MÉTODOS
QUANTITATIVOS
1a Edição - 2009
SOMESBSOCIEDADE MANTENEDORA DE EDUCAÇÃO SUPERIOR DA BAHIA S/C LTDA.
GERVÁSIO MENESES OLIVEIRAPRESIDENTE
SAMUEL SOARESSUPERINTENDENTE ADMINISTRATIVO E FINANCEIRO
GERMANO TABACOFSUPERINTENDENTE DE ENSINO, PESQUISA E EXTENSÃO
PEDRO DALTRO GUSMÃO DA SILVASUPERINTENDENTE DE DESENVOLVIMENTO E PLANEJAMENTO ACADÊMICO
FTC EADFACULDADE DE TECNOLOGIA E CIÊNCIAS – ENSINO A DISTÂNCIA
REINALDO DE OLIVEIRA BORBADIRETOR GERAL
MARCELO NERYDIRETOR ACADÊMICO
JEAN CARLO NERONEDIRETOR DE TECNOLOGIA
ANDRÉ PORTNOIDIRETOR ADMINISTRATIVO E FINANCEIRO
RONALDO COSTAGERENTE ACADÊMICO
JANE FREIREGERENTE DE ENSINO
LUÍS CARLOS NOGUEIRA ABBEHUSENGERENTE DE SUPORTE TECNOLÓGICO
ROMULO AUGUSTO MERHYCOORD. DE SOFTWARES E SISTEMAS
OSMANE CHAVESCOORD. DE TELECOMUNICAÇÕES E HARDWARE
JOÃO JACOMELCOORD. DE PRODUÇÃO DE MATERIAL DIDÁTICO
MATERIAL DIDÁTICO
PRODUÇÃO ACADÊMICA PRODUÇÃO TÉCNICA
JANE FREIRE JOÃO JACOMELGERENTE DE ENSINO COORDENAÇÃO
ANA PAULA AMORIM MÁRCIO MAGNO RIBEIRO DE MELOSUPERVISÃO REVISÃO DE TEXTO
CAROLINE FERNANDES PASTANA PAULO HENRIQUE RIBEIRO DO NASCIMENTOCOORDENADOR DE CURSO REVISÃO DE CONTEÚDO
ADRIANO PEDREIRA CATTAIJONES GARCIA DA MATA PAULO HENRIQUE RIBEIRO DO NASCIMENTO
AUTOR(A) EDIÇÃO EM LATEX 2ε
EQUIPEANDRÉ PIMENTA, ANTONIO FRANÇA FILHO, AMANDA RODRIGUES, BRUNO BENN DE LEMOS, CEFAS GOMES, CLÁUDER
FREDERICO FILHO, FRANCISCO FRANÇA JÚNIOR, HERMÍNIO FILHO, ISRAEL DANTAS, JOHN CASAIS, MÁRCIO SERAFIM,MARIUCHA SILVEIRA PONTE E
Copyright c© 2008 FTC EAD
Todos os direitos reservados e protegidos pela lei 9.610 de 19/02/98.
É proibida a reprodução total ou parcial, por quaisquer meios, sem autorização prévia, por escrito, da
FTC EAD - Faculdade de Tecnologia e Ciências - Ensino a distância.
www.ead.ftc.br
Sumário
Bloco 1: Estatística Descritiva 9
Tema 1: Tabulação de Dados, Medidas de Tendência Central e Me didas de Disper-são 9
Conteúdo 1: Distribuição de Frequências 9
1.1 Introdução à Estatística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.1 Conceitos Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Séries Estatísticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Tabulação de Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.1 Rol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Distribuição de Frequências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.1 Componentes de uma distribuição de frequências em classes . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.2 Agrupamento em Classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.3 Construção das classes de frequência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Conteúdo 2: Representação Gráfica, Histograma 16
1.4.4 Histograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.5 Ogivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.6 Gráfico de barras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.7 Gráficos de colunas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.8 Gráficos de setores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.9 Diagrama de Dispersão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.10 Gráficos Pictóricos ou Pictogramas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.11 Falhas na elaboração de gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.12 Gráfico sucata (chart junk) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.13 Ausência de base relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4.14 Eixo vertical comprido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4.15 Ausência do Ponto Zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Conteúdo 3: Medidas de Tendência Central 21
1.5 Médias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5.1 Média Aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5.2 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5.3 Cálculo da Média Aritmética para Dados Repetidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5.4 Vantagens da Média Aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5.5 Desvantagens da média aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5.6 Cálculo da Média Aritmética de Dados Agrupados em Classes de Frequência . . . . . . 24
1.5.7 Média Geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.5.8 Média harmônica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6 Mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6.1 Calculo da mediana para dados repetidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.6.2 Vantagens da Mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.6.3 Desvantagem da Mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.6.4 Mediana para dados agrupados em classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Métodos Quantitativos 3
1.7 Moda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.7.1 Vantagens da moda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.7.2 Desvantagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Conteúdo 4: Medidas de Dispersão 29
1.8 Amplitude total (h) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.9 Desvio médio (DM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.10 Variância (σ2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.11 Desvio Padrão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.12 Desvio padrão e variância populacional e amostral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.13 Coeficiente de dispersão relativa (dispersão relativa) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.14 Medidas de Ordenamento e Posição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.14.1 Quartis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.14.2 Decis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.14.3 Percentis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.15 Atividade Complementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Tema 2: Probabiidade 34
Conteúdo 1: Equivalência de Capitais 34
2.1 Conteúdo 1: Conceito e Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2 Combinação de Eventos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.1 União de dois ou mais eventos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.2 Interseção de dois ou mais eventos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.3 Complementar de um evento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3 Frequência relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3.1 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.4 Definição de Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.4.1 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Conteúdo 2: Probabilidade Condicional 38
Conteúdo 3: Teorema da Multiplicação e Teorema da Probabili dade Total 40
2.4.2 Teorema da Multiplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.4.3 Teorema da Probabilidade Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Conteúdo 4: Eventos Independentes, Arranjos e Combinação 42
2.5 Independência de Dois Eventos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.6 Métodos de Enumeração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.6.1 Regra da Multiplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.6.2 Permutações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.6.3 Arranjos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.6.4 Combinações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.7 Atividade Complementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Bloco 2: Inferência Estatística 48
Tema 3: Distribuições de Probabilidade 48
Conteúdo 1: Variável Aleatória 48
FTC EAD |4
3.1 Função de Probabilidade e Esperança de uma Variável Aleatória . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Conteúdo 2: Distribuição Normal 50
3.2 Distribuição Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2.1 Média (Valor esperado) e variância da distribuição binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Conteúdo 3: Distribuição de Poisson 52
3.2.2 Propriedades da Distribuição de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Conteúdo 4: Normal 54
3.3 Atividade Complementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Tema 4: Estimativa, Regressão e Correlação 57
Conteúdo 1: Conceitos de Amostragem, Estimativa de Médias P opulacionais 58
4.1 Conceitos de Amostragem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.2 Por Que Amostragem? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.3 Quando o Uso de Amostragem Não é Interessante? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.4 Tipos de Amostragem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.4.1 Amostragem Probabilística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.4.2 Amostragem por Quotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.4.3 Amostragem Aleatória Simples (AAS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.4.4 Amostragem Sistemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.4.5 Amostragem Aleatória Estratificada (AAE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.4.6 O Processo de Amostragem Estratificada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.4.7 Amostra Aleatória Simples × Amostra Aleatória Estratificada . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.4.8 Amostragem Aleatória por Conglomerados (AAC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.5 Inferências Estatísticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.6 Formas de estimativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Conteúdo 2: Estimativas de Proporções Populacionais 68
4.6.1 Erro de estimação da proporção populacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.6.2 Determinação do tamanho da amostra em populações finitas . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Conteúdo 3: Regressão Linear 70
4.7 Equação de Regressão Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.8 Decisão por um tipo de relação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.9 Determinação da equação de regressão linear (método dos mínimos quadrados) . . . . . . . 71
Conteúdo 4: Correlação Linear 73
4.10 Correlação Linear (o coeficiente ρ de Pearson) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.11 Atividade Complementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Referências Bibliográficas 76
Métodos Quantitativos 5
Prezado(a),
Bem vindo! Neste material dialogaremos sobre a disciplina Métodos Quantitativos. Ele foi concebido
e escrito com o objetivo de tratarmos da melhor maneira possível sobre o significado da Estatística, seus
objetivos, utilidades e funções. No primeiro bloco deste material trabalharemos a estatística descritiva
enfatizando o tratamento das informações através dos dados e no segundo bloco versaremos sobre a
estatística de inferência, buscando mostrar a utilidade das distribuições de probabilidade e das estimativas
na rotina dos administradores de empresas, pesquisadores e da sociedade.
Portanto, longe de tornar este material uma coletânea de conteúdos organizados de uma maneira
que somente os técnicos possam interpretá-los, muito menos fazer da Estatística a único caminho para
se chegar à verdade científica, nem que deva ser desacreditado pela existência de incertezas quanto a
algumas de suas teorias e utilizações, buscou-se uma linguagem simples e objetiva que possa lhe levar
a compreensão dessa maravilhosa ferramenta científica.
Desejamos aqui oferecer aos estudantes de administração uma ferramenta poderosa para a tomada de
decisões, afinal de conta os números não mentem, e se vocês souberem interpretá-los, estarão sempre
um passo a frente, dos demais que se bloquearam para esse conhecimento.
Estudem com calma, pois para compreendermos as disciplinas quantitativas devemos buscar sempre
entender o processo, nunca decorar, desta forma, vocês aprenderão e sentirão, cada vez mais, prazer em
estudar o assunto.
Reflexos da “saúde financeira” que o País atravessa nos revelam que profissionais renomados, que
exercem suas profissões no âmbito financeiro, possuem um conhecimento específico nos conteúdos ref-
erentes aos temas abordados na Matemática Financeira. Isto significa, dentre outras coisas, que apenas
os profissionais da área de finanças, com uma boa formação acadêmica e com um conhecimento especí-
fico em conteúdos financeiros estão credenciados ao “sucesso profissional”.
Prof. Jones Garcia da Mata
APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINA
Métodos Quantitativos 7
BLOCO 01Estatística Descritiva
TEMA 01
Tabulação de Dados, Medidas de
Tendência Central e Medidas de
Dispersão
Conteúdo 1: Distribuição de Frequências
1.1 Introdução à Estatística
A estatística é uma ciência que envolve um corpo de técnicas e uma metodologia desenvolvida para a
coleta, a tabulação, a classificação e simplificação de dados, para tornar esses dados melhor apresentáveis,
para análise e a interpretação dos mesmos para a tomada de decisões.
1.1.1 Conceitos Importantes
População: É um conjunto de elementos com características iguais ou parecidas, agrupadas em conjuntos
denominados como população ou universo.
Amostra: É um subconjunto retirado da população com o objetivo de ser analisado, obtendo assim infor-
mações dessa amostra, para poder ser generalizado para a população.
Dados experimentais: São dados obtidos de amostras de uma população composta de variáveis.
Censo: É a análise de todos os elementos de uma população.
Observação: Se a população é pequena, muitas vezes é mais indicado um censo do que uma retirada
de uma amostra. Na grande maioria das vezes, quando vamos aplicar a estatística na prática, trabalhamos
com populações com um grande número de elementos, portanto se torna inviável o estudo de cada elemento
da população, pois seria trabalhoso e teríamos um custo alto e em certos casos o estudo de cada elemento
da população também é impossível, que seria o caso de determinarmos a média de quilometragem que um
determinado pneu é capaz de rodar, pois se testarmos todos os pneus, estaríamos destruindo todos os pneus,
portanto trabalhamos tomando uma amostra da população.
Podemos dizer que a estatística se divide em três ramos.
1. Estatística Descritiva: Trata da coleta, classificação, organização, tabulação, do resumo e, em geral, da
simplificação de informações que podem ser muito complexas, fazendo uso de parâmetros estatísticos
que resumem o comportamento dos dados.
Exemplo: Taxa de desemprego, custo de vida, quilometragem média por litro de combustível, médias das
idades de um grupo de pessoas, etc.
2. Estatística Probabilística: Utilizada em situações que envolvem o acaso.
Exemplo: Jogos de dados, jogos de cartas, jogos esportivos, loterias, etc.
Métodos Quantitativos 9
3. Estatística Inferencial: Consiste da aplicação de um corpo de técnicas e metodologias para mensurar os
resultados obtidos de uma amostra para toda população.
Exemplo: Pesquisa de intenção de votos para presidente de um país.
1.2 Séries Estatísticas
Para se compreender melhor a definição de uma série estatística, é necessário ter uma visão do significado
de uma tabela.
A tabela é a reunião dos dados estatísticos em que as variáveis são dispostas de tal maneira que se possa
interpretar o seu significado. A variável a ser observada está listada na coluna indicadora da tabela (primeira
coluna, no sentido da esquerda para direita da tabela).
A série estatística é a representação dos dados estatísticos, em função de alguns fatores contidos em uma
tabela, que podem ser o tempo, o espaço e a espécie.
Observação: Dentre todas as séries, a mais importante é a série temporal, pois o estudo dessa série
possibilita fazer estimativas futuras, utilizando os dados do passado.
As séries estatísticas são classificadas da seguinte forma:
• Séries geográficas, territoriais ou de localização: representam os dados em função da localidade
Exemplo: Exportação segundo os países de destino - janeiro de 2007.
Países de aquisição Valor (US$ 1.000 FOB)
Estados Unidos 1.734.081
Argentina 822.584
China 558.075
Fonte: Ministério da Fazenda
Nota: Foram expostos os três países que fizeram mais aquisições.
• Séries históricas, cronológicas, temporal ou marcha: representam os dados em função do tempo.
Exemplo: Dados gerais de exportações no Brasil, no primeiro semestre de 2007.
Meses Valor (em US$ milhões FOB)
Janeiro 10.963
Fevereiro 10.106
Março 12.859
Abril 12.493
Maio 13.616
Junho 13.192
Fonte: Ministério da Fazenda
Nota: FOB - Frete por contado remetente.
• Séries específicas ou categóricas: representam os dados em função da especificação ou categoria.
Exportações dos produtos agrícolas - janeiro a junho de 2006.
FTC EAD |10
Produtos agrícolas Quantidade (T )
Café 618.315
Soja em grão 12.477.684
Óleo de soja em bruto 701.583
Açúcar em bruto 4.868.574
Fonte: Ministério da Fazenda
• Séries conjugada ou tabela de dupla entrada: representam os dados em função de duas ou mais var-
iáveis.
Exemplo: Exportações dos produtos agrícolas - janeiro a junho de 2006 e 2007.
Produtos agrícolasQuantidade (T )
2006 2007
Café 618.315 723.674
Soja em grão 12.477.684 12.749.472
Óleo de soja em bruto 701.583 787.263
Açúcar em bruto 4.868.574 5.250.416
Fonte: Ministério da Fazenda
1.3 Tabulação de Dados
Nesta seção veremos técnicas empregadas pela estatística para simplificar e resumir dados em uma tabela,
facilitando, assim, a leitura e interpretação dos mesmos.
Uma tabela primitiva é uma coleção de dados sem nenhum tratamento de organização.
Exemplo: Suponha que desejamos estimar a média de idade dos estudantes do turno noturno do ensino
médio de uma determinada escola e para isso coletamos vinte e uma idades desses estudantes, conforme
dados abaixo.18 19 20 18 18 17 17
22 25 24 23 27 21 28
19 20 21 21 23 23 23
Os dados acima foram coletados e anotados sem nenhuma preocupação organizacional, dizemos então que
esta é uma tabela primitiva estando sem nenhum tratamento organizacional. Os dados estão desordenados
dificultando assim uma análise.
1.3.1 Rol
É um conjunto de dados numéricos ordenados em ordem crescente.
Exemplo: Colocando os dados da tabela primitiva acima no rol temos:
17 17 18 18 18 19 19
20 20 21 21 21 22 23
23 23 23 24 25 27 28
Observe que esta organização torna mais fácil a observação de algumas informações tais como o menor
valor, que é 17, o maior, que é 28, quantos dados com o valor 18 temos, que são três, etc.
Métodos Quantitativos 11
1.4 Distribuição de Frequências
Podemos melhorar a visualização dos dados, dispondo-os de forma que apareça o número de vezes em
que se repetem cada valor na tabela. A esta organização nós chamamos de distribuição de frequência. Por
exemplo:
Idade Frequência
17 2
18 3
19 1
20 1
22 1
24 1
25 1
Na representação em distribuição de frequência é importante colocar as frequências acumuladas absolutas
e a as frequências relativas e relativas acumuladas, pois essas informações, na distribuição, facilitará a análise
dos dados. Vejamos, então, a distribuição acima com essas informações.
Idade Frequência Frequência% Frequência Acumulada Frequência Acumulada%
17 2 9, 52 2 9, 52
18 3 14, 29 5 23, 81
19 2 9, 52 7 33, 33
20 2 9, 52 9 42, 85
21 3 14, 29 12 57, 14
22 1 4, 76 13 61, 90
23 4 19, 05 17 80, 96
24 1 4, 76 18 85, 72
25 1 4, 76 19 90, 48
27 1 4, 76 20 95, 24
28 1 4, 76 21 100
Total 21 100
Porém, se o rol é muito grande, torna-se inviável este tipo de disposição dos dados. Então usamos intervalos
e chamamos este tipo de disposição, de distribuição de frequência com intervalos de classe. Por exemplo:
Idade Frequência
17 ⊢ 18 2
18 ⊢ 19 3
19 ⊢ 22 2
22 ⊢ 24 2
24 ⊢ 25 1X10
1.4.1 Componentes de uma distribuição de frequências em classes
• Classe: É o intervalo entre as variáveis estudadas, é denotada pela letra i . O número de classes é
denotada pela letra K . No exemplo acima temos cinco classes (k = 5). O intervalo 22 ⊢ 24 está na quarta
FTC EAD |12
classes (i = 4).
Para sabermos quantas classes existem em um rol com n observações, podemos aplicar várias regras.
Uma, que é muito utilizada, é a regra de Sturges:
– Se n < 25, então k = 5.
– Se n ≥ 25, então k ≈ 1 + 3, 22 log(n)
Outra regra, bastante aplicada, é a regra da raiz quadrada:
– Se n < 25, então k = 5.
– Se n ≥ 25, então k ≈ √n
No exemplo anterior n = 10 < 25. Logo, k = 5.
• Limites de uma classe
São os extremos de cada classe. O menor valor é o limite inferior (li) e o maior, o limite superior (Li ). No
exemplo anterior temos os limite inferior de quarta classe l4 = 22 e, o superior, L4 = 24.
• Amplitude de intervalos de classe
É a variação do intervalo, e denotamos por hi .
hi = Li − li .
No exemplo anterior, temos que a amplitude da quarta classes é h4 = L4 − l4 = 24 − 22 = 2.
• Amplitude total
É a variação do limite mínimo ao limite máximo do rol. Denotamos por AT = Lmax − Lmin.
No exemplo anterior, temos que a amplitude total é AT = 25 − 17 = 8 anos.
• Ponto médio de uma classe
É o valor médio da classe. Denotamos por xi =li + Li
2. No exemplo anterior, temos que o ponto médio
da quarta classe é x4 =l4 − L4
2=
22 + 24
2=
46
2= 23 anos.
