre
junto con el valor de la medida
Los fabricantes de instrumento de medición,
garantizan que los valores reales de las
magnitudes medidas, en condiciones
experimentales determinados, están
comprendidos dentro de ciertos limites
referidos al resultado de la medición
TEORÍA DE ERRORES
ERRORES ABSOLUTOS
ERROR ABSOLUTO (∆):
Es la diferencia entre la magnitud leída
en el instrumento (VL) y la magnitud
verdadera medida (VR).
∆ = VL - VR
ERRORES RELATIVOS
ERROR RELATIVO (Ƹr):
Es la relación entre el error absoluto (∆) y el
valor de la magnitud verdadera (VR)
Ƹr = ∆ / VR Ƹr% = (∆ /VR ) x 100
Ejemplo Aplicativo: Tenemos un instrumento de clase
0.5, cuyo rango máximo es de 500 voltios, debe medir
una tensión de 350 voltios. Determinar el Error
Absoluto y el Error Relativo.
Sabemos que B = ( ∆ / Vmax. Escala) x 100
Reemplazando los datos 0.5 = (∆ /500)x 100
Por lo tanto obtendremos ∆ = 2.5 voltios
Luego
Ƹr = ∆ / VR entonces Ƹr = (2.5 v./ 350 v.) = 0.0071
y expresado en porcentaje seria
Ƹr = (2.5 v./ 350 v.) x 100 Ƹr = 0.71%
ERRORES DE MEDICION
Errores Sistemáticos: Invariablemente, tienen la
misma magnitud y signo, bajo las mismas
condiciones.
Por ejemplo, los errores de calibración de escalas, en
general, por otras causas medibles con precisión. La
detección y corrección de estos errores se efectúa
por comparación o contraste con instrumentos
patrones.
Errores Aleatorios: Es un hecho conocido que al
repetir una medición utilizando el mismo proceso de
medición (el mismo instrumento, operador,
excitación, método, etc.) no se logra el mismo
resultado.
En este caso, los errores sistemáticos se mantienen
constantes, y las diferencias obtenidas se deben a
efectos fortuitos, denominados errores aleatorios
(mal llamados accidentales).
Errores Teóricos: De conocimiento o
imperfecciones en el método de medida
Errores Instrumentales: Propios de la construcción
del instrumento o ajuste de los mismos
Errores Ambientales: Variación de la Temperatura,
presión, humedad atmosférica, etc.
Errores Personales: Pueden deberse a limitaciones
físicas del observador, estado anímico, fenómeno de
paralaje
Errores Residuales: Se presenta sorpresivamente y a
veces se desconoce la causa y magnitud.
ERRORES DE MEDICION
OTRO TIPO DE ERRORES
Error de forma: Es un error que depende de la
deformación de la onda sinusoidal y aparece en
aquellos instrumentos en los cuales el momento
motor depende del valor medio de la corriente
alterna y en los que tienen núcleos ferromagnéticos.
OTRO TIPO DE ERRORES
Error de Posición ó Error de
Paralaje: Este error es importante
el primero es la indebida posición
del instrumento y el otro error es
en instrumentos de los cuales el
eje es horizontal o vertical y la
vista debe mirar de forma
perpendicular al instrumento de
medición.
Error de Conexión: Cuando no se tiene
cuidado en las conexiones de los instrumentos.
Error por Influencia: Se debe principalmente a
la influencia del medio ambiente, campo
eléctrico y campo magnético.
13
ERRORES EN LAS MEDIDAS FÍSICAS
• Clasificación:
• Errores sistemáticos defectos intrínsecos
• Errores accidentales causas fortuitas, tratamiento estadístico
Valor verdadero
Valor verdadero
Las distintas medidas de una magnitud afectadas sólo por errores
accidentales se distribuyen en torno al “valor verdadero” de una forma
estadísticamente predecible. Cuando los errores en las medidas son accidentales, la mejor
aproximación al valor verdadero es la media aritmética de los valores
obtenidos.
