Peter H. Richter - Institut für Theoretische PhysikPeter H. Richter - Institut für Theoretische Physik
MPI für die Physik komplexer SystemeMPI für die Physik komplexer Systeme
Dresden 29. Januar 2004Dresden 29. Januar 2004
Schönheit und Chaos Schönheit und Chaos in der Kreiseldynamikin der Kreiseldynamik
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Typen von Kreiseln: ParameterTypen von Kreiseln: Parameter
Translation RTranslation R22 oder R oder R33 und und Rotation Rotation SO(3)SO(3) oder T oder T33
4 Parameter:4 Parameter:
Hauptträgheitsmomente: 2 Hauptträgheitsmomente: 2
321 AAA
ein Punkt fixiert:ein Punkt fixiert: nur 3 Freiheitsgrade der Rotation nur 3 Freiheitsgrade der Rotation
321 ,, sss
1312 /,/ AAAA
,Lage des Schwerpunkts: 2Lage des Schwerpunkts: 2
Achse der AufhängungAchse der Aufhängung
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Phasenraum und Erhaltungsgrößen Phasenraum und Erhaltungsgrößen
3 Winkel + 3 Geschwindigkeiten: 3 Winkel + 3 Geschwindigkeiten: 6D-Phasenraum6D-Phasenraum
Energieerhaltung Energieerhaltung h=consth=const: : 5D-Energiefläche5D-Energiefläche
1 Drehimpulskomponente 1 Drehimpulskomponente l=constl=const: : 4D4D
3. Erhaltungsgröße: 3. Erhaltungsgröße: 3D3D
4 Erhaltungsgrößen: 4 Erhaltungsgrößen: 2D2D super-regulärsuper-regulär
regulär, integrabelregulär, integrabel
(mild) chaotisch(mild) chaotisch
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Integrable Kreisel Integrable Kreisel
Lagrange: „Lagrange: „schwer“, symmetrischschwer“, symmetrisch
21 AA )1,0,0(s
Kovalevskaya: Kovalevskaya:
321 2AAA )0,0,1(s
Euler: Euler: „kräftefrei“„kräftefrei“
)0,0,0(s
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Der Euler-Kreisel Der Euler-Kreisel
Figurenachse 3 im Raum Figurenachse 3 im Raum
Drehimpuls Drehimpuls (l(l11, l, l22, l, l33)) im im
körperfesten System körperfesten System
-Achse im körperfesten -Achse im körperfesten System: Poisson-Kugel System: Poisson-Kugel
L
hDer raumfeste Drehimpuls lege die Der raumfeste Drehimpuls lege die z-Achse fest. z-Achse fest.
Sein Betrag sei L.Sein Betrag sei L.
Die Energie h variiert dann von Die Energie h variiert dann von LL22/2A/2A11 (rot) über (rot) über LL22/2A/2A22 (grün) nach (grün) nach
LL22/2A/2A33 (blau). (blau).
Welche Bewegungen gibt es und wie Welche Bewegungen gibt es und wie stellen wir sie am besten dar? stellen wir sie am besten dar?
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Beobachtungen Beobachtungen
Die Bewegung der Figurenachse im Raum gibt das Die Bewegung der Figurenachse im Raum gibt das komplizierteste Bild. Im komplizierteste Bild. Im körperfesten Bezugssystemkörperfesten Bezugssystem ist sie einfacher – allgemein immer dann, wenn das ist sie einfacher – allgemein immer dann, wenn das System bezüglich einer festen Raumrichtung System bezüglich einer festen Raumrichtung rotationssymmetrisch ist. Das soll im Folgenden rotationssymmetrisch ist. Das soll im Folgenden angenommen werden. angenommen werden.
Einziger Nachteil: man sieht nicht die Bewegung um Einziger Nachteil: man sieht nicht die Bewegung um die raumfeste Achse, aber das ist nicht wesentlich.die raumfeste Achse, aber das ist nicht wesentlich.Von nun an beschreiben wir die Bewegung im Raum Von nun an beschreiben wir die Bewegung im Raum
der der = ( = ( 11, , 22, , 33)) und und l l = (l= (l11, l, l22, l, l33))..
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Der „reduzierte“ PhasenraumDer „reduzierte“ Phasenraum
je 3 Komponenten von je 3 Komponenten von und und ll: : 6D-Phasenraum 6D-Phasenraum
aber: aber: (Poisson-Kugel) und (Poisson-Kugel) und l l ··ll (Drehimpuls) automatisch konstant (Drehimpuls) automatisch konstant effektiv effektiv 4D-4D-PhasenraumPhasenraum
Energieerhaltung Energieerhaltung h=consth=const: : 3D-Energiefläche3D-Energiefläche
2. Erhaltungsgröße: 2. Erhaltungsgröße: 2D2D
regulär, integrabelregulär, integrabel
3 Erhaltungsgrößen: 3 Erhaltungsgrößen: 1D1D super-regulärsuper-regulär
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Der Kovalevskaya-Kreisel Der Kovalevskaya-Kreisel
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Ordnung, Chaos Ordnung, Chaos
und Schönheit ? und Schönheit ?
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Dank anDank an
meine Studenten und Mitarbeitermeine Studenten und Mitarbeiter
Holger Dullin, Andreas Wittek, Marcus Juhnke, Holger Dullin, Andreas Wittek, Marcus Juhnke, Sven Schmidt Sven Schmidt
Kollegen aus Russland und der UkraineKollegen aus Russland und der Ukraine
Mikhail Kharlamov, Alexey Bolsinov, Victor Mikhail Kharlamov, Alexey Bolsinov, Victor Enolskii, Igor Gashenenko, Sasha VeselovEnolskii, Igor Gashenenko, Sasha Veselov
meinen Lehrer meinen Lehrer
Siegfried GroßmannSiegfried Großmann