• Frequência simples ou absoluta
É a quantidade de dados contidos em uma classe. Denotamos por fi . Por exemplo:
i Idade fi
1 17 ⊢ 18 2
2 18 ⊢ 19 3
3 19 ⊢ 22 2
4 22 ⊢ 24 2
6 24 ⊢ 25 1X10
Uma forma ainda melhor de apresentar os dados em uma tabela de frequência é informando as frequências
acumulativas e percentuais. Isto facilita a análise dos dados. Por exemplo, os dados abaixo são referentes às
Métodos Quantitativos 13
idades de 40 alunos de uma universidade.
i Idade(xi ) fi FACi Fr FACi%
1 17 2 2 5, 0% 5, 0%
2 18 3 5 7, 5% 12, 5%
3 20 2 7 5, 0% 17, 5%
4 21 1 8 2, 5% 20, 0%
5 22 5 13 12, 5% 32, 5%
6 23 10 23 25, 0% 57, 5%
7 24 12 35 30, 0% 87, 5%
8 25 3 38 7, 5% 95, 0%
9 26 2 40 5, 0% 100%X40 100%
f ri =fi · 100%X
fie FACi% =
FACi · 100%Xfi
,
em que
• fi - frequência absoluta simples
• FACi - frequência Acumulada Crescente
• f r - frequência relativa percentual
• FAC% - frequência Acumulada Crescente Percentual
1.4.2 Agrupamento em Classes
No caso de dados que apresentam grande dispersão, é viável o agrupamento em classes de frequência.
Por exemplo, suponha que os pesos de um grupo de estudantes seja dado pelo seguinte rol: 36, 40, 49, 49, 49,
50, 50, 51, 52, 52, 52, 52, 54, 59, 60, 60, 60, 60, 61, 61, 61, 61, 62, 62, 63, 64, 64, 65, 65, 65, 67, 68, 74, 77, 77, 81,
81, 83, 87, 90.
FTC EAD |14
Podemos arrumá-lo da seguinte forma:
xi fi fi% FACi FACi%
36 1 2, 5% 1 2, 5%
40 1 2, 5% 2 5, 0%
49 3 7, 5% 5 12, 5%
50 2 5, 0% 7 17, 5%
51 1 2, 5% 8 20, 0%
52 4 10, 0% 12 30, 0%
54 1 2, 5% 13 32, 5%
59 1 2, 5% 14 35, 0%
60 4 10, 0% 18 45, 0%
61 4 10, 0% 22 55, 0%
62 2 5, 0% 24 60, 0%
63 1 2, 5% 25 62, 5%
64 2 5, 0% 27 67, 5%
65 3 7, 5% 30 75, 0%
67 1 2, 5% 31 77, 5%
68 1 2, 5% 32 80, 0%
74 1 2, 5% 33 82, 5%
77 2 5, 0% 35 87, 5%
81 2 5, 0% 37 92, 5%
83 1 2, 5% 38 95, 0%
87 1 2, 5% 39 97, 5%
90 1 2, 5% 40 100, %X40 100, 0%
Observe que esta tabela de frequências é grande e contém muitos dados dispersos, dificultando a análise
dos dados. Vamos, então, construir as classes de frequência.
1.4.3 Construção das classes de frequência
Para construir uma tabela com as frequências em classes devemos:
1. Determinar o número de classes.
2. Estimar o intervalo (amplitude).
3. Agrupar os dados nas classes.
Como no exemplo temos n = 40, então k ≈√
40 ≈ 6, 3 ou K ≈ 1 + 3, 22 log(n) ≈ 1 + 3, 22 log(40) ≈ 6, 2.
Tome k = 6.
Para determinarmos a amplitude de cada classe (h), tomamos a amplitude total dos dados (AT ) e dividimos
pelo número de classes (k).
h >AT
k=
Lmax − Lmin
k=
90 − 36
6=
54
6= 9
Métodos Quantitativos 15
Vamos agrupar, agora, os dados em classes de frequência.
Classes fi f ri% FACi FACi%
36 ⊢ 45 2 5, 0% 2 5, 0%
45 ⊢ 54 10 25, 0% 12 30, 0%
54 ⊢ 63 12 30, 0% 24 60, 0%
63 ⊢ 72 8 20, 0% 32 80, 0%
72 ⊢ 81 3 7, 5% 35 87, 0%
81 ⊢ 90 5 12, 5% 40 100, 0%X40 100, 0%
Verificamos que com os dados agrupados em classes de frequência, facilitamos a análise dos dados.
Conteúdo 2: Representação Gráfica, Histograma
1.4.4 Histograma
É um gráfico de colunas ou barras utilizado, geralmente, para distribuições de frequências que estão agru-
padas em classes ou não. Observe a tabela e o seu histograma ao lado.
Idade fi f r i% FACi FACi%
16 4 10% 4 10%
17 5 12, 5% 9 22, 5%
18 8 20, 0% 17 42, 5%
19 10 25, 0% 27 67, 5%
20 13 32, 5% 40 100, 0%X40 100, 0%
Idades16 17 18 19 20
O diagrama de Pareto consiste numa forma
especial de gráfico de colunas justapostas,
que dispõe os itens analisados desde o mais
frequente até o menos frequente. Tem como
objetivo estabelecer prioridades na tomada
de decisão, a partir de uma abordagem es-
tatística. Note que este gráfico elege como
prioridade identifica os itens que possuem
maior evidência.
Idades20 19 18 17 16
FTC EAD |16
1.4.5 Ogivas
Representam as frequências do histograma, podendo ser simples ou relativas, acumuladas ou não.
Idades16 17 18 19 20
1.4.6 Gráfico de barras
Apresenta as frequências sob a forma de barras horizontais. Neste tipo de gráfico as barras devem ser
ordenadas de maneira crescente ou decrescente. Por exemplo,
TIPO DE FRAUDE
NOS CARTÕES DE CRÉDITO
DA MASTERCARD INTERNACIONAL
NO BRASIL - 2000
Tipo de fraude Quantidade
Cartão roubado 243
Cartão falsificado 85
Pedido por correio/telefone 52
Outros 46
Fonte : Triola, MarioF .Quantidade
Tipo de fraude nos cartões de crédito da
Mastercard Internacional do Brasil - 2000
Cartão Roubado
Cartão Falsificado
Pedido porcorreio/telefone
Outros
0 50 100 150 200 250 300
1.4.7 Gráficos de colunas
Apresenta as frequências na forma de colunas verticais. Por exemplo,
Métodos Quantitativos 17
NÚMERO DE CRIANÇAS DE BAIXA RENDA, SEGUNDO O BAIRRO
DE RESIDÊNCIA, QUE PARTICIPARAM DO ENSINO DE MÚSICA
NA ESCOLA XYZ, SALVADOR - 1998
Bairro Número de crianças
Paripe 11
Periperi 39
Plataforma 45
Praia Grande 25
Total 120
Tabela 1.1: Fonte: Escola de Música XYZ, Salvador.
Número de crianças de baixa renda, segundo o bairro
de residência, que participaram do ensino de música
na escola XYZ, Salvador - 1998
Paripe Periperi Plataforma Praia
Grande
0
10
20
30
40
50
1.4.8 Gráficos de setores
Representa frequências relativas ou simples na forma de setores de círculos. O seu uso deve ser empregado
sempre que se quiser comparar as partes e o todo. Por exemplo,
ER 1. Série Geográfica
Percentual de funcionários dos coletivosde Salvador segundo área de residência
Área de residência Percentual
Centro 17, 2
Subúrbio 39, 1
Periferia 43, 7
Fonte: Dados Fictícios
17, 2%39, 1%
43, 7% Centro Subúrbio Periferia
1.4.9 Diagrama de Dispersão
Mostra a relação gráfica entre duas variáveis numéricas. Por exemplo,
FTC EAD |18
Vendas Custos
54, 00 38, 00
60, 00 37, 50
50, 00 35, 00
58, 00 40, 00
Vendas
Custo
5450 60
35
40
45
1.4.10 Gráficos Pictóricos ou Pictogramas
São construídos a partir de figuras e conjuntos de figuras representativas da intensidade do fenômeno, os
pictogramas são muito utilizados em jornais e revistas. Cada unidade desenhada deve representar grandes
volumes de unidades produzidas. Uma parte da figura representará uma fração do volume produzido.
Região
Nordeste
Norte
Sul
Vendas10 20 30
1.4.11 Falhas na elaboração de gráficos
1.4.12 Gráfico sucata (chart junk)
Muita figura e pouca informação. Por exemplo, valor da cesta básica brasileira de 1994 a 1998.
1994 : R$100, 00 1996 : R$120, 00 1998 : R$150, 00
Temos, acima, uma apresentação pouco recomendada para dos dados, podendo mascarar a informação,
vindo a dificultar a interpretação dos dados.
Uma boa apresentação seria da seguinte forma:
Métodos Quantitativos 19
Ano
R$
1994 1996 1998
150
120
100
1.4.13 Ausência de base relativa
Os gráficos podem ocultar a verdadeira informação a depender da base empregada ou sugerida na análise.
Por exemplo, o gráfico abaixo representa a reprovação de três turmas T1, T2 e T3 em Matemática.
Turmas
Reprovação
T1 T2 T3
10
12
14
Vemos que a turma T3 teve um número maior de reprovação, porém considerando que a turma T3, tem 70
alunos, que T2 tem 60 alunos, e que T1 tem 50 alunos, vemos que o índice de reprovação são todos iguais a
20%. Logo, a representação correta seria a seguinte:
Turmas
Reprovação %
T1 T2 T3
20%
1.4.14 Eixo vertical comprido
As escalas usadas devem ser proporcionais as grandezas apresentadas. Por exemplo, valor do salário
mínimo nos anos de 1994, 1996 e 1998.
FTC EAD |20
Anos
R$
1994 1996 1998
500
Má representaçãoAnos
R$
1994 1996 1998
100
150
Boa representação
1.4.15 Ausência do Ponto Zero
A ausência do zero em um gráfico pode disfarçar eventuais variações, aumentando a variação demasiada-
mente.
Ano
R$
1994 1996 1998
100
120
150
Má representação
Ano
R$
1994 1996 1998
100
120
150Boa representação
Conteúdo 3: Medidas de Tendência Central
São medidas que resumem o comportamento central dos dados, podendo representar um conjunto de
dados.
1.5 Médias
1.5.1 Média Aritmética
É a divisão entre a soma dos valores dos dados e a quantidade de dados. Denotaremos:
• a média amostral por x
• a média populacional por µ.
ER 1. Calcule a média dos dados x1 = 10, x2 = 20, x3 = 5, x4 = 5.
Métodos Quantitativos 21
Solução: x =
nXi=1
xi
n=
x1 + x2 + x3 + x4
4=
10 + 20 + 5 + 5
4=
40
4= 10.
1.5.2 Propriedades
(a) A soma dos desvios dos dados em relação a média aritmética é zero.
Exemplo: Considere os dados seguintes:
xj x − xj = dj
2 5 − 2 = 3
3 5 − 3 = 2
5 5 − 5 = 0
7 5 − 7 = −2
8 5 − 8 = −3
x = 5X
di = 0
(b) A soma dos quadrados dos desvios em relação à média aritmética é mínimo zero.
Vamos pegar a soma dos quadrados dos desvios, em relação a quatro e a seis, que são números que
estão próximos da média, para verificarmos se este valor vai dar maior que a soma dos quadrados dos
desvios, em relação à media.
x − xj = di 4 − xj = d ′
j 6 − xj = d j
5 − 2 = 3 4 − 2 = 2 6 − 2 = 4
5 − 3 = 2 4 − 3 = 1 6 − 3 = 3
5 − 5 = 0 4 − 5 = −1 6 − 5 = 1
5 − 7 = −2 4 − 7 = −3 6 − 7 = −1
5 − 8 = −3 4 − 8 = −4 6 − 8 = −2Xd2
i = 26X
d ′
i
2= 31
Xd
2
j = 31
Logo, notamos que a soma dos quadrados dos desvios, em relação à média, é realmente mínimo.
Poderíamos tomar números mais próximos da média que sempre íamos obter um valor maior.
Se os valores da série tiverem pesos diferentes, nós chamamos a média aritmética de média ponderada.
Exemplo: Em uma avaliação de matemática, aplicada a 180 alunos, distribuídos em três turmas, T1, T2 e
T3, obtemos os seguintes dados:
Turma N de alunos (n) x i
T1 50 5
T2 60 6
T3 70 8
Queremos saber qual foi a média dos 180 alunos. Como a média da turma T1 é igual a, x1 =
XN1
n1,
em que x1 é a média da turma T1, N1 são as notas da turma T1 e n1 é o número de alunos da turma T1.
Desta forma, temos que a soma das notas da turma T1 éX
N1 = x1 · n1. Analogamente, obtemos que
FTC EAD |22
a soma das notas das turmas T2 e T3, sãoX
N2 = x2 · n2 eX
N3 = x3 · n3, respectivamente. Como a
média de todos os alunos é a soma de todas as notas dividido pelo total de alunos, temos que a média
das turmas é x =
XN1 +
XN2 +
XN3
=
x1 · n1 + x2 · n2 + x3 · n3
n1 + n2 + n3. Desta forma, temos que a média dos
180 alunos é x =5 · 50 + 6 · 60 + 8 · 70
50 + 60 + 70=
250 + 260 + 560
180=
1.170
180= 6, 5.
Exemplo: Considere uma série com n1 números, e sua média x1, outra série com n2 números e média
x2, e uma outra com n3 números e média x3. A média de todos os números ou média ponderada é
x =n1x1 + n2x2 + n3x3
n1 + n2 + n3.
Se tivermos n séries, então x =n1x1 + n2x2 + . . . + nnxn
n1 + n2 + . . . + nn
=
Xnix iXni
.
(c) Se adicionarmos ou subtrairmos uma constante a todos os valores da série, a média será adicionada ou
subtraída por esta mesma constante.
Exemplo:
xi y i = xi − 3 zi = xi + 3
2 −1 5
3 0 6
5 2 8
7 4 10
8 5 11
x = 5 y = 2 = x − 3 z = 8 = x + 3
(d) Considere a série, x1, x2, . . . , xn, com n dados e média x . Então a série x1 + k , x2 + k , . . . , xn + k terá média
x + k , em que k é uma constante.
(e) Se multiplicarmos ou dividirmos os dados de uma série por uma constante, a média será multiplicada ou
dividida por esta constante.
Exemplo:xi yi = 2xi zi = xi/2
2 −4 1
3 6 3/2
5 10 5/2
7 14 7/2
8 16 4
x = 5 y = 10 = 2x z = 5/2 = x/2
1.5.3 Cálculo da Média Aritmética para Dados Repetidos
Considere a distribuição:xi fi xi · fi3 5 15
4 2 8
2 3 6
8 4 32X14 61
Métodos Quantitativos 23
Portanto, x =
Xxi · fiX
fi=
61
14= 4, 36.
1.5.4 Vantagens da Média Aritmética
1. Fácil compreensão e fácil de calcular.
2. Usa todos os dados.
3. Evidência o valor de estabilidade da amostra.
1.5.5 Desvantagens da média aritmética
1. É preciso conhecer todos os dados da série.
2. Nem sempre é um valor inteiro. Exemplo: a média das idades sendo 23, 6 anos = 23 anos, 7 messes e 6
dias.
1.5.6 Cálculo da Média Aritmética de Dados Agrupados em Classes de Frequência
ER 2. Arrume a distribuição 2, 4, 6, 9, 9, 10, 10, 12, 13, 13, 14, 16, 17, 17, 22 em classes de frequêcias e, em
seguida, compare as médias da distribuição antes e após a arrumação.
Solução: Como temos n = 15 < 25, o número de classes de frequência é k = 5 e a amplitude de cada
classe é h = AT/K = (22 − 2)/5 = 20/5 = 4. O ponto médio de cada classe é dado por PMi = (Li + li )/2.
Assim, podemos estabelecer a seguinte tabela:
Classes fi PMi
2 ⊢ 6 2 4
6 ⊢ 10 3 8
10 ⊢ 14 5 12
14 ⊢ 18 4 16
18 ⊢ 22 1 20X15
A média da distribuição inicial é x =174
15= 11, 60 e a da tabela de distribuição em classes de frequências
é
x =
XfiPMiX
fi=
2 · 4 + 3 · 8 + 5 · 12 + 4 · 16 + 1 · 20
2 + 3 + 5 + 4 + 1=
176
15≈ 11, 73.
Podemos ver que a média calculada pela distribuição dos dados em classes de frequência é bem próxima
do valor real dos dados. Logo, se não tivéssemos o rol e apenas a distribuição em classes de frequência, nós
estimaríamos a média dos dados utilizando este cálculo para distribuição em classes de frequência.
FTC EAD |24
1.5.7 Média Geométrica
Considere o rol: 2, 3, 5 e 6. A média geométrica destes dados é g =√
42 · 3 · 5 · 6 =√
4180 ≈ 3, 7. Se temos
n dados x1, x2, . . . , xn, então a média geométrica destes dados é g =√
nx1 · x2 · xn.
Pode ser usada em situações que buscam analisar certo padrão de crescimento.
Exemplo: Considere o rol: 2, 4, 8, 16 e 32. Observe que se trata de uma progressão geométrica de razão 2.
A média geométrica deste rol é g = 5√
2 · 4 · 8 · 16 · 32 = 8. Note que a média geométrica nos deu justamente o
elemento que está no centro do rol, que é o 8.
Exemplo: O PIB do Brasil foi de U$4 bilhões em 1950 e de U$16 bilhões em 1990. Estime o PIB em 1970.
De 1950 a 1990 o PIB quadruplicou. De 1950 a 1970 temos 20 anos e de 1970 a 1990 temos, também, 20 anos.
Logo, vamos pegar a média geométrica de 4 e 16 para estimarmos o PIB de 1970. Logo, g =√
4 · 16 =√
64 = 8,
então podemos estimar que o PIB do Brasil em 1970 foi de U$8 bilhões.
1.5.8 Média harmônica
É utilizada para determinar a média de crescimento ou proporções de preços e velocidades, pois a utilização
da média aritmética nos daria um resultado incorreto.
Considere os n dados x1, x2, . . . , xn, a média harmônica destes dados é calculada da seguinte maneira:
xh =n
1
x1+
1
x2+ . . . +
1
xn
=nX 1
xi
Exemplo: Suponha que um motorista foi de Salvador para Feira de Santana à velocidade média de 80Km/h,
e voltou de Feira de Santana para Salvador pelo mesmo caminho à velocidade média de 100Km/h. Sabendo-se
que a distância entre as cidades é de 100Km. Qual foi a velocidade média de todo percurso?
O tempo que o motorista levou para ir de Salvador para Feira de Santana foi100km
80km/h= 1, 25h. O tempo
que ele levou para voltar foi100km
100km/h= 1h. Como o percurso completo tem 200Km, a velocidade média foi
de200km
1h + 1, 25h=
200km
2, 25h= 88, 89km/h. Se nós calculássemos a média das velocidades médias o resultado
estaria errado, pois80km/h + 100km/h
2= 90km/h. Notamos que, neste caso, temos a média harmônica das
velocidades médias, pois2
1
80Km/h+
1
100Km/h
=2
5 + 4
400Km/h
=800Km/h
9= 88, 89Km/h.
1.6 Mediana
É o valor que está no meio de um rol, dividindo a série em duas partes iguais, obtendo desta forma n
elementos com valores inferiores à mediana do lado esquerdo e n elementos com valores superiores à mediana
do lado direito. Quando o rol tem um número par de elementos, calculamos a mediana tomando a média dos
dois elementos centrais do rol. Notação Md .
ER 3. Doze candidatos fizeram uma prova seletiva para o preenchimento de seis vagas para administrador
em uma empresa. As notas foram as seguinte: 5, 0; 7, 0; 6, 5; 6, 0; 8, 0; 7, 0; 5, 5; 9, 0; 9, 5; 8, 5; 8, 0; 7, 6. Sabendo
Métodos Quantitativos 25
que a nota de corte é a mediana. Determine a mediana.
Solução: rol: 5, 0; 5, 5; 6, 0; 6, 5; 7, 0; 7, 0; 7, 6; 8, 0; 8, 0; 8, 5; 9, 0; 9, 5.
Os dois elementos centrais são 7, 0 e 7, 6. Logo, Md =7, 0 + 7, 6
2=
14, 6
2= 7, 3
1.6.1 Calculo da mediana para dados repetidos
ER 4. Dada a tabela de frequência abaixo, determine sua mediana.
xi 3 6 8 9 10
fi 5 3 4 2 3
Solução: A mediana é o nono dado, pois ele está no meio da série, logo Md = x9 = 8.
