TÉCNICO EM ELETRÔNICA
MTAC-1 Métodos e Técnicas de Análise de Circuitos Prof. Renato P. Bolsoni
Ver 1 - 11/08/2009
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ÍNDICE Conteúdo Pág.O básico da teoria atômica da matéria................................................................................................ 2Resistência...................................................................................................................................... 3Associação de resistência................................................................................................................. 4Resistência equivalente de uma associaão de resistência.................................................................... 5Exercícios........................................................................................................................................ 9Geradores e Receptores.................................................................................................................... 15Exercícios........................................................................................................................................ 16Associação de Geradores................................................................................................................. 19Exercícios........................................................................................................................................ 21Divisor de Tensão e de Corrente......................................................................................................... 23Exercícios........................................................................................................................................ 24Leis de Kirchhoff............................................................................................................................... 27Exercícios........................................................................................................................................ 29Conversão de ligação de resistores Estrela-Triângulo.......................................................................... 31Exercícios........................................................................................................................................ 34Equações de Maxwell....................................................................................................................... 36Exercícios........................................................................................................................................ 38
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O BÁSICO DA TEORIA ATÔMICA DA MATÉRIA Matéria: tudo o que tem massa e ocupa lugar no espaço, podendo se apresentar em 4 estados físicos distintos: sólido, líquido, gasoso ou plasma. Corpo: é uma quantidade limitada de matéria que possui uma certa forma.
Ex: mesa, gota d´água, etc. - Corpo Simples: formado por um só tipo de elemento: ouro, cobre, alumínio. - Corpo Composto: formado por dois ou mais elementos: água, sal de cozinha.
Molécula: menor partícula física em que pode ser dividido um corpo composto, sem que o corpo resultante (molécula) perca suas características. Átomo: menor partícula física em que se pode dividir um elemento (substancia fundamental) sem alterar suas características. Pode ser dividido em várias partículas subatômicas, como o próton, o nêutron e o elétron. Modelo Atômico de Bohr
O cientista neozelandês Niels Bohr imaginou, em 1915, um modelo para o átomo. Ele o visualizou como um núcleo rodeado por elétrons em órbitas estáveis, com velocidade suficiente para que a força centrífuga equilibrasse a atração nuclear. Hoje sabemos que as forças que governam os átomos não são possíveis de serem explicadas segundo a física tradicional e sim pela física quântica, que compreende o estudo das interações fortes e fracas no interior do átomo.
Os elétrons se distribuem nos átomos em 7 camadas ou níveis da elétrosfera.
Camada Número de elétronsK 2L 8M 18N 32O 32P 18Q 8
Cada camada corresponde a um nível energético. As mais afastadas do núcleo têm
energia menor. Os átomos tendem sempre a ficar com um número de 8 elétrons na sua camada mais externa, chamada de camada de valência. Assim, os elementos condutores, que possuem poucos átomos na última camada, têm grande tendência a ceder elétrons para outros átomos, formando ligações iônicas. Já os elementos isolantes possuem mais elétrons na última camada,
O átomo é formado pelo núcleo e pela elétrosfera. Núcleo : formado pelos prótons e nêutrons. Prótons = carga elétrica positiva. Nêutrons = carga elétrica nula. Elétrosfera: formada pelos elétrons em órbita Elétrons = carga elétrica negativa.
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e têm tendência a receber elétrons. De modo geral, os elementos condutores têm 1, 2 ou 3 elétrons na última camada, enquanto os isolantes têm 5, 6 ou 7 elétrons na última camada.
Todas as formas de energia, incluindo a térmica e a elétrica, estimulam os elétrons. A absorção de energia, tal como calor ou luz, pode fazer com que os elétrons que estão na órbita mais externa escapem. Esses elétrons tornam-se elétrons livres e podem vaguear até serem atraídos por um átomo carregado positivamente.
Condutores
Os condutores são aqueles materiais que possuem menos elétrons na última camada e, portanto, estão mais fracamente presos ao núcleo. Assim, nesses materiais, há uma grande quantidade de elétrons livres quando os estimulamos com alguma forma de energia (o cobre, por exemplo, possui apenas 1 elétron na última camada). Exemplos: cobre e alumínio.
Isolantes
Já os isolantes são materiais que possuem elétrons livres em quantidade bem menor. Exemplos: ar, borracha e vidro.
A eletricidade (CORRENTE ELÉTRICA) é o movimento ordenado dos elétrons livres de um átomo para outro da estrutura de uma material.
RESISTÊNCIAS
Resistência ou Resistor é qualquer oposição (dificuldade) à passagem da corrente
elétrica. Ex.: Lâmpada, motor, equipamento eletrônico, resistência do chuveiro, componentes
eletrônicos e até mesmo um condutor fino e comprido, etc.