14
-2 0 2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
DISTRIBUCIÓN GAUSSIANA o NORMAL
Medidas
Número
de veces
que se
presenta
una
medida
Media
N
iiN x
Nxxx
Nx
121
1)...(
1
Media aritmética de N medidas
N
ii xx
N 1
2)(1
Error estándar
La mayoría de las medidas se
concentran alrededor de la media, las
medidas más alejadas y extremas son
menos frecuentes
Uso de diferencias al
cuadrado en los estimadores
estadísticos para evitar
cancelaciones
Cuando las medidas están
afectadas sólo por errores
aleatorios
%68
22 %95
15
RESOLUCIÓN: Es la mínima división de la escala del aparato
SENSIBILIDAD: Es el número de divisiones de la escala que recorre el
indicador del aparato cuando la magnitud a medir varía en una unidad.
Ejemplos: 1 mm en una regla milimetrada;
0.01 A en cierto amperímetro
Ejemplos.: 1 mm –1 en la regla milimetrada.
100 A–1 en el amperímetro.
Umbral de sensibilidad:
variación mínima de la magnitud que no es apreciada por el aparato
(evidentemente es menor que la resolución)
CUALIDADES DE LOS APARATOS DE MEDIDA
FIDELIDAD: Es la cualidad del aparato de dar el mismo resultado
siempre que se mide la misma magnitud física en las mismas
condiciones experimentales y distintas condiciones ambientales del
aparato (temperatura, humedad ambiente, tensión de alimentación, ...).
16
PRECISIÓN: Es la característica que nos indica globalmente el error
debido al umbral de sensibilidad y la falta de fidelidad del aparato.
Se expresa ordinariamente como un tanto por ciento del fondo de
escala (F.E.). Por ejemplo: un amperímetro de precisión 2% del F.E.
CUALIDADES DE LOS APARATOS DE MEDIDA
De todas estas características, la precisión es la que más completamente
indica el error de la medida debido intrínsicamente al aparato, es decir, que
no se puede rebajar salvo que midamos con un aparato más preciso
Hay otros errores que afectan circunstancialmente a un aparato, pero que pueden
corregirse mediante calibrado, es decir, ajustándolos para que den medidas
correctas o corrigiendo sus escalas tras una confrontación con un patrón o un
aparato más preciso. Debido a esta circunstancia, es necesario definir otra
cualidad.
EXACTITUD: Es la cualidad que indica que un aparato es preciso y
está bien calibrado. Sólo un aparato exacto permite medidas exactas,
pero la exactitud está siempre limitada por la precisión del aparato.
17
El error más típico que afecta a la
exactitud de los aparatos es el “error
de cero”. Causado por un defecto de
ajuste del aparato, este da una
lectura distinta de cero cuando lo
que mide vale cero. Es fácilmente
corregible reajustando el aparato o
corrigiendo numéricamente las
lecturas en la cantidad en que
difieren el cero real y el de la escala.
7 mV
ERROR DE CERO
CUALIDADES DE LOS APARATOS DE MEDIDA
Escala 2 V
18
CIFRAS SIGNIFICATIVAS
• El número de cifras significativas de una medida es el número de
dígitos fiables que dicha medida contiene.
• Ejemplo “dudoso”: tiempo que tarda la luz en recorrer UN MILLÓN de
kilómetros...
sc
xt 3333333333.3
103
10
5
6
? Criterios
• Los ceros a la izquierda no son significativos, indican la colocación del
punto decimal; así, 0.000345 tiene TRES cifras significativas.
• Los ceros a la derecha y después del punto decimal si son
significativos; como ejemplo, 3.4120 tiene CINCO cifras significativas.
• En números enteros terminados en ceros, éstos pueden ser
significativos o no. Debe distinguirse si sólo sirven para localizar el
punto decimal o forman parte de la medida. 3·102 kg UNA cifra significativa
3.0·102 kg DOS cifras significativas 3.00·102 kg TRES cifras significativas
El resultado de un cálculo no puede ser más exacto que la cantidad menos
exacta que interviene en el mismo.
19
ERRORES EN MEDIDAS DIRECTAS
Las medidas directas son las realizadas midiendo una magnitud física por
medio de un instrumento y un procedimiento de medida.
