VO
M F
AC
H A
US
UN
D F
ÜR
DIE
PR
AX
IS
7
Lie
ber
Wol
fgan
g,
die
herz
lich
sten
Glü
ckw
ünsc
he z
u D
eine
m „
Sec
hzig
er“!
Nic
ht z
ulet
zt i
n un
sere
m e
igen
en I
nter
esse
wün
sche
n w
ir D
ir f
ür d
ie n
ächs
-te
n 5
Ber
ufsj
ahre
und
auc
h w
eit
darü
ber
hina
us e
ine
prod
ukti
ve Z
eit
als
Fac
hdid
akti
ker.
Auß
erde
m w
ünsc
hen
wir
Dir
vie
l F
reud
e un
d V
ergn
ügen
an
all
den
beru
f-li
chen
und
pri
vate
n D
inge
n, d
ie D
u –
am l
iebs
ten
mit
Dei
ner
Fra
u B
eate
–
so g
erne
mac
hst:
Rei
sen
(ins
beso
nder
e F
ernr
eise
n un
d T
auch
en),
Sam
mel
n (B
rief
mar
ken,
alt
e –
vor
alle
m e
ngli
sche
– G
läse
r, U
rang
läse
r, B
üche
r et
c.)
Flo
hmär
kte
besu
chen
, H
eim
wer
ken,
Bes
uche
von
Hau
benr
esta
uran
ts,
ge-
müt
lich
e R
unde
n be
i R
otw
ein
und
Zig
arre
n.
Ad
mul
tos
anno
s!
8
Mod
elli
eru
ngs
aufg
aben
im M
ath
emat
iku
nte
rric
ht
– H
erau
sfor
der
un
g fü
r S
chü
ler
un
d L
ehre
r
Wer
ner
Blu
m, K
asse
l
Zu
sam
men
fass
un
g: I
n di
esem
Bei
trag
sol
l an
hand
von
Bei
spie
len
aus
eine
r la
ufen
den
Stu
die
geze
igt
wer
den,
wie
Sch
üler
und
Leh
rer
mit
Mod
elli
erun
gsau
fgab
en u
mge
hen,
w
elch
e P
robl
eme
sich
dab
ei z
eige
n un
d w
elch
e M
ögli
chke
iten
es
gibt
, di
ese
Pro
blem
e an
zuge
hen.
Nac
h de
m e
inle
iten
den
Abs
chni
tt 1
geb
e ic
h in
Abs
chni
tt 2
ein
e A
rbei
tsde
fi-
niti
on d
es B
egri
ffs
„Mod
elli
eren
“ un
d er
inne
re d
aran
, w
arum
Rea
litä
tsbe
züge
im
Ma-
them
atik
unte
rric
ht s
o w
icht
ig s
ind.
In
Abs
chni
tt 3
ric
hte
ich
den
Bli
ck a
uf d
ie B
earb
ei-
tung
spro
zess
e vo
n S
chül
ern,
wäh
rend
in
Abs
chni
tt 4
das
unt
erri
chtl
iche
Han
deln
von
L
ehre
rn i
m B
lick
punk
t st
eht.
Sch
ließ
lich
deu
te i
ch i
n A
bsch
nitt
5 a
n, w
elch
e E
rken
ntni
s-se
aus
jen
er S
tudi
e ab
gele
itet
wer
den
könn
en.
1. E
inle
itu
ng
Das
s S
chül
er m
ath
emati
sches
Model
lier
en l
erne
n so
llen
, is
t ei
ne s
eit
lang
em
erho
bene
For
deru
ng. S
chon
W. L
ietz
man
n ha
t po
stul
iert
:
„E
rst
das
Hin
und W
ider
zw
isch
en W
isse
nsc
haft
und W
irkl
ichke
it i
n b
ei-
der
lei
Ric
htu
ng e
rsch
öpft
die
Aufg
abe,
die
im
mate
riale
n Z
wec
k der
Ma-
them
ati
k li
egt.
Eben
so w
ichti
g w
ie d
ie A
nw
endun
g e
iner
math
emati
schen
Tats
ach
e auf
die
Wir
klic
hke
it,
aber
ungle
ich s
chw
erer
ist
die
Aufg
abe,
in
der
Wir
klic
hke
it d
as
math
emati
sche
Pro
ble
m z
u s
ehen
.“ (
Lie
tzm
ann 1
919,
S.
66)
Auc
h H
.-W
. H
enn
hat
sich
sch
on f
rüh
für
eine
n „b
ezie
hung
shal
tige
n“ M
athe
-m
atik
unte
rric
ht e
inge
setz
t (H
enn
1980
).
Neu
erh
oben
wur
de d
iese
For
deru
ng i
m Z
usam
men
hang
mit
der
PIS
A-S
tudi
e (B
aum
ert
et a
l. 2
001;
Pre
nzel
et
al.
2004
). D
euts
chen
Fün
fzeh
njäh
rige
n w
erde
n hi
er b
eträ
chtl
iche
Def
izit
e in
Bez
ug a
uf „
Math
emati
cal
Lit
eracy
“ be
sche
inig
t, da
s is
t i.
W.
die
Fäh
igke
it,
Mat
hem
atik
in
Rea
lsit
uati
onen
ver
stän
dig
verw
en-
den
zu k
önne
n. Ü
bers
etze
n zw
isch
en R
eali
tät
und
Mat
hem
atik
, als
o m
athe
mat
i-sc
hes
Mod
elli
eren
, bi
ldet
das
Her
z vo
n M
athe
mat
ical
Lit
erac
y (s
iehe
Blu
m e
t al
. 200
4).
Bes
onde
rs a
ktue
ll i
st M
odel
lier
en d
ann
im K
onte
xt d
er l
ände
rübe
rgre
ifen
den
Bil
dungss
tandard
s ge
wor
den,
die
in
Deu
tsch
land
als
unm
itte
lbar
e K
onse
quen
z au
s de
n P
ISA
-Erg
ebni
ssen
eta
blie
rt w
orde
n si
nd (
vgl.
Kli
eme
et a
l. 2
003)
. H
ier
ist
nich
t de
r O
rt,
Cha
ncen
und
Ris
iken
von
Bil
dung
ssta
ndar
ds z
u di
skut
iere
n.
Es
soll
nur
bet
ont
wer
den,
das
s m
athe
mat
isch
es M
odel
lier
en n
un n
icht
meh
r nu
r al
s D
ekor
atio
n in
den
Prä
ambe
ln s
toff
orie
ntie
rter
(un
d zu
m T
eil
auch
sto
ff-
MO
DE
LL
IER
UN
GS
AU
FG
AB
EN
IM
MA
TH
EM
AT
IKU
NT
ER
RIC
HT
9
über
frac
htet
er)
Leh
rplä
ne s
teht
, so
nder
n ei
ne v
on s
echs
all
gem
eine
n m
athe
ma-
tisc
hen
Kom
pete
nzen
ist
, die
Sch
üler
im
Mat
hem
atik
unte
rric
ht e
rwer
ben
soll
en.
Zie
l di
eses
Bei
trag
s is
t es
auf
zuze
igen
, w
elch
e P
robl
eme
Sch
üler
und
Leh
rer
mit
Mod
elli
erun
gsau
fgab
en h
aben
und
wel
che
Fol
geru
ngen
hie
raus
für
ein
e un
terr
icht
lich
e B
ehan
dlun
g so
lche
r A
ufga
ben
gezo
gen
wer
den
könn
en.
Insb
e-so
nder
e so
ll g
ezei
gt w
erde
n, d
ass
es s
ich
lohn
t, s
ich
dies
en H
erau
sfor
deru
ngen
zu
ste
llen
und
Mod
elli
erun
gsau
fgab
en i
n se
lbst
vers
tänd
lich
er W
eise
in
den
Mat
hem
atik
unte
rric
ht e
inzu
bezi
ehen
.
2. W
as is
t u
nd
woz
u d
ien
t m
ath
emat
isch
es M
odel
lier
en?
Es
gibt
gan
z un
ters
chie
dlic
he A
uffa
ssun
gen
vom
Beg
riff
des
mat
hem
atis
chen
M
odel
lier
ens
(für
ein
e Ü
bers
icht
sie
he P
art
1 in
Blu
m/G
albr
aith
/Hen
n/N
iss
2006
). S
ie r
eich
en v
om M
athe
mat
isie
ren
im e
nger
en S
inn,
d.
h. v
om A
ufst
elle
n ei
nes
mat
hem
atis
chen
Mod
ells
als
gee
igne
tes
Abb
ild
eine
s A
ussc
hnit
ts d
er
Wel
t, b
is z
um a
ngew
andt
en P
robl
emlö
sen
im u
mfa
ssen
dste
n S
inn.
Ich
leg
e hi
er
ein
Pro
zess
sche
ma
des
Bea
rbei
tens
von
rea
litä
tsbe
zoge
nen
Auf
gabe
n en
tspr
e-ch
end
Blu
m/L
eiß
(200
5a)
zugr
unde
(A
bb. 1
): M
ath
.M
odell
Math
.R
esultate
Reale
Resultate
Real-
modell
Situations-
modell
Real-
situ
ation
Rest
de
r W
elt
Ma
the
ma
tik
12
3
4
5
6
1V
ers
tehen
2V
ere
infa
chen/S
truktu
riere
n
3M
ath
em
atisie
ren
4M
ath
em
atisch
arb
eiten
5In
terp
retiere
n
6V
alid
iere
n
7V
erm
itte
ln
7 Abb
. 1. P
roze
sssc
hem
a fü
r M
odel
lier
ungs
aufg
aben
Neh
men
wir
das
Auf
gabe
nbei
spie
l „L
euch
ttur
m“,
das
ein
e au
ch a
us S
chul
bü-
cher
n be
kann
te P
robl
emst
ellu
ng b
einh
alte
t:
WE
RN
ER
BL
UM
10
Der
ers
te S
chri
tt e
ines
ide
alty
pisc
hen
Lös
ungs
proz
esse
s is
t di
e K
onst
rukt
ion
eine
r ei
gene
n m
enta
len
Vor
stel
lung
von
der
geg
eben
en P
robl
emsi
tuat
ion
mit
de
m Z
iel,
Sit
uati
on u
nd F
rage
stel
lung
zu
vers
tehe
n. D
as r
esul
tier
ende
Sit
uati
-onsm
odel
l m
uss
dann
str
uktu
rier
t un
d ve
rein
fach
t w
erde
n, w
obei
nah
elie
gend
e A
nnah
men
hie
r si
nd:
Die
Erd
e is
t ei
ne K
ugel
, da
s S
chif
f is
t pu
nktf
örm
ig,
die
Sic
ht i
st f
rei,
das
Leu
chtf
euer
bef
inde
t si
ch a
n de
r T
urm
spit
ze u
nd d
er L
icht
stra
hl v
erlä
uft
wie
ein
e G
erad
e. D
as l
iefe
rt e
in R
ealm
odel
l de
r S
itua
tion
. N
un w
erde
n di
e O
bjek
te u
nd A
nnah
men
mat
hem
a-ti
sier
t. D
as e
ntsp
rech
ende
math
emati
sche
Model
l
ist
(mit
sin
nvol
len
Erg
änzu
ngen
) ei
n D
reie
ck w
ie
in
Abb
. 2
zu
sehe
n,
wob
ei
der
Erd
radi
us
6370
km
R i
st,
30,8
mh
bek
annt
und
s g
e-
such
t is
t.
Nun
w
ird
mat
hem
atis
ches
W
isse
n ei
nges
etzt
: K
reis
tang
ente
n st
ehen
sen
krec
ht a
uf d
em z
ugeh
örig
en R
adiu
s, d
as M
odel
l-D
reie
ck i
st a
lso
rech
twin
klig
. Pyt
hago
ras
lief
ert
dann
das
math
emati
sche
Res
ul-
tat:
219
.8 k
ms
Rh
. R
ück-
Inte
rpre
tati
on i
n di
e R
eals
itua
tion
bri
ngt
das
reale
Res
ult
at:
Die
Sic
htw
eite
bet
rägt
(be
i de
n ge
gebe
nen
Bed
ingu
ngen
) et
wa
20 k
m.
Nun
mus
s di
eses
Erg
ebni
s kr
itis
ch g
eprü
ft w
erde
n: W
aren
die
Ann
ah-
men
ver
nünf
tig?
War
en d
ie m
athe
mat
isch
en Ü
berl
egun
gen
und
Rec
hnun
gen
korr
ekt?
Ist
die
Erg
ebni
s-G
enau
igke
it a
ngem
esse
n? Z
um B
eisp
iel
kann
man
zu
sätz
lich
nun
die
Höh
e de
s S
chif
fs b
erüc
ksic
htig
en.
Dan
n re
vidi
ert
man
das
M
odel
l un
d w
iede
rhol
t de
n D
urch
lauf
. Is
t da
s S
chif
f z.
B.
10 m
hoc
h, r
esul
tier
t ei
ne S
icht
wei
te v
on e
twa
31 k
m.
Ein
Bes
tand
teil
sol
cher
Val
idie
rung
sakt
ivit
ä-te
n kö
nnte
n au
ch v
eral
lgem
eine
rnde
fun
ktio
nale
Ref
lexi
onen
sei
n:
Wie
hän
gt d
ie S
icht
wei
te v
on d
er T
urm
höhe
ab?
Man
sie
ht (
s un
gefä
hr p
ropo
r-
tion
al
h!)
, da
ss m
an d
ie T
urm
höhe
ver
vier
fach
en m
uss,
um
die
dop
pelt
e
Sic
htw
eite
zu
erha
lten
.
Leu
ch
ttu
rm
In d
er B
rem
er B
ucht
wur
de 1
884
dire
kt b
ei d
er K
üste
der
30,
7 m
ho
he L
euch
ttur
m „
Rot
er S
and“
geb
aut.
Er
soll
te S
chif
fe d
urch
se
in L
euch
tfeu
er d
avor
war
nen,
das
s si
e si
ch d
er K
üste
näh
ern.
Wie
wei
t w
ar e
in S
chif
f un
gefä
hr n
och
vom
Leu
chtt
urm
ent
fern
t,
wen
n es
ihn
zum
ers
ten
Mal
sah
?
Run
de g
eeig
net.
Bes
chre
ibe
dein
en L
ösun
gsw
eg.
Abb
. 2
RR
hs
Le
uch
ttu
rm
MO
DE
LL
IER
UN
GS
AU
FG
AB
EN
IM
MA
TH
EM
AT
IKU
NT
ER
RIC
HT
11
Wen
n im
Fol
gend
en v
om m
ath
emati
schen
Model
lier
en d
ie R
ede
ist,
sind
die
S
chri
tte
2, 3
, 5
und
6 di
eses
Kre
isla
ufs
gem
eint
. V
on M
odel
lier
ungsa
ufg
aben
spre
che
ich,
wen
n su
bsta
nzie
lle
Anf
orde
rung
en i
n B
ezug
auf
die
sen
Tei
l de
s B
earb
eite
ns i
nvol
vier
t si
nd, s
o w
ie d
as z
. B. b
ei „
Leu
chtt
urm
“ de
r F
all
ist.
Die
se F
orm
des
Pro
zess
sche
mas
(m
an n
ennt
die
s m
eist
prä
gnan
t de
n „M
odel
-li
erun
gskr
eisl
auf“
) ha
t ih
re W
urze
ln z
um e
inen
in
der
prag
mat
isch
ori
enti
erte
n D
isku
ssio
n zu
m M
odel
lier
en a
ls L
ösen
rea
ler
Pro
blem
stel
lung
en u
nd z
um a
n-de
rn i
n de
r ps
ycho
logi
sch
orie
ntie
rten
Dis
kuss
ion
zu T
exta
ufga
ben.
Aus
let
zte-
rer
kom
mt
die
Bet
onun
g de
s er
sten
Bea
rbei
tung
ssch
ritt
s, d
es s
inne
ntne
hmen
den
Les
ens
gege
bene
r T
exte
und
dad
urch
Ver
steh
ens
der
gege
bene
n P
robl
emsi
tua-
tion
. D
ies
ist
ein
indi
vidu
ell
zu v
ollz
iehe
nder
Kon
stru
ktio
nsak
t, de
r of
t sc
hon
eine
hoh
e ko
gnit
ive
Hür
de d
arst
ellt
(si
ehe
Abs
chni
tt 3
). Ü
berh
aupt
ste
llt
dies
es
Kre
isla
ufsc
hem
a ei
ne w
irks
ame
Hil
fe z
um B
eurt
eile
n ta
tsäc
hlic
her
indi
vidu
el-
ler
Bea
rbei
tung
spro
zess
e da
r, a
uch
wen
n di
ese
i. a
. ni
cht
so l
inea
r ve
rlau
fen,
w
ie e
s da
s S
chem
a su
gger
iert
(zu
„in
divi
duel
len
Mod
elli
erun
gsve
rläu
fen“
vgl
. B
orro
meo
-Fer
ri 2
006)
. In
sbes
onde
re s
ind
alle
Sta
tion
en d
iese
s K
reis
lauf
s po
-te
nzie
lle
kogn
itiv
e H
ürde
n.
Woz
u so
llen
übe
rhau
pt R
eali
täts
bezü
ge i
n de
n M
athe
mat
ikun
terr
icht
int
egri
ert
wer
den?
