MODELLUS: UMA FERRAMENTA COMPUTACIONAL PARA MODELAG EM MATEMÁTICA

Bruno Kerber de Oliveira1

Ednei Leite de Araújo 2

Resumo: Ao se fazer uso do computador ou de um software educacional em atividades de

ensino e aprendizagem, é necessário considerar que essa mídia, qualitativamente

diferente, contribua para modificar as práticas do ensino tradicional em vigor. Os recursos

tecnológicos vêm se atualizando, modificando ações do cotidiano. E na educação este

processo não é diferente: os estudantes estão tendo mais contato com as Tecnologias da

Informação e Comunicação (TICs), ficando para os docentes a responsabilidade de saberem

como utilizá-las, seja como fonte de dados, seja para realizar experimentações, para resolver

problemas e, no caso deste minicurso, para auxiliar no desenvolvimento dos trabalhos de

Modelagem Matemática. Assim como na Modelagem3, as TICs, também, auxiliam na

Educação Matemática, de forma a minimizar as demonstrações e a necessidade de cálculos

muito extensos, rompendo, assim, de certa forma, com o método de ensino tradicional. Além

disso, com o uso dessas tecnologias, consegue-se que os alunos se foquem na análise e no

aprimoramento do modelo matemático em questão. Nesse sentido, com base nos vários

estudos já realizados que visam aprofundar as compreensões referentes à utilização da

informática na Educação Matemática, é apresentado o software Modellus, utilizado para

analisar e criar modelos matemáticos envolvendo funções, derivadas, taxas de variação,

equações diferenciais ordinárias e equações a diferenças finitas. Suas ferramentas incluem a

construção de gráficos, tabelas e animações/simulações. O tratamento dado ao curso será mais

prático do que teórico. Na parte teórica será dada uma breve introdução acerca dos

fundamentos da Modelagem Matemática e sua relação com a Educação Matemática, a partir

da apresentação e discussão das principais questões sobre contextualização e aplicações em

Matemática, bem como algumas habilidades e competências que podem ser adquiridas

1 Mestrando do programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Educação Matemática da Universidade

Estadual de Londrina. brkerber@gmail.com. 2 Graduando do curso de Matemática da Universidade Federal do Paraná. ednei@ufpr.br

3 Neste texto, o termo “Modelagem” refere-se à Modelagem Matemática.

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pelos alunos através da modelagem. Na abordagem prática, serão apresentados alguns

recursos e potencialidades do software e exemplos de atividades de Modelagem para a

utilização de modelos matemáticos que descrevam fenômenos do cotidiano de uma maneira

geral. Para finalizar, algumas idéias serão lançadas, buscando apresentar diferentes formas do

uso desta ferramenta computacional no ensino de matemática.

Palavras - chave: Educação Matemática; Modelagem Matemática; Modellus.

Introdução

A utilização de modelos matemáticos como um modo de compreender um determinado

problema tem se tornado cada vez mais freqüente nos últimos anos. Diversas áreas do

conhecimento, como a Física e a Biologia, têm utilizado a Matemática como uma ferramenta

para descrever e interpretar vários de seus fenômenos (BASSANEZI, 2002). Tendo o modelo

em mãos, é possível analisar suas soluções e tomar decisões.

Entretanto, muitas vezes esta análise não é tão simples, levando em consideração que,

diversos modelos possuem soluções com expressões analíticas não-intuitivas ou então nem

possuem uma solução explícita. Nestes casos, as soluções numéricas são necessárias e, assim,

a informática possui um papel importante. Softwares e algoritmos são desenvolvidos para

tentar gerar uma visualização destas soluções, de modo a auxiliar no entendimento de seu

comportamento. É importante analisar as soluções de modelos para que estudiosos possam

compreender o desenvolvimento de um determinado fenômeno e fazer previsões.

Recentemente, vários trabalhos estão sendo desenvolvidos com a finalidade de verificar

as possibilidades do uso do computador em situações de Modelagem Matemática. Pode-se

encontrar nesses trabalhos vários argumentos que sugerem e evidenciam a importância de se

utilizar as Tecnologias de Informação e Comunicação (TICs), sobretudo o computador no

processo de modelagem.

Assim, neste trabalho, aborda-se a importância do uso das TICs, mais especificamente

do computador, em situações de modelagem e propõe-se atividades utilizando o software

Modellus, o qual permite a experimentação, a representação gráfica e a manipulação direta de

dados no estudo das situações reais envolvidas e na obtenção dos modelos matemáticos.