Qualquer resistência pode ser representada pelos símbolos abaixo e seu valor ôhmico é dado em Ohm representado pelo símbolo Ω (letra grega Ohmega):
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ASSOCIAÇÃO DE RESISTÊNCIAS
As resistências entram na constituição da maioria dos circuitos eletrônicos formando associações de resistências.
É importante, pois, conhecer os tipos e características elétricas destas associações, que são a base de qualquer atividade ligada à eletrônica.
Esse capítulo vai ajuda-lo a identificar os tipos de associações e determinar suas resistências equivalentes. Para entender uma associação de resistência, é preciso que você já conheça o que são resistências.
Associação de resistências é uma reunião de duas ou mais resistências em um circuito elétrico.
Na associação de resistência é preciso considerar duas coisas: os terminais e os nós. Terminais são os pontos da associação conectados á fonte geradora. Nós são os pontos em que ocorre a interligação de três ou mais resistências. Tipos de associação de resistência As resistências podem ser associadas de modo a formar diferentes circuitos elétricos: Associação em Série
Nesse tipo de associação, as resistências são ligadas de forma que exista apenas um caminho para a circulação da corrente elétrica entre os terminais.
Associação em Paralelo
Trata-se de uma associação em que os terminais das resistências estão ligadas de forma que exista mais de um caminho para a circulação da corrente elétrica.
V
R3
R1
R2 V R1 R2 R3 V R2 R3
R1
Associação em Série Associação em Paralelo Associação Mista
VR1 R2 R3
I1 I2 I3
Três caminhos
V R1 R2
I1 I2
Dois caminhos
Caminho único Caminho único
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Associação Mista É a associação que se compõe por grupos de resistências em série e em paralelo.
RESISTÊNCIA EQUIVALENTE DE UMA ASSOCIAÇÃO DE RESISTÊNCIAS Quando se associam resistências, a resistência elétrica entre os terminais é diferente das
resistências individuais. Por essa razão, a resistência de uma associação de resistência recebe uma denominação específica: resistência total (Rt) ou resistência equivalente (Req). Associação em Série
Ao longo de todo o circuito, a resistência total é a soma das resistências parciais, logo a Rt é sempre maior que a resistência de maior valor da associação.
Matematicamente, obtém-se a Rt da associação em série pela seguinte fórmula:
Rt = R1 + R2 + R3 + ... + Rn
Ex.: Vamos tomar como exemplo uma associação em série formada pelo resistor R1 de 120Ω e pelo R2 de 270Ω. Qual será a resistência total ?
Rt = R1 + R2 Rt = 120 + 270 Rt = 390Ω
Associação em Paralelo
A resistência total de uma associação em paralelo é dada pela equação: DICA: 3 ou mais resistências diferentes
R5
R1 120Ω
R2 270 Ω
Rt
Rt = _________1__________ _1_ + _1_ +...+ _1_ R1 R2 Rn
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Vamos tomar como exemplo o circuito abaixo onde o R1=10Ω , R2=25Ω e R3=20Ω :
Esta equação é indicada para associação em paralelo constituída por 3 ou mais resistências com valores ôhmicos diferentes.
Para associações em paralelo com apenas 2 (duas) resistências com valores diferentes, podemos usar uma equação mais simples: DICA: Apenas 2 resistências diferentes
Vamos tomar como exemplo o circuito abaixo onde o R1=1,2KΩ (1200Ω) e R2=680Ω :
Para associações em paralelo com resistências de mesmo valor podemos usar uma equação ainda mais simples: DICA: Todas as Resistências de mesmo valor Onde: R é o valor das resistências (todas têm o mesmo valor) n é a quantidade de resistências associadas em paralelo
R1 10Ω
R2 25Ω
R3 20Ω
Rt = ______1________ _1_ + _1_ + _1_ R1 R2 R3 Rt = ______1______ = ______1_______ = __1__ _1_ + _1_ + _1_ 0,1 + 0,04 + 0,05 0,19 10 25 20 Rt = 5,26Ω
Rt
Rt = R1 x R2 R1 + R2
R1 1,2KΩ
R2 680Ω Rt
Rt = R1 x R2 R1 + R2 Rt = 1200 x 680 = 816000 1200 + 680 1880 Rt = 434Ω
Rt = R n
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Vamos tomar como exemplo o circuito abaixo onde todos os resistores são iguais:
De qualquer forma, valor da Rt de uma associação em paralelo sempre será menor que a resistência de menor valor da associação.
Associação Mista
Para determinar a resistência equivalente de uma associação mista, procede-se da seguinte maneira:
A partir dos nós, divide-se o circuito em pequenas partes de forma que possam ser calculadas como associações em série ou em paralelo. Vamos tomar como exemplo o circuito abaixo:
Neste circuito o R2 está em paralelo como o R3, e são de valores diferentes. Como ainda não é a Rt do circuito, vamos chamar de RA :
RA = R2 x R3 R2 + R3 RA = 180 x 270 = 48600 180 + 270 450 RA = 108Ω
Portanto, R2 em paralelo com R3 proporciona uma resistência equivalente de 108Ω para
a passagem da corrente elétrica por este circuito. Se o R2 e R3 forem substituídos por um resistor de 108Ω (RA) o circuito não se altera.