Es
gibt
meh
rere
Grü
nde
dafü
r (v
gl. W
inte
r 20
03, B
lum
199
6):
Nur
mit
Rea
litä
tsbe
züge
n ka
nn d
er M
athe
mat
ikun
terr
icht
zum
Um
wel
tver
ste-
hen,
zur
All
tags
bew
älti
gung
und
zur
Ber
ufsv
orbe
reit
ung
beit
rage
n („
prag
ma-
tisc
he“
Grü
nde)
.
Rea
litä
tsbe
züge
sin
d ei
n V
ehik
el z
ur K
ompe
tenz
entw
ickl
ung
und
sind
ins
be-
sond
ere
für
die
För
deru
ng d
er K
ompe
tenz
Mod
elli
eren
une
ntbe
hrli
ch (
„for
-m
ale“
Grü
nde)
.
Rea
litä
tsbe
züge
hel
fen
Sch
üler
n be
im M
athe
mat
ikle
rnen
, sie
die
nen
zum
be
sser
en V
erst
ehen
und
Beh
alte
n vo
n m
athe
mat
isch
en I
nhal
ten
und
könn
en
dies
e m
otiv
iere
n („
lern
psyc
holo
gisc
he“
Grü
nde)
.
Nur
mit
Rea
litä
tsbe
züge
n lä
sst
sich
ein
adä
quat
es M
athe
mat
ikbi
ld b
ei S
chü-
lern
auf
baue
n („
kult
urbe
zoge
ne“
Grü
nde)
.
Mit
die
sen
Grü
nden
sin
d gl
eich
zeit
ig h
ohe
Ans
prüc
he f
orm
ulie
rt.
Nöt
ig i
st
hier
zu d
ie B
ehan
dlun
g ei
nes
brei
ten
Spe
ktru
ms
von
real
ität
sbez
ogen
en B
eisp
ie-
len
und
Auf
gabe
n, v
on e
inge
klei
dete
n T
exta
ufga
ben
bis
hin
zu a
uthe
ntis
chen
M
odel
lier
ungs
aufg
aben
. Q
uell
en
gibt
es
ge
nug,
so
di
e IS
TR
ON
-Rei
he
bei
Fra
nzbe
cker
(si
ehe
Hen
n/M
aaß
2003
und
die
Übe
rsic
ht h
ieri
n) o
der
Büc
her
wie
H
erge
t/S
chol
z (1
998)
, H
erge
t/Ja
hnke
/Kro
ll
(200
1)
oder
B
ücht
er/L
eude
rs
(200
5).
Im
All
tagsu
nte
rric
ht
kom
men
M
odel
lier
ungs
aufg
aben
un
d -a
ktiv
ität
en
eher
w
enig
vor
. E
in w
esen
tlic
her
Gru
nd d
afür
ist
, da
ss d
er U
nter
rich
t im
Ver
glei
ch
WE
RN
ER
BL
UM
12
zum
bew
ährt
en k
alkü
lori
enti
erte
n U
nter
rich
t an
spru
chsv
olle
r w
ird,
für
Sch
üler
un
d fü
r L
ehre
r. V
eränder
ungen
de
r he
rköm
mli
chen
Unt
erri
chts
prax
is i
n de
r S
ekun
dars
tufe
I
sind
vo
r al
lem
du
rch
das
BL
K-M
odel
lver
such
spro
gram
m
SIN
US
ini
tiie
rt w
orde
n, d
as 1
998
als
Rea
ktio
n au
f di
e un
befr
iedi
gend
en E
rgeb
-ni
sse
der
TIM
S-S
tudi
e in
s L
eben
ger
ufen
wor
den
ist
(Bau
mer
t et
al.
1997
, H
enn
1999
; P
renz
el/B
apti
st 2
001;
Blu
m e
t al
. 20
00;
Ben
drie
n/B
ierm
ann/
Lei
ß 20
05).
Em
piri
sche
Unt
ersu
chun
gen
habe
n je
doch
sel
bst
im U
nter
rich
t en
ga-
gier
ter
SIN
US
-Leh
rer
Def
izit
e au
fgez
eigt
, die
off
ensi
chtl
ich
nich
t de
n ei
nzel
nen
Leh
rern
anz
ulas
ten
sind
, so
nder
n au
f E
rken
ntni
sdef
izit
e zu
rück
zufü
hren
sin
d,
insb
eson
dere
:
Was
gen
au i
st d
as k
ogni
tive
Pot
enzi
al a
nspr
uchs
voll
er M
odel
lier
ungs
aufg
a-be
n, w
as i
st ih
r je
wei
lige
r „A
ufga
benr
aum
“ („
Tas
k S
pace
“)?
Wie
bea
rbei
ten
Sch
üler
sol
che
Auf
gabe
n, w
as s
ind
dabe
i „S
chlü
ssel
stel
len“
un
d ko
gnit
ive
Hür
den?
Was
sin
d hi
erbe
i sc
hüle
r- u
nd a
ufga
bena
däqu
ate
Dia
gnos
e- u
nd I
nter
vent
i-on
smög
lich
keit
en f
ür L
ehre
r?
Wel
che
(kur
z-, m
itte
l- u
nd l
angf
rist
igen
) W
irku
ngen
hat
das
Leh
rerh
ande
ln i
n so
lch
aufg
aben
basi
erte
n L
ernu
mge
bung
en a
uf L
eist
unge
n un
d E
inst
ellu
ngen
de
r S
chül
er?
3. W
ie g
ehen
Sch
üle
r m
it M
odel
lier
un
gsau
fgab
en u
m?
Die
Fra
gen
am E
nde
von
Abs
chni
tt 2
war
en A
usga
ngsp
unkt
und
Lei
tlin
ie f
ür
DIS
UM
, ei
n in
terd
iszi
plin
äres
Pro
jekt
zw
isch
en M
athe
mat
ik-D
idak
tik
(Wer
ner
Blu
m),
Päd
agog
ik (
Rud
olf
Mes
sner
, U
nive
rsit
ät K
asse
l) u
nd p
ädag
ogis
cher
P
sych
olog
ie (
Rei
nhar
d P
ekru
n, U
nive
rsit
ät M
ünch
en).
DIS
UM
bed
eute
t „D
i-da
ktis
che
Inte
rven
tion
sfor
men
für
ein
en s
elbs
tänd
igke
itso
rien
tier
ten
aufg
aben
-ge
steu
erte
n U
nter
rich
t am
Bei
spie
l M
athe
mat
ik“.
Das
Pro
jekt
beg
ann
im J
ahr
2002
, se
it 2
005
ist
es D
FG
-gef
örde
rt (
sieh
e z.
B.
Blu
m/L
eiß
2003
, L
eiß/
Blu
m/
Mes
sner
200
6). U
nter
such
ungs
schw
erpu
nkt
sind
Mod
elli
erun
gsau
fgab
en i
n de
n K
lass
en 8
– 1
0 al
ler
Sch
ulfo
rmen
. Die
Unt
ersu
chun
gen
find
en s
owoh
l im
Lab
or
(Sch
üler
paar
e m
it u
nd o
hne
Leh
rer
löse
n A
ufga
ben)
als
auc
h im
Unt
erri
cht
stat
t. In
sbes
onde
re g
ab e
s 20
04/0
5 ei
ne u
mfa
ngre
iche
„B
est-
Pra
ctic
e-S
tudi
e“,
bei
der
beso
nder
s er
fahr
ene
und
groß
ente
ils
auch
in
der
For
tbil
dung
tät
ige
SIN
US
-Leh
rer
aus
Hau
ptsc
hule
n un
d G
ymna
sien
di
vers
e M
odel
lie-
rung
sauf
gabe
n im
reg
ulär
en U
nter
rich
t be
hand
elt
habe
n.
Ein
kon
kret
es B
eisp
iel:
Die
Auf
gabe
„R
iese
nsch
uhe“
:
MO
DE
LL
IER
UN
GS
AU
FG
AB
EN
IM
MA
TH
EM
AT
IKU
NT
ER
RIC
HT
13
Die
wes
entl
iche
n ko
gnit
iven
Hür
den
bei
dies
er A
ufga
be l
iege
n am
Anf
ang
der
Bea
rbei
tung
, be
im V
erst
ehen
der
Sac
hsit
uati
on u
nd T
reff
en g
eeig
nete
r A
nnah
-m
en (
z. B
.: p
ropo
rtio
nale
r Z
usam
men
hang
Fuß
läng
e –
Men
sche
ngrö
ße u
nd
eige
ner
Kör
per
als
Ref
eren
z).
Hie
r ha
tten
vie
le S
chül
er (
und
übri
gens
auc
h m
anch
e L
ehra
mts
stud
ente
n be
i pa
rall
elen
Unt
ersu
chun
gen)
gro
ße P
robl
eme.
D
er
folg
ende
A
uszu
g au
s de
m
Lös
ungs
proz
ess
zwei
er
Hau
ptsc
hüle
r (o
hne
Leh
rer)
ver
deut
lich
t di
es:
Als
o a
us
den
bei
den
Zahle
n d
ie H
öhe,
als
o d
ie G
röße
des
Men
schen
be-
rech
nen
– W
enn 2
,37 m
die
Bre
ite
des
Sch
uhs
ist
und 5
,29 m
lang,
müss
te,
ich g
laube,
2,3
7 m
mal
5,2
9 m
– D
an
n h
ast
’ doch
die
Höhe
von d
em M
en-
schen
, gla
ube
ich.
(Ausz
ug 1
: H
aupts
chüle
r zu
„R
iese
nsc
huhe“
)
Die
Sch
üler
ber
echn
en d
ann
unm
itte
lbar
2,3
7 x
5,29
m =
12,
54 m
als
Grö
ße d
es
Rie
senm
ensc
hen.
Hie
r is
t ei
ne w
eit
verb
reit
ete
Sch
üler
stra
tegi
e si
chtb
ar:
Wen
n du
nic
ht g
enau
wei
ßt,
was
zu
tun
ist,
dan
n be
nutz
e ei
nfac
h ei
n un
mit
telb
ar v
er-
fügb
ares
Sch
ema,
das
auf
die
geg
eben
en Z
ahle
n/G
röße
n pa
sst.
Ich
fass
e ei
nige
Beo
bach
tung
en a
us L
abor
und
Unt
erri
cht
zusa
mm
en:
All
e S
chri
tte
des
Mod
elli
erun
gskr
eisl
aufs
sin
d po
tenz
iell
e ko
gnit
ive
Hür
den
für
Sch
üler
, var
iier
end
je n
ach
Auf
gabe
und
Ind
ivid
uum
.
Folg
erung
: E
s m
üsse
n di
e T
eil-
Kom
pete
nzen
des
Mod
elli
eren
s (e
ntsp
rech
end
den
einz
elne
n S
chri
tten
des
Kre
isla
ufs)
mit
hilf
e ge
eign
eter
Auf
gabe
n ge
ziel
t ge
förd
ert
wer
den.
Sch
üler
ben
utze
n i.
a. k
eine
bew
usst
en L
ösun
gsst
rate
gien
und
sin
d be
i au
ftre
-te
nden
Sch
wie
rigk
eite
n of
t hi
lflo
s.
Folg
erung
: S
chül
ern
müs
sen
adäq
uate
Str
ateg
ien
zum
Lös
en v
on M
odel
lie-
rung
sauf
gabe
n an
die
Han
d ge
gebe
n w
erde
n; s
iehe
daz
u A
bsch
nitt
4.
Es
gibt
ein
en f
unda
men
tale
n U
nter
schi
ed z
wis
chen
dem
„A
llei
ne-A
rbei
ten“
vo
n S
chül
ern
und
selb
stän
dige
m A
rbei
ten
mit
Leh
reru
nter
stüt
zung
; im
ers
te-
Flo
rent
ino
poli
ert
in e
inem
Spo
rtze
ntru
m
auf
den
Phi
lipp
inen
da
s la
ut
Gui
nnes
s-B
uch
der
Rek
orde
wel
tgrö
ßte
Paa
r S
chu-
he.
Ein
Sch
uh i
st 2
,37
m b
reit
und
5,2
9 m
la
ng.
Wie
gro
ß w
äre
der
Rie
senm
ensc
h un
ge-
fähr
, de
m
dies
es
Paa
r S
chuh
e pa
ssen
w
ürde
?
Bes
chre
ibe
dein
en L
ösun
gsw
eg.
Rie
sen
sch
uh
e
WE
RN
ER
BL
UM
14
ren
Fal
l si
nd S
chül
er o
ft ü
berf
orde
rt u
nd g
eben
auf
.
Folg
erung
: D
ie
in
der
zeit
genö
ssis
chen
P
ädag
ogik
ge
lege
ntli
ch
prop
agie
rte
Abs
tine
nz d
es L
ehre
rs v
on E
ingr
iffe
n in
Lös
ungs
proz
esse
ist
so
paus
chal
sic
her
fals
ch.
Es
geht
um
die
sub
tile
Bal
ance
zw
isch
en S
chül
er-S
elbs
tänd
igke
it u
nd
Anl
eitu
ng d
urch
den
Leh
rer,
um
min
imal
e, d
iagn
oseb
asie
rte
Inte
rven
tion
en b
ei
auft
rete
nden
Sch
üler
schw
ieri
gkei
ten
(„H
ilf
mir
, es
sel
bst
zu t
un“)
. H
ierz
u be
-da
rf e
s ei
ner
gezi
elte
n S
chul
ung
von
Leh
rern
in
Dia
gnos
e- u
nd I
nter
vent
ions
-m
ögli
chke
iten
bei
Mod
elli
erun
gsau
fgab
en.
Der
let
zte
Pun
kt l
eite
t be
reit
s üb
er z
u A
bsch
nitt
4.
4. W
ie g
ehen
Leh
rer
mit
Mod
elli
eru
ngs
aufg
aben
um
?
Wir
hab
en d
ie U
nter
rich
tsst
unde
n de
r er
wäh
nten
„B
est-
Pra
ctic
e-S
tudi
e“ n
ach
unse
ren
Quali
täts
krit
erie
n b
eurt
eilt
, be
i de
nen
wir
„F
achl
ich
geha
ltvo
lle
Unt
er-
rich
tsge
stal
tung
“, „
Kog
niti
ve A
ktiv
ieru
ng d
er L
erne
nden
“ un
d „E
ffek
tive
und
sc
hüle
rori
enti
erte
U
nter
rich
tsfü
hrun
g“
unte
rsch
eide
n (g
enau
er
sieh
e be
i B
lum
/Lei
ß 20
05b)
.
In d
en b
eoba
chte
ten
Stu
nden
war
en v
iele
die
ser
Kri
teri
en e
rfül
lt.
So
habe
n se
hr
viel
e de
r L
ehre
r ei
ne S
tund
enst
rukt
ur g
ewäh
lt,
die
selb
stän
dige
Mod
elli
erun
gs-
akti
vitä
ten
der
Sch
üler
beg
ünst
igt
(vgl
. auc
h B
endr
ien
/Bie
rman
n/L
eiß
2005
):
1.V
orst
ellu
ng d
er A
ufga
be i
m P
lenu
m
2.E
inze
larb
eit
3.G
rupp
enar
beit
4.
Indi
vidu
elle
s A
ufsc
hrei
ben
von
Lös
unge
n 5.
Prä
sent
atio
n vo
n L
ösun
gen
im P
lenu
m
6.V
ergl
eich
der
Lös
unge
n un
d re
flek
tier
ende
r R
ückb
lick
Die
se S
tund
enst
rukt
ur e
rinn
ert
an U
nter
rich
tssk
ript
s, w
ie s
ie i
m A
nsch
luss
an
TIM
SS
aus
jap
anis
chen
Stu
nden
bek
annt
gew
orde
n si
nd (
Bau
mer
t/L
ehm
ann
et a
l. 1
997)
. E
ine
Wei
tere
ntw
ickl
ung
dies
es S
krip
ts e
rfol
gte
hier
u.
a. d
adur
ch,
dass
jed
er S
chül
er s
eine
eig
ene
Lös
ung
aufs
chre
iben
mus
ste.
In
den
Fäl
len,
wo
Pha
se 4
dur
ch e
ine
Gru
ppen
lösu
ng e
rset
zt w
urde
, be
stan
d P
hase
5 o
ft a
us e
iner
L
ösun
gspr
äsen
tati
on i
n ne
u zu
sam
men
gese
tzte
n G
rupp
en (
„Exp
erte
nmet
hode
“/
„Gru
ppen
puzz
le“/
„Mus
eum
srun
dgan
g“).
Hie
r is
t ei
n B
eisp
iel
für
die
Qua
litä
t so
ent
stan
dene
r S
chül
erlö
sung
en.
Es
geht
um
die
bek
annt
e A
ufga
be „
Tan
ken“
(B
lum
/Lei
ß 20
05a)
:
MO
DE
LL
IER
UN
GS
AU
FG
AB
EN
IM
MA
TH
EM
AT
IKU
NT
ER
RIC
HT
15
Tan
ken
He
rr S
tein
wo
hn
t in
Tri
er,
20
km
vo
n d
er
Gre
nze
zu
Lu
xem
bu
rg
en
tfe
rnt.
E
r fä
hrt
m
it
sein
em
V
W
Golf
zu
m T
an
ke
n n
ach
Lu
xem
bu
rg,
wo
sic
h d
ire
kt h
inte
r
de
r G
ren
ze
ein
e T
an
kste
lle b
efin
de
t. D
ort
koste
t d
er
Lite
r B
en
zin
n
ur
0,8
5
Euro
, im
G
eg
en
satz
zu
1
,1
Eu
ro in
Tri
er.
Lo
hn
t sic
h
die
se
F
ah
rt
für
He
rrn
S
tein
?
