Transcript
Page 1: Metody numeryczne - if.pw.edu.plagatka/numeryczne/wyklad_09.pdf · Rozwa Ŝmy równanie struny zaczepionej na obu ko ńcach. Jedyn ąsiłądziałaj ącąna element struny jest siła

Dr Piotr Fronczak

Metody numeryczne

Wykład nr 9

Page 2: Metody numeryczne - if.pw.edu.plagatka/numeryczne/wyklad_09.pdf · Rozwa Ŝmy równanie struny zaczepionej na obu ko ńcach. Jedyn ąsiłądziałaj ącąna element struny jest siła

Równania róŜniczkowe zwyczajne - problemy brzegowe (BVP)

Dotychczas omawialiśmy problemy początkowe – rówania róŜniczkowe,

w których dane były wartości zmiennych zaleŜnych (lub ich pochodne)

dla pewnej szczególnej wartości zmiennej niezaleŜnej.

Teraz naszym zadaniem będzie wyznaczenie spośród funkcji spełniających

dane równanie róŜniczkowe zwyczajne, zdefiniowanych w rozwaŜanym obszarze,

tych, które spełniają dodatkowe warunki na brzegu tego obszaru. Warunki takie

nazywane są warunkami brzegowymi i są nałoŜone na wartości funkcji i jej

pochodnych w więcej niŜ jednym punkcie tego obszaru.

Page 3: Metody numeryczne - if.pw.edu.plagatka/numeryczne/wyklad_09.pdf · Rozwa Ŝmy równanie struny zaczepionej na obu ko ńcach. Jedyn ąsiłądziałaj ącąna element struny jest siła

BVP są zwykle szczególnym przypadkiem równań róŜniczkowych cząstkowych,

których rozwiązaniem są funkcje czasu i połoŜenia, np. pole elektryczne,

rozkład temperatury, prędkość przepływu itp.

2

2

x

y

t

y

∂=

∂równanie dyfuzji

2

2

2

2

x

y

t

y

∂=

∂równanie falowe

Jeśli y = y(x) (nie zaleŜy od czasu – stany ustalone, równowagi), to otrzymujemy

ogólną postać BVP (drugiego rzędu):

),(2

2

dx

dyyf

dx

yd=Dane jest równanie

w dziedzinie bxa ≤≤

oraz określone są w pewien sposób warunki brzegowe.

Page 4: Metody numeryczne - if.pw.edu.plagatka/numeryczne/wyklad_09.pdf · Rozwa Ŝmy równanie struny zaczepionej na obu ko ńcach. Jedyn ąsiłądziałaj ącąna element struny jest siła

Typowe formy warunków brzegowych

Warunki brzegowe Dirichleta

Dwie wartości y(x) są dane – jedna dla x = a, druga dla x = b.

y(a) = Ya oraz y(b) = Yb

Warunki brzegowe Neumanna

Dwie wartości dy/dx są dane – jedna dla x = a, druga dla x = b.

a

ax

Ddx

dy=

=

b

bx

Ddx

dy=

=

oraz

Mieszane warunki brzegowe Robina

a

ax

Caycdx

dyc =+

=

)(21 b

bx

Cbycdx

dyc =+

=

)(43oraz

4321 ,,, cccc - stałe

Page 5: Metody numeryczne - if.pw.edu.plagatka/numeryczne/wyklad_09.pdf · Rozwa Ŝmy równanie struny zaczepionej na obu ko ńcach. Jedyn ąsiłądziałaj ącąna element struny jest siła

Metoda strzałów

bxaxFyxkdx

yd≤≤=+ );()(

2

2

Rozpatrzmy ogólne równanie

W celu jego zdyskretyzowania przyjmijmy

Nabh /)( −=

gdzie N jest liczbą punktów, na które dzielimy przedział [a,b].

