MÉTODOS

NUMÉRICOS

UNIDAD 5

INTERPOLACIÓN

INTRODUCCIÓN

Siguiendo la investigación realizada pude encontrar y apreciar que en numerosos fenómenos de la naturaleza, podemos observar cierta regularidad en la forma de producirse, esto nos permite sacar conclusiones de la marcha de un fenómeno en situaciones que no hemos medido directamente.

Así mismo encontré que esto se podría usarse para estimar razonablemente, algunas predicciones de este tipo pueden obtenerse usando una función que ajuste los datos. Este es un tema llamado Interpolación.

El método de interpolación es un método científico lógico que consiste en suponer que el

curso de los acontecimientos continuará en el futuro, convirtiéndose en las reglas que

utilizamos para llegar a una nueva conclusión.

Consiste en hallar un dato dentro de un intervalo en el que conocemos los valores en los

extremos.

Utilizado para buscar la solución a un problema (lógica) o de enseñar la misma

(pedagogía), lo que lo convierte en una herramienta muy utilizadas en el marco

profesional y de enseñanza.

INTERPOLACIÓN

La interpolación consiste en encontrar el valor de la función F(x), de la cual sólo se conocen algunos puntos, para un valor de x que se encuentre entre dos valores consecutivos conocidos. En pocas palabras podríamos decir que:

"La interpolación consiste en hallar un dato dentro de un intervalo en el que conocemos los valores en los extremos".

El problema general de la interpolación se nos presenta cuando nos dan una función de la cual solo conocemos una serie de puntos de la misma:

(xo, yo), (x1, y1),........., (xn, yn)

Y se pide hallar el valor de un punto x (intermedio de x0 y xn) de esta función.

Interpolación. Elección de la interpolación más adecuada.

Consideremos una función de la cual solo conocemos una serie de puntos de la misma:

(xo, yo), (x1, y1), .............., (xn, yn)

EJEMPLO

Deseamos encontrar la expresión analítica de dicha función para poder estudiarla en otros puntos.

Ahora bien, por n+1 puntos pasan infinitas funciones, ¿con cuál de ellas nos quedamos? Lo más lógico es recurrir a la más sencilla. La cual es la de los polinomios, por tanto buscaremos el polinomio de menor grado que pase por los n+1 puntos dados.

La función polinómica de menor grado que pasa por los puntos es en principio de grado n: y= anxn+...+a1x+ao

Y se obtiene resolviendo el sistema de n+1 ecuaciones con n+1 incógnitas (sistema que tiene solución única ya que el determinante de la matriz de los coeficientes es de Vandermonde y por lo tanto distinto de cero)

POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN DE NEWTON

Uno de estas formas trabaja directamente en la tabla obtenida mediante el proceso de Diferencias Divididas; En el desarrollo de estas diferencias finitas, se obtuvo en primer lugar las diferencias finitas ordinarias y luego las diferencias finitas divididas.

INTERPOLACIÓN POLINOMIAL DE NEWTON

Algunos casos: lineal, de segundo grado y de tercer grado.

Interpolación lineal

Utilizando triángulos semejantes

Reordenando

El número de puntos considerados oscila entre dos y seis, y grados del polinomio entre uno y cinco.

Si los datos proceden de un polinomio que tiene grado tres, el hecho queda claro en los cálculos, ya que la tercera columna de la tabla de diferencias divididas será constante, con todos sus elementos iguales, y por tanto, las columnas que siguen son todas nulas. La última columna no nula decide por tanto el grado del polinomio de interpolación.

EJEMPLO 01

Estimar ln 2 mediante interpolación lineal si ln1 = 0 y ln 6 = 1.791759 y ln 4 = 1.386294

Valor real ln 2 = 0.6931472

Error relativo porcentual = 33.3%

EJEMPLO 02

Obtener el polinomio de interpolación usando la fórmula de interpolación de Newton en diferencias divididas con los datos de la tabla que aparece a continuación, e interpolar en el punto x = −5.

Sabemos que si tenemos los n+1 puntos (xi,yi), i=0... n, y queremos calcular el polinomio

que interpola en dichos puntos utilizando la fórmula de interpolación de Newton en

diferencias divididas.

O también:

pn(x)= f[x0] + f[x0,x1](x−x0)+ f[x0,x1,x2](x−x0)(x−x1)+…+f[x0,x1,…,xn]

(x−x0)(x−x1)...(x−xn−1)

En las que aparecen las diferencias divididas f[x0,...,xi], obtenidas a partir de los valores proporcionados por la tabla inicial.

Calculamos entonces la tabla de diferencias divididas:

Donde se ha expresado por brevedad la diferencia dividida

f[xk,xk+1,...,xk+p] como f[xk || xk+p].

La diagonal de la tabla de diferencias divididas, en color rojo, es entonces: [15,5], que se corresponde exactamente con el conjunto de valores que aparece en la fórmula y por tanto, los polinomios de Newton son los siguientes:

p0(x) = 15 (interpola en el primer punto) p1(x) = 5 (x-4) + p0(x) = −5+5 x (interpola en todos los puntos)

O también: p(x) = 15 +5 (x−4) = −5+5 x

La grafica de polinomio de interpolación: p(x) = -5+5x y de los puntos (xi, yi), i=0…1 es la que viene a continuación.