Be
grü
nde
dein
e A
ntw
ort
.
Abb
. 3. S
chül
erlö
sung
zu
„Tan
ken“
WE
RN
ER
BL
UM
16
Ein
e gy
mna
sial
e S
chül
ergr
uppe
pro
duzi
erte
die
in
Abb
. 3
abge
druc
kte
Lös
ung.
B
ei d
en V
alid
ieru
ngsü
berl
egun
gen
wer
den
hier
sog
ar U
mw
eltg
esic
htsp
unkt
e un
d „P
atri
otis
mus
“ (T
anke
n in
Tri
er a
ls U
nter
stüt
zung
der
deu
tsch
en W
irt-
scha
ft)
ins
Spi
el g
ebra
cht.
In e
inig
en d
er b
eoba
chte
ten
Stu
nden
zu
„Tan
ken“
fan
den
auch
(w
ie s
chon
in
Abs
chni
tt 2
bei
„L
euch
ttur
m“
ange
spro
chen
) fu
nkti
onal
e R
efle
xion
en s
tatt
: W
ie
häng
t di
e A
ntw
ort
auf
die
Fra
ge,
ob s
ich
die
Fah
rt n
ach
Lux
embu
rg „
lohn
t“,
von
den
getr
offe
nen
Ann
ahm
en a
b? I
n ei
ner
der
Kla
ssen
war
ein
e S
chül
erfr
age
der
wil
lkom
men
e A
nlas
s hi
erfü
r:
Das
ist
doch
jet
zt k
om
isch
, w
enn w
ir d
as
jetz
t sa
gen
, an
gen
om
men
, 8 L
iter
,
und d
an
n j
etzt
ein
e ander
e G
ruppe
sagt,
kei
ne
Ahnung,
6 o
der
7 L
iter
, dann
hat
ja j
eder
ein
ander
es E
rgeb
nis
späte
r – m
üss
en w
ir d
a n
icht
all
e ir
-
gen
dw
ie d
ass
elbe
haben
, dass
wir
... (
Ausz
ug
2:
Gym
nasi
ast
zu „
Tanke
n“
)
Ein
be
sond
ers
schö
nes
Bei
spie
l zu
m
kons
truk
-ti
ven
Um
gehe
n m
it
Sch
üler
fehl
ern
war
in
ei
ner
gym
nasi
alen
U
n-te
rric
htss
tund
e zu
„L
euch
ttur
m“
zu
beo-
bach
ten.
E
ine
Sch
üler
-gr
uppe
hat
te d
ie L
ösun
g „S
icht
wei
te
20
km
“ fü
r ei
n pu
nktf
örm
iges
S
chif
f pr
oduz
iert
(si
ehe
Abs
chni
tt
2)
und
in
eine
m
zwei
ten
Sch
ritt
m
it
der
Sch
iffs
höhe
10
m g
earb
eite
t. H
ier
ist
die
zuge
höri
ge
Lös
ung
(Abb
. 4):
Abb
. 4. S
chül
erlö
sung
zu
„L
euch
ttur
m“
MO
DE
LL
IER
UN
GS
AU
FG
AB
EN
IM
MA
TH
EM
AT
IKU
NT
ER
RIC
HT
17
RR
hs
Rh
Le
uch
ttu
rm
Sch
iff
s
1
2
1
2
Abb
. 5
Die
Lös
ung
ist
offe
nsic
htli
ch f
alsc
h (g
erin
gere
Sic
htw
eite
bei
höh
erem
S
chif
f).
Wo
lieg
t de
r F
ehle
r? M
an
darf
di
e 10
m
na
türl
ich
nich
t ei
nfac
h in
di
e P
ytha
gora
s-G
leic
hung
ein
baue
n (w
as b
erec
hnet
m
an
dann
ei
gent
lich
?),
viel
meh
r m
uss
man
da
s M
odel
l w
ie
in
Abb
. 5 m
odif
izie
ren,
mit
Erg
ebni
s
12
12
2s
ss
Rh
Rh
(1
22
(R
hh
)).
Der
Leh
rer
hatt
e di
esen
Feh
ler
sofo
rt r
egis
trie
rt,
aber
nic
ht i
nter
veni
ert.
Sta
tt-
dess
en b
erec
hnet
e er
par
alle
l zu
den
Sch
üler
n w
eite
re K
onse
quen
zen
aus
die-
sem
fa
lsch
en
Mod
ell
(als
o ei
nige
W
erte
de
r Z
uord
nung
21
22
()
hs
Rh
h).
Er
ließ
die
Gru
ppe
dann
die
ses
fals
che
Erg
ebni
s pr
ä-
sent
iere
n, u
nd i
n di
e be
ginn
ende
Unr
uhe
hine
in t
hem
atis
iert
e er
in
ganz
dis
tan-
zier
ter
For
m d
iese
n ko
gnit
iven
Kon
flik
t:
Wen
n i
ch d
ie F
rage,
wel
chen
Ein
fluss
hat
eigen
tlic
h d
ie H
öhe
des
Punkt
es
auf
dem
Sch
iff,
von d
em a
us
man d
en L
euch
tturm
beo
bach
tet.
[…
] Ic
h h
ab
das
nun e
ben
ger
ade
mal
ger
echnet
, m
it m
einem
sch
lauen
Rec
hner
, ic
h
möch
te
Euch
die
E
rgeb
nis
se
mal
kurz
ze
igen
. […
] (L
. pr
ojiz
iert
sei
ne
Rec
hnun
g m
it T
C a
n di
e W
and.
)
[…]
So,
das
c 1 i
n d
iese
r T
abel
le i
st e
infa
ch d
ie a
ngen
om
men
e H
öhe
des
Sch
iffs
. c 1
=0 b
edeu
tet
als
o d
ie L
ösu
ng [
…]
von G
ruppe
1,
die
auf
die
se
Fra
ge
gar
nic
ht
eingeg
angen
ist
. c 1
=5 b
edeu
tet
5 M
eter
Höhe,
10 M
eter
Höhe,
15 M
eter
Höhe.
[..
.] E
s is
t als
o t
ats
äch
lich
so:
Wen
n m
an d
as
so
rech
net
, w
ie I
hr
es g
etan h
abt,
dann g
ilt:
Je
höher
der
Punkt
des
Sch
iffe
s is
t, d
esto
späte
r si
eht
man d
en L
euch
tturm
.
Wir
hab
en j
etzt
noch
etw
a 5
Min
ute
n Z
eit.
Ich
möch
te E
uch
bit
ten,
dass
Ihr
in d
en 5
Min
ute
n,
und
zw
ar
jeder
Tis
ch f
ür
sich
, in
den
Sta
mm
gru
ppen
al-
so,
Euch
die
sen Z
usa
mm
enhang z
wis
chen
der
Hö
he
des
Sch
iffe
s und d
er
Lösu
ng d
iese
r A
ufg
abe,
dass
Ihr
Euch
bit
te d
iese
n Z
usa
mm
enha
ng a
nha
nd
einer
Ski
zze
noch
mal
vers
uch
t kl
ar
zu m
ach
en.
Ist
es d
enn w
irkl
ich r
ichti
g
so,
wie
es
da g
erec
hnet
wurd
e? I
ch h
abe
es s
chli
cht
und e
rgre
ifen
d g
enau-
WE
RN
ER
BL
UM
18
so g
erec
hnet
, w
ie d
er M
ax
es v
org
etra
gen
hat.
(A
usz
ug 3
: G
ymnasi
all
ehre
r
zu „
Leu
chtt
urm
“)
Der
Leh
rer
spie
lte
das
Pro
blem
als
o ge
schi
ckt
an d
ie K
lass
e zu
rück
, un
d ta
t-sä
chli
ch g
elan
g es
den
mei
sten
Sch
üler
n, i
nsbe
sond
ere
auch
der
ver
antw
ortl
i-ch
en G
rupp
e, s
elbs
tänd
ig d
en F
ehle
r zu
ent
deck
en u
nd z
u ko
rrig
iere
n.
In d
iese
r (v
on h
oher
fac
hlic
her,
fac
hdid
akti
sche
r un
d pä
dago
gisc
her
Pro
fess
io-
nali
tät
des
Leh
rers
gep
rägt
en)
Unt
erri
chts
situ
atio
n is
t di
e am
End
e vo
n A
b-sc
hnit
t 3
ange
spro
chen
e B
alan
ce
zwis
chen
L
ehre
r-A
nlei
tung
un
d S
chül
er-
Sel
bstä
ndig
keit
wir
klic
h ge
lung
en.
Das
war
abe
r do
ch e
her
selt
en d
er F
all.
A
uch
in d
en B
est-
Pra
ctic
e-K
lass
en w
aren
die
Leh
reri
nter
vent
ione
n of
t ni
cht
min
imal
, z.
B.
wur
den
oft
dire
kte
inha
ltli
che
Hil
fen
gege
ben,
sta
tt b
loß
stra
te-
gisc
h ei
nzug
reif
en (
stra
tegi
sch
wär
e z.
B.:
„Was
wil
lst
du d
enn
raus
krie
gen?
“;
„Was
ist
den
n ge
gebe
n un
d w
as b
rauc
hst
du n
och?
“; „
Den
k an
die
Auf
gabe
ge
ster
n“;
„Was
mus
st d
u je
tzt
noch
mac
hen?
“).
Folg
erung
: L
ehre
r br
auch
en g
ezie
lte
Sch
ulun
g in
Mög
lich
keit
en d
er I
nter
vent
i-on
. H
ilfr
eich
ist
hie
r di
e au
s D
ISU
M h
ervo
rgeg
ange
ne T
ypis
ieru
ng v
on L
ehre
r-in
terv
enti
onen
(L
eiß/
Wie
gand
200
4):
affe
ktiv
e/ o
rgan
isat
oris
che/
inh
altl
iche
/ st
rate
gisc
he I
nter
vent
ione
n.
Wei
tere
Beo
bach
tung
en:
Leh
rer
setz
en o
ft i
hre
eige
ne s
pezi
elle
Var
iant
e de
r A
ufga
benl
ösun
g un
be-
wus
st b
ei d
en S
chül
ern
durc
h, w
eil
ihre
Int
erve
ntio
nen
mas
siv
von
dies
er L
ö-su
ngsv
aria
nte
gepr
ägt
sind
(B
eisp
iele
sie
he b
ei B
lum
/Lei
ß 20
05b)
. Das
füh
rte
in u
nser
er S
tudi
e da
zu,
dass
man
Sch
üler
lösu
ngen
aus
ver
schi
eden
en K
lass
en
zu d
erse
lben
Auf
gabe
oft
all
eine
sch
on a
ufgr
und
der
Lös
ungs
vari
ante
ein
er
best
imm
ten
Kla
sse
zuor
dnen
kon
nte,
ent
gege
n de
r In
tent
ion
alle
r L
ehre
r,
mul
tipl
e L
ösun
gen
zuzu
lass
en
und
soga
r he
raus
zufo
rder
n.
Wes
entl
iche
r G
rund
für
die
ses
Leh
rerv
erha
lten
ist
ein
e un
zure
iche
nde
Ken
ntni
s de
r W
eite
de
r A
ufga
benr
äum
e, w
omög
lich
auc
h ei
n no
ch z
u en
ges
Mat
hem
atik
-Bil
d.
Folg
erung
: L
ehre
r be
nöti
gten
int
ime
Ken
ntni
s de
s „T
ask
Spa
ce“
von
Mod
elli
e-ru
ngsa
ufga
ben
und
Sch
ulun
g in
Bez
ug a
uf f
lexi
ble,
sel
bstä
ndig
keit
serh
alte
nde
Inte
rven
tion
en v
or d
iese
m H
inte
rgru
nd.
Leh
rer
stim
ulie
ren
kaum
Lös
ungs
stra
tegi
en b
ei S
chül
ern,
obw
ohl
gera
de f
ür
Mod
elli
erun
gsau
fgab
en m
it d
em K
reis
lauf
sche
ma
(sie
he A
bsch
nitt
2),
gen
au-
er:
mit
sch
üler
gem
äßen
ver
einf
acht
en V
aria
nten
die
ses
Sch
emas
(si
ehe
Ab-
schn
itt
5) e
in w
irks
ames
str
ateg
isch
es I
nstr
umen
t zu
r V
erfü
gung
ste
ht.
Das
he
ißt
nich
t nu
r au
f S
chül
er-,
son
dern
auc
h au
f L
ehre
rsei
te i
st S
trat
egie
eins
atz
die
Aus
nahm
e st
att
die
Reg
el.
Folg
erung
: L
ehre
r br
auch
en d
en M
odel
lier
ungs
krei
slau
f al
s B
asis
für
adä
quat
e
MO
DE
LL
IER
UN
GS
AU
FG
AB
EN
IM
MA
TH
EM
AT
IKU
NT
ER
RIC
HT
19
stra
tegi
sche
Hil
fen,
und
sie
müs
sen
schü
lerg
emäß
e K
onkr
etis
ieru
ngen
des
Mo-
dell
ieru
ngsk
reis
lauf
s ke
nnen
.
Die
se D
efiz
ite
selb
st i
m B
est-
Pra
ctic
e-U
nter
rich
t (d
er s
ich
anso
nste
n, w
ie z
u B
egin
n di
eses
Abs
chni
tts
sich
tbar
gew
orde
n is
t, d
eutl
ich
vom
All
tags
unte
rric
ht
abho
b) u
nter
stre
iche
n di
e N
otw
endi
gkei
t, d
ie U
nter
rich
tsqu
alit
ät i
ns Z
entr
um
der
Leh
rera
us-
und
-for
tbil
dung
zu
rück
en.
Die
kol
legi
umsb
ezog
ene
For
tbil
-du
ng m
uss
dabe
i –
wie
bei
m S
INU
S-P
roje
kt –
mit
der
Unt
erri
chts
entw
ickl
ung
vor
Ort
ver
bund
en w
erde
n. D
as g
eeig
nete
Veh
ikel
daf
ür s
ind
kom
pete
nzor
ien-
tier
te A
ufga
ben,
mit
Mod
elli
erun
gsau
fgab
en a
ls K
ern.
5. W
ie k
ann
man
Mod
elli
eru
ngs
aufg
aben
beh
and
eln
?
Ein
e E
rken
ntni
s au
s vi
elen
em
piri
sche
n S
tudi
en i
st:
Es
gibt
woh
l ni
cht
den
Kön
igsw
eg z
um L
erne
rfol
g (v
gl.
Bau
mer
t et
al.
200
4).
Vie
lmeh
r kö
nnen
unt
er-
schi
edli
che
Unt
erri
chts
form
en z
u äh
nlic
hen
Eff
ekte
n fü
hren
. F
reil
ich
müs
sen
hinr
eich
end
viel
e de
r zu
Beg
inn
von
Abs
chni
tt 4
erw
ähnt
en Q
uali
täts
krit
erie
n er
füll
t se
in,
um ü
berh
aupt
Eff
ekte
erw
arte
n zu
kön
nen.
So
wei
ß m
an,
dass
K
ompe
tenz
en w
ie M
odel
lier
en n
ur d
ann
gefö
rder
t w
erde
n, w
enn
Sch
üler
tat
-sä
chli
ch i
n M
odel
lier
ungs
akti
vitä
ten
invo
lvie
rt s
ind;
ein
Tra
nsfe
r vo
n ga
nz
ande
rsar
tige
n T
ätig
keit
en (
etw
a: A
lgor
ithm
en a
barb
eite
n) i
st n
icht
erw
artb
ar.
Und
man
wei
ß, d
ass
Ler
nen
prin
zipi
ell
ein
kons
truk
tive
r, v
om L
erne
nden
sel
bst
durc
hzuf
ühre
nder
Akt
ist
, de
r ni
cht
durc
h no
ch s
o gu
t ko
nzip
iert
e „B
eleh
rung
“ er
setz
t w
erde
n ka
nn. A
nder
erse
its
wei
ß m
an a
uch,
das
s ei
n qu
alit
ätvo
ller
Unt
er-
rich
t au
ch t
atsä
chli
ch E
ffek
te h
at.
So
zeig
t z.
B.
die
Stu
die
von
Maa
ß (2
004)
, da
ss e
s m
ögli
ch i
st,
mit
ein
em g
eeig
net
konz
ipie
rten
Unt
erri
cht
die
Mod
elli
e-ru
ngsk
ompe
tenz
von
Sch
üler
n (h
ier:
Gym
nasi
aste
n vo
n 7.
/8.
Kla
ssen
) su
bsta
n-zi
ell
zu v
erbe
sser
n.
In d
en A
bsch
nitt
en 3
und
4 s
ind
bere
its
meh
rere
spe
zifi
sche
, di
e al
lgem
eine
n Q
uali
täts
krit
erie
n ko
nkre
tisi
eren
de G
esic
htsp
unkt
e ge
nann
t w
orde
n, w
ie m
an
Mod
elli
erun
gsau
fgab
en i
m U
nter
rich
t be
hand
eln
soll
te, a
llge
mei
ner
gesa
gt:
wie
m
an M
athe
mat
ikun
terr
icht
so
gest
alte
n ka
nn,
dass
man
ein
e F
örde
rung
der
M
odel
lier
ungs
kom
pete
nz
der
Sch
üler
er
war
ten
kann
. D
iese
G
esic
htsp
unkt
e si
nd k
urz
zusa
mm
enge
fass
t:
Es
soll
ein
bre
ites
Spe
ktru
m v
on A
ufga
ben
beha
ndel
t w
erde
n, d
ie g
ezie
lt
auch
die
Tei
l-K
ompe
tenz
en d
es M
odel
lier
ens
ansp
rech
en.