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Modelagem Matemática na Educação Matemática

A Modelagem Matemática, na perspectiva da Educação Matemática, tem sido apontada

em vários estudos como uma metodologia de ensino e aprendizagem que contribui para a

construção do conhecimento dos alunos, pois, entre outros aspectos, constitui uma alternativa

pedagógica fundamentada na articulação com a realidade. Segundo Dias (2005, p.39):

A Modelagem Matemática concebida como um processo matemático que envolve a formulação de hipóteses e simplificações adequadas na criação de modelos matemáticos para estudar fenômenos reais pode ser vista como uma alternativa para inserir aplicações da matemática no currículo escolar sem, no entanto, alterar as responsabilidades concedidas ao ensino.

Nesse sentido, com a Modelagem Matemática, os alunos, por meio da abordagem de

situações reais, têm a oportunidade de verificar a aplicabilidade da Matemática em diversos

contextos, compreendendo melhor a sua realidade e interagindo com ela.

Para Ponte (1992a, apud Dias, 2005, p. 37), a apresentação de novos conceitos a partir

de situações reais, pode ser uma base concreta para desenvolver novas idéias, como também

ter um importante papel motivador. Na maioria dos casos, quando o aluno trabalha com a

Modelagem Matemática, age como um investigador, pois se envolve com a situação real

estudada, procurando em primeiro lugar entendê-la. Trabalhando situações reais, o aluno

compreende a importância da matemática no seu dia-a-dia e é motivado a conhecê-la.

Ao se trabalhar com a Modelagem em sala de aula, o professor viabiliza aos estudantes

uma determinada autonomia para buscarem e compreenderem temas de seus interesses e, com

isso, conseguirem, muitas vezes, designar significados para determinados conteúdos que,

talvez, não designassem se os mesmos fossem estudados em outro ambiente. Nesse sentido,

destacamos o trabalho de Almeida e Brito (2005), no qual estes autores afirmam que a

Modelagem proporciona aos alunos a atribuição de sentido e a construção de significados

para os conceitos matemáticos com que se defrontam nas aulas de matemática, contribuindo,

assim, para sua aprendizagem.

Quando nos referimos ao uso do computador em atividades de Modelagem, Santos e

Almeida (2006) abordam a ligação que surge quase naturalmente desde a etapa de obtenção

dos modelos até uma análise mais profunda do problema em questão. O uso do computador

auxilia os alunos em etapas muito trabalhosas, como o de determinar parâmetros de uma

função, a partir de um conjunto de dados. Nesse caso, os alunos têm a oportunidade de

concentrarem seus esforços na interpretação e análise das situações de modelagem e ainda

simular diferentes situações para aprimorar suas conclusões sobre o problema estudado.

Santos e Almeida (2006, p.54) comentam sobre o uso da Modelagem Matemática em

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Educação Matemática afirmando que “[...] como a Modelagem em Educação Matemática

retira a ênfase das demonstrações matemáticas voltando-a para modelos, o uso das novas

tecnologias permite que sejam retirados problemas com cálculos tediosos para o

desenvolvimento e análise de um dado modelo”.

Além disso, quando trabalhamos Modelagem com o uso das TICs, a atividade de

investigação é explorada de forma mais dinâmica. Neste trabalho, procura-se evidenciar a

relação entre TICs, mais especificamente o uso do software Modellus, e Modelagem

Matemática, integrando o estudo de conceitos matemáticos e algumas situações reais.

Sobre o software Modellus

O software Modellus foi criado na Universidade Nova de Lisboa, sendo disponibilizado

atualmente na versão 4.0 e em diversos idiomas (inglês, espanhol, português, etc.). Sua

distribuição é gratuita e o seu uso vem se tornando cada vez mais comum em vários países.

Possui muitas vantagens e uma delas é que é possível utilizar modelos matemáticos

desenvolvidos a partir de funções, derivadas, equações diferenciais, etc. Resumindo, podemos

escrever de forma direta, da mesma forma como aprendemos.

Diante da interface intuitiva, pode-se construir e explorar modelos matemáticos, bem

como fazer simulações por meio de animações, gráficos, tabelas e vídeos. Pode-se, também,

analisar e compreender dados experimentais visualmente e interativamente, por meio das

múltiplas representações oferecidas por ele, as quais são possíveis através de diversas janelas

disponibilizadas, conforme a necessidade do usuário.

O Modellus é dinâmico e interativo, contando ainda com o recurso da manipulação

direta. Na versão 4.0 o usuário conta com as janelas: Modelo, Variável Independente,

Parâmetros, Condições Iniciais, Tabela, Gráfico, Objetos e Notas.