Para determinarmos facilmente a ordem do dado central de uma série de número ímpar, nós somamos
o total de dados da série mais um e dividimos por dois. No exemplo anterior tínhamos um total de 17 dados.
Então, (17 + 1)/2 = 18/2 = 9 e, portanto, a ordem do dado central da série anterior é o x9, que é justamente
a mediana.
ER 5. Dada a tabela de frequência abaixo determine sua mediana.
xi 2 4 5 7 8
fi 5 3 2 4 2
Solução: Como temos um número par de dados, tomamos a mediana sendo a média dos dados centrais,
que neste caso são x8 = 4 e x9 = 5, logo Md = (4 + 5)/2 = 9/2 = 4, 5. Para determinarmos os dados centrais
de uma série como número de dados par, nós dividimos o total de dados por dois, para acharmos o primeiro
dado central, o outro dado central é o seguinte. No exemplo acima fizemos 16/2 = 8, então x8 é o primeiro
dado central e x9 é o segundo dado central, logo Md = (x8 + x9)/2.
1.6.2 Vantagens da Mediana
1. Mesmo que alguns valores da série sejam modificados, a mediana pode manter-se inalterada.
2. Os valores extremos da série não interferem no resultado da mediana.
3. Mesmo que os extremos da série não estejam definido, podemos determinar a mediana.
Exemplo:
Salário mínimo Frequência (milhões)
Até 1 45, 0
1 ⊢ 3 75, 0
3 ⊢ 5 30, 0
acima de 5 20, 0X170, 0
FTC EAD |26
Como temos um número par de dados, 170, então os dados centrais são x85 e x86. Como os dados centrais
da série estão na faixa de 1 a 3 salários mínimos, temos também que a mediana está nesta faixa.
1.6.3 Desvantagem da Mediana
Se determinarmos a mediana de séries separadas, não temos uma relação para determinar a mediana das
séries unidas.
Exemplo: Considere as seguintes séries: S1 : 3, 4, 6, 7, 8 e S2 : 2, 3, 4, 5, 8, 9. A mediana da série S1 é Md1 = 6
e a mediana da série S2 é Md2 = (4 + 5)/2 = 9/2 = 4, 5. Não temos uma relação entre as medianas que nos
permita calcular a mediana da união das séries. Portanto, temos que construir o rol da união das séries. Assim,
S1 ∪ S2 : 2, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 8, 9 e Md12 = 5.
1.6.4 Mediana para dados agrupados em classes
Considere a tabela seguinte:
Classes Fi% FAci%
5 ⊢ 9 20% 20%
9 ⊢ 13 25% 45%
13 ⊢ 17 30% 75%
17 ⊢ 21 15% 90%
21 ⊢ 25 10% 100%X100%
A mediana se encontra na terceira classe, dados entre 13 e 17, pois a frequência acumulada de 50% está
nesta classe, isto é, os dados centrais da série estão nesta classe.
Para determinarmos a mediana utilizamos a formula seguinte:
Md = l + h(EMd − Fant)
fMd
,
em que
l : É o limite inferior da classe da mediana.
h: é a amplitude da classe de mediana.
EMd : É a frequência total dividida por dois.
Fant : É a frequência acumulada da classe anterior à classe da mediana.
fMd : É a frequência da classe da mediana.
Logo, temos que l = 13, h = 4, EMd = 50, Fant = 45 e fMd = 30. Desta forma, temos que Md = 13 + 4 ·(50 − 45)
30= 13, 67. Note que, neste caso, usamos os valores em porcentagem para EMd , Fant e fMd , porém, se
tivéssemos os valores numéricos, poderíamos usá-los e o resultado obtido seria o mesmo, tendo o cuidado de
não misturar dados numéricos com dados em porcentagem.
Métodos Quantitativos 27
ER 6. Calcular a mediana dos dados apresentados na tabela abaixo:
Classes F i F i% FAci Faci%
2, 0 ⊢ 4, 4 3 30 3 30
4, 4 ⊢ 6, 8 1 10 4 40
6, 8 ⊢ 9, 2 2 20 6 60
9, 2 ⊢ 11, 6 2 20 8 80
11, 6 ⊢ 14, 0 2 20 10 100X10 1004
Solução: Temos, neste caso, que os dados centrais então na terceira classe, que vai de 6, 8 e 9, 2. Os
dados centrais são o x5 e x6, pois temos dez dados. Neste caso, temos que, l = 6, 8, h = 2, 4, EMd = 50,
Fant = 40 e fMd = 20. Logo, Md = 6, 8 + 2, 4 · (50 − 40)
20= 8. Se usarmos os dados numéricos ao invés de
porcentagens temos que, E + Md = 5, Fant = 4 e fMd = 2. Desta forma, Md = 6, 8 + 2, 4 · (5 − 4)
2= 8. A
mesma resposta.
EP 1.1. Calcule a média dos dados apresentados acima.
1.7 Moda
É o valor da série que ocorre com maior frequência, podendo não existir e neste caso a série é dita amodal.
No caso em que a moda em uma série não for única, dizemos que a série é multimodal.
A moda é a única medida de tendência central que se aplica em dados quantitativos e qualitativos.
Exemplo (quantitativo): O número de infrações de trânsito observadas em três semáforos A, B e C de uma
cidade, a cada hora, durante 8 horas de observação foram os seguintes:
A: 10, 12, 14, 14, 16, 8, 9, 5
B: 15, 20, 20, 12, 13, 15, 10, 2
C : 5, 6, 4, 2, 3, 1, 7, 8
Moda de A = 14; Moda de B = 20 e 15; Moda de C não existe.
Exemplo (qualitativo): Foi feita uma pesquisa com 8 pessoas, que assistiram três filmes, A, B e C , onde elas
tinham que classificar como P (péssimo), R (regular), B (bom) ou O (ótimo) e obtemos os seguintes resultados:
Filme A: B, B, R , R , O, O, O, O; Moda filme A = O
Filme B: P , P , R , R , R , B, B, B; Moda filme B = R e B
Filme C : P , P , R , R , B, B, O, O; Moda filme C não existe
ER 7. Uma fábrica de calças fez uma pesquisa com mil pessoas do sexo masculino de uma cidade, para saber
o número mais comum que estas pessoas vestiam. De acordo com a tabela de frequência abaixo, determine a
moda dos dados.
FTC EAD |28
Número da calça fi
36 200
38 250
40 350
42 500
44 300X1600
Solução: A moda dos dados é 42, que é exatamente o número mais usado na cidade.
1.7.1 Vantagens da moda
1. Se algum valor da série for modificado, a moda pode não ser modificada.
Exemplo: Considere o rol: 5, 5, 7, 7, 7, 9. A moda deste rol é 7. Se modificarmos, por exemplo, o valor 9
do rol, para 8, teremos que a moda continuará sendo 7.
2. Fácil de ser determinada.
1.7.2 Desvantagens
1. É um valor que pertence à série.
2. Difícil de ser incluída em equações matemáticas.
3. Pode não ser única
4. Não usa todos os dados da série.
Conteúdo 4: Medidas de Dispersão
O grau ao qual os dados numéricos tendem a dispersar-se em torno de um valor médio, nós chamamos de
dispersão ou variação dos dados.
1.8 Amplitude total (h)
É a diferença entre o maior valor e o menor valor de um conjunto de dados.
Exemplo: Considere o conjunto A = 5, 2, 3, 9, 1, 7. O rol deste conjunto é: 1, 2, 3, 5, 7, 9. A Amplitude total
destes é h = 9 − 1 = 8
1.9 Desvio médio (DM)
É o somatório dos módulos da diferença entre cada elemento do conjunto e a média deste conjunto dividido
pelo número de dados.
Métodos Quantitativos 29
Exemplo: Considere o conjunto de dados 2, 4, 9. Temos que a média destes dados é x = 5. Logo
DM =|2 − 5| + |4 − 5| + |9 − 5|
3=
| − 3| + | − 1| + 4|3
=3 + 1 + 4
3=
8
3= 2, 67. Se temos um conjunto com n
dados x1, x2, . . . , xn, com média x , então DM =
X|xi − x |n
.
1.10 Variância (σ2)
É o somatório do quadrado da diferença entre cada elemento do conjunto, e a média destes elementos,
dividido pelo número de elementos.
Exemplo: Considere o conjunto de dados 1, 3, 2, 6, temos que a média dos dados é x = 3 e a variância
σ2 =(1 − 3)2 + (3 − 3)2 + (2 − 3)2 + (6 − 3)2
4=
(−2)2 + 02 + (−1)2 + 32
4=
4 + 0 + 1 + 9
4=
14
4= 3, 50.
Se temos um conjunto com n dados x1, x2, . . . , xn, então σ2 =
X(xi − x)2
n.
1.11 Desvio Padrão
É a raiz quadrada da variância, σ =√
σ2 =
sX(xi − x)2
n.
Exemplo: Considere o exemplo anterior. Obtemos a variância dos dados σ2 = 3, 50. Logo, o desvio padrão
dos dados é σ =√
σ2 =√
3, 50 = 1, 87.
1.12 Desvio padrão e variância populacional e amostral
O desvio padrão e a variância podem ser calculados de forma amostral, isto é, tomando-se uma parte da
população, e neste caso, são ditos amostrais, ou podem ser calculados usando-se toda população, e neste
caso são ditos populacionais.
• Variância populacional: σ2 =
X(xi − x)2
n
• Desvio padrão populacional: σ =
sX(xi − x)2
n
• Variância amostral: s2 =
X(xi − x)2
n − 1
• Desvio padrão amostral: s =
sX(xi − x)2
n − 1
Exemplo: A variância populacional dos dados do exemplo anterior foi σ2 = 3, 50 e o desvio populacional foi
σ = 1, 87. A variância amostral é
s2 =
X(xi − x)2
n − 1
(1 − 3)2 + (3 + 3)2 + (2 + 3)2 + (6 + 3)2
3=
(−2)2 + 02 + (−1)2 + 32
3= 4, 67
FTC EAD |30
e o desvio padrão amostra é s =√
s2 =√
4, 67 = 2, 16.
Das medidas de dispersão as mais usadas são o desvio padrão amostral e a variância amostral. Utilizando
a HP12C nós podemos calcular, facilmente, o desvio padrão amostral e a variância amostral.
Vamos calcular, agora, o desvio padrão amostral e a variância amostral dos dados do exemplo anterior.
Primeiro passo vamos limpar os registradores da máquina apertando a tecla [f ] e a tecla [clx ]. O segundo
passo será entrar com os dados, onde nós digitaremos os dados [xi ] e logo depois apertaremos a teclaX
+,
o visor nos mostrará, após cada passo deste, o número de dados armazenados, como no exemplo temos o
conjunto de dados 1, 3, 2, 6, então após entrarmos com todos os dados o visor mostrará o número 4. O
terceiro passo é calcular o desvio padrão amostral, apertando a tecla azul [g ] e a tecla [s ·] (Obs.: o “s” está em
azul na máquina), então calculamos o desvio padrão amostral s = 2, 6.
Para obter a variância amostral basta elevarmos o desvio padrão ao quadrado teclando [2] e em seguida
[x2], então obteremos a variância amostral s2 = 4, 67. Se quisermos obter a média dos dados teclamos [g ]
e [0x ], então obteremos x = 3. Quando apertamos a tecla azul da máquina [g ], nós estamos ativando todas
as funções que estão em azul da máquina, é por esta razão que as teclas do desvio padrão e da média da
máquina estão em azul.
EP 1.2. Utilizando a máquina HP12C , calcule a média, o desvio padrão e a variância dos seguintes dados:
5, 0; 5, 5; 6, 0; 6, 5; 7, 0; 7, 0; 7, 6; 8, 0; 8, 0; 8, 5; 9, 0; 9, 5.
1.13 Coeficiente de dispersão relativa (dispersão relativa)
Obtemos a dispersão relativa dividindo a dispersão absoluta pela média, onde a dispersão absoluta pode
ser qualquer medida de dispersão, isto é,
dispersão relativa =dispersão absoluta
média.
A razão entre o desvio padrão e a média de uma série é dito coeficiente de dispersão relativa, logo coefi-
ciente de dispersão relativa =σ
xou coeficiente de dispersão relativa =
s
x.
ER 8. A média de uma turma na prova de estatística foi 9 e em matemática foi 8. Sabendo que a turma tem
30 alunos e que o desvio padrão das notas de estatística foi σ = 4 e em matemática foi σ = 5, determine o
coeficiente de dispersão relativa de cada matéria.
Solução:
• Estatística: Coeficiente de dispersão relativa =σ
x=
4
9= 0, 44 = 44%
• Matemática: Coeficiente de dispersão relativa =σ
x=
5
8= 0, 63 = 63%
A matéria matemática apresentou um coeficiente de dispersão relativa maior.
Métodos Quantitativos 31
1.14 Medidas de Ordenamento e Posição
1.14.1 Quartis
Sabemos que a mediana divide o rol em duas partes, sendo 50% dos dados menores que a mediana e 50%
dos dados maiores que a mediana. O quartil divide o rol em quatro partes iguais. Logo, teremos três quartis:
Q1, Q2 e Q3. Para determinarmos a ordem dos quartis, nós usaremos a relação Qi = xi·n4 +
1
2
, em que i = 1, 2 e
3 são as ordens dos quartis e n é o número de dados.
ER 9. Considere os dados 2, 4, 1, 9, 5, 3. Determine os quartis deste conjunto de dados.
Solução: rol: 1, 2, 3, 4, 5, 9. Neste caso temos seis dados. Logo, n = 6. O primeiro quartil é Q1 =
x1 · 64
+1
2
= x2 = 2. O segundo e o terceiro quartis são Q2 = x[ 2·64 + 1
2 ]= x3,5 =
x3 + x4
2=
7
2= 3, 5 e
Q3 = x[ 3·64 + 1
2 ]= x5 = 5. Logo, estes são os três quartis que dividem o rol em quatro partes iguais.
1.14.2 Decis
Dividem o rol em dez partes iguais.
Di = x[ i·n10 + 1
2 ].
1.14.3 Percentis
Dividem o rol em cem partes iguais.
Pi = x[ i·n100 + 1
2 ].
EP 1.3. Dado o conjunto de dados 1, 3, 2, 6, 5, 9. Determinar seus quartis.
EP 1.4. Dado o conjunto de dados 20, 5, 7, 3, 9, 3, 4, 8, 2, determine:
(a) O rol, a média e a mediana.
(b) A moda, o desvio médio e a variância.
(c) O desvio padrão , o quarti lQ3, o deci lD5 e o percenti lP10
EP 1.5. Considere os conjuntos de dados X = 13, 29, 37, 51, 46, 39, 58e Y = 14, 26, 13, 32, 16, 53, 78, 86, 93, 41.
Determine para os dois conjuntos de dados:
(a) A mediana, a média, e a moda
(b) Q3, D7 e P52
FTC EAD |32
1.15 Atividade Complementar
EP 1.6. Dado o rol de dados amostrais abaixo:
26, 98 25, 10 25, 20 32, 40 34, 30 34, 30 36, 40 39, 06 39, 37
39, 40 49, 00 49, 00 50, 84 51, 50 54, 68 54, 68 65, 30 65, 60
67, 70 67, 80 70, 30 71, 77 71, 80 79, 60 79, 70 81, 00 81, 00
81, 00 82, 37 82, 38 89, 00 93, 00 93, 90 94, 13 101, 00 103, 00
107, 00 107, 00 107, 00 107, 30 120, 34 122, 87 122, 98 123, 96
(a) Construa a distribuição em classes de frequência.
(b) Construa o histograma.
(c) Calcule a média dos dados.
(d) Determine a mediana dos dados.
(e) Calcule a média da distribuição em classes de frequência que você construiu no item (a).
(f) Calcule a mediana da distribuição em classes de frequência que você construiu no item (a).
EP 1.7. Em cada uma das situações abaixo utilize o cálculo da média correta. Escolha entre o cálculo da
média aritmética, da média geométrica ou da média harmônica. Justifique a utilização de cada média em cada
situação.
(a) Um motorista foi de Lauro de Freitas para Camaçarí à velocidade média de 78, 92km/h. Depois foi de
Camaçarí para Feira de Santana à velocidade média de 103, 78km/h. Depois voltou de Feira de Santana
para Salvador à velocidade média de 69, 23km/h. Calcule a velocidade média de todo este percurso,
supondo que as distância entre as cidades são iguais.
(b) A média das notas da turma dos estudantes de administração com habilitação em marketing foi 7, 98 na
prova de estatística, a média das notas dos estudantes de administração com habilitação em comercio
exterior foi de 7, 98 e a dos estudantes de administração com habilitação em gestão da informação foi de
8,38. Sabendo-se que temos 41, 43 e 36 alunos nas turmas de marketing, comercio exterior e gestão da
informação respectivamente, calcule a média das notas de todos os alunos das três habilitações.
EP 1.8. As notas de 17 candidatos às vagas de administrador de empresas em uma indústria foram as
seguintes: 5, 0; 7, 2; 6, 8; 5, 3; 8, 3; 7, 2; 8, 0; 8, 2; 6, 8; 6, 3; 7, 1; 8, 9; 5, 9; 8, 6; 6, 3; 5, 3; 7, 2. Sabendo-se que a nota de
corte para selecionar os aprovados é determinada pelo 70deci l :
(a) Determine a nota de corte
(b) Quais as notas dos candidatos aprovados?
EP 1.9. Em três empresas de um complexo petroquímico, obtivemos os seguintes dados referentes a números
de acidentes de trabalho no ano de 2002: Na empresa E1 tivemos 6 acidentes. Na empresa E2 ocorreram 9
acidentes e na empresa E3 ocorreu 3 acidentes. Sabendo-se que nas empresas E1, E2 e E3 existem respecti-
vamente 300, 450 e 150 funcionários:
Métodos Quantitativos 33
(a) Na representação gráfica ao lado existe um erro muito comum
que as pessoas cometem ao representar dados em gráficos.
Esse erro nos induz a concluirmos que a empresa E2 foi menos
eficiente na prevenção de acidentes que as demais empresas.
Qual foi o erro cometido nessa representação gráfica?
Acidentes
E1 E2 E3
3
6
9
(b) Faça a representação gráfica correta dos dados referentes a acidentes das empresas E1, E2 e E3.
EP 1.10. Considere os dois conjuntos de dados amostrais abaixo:
C1 = 2, 53; 5, 47; 2, 47; 5, 57; 5, 78; 6, 35; 4, 34; 9, 56; 8, 98; 7, 34C2 = 16, 45; 16, 09; 15, 47; 16, 78; 14, 98; 15, 98; 14, 76; 15, 23; 15, 31
(a) Calcule a média, o desvio padrão amostral e a variância amostral para cada conjunto de dados.
(b) Qual conjunto apresenta uma maior dispersão entre os dados em relação a sua média? Justifique sua
resposta.
Gabarito
1.1 7, 28. 1.2 x = 7, 3, s = 1, 39 e s2 = 1, 93. 1.3 Q1 = 2, Q2 = 4 e Q3 = 6 1.4 (a) x = 6, 78, Md = 5 (b) Mo = 3, DM = 3, 75 es2 = 30, 44 (c) s = 5, 52, Q3 = x7,75 = 8, 75, D5 = x5 = 7, P10 = x1,4 = 2, 4. 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10
TEMA 02 Probabiidade
Conteúdo 1: Equivalência de Capitais
2.1 Conteúdo 1: Conceito e Definição
2.1 Definição. São chamados de experimentos aleatórios aqueles que repetidos em idênticas condições,
produzem resultados que não podem ser previstos com certeza, porém, em geral, conseguimos descrever o
conjunto de todos os resultados possíveis que podem ocorrer.
São exemplos de experimentos aleatórios:
(a) Lançar um dado e observar o número da face de cima.
(b) Lançar uma moeda.