Gün
stig
zur
Her
ausf
orde
rung
von
Mod
elli
erun
gsak
tivi
täte
n is
t ei
n W
echs
el
zwis
chen
Ple
num
s-, E
inze
l- u
nd G
rupp
enar
beit
.
Zie
l de
r L
ehre
rste
ueru
ng i
st d
ie m
ögli
chst
sel
bstä
ndig
e A
ufga
benb
earb
eitu
ng
durc
h di
e S
chül
er;
Leh
reri
nter
vent
ione
n si
nd d
emge
mäß
dia
gnos
ebas
iert
, in
-
WE
RN
ER
BL
UM
20
divi
duel
l-ad
apti
v un
d m
inim
al.
Das
Spe
ktru
m v
on L
ehre
rint
erve
ntio
nen
umfa
sst
affe
ktiv
e, o
rgan
isat
oris
che,
in
halt
lich
e un
d st
rate
gisc
he I
nter
vent
ione
n; G
rund
lage
all
er i
nhal
tlic
hen
und
stra
tegi
sche
n In
terv
enti
onen
des
Leh
rers
ist
des
sen
deta
illi
erte
Ken
ntni
s de
s L
ösun
gsra
ums
alle
r be
hand
elte
n A
ufga
ben,
spe
ziel
l de
s M
odel
lier
ungs
krei
s-la
ufs
zu j
eder
Auf
gabe
(en
tspr
eche
nd A
bb. 1
, mit
den
Sta
tion
en a
ls p
oten
ziel
-le
n ko
gnit
iven
Hür
den)
.
Sch
üler
n so
llen
Lös
ungs
stra
tegi
en f
ür M
odel
lier
ungs
aufg
aben
an
die
Han
d ge
gebe
n w
erde
n.
Lös
ungs
proz
esse
w
erde
n ab
geru
ndet
du
rch
refl
ekti
eren
de
Ver
glei
che
der
prod
uzie
rten
Lös
unge
n; d
azu
gehö
ren
auch
fun
ktio
nale
Var
iati
onen
von
Ein
-ga
ngs-
/Aus
gang
sdat
en.
Wie
ang
ekün
digt
möc
hte
ich
auf
den
vorl
etzt
en P
unkt
etw
as g
enau
er e
inge
hen:
W
ie
könn
en
schü
lerg
emäß
e L
ösun
gsst
rate
gien
fü
r M
odel
lier
ungs
aufg
aben
au
sseh
en?
Wir
hab
en b
ei D
ISU
M e
inen
vie
rsch
ritt
igen
Mod
elli
erun
gskr
eisl
auf
entw
icke
lt,
„Lösu
ngsp
lan“
gena
nnt,
der
den
Bea
rbei
tung
spro
zess
beg
leit
et u
nd
steu
ert
und
der
für
Sch
üler
all
er S
chul
form
en h
andh
abba
r is
t. A
bb.
6 (n
ächs
te
Sei
te)
zeig
t de
n L
ösun
gspl
an i
n al
lgem
eine
r F
orm
, so
wie
wir
ihn
in
2006
in
zwei
zeh
nstü
ndig
en U
nter
rich
tsre
ihen
in
Kla
sse
8/9
der
Hau
ptsc
hule
ein
gese
tzt
habe
n.1
Bei
Sch
ritt
2 (
„Gle
ichu
ng a
ufst
elle
n od
er D
reie
ck e
inze
ichn
en“)
kan
n m
an
erke
nnen
, w
elch
e sp
ezie
llen
T
ypen
vo
n M
odel
lier
ungs
aufg
aben
in
un
sere
n U
nter
rich
tsre
ihen
beh
ande
lt w
urde
n, n
ämli
ch v
orw
iege
nd A
ufga
ben
vom
Typ
„T
anke
n“,
bei
dene
n li
near
e G
leic
hung
en a
ufzu
stel
len
sind
, un
d A
ufga
ben
vom
T
yp „
Leu
chtt
urm
“, b
ei d
enen
ein
rec
htw
inkl
iges
Dre
ieck
zu
entd
ecke
n is
t (d
ie
Unt
erri
chts
reih
en
war
en
an
das
The
ma
Pyt
hago
ras
ange
kopp
elt)
. A
ufga
ben
vom
Typ
„R
iese
nsch
uhe“
, be
i de
nen
aus
Zei
tung
sart
ikel
n m
it F
otos
Inf
orm
ati-
onen
zu
entn
ehm
en s
ind
(bek
annt
aus
Her
get/
Sch
olz
1998
ode
r H
erge
t/ J
ahnk
e/
Kro
ll 2
001)
, w
aren
nur
in
der
erst
en U
nter
rich
tsre
ihe
enth
alte
n, w
eil
sich
ge-
zeig
t ha
t, d
ass
der
Lös
ungs
plan
mög
lich
st a
ufga
bent
ypsp
ezif
isch
sei
n m
uss.
N
eben
dem
abg
ebil
dete
n all
gem
einen
Lös
ungs
plan
wur
de f
ür j
ede
Auf
gabe
ein
sp
ezie
ller
Lös
ungs
plan
ers
tell
t (z
uneh
men
d vo
n de
n S
chül
ern
selb
st),
der
die
ei
nzel
nen
Sch
ritt
e au
fgab
ensp
ezif
isch
kon
kret
isie
rt (
z. B
. be
i S
chri
tt 1
sta
tt
„Sit
uati
on g
enau
vor
stel
len“
bei
„L
euch
ttur
m“
dann
„S
tell
dir
vor
, du
bis
t au
f de
m S
chif
f ...
“).
1 Ich
dan
ke d
en b
eide
n L
ehre
rinn
en,
Fra
u I.
Sch
üler
und
Fra
u R
. R
eiff
, fü
r ih
ren
gran
di-
osen
Unt
erri
cht.
MO
DE
LL
IER
UN
GS
AU
FG
AB
EN
IM
MA
TH
EM
AT
IKU
NT
ER
RIC
HT
21
Abb
. 6. „
Lös
ungs
plan
“ fü
r M
odel
lier
ungs
aufg
aben
Uns
ere
DIS
UM
-Unt
erri
chts
reih
en w
aren
noc
h na
ch w
eite
ren
Ges
icht
spun
kten
ko
nzip
iert
, in
sbes
onde
re n
ach
Pri
nzip
ien
der
oper
ativ
en D
idak
tik
im S
inne
von
A
ebli
(vg
l. da
zu A
ebli
198
3; M
essn
er/R
euss
er 2
006)
. S
o w
aren
Übu
ngss
tun-
den,
in
dene
n T
eil-
Kom
pete
nzen
des
Mod
elli
eren
s so
wie
der
Um
gang
mit
dem
„L
ösun
gspl
an“
gefe
stig
t w
urde
n, i
nteg
rale
r B
esta
ndte
il d
er R
eihe
n. W
ir w
erde
n an
and
erer
Ste
lle
gena
uer
über
die
se u
nd w
eite
re D
ISU
M-U
nter
rich
tsre
ihen
be
rich
ten,
auc
h üb
er E
ffek
te i
n B
ezug
auf
Lei
stun
gen
und
Ein
stel
lung
en d
er
Sch
üler
.
Glo
bal
gesp
roch
en w
aren
die
bei
den
durc
hgef
ührt
en U
nter
rich
tsre
ihen
(so
wie
au
ch d
ie S
tudi
e vo
n M
aaß
2004
) äu
ßers
t erm
utig
end:
Mod
elli
eren
im
Mat
hem
a-ti
kunt
erri
cht
ist
ansp
ruch
svol
l fü
r S
chül
er u
nd L
ehre
r, a
ber
Sch
üler
sin
d hi
erbe
i zu
hoh
en L
eist
unge
n fä
hig,
wen
n de
r U
nter
rich
t si
e fo
rder
t un
d fö
rder
t. D
as
soll
te u
nmit
telb
are
Kon
sequ
enze
n fü
r de
n U
nter
rich
t w
ie a
uch
für
die
Leh
rer-
bild
ung
habe
n.
Vie
r S
ch
ritt
e z
ur
Lö
su
ng
ein
er
Te
xta
ufg
ab
e (
Lö
su
ng
sp
lan
)
1.
Au
fga
be
ve
rste
he
n
Was ist g
eg
eb
en
, w
as ist
ge
su
cht?
•T
ext g
en
au
le
se
n
•S
itu
atio
n g
ena
u v
ors
telle
n
•S
kiz
ze
anfe
rtig
en u
nd b
esch
rift
en
2.
Mo
de
ll e
rste
lle
n
Welc
he
ma
the
ma
tische
n B
ezie
hu
ng
en
ka
nn
ich a
ufs
telle
n?
•E
vtl. fe
hle
nd
e A
nga
be
n e
rgä
nze
n
•Z
.B. G
leic
hu
ng
aufs
telle
n o
de
r
Dre
ieck e
inze
ich
ne
n
Wie
ka
nn
ich d
ie A
ufg
ab
e
ma
the
matisch lö
sen
?
•Z
.B. G
leic
hu
ng
au
sre
chn
en
od
er
Pyth
ago
ras a
nw
end
en
•M
ath
em
atische
s E
rgeb
nis
aufs
ch
reib
en
4.
Erg
eb
nis
erk
läre
n
Wie
lau
tet m
ein
En
de
rgeb
nis
?
Ist
es s
inn
vo
ll?
•M
ath
em
atische
s E
rgeb
nis
run
de
n u
nd a
uf
die
Aufg
abe
be
zie
hen
–evtl. zu
rück z
u 1
•A
ntw
ort
sätz
e s
ch
reib
en
3.
Ma
the
ma
tik
be
nu
tze
n
WE
RN
ER
BL
UM
22
Lit
erat
ur
Aeb
li,
H.
(198
3).
Zw
ölf
Gru
ndfo
rmen
des
Leh
rens
. E
ine
allg
emei
ne D
idak
tik
auf
psy-
chol
ogis
cher
Gru
ndla
ge. S
tutt
gart
: K
lett
(12
. Auf
lage
200
2).
Bau
mer
t, J
. et
al.
(19
97).
Gut
acht
en z
ur V
orbe
reit
ung
des
Pro
gram
ms
„Ste
iger
ung
der
Eff
izie
nz d
es m
athe
mat
isch
-nat
urw
isse
nsch
aftl
iche
n U
nter
rich
ts“.
Bon
n: B
LK
. B
aum
ert,
J.;
Leh
man
n, R
. et
al.
(19
97).
TIM
SS
– M
athe
mat
isch
-nat
urw
isse
nsch
aftl
iche
r U
nter
rich
t im
int
erna
tion
alen
Ver
glei
ch. O
plad
en:
Les
ke+
Bud
rich
. B
aum
ert,
J.
et a
l. (
Hrs
g.,
2001
). P
ISA
200
0. B
asis
kom
pete
nzen
von
Sch
üler
inne
n un
d S
chül
ern
im in
tern
atio
nale
n V
ergl
eich
. Opl
aden
: L
eske
+B
udri
ch.
Bau
mer
t, J
. et
al.
(20
04).
Mat
hem
atik
unte
rric
ht a
us S
icht
der
PIS
A-S
chül
erin
nen
und
Sch
üler
und
ihr
er L
ehrk
räft
e. I
n: P
renz
el,
M.
et a
l. (
Hrs
g.,
2004
). A
. a. O
., S
. 31
4-35
4.B
endr
ien,
M.;
Bie
rman
n, M
.; L
eiß,
D.
(200
5).
SIN
US
– W
isse
nsch
aft
und
Pra
xis
tref
fen
sich
. In
: M
athe
mat
ikun
terr
icht
im
Spa
nnun
gsfe
ld v
on E
volu
tion
und
Eva
luat
ion
(Hrs
g.:
Hen
n, H
.-W
.; K
aise
r, G
.). H
ilde
shei
m:
Fra
nzbe
cker
, S. 2
25-2
40.
Blu
m,
W.
et a
l. (
2000
). G
ute
Unt
erri
chts
prax
is –
Zw
ei J
ahre
hes
sisc
he M
odel
lver
such
e im
B
LK
-Pro
gram
m
zur
Ste
iger
ung
der
Eff
izie
nz
des
mat
hem
atis
ch-
natu
rwis
sens
chaf
tlic
hen
Unt
erri
chts
. F
rank
furt
: H
essi
sche
s L
ande
sins
titu
t fü
r P
äda-
gogi
k.B
lum
, W
. et
al.
(20
04).
Mat
hem
atis
che
Kom
pete
nz.
In:
Pre
nzel
, M
. et
al.
(H
rsg.
, 20
04).
A
. a. O
., S
. 47-
92.
Blu
m,
W.
(199
6).
Anw
endu
ngsb
ezüg
e im
Mat
hem
atik
unte
rric
ht –
Tre
nds
und
Per
spek
-ti
ven.
In
: K
adun
z,
G.
et
al.
(Hrs
g.).
T
rend
s un
d P
ersp
ekti
ven.
B
eitr
äge
zum
7.
Int
erna
tion
alen
S
ympo
sium
zu
r D
idak
tik
der
Mat
hem
atik
. W
ien:
H
ölde
r,
S. 1
5-38
. B
lum
, W
.; G
albr
aith
, P
.; H
enn,
H.-
W.;
Nis
s, M
. (E
ds.,
2006
). A
ppli
cati
ons
and
Mod
el-
ling
in M
athe
mat
ics
Edu
cati
on. N
ew Y
ork:
Spr
inge
r.
Blu
m,
W.;
Lei
ß, D
. (2
003)
. D
iagn
ose-
und
Int
erve
ntio
nsfo
rmen
für
ein
en s
elbs
tstä
ndig
-ke
itso
rien
tier
ten
Unt
erri
cht
am B
eisp
iel
Mat
hem
atik
– V
orst
ellu
ng d
es P
roje
kts
DIS
UM
. In
: B
eitr
äge
zum
Mat
hem
atik
unte
rric
ht 2
003.
Hil
desh
eim
: F
ranz
beck
er,
S. 1
29-1
32.
Blu
m,
W.;
Lei
ß, D
. (2
005a
). M
odel
lier
en i
m U
nter
rich
t m
it d
er „
Tan
ken”
-Auf
gabe
. In
: m
athe
mat
ik l
ehre
n 12
8, S
. 18-
21.
Blu
m,
W.;
Lei
ß, D
. (2
005b
). F
illi
ng U
p –
The
Pro
blem
of
Inde
pend
ence
-Pre
serv
ing
Tea
cher
Int
erve
ntio
ns i
n L
esso
ns w
ith
Dem
andi
ng M
odel
ling
Tas
ks.
In:
CE
RM
E-4
–
Pro
ceed
ings
of
the
Fou
rth
Con
fere
nce
of t
he E
urop
ean
Soc
iety
for
Res
earc
h in
M
athe
mat
ics
Edu
cati
on. G
uixo
l.
Bor
rom
eo-F
erri
, R
. (2
006)
. In
divi
dual
Mod
elli
ng R
oute
s of
Pup
ils
– A
naly
sis
of M
odel
-li
ng P
robl
ems
in M
athe
mat
ics
Les
sons
fro
m a
Cog
niti
ve P
ersp
ecti
ve. I
n: H
aine
s, C
. et
al
. (E
ds.)
. IC
TM
A-1
2:
Mod
el
Tra
nsit
ions
in
th
e R
eal
Wor
ld.
Chi
ches
ter:
H
orw
ood.
Büc
hter
, A
.; L
eude
rs,
T.
(200
5).
Mat
hem
atik
aufg
aben
sel
bst
entw
icke
ln.
Ber
lin:
Cor
nel-
sen
Scr
ipto
r H
enn,
H.-
W.
(198
0).
Die
The
orie
des
Reg
enbo
gens
als
Bei
spie
l fü
r be
zieh
ungs
halt
ige
Ana
lysi
s. I
n: J
ourn
al f
ür M
athe
mat
ik-D
idak
tik
1, S
. 62-
85.
MO
DE
LL
IER
UN
GS
AU
FG
AB
EN
IM
MA
TH
EM
AT
IKU
NT
ER
RIC
HT
23
Hen
n, H
.-W
. (19
99).
Das
BL
K-P
roje
kt –
Her
ausf
orde
rung
und
Cha
nce.
In:
Hen
n, H
.-W
. (H
rsg.
). M
athe
mat
ikun
terr
icht
im
Auf
bruc
h. H
anno
ver:
Sch
roed
el, S
. 7-1
3.
Hen
n, H
.-W
.; M
aaß,
K.
(Hrs
g.,
2003
). M
ater
iali
en f
ür e
inen
rea
litä
tsbe
zoge
nen
Mat
he-
mat
ikun
terr
icht
. IS
TR
ON
-Sch
rift
enre
ihe
Ban
d 8.
Hil
desh
eim
: F
ranz
beck
er.
Her
get,
W.;
Jah
nke,
T.;
Kro
ll,
W.
(200
1).
Pro
dukt
ive
Auf
gabe
n fü
r de
n M
athe
mat
ikun
-te
rric
ht in
der
Sek
unda
rstu
fe I
. Ber
lin:
Cor
nels
en.
Her
get,
W.;
Sch
olz,
D.
(199
8):
Die
etw
as a
nder
e A
ufga
be –
aus
der
Zei
tung
. S
eelz
e:
Kal
lmey
er.
Kli
eme,
E.
et a
l. (
2003
). Z
ur E
ntw
ickl
ung
nati
onal
er B
ildu
ngss
tand
ards
. E
ine
Exp
erti
se.