Si se quiere interpolar en un punto concreto, lo mejor es tomar el polinomio de interpolación en su forma de Newton y reordenarlo al estilo Ruffini-Horner expresando el polinomio como:

p(x) = 15 +(x−4) (5)

Lo que supone realizar a lo sumo 2 sumas/restas y 1 multiplicaciones para interpolar en un punto x.

Para interpolar entonces en x= −5, basta sustituir la x de la expresión reordenada

anterior por su valor −5 para obtener p(−5) = −30.

Si se tuviera el polinomio en su forma normal, como combinación lineal de {1,x,x2,...,xn}, deberíamos usar el algoritmo clásico de Ruffini Horner, ya que supondría 1 sumas y 1 multiplicaciones, como se ve a continuación. En este caso, para obtener el valor en

x = −5 del polinomio de interpolación p(x) = −5+5 x colocamos los coeficientes de mayor a menor exponente y operamos de la forma usual:

O bien

p(−5) = 5 . (−5) −5 = −30

Obteniendo el mismo resultado que antes, p(−5) = −30, con el mismo número de multiplicaciones y la mitad de sumas/restas.

POLINOMIO DE INTERPOLACION DE LAGRANGE

En análisis numérico, el polinomio de Lagrange, llamado así en honor a Joseph-Louis de

Lagrange, es el polinomio que interpola un conjunto de puntos dado en la forma de

Lagrange. Fue descubierto por Edward Waring en 1779 y redescubierto más tarde por

Leonhard Euler en 1783.

La fórmula clásica de interpolación de Lagrange. En los ejercicios se consideran de dos a

cinco puntos, y los grados resultantes van desde grado cero a grado cuatro en el

polinomio de interpolación. A lo largo de los ejercicios se puede comprobar que la

obtención del polinomio con Lagrange se vuelve una operación más laboriosa a medida

que aumenta el número de puntos considerados, aunque los puntos correspondan a un

polinomio de pequeño grado.

INTERPOLACIÓN Y POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE Se trata de encontrar un polinomio de grado n que pase por los puntos (x0, f(x0)),

(x1, f(x1)), ... (xn, f(xn)), se construye un cociente Ln,k(xk) con la propiedad de que

Ln,k(xi) = 0 cuando i ¹ k y Ln,k(xk) = 1

Se requiere entonces que el numerador contenga

(x – x0) (x – x1)... (x – xk–1)(x – xk+1)... (x – xn)

El denominador debe coincidir con el numerador cuando x = xk.

EJEMPLO 01

Obtener el polinomio de interpolación usando la fórmula de interpolación de Lagrange con la siguiente tabla de valores, e interpolar en el punto:

x = −4

Sabemos que la fórmula de interpolación de Lagrange para los n+1 puntos (xi,yi), i=0,…,n, viene dada por:

Dados los puntos (x0,y0) = (7,30), (x1,y1) = (-6,-22), tenemos entonces que los polinomios

de Lagrange son los siguientes:

El polinomio solución es por tanto:

Y la gráfica del polinomio de interpolación y

de los puntos (xi,yi), i=0,...,1 es la siguiente:

Si en lugar de obtener el polinomio de interpolación se quiere interpolar en un punto, o sea, se quiere calcular el valor del polinomio de interpolación en un punto concreto, basta sustituir la variable "x" de la fórmula por ese valor y realizar las operaciones correspondientes. En nuestro caso, si se quiere interpolar en el punto x=−4, usando alguna de las expresiones ya vistas para Lk(x), obtenemos:

L0(−4) = 2/13, L1(−4) = 11/13 y por tanto:

Si ya se tuviera el polinomio explícitamente tal como se ha calculado aquí, en potencias de x multiplicadas por sus coeficientes, es preferible utilizar el algoritmo de Ruffini-Horner para evaluar el polinomio en los puntos deseados, ya que entonces el coste es lineal (ver apuntes asignatura).

En este caso, para obtener el valor en x = −4 del polinomio de interpolación p(x) = 2+4 x colocamos los coeficientes de mayor a menor exponente y operamos de la forma usual:

O bien

p(−4) = 4 . (−4) +2 = −14

Obteniendo el mismo resultado que antes, p(−4) = −14, con muchas menos operaciones. Sabemos que con Ruffini-Horner a lo sumo son necesarios n productos y n sumas para obtener el valor de un polinomio de grado n. Claro que para llegar a este punto se han debido realizar antes todas las operaciones necesarias para obtener el polinomio en potencias de x.

INTERPOLACIÓN SEGMENTADA

La idea central es que en vez de usar un solo polinomio para interpolar los datos, podemos usar segmentos de polinomios y unirlos adecuadamente para formar nuestra interpolación.

Una función spline está formada por varios polinomios, cada uno definido en un intervalo y que se unen entre sí bajo ciertas condiciones de continuidad.

