MODELE DE COX BIVARIE ET COPULES
Colloque jeunes probabilistes et statisticiens
Le Mont-Dore, 03 - 07 mai 2010
Mohamed ACHIBI
LSTA (Paris 6) / Snecma (Villaroche)
Directeur de thèse :
Michel BRONIATOWSKI
Ce document et les informations qu’il contient sont la propriété de Snecma. Ils ne doivent pas être copiés ni communiqués à un tiers sans l’autorisation préalable et écrite de Snecma.
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Colloque Jeunes probabilistes et statisticiens / 03 – 07 mai 2010
Plan de l’exposé
Cadre industriel
Modèle de Cox
Copules
Le modèle développé
Conclusions
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Cadre industriel
Objectif : modéliser les défauts de dimensionnement, dans le but d’améliorer les ddv dans le cadre de la tolérance aux dommages
Base de données de défauts de surface relevés en maintenance sur des moteurs, de taille supérieure à un certains critère du manuel de maintenance
Sur chaque pièce, on dispose des dimensions (longueur et profondeur) du défaut « le plus grand » ainsi que du nombre de défauts
Contexte
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Cadre industrielBase de défauts
Pour chaque pièce critique traitée :
Découpage de la pièce en macro-zones
Identification et caractérisation des défauts
Type de défauts Chocs
Rayures
Dimensionnel du défaut Longueur
Profondeur
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Le modèle de Cox
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Le modèle de Cox
Forme générale :
: taux de panne de base
: vecteur de covariables
: vecteur de paramètres
Cas univarié
)exp()(),( '0 ztzt
)(0 t
z
)(1
)()(lim)(
0 tF
tf
dt
tTdttTtPt
dt
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Le modèle de Cox
Permet de relier la durée de survie d’un patient à plusieurs variables explicatives ou facteurs pronostiques
Exprime un effet multiplicatif des diverses covariables sur la fonction de hasard (modèle à structure multiplicative)
Conséquences du modèle et hypothèses à vérifier : Risques proportionnels
Log-linéarité
Cas univarié
)exp(),...,0,...,,(
),...,,...,,(
1
1ii
m
mi zzzt
zzzt
iim
mi zzzt
zzzt
),...,0,...,,(
),...,,...,,(log
1
1
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Le modèle de CoxCas
bivarié
Forme générale :
: taux de panne de base
: vecteur de covariables
où α et β sont les vecteurs de paramètres
)()()(
)()()()M1(
0
0
zyy
zxx
xXY
X
zxXY
zX
)()()(
)()()()M2(
0
0
zxx
zyx
yYX
Y
zyYX
zY
(.)0
z
)exp()(et)exp()( '' zzzz
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Le modèle de Cox
Pourquoi le modèle de Cox bivarié ?
Supposons les modèles de régression suivants :
Cas bivarié
)(),( zzrX
~)()~,( zzsY
z.pour tout )~,( coupleau
associéecelle que même laest ),( coupleau associéecopule
laalors ,pour tout scroissantet strictemensont ,.)s(et ,.)r( Si
YX
zzz
YX
z
et entre dépendance la de
compte pas rend ne variableLa
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Les copules
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Une brève introduction aux copules
Qu’est-ce qu’une copule? Définition « pratique » : une copule est une fonction de répartition définie
sur [0,1]N dont les lois marginales sont égales à la loi uniformes sur [0,1]
Définition « technique » : une copule est une fonction C définie sur [0,1]N
vérifiant :
1. Pour tout vecteur u ayant au moins une composante nulle, C(u) = 0
2. C est N-croissante
Cas où N = 2 :
3. Pour tout vecteur u ayant toutes ses composantes égales à 1, sauf uk, C(u) = uk
Définition
],[...],[],[,0),...,()1(...]),([
,...,1,]1,0[),...,(,]1,0[),...,(
11211
2
1
2
1
...
11
1
1
1NNjjjjNii
i i
iiC
jjN
NN
N
bababaetbxaxoùxxCbaV
Njbaavecbbaa
N
N
N
0),(),(),(),(]),([ 22211211 baCbaCbaCbaCbaVC
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Une brève introduction aux copulesIllustratio
n
0 10
1
Propriété 1C(u,0)= 0
C(0,v)= 0
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Colloque Jeunes probabilistes et statisticiens / 03 – 07 mai 2010
Une brève introduction aux copulesIllustratio
n
0 10
1
Propriété 2
0),(),(
),(),(
2221
1211
baCbaC
baCbaC
(a1,b1)
(a1,b2) (a2,b2)
(a2,b1)
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Colloque Jeunes probabilistes et statisticiens / 03 – 07 mai 2010
Une brève introduction aux copulesIllustratio
n
0 10
1
Propriété 3
C(1,v)= v
C(u,1)= u
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Une brève introduction aux copules
Théorème (Sklar, 1959)
Soit F une fonction de répartition N-dimensionnelle dont les marges
univariées sont F1, … , FN, alors il existe une copule C telle que :
Réciproquement, si C est une copule et F1, … , FN des lois de
probabilité alors C(F1(x1), … , FN(xN)) définit bien une loi jointe de
marges F1, … , FN.