Bon
n: B
MB
F.
Lei
ß, D
.; B
lum
, W
.; M
essn
er,
R.
(200
6).
Die
För
deru
ng s
elbs
tänd
igen
Ler
nens
im
Ma-
them
atik
unte
rric
ht
– P
robl
emfe
lder
be
i ko
-kon
stru
ktiv
en
Lös
ungs
proz
esse
n.
In:
Jour
nal f
ür M
athe
mat
ik-D
idak
tik
27.
Lei
ß, D
.; W
iega
nd,
B.
(200
4).
A C
lass
ific
atio
n of
Tea
cher
Int
erve
ntio
ns i
n M
athe
mat
ics
Tea
chin
g. I
n: Z
entr
albl
att
für
Did
akti
k de
r M
athe
mat
ik 3
7(3)
, S. 2
40-2
45.
Lie
tzm
ann,
W
. (1
919)
. M
etho
dik
des
mat
hem
atis
chen
U
nter
rich
ts,
I.
Tei
l.
Lei
pzig
: Q
uell
e&M
eyer
. M
aaß,
K. (
2004
). M
athe
mat
isch
es M
odel
lier
en i
m U
nter
rich
t. H
ilde
shei
m:
Fra
nzbe
cker
. M
essn
er,
R.
u. R
euss
er,
K.
(200
6).
Aeb
lis
Did
akti
k au
f ps
ycho
logi
sche
r G
rund
lage
im
K
onte
xt d
er z
eitg
enös
sisc
hen
Did
akti
k. I
n: B
aer,
M.
et a
l. (
Hrs
g.).
Did
akti
k au
f ps
ycho
logi
sche
r G
rund
lage
. Ber
n: h
ep-V
erla
g.
Pre
nzel
, M
. et
al.
(H
rsg.
, 20
04).
PIS
A 2
003:
Der
Bil
dung
ssta
nd d
er J
ugen
dlic
hen
in
Deu
tsch
land
–
Erg
ebni
sse
des
zwei
ten
inte
rnat
iona
len
Ver
glei
ches
. M
ünst
er:
W
axm
ann.
P
renz
el,
M.;
Bap
tist
, P
. (2
001)
. D
as B
LK
-Mod
ellv
ersu
chsp
rogr
amm
Ste
iger
ung
der
Eff
izie
nz d
es m
athe
mat
isch
-nat
urw
isse
nsch
aftl
iche
n U
nter
rich
ts.
In:
BM
BF
(H
rsg.
) T
IMS
S –
Im
puls
e fü
r S
chul
e un
d U
nter
rich
t. B
onn:
BM
BF
Pub
lik,
S. 5
9-73
. W
inte
r,
H.
(200
3).
Mat
hem
atik
unte
rric
ht
und
All
gem
einb
ildu
ng.
In:
Hen
n,
H.-
W.;
M
aaß,
K.
(Hrs
g.).
Mat
eria
lien
für
ein
en R
eali
täts
bezo
gene
n M
athe
mat
ikun
terr
icht
. H
ilde
shei
m:
Fra
nzbe
cker
, S. 6
-15.
24
Mit
Mat
hem
atik
un
ters
chre
iben
:
Ein
Vor
sch
lag
für
den
Sch
ulu
nte
rric
ht
Bru
no
Eb
ner
un
d M
arti
n F
olk
ers
Zu
sam
men
fass
un
g. V
orge
schl
agen
wir
d ei
n S
chul
proj
ekt
für
die
Kla
ssen
stuf
en 1
0 od
er
11 d
es G
ymna
sium
s, w
elch
es i
m R
ahm
en e
ines
fäc
herü
berg
reif
ende
n al
lgem
einb
ilde
n-de
n U
nter
rich
ts m
it m
ögli
chst
ger
inge
n m
athe
mat
isch
en H
ilfs
mit
teln
das
The
ma
„dig
ita-
le U
nter
schr
ifte
n“ b
ehan
delt
. D
ie S
chul
fäch
er M
athe
mat
ik,
Info
rmat
ik,
Ges
chic
hte
und
Rec
htsk
unde
wer
den
dabe
i al
s gl
eich
wer
tig
betr
acht
et.
Für
die
Rea
lisi
erun
g w
ird
das
klas
sisc
he R
SA
-Ver
fahr
en v
erw
ende
t un
d ei
ne m
ögli
che
Sim
ulat
ione
n m
it e
inem
CA
S
(Map
le)
und
mit
ein
er p
rofe
ssio
nell
eren
Sim
ulat
ions
soft
war
e (C
rypT
ool)
auf
dem
Com
-pu
ter
vorg
este
llt.
Im R
ahm
en v
on L
ehre
rfor
tbil
dung
en u
nd V
orle
sung
en f
ür S
chül
er u
nd S
chül
e-ri
nnen
hab
en w
ir s
chon
meh
rfac
h da
s T
hem
a „D
igit
ale
Unt
ersc
hrif
ten“
beh
an-
delt
. In
halt
lich
geh
ört
dies
es T
hem
a zu
r K
rypt
olog
ie,
also
der
Wis
sens
chaf
t de
r V
ersc
hlüs
selu
ng u
nd E
ntsc
hlüs
selu
ng v
on I
nfor
mat
ione
n. K
rypt
olog
ie i
st s
iche
r ei
n be
lieb
tes
und
auch
att
rakt
ives
The
ma
für
den
Sch
ulun
terr
icht
, au
f da
s vi
ele
Sch
üler
und
Sch
üler
inne
n an
spri
ngen
, hat
es
doch
mit
Geh
eim
niss
en u
nd V
erra
t zu
tun
. S
chne
ll w
erde
n A
ssoz
iati
onen
gew
eckt
zu
Abe
nteu
ern,
Spa
nnun
g, G
e-he
imdi
enst
en, K
rim
inal
fäll
en e
tc. B
ehan
delt
wer
den
dann
z. B
. fol
gend
e F
rage
n
Wie
hat
Cae
sar
in r
ömis
cher
Zei
t se
ine
mil
itär
isch
en A
nord
nung
en v
or A
n-gr
iffe
n de
s F
eind
es g
esch
ützt
? W
ie h
at e
s N
apol
eon
gem
acht
?
Wie
wir
d es
heu
te i
m C
ompu
terz
eita
lter
gem
acht
, wen
n G
ehei
mni
sse
sich
er
ausg
etau
scht
wer
den
soll
en?
Die
ser
Zug
ang
zum
The
ma
Kry
ptol
ogie
ist
im
Rah
men
des
Sch
ulun
terr
icht
s kr
itis
ch z
u se
hen,
wen
n m
an a
ls Z
iel
eine
n fä
cher
über
grei
fend
en u
nd a
llge
-m
einb
ilde
nden
Unt
erri
cht
vor
Aug
en h
at.
Wie
int
eres
sant
ist
die
Fra
ge,
wie
C
aesa
r od
er N
apol
eon
mil
itär
isch
e G
ehei
mni
sse
verb
orge
n ha
ben?
Wen
n m
an
solc
he F
rage
n im
Mat
hem
atik
unte
rric
ht s
tell
t, w
ird
die
Mat
hem
atik
seh
r sc
hnel
l au
s de
m A
llta
g he
raus
geno
mm
en u
nd i
n di
e „R
ätse
leck
e“ g
esch
oben
. A
nder
er-
seit
s is
t da
s T
hem
a V
ersc
hlüs
selu
ng u
nd D
aten
sich
erhe
it f
ür d
ie S
chul
e vo
n en
orm
er B
edeu
tung
, de
nkt
man
an
das
Inte
rnet
, w
elch
es a
uf K
inde
r un
d Ju
-ge
ndli
che
eine
mag
isch
e A
nzie
hung
skra
ft a
usüb
t. U
m d
em A
nspr
uch
gere
cht
zu w
erde
n, d
ie G
rund
prin
zipi
en d
er V
ersc
hlüs
selu
ngst
echn
olog
ie i
m M
athe
ma-
tiku
nter
rich
t re
alit
ätsn
ah z
u un
terr
icht
en,
wir
d de
r V
orsc
hlag
gem
acht
, si
ch d
er
Kry
ptol
ogie
nic
ht ü
ber
die
Ver
schl
üsse
lung
, so
nder
n üb
er d
ie „
digi
tale
Unt
er-
schr
ift“
zu
nä
hern
. D
iese
r A
nsat
z ha
t de
n V
orte
il,
dass
er
m
athe
mat
isch
e G
rund
prin
zipi
en d
er A
rith
met
ik a
uf i
deal
e W
eise
mit
den
Gru
ndpr
inzi
pien
des
MIT
MA
TH
EM
AT
IK U
NT
ER
SC
HR
EIB
EN
25
Bür
gerl
iche
n R
echt
s ve
rbin
det.
Das
Int
erne
t is
t ke
in r
echt
sfre
ier
Rau
m u
nd w
ar
es a
uch
zu k
eine
m Z
eitp
unkt
. D
ies
wol
len
vor
alle
m j
unge
Int
erne
tnut
zer
oft
nich
t zu
r K
ennt
nis
nehm
en.
All
e B
eweg
unge
n im
Int
erne
t w
ie z
.B.
das
beli
ebte
K
opie
ren
und
Ver
brei
ten
von
Spi
elen
ode
r M
usik
tite
ln k
ann
grav
iere
nde
rech
t-li
che
Fol
gen
habe
n, d
eren
sic
h Ju
gend
lich
e w
egen
man
geln
der
Rec
htsk
ennt
nis-
se n
icht
bew
usst
sin
d. W
enn
der
Mat
hem
atik
unte
rric
ht f
äche
rübe
rgre
ifen
d m
it
eine
m R
echt
skun
deun
terr
icht
daz
u be
itra
gen
kann
, di
e R
echt
sken
ntni
sse
von
Juge
ndli
chen
zu
verb
esse
rn, s
o so
llte
die
se C
hanc
e ge
nutz
t w
erde
n.
Der
Urs
prun
g de
r un
s he
ute
beka
nnte
n un
d ve
rbre
itet
en U
nter
schr
ift
läss
t si
ch
fünf
taus
end
Jahr
e zu
rück
verf
olge
n. N
eben
der
Unt
ersc
hrif
t w
ird
im s
prac
h-li
chen
Geb
rauc
h au
ch d
as W
ort
Sig
natu
r ve
rwen
det,
wel
ches
aus
der
lat
eini
-sc
hen
Spr
ache
sta
mm
t un
d da
s W
ort
Sig
num
, da
s Z
eich
en,
bein
halt
et.
Es
geht
al
so d
arum
, ei
n Z
eich
en z
u se
tzen
, w
elch
es a
ls Z
eugn
is d
er H
erku
nft
dien
t. S
olch
e Z
eich
en t
rete
n in
ver
schi
eden
en K
ultu
rkre
isen
zue
rst
in F
orm
von
Sie
-ge
ln a
uf, d
a in
frü
here
r Z
eit
die
Sch
rift
form
seh
r w
enig
en P
erso
nen
vorb
ehal
ten
war
. In
Chi
na g
ilt
der
Abd
ruck
des
Sie
gels
als
die
tra
diti
onel
le N
amen
sunt
er-
schr
ift,
heu
te o
ft e
rgän
zt d
urch
den
han
dsch
rift
lich
en N
amen
szug
. D
urch
ver
-m
ehrt
en H
ande
l un
d da
mit
ver
bund
enen
Han
dels
gese
tzen
wur
de i
m L
aufe
der
Z
eit
die
Aut
hent
ifiz
ieru
ng d
er H
erku
nft
von
Geg
enst
ände
n un
d D
okum
ente
n im
mer
wic
htig
er.
Hie
rzu
dien
ten
nebe
n de
m D
aum
enab
druc
k au
ch d
ie b
erüh
m-
ten
drei
Kre
uze,
wel
che
ihre
Ein
deut
igke
it d
urch
die
Beg
laub
igun
g ei
nes
Not
ars
erhi
elte
n (E
ntst
ehun
g de
s N
otar
iats
wes
ens)
. D
urch
die
zun
ehm
ende
Ver
brei
-tu
ng d
er S
chri
ft i
m B
ürge
rtum
wur
de d
as S
iege
l in
Eur
opa
von
der
von
Han
d ge
schr
iebe
nen
Unt
ersc
hrif
t zu
näch
st e
rgän
zt u
nd s
chli
eßli
ch v
erdr
ängt
. S
o w
ur-
de d
ie v
erbi
ndli
che
Unt
ersc
hrif
t im
17.
Jah
rhun
dert
ins
eng
lisc
he R
echt
ssys
tem
ei
ngef
ührt
. M
it d
em I
nkra
fttr
eten
des
Bür
gerl
iche
n G
eset
zbuc
hes
(BG
B)
im
Jahr
190
0 w
urde
das
Unt
ersc
hrif
tenw
esen
auc
h in
Deu
tsch
land
ein
deut
ig g
e-se
tzli
ch g
ereg
elt.
Dur
ch d
ie E
tabl
ieru
ng i
m R
echt
leg
t di
e U
nter
schr
ift
Fol
gen-
des
form
al f
est:
Her
kunf
t, A
uthe
ntiz
ität
, E
xklu
sivi
tät
und
Ver
bind
lich
keit
. F
ür
wei
tere
Inf
orm
atio
nen
zur
Ges
chic
hte
der
Unt
ersc
hrif
t si
ehe
Geh
ring
(19
98a,
b)
. E
ine
lese
nsw
erte
Ein
führ
ung
in d
ie H
isto
rie
der
Ver
schl
üsse
lung
stec
hnik
en
find
et m
an b
ei S
chm
eh (
2004
). P
aral
lel
zum
Mat
hem
atik
unte
rric
ht k
önnt
e m
an
im G
esch
icht
sunt
erri
cht
die
Alp
habe
tisi
erun
g im
beg
inne
nden
Ind
ustr
ieze
ital
ter
bis
zur
mod
erne
n In
form
atio
nsge
sell
scha
ft t
hem
atis
iere
n. E
in g
uter
Ein
stie
g si
nd d
ie I
nter
nets
eite
n de
s M
ax-P
lanc
k-In
stit
uts
für
Ges
chic
hte,
Göt
ting
en.
Mit
der
Ein
führ
ung
der
digi
tale
n K
omm
unik
atio
nspl
attf
orm
Int
erne
t un
d de
m
so e
ntst
ande
nen
neue
n R
aum
für
Han
del
und
Rec
ht w
ird
die
Not
wen
digk
eit
ei-
ner
neue
n F
orm
der
Sig
natu
r de
utli
ch.
Da
das
phys
ikal
isch
e ei
genh
ändi
ge U
n-te
rsch
reib
en n
icht
meh
r du
rchf
ührb
ar i
st,
aber
tro
tzde
m V
ertr
äge
abge
schl
osse
n un
d ve
rbin
dlic
he A
bmac
hung
en g
etro
ffen
wer
den,
wur
den
neue
Kon
zept
e en
t-
BR
UN
O E
BN
ER
& M
AR
TIN
FO
LK
ER
S
26
wic
kelt
und
um
gese
tzt.
Das
Kon
zept
der
dig
ital
en S
igna
tur
als
Aut
hent
ifiz
ie-
rung
smit
tel
über
träg
t di
e R
olle
des
his
tori
sche
n S
iege
ls i
n da
s di
gita
le Z
eita
lter
.
Zie
l is
t es
, m
it m
ögli
chst
ein
fach
en m
athe
mat
isch
en H
ilfs
mit
teln
ein
dig
ital
es
Äqu
ival
ent
zur
men
schl
iche
n U
nter
schr
ift
zu k
onst
ruie
ren.
Die
ses
Äqu
ival
ent
soll
es
erla
uben
, oh
ne k
örpe
rlic
he A
nwes
enhe
it d
urch
gee
igne
te M
odif
izie
rung
de
s zu
sig
nier
ende
n (d
igit
alen
) D
okum
ents
ein
e „r
echt
sgül
tige
“ U
nter
schr
ift
un-
ter
dies
es D
okum
ent
zu l
eist
en.
Um
mit
mat
hem
atis
che
Met
hode
n ei
n di
gita
les
Äqu
ival
ent
für
die
trad
itio
nell
e U
nter
schr
ift
auf
Pap
ier
zu k
onst
ruie
ren,
mus
s m
an s
ich
zunä
chst
kla
r w
erde
n üb
er e
inig
e w
esen
tlic
he F
unkt
ione
n, d
ie e
ine
hand
schr
iftl
iche
Unt
ersc
hrif
t ha
t un
d di
e ei
ne d
igit
ale
Sig
natu
r eb
enfa
lls
leis
ten
mus
s B
itze
r/B
risc
h (1
999)
. Die
se F
unkt
ione
n si
nd
Ech
thei
tsfu
nk
tion
: G
ewäh
r, d
ass
die
Erk
läru
ng e
inzi
g vo
m U
nter
zeic
hner
st
amm
t.
Iden
titä
tsfu
nk
tion
: D
ie
Unt
ersc
hrif
t m
acht
gl
eich
zeit
ig
die
Iden
titä
t de
s A
usst
elle
rs d
es D
okum
ente
s de
utli
ch.
War
nfu
nk
tion
: Im
Geg
ensa
tz z
ur m
ündl
iche
n E
rklä
rung
wir
d di
e R
elev
anz
der
Ver
trag
sver
einb
arun
g du
rch
die
Unt
ersc
hrif
t he
raus
gest
ellt
.