Las medidas indirectas son las que se obtienen a través de la medida
directa de otra u otras magnitudes relacionadas con ella mediante una
fórmula conocida.
Error en una medida directa:
En cada medida directa x se comete el error Dx que impone la resolución del aparato.
Por ejemplo: midiendo una longitud de 22 mm con una regla
milimetrada, cometemos un error de 1 mm. Esto debe expresarse
como (221) mm.
Este es el error absoluto de cada medida. La medida se expresa como x Dx
Criterio general para expresar el error absoluto: Ya que el error representa la incertidumbre en el conocimiento de la
medida, en general debe expresarse con UNA sola cifra significativa.
No obstante, cuando expresamos el error absoluto de una serie de medidas resultado de
ciertos cálculos, véase más adelante, se admite expresar el error absoluto con DOS cifras
significativas si la primera de ellas es 1.
20
s 104 3
s 105 3D RMSx
Medida resultante de un conjunto de medidas directas
ERRORES EN MEDIDAS DIRECTAS
Valor aceptado: media aritmética
N
iiN x
Nxxx
Nx
121
1)...(
1
Error absoluto de la serie: la mayor de las dos cantidades siguientes:
* El error estándar de los datos
N
ii xx
N 1
2)(1
* El valor cuadrático medio de los errores (RMS) 222
21 ...
1NRMS xxx
Nx DDDD
x1 Dx
1
x2 Dx
2
x3 Dx
3
… …
xN
Dx
N
(Ti-T)2
4,00E-04
4,93E-32
4,00E-04
1,00E-04
4,93E-32
1,00E-04
DTi2
1,00E-04
1,00E-04
1,00E-04
1,00E-04
1,00E-04
1,00E-04
Ti (s)
1,92
1,94
1,96
1,95
1,94
1,93
DTi
0,01
0,01
0,01
0,01
0,01
0,01
Ejemplo:
medida del
periodo de un
péndulo simple
s 94.1T s 005.0940.1 T
El error absoluto del conjunto será la mayor de las dos cantidades ),( RMSxMAXx DD
21
ERRORES EN MEDIDAS INDIRECTAS
• La medida indirecta de una magnitud x se determina a través de la
medida de otras con las que mantiene una relación funcional ),...,( 21 Nxxxxx
Ley de propagación del error de Gauss
22
22
2
11
...
D
D
D
D N
N
xx
xx
x
xx
x
xx
La ley de propagación de Gauss nos da el valor medio del error absoluto
de la magnitud medida en forma indirecta a partir de los errores absolutos
Dx1, Dx2,… Ejemplo: cálculo de la energía cinética de un cuerpo de masa M = (2.140.04) kg
que se mueve con una velocidad constante v = (4.50.1) m/s.
J 6675.212
1 2 MvEc
22
D
D
D v
v
EcM
M
EcEc 2
22
2vMvM
vD
D J 088.11.05.414.204.0
2
5.4 2
22
(Sin ajustar decimales)
Expresamos el error con 2 cifras significativas al ser la primera un 1 J 1.1D cE
Ajustamos el resultado al mismo orden decimal que el error: J 1.17.21 cE
22
ERRORES EN MEDIDAS INDIRECTAS
Valor máximo del error en medidas indirectas
• Si supusiéramos que de todas las variables que intervienen en la
magnitud x sólo una de ellas, xi, influye en el error Dx por haber sido
todas las demás medidas sin error alguno, la ley de propagación del
error nos daría:
ii
ii
xx
xx
x
xx D
D
D
2
Pero realmente no hay ninguna variable que sea medida sin error, por lo
que podemos considerar que el error máximo en la medida indirecta será
la suma de una serie de términos de error individual de la forma
expresada en la ecuación anterior:
NN
xx
xx
x
xx
x
xx D
D
D
D ...2
21
1
Salvo que se indique expresamente lo contrario, debe preferirse expresar los
resultados de las medidas acompañados de su error máximo, dado por la ecuación
inmediata anterior en lugar del error medio dado por la fórmula de Gauss.