INTERPOLACIÓN SEGMENTARIA LINEAL

En él, vamos a interpolar una función f(x) de la que se nos dan un número N de pares (x,f(x)) por los que tendrá que pasar nuestra función polinómica P(x). Esta serie de funciones nuestras van a ser lineales, esto es, con grado 1: de la forma P(x) = ax + b.

Definiremos una de estas funciones por cada par de puntos adyacentes, hasta un total de (N-1) funciones, haciéndolas pasar obligatoriamente por los puntos que van a determinarlas, es decir, la función P(x) será el conjunto de segmentos que unen nodos consecutivos; es por ello que nuestra función será continua en dichos puntos, pero no derivable en general.

INTERPOLACIÓN SEGMENTARIA CUADRÁTICA

En este caso, los polinomios P(x) a través de los que construimos el Spline tienen grado 2. Esto quiere decir, que va a tener la forma P(x) = ax² + bx + c

Como en la interpolación segmentaria lineal, vamos a tener N-1 ecuaciones (donde N son los puntos sobre los que se define la función). La interpolación cuadrática nos va a asegurar que la función que nosotros generemos a trozos con los distintos P(x) va a ser continua, ya que para sacar las condiciones que ajusten el polinomio, vamos a determinar como condiciones:

Que las partes de la función a trozos P(x) pasen por ese punto. Es decir, que las dos Pn(x) que rodean al f(x) que queremos aproximar, sean igual a f(x) en cada uno de estos puntos.

Que la derivada en un punto siempre coincida para ambos "lados" de la función definida a trozos que pasa por tal punto común.

Esto sin embargo no es suficiente, y necesitamos una condición más. Ya que tenemos 3 incógnitas por cada P(x). En un caso sencillo con f(x) definida en tres puntos y dos ecuaciones P(x) para aproximarla, vamos a tener seis incógnitas en total. Para resolver esto necesitaríamos seis ecuaciones, pero vamos a tener tan sólo cinco: cuatro que igualan el P(x) con el valor de f(x) en ese punto (dos por cada intervalo), y la quinta al igualar la derivada en el punto común a las dos P(x).

Se necesita una sexta ecuación, ¿de dónde se extrae? Esto suele hacerse con el valor de la derivada en algún punto, al que se fuerza uno de los P(x).

INTERPOLACIÓN SEGMENTARIA CÚBICA

Cada polinomio P(x) a través del que construimos los Splines en [m,n] tiene grado 3. Esto quiere decir, que va a tener la forma P(x) = ax³ + bx² + cx + d

En este caso vamos a tener cuatro variables por cada intervalo (a,b,c,d), y una nueva condición para cada punto común a dos intervalos, respecto a la derivada segunda:

Que las partes de la función a trozos P(x) pasen por ese punto. Es decir, que las dos Pn(x) que rodean al f(x) que queremos aproximar, sean igual a f(x) en cada uno de estos puntos.

Que la derivada en un punto siempre coincida para ambos "lados" de la función definida a trozos que pasa por tal punto común.

Que la derivada segunda en un punto siempre coincida para ambos "lados" de la función definida a trozos que pasa por tal punto común.

Como puede deducirse al compararlo con el caso de splines cuadráticos, ahora no nos va a faltar una sino dos ecuaciones (condiciones) para el número de incógnitas que tenemos.

La forma de solucionar esto, determina el carácter de los splines cúbicos. Así, podemos usar:

Splines cúbicos naturales: La forma más típica. La derivada segunda de P se hace 0 para el primer y último punto sobre el que está definido el conjunto de Splines, esto son, los puntos m y n en el intervalo [m,n].

Dar los valores de la derivada segunda de m y n de forma "manual", en el conjunto de splines definidos en el intervalo [m,n].

Hacer iguales los valores de la derivada segunda de m y n en el conjunto de splines definidos en el intervalo [m,n]

CONCLUSIONES

Se puede decir que la interpolación es un método científico y lógico en la vida real en

donde se determina cada una de las variables e considerando todas las situaciones

posibles y en que se puede repercutir y las interpolamos a la nueva situación por analogía

o inducción.

BIBLIOGRAFÍA

https://sites.google.com/site/metalnumericos/home/unidad-4/4-1-interpolacion-lineal-y-

cuadratica

https://sites.google.com/site/metalnumericos/home/unidad-4/4-2-polinomios-de-

interpolacion-diferencias-divididas-de-newton-y-de-lagrange

https://sites.google.com/site/metalnumericos/home/unidad-4/4-4-aplicaciones

https://mx.answers.yahoo.com/question/index?qid=20080922181943AA4nW9u

http://www.itescam.edu.mx/principal/sylabus/fpdb/recursos/r93882.PDF

http://wwwprof.uniandes.edu.co/~gprieto/classes/compufis/interpolacion.pdf

http://zapallalmicaela.blogspot.mx/

http://www.slideshare.net/mylingp/interpolacion-de-polinomio

https://mx.answers.yahoo.com/question/index?qid=20111002152123AAsqj4o

https://www.youtube.com/watch?v=RR9QmVJdugY

http://users.dsic.upv.es/asignaturas/eui/cnu/libro/tema7/tema79.htm

http://numat.net/ejerc/interp/