Ab
sch
luss
fun
kti
on:
Ein
Ent
wur
f en
thäl
t im
All
gem
eine
n ke
ine
Unt
ersc
hrif
t. E
ine
Unt
ersc
hrif
t ve
rdeu
tlic
ht d
en W
ille
n zu
r V
olle
ndun
g.
Bew
eisf
un
kti
on:
Die
Rec
htsp
rech
ung
geht
bei
unt
ersc
hrie
bene
n D
okum
ente
n vo
n de
r V
erm
utun
g de
r R
icht
igke
it u
nd V
olls
tänd
igke
it a
us.
Fol
gend
e A
spek
te s
ind
für
die
Rol
le d
er (
digi
tale
n) U
nter
schr
ift
bei
der
Aut
hen-
tifi
zier
ung
von
Dok
umen
ten
wic
htig
.
Die
Unt
ersc
hrif
t is
t u
nte
rzei
chn
erab
hän
gig,
sie
kan
n nu
r vo
n ei
ner
Per
son
erze
ugt
wer
den.
Der
Em
pfän
ger
über
zeug
t si
ch d
urch
die
Unt
ersc
hrif
t, d
ass
der
Unt
erze
ichn
er
das
Dok
umen
t ge
lese
n un
d b
ewu
sst
un
ters
chri
eben
hat
. D
ie U
nter
schr
ift
wur
de a
lso
wil
len
tlic
h u
nter
das
Dok
umen
t ge
setz
t.
Die
Unt
ersc
hrif
t ka
nn n
ich
t ge
fäls
cht
wer
den
.
Die
Unt
ersc
hrif
t is
t n
ich
t w
ied
erve
rwen
db
ar,
sie
kann
nic
ht a
uf e
in a
nder
es
Dok
umen
t üb
ertr
agen
ode
r an
ein
and
eres
Dok
umen
t an
gehä
ngt
wer
den.
Das
unt
erze
ichn
ete
Dok
umen
t is
t n
ich
t ve
rän
der
bar
, na
chtr
ägli
che
Änd
e-ru
ngen
des
Dok
umen
ts s
ind
ohne
Änd
erun
g de
r U
nter
schr
ift
nich
t m
ögli
ch.
Die
Unt
ersc
hrif
t ka
nn s
päte
r ni
cht
gele
ugne
t w
erde
n.
Die
ang
egeb
enen
Eig
ensc
haft
en s
ind
notw
endi
ge V
orau
sset
zung
en f
ür d
ie A
n-er
kenn
ung
eine
r di
gita
len
Sig
natu
r. S
ie s
ind
zu s
ehen
als
fun
ktio
nale
Par
alle
len
MIT
MA
TH
EM
AT
IK U
NT
ER
SC
HR
EIB
EN
27
zu d
en E
igen
scha
ften
der
eig
enhä
ndig
en U
nter
schr
ift.
Die
dig
ital
e K
omm
unik
atio
n st
ellt
der
zeit
noc
h ke
ine
schr
iftl
iche
Kom
mun
ika-
tion
dar
. N
ach
der
gese
tzli
chen
Reg
elun
g im
Bür
gerl
iche
n G
eset
zbuc
h (B
GB
) gi
lt d
ie S
chri
ftfo
rm n
ur d
ann
als
gege
ben,
wen
n ei
n D
okum
ent
eige
nhän
dig
mit
de
m N
amen
szug
ver
sehe
n w
urde
. D
as G
eset
z si
eht
für
eine
Anz
ahl
von
Ver
trä-
gen
oder
R
echt
shan
dlun
gen
vor,
da
ss
sie
schr
iftl
ich
abge
schl
osse
n w
erde
n m
üsse
n. D
ies
ist
beis
piel
swei
se b
eim
Bür
gsch
afts
vert
rag,
bei
m G
rund
stüc
ks
oder
Häu
serk
auf,
bei
der
Ver
fass
ung
des
Tes
tam
ents
ode
r de
m E
heve
rtra
g de
r F
all.
Die
s be
deut
et,
dass
übe
rall
dor
t, w
o ei
n S
chri
ftfo
rmzw
ang
best
eht,
die
se
Ver
träg
e (n
ach
deut
sche
m R
echt
) im
Int
erne
t ni
cht
abge
schl
osse
n w
erde
n kö
n-ne
n. P
rinz
ipie
ll k
önne
n al
le F
orm
en e
lekt
roni
sche
r D
okum
ente
im
Rah
men
ei
nes
Pro
zess
es z
u B
ewei
szw
ecke
n ei
ngeb
rach
t w
erde
n. S
ie u
nter
lieg
en d
amit
de
r re
chtl
iche
n B
eurt
eilu
ng d
urch
den
ges
etzl
iche
n R
icht
er (
Pri
nzip
der
fre
ien
Bew
eisw
ürdi
gung
im
deu
tsch
en R
echt
). E
s gi
lt d
abei
der
Gru
ndsa
tz,
dass
jed
e P
arte
i di
e fü
r si
e gü
nsti
gen
Tat
sach
en d
arle
gen
und
bew
eise
n m
uss.
In d
er B
unde
srep
ubli
k D
euts
chla
nd w
urde
n er
stm
alig
199
7 m
it d
em S
igna
tur-
gese
tz (
Sig
G)
und
der
dazu
gehö
rige
n S
igna
turv
eror
dnun
g (S
igV
) re
chtl
iche
R
ahm
enbe
ding
unge
n fü
r di
gita
le
Sig
natu
ren
gesc
haff
en.
Die
ser
rech
tlic
he
Rah
men
wur
de i
m J
ahr
2001
(ak
tuel
le F
assu
ng 2
005)
ers
etzt
dur
ch d
ie V
erkü
n-du
ng d
es „
Ges
etze
s üb
er R
ahm
enbe
ding
unge
n fü
r el
ektr
onis
che
Sig
natu
ren“
(S
igG
) un
d de
r „V
eror
dnun
g zu
r el
ektr
onis
chen
Sig
natu
r“ (
Sig
V),
wel
che
den
im J
ahr
1999
bes
chlo
ssen
en E
U-R
icht
lini
en e
ntsp
rech
en.
Hie
rin
ist
u. a
. fe
stge
-le
gt,
dass
bei
m V
erfa
hren
der
dig
ital
en S
igna
tur
nur
als
geei
gnet
ein
gest
ufte
K
rypt
oalg
orit
hmen
und
Has
hfun
ktio
nen
verw
ende
t w
erde
n dü
rfen
, de
ren
Eig
-nu
ng v
om B
unde
sam
t fü
r S
iche
rhei
t in
der
Inf
orm
atio
nste
chni
k (B
SI)
fes
tge-
stel
lt w
urde
. E
inze
lhei
ten
und
gena
uere
Inf
orm
atio
nen
find
et m
an a
uf d
en I
n-te
rnet
seit
en d
er B
unde
snet
zage
ntur
: ht
tp://w
ww
.bun
desn
etza
gent
ur.d
e. D
arst
el-
lung
en d
er r
echt
lich
en S
eite
fin
det
man
in
Bit
zer/
Bri
sch
(199
9) u
nd B
erts
ch
(200
2).
Die
mei
sten
heu
te a
uf d
em M
arkt
bef
indl
iche
n S
igna
turv
erfa
hren
arb
eite
n na
ch
dem
Pri
nzip
der
asy
mm
etri
sche
n V
ersc
hlüs
selu
ng.
Bei
ein
em d
erar
tige
n V
er-
fahr
en w
ird
jede
m T
eiln
ehm
er T
des
Sys
tem
s ei
ne S
igna
turf
unkt
ion
s T u
nd e
ine
Ver
ifik
atio
nsfu
nkti
on v
T z
ugeo
rdne
t. D
abei
ist
sT g
ehei
m (
gehe
imer
Sch
lüss
el),
al
so n
ur T
bek
annt
, w
ahre
nd v
T e
ine
öffe
ntli
ch z
ugän
glic
he F
unkt
ion
ist,
z.
B.
abge
legt
in
eine
m T
eiln
ehm
erve
rzei
chni
s (ö
ffen
tlic
her
Sch
lüss
el).
Es
ist
prak
-ti
sch
nich
t m
ögli
ch,
aus
der
öffe
ntli
chen
Fun
ktio
n v T
auf
die
geh
eim
e F
unkt
ion
s T z
u sc
hlie
ßen.
Ein
Tei
lneh
mer
T u
nter
schr
eibt
ein
e N
achr
icht
m,
inde
m e
r se
ine
Sig
natu
rfun
ktio
n au
f di
e N
achr
icht
m a
nwen
det;
er
erhä
lt d
arau
s di
e el
ekt-
roni
sche
Sig
natu
r
sig =
sT (
m).
BR
UN
O E
BN
ER
& M
AR
TIN
FO
LK
ER
S
28
Er
send
et s
owoh
l m
als
auc
h si
g a
n ei
nen
beli
ebig
en E
mpf
änge
r. D
iese
r is
t in
de
r L
age,
aus
m u
nd s
ig m
it H
ilfe
der
öff
entl
iche
n V
erif
ikat
ions
funk
tion
vT
die
Kor
rekt
heit
der
Sig
natu
r zu
übe
rprü
fen.
Die
s is
t be
i vi
elen
Ver
fahr
en s
o re
ali-
sier
t, d
ass
gilt
v T(s
ig)
= m
,
mit
and
eren
Wor
ten:
bei
ein
er V
erif
ikat
ion
wir
d üb
erpr
üft,
ob d
ie A
nwen
dung
vo
nv T
auf
sig
die
Aus
gang
snac
hric
ht w
iede
r re
kons
trui
ert.
Zur
Kon
stru
ktio
n vo
n S
igna
turf
unkt
ione
n w
erde
n so
gen
annt
e E
inw
egfu
nkti
o-ne
n ve
rwen
det.
Ein
e F
unkt
ion,
die
ein
fach
zu
bere
chne
n is
t, d
eren
Um
kehr
ung
jedo
ch n
ur m
it g
roße
m A
ufw
and
bere
chne
t w
erde
n ka
nn,
nenn
t m
an E
inw
eg-
funk
tion
. Kan
n m
an d
ie U
mke
hrun
g m
it H
ilfe
von
Zus
atzi
nfor
mat
ione
n ei
nfac
h be
stim
men
, so
nen
nt m
an d
iese
Zus
atzi
nfor
mat
ion
Fal
ltür
und
die
Fun
ktio
n se
lber
ein
e F
allt
ürfu
nkti
on (
vgl.
Beu
tels
pach
er (
2001
), S
chm
eh (
2001
), e
ine
gena
uere
mat
hem
atis
che
Def
init
ion
find
et m
an i
n B
auer
(19
97))
.
Ein
e E
inw
eg-F
unkt
ion
ohne
Fal
ltür
ist
(na
ch h
euti
gem
Wis
sen)
die
Mul
tipl
ika-
tion
von
Pri
mza
hlen
. Es
sei
X:=
(p,
q)
²|
p,
q P
rim
zahl
en, K
p <
q, d
a-
bei
sei
K h
inre
iche
nd g
roß.
Die
inj
ekti
ve F
unkt
ion
f :
X, (
p,q
)f
(p,q
):p
· q
ist
ein
Kan
dida
t fü
r ei
ne E
inw
eg-F
unkt
ion,
es
sind
bis
heu
te k
eine
Fal
ltür
en
beka
nnt.
Wei
ter
ist
bis
heut
e ke
in e
ffiz
ient
es V
erfa
hren
(öf
fent
lich
) be
kann
t,
eine
200
-ste
llig
e D
ezim
alza
hl (
oder
grö
ßer)
in
ihre
Pri
mfa
ktor
en z
u ze
rleg
en
(von
Son
derf
älle
n ab
gese
hen)
.
Ers
ter
Sch
ritt
bei
m A
ufb
au e
ines
Sig
nat
urv
erfa
hre
ns
Da
es u
nser
Zie
l is
t, e
in d
igit
ales
Dok
umen
t zu
sig
nier
en, k
önne
n w
ir v
orau
sset
-ze
n, d
ass
unse
r D
okum
ent
in F
orm
ein
er n
atür
lich
en Z
ahl
m v
orli
egt.
Um
di
ese
natü
rlic
he Z
ahl
m w
eite
rzub
earb
eite
n, t
ritt
abe
r da
s P
robl
em a
uf,
dass
di
ese
Zah
l in
der
Reg
el e
rheb
lich
zu
groß
ist
. D
aher
wir
d be
i de
n he
ute
gäng
i-ge
n S
igna
turv
erfa
hren
zun
ächs
t in
ein
em e
rste
n S
chri
tt v
on d
em D
okum
ent
mei
ne A
rt A
bris
s (K
ompr
imat
, Q
uers
umm
e od
er F
inge
rabd
ruck
, H
ashw
ert)
er-
mit
telt
. F
ür d
ie E
rzeu
gung
ein
es H
ashw
erte
s ei
nes
Dok
umen
tes
wer
den
so g
e-na
nnte
Ein
weg
-Has
hfun
ktio
nen
verw
ende
t. D
as H
ashv
erfa
hren
ist
für
all
e T
eil-
nehm
er d
es S
yste
ms
dass
elbe
und
jed
em T
eiln
ehm
er f
rei
zugä
ngli
ch,
es d
ient
nu
r de
r K
ompr
imie
rung
des
Dok
umen
tes,
nic
ht a
ber
der
Ver
schl
üsse
lung
ode
r C
hiff
rier
ung.
Die
dig
ital
e S
igna
tur
zum
Dok
umen
t m
wir
d da
nn i
m z
wei
ten
MIT
MA
TH
EM
AT
IK U
NT
ER
SC
HR
EIB
EN
29
Sch
ritt
erz
eugt
, ind
em d
ie S
igna
turf
unkt
ion
s T a
uf d
en H
ashw
ert
des
Dok
umen
-te
sm
ang
ewen
det
wir
d (v
gl. B
auer
(19
97)
und
Sch
meh
(20
01))
.
Das
he
ute
verb
reit
etst
e H
ashv
erfa
hren
is
t de
r „S
ecur
e H
ash
Alg
orit
hmus
“ (S
HA
), w
elch
er 1
992
vom
Nat
iona
l In
stit
ute
for
Sta
ndar
ds a
nd T
echn
olog
y“
(NIS
T)
und
der
„Nat
iona
l S
ecur
ity
Age
ncy“
(N
SA
) en
twic
kelt
wur
de.
Die
Län
-ge
ein
es H
ashw
erte
s be
i di
esem
Ver
fahr
en b
eträ
gt 1
60 B
it.
Auf
Has
halg
o-ri
thm
en
wer
den
wir
ni
cht
eing
ehen
, w
eite
re
Info
rmat
ione
n fi
ndet
m
an
bei
Sch
meh
(20
01)
und
im H
inbl
ick
auf
den
Sch
ulun
terr
icht
bei
Bau
man
n (1
999b
).
Zw
eite
r S
chri
tt b
eim
Au
fbau
ein
es S
ign
atu
rver
fah
ren
s
Die
eig
entl
iche
Erz
eugu
ng e
iner
dig
ital
en S
igna
tur
best
eht
in d
er V
erw
endu
ng
eine
r E
inw
egfu
nkti
on m
it F
allt
ür,
wel
che
mit
Hil
fe z
ahle
nthe
oret
isch
er H
ilfs
-m
itte
l ko
nstr
uier
t w
ird.
Jed
em T
eiln
ehm
er T
des
Sys
tem
s w
erde
n da
bei
zwei
Z
ahle
ne
= e
Tun
dd
= d
T
zuge
ordn
et.
Die
Zah
l e T
ist
der
geh
eim
e S
chlü
ssel
vo
n T
eiln
ehm
er T
und
nur
die
sem
bek
annt
. S
ie e
ntsp
rich
t de
r S
igna
turf
unkt
ion
s T v
on T
. D
ie Z
ahl
dT i
st d
er öff
entl
iche
Sch
lüss
el v
on T
und
ent
spri
cht
der
Ver
ifik
atio
nsfu
nkti
on v
T.
Sie
ist
im
Tei
lneh
mer
verz
eich
nis
des
Sys
tem
s öffe
nt-
lich
zug
ängl
ich.
Die
zug
ehör
ige
Ein
weg
funk
tion
mit
Fal
ltür
hat
die
Ges
talt
f :
e Td
T f
ür a
lle
Tei
lneh
mer
T d
es S
yste
ms.
Mit
Hil
fe e
ines
off
en g
eleg
ten
Ver
fahr
ens
wir
d da
nn v
om T
eiln
ehm
er T
aus
de
m H
ashw
ert
h(m
) ei
nes
Dok
umen
tes
m u
nter
Ver
wen
dung
sei
nes
gehe
imen
S
chlü
ssel
s e T
ei
ne S
igna
tur
zu m
ers
tell
t. D
iese
Sig
natu
rdat
ei w
ird
an d
as D
o-ku
men
t an
gehä
ngt
und
zusa
mm
en m
it d
em D
okum
ent
m a
n de
n E
mpf
änge
r ge
schi
ckt.
Das
Ver
fahr
en b
este
ht a
us e
iner
Sig
natu
rfun
ktio
n
sig :
(h(m
), e
T )
si
gT (
h(m
)) =
dig
ital
e S
igna
tur
zu m
,
wel
che
unte
r V
erw
endu
ng v
on e
T a
uf h
(m)
ange
wan
dt d
ie S
igna
tur
von
T u
nter
da
s D
okum
ent
m l
iefe
rt u
nd e
iner
Ver
ifik
atio
nsfu
nkti
on v
, für
die
gil
t
v :
(si
gT (
h(m
)),d
T)
v T (
sig
T (
h(m
)) =
h(m
).