El anterior ejemplo de la energía cinética, si se usa el error máximo, da como resultado J 5.17.21 cE
(compruébese)
23
• La función consta exclusivamente de productos y/o
cocientes nN
ba xxxx ...21
Derivadas parciales 11 x
xa
x
x
22 x
xb
x
x
NN x
xn
x
x
Error máximo (expresado como error relativo, es decir, como cociente
entre el error y la magnitud)
N
N
x
xn
x
xb
x
xa
x
x D
D
D
D...
2
2
1
1
ERRORES EN MEDIDAS INDIRECTAS
Caso particular que se presenta con frecuencia:
Ejemplo: error cometido en el cálculo de una fuerza centrípeta R
vMF
2
R
R
v
v
M
M
F
F D
D
D
D2
24
ERRORES EN MEDIDAS INDIRECTAS
Cálculo del error en la media empleando la ley de propagación de Gauss
Consideramos x1, x2,... xN (las N medidas realizadas de una
magnitud, cada una afectada de un error individual Dx1,
Dx2,...DxN), como medidas directas a partir de las cuales se
obtendrá la media como medida indirecta, siendo la
relación funcional entre ellas
N
iix
Nx
1
1
Valor medio del error:
22
2
2
1 Δ1
Δ1
Δ1
Δ
Nx
N...x
Nx
Nx 22
22
1 ΔΔΔ1
Nx...xxN
N
x
N
x...xx
N
RMSN ΔΔΔΔ122
22
1
Valor máximo del error:
NN
xx
xx
x
xx
x
xx D
D
D
D ...2
21
1 Nxxx
NDDD ...
121
N
x
x
x i
i
D
Obsérvese que
22
22
2
11
...
D
D
D
D N
N
xx
xx
x
xx
x
xx
Aproximaciones • Los métodos numéricos constituyen procedimientos alternativos
provechosos para resolver problemas matemáticos para los cuales
se dificulta la utilización de métodos analíticos tradicionales y,
ocasionalmente, son la única opción posible de solución.
• Son técnicas mediante las cuales un modelo matemático es
resuelto usando solamente operaciones aritméticas, … tediosos
cálculos aritméticos.
• Son técnicas sistemáticas cuyos resultados son aproximaciones
del verdadero valor que asume la variable de interés; la repetición
consistente de la técnica, a lo cual se le denomina iteraciones, es lo
que permite acercarse cada vez más al valor buscado.
Aproximaciones
Aproximación numérica
• Se entiende por aproximación numérica X*
una cifra que representa a un número cuyo
valor exacto es X. En la medida en que la
cifra X* se acerca más al valor exacto X,
será una mejor aproximación de ese
número
• Ejemplos:
– 3.1416 es una aproximación numérica de ,
– 2.7183 es una aproximación numérica de e,
– 1.4142 es una aproximación numérica de 2, y
– 0.333333 es una aproximación numérica de 1/3.
Cifras significativas • Las mediciones se realizan normalmente a través de instrumentos; por
ejemplo, un velocímetro para medir la velocidad de un automóvil, o un odómetro para medir el kilometraje recorrido.
• El número de cifras significativas es el número de dígitos t, que se pueden usar, con confianza, al medir una variable; por ejemplo, 3 cifras significativas en el velocímetro y 7 cifras significativas en el odómetro.
• Los ceros incluidos en un número no siempre son cifras significativas; por ejemplo, los números 0.00001845, 0.001845, 1845 y 184500 aparentemente tienen 4 cifras significativas, pero habría que conocer el contexto en el que se está trabajando en cada caso, para identificar cuántos y cuáles ceros deben ser considerados como cifras significativas.
• El manejo de cifras significativas permite desarrollar criterios para detectar qué tan precisos son los resultados obtenidos, así como evaluar los niveles de exactitud y precisión con que son expresados algunos números tales como , e ó 2.
• Alternativamente al número de cifras significativas, está el número n de dígitos en la mantisa, que indica el número de cifras a considerar, después del punto decimal. En operaciones manuales, el número de dígitos en la mantisa sigue teniendo vigencia, aunque ha sido desplazado poco a poco por el número de cifras significativas que, por diseño, manejan calculadoras y computadoras.
Exactitud y precisión.