(c) De um lote de 30 peças defeituosas e 50 boas, retirar 5 peças e observar o número de defeituosas.
2.2 Definição. Chamamos de espaço amostral o conjunto formado por todos os resultados possíveis de um
experimento aleatório. Indicamos por Ω .
Assim, se tivermos:
FTC EAD |34
(a) duas moedas são lançadas simultaneamente e observa-se o número de caras. O espaço amostral é
Ω = 0, 1, 2.
(b) uma moeda é lançada duas vezes e observa-se a face de cima. O espaço amostral é
Ω = (K , K ); (K , C ); (C , K ); (C , C ).
(c) um casal que planeja ter 3 filhos e observa-se a sequência dos sexos. O espaço amostral é
Ω = (M , M , M); (M , M , F ); (M , F , M); (M , F , F ); (F , F , F ); (F , F , M); (F , M , F ); (F , M , M).
Dos experimentos anteriores temos os seguintes espaços amostrais:
1. Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6
2. Ω = K , C, K = Cara e C =Coroa
3. Ω = 0, 1, 2, 3, 4, 5
2.3 Definição. Seja Ω o espaço amostral de um experimento. Chamamos de evento todo subconjunto de Ω .
Dizemos que um evento A ocorre se, realizado o experimento o resultado obtido pertence a A.
Exemplos
(a) Um dado é lançado e observa-se o número da face de cima. Assim, Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Então
A: Observar número par é o evento A = 2, 4, 6;
B: Observar número ímpar é o evento B = 1, 3, 5;
C : Observar número menor que quatro é o evento C = 1, 2, 3.
(b) Uma moeda é lançada 2 vezes e observa-se a sequência de caras e coroas. Assim,
Ω = (K , K ); (K , C ); (C , K ); (C , C ).
Então,
A: Observar cara no segundo lançamento é o evento A = (K , K ); (C , K );
B: Não observar coroa é o evento B = (K , K );
C : Observar exatamente uma coroa é o evento C = (K , C ); (C , K ).
2.2 Combinação de Eventos
2.2.1 União de dois ou mais eventos
Sejam A e B eventos de um espaço amostral Ω , então C = A ∪ B, também é um evento de Ω .
Sejam A1, A2, . . . , An eventos de Ω .
• Então A = A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An = ∪ni=1Ai é um evento de Ω .
• Se A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An = Ω , então dizemos que os Ai ′s são exaustivos.
Métodos Quantitativos 35
2.2.2 Interseção de dois ou mais eventos
Sejam A e B dois eventos de Ω , então C = A ∩ B também é um evento de Ω . Se A ∩ B = ∅, então A e B
são ditos mutuamente exclusivos.
Sejam A1, A2, . . . , An eventos de Ω .
• Então I = A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An = ∪ni=1Ai também é um evento de Ω .
• Se Ai ∩ Aj = ∅, para todo i 6= j , dizemos que os eventos são dois a dois exclusivos.
• Se Ai ∩Aj = ∅, para todo i 6= j , e A1 ∪A2 ∪ . . .∪ An = Ω , dizemos que os Ai ′s são dois a dois exclusivos e
exaustivos.
2.2.3 Complementar de um evento
Seja A um evento de Ω . Então Ac = Ω − A também é um evento de Ω .
Exemplo: Um dado é lançado e observa-se o número da face de cima. Logo, Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Considere os seguintes eventos:
A: Observar número par (A = 2, 4, 6)
B: Observar número ímpar (B = 1, 3, 5).
C : Observar número menor que 3 (C = 1, 2).
Temos, portanto, que
A ∪ C = 1, 2, 4, 6 (ocorrer número par ou menor que 3).
A ∩ C = 2 (ocorrer número par e menor que 3).
A ∩ B = ∅ (ocorrer número par e ímpar) (mutuamente exclusivos).
C c = Ω − C = 3, 4, 5, 6 (ocorrer número maior ou igual que 3).
Ac = Ω − A = 1, 3, 5 (não ocorrer número par).
2.3 Frequência relativa
Em um experimento aleatório, não sabemos qual evento ocorrerá, porém uns podem ocorrer mais que out-
ros. Queremos associar números a cada evento que nos dêem uma indicação quantitativa da sua ocorrência.
Então, definimos frequência relativa da seguinte maneira:
Definição: Seja Ω o espaço amostral de um experimento aleatório. Suponha que o experimento seja repetido
N vezes, nas mesmas condições. Seja ni o número de vezes que ocorre o evento elementar a. A frequência
relativa do evento a é o número f r =n
N.
Exemplo: Suponha que lançamos um dado 100 vezes e observamos o número 5, 16 vezes, então a frequên-
cia relativa deste evento é f r =16
100= 0, 16 = 16%.
FTC EAD |36
2.3.1 Propriedades
1. 0 ≤ f r ≤ 1, pois 0 ≤ n
N≤ 1.
2. f r1 + f r2 + . . . + f rk = 1, poisn1
N+
n2
N+ . . . +
nk
N=
N
N= 1 (ou 100%).
3. Se A é um evento não vazio de Ω , então a frequência relativa de A (f rA) é o número de vezes que ocorre
A, dividido por N . Logo, f rA =Xai∈A
f ri .
Exemplo: Seja A = a1, a2. Logo, f rA =n1 + n2
N= f r1 + f r2.
4. A frequência relativa tende a se estabilizar em torno de um valor bem definido, quando N é suficiente-
mente grande.
2.4 Definição de Probabilidade
Considere o espaço amostral Ω = a1, a2, . . . , aN. A cada evento ai, associamos um número real, in-
dicado por P(ai) = P(ai) ou, simplesmente, Pi , que chamaremos de probabilidade do evento ai, se as
seguintes condições são satisfeitas:
1. 0 ≤ Pi ≤ 1, ∀ i ∈ 1, 2, . . . , N.
2.NX
i=1
Pi = P1 + P2 + . . . + PN = 1.
Dizemos, assim, que os números P1, P2, . . . , PN , definem uma probabilidade sobre Ω .
Seja A um evento.
1. Se A = ∅, então P(A) = 0.
2. Se A 6= ∅, então P(A) =Xai∈A
Pi , ou seja, a probabilidade de um evento ocorrer é dada pela soma das
probabilidades com que seus eventos elementares ocorrem.
ER 10. Considere o espaço amostral Ω = a1, a2, a3 e o evento A = a1, a3. Sabendo que P(a1) = 0, 3 e
P(a2) = 0, 5, determine P(A).
Solução: Temos que P(A) = P(a1) + P(a3) = 0, 3 + 0, 2 = 0, 5 = 50%.
2.4.1 Propriedades
1. P(Ω) = P(a1) + P(a2) + . . . + P(ak) = 1.
2. Se A e B são dois eventos de Ω , tais que A ⊂ B, então P(A) ≤ P(B).
3. Se A é um evento de Ω , então 0 ≤ P(A) ≤ 1.
Métodos Quantitativos 37
4. Se A e B são dois eventos, então P(A∪B) = P(A)+P(B)−P(A∩B). Se A e B forem excludentes, então
P(A ∪ B) = P(A) + P(B), pois P(A ∩ B) = P(∅) = 0.
5. Se Ac é o complementar de A em relação a Ω , isto é Ac = Ω − A, então P(Ac) = P(Ω − A) = 1 − P(A).
De fato, como Ac ∪ A = Ω e Ac ∩ A = ∅, temos que 1 = P(Ω) = P(Ac ∪ A) = P(Ac) + P(A), então
P(Ac) = 1 − P(A).
A probabilidade de um evento A de um espaço amostral finito equiprovével Ω pode ser obtida da seguinte
forma:
P(A) =n(A)
n(Ω),
em que n(A) é o número de elementos de A e n(Ω) é o número de elementos de Ω .
Exemplo: Em uma urna temos 100 bolinhas numeradas de 1 a 100. Então
(a) A probabilidade de tirarmos a bola de número 10 é P(10) = 1/100.
(b) A probabilidade de retirarmos uma bola que seja múltiplo de 10 é P(A) =n(A)
n(Ω)=
10
100=
1
10= 0, 1 = 10%.
Observe que o evento múltiplo de 10 é A = 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100.
Exemplo: Sejam os eventos A: número múltiplo de 20 e B: número múltiplo de 30. Logo, A = 20, 40, 60, 80, 100e B = 30, 60, 90. Observe que A ∩ B = 60 e, portanto, P(A ∩ B) = 1/100. A probabilidade de observarmos
um múltiplo de 20 ou 30 é
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) = 5/100 + 3/100− 1/100 = 7/100 = 0, 07 = 7%
Observe, neste exemplo, que cada bola tem a mesma probabilidade de ser retirada. Dizemos, então, que
este espaço amostral é equiprovável.
Conteúdo 2: Probabilidade Condicional
Sejam Ω um espaço amostral e A e B dois eventos de Ω . Indicamos por P(A|B) a probabilidade do evento
A ocorrer, dado que o evento B ocorreu. Chamamos P(A|B) a probabilidade condicional do evento A dado
que o evento B ocorreu. Calculamos P(A|B) usando B como o novo espaço amostral reduzido, dentro do qual
queremos calcular a probabilidade do evento A.
Exemplo: Considere o experimento aleatório do lançamento de um dado. Logo, Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Con-
sidere os seguintes eventos:
• Ocorrer número par (A = 2, 4, 6).
• Ocorrer número menor ou igual a 3 (B = 1, 2, 3).
A probabilidade de ocorrer o evento A dado que B ocorreu é P(A|B) = 1/3,
pois considerando B como o novo espaço amostral reduzido, temos que só
existe um número par em B, que é o 2, e dois números ímpares que são, 1 e
3.
5
1
32
4
6
Ω
B
A
Exemplo: Foram selecionadas 400 pessoas em uma cidade, cujo sexo e estado civil estão na tabela abaixo:
FTC EAD |38
Solteiros (S) Casados(C) Desquitados(D) Viúvos (V) Total
Masculino (M) 50 60 40 30 180
Feminino (F) 150 40 104 204 220
Total 200 100 50 50 400
Temos, então, as seguintes probabilidades condicionais:
• P(S |M) = 50/180 = 5/18, pois é a probabilidade de ocorrer solteiro, dado que ocorreu o evento masculino.
Logo, o evento masculino se torna o espaço amostral reduzido, no qual calcularemos a probabilidade de
o evento solteiro.
• P(M |S) = 50/200 = 1/4 = 0, 25 = 25%, pois é a probabilidade de ocorrer masculino, dado que ocorreu
o evento solteiro. Logo, o evento solteiro se torna o espaço amostral reduzido, no qual calcularemos a
probabilidade de o evento masculino. Podemos observar que P(S |M) 6= P(M |S).
• P(F |D) = 10/50 = 1/5 = 0, 20 = 20%;
• P(D|F ) = 10/220 = 1/22.
• P(V |M) = 30/180 = 1/6;
• P(M |V ) = 30/50 = 3/5 = 0, 60 = 60%.
Podemos observar que P(A|B) =P(A ∩ B)
P(B), se P(B) > 0.
Exemplo: Considere o exemplo anterior. Temos as seguintes probabilidades condicionais:
P(S |M) =P(S ∩ M)
P(M)=
50
400180
400
=50
400· 400
180=
50
180=
5
18.
P(M |S) =P(M ∩ S)
P(S)=
50
400200
400
=50
400· 400
200=
50
200=
1
4= 0, 20 = 20%
ER 11. Considere o experimento aleatório do lançamento de dois dados D1 e D2, onde observamos os
números do dado D1 e do dado D2, representado pelo par ordenado (d1, d2). Considere os seguintes eventos:
A: Observar o número 4 em D2.
B: A soma dos números de D1 e D2 é 5.
Determine P(A|B) e P(B|A).
Solução: O experimento tem o seguinte espaço amostral:
Ω =
8>>>>>><>>>>>>:(1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)
(2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)
(3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)
(4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)
(5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)
(6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)
9>>>>>>=>>>>>>;Métodos Quantitativos 39
Temos que A = (1, 4); (2, 4); (3, 4); (4, 4); (5, 4); (6, 4) e B = (1, 4); (2, 3); (3, 2); (4, 1). Logo,
P(A|B) =P(A ∩ B)
P(B)=
1
364
36
=1
36· 36
4=
1
4= 0, 25 = 25% e P(B|A) =
P(B ∩ A)
P(A)=
1
366
36
=1
36· 36
6=
1
6.
Conteúdo 3: Teorema da Multiplicação e Teorema da
Probabilidade Total
2.4.2 Teorema da Multiplicação
Temos, da definição de probabilidade condicional, que P(A|B) =P(A ∩ B)
P(B)e P(B|A) =
P(B ∩ A)
P(A). Logo,
P(A ∩ B) = P(B) · P(A|B) e P(A ∩ B) = P(A) · P(B|A), isto é, a probabilidade de ocorrer os eventos A e B
é igual ao produto da probabilidade de um deles ocorrer pela probabilidade condicional do outro dado que o
primeiro ocorreu. Este resultado é conhecido como o teorema da multiplicação.
ER 12. Uma urna U1 contém 5 bolas vermelhas e 10 bolas brancas, a urna U2 contém 2 bolas vermelhas e 8
brancas. Supondo que as duas urnas são idênticas, determine a probabilidade de escolhermos aleatoriamente
a urna 1 e retirarmos uma bola vermelha.
Solução: Temos que
P(U1 ∩ B) = P(U1) · P(B|U1) =1
2· 10
15=
10
30=
1
3,
P(U2 ∩ V ) = P(U2) · P(V |U2) =1
2· 2
10=
2
20=
1
10= 0, 10 = 10% e
P(U2 ∩ B) = P(U2) · P(B|U2) =1
2· 8
10=
8
20=
2
5= 0, 40 = 40%
P(U1 ∩ V ) = P(U1) · P(V |U1) =1
2· 5
15=
5
30=
1
6, pois P(U1) = 1/2 e P(V |U1) = 5/15.
ER 13. Em um lote de 100 lâmpadas, existem 80 boas (B) e 20 queimadas (Q). Uma lâmpada é escolhida ao
acaso e, sem reposição desta, outra é escolhida ao acaso. Determine a probabilidade escolhermos a primeira
lâmpada boa e a segunda queimada.
Solução: A probabilidade de escolhermos uma lâmpada boa e outra queimada sem reposição é o pro-
duto das probabilidades que estão nos ramos do caminho boa (B) e queimada (Q). Logo, temos a proba-
bilidade8
100· 20
99=
4
5· 20
99≈ 0, 16 = 16%. Notamos que a probabilidade de escolhermos uma queimada
(Q) e uma boa (B) têm a mesma probabilidade de escolhermos uma boa (B) e uma queimada (Q). De fato20
100· 80
99=
1
5· 80
99≈ 0, 16 = 16%. A probabilidade de escolhermos duas boas é
80
100· 79
99=
4
5· 79
99≈ 0, 64 = 64%
e a probabilidade de escolhermos duas queimadas é20
100· 19
99=
1
5· 19
99≈ 0, 04 = 4%.
2.4.3 Teorema da Probabilidade Total
Sejam B1, B2, . . . , Bn, n eventos do espaço amostral Ω . Dizemos que eles formam uma partição de Ω se:
FTC EAD |40
1. P(Bi ) > 0.
2. Bi ∩ Bj = ∅, se i 6= j .
3. ∪ni=1Bi = Ω .
Isto é, os B ′
i s são dois a dois mutuamente exclusivos e exaustivos.
B1B2
B5
B4B3
B6
Ω
Seja A um evento qualquer de Ω . Então, temos que A = (B1 ∩A)∪ (B2 ∩A) ∪ . . . ∪ (Bn ∩ A). Como os conjuntos (B1 ∩ A), (B2 ∩ A), . . . , (B2 ∩ A)
são dois a dois mutuamente exclusivos, isto é, a interseção entre dois
quaisquer destes conjuntos é o conjunto vazio, temos que P(A) = P(B1∩A)+P(B2∩A)+. . .+P(Bn∩A). Este resultado é conhecido como teorema
da probabilidade total.
B1B2
B5
B4B3
B6A
Ω
ER 14. Uma urna I tem 5 bolas pretas e 10 vermelhas; outra urna I I tem 3 bolas pretas e 2 vermelhas e a urna
I I I tem 7 bolas pretas e 3 vermelhas. Uma urna é selecionada ao acaso e dela é retirada uma bola também ao
acaso. Qual a probabilidade desta bola ser vermelha?
Solução: Temos que as urnas U1, U2 e U3, formam uma partição do espaço amostral. Logo, o conjunto
vermelho podemos escrever da seguinte forma: V = (U1 ∩ V ) ∪ (U2 ∩ V ) ∪ (U3 ∩ V ).
A probabilidade de retirarmos uma bola vermelha é, então, P(V ) = P(U1 ∩V )+ P(U2 ∩V )+ P(U3 ∩V ) =
1
3· 10
15+
1
3· 2
5+
1
3· 3
10=
2
9+
2
15+
1
10≈ 0, 46 = 46%.
ER 15. Em três caixas idênticas C1, C2 e C3, temos em C1 duas moedas de ouro (O), em C2 uma de ouro (O)
e uma de prata (P) e em C3 duas de prata (P). Se escolhermos uma caixa ao acaso e retirarmos também ao
acaso uma moeda de ouro desta caixa, qual a probabilidade de que a outra moeda desta caixa seja de ouro?
Solução: Notamos que o problema se resume no seguinte: Se a moeda escolhida foi de ouro, qual a
probabilidade desta moeda ter vindo da caixa C1? Isto é, qual a probabilidade de ocorrer o evento C1, dado
que o evento ouro (O) ocorreu. Logo, queremos determinar P(C1|O).
1/3
1/3
1/3
1/2
1
7/10
O
P
P
Q
C1
C2
C3
1/2
P(C1|O) =P(C1 ∩ 0)
P(0), como P(C1 ∩ O) =
1
3· 1 =
1
3e P(O) =
P(C1 ∩ O) + P(C2 ∩ O) + P(C3 ∩ O) =1
3· 1 +
1
3· 1
2+
1
3· 0 =
1
2,
temos que P(C1|O) =
1
31
2
=2
3.
Métodos Quantitativos 41
Conteúdo 4: Eventos Independentes, Arranjos e
Combinação
2.5 Independência de Dois Eventos
Dados dois eventos A e B de um espaço amostral Ω , dizemos que o evento A independe do evento B se,
P(A|B) = P(A), isto é, A independe de B se a ocorrência de B não afeta a probabilidade de A. Notamos que
se A independe de B, então B independe de A. Vejamos:
Se A independe de B, então P(A|B) =P(A ∩ B)
P(B)= P(A). Logo, P(A ∩ B) = P(A) · P(B). Como P(B|A) =
P(A ∩ B)
P(A)=
P(A) · P(B)
(A)= P(B). Portanto, B independe de A.
Temos que P(A|B) =P(A ∩ B)
P(B). Logo, P(A ∩ B) = P(A/B) · P(B), se A independe de B temos que
P(A|B) = P(A), então P(A ∩ B) = P(A) · P(B). Podemos, então, dizer que dois eventos A e B de um espaço
amostral Ω , são independentes se P(A ∩ B) = P(A) · P(B).
Exemplo: Uma moeda é lançada três vezes. Logo, temos que Ω = (K , K , K ); (K , K , C ); (K , C , K ); (K , C , C ); (C , C , C ); (
Considere os eventos:
• A: Ocorrerem resultados iguais nos três lançamentos.
• B: Ocorrerem pelo menos duas caras.
Assim, A = (K , K , K ); (C , C , C ) e B = (K , K , C ); (K , C , K ); (C , K , K ); (K , K , K ).
Temos que P(A) = 2/8 = 1/4 e P(B) = 4/8 = 1/2. Como A ∩ B = (K , K , K ), temos que P(A ∩ B) = 1/8.
Logo, temos que P(A∩B) = P(A)·P(B), pois 1/8 = 1/4·1/2 e, neste caso, os eventos A e B são independentes.