R1 120Ω
R2 120Ω
R3 120Ω Rt
Rt = R N Rt = 120 3 Rt = 40Ω
R1 560Ω R2 180Ω
R3 270Ω
R4 1,2KΩ
Os resistores R2 e R3 estão associados em paralelo
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Desta forma, este circuito passa a ser uma associação final em série: Rt = R1 + RA + R4 Rt = 560 + 108 + 1200 Rt = 1868Ω
O resultado significa que toda a associação mista original tem o mesmo efeito para a corrente elétrica que uma única resistência de 1868Ω.
A seguir, apresentamos um exemplo de circuito misto, com a seqüência de procedimentos para determinar a resistência equivalente.
Da análise do circuito, deduz-se que as resistências R1 e R2 estão em série e ser substituída por uma única resistência RA : Rt = R1 + R2 Rt = 10K + 3,3K Rt = 13,3KΩ (13300Ω)
Rt
Rt = 1868Ω
R4 1,2KΩ
R1 560Ω RA 108Ω
R2 3,3KΩ
Rt
R3 68KΩ
R1 10KΩ R2 3,3KΩ
R3 68KΩ
Foram substituídos por RA 13,3KΩ
R3 68KΩ
R1 10KΩ R2 3,3KΩ
R3 68KΩ
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Aplicando-se análise de circuito, deduz-se que RA e R3 estão em paralelo: Rt = RA x R3 RA + R3 Rt = 13,3K x 68K 13,3K + 68K Rt = 11124Ω
EXERCÍCIOS 1) Qual é a característica fundamental de uma associação em série com relação aos caminhos para a circulação da corrente elétrica? 2) Qual é a característica fundamental de uma associação em paralelo com relação aos caminhos para a circulação da corrente elétrica? 3) Identifique os tipos de associação (série, em paralelo ou mista) nos circuitos a seguir.
a) _______________ b)________________ c)________________ d)________________ e)_______________ f)_______________
Rt = 11124Ω
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4) Determine a resistência equivalente (Rt) dos circuitos em série abaixo: a) b) c) Fazer Prática d) Fazer Prática e)
Rt
R3 330Ω
R1 680Ω
68000Ω 330Ω
27KΩ 0,47MΩ
89Ω
12Ω
27Ω
270Ω
0,1MΩ
1,2MΩ
470Ω
1,5KΩ
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5) Determine a resistência equivalente (Rt) dos circuitos em paralelo abaixo: a) b) c) d) e) Fazer Prática
6,8KΩ
120Ω 58Ω 100Ω
10KΩ 10KΩ 10KΩ 10KΩ
120KΩ 120KΩ
330Ω 390Ω
1,2KΩ
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6) Registre ao lado de cada circuito a equação mais apropriada para o cálculo da Rt.: a) b) c) d) 7) Determine a resistência equivalente (Rt) de cada circuito abaixo: a) b)
R2 220Ω
R3 39KΩ
R1 390KΩ
R5 2,7KΩ
R4 2,2KΩ
R1 6,8KΩ
R2 120KΩ
R3 2,7KΩ
R3 R2 R1 R1 = R2 = R3
R3 R2 R1
R2 R1
R2
R1
R3
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c) Fazer Prática d) Fazer Prática e) f)
R1 1,2KΩ R2 3,3KΩ
R3 10Ω
R4 390Ω
R2 150KΩ
R4 1,2MΩ
R3 10Ω
R1 0,39MΩ
R1 180Ω
R2 270Ω
R3 150Ω R4 15KΩ
R5 10KΩ
R1 470KΩ
R2 470KΩ
R3 5K6Ω
R4 2K4Ω
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g)
Pág. Exercício Item Resultado10 4 a 1010Ω10 4 b 128Ω10 4 c 1970Ω10 4 d 1300270Ω10 4 e 565330Ω11 5 a 28Ω11 5 b 1.02KΩ11 5 c 2500Ω11 5 d 60KΩ11 5 e 178.75Ω12 7 a 2802Ω12 7 b 395118Ω13 7 c 4509Ω13 7 d 302586Ω13 7 e 6062Ω13 7 f 236,68KΩ14 7 g 9,61KΩ
Resultado dos cálculos
Resistores para Práticas
10Ω120Ω220Ω270Ω330Ω390Ω470Ω680Ω1.2KΩ1.5KΩ2.2KΩ2.7KΩ3.3KΩ39KΩ100KΩ150KΩ390KΩ1.2MΩ
R3 15KΩ
R4 12KΩ
R2 10KΩ
R1 5,6KΩ
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GERADORES E RECEPTORES Aparelho Elétrico:
Denominamos de aparelho elétrico ao dispositivo que transforma uma modalidade qualquer de energia em energia elétrica ou vice-versa.