Dyskretyzując drugą pochodną

)(2 2

2

11''hO

h

yyyy iii

i ++−

= −+

iiiiii Fyk

h

yyy=+

+− −+2

11 2

otrzymujemy równanie

Page 6: Metody numeryczne - if.pw.edu.plagatka/numeryczne/wyklad_09.pdf · Rozwa Ŝmy równanie struny zaczepionej na obu ko ńcach. Jedyn ąsiłądziałaj ącąna element struny jest siła

iiiiii Fyk

h

yyy=+

+− −+2

11 2

Chcemy scałkować to równanie od x0 = a do xN = b, więc przedstawmy je w postaci

iiiiii Fhykhyyy22

11 2 +−+−= −+

1

2

11

2

102 2 Fhykhyyy +−+−=Czyli dla i = 1

Mamy dane y0 = y(a) = 0, ale y1 jest nieznane.

Znajomość y1 jest równoznaczna ze znajomością y’ dla x = 0:

h

yyy ii

i

−≈ +1'

001 yhyy ′+≈

Page 7: Metody numeryczne - if.pw.edu.plagatka/numeryczne/wyklad_09.pdf · Rozwa Ŝmy równanie struny zaczepionej na obu ko ńcach. Jedyn ąsiłądziałaj ącąna element struny jest siła

RozwaŜmy równanie struny zaczepionej na obu końcach.

Jedyną siłą działającą na element struny jest siła

napręŜeń T. Jej wartość w kierunku pionowym

( ))sin()sin()sin()sin( 1 iiTTTF θθθθθ −=−∆+= +

Zakładając, Ŝe kąty θ są małe

x

yytg ii

ii∆

−=≈ +

++1

11 )()sin( θθ

oraz, Ŝe przyśpieszenie elementu struny jest proporcjonalne do wychylenia

ya2ω−=

dostajemy

+−≈−⋅∆= −+

x

yyyTyxma iii 112 2

)( ωρ

0)(

2 2

2

11 =+

+− −+ yx

yyyT iii ρω

Dla 0→∆x 0'' 2 =+ yTy ρω

0'' =+ yy λT

2ρωλ = 2

2

2

2

x

y

t

y

∂=

∂λ

2

2

dt

yda =

Zakładając

Ŝe

otrzymalibyśmy

Page 8: Metody numeryczne - if.pw.edu.plagatka/numeryczne/wyklad_09.pdf · Rozwa Ŝmy równanie struny zaczepionej na obu ko ńcach. Jedyn ąsiłądziałaj ącąna element struny jest siła

0)(,0)0(0'' ===+ Lyyyy λ

Gdy λ > 0, to istnieje rozwiązanie postaci

)sin()cos( xBxAy αα +=

Uwzględniając warunki brzegowe otrzymujemy nieskończenie wiele rozwiązań

...,3,2,1,sin)( =

= n

L

xnxyn

π

Gdy λ = 0BAxy +=

Uwzględniając warunki brzegowe otrzymujemy rozwiązanie trywialne y = 0.

z wartościami własnymi...,3,2,1,

2

22

== nL

nn

πλ

PoniewaŜ problem fizyczny nie ma ujemnych wartości własnych,

nie musimy analizować przypadku λ < 0.

Page 9: Metody numeryczne - if.pw.edu.plagatka/numeryczne/wyklad_09.pdf · Rozwa Ŝmy równanie struny zaczepionej na obu ko ńcach. Jedyn ąsiłądziałaj ącąna element struny jest siła

Zatem mamy rozwiązanie

...,3,2,1,sin)( =

= n

L

xnxyn

π

równania

0)(,0)0(0''2

22

===+ LyyyL

ny

π

Wybierzmy n = 4 i L = 1.