Se dois eventos A e B de um espaço amostral Ω não são independentes, então eles são ditos dependentes.
ER 16. Dois candidatos A e B prestam o mesmo vestibular para determinado curso de uma faculdade. A
probabilidade do candidato A passar é de 1/2 e do candidato B passar é 3/4. Determine:
(a) A probabilidade de ambos passarem no vestibular.
(b) A probabilidade de pelo menos um passar no vestibular.
Solução: (a) O evento do candidato A passar no vestibular independe do evento do candidato B passa.
Logo, A e B são independentes e P(A ∩ B) = P(A) · P(B) = 1/2 · 3/4 = 3/8.
(b) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) = 1/2 + 3/4 − 3/8 = 7/8.
EP 2.1. Mostre que se dois eventos A e B de um espaço amostral Ω são independentes, então A e Bc são
independentes, Ac e B são independentes e Ac e Bc são independentes.
EP 2.2. Considere o exemplo acima. Determine as seguintes probabilidades:
(a) Nenhum dos candidatos passem no vestibular.
FTC EAD |42
(b) O candidato A passe no vestibular e o candidato B não.
(c) O candidato B passe no vestibular e o candidato A não.
2.6 Métodos de Enumeração
2.6.1 Regra da Multiplicação
Suponha que uma primeira decisão possa ser tomada de N maneiras e uma segunda decisão de M
maneiras, então o número de decisões possíveis é M · N .
Exemplo: Suponha que uma primeira decisão possa ser tomada de duas maneiras A e B, e uma segunda
decisão possa ser tomada de três maneiras C , D e E .
C
D
E
E
D
C
A
B
Logo, as decisões possíveis são A, C, A, D, A, E, B, C, B, D, B, E e o número de decisões
possíveis são 2 · 3 = 6.
2.6.2 Permutações
Se temos três objetos A, B e C , podemos colocá-los juntos nas sequências: ABC , ACB , BAC , BCA,
CAB e CBA. Logo, temos seis maneiras diferentes de arrumar estes três objetos. Se tivermos N objetos, nós
teremos N possibilidades (objetos) para a primeira posição, N − 1 possibilidades (objetos) para a segunda,
N − 2 possibilidades (objetos) para a terceira e assim sucessivamente, até a posição N , onde teremos apenas
uma possibilidade (objeto).
N N − 1 N − 2 ·s 2 1
Pela regra da multiplicação, temos um total de N · (N − 1) · (N − 2) · . . . · 2 · 1 possibilidades de permutarmos
estes objetos. Se N é um inteiro positivo, definimos o fatorial de N por N! = N · (N − 1) · (N − 2) · . . . · 2 · 1 e
0! = 1.
O número de maneiras de permutarmos N objetos é dado por PN = N!.
2.6.3 Arranjos
Suponha que temos n elementos distintos e escolhemos r elementos entre eles. Chamamos de arranjo
dos n elementos tomados r a r a qualquer sequência de r elementos tomados entre estes n elementos, todos
distintos.
Métodos Quantitativos 43
O número de arranjos de n elementos tomados r a r é denotada por An,r . Para a primeira posição temos
n possibilidades, para segunda n − 1 e assim sucessivamente até a posição r , onde teremos n − (r − 1)
possibilidades.
n n − 1 n − 2 ·s n − (r − 2) n − (r − 1)
Temos que An,r = n · (n − 1) · (n − 2) . . . (n − (r − 1)) =n!
(n − r)!. Pois
n!
(n − r)!=
n · (n − 1) . . . (n − 1)) · (n − r) · (n − (+1)) . . . 2 · 1(n − r) · (n − (r + 1) . . . 2 · 1 = n · (n − 1) · (n − 2) . . . (n − (r − 1)).
Logo, An,r =n!
(n − r)!.
Exemplo: Sejam a e b dois elementos. Logo, A2,2 = 2!/(2−2)! = 2! = 2. As possibilidades são (a, b); (b, a).
Exemplo: Sejam a, b e c três elementos, logo A3,3 = 3!/(3 − 3)! = 3! = 6. As possibilidades são
(a, b, c); (a, c , b); (b, a, c); (b, c , a); (c , a, b); (c , b, a). Considere, agora, o número de arranjos deste 3 elementos
tomados 2 a 2. Temos, A3,2 = 3!/(3−2)! = 3! = 6. As possibilidades são (a, b); (b, a); (a, c); (c , a); (c , b); (b, c).
Exemplo: Sejam a, b, c e d quatro elementos. Logo, A4,2 = 4!/(4−2)! = 4!/2! = 24/2 = 12. As possibilidades
são (a, b); (b, a); (a, c); (c , a); (a, d); (d , a); (b, c); (c , b)(b, d); (d , b); (c , d); (d , c).
2.6.4 Combinações
Dado um conjunto M com n elementos, M = a1, a2, . . . , an, chamamos de combinação dos n elementos,
tomados r a r , a todo subconjunto de r elementos do conjunto M .
Exemplo: Considere o conjunto a, b, c , d, queremos tomar dois dentre estes quatro elementos. De quantas
maneiras podemos fazer isto? Temos as seguintes possibilidades: a, b, a, c, a, d, b, c, b, d, c , d.
O número de combinações possíveis que podemos fazer com n elementos tomados r a r é indicado por
Cn,r ounr
, onde 0 ≤ r ≤ n. Sendo que Cn,r =
n!
r ! · (n − r). Considerando o exemplo acima temos que
C4,2 =4!
2! · (4 − 2)!=
24
2.2=
24
4= 6.
ER 17. Dentre 6 pessoas desejamos fazer grupos de dois, quantas são essas possibilidades?
Solução: C6,2 =6!
2!(6 − 2)!=
720
2 · 24=
720
48= 15 possibilidades.
ER 18. Dentre 6 sons diferentes de um aparelho eletrônico, quantos sinais podemos produzir usando dois
sons entre esses 6?
Solução: A6,2 =6!
(6 − 2)!=
730
24= 30 possibilidades.
ER 19. Dentre um grupo de 6 pessoas temos 4 homens e duas mulheres, queremos formar um grupo de 2
pessoas sendo que 1 é homem e 1 é mulher. Quantas são as possibilidades de formarmos este grupo?
Solução: C4,1 =4!
1!(4 − 1)!=
24
6= 4, C2,1 =
2!
1! · (2 − 1)!=
2
1= 2, logo as possibilidades são C4,1 ·C2,1 =
4 · 2 = 8.
FTC EAD |44
ER 20. Se temos 10 pessoas, sendo 6 homens e 4 mulheres, e queremos formar um grupo de 5 pessoas,
sendo 3 homens e 2 mulheres, quantas possibilidades temos para formar este grupo?
Solução: C6,3 =6!
3! · (6 − 3)!=
720
36= 20, C4,2 =
4!
2! · (4 − 2)!=
24
4= 6. Logo, as possibilidades são
C6,3 · C4,2 = 20 · 6 = 120.
EP 2.3. De um determinado grupo de 101 empresas alimentícias que fabricam pelo menos um dos produtos
mencionados, sabe-se que 66 fabricam geléias, 62 fabricam sorvetes e 56 produzem chocolates. Destas, 39
fabricam sorvetes e geléias, 42 fabricam sorvetes e chocolates, 38 fabricam chocolates e geléias. Qual a
probabilidade de uma empresa escolhida ao acaso fabricar: (a) Somente geléia? (b) Somente chocolate ou
sorvete? (c) Chocolate e sorvete e geléia? (d) Geléia mais não sorvete? (e) Chocolate ou sorvete mas não
geléia?
EP 2.4. De um grupo de 126 estudantes temos que 66 falam inglês, 52 falam francês e 11 não falam nenhuma
destas línguas.
(a) I e F são coletivamente exaustivos? Porquê?
(b) I e F são mutuamente excludentes? Porquê?
(c) Determine P(I ∩ F ).
(d) Determine P(I ∪ F ).
(e) Qual a probabilidade de escolhermos um estudante que fale apenas inglês?
(f) Qual a probabilidade de escolhermos um estudante que fale apenas francês?
EP 2.5. Um cliente de uma loja de roupas e sapatos deseja comprar 4 camisas, 3 calças e 2 sapatos, ele
está em duvida entre 6 camisas, 4 calças e 3 sapatos. De quantas maneiras ele pode efetuar esta compra?
EP 2.6. Uma dona de casa tem 12 livros em sua estante, sendo 5 matemática, 4 de história e 3 física. a)
De quantas maneiras a dona de casa pode arrumar os livros na estante sendo que os livros de história fiquem
todos juntos? b) De quantas maneiras a dona de casa pode arrumar os livros na estante sendo que os livros
de matemática e física fiquem todos juntos?
EP 2.7. Um rapaz construiu uma rifa onde o prêmio era seu carro. Ele criou cartões com cinco cores
diferentes, azul,vermelho, verde, amarelo e branco, os cartões contém 5 dezenas escolhidas entre 10 dezenas.
Qual a probabilidade de uma pessoa ganhar o prêmio adquirindo um cartão, se no dia marcado sorteia-se uma
cor e cinco dezenas entre as dez?
EP 2.8. A caixa econômica federal planeja lançar um jogo onde o jogador deve marcar 6 dezenas das 12
possíveis do cartão. Ele ganha o prêmio se conseguir acertar pelo menos 5 das 6 dezenas. Qual a probabilidade
dele ganhar o jogo?
EP 2.9. Nove livros são colocados ao acaso numa estante. Qual a probabilidade de que 3 livros determinados
fiquem juntos?
EP 2.10. Em um dos novos jogos comercializados pela caixa econômica federal, o apostador deve marcar 50
dezenas de um cartão contendo 100 dezenas. Posteriormente são sorteadas 20 dezenas. Calcule a probabili-
dade do apostador ganhar: (a) acertando todas as 20 dezenas; (b) acertando 16, 17, 18, 19, ou 20 dezenas ou
errando as 20 dezenas.
Métodos Quantitativos 45
2.7 Atividade Complementar
EP 2.11. Um grupo de pessoas foi classificado segundo o peso e o nível de colesterol no sangue, onde a
proporção encontra-se na tabela abaixo:
Peso
Colesterol Excesso Normal Baixo Total
Alto 0,2 0,18 0,17 0,55
Normal 0,12 0,10 0,23 0,45
Total 0,32 0,28 0,40 1,00
(a) Qual a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso ter colesterol normal?
(b) Se escolhermos uma pessoa desse grupo e ela tiver colesterol alto, qual a probabilidade que ela tenha
excesso de peso?
EP 2.12. Em uma fábrica temos duas máquinas, máquina A e máquina B. A máquina A é responsável por
53, 7% da produção, e a máquina B por 46, 3% da produção. A máquina A produz 41, 3% de peças com defeito
e a máquina B 2, 5% de peças com defeito.
(a) Se uma peça é escolhida ao acaso e verificamos que ela é defeituosa, qual a probabilidade dela ter sido
produzida pela máquina B?
(b) Se escolhemos uma peça ao acaso, qual a probabilidade dela ser boa?
EP 2.13. Uma moeda é viciada de modo que a probabilidade de sair K (cara) é 7/3 da probabilidade de sair
C (coroa). Se lançarmos essa moeda qual a probabilidade de sair:
(a) Cara (K )
(b) Coroa (C )
EP 2.14. Em uma urna temos 20 bolas enumeradas de 1 a 20.
(a) Se retirarmos uma bola par dessa urna, qual a probabilidade dessa bola ser maior ou igual a 13?
(b) Qual a probabilidade de uma bola menor que 17 ser retirada dessa urna?
(c) Qual a probabilidade de uma bola que seja múltipla de 3 e múltipla de 2 ser retirada dessa urna?
EP 2.15. Em uma urna temos quatro moedas. A moeda M1 é uma moeda normal, a moeda M2 é viciada de
tal modo que sair cara (K ) é 1.219 vezes mais provável que sair coroa (C ), a moeda M3 tem duas caras (K ) e
a moeda M4 tem duas coroas (C ). Uma moeda é escolhida ao acaso e lançada.
(a) Se o resultado obtido foi coroa (C ), qual a probabilidade da moeda lançada ter sido a moeda M2?
(b) Qual a probabilidade de observarmos moeda M3 e cara (K )?
(c) Qual a probabilidade de observarmos coroa (C )?
FTC EAD |46
Gabarito
2.1 2.2 (a) 1/8 (b) 1/8 (c) 3/8 2.3 (a) 25/101 (b) 29/101 (c) 36/101 (d) 27/101 (e) 35/101 2.4 (c) 3/126 (d) 115/126 (e) 63/126 (f) 49/126.2.5 C6,4 · C4,3 · C3,2 = 180 maneiras. 2.6 (a) A4,4 · A9,9 = 4! · 9! (b) A5,5 · A3,3 · A6,6 = 5! · 3! · 6!. 2.7 1/C5,1 · C10,5 = 1/1.260. 2.8
(C6,5+C6,6)/C12,6 = 7/924. 2.9 (A3, 3·A7,7)/A9,9 = 1/12. 2.10 (a) C50,20/C100,20 (b) (C50,16+C50,17 +C50,18 +C50,19 +C50,20+C50,20)/C100,20.
2.11 2.12 2.13 2.14 2.15
Métodos Quantitativos 47
BLOCO 02 Inferência Estatística
TEMA 03Série de Capitais, Inflação e
Depreciação
Conteúdo 1: Variável Aleatória
Quando uma variável tem resultados ou valores que tendem a variar de uma observação para outra em
razão de fatores relacionados com a chance, nós chamamos de variável aleatória.
Uma variável aleatória é uma função que associa um evento a um número. Por exemplo, ao jogar uma
moeda, existem dois resultados K ou C , que não são numéricos. Podemos, então, considerar a variável
aleatória igual ao número de caras em uma jogada, ou seja, os valores numéricos possíveis são 0 e 1. As-
sim, uma variável aleatória (v.a) é uma função com valores numéricos cujo valor é determinado por fatores
relacionados a chance.
As variáveis aleatórias podem ser discretas ou contínuas. Uma variável aleatória é dita discreta se toma
valores que podem ser contados e é dita contínua quando pode tomar qualquer valor de um determinado
intervalo.
3.1 Função de Probabilidade e Esperança de uma Variável Aleatória
Admitamos X uma variável aleatória em um espaço amostral Ω com contradomínio finito, de sorte que
X (Ω) = x1, x2, x3, . . . , xn. Se para cada ponto xi , deste espaço amostral X (Ω) tiver sido definido sua probabil-
idade, tal que P(X = xi ), denominada por f (xi ), tem-se um espaço de probabilidade.
Nesse sentido, a função de probabilidade f em X (Ω) será definida por f (xi ) = P(X = xi ), que passará a
ser chamada de distribuição ou função de probabilidade e será usada de forma mais comum segundo mostra
a tabela seguinte:
xi x2 . . . xn
f (xi ) f (xi ) . . . f (xn)
A distribuição f acima deverá satisfazer as seguintes condições:
1. f (xi ) ≥ 0
2.nX
i=1
f (xi ) = 1
Nestes termos, pode-se afirmar que a média ou a esperança matemática para X , denotado por E (X ) ou µX
ou, simplesmente, E ou µ, é definido por:
E (X ) = x1f (x1) + x2f (x2) + . . . + xnf (xn) =nX
i=1
xi f (xi ).
FTC EAD |48
Observe que E (X ) representa a média ponderada entre os valores de xi e suas respectivas frequências
absolutas.
Exemplo: Lança-se um par de dados, obtendo-se um espaço finito equiprovável Ω formado por 36 pares
ordenados cujos números estão situados entre 1 e 6, conforme quadro abaixo.
Ω =
8>>>>>><>>>>>>:(1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)
(2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)
(3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)
(4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)
(5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)
(6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)
9>>>>>>=>>>>>>;A variável aleatória X que associa a cada par ordenado (a, b) de Ω o maior desses números (X (a, b) =
maxa, b). Assim, X é uma variável aleatória cuja imagem é: X (Ω) = 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Ao se considerar a função de distribuição de probabilidade f de X , calculando-se seu valor para cada
elemento da imagem, temos:
f (1) = P(X = 1) = P((1, 1)) =1
36
f (2) = P(X = 2) = P((2, 1); (2, 2); (1, 2)) =3
36
f (3) = P(X = 3) = P((3, 1); (3, 2); (3, 3); (2, 3); (1, 3)) =5
36
f (4) = P(X = 4) = P((4, 1); (4, 2); (4, 3); (4, 4); (1, 4); (2, 4); (3, 4)) =7
36
f (5) = P(X = 5) = P((5, 1); (5, 2); (5, 3); (5, 4); (5, 5); (4, 5); (3, 5); (2, 5); (1, 5)) =9
36
f (6) = P(X = 6) = P((1, 6); (2, 6); (3, 6); (4, 6); (5, 6); (6, 6); (6, 5); (6, 4); (6, 3); (6, 2); (6, 1)) =11
36
A síntese dessa distribuição pode ser exposta em forma de tabela:
xi 1 2 3 4 5 6
f (xi )1
36
3
36
5
36
7
36
9
36
11
36
Por fim, a média de X é:
E (X ) =nX
i=1
xi f (xi ) = 1 · 1
36+ 2 · 3
36+ 3 · 5
36+ 4 · 7
36+ 5 · 9
36+ 6 · 11
36= 4, 47.
ER 21. Suponha que uma loteria pague prêmios a seus clientes da seguinte maneira: 1.000 prêmios de
R$400, 00; 500 prêmios de R$500, 00 e 100 prêmios de R$1.000, 00.
Considere que são vendidos, num determinado concurso, 50.000 bilhetes e encontre o preço justo que se
deve pagar por cada bilhete comprado.
Solução: Para resolver o problema, deve-se considerar, inicialmente, a existência de uma variável
aleatória a qual irá representar a quantia, em reais, que se paga por um bilhete da loteria. Assim, X poderá
Métodos Quantitativos 49
ser: 400, 500 e 1.000.
Com base nos dados do exemplo pode-se calcular as probabilidades relacionadas às variáveis aleatórias
da seguinte maneira:
P(X = 400) =1.000
50.000= 0, 02
P(X = 500) =500
50.000= 0, 01
P(X = 1.000) =100
50.000= 0, 002
O quadro que representa a distribuição de probabilidade de X é:
X 400 500 1.000 0
P(X) 0,02 0,01 0,002 0,968
Para se determinar o preço justo deve-se encontrar o valor da esperança matemática para a variável
aleatória X da seguinte forma:
E (X ) −4X
i=1
Xi · P(Xi ) = 1.000 · 0, 02 + 500 · 0, 01 + 100 · 0, 002 + 0 · 0, 968 = 25, 2.
Este valor corresponde ao preço mínimo do bilhete. Assim, para se ter algum lucro para a loteria deve-se
cobrar um preço acima do calculado.
Conteúdo 2: Distribuição Normal
3.2 Distribuição Binomial
É utilizada para calcular a probabilidade de experimentos que apresentam duas possibilidades, sucesso ou
fracasso.
A expressão para o calculo da probabilidade de uma distribuição binomial é dada por:
P(x) = Cn,x · px · qn−x ,
em que Cn,x é a combinação de n tomados x a x , p é a probabilidade de sucesso, q é a probabilidade de
fracasso (q = 1−p), n é o número de observações ou provas idênticas e x é o número de sucessos esperados.
ER 22. Uma moeda é lançada quatro vezes, qual a probabilidade de sair cara.
(a) uma vez,
(b) três vezes,
(c) pelo menos uma vez.
Solução: Vamos considerar a probabilidade de sucesso como sendo a probabilidade de sair cara. Logo
p = 1/2 e a probabilidade de fracasso (sair coroa) é q = 1 − p = 1 − 1/2 = 1/2. Logo,
FTC EAD |50
(a) P(1) = C4,1(1/2)1 · (1/2)3 = 0, 25;
(b) P(3) = C4,3(1/2)3 · (1/2)1 = 0, 25,
(c) P(1) + P(2) + P(3) + P(4) = 1 − P(0) = 1 − C4,0 · (1/2)0 · (1/2)4 = 1 − 0, 0625 = 0, 9375.