Prü
fun
g (V
erif
ikat
ion
) d
er U
nte
rsch
rift
du
rch
den
Em
pfä
nge
r
Nac
h V
orli
egen
der
bei
den
Dat
eien
m u
nd d
er a
ngeh
ängt
en S
igna
turd
atei
füh
rt
der
Em
pfän
ger
zwei
Sch
ritt
e du
rch:
BR
UN
O E
BN
ER
& M
AR
TIN
FO
LK
ER
S
30
Er
best
imm
t m
it d
em v
orge
gebe
nen
Has
hver
fahr
en d
en H
ashw
ert
des
Do-
kum
ente
s m
.
Er
wen
det
die
öffe
ntli
ch b
ekan
nte
Ver
ifik
atio
nsfu
nkti
on v
= v
T d
es A
bsen
ders
T
auf
die
Sig
natu
rdat
ei a
n.
Sti
mm
en d
ie b
eide
n er
halt
enen
Wer
te ü
bere
in,
geht
er
von
eine
m u
nver
fäls
ch-
ten
und
auth
enti
sche
n D
okum
ent
aus.
Es
gibt
auf
dem
Mar
kt e
ine
Rei
he v
on m
athe
mat
isch
en K
rypt
oalg
orit
hmen
, m
it
dene
n m
an d
igit
ale
Sig
natu
rfun
ktio
nen
kons
trui
eren
kan
n. W
egen
der
Dur
ch-
sich
tigk
eit
und
Ein
fach
heit
der
ver
wen
dete
n m
athe
mat
isch
en H
ilfs
mit
tel
biet
et
sich
für
den
Sch
ulun
terr
icht
abe
r nu
r da
s kl
assi
sche
RS
A-V
erfa
hren
an,
zum
in-
dest
dan
n, w
enn
im R
ahm
en e
ines
fäc
herü
berg
reif
ende
n U
nter
rich
ts (
Mat
hem
a-ti
k, I
nfor
mat
ik,
Ges
chic
hte
und
Rec
htsk
unde
) di
e M
athe
mat
ik n
icht
all
e an
de-
ren
nich
tmat
hem
atis
chen
Asp
ekte
dom
inie
ren
soll
. A
nder
e m
athe
mat
isch
an-
spru
chsv
olle
re V
erfa
hren
fin
den
sich
in
Beu
tels
pach
er e
t al
. (20
05).
Das
RS
A-V
erfa
hre
n a
ls S
ign
atu
rver
fah
ren
Das
RS
A-S
igna
turv
erfa
hren
ver
wen
det
als
Ein
weg
funk
tion
die
Mul
tipl
ikat
ion
von
zwei
gro
ßen
vers
chie
dene
n P
rim
zahl
en.
Sch
lüss
eler
zeu
gun
g: J
eder
Tei
lneh
mer
T w
ählt
zw
ei v
ersc
hied
ene
groß
e P
rim
-
zahl
en p
,q
(bei
de z
. B
. etw
a 10
0 D
ezim
alst
elle
n) u
nd b
ilde
t n =
pq. W
ei-
ter
wäh
lt j
eder
Tei
lneh
mer
ein
e Z
ahl
e (
z. B
. 9 D
ezim
alst
elle
n) m
it
ggT
(e, (
p1)
· (q
1))
= 1
.
Der
öff
entl
iche
Sch
lüss
el d
es (
von
T)
best
imm
t si
ch a
us d
er l
inea
ren
Kon
grue
nz
e · d
1(m
od (
p 1
) · (
q 1
)).
Öffen
tlic
her
Sch
lüss
el:
(d , n
), d
= d
T ,
n=
nT
, 2
d <
(p
1)
· (q
1)
Der
öff
entl
iche
Sch
lüss
el (
von
T)
wir
d ab
gele
gt i
n ei
nem
öff
entl
iche
n T
eiln
eh-
mer
verz
eich
nis.
Pri
vate
r S
chlü
ssel
: (e
, n
),e
= e
T ,
n=
nT
, 2
d <
(p
1)
· (q
1)
Der
pri
vate
Sch
lüss
el (
e,n
) (g
enau
er d
er S
chlü
ssel
teil
e =
eT)
sow
ie d
ie z
ur E
r-ze
ugun
g be
nöti
gten
Pri
mza
hlen
p u
nd q
müs
sen
gehe
im b
leib
en,
dürf
en a
lso
nur
T b
ekan
nt s
ein
und
soll
ten
(dür
fen)
nic
ht
auf
der
Fes
tpla
tte
gesp
eich
ert
sein
. D
as S
igna
turg
eset
z sc
hrei
bt v
or,
dass
der
geh
eim
e S
chlü
ssel
auf
ein
er
Chi
pkar
te e
inge
bran
nt u
nd v
ersi
egel
t w
ird.
Von
die
ser
kann
er
nich
t au
sgel
esen
w
erde
n. D
ie C
hipk
arte
kan
n nu
r be
nutz
t w
erde
n, w
enn
zusä
tzli
ch e
ine
PIN
-
MIT
MA
TH
EM
AT
IK U
NT
ER
SC
HR
EIB
EN
31
Num
mer
die
Nut
zung
fre
i sc
halt
et. D
a de
r ge
heim
e S
chlü
ssel
von
der
Chi
pkar
te
nich
t au
sgel
esen
wer
den
kann
, fi
ndet
der
Ver
schl
üsse
lung
svor
gang
vol
lstä
ndig
im
Inn
eren
der
Chi
pkar
te s
tatt
. H
ierz
u en
thäl
t di
e C
hipk
arte
ein
en s
pezi
elle
n P
roze
ssor
, wel
cher
für
die
se A
ufga
be o
ptim
iert
ist
.
Erz
eugu
ng
ein
er S
ign
atu
r u
nte
r d
as D
oku
men
t m
(m
)
Der
Abs
ende
r T
zer
legt
die
Nac
hric
ht m
(di
ese
sei
o. B
. d.
A.
in F
orm
ein
er
Zah
l ge
gebe
n) i
n r
(gle
ichl
ange
) B
löck
e 1
m,
2m
, ...
, r
mje
der
Blo
ck
jm
<n
(geg
eben
enfa
lls
mus
s de
r le
tzte
Blo
ck m
it N
ulle
n au
fgef
üllt
wer
den)
, un
d se
n-de
t
die
Nac
hric
ht m
und
die
ange
häng
te S
igna
turd
atei
1e
m(m
od n
),2e
m(m
od n
), ... ,
e rm
(mod
n)
Un
ters
chri
ften
prü
fun
g d
urc
h d
en E
mp
fän
ger
Der
Em
pfän
ger
scha
ut d
en öff
entl
iche
n S
chlü
ssel
dT =
(d
,n)
des
(ver
mei
ntli
-ch
en)
Abs
ende
rs i
m T
eiln
ehm
erve
rzei
chni
s na
ch u
nd b
ilde
t
1(
)ed
m(m
od n
)2
()
ed
m(m
od n
) …
(
)ed
rm
(mod
n)
(1
m)
(mod
n)
(2
m)
(mod
n)
...
(r
m)
(mod
n)
Dan
ach
fügt
er
die
erha
lten
en B
löck
e 1ed
m(m
od n
),
2ed
m(m
od n
),...
,2ed
m(m
od n
)
wie
der
zusa
mm
en.
Sti
mm
t di
e da
nn r
esul
tier
ende
Zah
l m
it d
er N
achr
icht
müb
erei
n, s
o er
kenn
t er
die
Unt
ersc
hrif
t al
s ec
ht a
n. B
ei d
iese
r un
d de
r fo
lgen
den
Map
le-R
eali
sier
ung
eine
r di
gita
len
Sig
natu
r w
ird
aus
Grü
nden
der
Übe
rsic
ht-
lich
keit
auf
die
Zw
isch
ensc
halt
ung
eine
s H
ashv
erfa
hren
s ve
rzic
htet
.
BR
UN
O E
BN
ER
& M
AR
TIN
FO
LK
ER
S
32
Wel
che
math
ema
tisc
hen
Hil
fsm
itte
l w
erd
en b
enöti
gt?
erw
eite
rter
eu
klid
isch
er
Alg
ori
thm
us
(für
die
E
rzeu
gung
des
Sch
lüss
elpaare
s)
elem
enta
res
Rec
hnen
mit
lin
eare
n K
ongru
enze
n
klei
ner
Satz
von F
erm
at
(zw
eim
al
angew
end
et r
eich
t aus!
)
Mit
die
sen
Hil
fsm
itte
ln l
ässt
sic
h da
s R
SA
-Ver
fahr
en b
ewei
svol
lstä
ndig
(K
or-
rekt
heit
sbew
eis)
beh
ande
ln. F
ür d
ie D
etai
ls s
iehe
Bar
thol
ome
et a
l. (
2006
), P
ad-
berg
(19
99)
und
Tra
ppe/
Was
hing
ton
(200
2).
Bei
der
Dis
kuss
ion
des
RS
A-
Ver
fahr
ens
tauc
hen
natü
rlic
h zw
ei F
rage
n au
f, d
ie n
icht
ver
schw
iege
n w
erde
n dü
rfen
.
Die
Fra
ge n
ach
der
Du
rch
füh
rbar
kei
t, a
lso
die
Fra
ge,
ob m
an s
chne
ll u
nd
prob
lem
los
groß
e P
rim
zahl
en f
inde
n ka
nn.
Es
gibt
ein
e R
eihe
von
effiz
ient
en
Pri
mza
hlte
sts,
wel
che
auch
in
Map
le r
eali
sier
t si
nd,
mit
den
en m
an h
inre
i-ch
end
groß
e P
rim
zahl
en e
rzeu
gen
kann
bzw
. m
it d
enen
man
auc
h fü
r se
hr
groß
e Z
ahle
n er
kenn
en k
ann,
ob
es s
ich
um e
ine
Pri
mza
hl h
ande
lt.
Die
Fra
ge n
ach
der
Sic
her
hei
t, a
lso
die
Fra
ge,
ob d
as P
robl
em d
er P
rim
-za
hlze
rleg
ung
für
groß
e Z
ahle
n m
ögli
cher
wei
se effiz
ient
bew
erks
tell
igt
wer
-de
n ka
nn.
Für
bei
de F
rage
n m
uss
auf
die
sehr
rei
chha
ltig
e L
iter
atur
ver
wie
sen
wer
den,
z.
B.
Bar
thol
ome
et a
l. (
2006
), T
rapp
e/W
ashi
ngto
n (2
002)
ode
r da
s O
nlin
e-S
krip
t C
rypT
ool
(200
3). A
uch
wen
n m
an d
iese
Fra
gen
im S
chul
unte
rric
ht n
icht
w
irkl
ich
deta
illi
ert
beha
ndel
n ka
nn, s
o ka
nn m
an d
och
mit
Hil
fe v
on M
aple
den
U
nter
schi
ed z
wis
chen
Pri
mza
hler
kenn
ung
und
Pri
mza
hlze
rleg
ung
für
Sch
üler
un
d S
chül
erin
nen
erfa
hrba
r m
ache
n un
d di
skut
iere
n.
Map
le-R
eali
sier
un
g
In d
iese
m A
bsch
nitt
wir
d ei
ne m
ögli
che
Rea
lisi
erun
g im
CA
S-S
yste
m M
aple
vo
rges
tell
t. Z
ur D
urch
führ
ung
des
Ver
fahr
ens
wer
den
eini
ge V
aria
blen
und
P
roze
dure
n ge
brau
cht,
die
im
Fol
gend
en a
ngeg
eben
wer
den.
Als
ers
tes
wir
d de
r zu
si
gnie
rend
e T
ext
(bri
ef.t
xt)
eing
eles
en.
Gle
ichz
eiti
g w
erde
n di
e nö
tige
n P
rim
zahl
en u
nd S
chlü
ssel
erz
eugt
bzw
. ber
echn
et.
MIT
MA
TH
EM
AT
IK U
NT
ER
SC
HR
EIB
EN
33
read
("C
:/B
rief
.txt
");
p:
nex
tpri
me(
4101
4208
971)
; #e
rste
Pri
mza
hl
q:
nex
tpri
me(
2102
5160
973)
; #z
wei
te P
rim
zah
l e
: 1
003;
#e g
ehei
mer
Sch
lüss
el
igcd
ex(e
, (p-
1)*(
q-1)
, d, y
);
#b
erec
hn
et ö
ffen
tl. S
chlü
ssel
d
e*d
mod
((p-
1)*(
q-1)
);
#als
Pro
be m
uss
1 ra
usko
mm
en
b:
4;
#b g
ibt
die
Blo
cklä
nge
an
Dan
n w
ird
das
Alp
habe
t (9
8 Z
eich
en),
mit
dem
gea
rbei
tet
wir
d, d
efin
iert
. E
s ha
ndel
t si
ch u
m e
ine
Var
iabl
e de
s T
yps
„str
ing“
.
Alp
hab
et :
’aä
bcde
fgh
ijklm
noö
pqrs
tuüv
wxy
zAÄ
BC
DE
FGH
IJK
LMN
O
ÖP
QR
STU
ÜV
WX
YZ
1234
5678
90-=
˜!@
%ˆ&
*()_
+,./
<’>?
;:"[]
{}| ‘
;
Als
näc
hste
s m
uss
der
Tex
t in
ein
e Z
ahl
(Dez
imal
zahl
) um
gew
ande
lt w
erde
n.
Die
Pro
zedu
r be
nöti
gt d
ie z
uvor
def
inie
rte
Var
iabl
e A
lpha
bet.
Tex
t_Z
ahl
: p
roc(
st)
lo
cal l
, n, s
, i;
glob
al A
lph
abet
; l :
= le
ngt
h(s
t);
if l
= 0
then
RE
TU
RN
(0)
end
if;
n:
1;
for
i to
l do
s
: S
earc
hT
ext(
subs
trin
g(st
, i ..
i), A
lph
abet
);
if n
ot t
ype(
s, n
umer
ic)
or s
= 0
th
en
ER
RO
R(‘D
as Z
eich
en ‘.
(sub
stri
ng(
st, i
.. i)
).‘
geh
ört
nic
ht
zum
Alp
hab
et‘)
end
if;
n:
100
*n+s
en
d do
; n-
10ˆ(
2*l)
en
d:
In d
er f
or-S
chle
ife
wir
d be
i je
dem
Dur
chla
uf d
ie i
-te
Ste
lle
des
Tex
tes
in d
er
Var
iabl
e A
lpha
bet
gesu
cht
und
die
Pos
itio
n al
s nu
mer
isch
er W
ert
ausg
egeb
en.
Die
ser
lieg
t be
i de
r ob
en d
efin
iert
en W
ahl
des
Alp
habe
ts z
wis
chen
0 u
nd 9
8.
Da
zwei
stel
lige
Zah
len
als
Wer
te i
n de
r S
chle
ife
auft
auch
en,
wer
den
durc
h di
e Z
eile
n :
= 10
0*n
+san
die
ent
steh
ende
Zah
l n
in
jede
m D
urch
lauf
zw
ei N
ulle
n an
gehä
ngt.
wel
che
dann
dur
ch s
ers
etzt
wer
den.
Zul
etzt
wir
d di
e er
ste
1 no
ch
gelö
scht
, da
sie
nich
t zu
m u
rspr
üngl
iche
n T
ext
gehö
rt. M
it d
em B
efeh
l
Zah
l :
Tex
t_Z
ahl(
Bri
ef);
BR
UN
O E
BN
ER
& M
AR
TIN
FO
LK
ER
S
34
wir
d de
r ei
ngel
esen
e B
rief
in
eine
Zah
l um
gew
ande
lt.
Um
das
im
vor
heri
gen
Abs
chni
tt b
espr
oche
ne R
SA
-Ver
fahr
en z
u ve
rwen
den,
mus
s di
e en
tsta
nden
e Z
ahl
in B
löck
e au
fget
eilt
wer
den.
Die
s re
alis
iert
die
fol
gend
e P
roze
dur.
Zah
l_B
lock
list
e :
pro
c(z,
b)
lo
cal B
, i, K
, l, l
Z, p
, Z;
Z:
z;
B:
b;
lZ:
len
gth
(Z);
l
: c
eil(
1/B
*lZ
);
K:
[ ]
; fo
r i t
o l d
o
Z:
1/(1
0ˆB
)*Z
; p
: 1
0ˆB
*fra
c(Z
);
K:
[p,
op(
K)]
; Z
: t
run
c(Z
) en
d do
; K
end:
Mit
l:
ceil
(1/B
*lZ
)w
ird
die
Anz
ahl
der
ents
tehe
nden
Blö
cke
bere
chne
t un
d K
:=[]
erze
ugt
eine
lee
re B
lock
list
e. I
n de
r fo
r-S
chle
ife
wir
d be
i je
dem
Dur
chla
uf d
ie
Zah
l um
die
Blo
cklä
nge
hint
er d
en D
ezim
alpu
nkt
gesc
hobe
n, d
ann
wer
den
die
ents
tehe
nden
Nac
hkom
maz
iffe
rn i
n di
e B
lock
list
e ge
schr
iebe
n un
d di
e Z
ahl
auf
die
näch
ste
ganz
e Z
ahl
abge
rund
et.
Der
Map
le-B
efeh
l op
gib
t di
e E
lem
ente
aus
ei
ner
Lis
te a
us. M
it
BL
: Z
ahl_
Blo
ckli
ste(
Zah
l, b)
;
#BL
bez.
die
Blo
ckli
ste
wir
d au
s de
r Z
ahl
eine
Blo
ckli
ste
der
Län
ge b
ber
echn
et.