( ) 0)1(,0)0(,4sin)( === yyxxy π

( )xxy ππ 4cos4)(' =Pochodna wynosi

=0

=0

)162(4 22

2 ππ hhy −=

iiiiii Fhykhyyy22

11 2 +−+−= −+

Oraz dalsze kroki zgodnie ze wzorem ze slajdu nr 6

)4cos(4 001 xhyy ππ+=

1

2

11

2

102 2 Fhykhyyy +−+−=

A kolejne kroki rozwiązania

Page 10: Metody numeryczne - if.pw.edu.plagatka/numeryczne/wyklad_09.pdf · Rozwa Ŝmy równanie struny zaczepionej na obu ko ńcach. Jedyn ąsiłądziałaj ącąna element struny jest siła

x yteor ynum

0 0.0000 0.0000

0.1 0.9511 1.2566

0.2 0.5878 0.5289

0.3 -0.5878 -1.0341

0.4 -0.9511 -0.9641

0.5 0.0000 0.6283

0.6 0.9511 1.2285

0.7 0.5878 -0.1113

0.8 -0.5878 -1.2753

0.9 -0.9511 -0.4255

1 0.0000 1.0963

Podzielmy obszar rozwiązań [0,1] na 10 równych części (h = 0.1)

x yteor ynum

0 0.0000 0.0000

0.05 0.5878 0.6283

0.1 0.9511 1.0086

0.15 0.9511 0.9907

0.2 0.5878 0.5817

0.25 0.0000 -0.0570

0.3 -0.5878 -0.6731

0.35 -0.9511 -1.0235

0.4 -0.9511 -0.9699

0.45 -0.5878 -0.5333

0.5 0.0000 0.1138

0.55 0.5878 0.7160

0.6 0.9511 1.0355

0.65 0.9511 0.9462

0.7 0.5878 0.4834

0.75 0.0000 -0.1703

0.8 -0.5878 -0.7567

0.85 -0.9511 -1.0444

0.9 -0.9511 -0.9198

0.95 -0.5878 -0.4321

1 0.0000 0.2262

-1.5000

-1.0000

-0.5000

0.0000

0.5000

1.0000

1.5000

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

yteor

ynum

-1.5000

-1.0000

-0.5000

0.0000

0.5000

1.0000

1.5000

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

yteor

ynum

Podzielmy obszar rozwiązań [0,1] na 20 równych części (h = 0.05)

Page 11: Metody numeryczne - if.pw.edu.plagatka/numeryczne/wyklad_09.pdf · Rozwa Ŝmy równanie struny zaczepionej na obu ko ńcach. Jedyn ąsiłądziałaj ącąna element struny jest siła

Zwykle nie znamy wartości i wektorów własnych układu. Trzeba je zgadnąć.

Przekształćmy ogólny problem brzegowy drugiego rzędu

badx

dyYbyYaybxayxf

dx

yd==≤≤= )(,)(),,(

2

2

zdla

w układ dwóch równań pierwszego rzędu:

aYaywdx

dy== )( pocz. war. z

),,( wyxfdx

dw= BEZ WARUNKU POCZĄTKOWEGO

Musimy znaleźć warunek początkowy

α===axdx

dyaw )(

Innymi słowy – musimy znaleźć nachylenie αOK

krzywej y w punkcie a.

Ya

Yb

x=a x=bα2 < αOK < α1

Page 12: Metody numeryczne - if.pw.edu.plagatka/numeryczne/wyklad_09.pdf · Rozwa Ŝmy równanie struny zaczepionej na obu ko ńcach. Jedyn ąsiłądziałaj ącąna element struny jest siła

0)(,0)0(016'' 2 ===+ Lyyyy π

Wróćmy do naszego przykładu (dla n=4, L=1)

Przepiszmy to równanie w postaci układu dwóch równań pierwszego rzędu:

=−=

==

α)0(16

0)0(

2wyπw'

ywy'

α - parametr układu.

Musimy znaleźć miejsce zerowe funkcji błędu

0)1()1()( =−= yyEα

αZwykle powyŜszy układ równań będziemy rozwiązywać jedną z metod podanychna poprzednim wykładzie (np. Rungego-Kutty), ale na razie, korzystając z metod analitycznych, zauwaŜmy Ŝe

Problem początkowy!

π

π

4

)4sin()(

xCxy =

A zatem nie znajdziemy stałej C z warunku

y(1) = 0.

