Mouvement de rotation d’un solide
autour d’un axe fixe
Cadre de référence :
Abscisse angulaire –accélération angulaire.
Relation fondamentale de la dynamique dans le cas de la rotation autour d'un axe fixe
-rôle du moment d'inertie.
Mouvement d'un système mécanique (Translation et rotation autour d'un axe fixe).
1- Paramètres angulaires :
1-1- Abscisse angulaire :
Lorsqu’un corps est en rotation autour d’un axe fixe, tous ses points (sauf les
points constituant l’axe de rotation) sont animés de mouvements circulaires.
Les plans des trajectoires circulaires sont perpendiculaires à l’axe de
rotation.
Soit M un point d’un solide en rotation autour d’un axe fixe (Δ) passant par O.
L’axe (Ox) est choisi comme axe de référence.
Pour repérer la position de M sur sa trajectoire circulaire peut-être repérée
par l’abscisse ( , )OA OM appelée abscisse angulaire.
1-2- Vitesse angulaire :
La vitesse angulaire moyenne est le taux de variation de l’abscisse
angulaire par unité de temps t
.
On définit sa valeur instantanée à un instant t par :
0t
dlim
t dt
On la note
Donc : d
dt
Unité rad.s
-1
Elle est reliée à la vitesse linéaire ds
vdt
(s = r θ : abscisse curviligne) par :
( )ds d r dv r
dt dt dt
Donc : v r
1-3- Accélération angulaire :
L’accélération angulaire est le taux de variation de la vitesse angulaire par unité de temps.
On la définit à un instant t par :
0tlim
t
On la note
Donc :
2
2
d d
dt dt
Unité : rad.s-2
1-4- Composantes de l’accélération dans le repère de Frenet :
On a : t
dva
dt t
a r
On a aussi : 2
n
va
r
2
na r
1-5- Mouvement circulaire uniformément varié:
Un mouvement de rotation est uniformément varié si 0teC .
Conditions initiales :
00( t ) et 00 θ( t ) .
On a : θd
dt
Donc : 0t
Et on a aussi : d
dt
Donc : 0 0
1²
2t t
Remarque :
L’angle de rotation entre l’instant t = 0 et l’instant t est :
0
Il est relié au nombre n de tours effectué par :
Δθ = 2 π n
Application
L’expression de l’abscisse angulaire du point N d’un solide en rotation autour d’un axe fixe
est : θ(t) = 10 + 40t + 6 t est en (s) et θ en rad .
(a) Déterminer l’expression de la vitesse angulaire du point N en fonction du temps
(b) Déterminer l’expression de l’accélération angulaire du point N en fonction du temps
(c) Quelle est la nature du mouvement du point N
d) Quel est le nombre de tours effectué pendant Δt=2s
Correction
a) ̇ ( )
=20t +40
b) ̈ ̇
= 20 rad.s
-2
c) ̈ ̇
=Cte et la trajectoire est circulaire
donc le mouvement est circulaire uniformément varié
d) ϴ=126rad et à t=o
Δϴ=120rad et on sait que
=19,1 tour
2- Relation fondamentale de la dynamique :
Enoncé de la relation
Dans un repère galiléen la somme des moments des forces associées aux actions appliquées
au corps en rotation autour d’un axe fixe, est égale au produit du moment d’inertie par
rapport à l’axe (Δ) et l’accélération angulaire ̈
( ) =extF J M .
Méthode :
Pour résoudre un exercice d’un solide en mouvement de rotation il faut :
Application :
Choisir un référentiel
Faire l’inventaire des forces extérieures appliquées au système
Appliquer la deuxième loi de newton sur les corps en translation
Appliquer la relation fondamentale dans le cas du rotation d’un
solide autour
En déduire l’expression de l’accélération linéaire où l’accélération
angulaire
Exercice 1
On enroule sur la gorge d’une poulie de rayon r, un fil inextensible, de masse
négligeable et ne glisse pas sur sa gorge.
On fixe à l’autre extrémité libre du fil, un corps (S) de masse m.
On lâche (S) pour glisser sur un plan incliné d’un angle α par rapport au plan
horizontal.
Le moment d’inertie de la poulie par rapport à son axe de rotation est JΔ.
On néglige tous les frottements.
Trouver l’expression de l’accélération du mouvement du centre de gravité de (S) sur le plan
incliné.
Réponse :
Δ
2
m.g.sinαa
Jm
r