Die
Sig
natu
rdat
ei u
nd
die
Übe
rprü
fung
der
Sig
natu
r w
erde
n du
rch
die
folg
ende
Pro
zedu
r er
zeug
t. D
er
Bef
ehl
nop
s gi
bt d
ie A
nzah
l de
r E
lem
ente
aus
ein
er L
iste
aus
. D
ie e
igen
tlic
he
Ver
- bz
w. E
ntsc
hlüs
selu
ng w
ird
in d
er S
chle
ife
real
isie
rt.
RSA
: p
roc(
BL,
M, s
)
loca
l L, L
s, s
s, i;
L
: B
L;
ss :
s;
Ls:
[ ]
;
for
i to
nop
s(L)
do
Ls
: [
op(L
s), (
L[i]
&ˆs
) m
od M
]
end
do;
Ls
end:
Der
Auf
ruf
für
die
Erz
eugu
ng b
ei V
erw
endu
ng d
es S
chlü
ssel
s e
laut
et j
etzt
:
SIG
:= R
SA(B
L, p
*q, e
);
Um
aus
ein
er B
lock
list
e w
iede
r ei
ne z
usam
men
häng
ende
Zah
l un
d au
s de
r Z
ahl
wie
der
eine
n T
ext
zu g
ener
iere
n, w
erde
n di
e be
iden
fol
gend
en P
roze
dure
n ve
r-w
ende
t.
Blo
ckli
ste_
Zah
l :
pro
c(B
L, b
)
loca
l B, i
, n, L
, Z;
L:
BL;
B:
b;
Z:
0;
n:
nop
s(L)
;
for
i to
n d
o
Z :=
Z +
L[i
]*10
ˆ(B
*(n
-i))
en
d do
; Z
end:
MIT
MA
TH
EM
AT
IK U
NT
ER
SC
HR
EIB
EN
35
Die
Ber
echn
ung
der
Zah
l au
s de
r B
lock
list
e vo
llzi
eht
sich
in
der
for-
Sch
leif
e.
Jede
s E
lem
ent
iau
s de
r B
lock
list
e w
ird
mit
10(b
(ni)
)
mul
tipl
izie
rt u
nd d
ann
auf-
addi
ert.
Dab
ei b
ezei
chne
t b d
ie B
lock
läng
e un
d n d
ie G
esam
tanz
ahl
der
Blö
cke.
Zah
l_T
ext
: p
roc(
n)
lo
cal s
, m, l
, p, i
, an
s;
glob
al A
lph
abet
; m
:n
; l:
flo
or(1
/2*t
run
c(ev
alf(
log1
0(m
))))
+1;
ans
: ‘‘
; fo
r i t
o l d
o
m:
iquo
(m,1
00,’p
’);
if le
ngt
h(A
lph
abet
) <
p th
en
ER
RO
R(‘D
er Z
ahl e
nts
pric
ht
kein
ver
nün
ftig
er T
ext‘
)
end
if;
s:
sub
stri
ng(
Alp
hab
et,p
.. p
);
ans
: c
at(s
,an
s)
end
do;
ans
end:
In d
er l
etzt
en P
roze
dur
bere
chne
t l d
ie A
nzah
l de
r en
tste
hend
en B
uchs
tabe
n, d
er
Bef
ehl
subs
trin
g su
cht
die
ents
prec
hend
en B
uchs
tabe
n in
der
Var
iabl
e A
lpha
bet,
un
d m
it c
at w
ird
der
Tex
t zu
sam
men
gefü
gt.
Mit
den
ein
gefü
hrte
n P
roze
dure
n lä
sst
sich
das
Erg
ebni
s un
ter
Ver
wen
dung
des
öff
entl
iche
n S
chlü
ssel
s d
veri
fi-
zier
en:
SIG
PR
: R
SA(S
IG, p
*q, d
);
Zah
l2 :
Blo
ckli
ste_
Zah
l(SI
GP
R, b
);
Zah
l_T
ext(
Zah
l2);
Bei
kor
rekt
er S
igna
tur
ersc
hein
t in
der
Map
le A
usga
be d
er u
rspr
üngl
iche
Bri
ef.
Wei
terf
ühre
nde
Map
le-
und
Mat
lab-
Rea
lisi
erun
gen
find
et m
an i
n T
rapp
e/W
a-sh
ingt
on (
2002
).
Unt
er d
er z
ugeh
örig
en W
ebad
ress
e ht
tp://w
ww
.pre
nhal
l.co
m/w
ashi
ngto
n ka
nn
man
Map
le u
nd M
atla
b-W
orks
heet
s do
wnl
oade
n.
Die
obe
n be
schr
iebe
ne R
eali
sier
ung
mit
Hil
fe v
on M
aple
proz
edur
en,
befr
eit
vom
Ein
satz
von
Has
hfun
ktio
nen,
sol
lte
nur
eine
Zw
isch
enlö
sung
sei
n, u
m d
ie
Wir
kung
swei
se e
iner
dig
ital
en S
igna
tur
zu k
läre
n. E
s bl
eibt
der
Wun
sch,
ein
e re
alis
tisc
here
Dem
onst
rati
on z
ur V
erfü
gung
zu
habe
n. H
ierz
u bi
etet
sic
h di
e V
erw
endu
ng d
er C
rypT
ool-
Sof
twar
e an
, w
elch
e ko
sten
los
(Fre
ewar
e) i
m I
nter
-ne
t un
ter
der
Net
zadr
esse
htt
p://
ww
w.c
rypt
ool.
de e
rhäl
tlic
h is
t.
BR
UN
O E
BN
ER
& M
AR
TIN
FO
LK
ER
S
36
Der
obi
ge S
cree
nsho
t ze
igt
die
Sim
ulat
ion
des
Abl
aufp
lane
s fü
r di
e pr
ofes
sio-
nell
e E
rzeu
gung
und
Ver
ifiz
ieru
ng e
iner
dig
ital
en S
igna
tur.
Cry
pToo
l w
urde
na
ch e
igen
en A
ngab
en g
emei
nsam
von
Wir
tsch
aft
und
Hoc
hsch
ulen
als
adä
-qu
ates
did
akti
sche
s M
ediu
m f
ür e
ine
mod
erne
Leh
re e
ntw
icke
lt.
Mit
die
ser
Sof
twar
e st
eht
eine
int
erak
tive
Pla
ttfo
rm b
erei
t, u
m d
ie W
irku
ngsw
eise
ein
er
digi
tale
n S
igna
tur
zu d
emon
stri
eren
.
Sch
luss
bem
erk
un
g
Das
hie
r vo
rges
tell
te U
nter
rich
tsth
ema
ist
so a
ngel
egt,
das
s es
als
Pro
jekt
(z.
B.
als
AG
) im
Rah
men
des
gym
nasi
alen
Unt
erri
chts
dur
chge
führ
t w
erde
n ka
nn.
Wer
t ge
legt
wer
den
soll
te d
abei
auf
ein
e sa
uber
e D
arst
ellu
ng d
er a
rith
met
isch
en
Gru
ndsä
tze.
Es
hat
aber
wen
ig S
inn,
die
ses
The
ma
unte
r N
egie
rung
ges
ell-
scha
ftli
cher
Ver
hält
niss
e un
d oh
ne V
eran
keru
ng i
n un
sere
r R
echt
sord
nung
zu
unte
rric
hten
. E
s so
ll n
icht
ver
schw
iege
n w
erde
n, d
ass
viel
e F
rage
n ni
cht
ange
-sp
roch
en w
erde
n, w
ie z
. B
. di
e F
rage
nac
h te
chni
sche
n R
eali
sier
unge
n, d
ie
Fra
ge n
ach
notw
endi
gen
adm
inis
trat
iven
Ein
rich
tung
en u
nd d
ie F
rage
nac
h de
r (a
ugen
blic
klic
hen)
Akz
epta
nz d
er e
lekt
roni
sche
n „U
nter
schr
ift“
in
der
Bev
ölke
-ru
ng. H
ier
mus
s au
f w
eite
rfüh
rend
e L
iter
atur
ver
wie
sen
wer
den.
Wen
n m
an m
it u
nser
en o
bige
n M
aple
-Pro
zedu
ren
unte
r V
erw
endu
ng d
er P
rim
-za
hlen
p=
419
und
q=
211
sow
ie
dem
ge
heim
en
Sch
lüss
el
e=10
03
und
der
Blo
cklä
nge
b=
3 un
ter
eine
n ei
ngel
esen
en B
rief
die
fol
gend
e di
gita
le S
igna
tur
Abb
. 1. S
cree
nsho
t zu
r sc
hrit
twei
sen
Sig
natu
rer-
zeug
ung
in C
rypT
ool
MIT
MA
TH
EM
AT
IK U
NT
ER
SC
HR
EIB
EN
37
erze
ugt
SIG
:=
[716
72,
2264
8, 4
304,
320
75,
8696
2, 1
6509
, 20
637,
632
35,
4600
2, 6
8353
, 15
055,
584
21,
3393
7,
3667
5, 6
3817
, 34
051,
660
8, 3
6492
, 36
403,
342
87,
4600
2, 2
9891
, 82
340,
320
75,
8317
5, 7
3974
, 47
794,
208
26,
6474
7, 1
1805
, 66
08,
2082
6, 6
6432
, 14
624,
548
86,
6835
3, 4
7794
, 83
790,
451
81,
1224
3, 2
8181
, 61
645,
332
10,
8718
, 76
749,
641
63,
6416
3, 5
9535
, 28
181,
118
05,
1356
0, 1
7438
, 72
461,
342
87,
8659
8, 5
5327
, 63
462,
543
45,
4518
1, 3
3894
, 58
046,
304
89,
1563
, 70
316,
769
93,
5661
5, 8
2475
, 22
391,
730
43,
2086
4, 5
5134
, 32
075,
118
92,
3420
9, 6
1024
, 36
492,
357
82,
8651
1,
1356
0, 5
1470
, 73
566,
340
51,
1505
5, 1
9216
, 15
055,
154
85,
7652
2, 7
6749
, 20
637,
781
43,
6076
, 32
683,
615
01, 2
0826
, 807
94, 8
5754
],
und
dies
e S
igna
tur
mit
dem
zug
ehör
igen
öff
entl
iche
n S
chlü
ssel
d=
7272
7 ve
rifi
-zi
ert,
lau
tet
die
Ant
wor
t vo
n M
aple
:
Wir
, die
Auto
ren,
und d
as
Inst
itut
für
Sto
chast
ik d
er U
niv
ersi
tät
Karl
sruhe
wünsc
hen
Dir
, li
eber
Wolf
gang, all
es G
ute
zu D
einem
60. G
eburt
stag.
Lit
erat
ur
Bau
er, F
. L. (
1997
). E
ntziff
erte
Geh
eim
niss
e (2
nd e
d.).
Ber
lin:
Spr
inge
r-V
erla
g.
Bar
thol
ome,
A. e
t al
. (20
06).
Zah
lent
heor
ie f
ür E
inst
eige
r (5
th e
d.).
Vie
weg
-Ver
lag.
B
aum
ann,
R. (
1999
a). D
igit
ale
Unt
ersc
hrif
t. I
n: L
OG
IN 1
9, S
. 46-
49.
Bau
man
n, R
. (19
99b)
. Dig
ital
e U
nter
schr
ift.
In:
LO
GIN
19,
S. 8
2-88
. B
erts
ch, A
. (20
02).
Dig
ital
e S
igna
ture
n. B
erli
n: S
prin
ger-
Ver
lag.
B
eute
lspa
cher
, A
. et
al.
(20
01).
Mod
erne
Ver
fahr
en d
er K
rypt
ogra
phie
(4t
h ed
.).
Bra
un-
schw
eig/
Wie
sbad
en:
Vie
weg
-Ver
lag.
B
eute
lspa
cher
, A
. et
al
. (2
005)
. K
rypt
ogra
fie
in
The
orie
un
d P
raxi
s.
Bra
un-
schw
eig/
Wie
sbad
en: V
iew
eg-V
erla
g.
Bit
zer,
F.,
Bri
sch,
K. M
. (19
99).
Dig
ital
e S
igna
tur.
Ber
lin:
Spr
inge
r-V
erla
g.
Cry
pToo
l (20
03).
Cry
pToo
l-S
krip
t.
http
://w
ww
.cry
ptoo
l.de
/dow
nloa
ds/C
rypT
oolS
crip
t 1
3 04
de.
pdf.
G
ehri
ng,
R.
(199
8a).
Dig
ital
e S
igna
ture
n. D
iplo
mar
beit
. T
echn
isch
e U
nive
rsit
ät B
erli
n.
http
://i
g.cs
.tu-b
erli
n.de
/ma/
rg/a
p/19
98-0
4/G
ehri
ng-D
igit
aleS
igna
ture
n-19
98-0
4-08
.G
ehri
ng, R
. (19
98b)
. Dig
ital
e S
igna
ture
n (I
). I
n: L
inux
-Mag
azin
8/9
8.G
ehri
ng, R
. (19
98c)
. Dig
ital
e S
igna
ture
n (I
I). I
n: L
inux
-Mag
azin
10/
98.
Geh
ring
, R. (
1999
). D
igit
ale
Sig
natu
ren
(III
). I
n: L
inux
-Mag
azin
3/9
9.P
adbe
rg, F
. (19
99).
Zah
lent
heor
ie u
nd A
rith
met
ik. S
pekt
rum
Aka
dem
isch
er V
erla
g.
Sch
meh
, K. (
2004
). D
ie W
elt
der
gehe
imen
Zei
chen
. w3L
-Ver
lag
Dor
tmun
d.
Sch
meh
, K
. (2
001)
. K
rypt
ogra
fie
und
Pub
lic-
Key
-Inf
rast
rukt
uren
im
Int
erne
t (2
nd e
d.).
H
eide
lber
g: d
punk
t.ve
rlag
. T
rapp
e, W
.; W
ashi
ngto
n, L
. C
. (2
005)
. In
trod
ucti
on t
o C
rypt
ogra
phy
wit
h C
odin
g T
he-
ory
(2nd
ed.
). P
rent
ice-
Hal
l U
pper
Sad
dle
Riv
er.
38
Abb
. 1. E
in m
erkw
ürdi
ges
Tau
zieh
en
Eyt
elw
ein
, Sei
le u
nd
Pol
ler
Od
er:
War
um
kan
n ic
h e
in
groß
es S
chif
f m
it e
iner
Han
d f
esth
alte
n?
Fra
nk
För
ster
Zu
sam
men
fass
un
g: A
usge
hend
vom
all
tägl
iche
n P
häno
men
der
Sei
lrei
bung
ski
zzie
rt
dies
er A
rtik
el e
inen
Weg
für
ein
en m
odel
lier
ende
n, f
äche
rübe
rgre
ifen
den
und
expe
ri-
men
tell
en M
athe
mat
ikun
terr
icht
. D
ie e
xper
imen
tell
nac
hgew
iese
ne E
xpon
enti
alfu
nkti
on
kann
dab
ei i
n de
r S
ekun
dars
tufe
I q
uali
tati
v un
d in
der
Sek
unda
rstu
fe I
I au
ch q
uant
itat
iv
mod
elli
ert
wer
den.
All
tägl
iche
Phä
nom
ene
für
den
Mat
hem
atik
unte
rric
ht n
utzb
ar z
u m
ache
n, i
st
Anl
iege
n vi
eler
Art
ikel
von
Han
s-W
olfg
ang
Hen
n (v
gl.
z. B
. H
enn
1993
, 19
95,
1997
, 20
02,
Büc
hter
/Hen
n 20
04).
„B
eson
ders
wic
htig
und
int
eres
sant
“ si
nd
dabe
i, n
ach
Hen
n (1
994,
S.
67),
„M
essu
ngen
zu
expo
nent
iell
em V
erha
lten
.“
Die
exp
erim
ente
ll n
achg
ewie
sene
Exp
onen
tial
funk
tion
kan
n da
bei
in d
er S
e-ku
ndar
stuf
e I
qual
itat
iv u
nd i
n de
r S
ekun
dars
tufe
II
auch
qua
ntit
ativ
mod
elli
ert
wer
den.
Neu
lich
im P
roje
kt
…
… ,
als
sic
h an
die
sem
Nac
hmit
tag
mat
hem
atis
ch i
nter
essi
erte
Gru
ndsc
hüle
rin-
nen
und
-sch
üler
in
der
mat
hem
atis
chen
Ler
nwer
ksta
tt d
er T
U B
raun
schw
eig
traf
en,
beha
upte
te i
ch,
Len
a un
d L
aura
sei
en s
tärk
er a
ls a
cht
Jung
s z
umin
dest
w
ürde
n di
ese
es n
icht
sch
affe
n, d
ie M
ädch
en i
m T
auzi
ehen
zu
besi
egen
. N
a, d
a w
ar w
as l
os …
Als
o ru
nter
und
aus
prob
iere
n. N
atür
lich
war
es
für
die
Jung
s ke
in P
robl
em,
die
beid
en M
ädch
en „
über
den
Hof
zu
zieh
en“
sel
bst
mei
ne
Hil
fe n
ützt
e da
zun
ächs
t ni
chts
. A
ber
dann
nah
m i
ch d
as S
eil
und
schl
ang
es
zwei
mal
um
ein
en L
ater
nenp
fahl
(A
bb. 1
).