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-1.0

-0.5

0.5

1.0

Page 13: Metody numeryczne - if.pw.edu.plagatka/numeryczne/wyklad_09.pdf · Rozwa Ŝmy równanie struny zaczepionej na obu ko ńcach. Jedyn ąsiłądziałaj ącąna element struny jest siła

Wybierzmy zatem na potrzeby dydaktyki inny warunek brzegowy:

587.0)7.0( =yMetoda bisekcji.

100

100

1

0

=

−=

α

α

-100 -50 50 100

-6

-4

-2

2

4

0)(2

110 =+= ααα śr

śrśrEE αααα =⇒<⋅ 10 0)()(

50)(2

110 −=+= ααα śr

śrśrEE αααα =⇒>⋅ 00 0)()(

…-10.5 -10.0 -9.5 -9.0

-0.06

-0.04

-0.02

0.02

0.04

2.10−=śrα

Sprawdźmy:

17.10)7.04cos(4)'7.04sin( −== πππ

Page 14: Metody numeryczne - if.pw.edu.plagatka/numeryczne/wyklad_09.pdf · Rozwa Ŝmy równanie struny zaczepionej na obu ko ńcach. Jedyn ąsiłądziałaj ącąna element struny jest siła

Metoda siecznych.

11

1 0

+−

−=

ii

i

ii

ii EEE

αααα

i

ii

iiii E

EE −

−−=

−+

1

11

)( αααα

E=0

α

E

Ei-1

Ei

αi-1 αi

369.6100

194.5100 11

−==

=−= −−

ii

ii

E

E

α

α

16.10)369.6(369.6194.5

)100100(1001 −=−

+

−−−=+iα

17.10)7.04cos(4)'7.04sin( −== πππPrzypomnienie:

Wniosek: szybka zbieŜność juŜ po pierwszej iteracji.

Page 15: Metody numeryczne - if.pw.edu.plagatka/numeryczne/wyklad_09.pdf · Rozwa Ŝmy równanie struny zaczepionej na obu ko ńcach. Jedyn ąsiłądziałaj ącąna element struny jest siła

Metoda róŜnic skończonych

W metodzie tej, pochodne w równaniu róŜniczkowym zastępujemy róŜnicami

skończonymi.

Dziedzinę rozwiązań [a,b] dzielimy na N przedziałów o długości h = (b-a) / N.

Mamy N+1 punktów. Dla kaŜdego z nich zapisujemy równanie róŜnicowe – czyli

równanie algebraiczne.

Mamy zatem układ równań algebraicznych, który rozwiązujemy jedną z metod

omówionych na wykładzie nr 3.

x =a1xi xi+1xi-1

x =bN+1

h

x

y

Page 16: Metody numeryczne - if.pw.edu.plagatka/numeryczne/wyklad_09.pdf · Rozwa Ŝmy równanie struny zaczepionej na obu ko ńcach. Jedyn ąsiłądziałaj ącąna element struny jest siła

Przykład:

0)1(,0)0(,12

2

=== yydx

yd

Drugą pochodną moŜna przybliŜyć za pomocą trójpunktowych róŜnic centralnych

(zwykle, choć niekoniecznie). Mamy zatem

Rozwiązanie analityczne:22

)(2

xxxy −=

By otrzymać rozwiązanie numeryczne najpierw dyskretyzujemy równanie dla punktów

[x0, x1, …, xN], gdzie x0 = 0, xN = 1, xi = ih.

Wybierzmy h = 0.2 (N = 5).

4,3,2,1,12

2

11 ==+− +− i

h

yyy iii dla

Zwróćmy uwagę, Ŝe są to równania tylko dla punktów wewnętrznych.

Układ nasz ma 4 niewiadome i 4 równania:

Page 17: Metody numeryczne - if.pw.edu.plagatka/numeryczne/wyklad_09.pdf · Rozwa Ŝmy równanie struny zaczepionej na obu ko ńcach. Jedyn ąsiłądziałaj ącąna element struny jest siła

. h y y- y

, h y y- y

, h y y-y

, h y y -y

2543

2432

2321

2210

2

2

2

2

=+

=+

=+

=+

Macierz powyŜsza jest przykładem macierzy trójdiagonalnej.