Minicurso: Modellus - Uma ferramenta computacional para modelagem matemática

Tendo como público-alvo graduandos de Licenciatura em Matemática, este minicurso

tem o objetivo de apresentar o software Modellus e evidenciar as suas características, citadas

acima. Para isso, serão utilizadas algumas atividades, as quais estão descritas abaixo:

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Atividade 1: A seguir, apresenta-se uma questão da prova da 1ª Fase do Vestibular da Fuvest

de 2009:

(Questão 81) “Marta e Pedro combinaram encontrar-se em um certo ponto de uma auto-

estrada plana, para seguirem viagem juntos. Marta, ao passar pelo marco zero da estrada,

constatou que, mantendo uma velocidade média de 80 km/h, chegaria na hora certa ao ponto

de encontro combinado. No entanto, quando ela já estava no marco do quilômetro 10, ficou

sabendo que Pedro tinha se atrasado e, só então, estava passando pelo marco zero,

pretendendo continuar sua viagem a uma velocidade média de 100 km/h”. Mantendo essas

velocidades, seria previsível que os dois amigos se encontrassem próximos a um marco da

estrada com indicação de:

Com a leitura do enunciado da questão, pode-se obter as seguintes informações:

1 – Marta segue velocidade média de 80 Km/h;

2 – No marco 10, Marta percebeu Pedro no marco zero, estes marcos são suas posições

iniciais: para Marta, 10Km, e, para Pedro, 0Km;

3 – Pedro segue com velocidade média de 100 Km/h.

Tanto Pedro como Marta estão percorrendo a estrada com velocidades constantes, ou

seja, trata-se de Movimento Uniforme. Denota-se as variáveis e constantes por:

Sm: posição final de Marta Sp: posição final de Pedro

Sm0: posição inicial de Marta Sp0: posição inicial de Pedro

Vm: velocidade de Marta Vp: velocidade de Pedro

t: tempo

Neste caso, teremos as seguintes equações, representando os movimentos de Marta e

Pedro:

Marta: Sm = Sm0 + Vm * t

Pedro: Sp = Sp0 + Vp * t

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Ao abrir o software Modellus, encontra-se a seguinte interface, com as janelas Modelo

Matemático, Gráfico e Tabela abertas:

No item chamado Modelo Matemático, deve-se escrever as expressões que representam

os movimentos de Pedro e Marta. Este é um passo fácil de ser realizado. Lembre-se de que

deve-se escrever e justificar os valores de todas as variáveis envolvidas, e também que as

operações básicas da matemática (soma, subtração, multiplicação e divisão) são representadas

com os seguintes símbolos, respectivamente, (+, -, * e / ). O modelo matemático ficará do

seguinte modo:

Figura 1: Interface gráfica do software Modellus

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Figura 2: Janela Modelo Matemático

Na aba Gráfico, coloque para aparecer no eixo vertical as variáveis Sm e Sp que são,

respectivamente, os espaços percorridos por Marta e Pedro. Deixe a escala automática e

aumente a espessura da curva, também.

Figura 3: Aba Gráfico

Na aba Tabela, coloque t, Sm e Sp para aparecerem nos itens da tabela. Assim poderá

verificar e comparar o gráfico com sua tabela e vice-versa.

Figura 4: Aba Tabela

Na aba Variável Independente, coloque 1.0 como valor máximo para o tempo. O passo

(∆t) é o quanto irá variar o tempo a cada ponto do gráfico. Neste caso, deixe-o em 0.01.

Figura 5: Aba Variável Independente

Para finalizar, pode-se ilustrar a situação para observar o momento em que Pedro e

Marta se cruzam e assim determinar o resultado do problema. Na aba Objetos, clique em

Partícula e, após, clique em uma área vazia do software.

Na aba que abrirá, chamada Animação, a coordenada que a figura representará será o

espaço percorrido por Marta (Sm). Altere sua escala para 7, conseguindo-se, assim, uma

visualização melhor. Repita o procedimento para uma nova partícula que representará o

espaço percorrido por Pedro (Sp):

Figura 6: Aba Animação

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Para apreciar a modelagem, basta clicar no botão Play:

Figura 7: Visualização final da atividade 1

Percebe-se que Marta e Pedro se encontram exatamente no marco de 50 km da estrada.

Com isso encontrou-se uma forma certamente inusitada e empolgante de se resolver

problemas de física, lembrando que não basta encontrar a resposta somente, sendo necessário,

também, criar o modelo matemático abordado nas aulas de física. Esta simulação serve para

aprofundar os conhecimentos e favorecer a aprendizagem.