3.2.1 Média (Valor esperado) e variância da distribuição binomial
A média da distribuição binomial é o número de observações vezes a probabilidade de ocorrência do evento,
isto é µ = n · p.
Já a variância é igual ao número de observações vezes a probabilidade de sucesso vezes a probabilidade
de fracasso, isto é, σ2 = n · p · q. Logo, o desvio padrão é σ =√
n · p · q.
ER 23. Você administra uma fábrica de chuteiras e nota que há na linha de produção um probabilidade de 2%
de um par das chuteiras seja fabricado com defeito, isto é, será rejeitado no controle de qualidade. O controle
de qualidade considera par defeituoso o fato de ter apenas um dos pés da chuteira com defeito. Considerando
que serão fabricados 50.000 pares de chuteiras, encontre a média de chuteiras defeituosas e o desvio padrão
da quantidade de chuteiras completamente defeituosas.
Solução: Considere, inicialmente, que cada par de chuteiras defeituosa corresponde a uma variável
aleatória X qualquer. Essa variável aleatória será do tipo Binomial, pois na linha de produção um par de
chuteiras será tido como defeituoso ou não. Façamos,
• n o número de pares a serem fabricados. Logo, n = 50.000.
• p a probabilidade de um dos pés da chuteira ser defeituoso.
Assim, para que um par de chuteiras seja totalmente defeituoso é preciso que se tenha tanto o pé direito
quanto o esquerdo defeituoso.
Ora, se queremos ter os dois pés com defeito deve-se excluir da probabilidade total a chance de termos
os dois pares em perfeito estado:
p = 1 − (0, 98)2 = 0, 0396.
O valor esperado ou a média de pares totalmente defeituosos é µ = n · p = 50.000 · 0, 0396 = 1.980 pares
de chuteiras totalmente defeituosos.
Já o desvio padrão é
σ =√
n · p · q =√
50.000 · 0, 0396 · 0, 9604 = 43, 6.
EP 3.1. Um exame de múltipla escolha consiste em 10 questões, cada uma com 4 opções. A aprovação no
exame exige do aluno pelo menos nota seis, ou seja o acerto de pelo menos seis questões. Qual a chance de
aprovação: (a) se o aluno nada estudou? (b) se o aluno estudou suficiente para poder eliminar duas escolhas,
devendo escolher apenas entre duas opções.
EP 3.2. Uma equipe de basquete tem probabilidade 0, 88 de vitórias sempre que joga. Se o time atuar
4 vezes, determine a probabilidade de que vença: (a) todas as partidas; (b) exatamente 2 partidas; (c) pelo
Métodos Quantitativos 51
menos uma partida; (d) no máximo 3 partidas; (e) mais da metade das partidas.
EP 3.3. Supondo que a probabilidade de um casal ter filhos com olhos verdes é de 17%, em 400 famílias com
4 crianças cada uma, quantas se esperaria que tivesse: (a) dois filhos com olhos verdes; (b) nenhum dos filhos
com olhos verdes.
Conteúdo 3: Distribuição de Poisson
É uma distribuição discreta de probabilidade, dita uma regra matemática, que serve para descrever a prob-
abilidade do número de ocorrências num campo ou intervalo contínuo (tempo ou espaço) de eventos que não
ocorrem com muita frequência. Essa distribuição também é chama de distribuição para exemplos raros ou que
não é possível haver reprodução em ambiente controlado.
Somente um valor é necessário para determinar a probabilidade de um determinado número de sucessos,
que é o número médio de sucessos para a específica dimensão de tempo ou espaço.
A expressão da distribuição de Poisson é:
P(X = xi ) =(λt)xe−λt
x!,
em que
• λ é o número médio de sucessos em um determinado intervalo de tempo ou espaço;
• t é o intervalo de tempo ou espaço contínuo de observações que se está analisando e
• x é o número de sucessos no intervalo desejado.
3.2.2 Propriedades da Distribuição de Poisson
Média µ = λ
Variância σ2 = λ
Desvio-Padrão σ =√
λ
ER 24. Uma pizzaria recebe em média 8 chamadas por hora. Qual a probabilidade de que, em uma hora
selecionada aleatoriamente, sejam recebidas exatamente 5 chamadas?
Solução: Temos que a média de chamadas é λ = 8, o intervalo de tempo é t = 1 e o número de
sucessos no intervalo dado é x = 5. Logo,
P(X = 5) =e−8·1(8 · 1)5
5!= 0, 0916.
ER 25. Em certa rodovia aparecem buracos, em média, numa proporção de um buraco a cada 500m. Qual a
probabilidade de aparecer 4 buracos em um espaço de 1.500m?
Solução: Temos uma média de 1 buraco a cada 500m, logo a proporção de buracos é de λ = 1/500,
para o espaço em questão, o qual é t = 1.500, espera-se que o número de buracos nesse espaço (casos de
FTC EAD |52
sucessos) seja x = 4, logo P(4) =e−3(3)4
4!= 01680. Ou seja, tem-se 16, 80% de chance de se ter quatro
buracos nesse espaço de 1.500 metros de rodovia.
ER 26. Você é o chefe da Comissão de Prevenção de Acidentes de uma empresa e constata o seguinte
movimento de acidentes de trabalho ao longo de vários dias, segundo constado na tabela seguinte:
Número de acidentes Quantidade dias
0 25
1 20
2 9
3 6
4 2
5 14
Total 63
Descreva, através de uma distribuição de Poisson, a probabilidade de se ter acidentes de trabalho nessa
empresa em um dado intervalo de tempo. Construa uma tabela de distribuição de probabilidade para o número
de acidentes.
Solução: O número médio de acidentes no período é λ =0 · 25 + 1 · 20 + 2 · 9 + 3 · 6 + 4 · 2 + 5 · 1
63=
1, 1. Logo, ocorrem 1, 1 acidentes por dia na empresa.
A lei que expressa o número de acidentes por intervalos de tempo é
P(X = x) =1, 1x(e)−1,1
x!; x = 0, 1, 2, . . . , n
O cálculo da probabilidade de ocorrência de acidentes, segundo a distribuição de Poisson, é
Número de acidentes Probabilidade de acidentesNúmero de dias
Observado Esperado
0 0, 3329 25 21
1 0, 3662 20 23
2 0, 2014 9 13
3 0, 0739 6 15
4 0, 0203 2 1
5 0, 0045 1 0
P(X = 0) =1, 10 · e−1,1
0!P(X = 1) =
1, 11 · e−1,1
1!P(X = 2) =
1, 12 · e−1,1
2!
P(X = 3) =1, 13 · e−1,1
3!P(X = 4) =
1, 14 · e−1,1
4!P(X = 5) =
1, 15 · e−1,1
5!
Para calcular o valor esperado do número de dias basta multiplicar o valor da probabilidade pelo total de
dias, isto é,
0, 3329 · 63 = 21 e 0, 3662 · 63 = 23.
ER 27. Suponha que existam 200 erros de impressão distribuídos aleatoriamente em um livro de 800 páginas.
Calcule a probabilidade P(x) de cada página conter:
Métodos Quantitativos 53
(a) Exatamente 1 erro;
(b) Mais de 1 erro.
Solução: Vamos considerar como sucesso o número de erros em uma página, assim: n = 200, pois
há 200 erros de impressão. A chance de se ter um erro em dada página é de P =1
800. Logo, λ = n · p =
200 · 1
800= 0, 25. Assim,
(a) P(X = 1) =0, 251 · e−0,25
1!= 0, 1947
(b) P(X > 1) = 1 − [P(X = 0) + P(X − 1)] = 1 −(0, 25)0,25
0!+ 0, 1947
= 0, 0265
Portanto, existe 2, 65% de probabilidade de se ter mais de um erro por página.
EP 3.4. Suponha que haja 265 erros de pontuação distribuídos aleatoriamente em um contrato comercial de
458 linhas. Encontre a probabilidade de conter em uma dada linha 2 erros apenas.
EP 3.5. Um a cada cem carros cai num buraco de uma avenida. Se cem carros passarem, qual a probabili-
dade de dois carros caírem no buraco?
EP 3.6. Numa central telefônica chegam 300 telefonemas por hora. Qual a probabilidade de que em um
minuto não haja nenhum chamado.
Conteúdo 4: Distribuição Normal
É utilizada na análise de variáveis aleatórias contínuas (intervalos reais).
A função de densidade é f (x) =1√2πσ
· e 12 ( x−µ
σ)2
, em que:
• x é a variável aleatória.
• σ é o desvio padrão.
• µ é média.
O gráfico da função de densidade de f é:
x
y
Mo=µ=Md
N(µ,σ2)
µ+σµ−σ
Observe que o gráfico da distribuição normal é
FTC EAD |54
1. Simétrico em torno da média.
2. Não toca o eixo 0x(0x é uma assíntota).
3. A distribuição normal fica delimitada entre a média e o desvio padrão.
4. A área sob o gráfico de f é igual a 1(100%).
5. A área entre dois pontos, correspondente a probabilidade do valor de uma variável aleatória entre estes
dois pontos.
6. Apresenta um único pico que é a média, logo a média, mediana e moda apresentam mesmo valor.
Fazendo z =x − µ
σ, podemos simplificar a função de densidade f (x). O gráfico da distribuição normal fica
como no gráfico abaixo.
Temos que a probabilidade de uma variável aleatória Z estar entre 0 e z1 é determinada pela área sob a
curva da função f (z) que vai de 0 a z1. Logo, é a integralZ z1
0f (z)dz.
A tabela a seguir nos dá os valores das probabilidades (a área sob a curva f (z)) para valores que vão de 0
a z.
0
N(0, 1)
p
0, 5 − p
z
z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359
0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753
0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141
0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517
0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879
0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224
0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549
0,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852
0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133
0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389
1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621
1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830
1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015
1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177
1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319
1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441
1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545
1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633
1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706
1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767
2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817
2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857
2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890
2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916
2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936
2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952
2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964
2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974
2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981
Métodos Quantitativos 55
2,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986
3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990
3,1 0,4990 0,4991 0,4991 0,4991 0,4992 0,4992 0,4992 0,4992 0,4993 0,4993
3,2 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,4995
3,3 0,4995 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4997
3,4 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4998
3,5 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998
3,6 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999
3,7 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999
3,8 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999
3,9 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000
Use a tabela acima para cálculo de probabilidades da distribuição normal para resolver os seguintes exercí-
cios:
EP 3.7. Com o auxílio da tabela da distribuição normal, encontre a área para os seguintes valores de z:
(a) 0 < z < 1, 23;
(b) −2, 15 < z < 0;
(c) −1, 56 < z < 1, 48
ER 28. Estima-se que a vida útil de um aparelho de TV, segue uma distribuição normal, com média µ = 4.000
horas e desvio padrão de 500 horas. Qual a probabilidade de um aparelho escolhido aleatoriamente durar entre
4.000 e 4.500 horas?
Solução: Para x = 4.000, temos, z =x − µ
σ=
4.000− 4.000
500= 0. Para x = 4.500, temos,z =
x − µ
σ=
4.500− 4.000
500=
500
500= 1. Logo, P(4.000 < X < 4.500) = P(0 < Z < 1) = 0, 3413 = 34, 13%.
ER 29. Uma máquina empacotadora de milho foi calibrada de modo que sua média é µ = 15Kg de milho colo-
cados no saco, com desvio padrão de 0, 3Kg . Sabendo-se que a distribuição dos pesos segue uma distribuição
normal, determine a probabilidade de um saco escolhido aleatoriamente, ter peso entre 14, 1Kg e 14, 7Kg .
Solução: Para x = 14, 1, temos, z =x − µ
σ=
14, 1 − 15
0, 3=
−0, 9
0, 3= −3. Para x = 14, 7, temos,
z =x − µ
σ=
14, 7− 15
0, 3=
−0, 3
0, 3= 1.
Logo, P(14, 1 < X < 14, 7) = P(−3 < Z < −1) = 0, 4986− 0, 3413 = 0, 8399%.
EP 3.8. As vendas de uma loja seguem aproximadamente uma distribuição normal, com média $400, 00 e
desvio padrão de $100, 00. Qual a probabilidade de que em um determinado dia a loja venda: (a) Entre $450, 00
e $650, 00; (b) Entre $350, 00 e $500, 00.
EP 3.9. A média de um concurso foi de µ = 75, com desvio padrão σ = 8. Determine: (a) Os escores
reduzidos de dois candidatos, cuja pontuação foram 95 e 60, respectivamente; (b) As pontuações de dois
candidatos cujo escores reduzidos foram, respectivamente, −0, 5 e 1, 5
EP 3.10. Os pesos de 500 estudantes são normalmente distribuídos com média µ = 64, 8Kg e desvio padrão
σ = 4, 8Kg . Encontre o número de alunos que pesam: (a) entre 60 e 75Kg ; (b) Mais de 62, 7Kg .
EP 3.11. As alturas de 20.000 alunos de um colégio têm distribuição normal, com média 1, 64m e desvio
padrão 0, 16m. (a) Qual o número esperado de alunos com altura superior a 1, 52m? (b) Qual o intervalo
simétrico em torno da média, que conterá 78% das alturas dos alunos?
FTC EAD |56
EP 3.12. A duração de certo componente eletrônico pode ser considerada normalmente distribuída com
média 850 dias e desvio padrão de 45 dias. Calcular a probabilidade de um componente durar: (a) Entre 700 e
1.000 dias; (b) Mais de 800 dias; (c) Menos de 750 dias; (c) Exatamente 1.000 dias.
EP 3.13. Os pesos de 600 estudantes são normalmente distribuídos com média de 65, 3Kg e desvio padrão
de 5, 5Kg . Encontre o número de alunos que pesam: (a) Entre 60 e 70Kg ; (b) Mais de 63, 2Kg .
EP 3.14. Em uma distribuição normal, 28% dos elementos são superiores a 34 e 12% inferiores a 19. Encontrar
a média e a variância da distribuição.
3.3 Atividade Complementar
EP 3.15. Um administrador de empresas percebeu que entre as empresas que quebram, 53, 87% dessas
empresas quebram por falta de experiência do empreendedor. De um grupo de 15 empresas que quebraram,
qual a probabilidade de que pelo menos uma tenha quebrado por outros motivos que não seja a falta de
experiência do empreendedor?
EP 3.16. Um administrador de empresas pretende montar uma empresa de consultoria e coletou dados que
mostram que em média existem 9 erros de contabilidade a cada 13 empresas que quebraram. De um grupo de
17 futuros clientes empreendedores, qual a probabilidade de no máximo 2 quebrem por erro de contabilidade?
EP 3.17. Um administrador de empresas realizou uma pesquisa onde identificou que em média um em-
preendedor de sucesso trabalha 10, 73h por dia, com um desvio padrão de 1, 74h. Supondo que as horas
trabalhadas seguem uma distribuição normal de probabilidade, determine o número esperado de empreende-
dores de sucesso que trabalham mais de 11h por dia de um total de 1354 empreendedores.
EP 3.18. Um administrador de empresas fez uma pesquisa como pequenas e micro-empresas que que-
bram nos primeiros dois anos de existência e constatou que 38, 98% das empresas quebram por razões não
relacionadas à ingerência administrativa no empreendimento e o restante das causas estão relacionados à
ingerência administrativa no empreendimento. De um grupo de 6 novas pequenas e micro-empresas, qual a
probabilidade de que ao menos duas quebre nos dois anos iniciais de sua existência, por motivos relacionados
à ingerência administrativa no empreendimento?
EP 3.19. O corpo de bombeiros atende em média 37 ocorrências por mês. Sabendo-se que essas ocorrências
podem ser aproximadas pela distribuição de Poisson, calcule a probabilidade do corpo de bombeiros atender
28 ocorrências em três semanas.
Gabarito
3.1 (a) p = 1/4 e q = 3/4, P(6)+P(7)+P(8)+P(9)+P(10) = 0, 0197 (b) p = 1/2 e q = 1/2, P(6)+P(7)+P(8)+P(9)+P(10) = 0, 3770.3.2 (a) 59, 9695%; (b) 6, 6908%; (c) 99, 9793%; (d) 40, 0305%; (e) 92, 6802%. 3.3 (a) 48 famílias; (b) 190 famílias. 3.4 0, 093852722. 3.5
0, 183940. 3.6 0, 006738. 3.7 (a) 0, 3907; (b) 0, 4842; (c) 0, 4406 + 0, 4306 = 0, 8712 3.8 (a) 30, 23%; (b) 53, 28% 3.9 (a) z = −1, 88 ez = 2, 5; (b) x = 71 e x = 87 3.10 (a) 412; (b) 333. 3.11 (a) 15.468 (b) entre 1, 4432m e 1, 8368m. 3.12 (a) 1; (b) 0, 8665; (c) 0. 3.13 (a)380; (b) 389. 3.14 (a) 73, 47; (b) 29, 03. 3.15 3.16 3.17 3.18 3.19
TEMA 04 Estimativa, Regressão e Correlação
Métodos Quantitativos 57
Conteúdo 1: Conceitos de Amostragem, Estimativa de
Médias Populacionais
4.1 Conceitos de Amostragem
Considerando a inviabilidade ou impossibilidade de se pesquisar todo o universo de certa população,
procura-se conhecê-la por meio do estudo de suas partes. O conhecimento das informações das partes de
uma população se dá por meio do uso do processo amostral. Uma amostragem pode ser feita através de
seleção dos elementos de forma probabilística (cada elemento tem a mesma chance de ser escolhido - erro
e grau de confiança controlados) ou não probabilística (não se tem controle sobre o erro e não há grau de
confiança sobre os resultados).
A amostragem é usada intuitivamente em nosso cotidiano. Por exemplo, para verificar o tempero de um
alimento em preparação, podemos provar (observar) uma pequena porção deste alimento. Estamos fazendo
uma amostragem, ou seja, extraindo do todo (população) uma parte (amostra), com o propósito de avaliarmos
(inferirmos) sobre a qualidade de tempero de todo alimento. A figura abaixo ilustra o processo de amostragem.
Ilustração de um levantamento por amostragem
População:
Todos os Membros
Amostra:
Parcela representativa dos
Membros
Amostragem
Inferência
Estimativa de parâmetros populacionais a partir da amostra. Exemplos:
(a) % de candidatos a emprego, com nível superior, que se submeteram ao teste;
(b) % de candidatos que foram aprovados no teste.
4.2 Por Que Amostragem?
Citaremos quatro razões para o uso de amostragem em levantamentos de grandes populações.
1. Economia. Em geral, torna-se bem mais econômico o levantamento de somente uma parte da população.
2. Tempo. Numa pesquisa eleitoral, a três dias de uma eleição presidencial, não haveria tempo suficiente
para pesquisar toda a população de eleitores do país, mesmo que houvesse recursos financeiros em
abundância.
3. Confiabilidade dos dados. Quando se pesquisa um número reduzido de elementos, pode-se dar mais
atenção aos casos individuais, evitando erros nas respostas.
FTC EAD |58
4. Operacionalidade. É mais fácil realizar operações de pequena escala. Um dos problemas típicos nos
grandes censos é o controle dos entrevistadores.
4.3 Quando o Uso de Amostragem Não é Interessante?
Citaremos três situações em que pode não valer a pena a realização de uma amostragem.
1. População pequena. Sob o enfoque de amostragens aleatórias, que estudaremos adiante, se a população
for pequena (digamos, de 50 elementos) para termos uma amostra capaz de gerar resultados precisos
para os parâmetros da população, necessitamos de uma amostra relativamente grande (em torno de 80%
da população).
Geralmente é mais relevante o tamanho absoluto da amostra do que a percentagem que ela representa
na população. Voltemos à situação de verificar o tempero de um alimento esteja bem mexido, uma
amostra de uma colher é suficiente, independentemente de estarmos preparando uma pequena ou grande
quantidade de alimento.