Choć powyŜszy układ moŜna rozwiązać jedną z metod omówionych na

wykładzie 3 (np. metodą Gaussa), to szczególna postać tej macierzy pozwala

zredukować liczbę obliczeń z n3 do n.

=

5

2

2

2

0

2

4

3

2

1

21

121

121

12

yh

h

h

yh

y

y

y

y

=

04.0

04.0

04.0

04.0

Page 18: Metody numeryczne - if.pw.edu.plagatka/numeryczne/wyklad_09.pdf · Rozwa Ŝmy równanie struny zaczepionej na obu ko ńcach. Jedyn ąsiłądziałaj ącąna element struny jest siła

.y y

, yy y

, y yy

, yy

1004

43

1004

432

1004

321

1004

21

2

2

2

2

=−

=+−

=+−

=+−

. y y

, yy y

, y y

, yy

1004

43

1004

432

1006

3223

1002

221

1

2

2

=−

=+−

=+−

−=−

. y y

, yy

, y y

, yy

1004

43

1008

4334

1004

332

2

1002

221

1

2 =−

=+−

−=−

−=−

. y

, yy

, yy

, yy

101

445

1006

443

3

1004

332

2

1002

221

1

=−

−=−

−=−

−=−

.)(

)(

)(

1008

10012

21

1002

1

10012

10012

32

1004

2

10012

1008

43

1006

3

1008

4

−=−+−=

−=−+−=

−=−+−=

−=

y

, y

, y

,y

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0-0.14

-0.12

-0.10

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0.00

y

x

Page 19: Metody numeryczne - if.pw.edu.plagatka/numeryczne/wyklad_09.pdf · Rozwa Ŝmy równanie struny zaczepionej na obu ko ńcach. Jedyn ąsiłądziałaj ącąna element struny jest siła

Algorytm Thomasa dla układów z macierzą trójdiagonalną

Dany jest układ równań:

niYycbya iiiiii ...,,2,111 ==++ +− dla

=

nnnn

n

Y

Y

Y

y

y

y

ba

c

cba

cba

cb

.

.

.

.

0......0

...............

0...0

0...0

0......0

2

1

2

1

1

333

222

11

lub w postaci macierzowej 0,01 == nca

Algorytm składa się z dwóch faz:

�Faza eliminacji wprzód – wykonując dla równań od i = 1 do n eliminację

niewiadomych uzyskujemy ostatnie równanie (i = n) z jedną tylko niewiadomą,

którą moŜemy wyznaczyć.

�Faza eliminacji wstecz – korzystając z wyznaczonej w równaniu i+1 niewiadomej yi+1

wyznaczamy z równania i niewiadomą yi, aŜ do otrzymania wartości y1.

(∗)(∗)(∗)(∗)

Page 20: Metody numeryczne - if.pw.edu.plagatka/numeryczne/wyklad_09.pdf · Rozwa Ŝmy równanie struny zaczepionej na obu ko ńcach. Jedyn ąsiłądziałaj ącąna element struny jest siła

A zatem szukamy schematu postaci:

iiii yy βγ +=−1

Podstawiając ten schemat do równania (∗) otrzymujemy:

( ) iiiiiiiii Yycybya =+++ +1βγ

Wyznaczając yi

iii

iiii

iii

ii

ba

aYy

ba

cy

+

−+

+

−= + γ

β

γ 1

Porównując z otrzymujemy

iii

iiii

iii

ii

ba

aY

ba

c

+

−=

+

−= ++ γ

ββ

γγ 11 ,

Otrzymaliśmy równanie rekurencyjne na poszukiwane współczynniki γ i β.

Współczynniki początkowe γ1 i β1 nie mają znaczenia, bo mnoŜone są przez a1=0.

Musimy jeszcze znać yn, by móc rozpocząć iteracyjne obliczanie niewiadomych.