Si les fonctions de répartitions F1, … , FN sont continues, alors on
peut définir C de manière unique par :
Théorème de Sklar
))(),...,((),...,(,),...,( 1111 NNNN
N xFxFCxxFRxx
))(),...,((),...,( 11
111 NNN uFuFFuuC
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Une brève introduction aux copulesExemple
s
uvvuC ),( 1
)1(),( vuvuC
1
)log()log(exp),( vuvuC
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Le modèle développé
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Le modèle développéValidité du
modèle
)()(0)(0 )(),(),(zzzz xFyxHyxH
),( yxH z
survie. defonction uneest
0,pour tout si id-minest nrépartitio defonction Une
H
H
id)-(min divisible infiniment -min est 0H
Le modèle (M1) nous permet d’écrire :
fonction de survie ?
Définition :
HYPOTHESE :
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Le modèle développé
Définition 1 :
Définition 2 :
Définitions
)()(0)(0 )(),(),(zzzz xFyxHyxH
2
On dira que et sont (ou bien est ) ,
pour tout , ( ) ( )
X Y PQD H PQD ssi
(x, y) R P X x Y y P X x
),(),(),(),( ,et pour tout
: si ,est que diraOn f.d.s. une Soit
122122112121
2
yxHyxHyxHyxHyyxx
TPHH
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Le modèle développé
Théorèmes :
1.
2.
3.
L’hypothèse (H) peut donc se réécrire de la façon suivante :
Lien avec les copules )(
)(
1
)(
1
)(
)()(
,),( 0
z
zz
H
z
zz
HvuCuvuC z
2est 0 TPCH
2est id-minest alors f.d.r, une Soit TPHssiHH
22 est est Alors . copule de f.d.s une Soit TPCssiTPHCH
PQDHTPH est alors , f.d.s uneest Si 2
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Le modèle développé
Copules archimédiennes et extension :
Stabilité du modèle
: aon plus, De .et de domaine le dans pour tout définie
bien est Alors, . nnearchimédie copule de f.d.s une Soit 0
0
z
HCH z
)(
)(
1
)(
1
)(
)()(
,),( 0
z
zz
H
z
zz
HvuCuvuC z
1,
)(
)(min)(et )( :où )()(
1
0 z
zztt zz
z
vuu(u,v) zz
zz
H zz )(1)(1C
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Le modèle développé
Copules de valeurs extrêmes :
Stabilité du modèle
: aon Alors, .dépendance defonction
comme avec extrêmes valeursde copule de f.d.s une Soit 00 ACH
H
)(
)(
1
)(
1
)(
)()(
,),( 0
z
zz
H
z
zz
HvuCuvuC z
)(
)()(
)(1)(11)(1)( :où z
z
zzK
szKs
sAszKsszKsB
uv
vBuv(u,v) z
H z
log
log)log(expC
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Conclusions
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Conclusions
Modèle assez simple à mettre en œuvre après avoir vérifié marginalement
l’hypothèse des hasards proportionnels et
l’hypothèse de log-linéarité
Deux grandes classes de copules stables sous le modèle
Modèle permettant de faire des prédictions zone à zone
Conclusions
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Conclusions
Application du modèle pour modéliser la loi jointe de la longueur et la profondeur des défauts en tenant compte de la variable « zone de la pièce »
Choix de la copule dans la zone de référence
Procédure d’estimation des paramètres de copule
Propriété des estimateurs
Modèle prenant en compte les dépendances négatives
Perspectives
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Conclusions
Copules et concepts de dépendances Harry JOE – Multivariate Models and Dependence Concepts, Chapman & Hall,
London 1997
Roger B. NELSEN – An introduction to copulas, Springer 1999 – 2006
Modèle de Cox D.R. COX and D. OAKES – Analysis of Survival Data, Chapman & Hall, London 1984
Modèle de Cox bivarié et copules M. ACHIBI and M. BRONIATOWSKI – Bivariate Cox model and copulas,
arXiv:0911.1443
Alexandre DEPIRE – Thèse de l’Université de Champagne-Ardenne – Modélisation Markovienne – Modèles de régression de copules et valeurs extrêmes – Application aux systèmes d’aide à la conduite (INRETS)
Quelques références bibliographiques
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Conclusions
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Des questions ?
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Exemple de découpage en macro-zones
Disque de TuBP
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Une brève introduction aux copulesCopules
archimédiennes Frailty models
Indépendance conditionnelle de X et Y par rapport à W
Loi jointe :
Lois marginales :
Transformée de Laplace Φ :
Copule archimédienne :
. loi de positive v.aune Soit
.et srespective margespour ayant jointe loi de Soit
MW
GFH(X, Y)
0 21 )()()(),( wdMyHxHyxH WW
0 20 1 )()()(et )()()( wdMyHyGwdMxHxF WW
)()(),( 11 yGxFyxH
vuvuC 11),(
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Une brève introduction aux copulesCopules de valeurs
extrêmes Théorème de représentation (Pickands)
:que telle,)(1maxet 110: suivantes propriétés lesvérifiant
1,0sur définie convexefonction une existe il ssi extrêmes valeursde copule uneest
ttA-t)(t,)A()A(
AC
uv
vAuvvuC
log
log)log(exp),(
Pickands. defonction ou dépendance defonction appeléeest fonction La A