2. Características de fácil mensuração. Talvez a população não seja tão pequena, mas a variável que se
quer observar é de tão fácil mensuração, que não compensa investir num plano de amostragem. Por
exemplo, para verificar a percentagem de funcionários favoráveis à mudança no horário de um turno de
trabalho, podemos entrevistar toda a população no próprio local de trabalho. Esta atitude pode também
ser politicamente mais recomendável.
3. Necessidade de alta precisão. A cada dez anos o IBGE realiza um Censo Demográfico para estudar diver-
sas características da população brasileira. Dentre estas características tem-se o parâmetro número de
habitantes residentes no país, que é fundamental para o planejamento do país. Desta forma, o parâmetro
número de habitantes precisa ser avaliado com grande precisão e, por isto, se pesquisa toda a população.
As pesquisas censitárias realizadas pelo IBGE são úteis para o planejamento estratégico para o Estado-
Nação.
4.4 Tipos de Amostragem
4.4.1 Amostragem Probabilística
Processo de seleção de parte da população (amostra) onde cada unidade amostral tem a mesma chance
de ser selecionada. A amostra probabilística é a única para a qual é possível especificar a qualidade da
estimativa obtida da amostra. Por isto é a única recomendada pela Teoria Estatística. Os quatro tipos básicos
são: Amostragem Aleatória Simples, Sistemática, Estratificada e por Conglomerados. Na prática, um plano
amostral incorpora características de mais de um destes tipos. Estudaremos estes planos no decorrer do
curso.
4.4.2 Amostragem por Quotas
O processo por quotas trata-se de um sistema onde se tenta colher uma miniatura do universo pesquisado.
Se temos 53% de mulheres na população, então a amostra deverá ter 53% de mulheres.
Métodos Quantitativos 59
Normalmente, utiliza-se sexo, renda, idade e nível de escolaridade para formação das cotas a se atingir. Os
dois principais esquemas de obtenção de quotas são as quotas independentes e interrelacionadas.
No primeiro caso, consideram-se apenas os totais marginais das características populacionais, sem nen-
huma preocupação com as interrelações entre estas. No segundo caso, consideram-se as representações
populacionais de todos os subgrupos correspondentes às interações entre as referidas características. Os
exemplos a seguir ilustram as quotas independentes e interrelacionadas.
Exemplo de Quotas Independentes
Sexo
Masculino
Feminino
Idade
20 ⊢ 29
30 ⊢ 39
40 ⊢
Classe Social
Alta
Média
Baixa
Exemplo de Quotas Interrelacionadas
Classe Social
Alta Média Baixa
Sexo Masc. Fem. Masc. Fem. Masc. Fem.
Idades
20 ⊢ 29
30 ⊢ 39
40 ⊢
Não é correto tecnicamente utilizar fórmulas de amostragem probabilísticas para quantificação dos possíveis
erros em amostragem por quotas. Observa-se que os erros normalmente apresentados para a imprensa, de
modo geral, são calculados para amostras probabilísticas.
Muitos institutos utilizam amostragem por quotas (NORMALMENTE MAIS BARATA) e usam fórmulas es-
pecíficas para amostragem probabilística para quantificar o erro.
DESCONFIE DOS ERROS APRESENTADOS QUANDO A AMOSTRAGEM É DITA QUE
FOI FEITA POR QUOTAS. EXIJA A METODOLOGIA.
O ponto crucial da amostragem por quotas concentra-se na inviabilidade do uso de técnicas estatísticas
para quantificação do erro. Mesmo a tentativa de justificar que se trata de uma aproximação é dificilmente
sustentável, tal procedimento pode levar a enganos grosseiros. O mais coerente é assumir os custos do
método, caso usem amostragem por quotas, e divulgue-se o não conhecimento da precisão das informações
levantadas.
4.4.3 Amostragem Aleatória Simples (AAS)
A amostragem aleatória simples (AAS) é do ponto de vista conceitual e computacional, o método mais
direto de se amostrar uma população. Entretanto, estimativas mais precisas (com menor margem de erro ou
variância) podem ser obtidas combinando-se a AAS com outras características especiais do delineamento que
veremos mais adiante.
Para a seleção de uma amostra aleatória simples precisamos ter uma lista completa dos elementos da
população amostrada (ou de unidades de amostragens apropriadas). Este tipo de amostragem consiste em
selecionar a amostra através de um sorteio, sem restrição.
FTC EAD |60
Seja uma população com N elementos. Uma forma de extrair uma amostra aleatória simples de tamanho
n, sendo n < N , é identificar os elementos da população em pequenos pedaços de papel e retirar, ao acaso, n
pedaços.
A amostragem aleatória simples tem a seguinte propriedade: qualquer subconjunto da população com o
mesmo número de elementos tem a mesma probabilidade de fazer parte da amostra. Em particular, temos que
cada elemento da população tem a mesma probabilidade de pertencer à amostra.
Para facilitar a exemplificação das técnicas de amostragem, usaremos populações pequenas. Contudo,
como já discutido anteriormente, não se costuma usar amostragem aleatória em população muito pequena.
Exemplo
POPULAÇÃO: Empregados de uma empresa
Aristóteles Anastácia Arnaldo Bartolomeu Bernadino Cardoso Carlito Cláudio
Ermílio Ercílio Ernestino Endevaldo Francisco Felício Fabrício Geraldo
Gabriel Getúlio Hiraldo João Joana Joaquim Joaquina José
Juliano Josafá Josefina Maria José Maria Cristina Mauro Paula Paulo
Precisamos associar cada elemento da população a um número. Por simplicidade, consideraremos números
inteiros sucessivos, iniciando-se por 1 (um). Assim, cada nome recebe um número:
POPULAÇÃO: Empregados de uma empresa
1. Aristóteles 2. Anastácia 3. Arnaldo 4. Bartolomeu 5. Bernadino 6. Cardoso 7. Carlito 8. Cláudio
9. Ermílio 10. Ercílio 11. Ernestino 12. Endevaldo 13. Francisco 14. Felício 15. Fabrício 16. Geraldo
17. Gabriel 18. Getúlio 19. Hiraldo 20. João 21. Joana 22. Joaquim 23. Joaquina 24. José
25. Juliano 26. Josafá 27. Josefina 28. Maria José 29. Maria Cristina 30. Mauro 31. Paula 32. Paulo
Para extrairmos uma amostra aleatória simples de tamanho n = 5, basta sortear cinco números aleatórios do
conjunto 1, 2, . . . , 32. Os eleitores associados aos números selecionados formarão a amostra. Uma estimativa
do valor populacional será baseada na amostra. Uma estimativa da média populacional será a média amostral.
Na prática, estamos interessados na observação de certas variáveis associadas aos elementos da amostra.
No exemplo em questão, poderíamos estar interessados na variável: se é possuidor de carro ou não. Denom-
inaremos esta variável de X . Para cada empregado constante da amostra, temos um valor para a variável X .
O conjunto destes valores, observado na amostra de empregados, é chamado de amostra aleatória simples da
variável X .
4.4.4 Amostragem Sistemática
Muitas vezes é possível obter uma amostra de características parecidas com a amostra aleatória simples,
por um processo bem mais rápido daquele que discutimos na seção anterior. Por exemplo, se queremos tirar
uma amostra de 1.000 fichas, dentre uma população de 5.000 fichas, podemos tirar, sistematicamente, uma
ficha a cada cinco (5.000/1.000) = 5). Para garantir que cada ficha da população tenha a mesma probabilidade
de pertencer à amostra, devemos sortear a primeira ficha, dentre as cinco primeiras.
Numa amostragem sistemática a relação N/n é chamada de intervalo de seleção. No exemplo das fichas,
o intervalo de seleção é 5.000/1.000 = 5.
Exemplo: Usaremos, neste, a população dos N = 32 eleitores do exemplo anterior. Vamos realizar uma
amostragem sistemática para obtermos uma amostra de tamanho n = 5. Calculemos, inicialmente, o intervalo
Métodos Quantitativos 61
de seleção:
N/n = 32/5 ≈ 6
Para iniciarmos, devemos sortear um elemento da população dentre os seis primeiros (relativa a numeração
realizada). Podemos fazer isto sorteando um número entre 1 e 6.
Vamos supor que o número é 3 é o sorteado, ou seja, o primeiro eleitor funcionário da amostra é o “Arnaldo”.
Os demais são obtidos pelo intervalo de seleção “6”, a partir do Arnaldo, resultando na seguinte amostra:
Arnaldo(3), Ercílio(9), Fabrício(15), Joana(21), Josefina(27)
.
4.4.5 Amostragem Aleatória Estratificada (AAE)
A técnica da amostragem estratificada consiste em dividir a população em subgrupos, que denominaremos
de estratos. Estes estratos devem ser internamente mais homogêneos do que a população toda, com respeito
às variáveis em estudo. Por exemplo, para estudar as intenções de voto podemos estratificar população por
idade, sexo, nível cultural, renda, etc.
Devemos escolher um critério de estratificação que forneça estratos bem homogêneos, com respeito ao
que se está estudando. Neste contexto, um prévio conhecimento sobre a população em estudo é fundamental.
Recomenda-se que o número de estratos seja menor ou igual a 6 (seis).
Sobre os diversos estratos da população, são realizadas seleções aleatórias, de forma independente. A
amostra completa é obtida através da agregação das amostras de cada estrato.
Estrato 1 −→ subgrupo 1 da amostra
Estrato 2 −→ subgrupo 2 da amostra
...Seleções ...aleatórias
Estrato k −→ subgrupo k da amostra
9>>>>=>>>>;Amostra Estratificada
4.4.6 O Processo de Amostragem Estratificada
Neste caso particular de amostragem estratificada, a proporcionalidade do tamanho de cada estrato da
população é mantida na amostra. Por exemplo, se um estrato corresponde a 20% do tamanho da população,
ele também deve corresponder a 20% da amostra.
A amostragem estratificada proporcional garante que cada elemento da população tem a mesma probabili-
dade de pertencer à amostra.
Exemplo: Com o objetivo de pesquisar as intenções de voto para Governador em um Estado (população)
vamos realizar um levantamento por amostragem. A população é composta por 10 pessoas com nível superior,
FTC EAD |62
10 com nível secundário e 30 com primeiro grau, que identificaremos da seguinte maneira.
POPULAÇÃO
Superior D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10
Segundo Grau S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 S10
E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8 E9 E10
Primeiro Grau
E11 E12 E13 E14 E15 E16 E17 E18 E19 E20
E21 E22 E23 E24 E25 E26 E27 E28 E29 E30
Supondo que a preferência em relação a escolha do Governador possa ser homogênea dentro de cada
categoria, vamos realizar uma amostragem estratificada, proporcional por categoria, para obter uma amostra
global de tamanho n = 10. A tabela seguinte mostra as relações de proporcionalidade.
Cálculo do tamanho da amostra em cada estrato
Estrato Proporção na População Tamanho do subgrupo na amostra
Superior 10/50 = 0, 20 ou 20% 10 · 0, 20 = 2
Segundo Grau 10/50 = 0, 20 ou 20% 10 · 0, 20 = 2
Primeiro Grau 30/50 = 0, 60 ou 60% 10 · 0, 60 = 6
De cada estrato realizamos uma amostra aleatória simples. Vamos supor que obtivemos D9, D8 para
os estratos correspondentes ao nível superior. A amostra S3, S1 para o estrato correspondente ao nível
secundário e a amostra E10, E4, E6, E27, E7, E20 para o estrato correspondente ao primeiro grau.
A amostra D9, D8, S3, S1, E10, E4, E6, E27, E7, E20 é uma amostra estratificada proporcional. Cada indivíduo
desta amostra deverá ser pesquisado para se levantar a característica de interesse, ou seja, o candidato
preferido para Governador. Uma estimativa da preferência de determinado candidato será construída como
uma média ponderada (pelo tamanho do estrato) das médias de cada estrato.
Desde que no problema em estudo, os estratos formam subgrupos mais homogêneos do que a população
como um todo, uma amostra estratificada proporcional tende a gerar resultados mais precisos, quando com-
parada com uma amostra aleatória simples.
4.4.7 Amostra Aleatória Simples × Amostra Aleatória Estratificada
Como foi visto, o objetivo de se amostrar é mensurar os parâmetros de interesse da população. Essas men-
surações são estimativas dos parâmetros. Ilustraremos aqui as etapas para estimação no caso da amostragem
aleatória estratificada. Mostraremos os ganhos do processo estratificado em relação a Amostragem Aleatória
Simples.
Vamos considerar primeiro um exemplo exagerado, onde os benefícios da estratificação são claros:
Exemplo: Suponha que uma grande população é conhecida ser 60% urbana e 40% rural, e que o problema
é estimar o rendimento médio anual dos trabalhadores. Imagine que o rendimento médio anual do trabalhador
urbano seja de R10.000,00eR 5.000, 00 para trabalhador rural. Com esses valores, o rendimento médio anual
RM dos trabalhadores é uma média ponderada:
RM = 10.000, 00 · 0, 60 + 5.000, 00 · 0, 40 = 8.000, 00.
Como os valores das rendas são, na prática, desconhecidos, surge a questão: quão bem uma amostra
Métodos Quantitativos 63
aleatória estimaria a renda média? Vamos comparar cinco amostras diferentes: três AAS e uma AAE com
alocação proporcional.
Os resultados estão no Quadro seguinte. As últimas três colunas correspondem à AAS (cada coluna uma
amostra diferente), e a coluna 2 corresponde à AAE . Nas AAS , note que o número de elementos da população
urbana e rural na amostra flutua. Ou seja, na primeira amostra entrou apenas um elemento da população rural
e na segunda, apenas um da população urbana.
Tudo acontece por que os 5 trabalhadores foram coletados ao acaso, sem levar em consideração a existên-
cia de extratos. Como resultado, a média amostral da AAS flutua: uma amostra forneceu média R$9.000, 00,
outra R$6.000, 00 e a terceira R$8.000, 00.
Amostras retiradas da população: 3 AAS e 1 AAE
População AAE AAS (R$)
Estrato Proporção Renda média (R$) Alocação Proporcional (R$) 1 2 3
Urbano
10.000,00 10.000,00 10.000,00
0,60 10.000,00 10.000,00 10.000,00 10.000,00 10.000,00
10.000,00 10.000,00 10.000,00 10.000,00
10.000,00
Rural
5.000,00 5.000,00 5.000,00 5.000,00 5.000,00
0,40 5.000,00 5.000,00 5.000,00
5.000,00
5.000,00
Média 8.000,00 8.000,00 9.000,00 6.000,00 8.000,00
(1) (2) (3) (4) (5)
em que (1) corresponde à média populacional; (2), (3), (4) e (5) correspondem à média amostral.
Apesar do ser um exemplo extremo, ele ilustra bem que, seguramente é recomendável respeitar as pro-
porções populacionais na amostra, preservando uma característica natural da população. Ou seja, com alo-
cação proporcional, a amostra, assim como na população, teria 60% de trabalhadores urbanos e 40% de trabal-
hadores rurais.
Exemplo: Considere uma pesquisa feita em uma unidade com N = 8 domicílios, onde são conhecidas as
variáveis: renda domiciliar (Y ) e o local do domicílio (W ), com os códigos A: região alta e B: região baixa.
Domicílios
Região 1 2 3 4 5 6 7 8
A 17 12 19
B 13 6 5 10 6
Obs: Exemplificando, o terceiro domicílio é da região baixa e possui renda 6.
Para esta população calcula-se a média (µ) e a variância (σ2).
µ =13 + 17 + 6 + 5 + 10 + 12 + 19 + 6
8=
88
8= 11.
σ2 =(13 − 11)2 + (17 − 11)2 + . . . + (6 − 11)2
8=
219.43
8= 27, 42.
Observe que µA = 16, µB = 8, σ2A = 13 e σ2
B = 11, 5.
Para o plano AAS de tamanho n = 44 (lembre-se do TCL), sabe-se que:
FTC EAD |64
x =
4Xi=1
xi
4(estimativa da média populacional)
V (x) =σ2
n=
27, 42
4≈ 6, 855 (variabilidade da estimativa).
Sorteando, em cada estrato (A e B) uma AAS de tamanho n = 2, tem-se que:
xA =
2Xi=1
xAi
2(estimativa da média populacional de A)
V (xA) =σ2
A
n=
13
2= 6.5
xB =
2Xi=1
xBi
2(estimativa da média populacional de B)
V (XB) =σ2
B
n=
11, 5
2= 5, 75.
Baseado em XA e XB , um estimador para µ será:
X es =3 · XA + 5 · XB
8.
Com variabilidade dada por:
V (X es) =9
64· V (XB) +
25
64· V (XB) = 3, 16.
Pode-se então medir o efeito da amostragem estratificada em relação a amostragem aleatória simples.
ea =V (X es)
V (X )=
3, 16
3, 48= 0, 91
Portanto, com o mesmo tamanho da amostra consegue-se diminuir a variância do estimador em 10%. O
resultado será mais eficaz quanto maior for a habilidade do pesquisador em produzir estratos homogêneos.
O caso limite é aquele onde se consegue a homogeneidade máxima (variância nula dentro de cada estrato)
onde então a estimativa acerta o parâmetro populacional. Lembre-se, entretanto que a simples estratificação
por si só não produz necessariamente estimativas mais eficientes que a AAS.
4.4.8 Amostragem Aleatória por Conglomerados (AAC)
Ao contrário da amostragem estratificada, a amostragem de conglomerados tende a produzir uma amostra
que gera resultados menos precisos, quando comparada com uma amostra aleatória simples de mesmo
tamanho. Contudo, seu custo financeiro tende a ser bem menor.
Chamamos de conglomerado a um grupamento de elementos da população. Por exemplo, numa população
de domicílios de uma cidade, os quarteirões formam conglomerados de domicílios.
Métodos Quantitativos 65
Este tipo de amostragem consiste, num primeiro estágio, em selecionar conglomerados de elementos. Num
segundo estágio, ou se observam todos os elementos dos conglomerados selecionados no primeiro estágio
(amostragem de conglomerados em um estágio) ou, como é mais comum, faz-se nova seleção, tomando
amostras de elementos dos conglomerados extraídos no primeiro estágio (amostragem de conglomerados
em dois estágios). Todas as seleções devem ser aleatórias.
Em algumas pesquisas em grande escala, a amostragem pode ser feita em mais estágios. Por exemplo:
para selecionar uma amostra de domicílios do Estado de Santa Catarina, podemos no primeiro estágio se-
lecionar municípios; no segundo estágio, selecionar quarteirões e, finalmente, no terceiro estágio, selecionar
domicílios.
Chamamos de fração de amostragem à relação n/N , ou seja, à proporção da população que será efetiva-
mente observada. Se a fração de amostragem for constante para todos os conglomerados selecionados, então
cada elemento da população tem a mesma probabilidade de pertencer à amostra.
Exemplo: Considere o problema de selecionar uma amostra de domicílios de uma cidade. Podemos tomar
as ruas como conglomerados, como indicado no quadro abaixo, onde A1 representa o primeiro domicílio da
Rua A, A2 o segundo, e assim por diante.
Ilustração do processo de amostragem de conglomerados em dois estágios.
Ruas Domicílios
A A1 A2 A3 A4 A5 A6
B B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11 B12 B13 B14
C C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10
D D1 D2 D3 D4
E E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8
Vamos, como exemplo, selecionar uma amostragem de conglomerados, selecionando três ruas (primeiro
estágio) e, nas ruas selecionadas, uma fração de amostragem de 50% de domicílios (segundo estágio). Então:
FTC EAD |66
1 Estágio: Neste estágio, as unidades de amostragem são as ruas, que vamos considerá-las numeradas,
como segue: 1 = A, 2 = B, 3 = C , 4 = D e 5 = E . Sorteamos três números entre os números de 1 a 5. Suponha
que sorteamos os números 2; 4; 5. Estes correspondem a amostra de conglomerados (ruas): B, D e E .