Page 21: Metody numeryczne - if.pw.edu.plagatka/numeryczne/wyklad_09.pdf · Rozwa Ŝmy równanie struny zaczepionej na obu ko ńcach. Jedyn ąsiłądziałaj ącąna element struny jest siła

Podstawiając pierwsze równanie schematu

do równania (∗) otrzymujemy:

nnnn yy βγ +=−1

( ) nnnnnnn Yybya =++ βγ

Czyli

nnn

nnnn

ba

aYy

+

−=

γ

β

iii

iiii

ba

aY

+

−=+ γ

ββ 1

Warto zauwaŜyć, Ŝe skoro to wystarczy przyjąć

(∗∗)

01 =+ny

(∗∗∗)

, by móc bezpośrednio skorzystać ze wzoru (∗∗).

Page 22: Metody numeryczne - if.pw.edu.plagatka/numeryczne/wyklad_09.pdf · Rozwa Ŝmy równanie struny zaczepionej na obu ko ńcach. Jedyn ąsiłądziałaj ącąna element struny jest siła

Podsumowując:

iii1-i

1n

iii

iii1i

iii

i1i

11

xy

1..2ni for

0;y

ba

aY,

ba

c

1..ni for

przykład //na0;

βγ

γ

ββ

γγ

βγ

+=

+=

=

+

−=

+

−=

=

==

+

++

Algorytm Thomasa jest niezawodny, gdy macierz jest diagonalnie dominująca

nicab iii ...,,1=+≥

Page 23: Metody numeryczne - if.pw.edu.plagatka/numeryczne/wyklad_09.pdf · Rozwa Ŝmy równanie struny zaczepionej na obu ko ńcach. Jedyn ąsiłądziałaj ącąna element struny jest siła

Przykład: radiator prętowy

Równanie opisujące rozkład temperatury wzdłuŜ długości pręta:

TA

TB

TS

L

x

LxTTkA

Ph

dx

TdS

C

C ≤≤=−− 0,0)(2

2

hc – współczynnik wnikania ciepła

P – obwód pręta

k – współczynnik przewodzenia ciepła

Ac – pole poprzecznego przekroju prętaK293T

K293T(L)

K473T(0)

m0.1L

m101.6A

W/m/K 240k

m 0.016 P

/KW/m40h

S

25

c

2

c

=

=

=

=

×=

=

=

=

Page 24: Metody numeryczne - if.pw.edu.plagatka/numeryczne/wyklad_09.pdf · Rozwa Ŝmy równanie struny zaczepionej na obu ko ńcach. Jedyn ąsiłądziałaj ącąna element struny jest siła

0)(2

2

=−− STTdx

Tdβ 0)(

22

11 =−−+− +−

Siiii TT

h

TTTβ

Siii ThTThT ββ 2

1

2

1 )2( −=++− +−

Podzielmy domenę rozwiązań na 5 części (h = L / 5 = 2 cm)

SThTThTi ββ 2

32

2

1 )2(2 −=++−=

)()2( 1

2

32

2TThTTh S +−=++− ββczyli

SThTThTi ββ 2

43

2

2 )2(3 −=++−=

SThTThTi ββ 2

54

2

3 )2(4 −=++−=

SThTThTi ββ 2

65

2

4 )2(5 −=++−=

)()2( 6

2

45

2TThTTh S +−=++− ββczyli

Page 25: Metody numeryczne - if.pw.edu.plagatka/numeryczne/wyklad_09.pdf · Rozwa Ŝmy równanie struny zaczepionej na obu ko ńcach. Jedyn ąsiłądziałaj ącąna element struny jest siła

+−

+−

=

+−

+−

+−

+−

)(

)(

)2(100

1)2(10

01)2(1

001)2(

6

2

2

2

1

2

5

4

3

2

2

2

2

2

TTh

Th

Th

TTh

T

T

T

T

h

h

h

h

S

S

S

S

β

β

β

β

β

β

β

β

Mamy zatem układ 4 równań z czterema niewiadomymi.