Atividade 2: A seguir, apresenta-se uma questão da prova da 1ª Fase do Vestibular da

Universidade Federal do Paraná de 2010:

“Em uma prova internacional de ciclismo, dois dos ciclistas, um francês e, separado por

uma distância de 15 m à sua frente, um inglês, se movimentam com velocidades iguais e

constantes de módulo 22 m/s. Considere agora que o representante brasileiro na prova, ao

ultrapassar o ciclista francês, possui uma velocidade constante de módulo 24 m/s e inicia uma

aceleração constante de módulo 0,4 m/s², com o objetivo de ultrapassar o ciclista inglês e

ganhar a prova. No instante em que ele ultrapassa o ciclista francês, faltam ainda 200 m para a

linha de chegada. Com base nesses dados e admitindo que o ciclista inglês, ao ser

ultrapassado pelo brasileiro, mantenha constantes as características do seu movimento,

assinale a alternativa correta para o tempo gasto pelo ciclista brasileiro para ultrapassar o

ciclista inglês e ganhar a corrida.

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a) 1 s. b) 2 s. c) 3 s. d) 4 s. e) 5 s.”

Com o auxílio do software Modellus, encontre a solução correta desta questão.

Atividade 3: Construção de um quadrado e relações entre a medida do lado, o perímetro

e área desta figura geométrica.

Inicialmente, necessita-se criar a variável da medida do lado do quadrado. Para isso, na

janela Modelo Matemático, deve-se definir L2 = -L.

Figura 8: Janela Modelo Matemático

Após feito isso, cria-se um indicador de nível. Para isso, basta selecionar “Indicador de

Nível” na aba “Objeto” e clicar em um lugar vazio da tela do Modellus. Aparecerá uma nova

janela, Animação, na qual deve-se selecionar L como variável e estipular 200 como seu valor

máximo.

Figura 9: Aba Animação do objeto Indicador de Nível

Criado o Indicador de Nível, necessita-se construir o quadrado: selecione a ferramenta

“Figura Geométrica” da aba “Objetos” e clique em uma área vazia da tela do Modellus. Na

aba Animação, há necessidade de preencher a coordenada horizontal com a variável L e a

vertical com o valor 0. Para que a coordenada vertical fique fixa, basta clicar no cadeado para

fechá-lo. Esse procedimento construirá o primeiro lado do quadrado.

Figura 10: Aba Animação do objeto Objeto Geométrico

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Para os demais lados, faz-se procedimento análogo. Porém, há necessidade de ligar cada

novo lado ao lado criado anteriormente. Para isso, basta clicar na opção “Ligar o objeto a” e

escolher o lado que foi criado por último. Dessa forma, obtemos:

Figura 11: Visualização parcial da atividade 3

Pode-se aproveitar essa atividade para saber outras informações do quadrado, como

perímetro e área. Basta acrescentar variáveis ao Modelo Matemático estudado:

Figura 12: Janela Modelo Matemático

Para apresentar, dinamicamente, os valores do perímetro e da área, basta utilizar a

ferramenta “Variável”, da aba “Objetos” e definir “Per” e “Area”, respectivamente, como

variáveis.

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Figura 13: Aba Animação

Além disso, pode-se criar gráficos, relacionando a medida do lado com o valor do

perímetro e o valor da área do quadrado. Para isso, basta utilizar a ferramenta “Caneta”, da

aba “Objetos” e definir as variáveis horizontal e vertical, na aba “Animação”. Como resultado

final, tem-se:

Figura 14: Visualização final da atividade 3

Referências Bibliográficas

BORBA, M. C. Tecnologias Informáticas na Educação Matemática e a reorganização do Pensamento. In: BICUDO, M. A. V. (Org) Pesquisa em Educação Matemática: Concepções & Perspectivas. Rio Claro. Editora Unesp, p. 285-295, 1999. DIAS, M. R. Uma experiência com Modelagem Matemática na formação continuada de professores. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e Educação Matemática). Universidade Estadual de Londrina – UEL, 2005. MALHEIROS, A. P. S. A produção dos alunos em um ambiente de Modelagem. (Dissertação Mestrado em Educação Matemática). Universidade Estadual Paulista – UNESP, 2004. SANTOS F. V. S.; ALMEIDA, L. M. W. O software Modellus em situações de Modelagem Matemática: uma reflexão sobre as possibilidades de um software educativo. In: II Encontro Paranaense de Informática Educacional. Anais eletrônicos do II ENINED. Foz do Iguaçu. Paraná. 2006. SANTOS, F. V.; SILVA, K. A. P.; ALMEIDA, L. M. W. O uso do computador no ensino de funções no ensino médio. Anais eletrônicos do IX Encontro Nacional de Educação Matemática. Belo Horizonte. Minas Gerais. 2007. TEODORO, V.D. (2009). “Modellus: uma ferramenta computacional para criar e explorar modelos matemáticos”. Disponível na internet via http://modellus.fct.unl.pt/file.php?file=/1/papers/Modellus%20Informat.PDF. Acesso em dezembro de 2009.

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