Motivao Como estimar a incerteza do valor de uma grandeza que
calculada a partir de operaes matemticas com os resultados de
outras grandezas medidas?b c A = b. c u(A) = ? u(b) u(c) u(c)
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Medies indiretas O valor do mensurando determinado a partir de
operaes matemticas envolvendo resultados de duas ou mais grandezas
de entrada medidas separadamente. Exemplos: A rea de um terreno
calculada atravs do produto entre sua largura pelo seu comprimento.
Determinao da corrente eltrica multiplicando a queda de tenso sobre
um resistor pelo valor da sua resistncia. Consideraes
Preliminares:
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O Modelo Matemtico necessrio um modelo matemtico que relacione
as grandezas de entrada com o valor do mensurando. Exemplos: A = l.
h V = d / t
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Dependncia estatstica e correlao Duas variveis aleatrias so
consideradas estatisticamente independentes ou no correlacionadas
se as variaes aleatrias da primeira no guardam nenhum tipo de
sincronismo com as da segunda. Exemplo: a temperatura da gua do mar
na praia da Joaquina e a cotao do Dlar.
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Dependncia estatstica Duas variveis aleatrias so consideradas
estatisticamente dependentes ou correlacionadas se as variaes
aleatrias da primeira ocorrem de forma sincronizada com as variaes
aleatrias da segunda. Exemplos: Os valores em Real da cotao do Euro
e do Dlar. A temperatura da gua do mar em duas praias prximas.
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Correlao direta Na correlao direta as variaes esto
sincronizadas de tal forma que: (a) o aumento aleatrio do valor da
primeira varivel aleatria acompanhado de um aumento proporcional da
segunda varivel. (b) a reduo aleatria do valor da primeira varivel
aleatria acompanhado de uma reduo proporcional da segunda
varivel.
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Correlao inversa Na correlao inversa as variaes esto
sincronizadas de tal forma que: (a) o aumento aleatrio do valor da
primeira varivel aleatria acompanhado de uma reduo proporcional da
segunda varivel. (b) a reduo aleatria do valor da primeira varivel
aleatria acompanhado de um aumento proporcional da segunda
varivel.
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Analogia da Gangorra... A B C A B C A e B possuem correlao
direta A e C possuem correlao inversa B e C possuem correlao
inversa
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Coeficiente de Correlao sendo (X,Y)o coeficiente de correlao
entre X e Y cov(X, Y)a covarincia entre X e Y X o desvio padro da
varivel aleatria X Y o desvio padro da varivel aleatria Y
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Estimativa do Coeficiente de Correlao valores mdios das
variveis X e Y nnmero total de pares de pontos das variveis X e Y
sendo r(X, Y)estimativa do coeficiente de correlao para X e Y x i e
y i i-simo par de valores das variveis X e Y
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Correlao direta e inversa Correlao direta perfeita: (X, Y) =
+1,00 Correlao inversa perfeita: (X, Y) = -1,00 Ausncia total de
correlao (X, Y) = 0,00
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Correlao entre mltiplas variveis aleatrias A B C DABCD ABCD A+1
B+1 C +1 D +1
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Nas medies indiretas h boas chances de correlao quando: H erros
sistemticos considerveis e no compensados nas medies de ambas
grandezas; Uma mesma grandeza de influncia age fortemente em ambos
processos de medio; Ambas grandezas so medidas pelo mesmo SM em
condies distintas das de calibrao ou muito tempo aps a calibrao ter
sido realizada.
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Nas medies indiretas h boas chances de no haver correlao se:
Ambos os sistemas de medio foram recentemente calibrados e esto
operando em condies prximas das condies de calibrao e as
respectivas correes esto sendo aplicadas; Distintos sistemas de
medio so utilizados em condies em que no h uma mesma grandeza de
influncia presente que possa afetar significativamente ambos os
processos de medio.
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Caso Geral de MNC = coeficiente de sensibilidade Podem ser
calculados analtica ou numericamente
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Exemplo: Adio de MNC 1 2 m T = m 1 + m 2 m 1 = (1000 6) g m 2 =
(2000 8) g u(m T ) = 5 g MNC m T = (3000 10) g u(m 1 ) = 6/2,0 = 3
g u(m 2 ) = 8/2,0 = 4 g U = t. u = 2,0. 5 = 10 g
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Exemplo: Subtrao de MNC m C = m 2 m 1 m 1 = (1000 6) g m 2 =
(2000 8) g u(m C ) = 5 g MNC m C = (1000 10) g 1 2 m C + m 1 = m 2
U = t. u = 2,0. 5 = 10 g
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Exemplo: Diviso de MNC V R I Determine a corrente eltrica que
passa por um resistor de (500,0 1,0) sobre o qual foi medida uma
queda de tenso de (150,0 3,0) V. u(R) = 1,0/2,0 = 0,5 u(V) =
3,0/2,0 = 1,5 V
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Clculo do nmero de graus de liberdade efetivos
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Valor da corrente eltrica: U(I) = 2,000. u(I) U(I) = 2,000.
0,003014963 = 0,006029925 A I = (0,300 0,006) A I = (300 6) mA
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Na determinao da massa especfica () de um material usou-se um
processo indireto, medindo-se em um laboratrio, com uma balana, a
massa (m) de um cilindro cujo dimetro (D) e altura (h) foram
determinados por um micrmetro e um paqumetro respectivamente. Aps a
compensao dos erros sistemticos, foram encontrados os seguintes
resultados e os respectivos nmeros de graus de liberdade para cada
grandeza de entrada: Exemplo: Caso Geral de MNC
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Medies Realizadas D h Para a massa: m = (1580 22) g m = 14 Para
o dimetro: D = (25,423 0,006) mm D = Para a altura: h = (77,35
0,11) mm h = 14
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Massa Especfica D h
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Considerando que as medies foram efetuadas em condies de
laboratrio e as componentes sistemticas foram compensadas, muito
provvel que as medidas das trs grandezas sejam no correlacionadas.
A incerteza padro associada a cada grandeza envolvida ser calculada
dividindo-se a incerteza expandida pelo coeficiente t de Student:
u(m) = U(m)/t 14 = 22/2,195 = 10,023 g u(D) = U(D)/t = 0,006/2,00 =
0,0030 mm u(h) = U(h)/t 14 = 0,11/2,195 = 0,0501 mm
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Clculo da incerteza combinada
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Clculo do nmero de graus de liberdade efetivos
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Valor da massa especfica: U( ) = 2,195. u( ) U( ) = 2,195.
0,000256765 = 0,000563598 g/mm 3 = (0,04024 0,00056) g/mm 3
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Caso Geral = coeficiente de sensibilidade Pode ser calculado
analtica ou numericamente
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Medies correlacionadas e no correlacionadas Para mltiplos
termos: AB C D G = A + B + C + D rABCD A+10 B+10 C 0 D000
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Medies correlacionadas e no correlacionadas
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Correlao parcial com r(h, ) = -0,5
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Bibliografia Albertazzi, A., Souza, A. R. FUNDAMENTOS
METROLOGIA CIENTIFICA E INDUSTRIAL. 407p., Editora Manole, 2008.
Guia para Expresso da Incerteza de Medio (Guide to the Expression
of Uncertainty in Measurement - ISO GUM) Inmetro, 2003 SI - SISTEMA
INTERNACIONAL DE UNIDADES
http://www.inmetro.gov.br/infotec/publicacoes/Si.pdf VIM 2008 -
VOCABULRIO INTERNACIONAL DE METROLOGIA
http://www.inmetro.gov.br/infotec/publicacoes/VIM_2310.pdf