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

300

350

400

450

500

Rozwiązując ten układ

za pomocą algorytmu Thomasa

otrzymujemy:

Page 26: Metody numeryczne - if.pw.edu.plagatka/numeryczne/wyklad_09.pdf · Rozwa Ŝmy równanie struny zaczepionej na obu ko ńcach. Jedyn ąsiłądziałaj ącąna element struny jest siła

Metoda róŜnic skończonych dla nieliniowych równań róŜniczkowych

Najciekawsze problemy współczesnej fizyki są nieliniowe.

Nieliniowe problemy brzegowe dyskretyzujemy w podobny sposób.

Wynikiem jest jednak układ nieliniowych równań algebraicznych.

Metody rozwiązywania takich równań nieliniowych omówiliśmy na wykładzie nr 2.

Najbardziej wydajne obliczeniowo są w tym przypadku metody iteracyjne.

Istnieje jednak potencjalny problem związany ze zbieŜnością schematu iteracyjnego.

Metoda punktu stałego

Układ równań nieliniowych moŜna zapisać w postaci

][][]][[ bya =Φ+

[a] – macierz współczynników

[Φ] – wektor nieliniowych wyrazów będących funkcją niewiadomych yi

[b] - wektor znanych wielkości stałych

Page 27: Metody numeryczne - if.pw.edu.plagatka/numeryczne/wyklad_09.pdf · Rozwa Ŝmy równanie struny zaczepionej na obu ko ńcach. Jedyn ąsiłądziałaj ącąna element struny jest siła

Spośród wielu sposobów konstruowania procedury iteracyjnej wybierzmy najprostszy

][][]][[ bya =Φ+

kkbya ][][]][[ 1 Φ−=+

obliczone na podstawie

wcześniejszego kroku k

Jeśli liczba punktów jest mała moŜemy macierz [a] odwrócić. Jeśli nie, moŜemy

skorzystać z metody eliminacji Gaussa albo Thomasa (dla macierzy trójdiagonalnej)

( )kkbay ][][][][ 11 Φ−= −+

Page 28: Metody numeryczne - if.pw.edu.plagatka/numeryczne/wyklad_09.pdf · Rozwa Ŝmy równanie struny zaczepionej na obu ko ńcach. Jedyn ąsiłądziałaj ącąna element struny jest siła

Przykład: radiator prętowy

Gdy uwzględnimy wyraz odpowiedzialny na wypromieniowywanie ciepła,

równanie opisujące rozkład temperatury wzdłuŜ długości pręta uzyska postać:

LxTTkA

PTT

kA

Ph

dx

TdS

C

S

C

C ≤≤=−−−− 0,0)()( 44

2

2 εσ

ε - względna zdolność emisyjna

σ - stała Stefana-Boltzmanna

0)()(2 44

2

11 =−−−−+− +−

SiBSiAiii TTTT

h

TTTββ

Równanie zdyskretyzowane:

)()2( 42

1

422

1 SBSAiiBiAi TThTThThT ββββ +−=+−+− +−

Page 29: Metody numeryczne - if.pw.edu.plagatka/numeryczne/wyklad_09.pdf · Rozwa Ŝmy równanie struny zaczepionej na obu ko ńcach. Jedyn ąsiłądziałaj ącąna element struny jest siła

=

+

+−

+−

+−

+−

)(

)(

)(

)(

)2(100

1)2(10

01)2(1

001)2(

4

5

2

4

4

2

4

3

2

4

2

2

5

4

3

2

2

2

2

2

Th

Th

Th

Th

T

T

T

T

h

h

h

h

B

B

B

B

A

A

A

A

β

β

β

β

β

β

β

β

−+−

+−

+−

−+−

=

6

42

42

42

1

42

)(

)(

)(

)(

TTTh

TTh

TTh

TTTh

SBSA

SBSA

SBSA

SBSA

ββ

ββ

ββ

ββ

( )kkbaT ][][][][ 11 Φ−= −+

Teraz stosujemy procedurę iteracyjną:

Page 30: Metody numeryczne - if.pw.edu.plagatka/numeryczne/wyklad_09.pdf · Rozwa Ŝmy równanie struny zaczepionej na obu ko ńcach. Jedyn ąsiłądziałaj ącąna element struny jest siła