2 Estágio: Para satisfazer a fração de amostragem de 50% em cada conglomerado, precisamos selecionar
7 domicílios da Rua B, 2 da D e 4 da E .
• Rua B. Procedendo o sorteio, chegamos nos domicílios B9, B10, B4, B6, B7, B12, B1.
• Rua D. Sorteamos os domicílios D2 e D4.
• Rua E . Sorteamos E1, E8, E6 e E3.
Amostra selecionada: B9, B10, B4, B6, B7, B12, B1, D2, D4, E1, E8, E6, E3.
Deve-se observar que, ao contrário dos planos discutidos anteriormente, a amostragem de conglomerados
não exige uma lista de todos os elementos da população. Basta, no primeiro estágio, uma lista de conglom-
erados e, no segundo estágio, uma lista de elementos, mas somente para os conglomerados previamente se-
lecionados. Por este aspecto, em pesquisas onde os elementos da população estão dispersos sobre grandes
áreas territoriais, a amostragem de conglomerados torna-se muito mais econômica do que a aleatória simples.
4.5 Inferências Estatísticas
Estimação: Estimar é a ação de fazer uma suposição generalizada a respeito de um todo baseado em
informações lógicas. Exemplo: Uma pesquisa mostrou que em 1999, 90% dos acidentes de trânsito foram com
homens e 1% com mulheres. A mesma pesquisa foi feita em 2000 e mostrou que 95% eram homens e 5%
mulheres. Não podemos concluir que o número de acidentes com homens aumentaram, pois não foi informado
a margem de erro dessa pesquisa, portanto, toda vez que fazemos uma pesquisa, nós devemos calcular o erro
associado a nossa pesquisa, para podermos tomar decisões baseadas nelas.
• Parâmetro: É uma função do conjunto de valores da população. Ex: Média Aritmética, variância, etc.
• Estimativa: É o valor assumido pelo parâmetro em determinada amostra.
Estimar parâmetros é basear-se nos resultados da amostra para estimá-los à população. No exemplo acima
temos que o parâmetro usado para análise foi a proporção. A estimativa para caracterizar a população foi de
90% para os homens em 1999.
Estimadores mais usados
Parâmetro Populacional Estimadores
Média x
Diferença entre as médias de duas populações x1 − x2
Proporção p
Diferença entre proporções de duas populações p1 − p2
Desvio padrão σ
Métodos Quantitativos 67
4.6 Formas de estimativas
• Estimativa pontual: Determina um valor específico de um parâmetro.
• Estimativa intervalar: Dá um intervalo de valores possíveis onde está o valor parâmetro populacional.
Exemplo: Temos a porcentagem de acidentes registrado envolvendo homens e mulheres no ano de 1999:
• Estimativa pontual: 90% de homens e 10% de mulheres.
• Estimativa Intervalar: entre 88% e 92% de homens e entre 8% e 12% de mulher
Conteúdo 2: Estimativas de Proporções Populacionais
Usamos a proporção amostral para estimar a proporção populacional. A estimativa pontual é quando esti-
mamos a proporção populacional pela amostral, isto é, p = x/n, onde x é o número de itens na amostra e n é
o tamanho da amostra.
ER 30. Em um lote de CD’s é retirada uma amostra de 123 CD’s e observamos que 47 estão com defeito.
Estime a proporção de CD’s com defeito deste lote pontualmente.
Solução:
p = x/n = 47/123 = 0, 3821 = 38, 21%
A estimativa intervalar de proporções populacionais é feita da seguinte maneira:
x
n± z
Ìx
n·1 − x
n
n
,
em que x é o número de itens da amostra, z é a variável aleatória normal e n o tamanho da amostra.
O desvio padrão da proporção é calculado da seguinte maneira:
σp =
Ìx
n·1 − x
n
n
=
rp · (1 − p)
n,
pois p = x/n.
Na estimativa intervalar de proporções populacionais não utilizamos a distribuição de student.
ER 31. Considere o exemplo anterior. Estime a proporção populacional com uma confiança de 96%.
Solução: Temos que p = x/n = 47/123 = 0, 3821 = 38, 21% e σp =
rp · (1 − p)
n=r
0, 3821(1− 0, 3821)
123= 0, 3821. O valor de z que nos dá uma confiança mais próxima de 96% é z = 2, 06,
que nos dá uma área de 0, 4803%. Logo, estimamos a proporção populacional da seguinte maneira:
p ± z
rp · (1 − p)
n= 0, 3821± 2, 06
r0, 3821 · (1 − 0, 3821)
123= 0, 3821± 0, 0902 = 38, 21%± 9, 02%
FTC EAD |68
4.6.1 Erro de estimação da proporção populacional
O erro de estimação da proporção populacional é a diferença entre a proporção amostral e a proporção
populacional, como supomos que a proporção amostral no intervalo de estimação da proporção populacional,
logo o erro máximo é dado por e = z
rp · (1 − p)
n, notamos que o erro aumenta quando p · (1−p) aumenta, isto
é quando −p2 + p aumenta, considerando a função f (p) = −p2 + p, temos que seu ponto de mínimo é p = 1/2,
logo o erro é máximo quando p = 1/2 = 0, 5 = 50%. Desta forma, quando tivermos situações onde a proporção
p não for conhecida, nós vamos supor que p = 1/2, pois para este valor de p teremos um erro máximo. Desta
forma, estaremos aumentando o desvio padrão e aumentando a confiança de nossa estimação.
ER 32. Qual o tamanho da amostra que devemos tomar para estimarmos a proporção de uma população com
um nível de significância de 6% e um erro de 0, 03?
Solução: Nível de significância é o complementar do nível de confiança e é denotado pela letra grega
alfa (α), isto é, α = 1 − NC . Logo, NC = 1 − α = 1 − 0, 06 = 0, 94 = 94%, onde NC é o nível de confiança.
Como a proporção p não é conhecida tomamos p = 0, 5, para um nível de confiança de 94% tomamos
z = 1, 89 que nos dá uma área de 0, 4706. Como o erro é dado por e = z
rp · (1 − p)
n, temos que n =
z2 · p · (1 − p)
e2=
1, 892 · 0, 5 · (1 − 0, 5)
0, 032= 992, 25, vamos tomar então n = 993 para garantirmos no mínimo
nossas exigências de confiança e erro.
4.6.2 Determinação do tamanho da amostra em populações finitas
O erro de estimação da proporção populacional de populações finitas é dado por e = z
rp · (1 − p)
n·r
N − n
N − 1. Logo, temos que n =
Z 2 · p · (1 − p) · Ne2 · (N − 1) + z2 · p · (1 − p)
, onde p =x
n.
EP 4.1. Qual o tamanho da amostra que devemos retirar de um lote de 2.795 relógios, para estimarmos a
proporção de defeituosos com um nível de confiança de 95, 8% e com um erro de 0, 023?
ER 33. Foi retirada uma amostra dos pesos dos estudantes de uma faculdade conforme os seguintes dados:
68; 70; 56; 78; 49; 62; 67; 91; 58; 62; 71; 78. Estime a média populacional com um nível de significância de 6%.
Solução: Temos que a média dos dados é x = 67, 5 e o desvio padrão amostral sx é dado pela expressão
Sx =
sX(X − xi )
2
n − 1=
É1417
11= 11, 3498. Podemos calcular o desvio padrão amostral na HP−12C , limpando
os registradores estatísticos teclando (f )(reg) e entrando com os dados amostrais teclando (X
+), depois
teclamos (g)(s) para obtermos o desvio padrão amostral.
Como n = 12 < 30 vamos utilizar a distribuição de student, o valor de t que nos dá um nível de significân-
cia de 6%, para um grau de liberdade de 11 é t = 2, 0961, logo estimamos a média populacional sendo:
x ± t · Sx√n
= 67, 5 ± 2, 0961 · 11, 3498√12
= 67, 5 ± 6, 8677.
EP 4.2. Uma amostra de 41 observações de uma população apresentou uma média de 33, 7. Se a variância
populacional é de 11, 3, determine um limite máximo para a média populacional com α = 7%.
Métodos Quantitativos 69
EP 4.3. Em um estudo sobre o grau de impurezas em lotes de 3, 2Kg de determinado composto medicinal,
o erro máximo tolerável é de 1, 03Kg . Se o grau de impurezas apresenta um desvio padrão populacional
de 5, 03g . Determine o tamanho da amostra que devemos tomar neste estudo, se desejamos um nível de
significância de 4%.
Conteúdo 3: Regressão Linear
São técnicas estreitamente relacionadas que envolvem uma forma de estimação. Essa técnicas são uti-
lizadas para estimar uma relação, que possa existir na população.
A correlação mede a força, ou grau de afinidade ou de relacionamento entre duas variáveis.
A regressão nos dá uma equação matemática que descreve o relacionamento entre as variáveis.
A regressão linear é a técnica de estabelecer uma equação matemática de primeiro grau que descreve
o relacionamento entre duas variáveis. Por exemplo: (a) Dureza e resistência de um metal; (b) Procura de
automóveis usados e o aumento de carros novos (Causa e efeito); (c) Estimação de lucros (predizer valores
futuros).
4.7 Equação de Regressão Linear
y = a + bx ou f (x) = a + bx , pois y = f (x), em que b é o coeficiente angular e a é o coeficiente linear.
Os coeficientes a e b são determinados com base nos dados amostrais.
Exemplo: y = 2 + 5x
x
y
1
7
2
A reta intercepta o eixo y no ponto (0; a), isto é, y = a. Neste caso, no ponto (0; 2), isto é, y = 2. Este ponto
é chamado intercepto−y .
O coeficiente angular indica a variação de y por unidade de variação de x . Neste exemplo, para cada
unidade de variação de x , correspondem a 5 unidades de variação de y .
FTC EAD |70
4.8 Decisão por um tipo de relação
Nem todas as situações são bem aproximadas por uma função linear. Uma forma simples de verificar isto é
colocar os dados no gráfico.
Exemplo:
x
y
Linear x
y
Não linear
4.9 Determinação da equação de regressão linear (método dos mín-
imos quadrados)
É o método mais usado para ajustar uma linha reta a um conjunto de pontos (xi ; yi ). Esta reta tem as
seguintes características:
1. A soma dos desvios padrões verticais dos pontos em relação à reta é zero.X(yi − yc) = 0; em que yi são as ordenadas dos pontos e yc são as ordenadas dos pontos que estão
sobre a reta que tem como abscissa xi .
x
y
2. A soma dos quadrados dos desviosX
(yi − yc)2 é mínimo.
Os valores dos coeficientes de a e b, da equação da reta de ajuste yc = a + bx são calculados resolvendo
as seguintes equações ditas normais:
Métodos Quantitativos 71
i.X
y = na + bX
x
ii.X
xy = aX
x + bX
x2; onde n é o número de pares de dados (x ; y) observados.
Resolvendo as equações acima temos:
a =
Xy − b
Xx
ne b =
nX
xy −X
xX
y
nX
x2 − (X
x)2
A reta de regressão passa pelo ponto (x ; y), isto é, determinada a equação de ajuste yc = a + bx , tem-se
que y = a + bx, em que x e y são, respectivamente, a média das abscissas x e das ordenadas y , dos pares de
dados (x ; y).
ER 34. Os dados abaixo representam a média de acidentes por mês versus a média de horas gastas por mês
em treinamento educativo para prevenção de acidentes.
Média de acidentes por mês (y) 7 6, 4 5, 2 4, 0 3, 1 8, 0 6, 5 4, 4
Média de horas de treinamento por mês (x) 200 500 450 800 900 150 300 600
Suponha que queiramos saber, se há uma relação entre a média de acidentes e a média de horas gastas
em treinamento. A média de horas de treinamento seria a variável independente (x) e a média de acidentes a
variável dependente (y).
Colocando os dados no gráfico, vemos que eles podem ser aproximados por uma equação linear, pois estão
próximos a uma reta. Veja o gráfico de dispersão abaixo:
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-100
Horas de Treinamento
Aci
dent
es
(a) Determine a equação da reta que melhor descreva a relação entre acidentes e horas de esforço preventivo.
(b) Estime a frequência de acidentes se o esforço preventivo for de 700 horas.
Solução: (a) b =nX
xy −X
xX
y
nX
x2 − (X
x)2=
8.18720− 3900.44, 6
82415000− 1521000= −0, 0059
a =
Xy − b
Xx
n=
44, 6 + 0, 0059.3900
8= 8, 4513.
Como a equação da reta de ajuste é y = a + bx , temos y = 8, 45 − 0, 0059x .
(b) y = 8, 4513− 0, 0059.700 = 4, 3213
FTC EAD |72
ER 35. Determine (a) uma equação preditora do montante de seguro em função da renda anual (b) qual o
montante do seguro se a renda for 29 e (c) qual a renda anual se o montante do seguro for 25, com base nos
seguintes dados.
Renda Anual (em $1.000)
(x) 20 25 26 18 16 17 32 13 38 40 42
(y) 10 12 15 10 15 20 30 5 40 50 40
Solução: (a) Temos que b =nX
xy −X
xX
y
nX
x2 − (X
x)2= 1, 3210, pois
Xx = 287,
Xx2 = 8.571, a =X
y − bX
x
n= −12, 0121,
Xy = 247,
Xy2 = 7819 e
Xxy = 7.875.
Portanto, y = −12, 0121 + 1, 3210x (equação preditora).
(b) Logo, y = −12, 0121 + 1, 3210 · 29 = 26, 2969
(c) 25 = −12, 0121 + 1, 3110x ⇒ x = 28, 0182 (HP 12C x = 28, 0178)
Conteúdo 4: Correlação Linear
4.10 Correlação Linear (o coeficiente ρ de Pearson)
O coeficiente de correlação linear de Pearson é dado por:
ρ =nX
xy −X
xX
yqnX
x2 − (X
x)2 ·q
nX
y2 − (X
y)2
Temos que −1 ≤ ρ ≤ 1. Se ρ estiver próximo de −1, então os dados estão próximos da reta de ajuste, que
é decrescente, portanto, estão negativamente relacionados. Se ρ estiver próximo de 1, então os dados estão
próximos da reta de ajuste, que é crescente, logo, estão positivamente relacionados. Se ρ estiver próximo de
zero, temos que os dados estão distantes da reta de ajuste, logo temos uma péssima estimação.
O coeficiente de determinação
ρ2 =
nX
xy −X
xX
yqnX
x2 − (X
x)2 ·q
nX
y2 − (X
y)2
Ǒ2
Temos que 0 ≤ ρ2 ≤ 1. Se ρ2 estiver próximo de 1, significa que os pontos estão próximos da reta de ajuste,
logo temos uma boa estimação. Se estiver próximo de zero, significa que temos dados distantes da reta de
ajuste, logo temos uma péssima estimação.
ER 36. Determine o coeficiente de determinação do exemplo anterior.
Solução: ρ2 = 0, 9084. Temos um valor próximo de 1, significando que 90, 84% da variação dos acidentes
estão relacionados com a variação do nível de esforço preventivo, e apenas 9, 16% da variação não são
explicados pela variação do nível de esforço.
Métodos Quantitativos 73
4.11 Atividade Complementar
EP 4.4. Se deseja avaliar a relação existente entre o número de horas (xi ) e a nota obtida (yi ). Os dados
estão apresentados na tabela seguinte. Qual a equação da reta ajustada entre x e y? Qual a qualidade do
ajuste?i 1 2 3 4 5 6
Xi 1 3 4 5 6 6, 5
Yi 6 7 7, 5 8 8, 5 8, 7
EP 4.5. Os dados da tabela abaixo representam o consumo e a renda disponível. Com base nos dados
apresentados, responda ’as questões apresentadas a seguir.
Anos Consumo (y), em R$ milhões Renda (x), em R$ milhões
1960 158 189
1961 160 209
1962 163 220
1963 165 235
1964 170 250
(a) Verificar a qualidade do ajuste dos dados à reta de regressão.
(b) Se a qualidade do ajuste for boa, encontre a reta de regressão.
(c) Qual o consumo esperado para uma renda de 400 milhões de reais?
EP 4.6. Os dados da tabela abaixo representam o consumo e a renda disponível. Com base nos dados
apresentados, responda as questões apresentadas a seguir.
Anos Consumo (y), em milhões de reais Renda (x), em milhões de reais
1960 523 187
1961 398 205
1962 470 238
1963 495 236
1964 501 241
(a) Verificar a qualidade do ajuste dos dados à reta de regressão linear.
(b) Em quantos por cento as variações no consumo são explicadas pelas variações da renda?
(c) O ajuste dos dados à reta de regressão linear é de boa qualidade? Por quê?
(d) Determine a equação da reta que melhor se ajusta os dados pelo método da regressão
(e) Estime a renda usando a equação da reta do item anterior se o consumo for de 407 milhões de reais.
EP 4.7. Considere os dados amostrais abaixo:
26,98 25,10 25,20 32,40 34,38 34,37 36,46 39,06 39,37
39,4 49,93 49,84 50,84 51,54 54,68 54,68 65,32 65,64
67,76 67,85 70,33 71,77 71,87 79,64 79,75 81,92 81,74
81,96 82,37 82,38 89,39 93,62 93,94 94,13 101,56 103,58
107,56 107,19 107,98 107,35 120,34 122,87 122,98 123,96
FTC EAD |74
(a) Estime a média populacional com α = 0, 05.
(b) Suponha que o tamanho dessa população que foi retirada essa amostra seja de 80 elementos. Estime a
média dessa população com α = 0, 05.
EP 4.8. De uma amostra de 153 observações de um lote de parafusos, foi detectado 29 parafusos com defeito.
Determine o erro de estimação da proporção populacional se α = 4%.
EP 4.9. De um lote de 1791 canetas, foi retirada uma amostra de 93 canetas, desta amostra foram encontradas
13 canetas com defeito. Estime a proporção de canetas defeituosas deste lote com um nível de confiança de
97, 5%.
EP 4.10. Numa estação de trem de grande circulação foi colhida uma amostra aleatória de 100 observações
com média 30 e desvio padrão de 7. Determine com 99% de confiança uma cota superior para a média
Gabarito
4.1 n = 1.155. 4.2 µX = 34, 4770 4.3 n = 102. 4.4 y = 55.146 + 0, 4946x; ρ2 = 0, 9997 = 99, 97% 4.5 (a) ρ2 = 0, 9543; (b)y = 120, 4445 + 0, 1938x; (c) R$197, 9703 milhões 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10
Métodos Quantitativos 75
Referências Bibliográficas
[1] COSTA, Sérgio Francisco; Introdução Ilustrada à Estatística . 4a edição. São Paulo: Harbra, 1998.
[2] FONSECA, J. S. & MARTINS, G. A.; Curso de Estatística . 6a edição. São Paulo: Atlas, 1998.
[3] FREUND, Jonh E.. Estatística Aplicada : Economia, Administração e Contabilidade. Porto Alegre: Book-
man, 2000.
[4] MAGALHÃES, Marcos Nascimento & LIMA, Antonio Carlos Pedroso de; Noções de Probabilidade e Es-tatística . 6a edição. São Paulo: IME/USP, 2007.
[5] MEYER, Paul L.; Probabilidade, Aplicações à Estatística . 2a edição. São Paulo: LTC, 2000.
[6] SILVA, Ermes Medeiros da; MUROLO, Afrânio Carlos; SILVA, Elio Medeiros da; & GONÇALVES, Valter.
Estatística Estatística, Vol. 2. 2a edição. São Paulo: Atlas, 1997.
[7] SPIEGEL, Murray R.. Estatística . 3a edição. São Paulo: Makron Books, 1993.
[8] STEVENSON, William J.; Estatística Aplicada à administração . São Paulo: Habra, 1996.
FTC EAD |76
ANOTAÇÕESANOTAÇÕES
ANOTAÇÕESANOTAÇÕES
ANOTAÇÕESANOTAÇÕES
FTC EADFaculdade de Tecnologia e Ciências – Educação a Distância
Democratizando a educação.www.ead.ftc.br