• La precisión se refiere al número de cifras significativas que
representa una cantidad.
• La exactitud se refiere a la aproximación de un número o de una
medida al valor numérico que se supone representa.
• Ejemplo: es un número irracional, constituido por un número
infinito de dígitos; 3.141592653589793... es una aproximación tan
buena de , que tal podría considerarse que es su valor exacto. Al
considerar las siguientes aproximaciones de :
= 3.15 es impreciso e inexacto.
= 3.14 es exacto pero impreciso.
= 3.151692 es preciso pero inexacto.
= 3.141593 es exacto y preciso.
• Los métodos numéricos deben ofrecer soluciones suficientemente
exactas y precisas. El término error se usa tanto para representar la
inexactitud como para medir la imprecisión en las predicciones.
Convergencia y estabilidad • Se entiende por convergencia de un método numérico la garantía de que,
al realizar un “buen número” de iteraciones, las aproximaciones
obtenidas terminan por acercarse cada vez más al verdadero valor
buscado.
• En la medida en la que un método numérico requiera de un menor número
de iteraciones que otro, para acercarse al valor deseado, se dice que tiene
una mayor rapidez de convergencia.
• Se entiende por estabilidad de un método numérico el nivel de garantía de
convergencia, y es que algunos métodos numéricos no siempre
convergen y, por el contrario, divergen; esto es, se alejan cada vez más
del resultado deseado.
• En la medida en la que un método numérico, ante una muy amplia gama
de posibilidades de modelado matemático, es más seguro que converja
que otro, se dice que tiene una mayor estabilidad.
• Es común encontrar métodos que convergen rápidamente, pero que son
muy inestables y, en contraparte, modelos muy estables, pero de lenta
convergencia.
Selección de alternativas
• El uso de los métodos numéricos en ingeniería no es trivial, pues
se requiere elegir entre:
– Varios métodos numéricos alternativos para cada tipo de problema
– Varias herramientas tecnológicas
• Existen diferentes maneras de abordar los problemas entre una
persona y otra, que depende de:
– El nivel de participación en el modelado matemático del problema
– Ingenio y creatividad para enfrentarlo y resolverlo
– La habilidad para elegir, conforme a criterio y experiencia
Selección de alternativas
• Tipo de problema a resolver:
– Raíces de ecuaciones
– Sistemas de ecuaciones lineales simultáneas
– Interpolación, diferenciación e integración
– Ecuaciones diferenciales ordinarias
– Ecuaciones diferenciales parciales
– Otros (no contemplados en este curso; vistos en otras asignaturas)
• Equipo:
– Supercomputadora
– Computadora personal
– Calculadora graficadora
– Calculadora científica de bolsillo
– Regla de calculo
Las herramientas de cómputo son
máquinas “tontas” que sólo hacen lo
que se le ordena; sin embargo, los
tediosos cálculos numéricos los hacen
muy rápido y muy bien, sin fastidiarse.
Tipo de problema
Modelo matemático
Método numérico
Equipo
• Computadora
• Calculadora
Selección de alternativas
• “Software” – Desarrollo de programas:
• lenguaje “C”
• “Basic”
• “Fortran”
• Otro.
– Utilización de software matemático:
• “Maple”,
• “MatLab”,
• “MathCad”,
• “Mathematica”.
– El manejo de hojas de cálculo en PC:
• Excel
• Lotus
– Manejo expedito de una calculadora graficadora
Es altamente recomendable
que el ingeniero sepa programar
en por lo menos un lenguaje, sepa
utilizar algún software matemático,
y manejar muy eficientemente una
hoja de cálculo y una calculadora
graficadora
Software
• Desarrollo de programas
• Software matemático
• Hoja de cálculo
• Calculadora graficadora
Selección de alternativas
• Método numérico: no existe el mejor, pero si los
favoritos
– Amplitud de aplicación
– Amigabilidad
– Estabilidad
– Rapidez de convergencia
– Número de valores iniciales requeridos
• Se ha de tomar en cuenta, además
– Complejidad del modelo
– Turbulencia de los datos
– Ingenio y creatividad
GRACIAS
Recommended