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

280

320

360

400

440

480

T [K

]

x [m]

krok 0

krok 1

krok 2

krok 3

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

krok 0 473 400 400 400 400 293

krok 1 473 423.2293 382.8297 349.1078 319.8155 293

krok 2 473 423.3492 383.3225 349.8507 320.4519 293

krok 3 473 423.344 383.3132 349.8409 320.4456 293

Page 31: Metody numeryczne - if.pw.edu.plagatka/numeryczne/wyklad_09.pdf · Rozwa Ŝmy równanie struny zaczepionej na obu ko ńcach. Jedyn ąsiłądziałaj ącąna element struny jest siła

• Zakładamy hx = hy = h [siatka kwadratowa]

• u(xi,yj) = ui,j

• u(xi+h, yj+h) = ui+1,j+1,

xi xi+1xi-1

yj

yj-1

yj+1

( ) [ ]jijijixji uuuh

yxu ,1,,122

1,'' +− +−≈

02

2

2

2

=∂

∂+

y

u

x

uui,j

hx

hy

Dwuwymiarowe zagadnienie brzegowe

Równanie Laplace’a

( ) [ ]1,,1,22

1,'' +− +−≈ jijijiyji uuu

hyxu

( ) ( )

{ } { }[ ]

[ ] 041

221

,'',''

1,,1,1,,12

1,,1,,1,,12

=++−+

=+−++−

≈+

++−−

+−+−

jijijijiji

jijijijijiji

yjixji

uuuuuh

uuuuuuh

yxuyxu

Page 32: Metody numeryczne - if.pw.edu.plagatka/numeryczne/wyklad_09.pdf · Rozwa Ŝmy równanie struny zaczepionej na obu ko ńcach. Jedyn ąsiłądziałaj ącąna element struny jest siła

Sumując wyrazy wyznaczamy ui,j: { }1,,11,,1,4

1++−− +++= jijijijiji uuuuu

Przyjmujemy początkowe przybliŜenie

1 2

3 4

u = 0

u = 0 u = 0

u = 1

Przykład: siatka 3x3

)10(

)01(

)00(

)00(

32411

4

41411

3

14411

2

32411

1

mmm

mmm

mmm

mmm

uuu

uuu

uuu

uuu

+++=

+++=

+++=

+++=

+

+

+

+

01

4

1

3

1

2

1

1 ==== uuuu

Korzystamy z metody iteracyjnej Jacobiego (lub Gaussa-Seidla – szybsza zbieŜność)

12

34

S1

S2

S3

S4

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Page 33: Metody numeryczne - if.pw.edu.plagatka/numeryczne/wyklad_09.pdf · Rozwa Ŝmy równanie struny zaczepionej na obu ko ńcach. Jedyn ąsiłądziałaj ącąna element struny jest siła

Korzystając z metod dokładnych (np. dekompozycja LU) musimy ułoŜyć macierz

o rozmiarze liniowym n x n.

Wniosek: Musimy wprowadzić indeksowanie równań odpowiadających punktom

dwuwymiarowej siatki n x n:2...,,2,1 nP =

(na przykład wierszami)

),(2

2

2

2

yxfy

u

x

u−=

∂+

∂Przykład: równanie Poissona

[ ]jijijijijiji fuuuuu

h,1,,1,1,,12

41

=−−+−− ++−−

Pkj →),(

jnkP +⋅−= )1(

[ ] PnPPPnPP fuuuuuh

=−−+−− ++−− 1124

1

ρϕ =∆

potencjał

gęstość

ładunku

Page 34: Metody numeryczne - if.pw.edu.plagatka/numeryczne/wyklad_09.pdf · Rozwa Ŝmy równanie struny zaczepionej na obu ko ńcach. Jedyn ąsiłądziałaj ącąna element struny jest siła

Przykład:

Powierzchnia potencjału

przy losowo rozmieszczonej

gęstości ładunku


Recommended