O aparelho elétrico podem ser classificados em geradores e receptores, ativos ou passivos.
É denominado gerador quando transforma uma modalidade qualquer de energia em energia elétrica. Se ao fazer esta transformação ele impor uma ddp entre seus terminais é gerador de tensão e se impor uma corrente é gerador de corrente.
Ao contrário, um aparelho elétrico é denominador receptor quando transforma energia elétrica em outra modalidade de energia. Se esta modalidade for exclusivamente térmica será denominado receptor passivo e se envolver outra modalidade, além da térmica, será denominado receptor ativo.
Resumindo: Tensão Gerador Corrente
Aparelho Elétrico Passivo gera energia térmica
(resistência)
Receptor gera energia térmica
+ Ativo outra forma de energia
(luz, movimento, som, vídeo, etc.)
Fonte de Tensão: Um gerador de tensão é um bipolo, isto é, um aparelho com 2 terminais acessíveis, que deve impor uma ddp entre seus terminais independente da carga que está alimentando. Com seus terminais em aberto, isto é, sem estar ligados a qualquer outro componente, a ddp por ele imposta é denominada força eletromotriz. I + V OBS: Observe que a corrente e a tensão tem o mesmo sentido na fonte de tensão
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Fonte de Corrente: É um bipolo que deve impor uma corrente de intensidade conhecida entre seus terminais quando ligado a outro componente (carga). Como é fonte de corrente, mesmo variando a carga, a corrente se mantém e para isso ela muda o valor da tensão (ddp). I + V
OBS: Observe que a corrente e a tensão também tem o mesmo sentido na fonte de Corrente.
Receptor (carga): Equipamento ou componente que entrará em funcionamento quando for alimentado por uma fonte de tensão ou de corrente. Em todo e qualquer receptor a corrente e a tensão terão sentido contrário.
IR + -
VR
EXERCÍCIOS Calcule a tensão e a corrente em cada resistor e indicar seus sentidos. 1) 2)
10V
10 Ω
10V
R1=20 Ω
R2 20 Ω
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3) 4) Calcular a tensão da bateria e a RT : 5) Calcular a tensão em R3 (VR3):
10V
R1=20 Ω
R2=20 Ω
1,5 Ω
1,5 Ω
3V
3V
VT
2A
12V
R3
R1
3V
R2 7V
V=_______
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6) Calcule a VT e a RT : 7) Calcule o que se pede: R1 = 10Ω VR1 = ______ R2 = _____ VR2 = 50V R3 = _____ VR3 = 40V RT = _____ VT = ______
10 Ω
10 V
4A
24V
Motor
VT
R1
R2
R3
VT
2A
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VAB
VAB
I
I
VAB I
ASSOCIAÇÃO DE GERADORES Associação de geradores de tensão em série:
As fontes de tensão podem ser conectadas em série para aumentar ou diminuir a tensão total aplicada a um sistema. A tensão resultante é determinada somando-se as tensões das fontes de mesma polaridade e subtraindo-se as de polaridade oposta. A polaridade resultante é aquela para a qual a soma é maior.
OBS: Como o circuito é em série, a corrente é a mesma em todas as fontes, a capacidade de fornecer corrente das fontes tem que ser de mesmo valor.
Exemplo de aplicação: Alimentação de um rádio de 6V (3 pilhas de 1,5V em série). Exs.: 1) 2) 3)
Associação de geradores de tensão em paralelo: As fontes de tensão podem ser colocadas em paralelo, como mostra a figura abaixo, em mesma polaridade e somente se as tensões nos seus terminais forem idênticas. A razão principal para colocarmos duas ou mais baterias de mesma tensão em paralelo é a obtenção de uma intensidade de corrente maior (e, portanto, de uma potência mais alta) a partir da fonte composta. A capacidade total de fornecer corrente (IT) é determinada pela soma da capacidade de cada fonte (IT = I1 + I2 + I3 + ...). Exemplo de aplicação: - Banco de baterias para alimentação de computadores; - Associação de baterias para som automotivo.
Se duas baterias de tensões diferentes forem conectadas em paralelo, acabarão
ambas descarregadas, pois a tendência da bateria de tensão maior é cair rapidamente até igualar-se à da fonte de menor tensão. Considere, por exemplo, duas baterias automotivas de
V1=10V V2=6V V3=2V
VAB = V1 + V2 + V3 VAB = 10 + 6 + 2 VAB = 18V Observe que a maior força está empurrando a corrente para a direita.
V1=10V V2=6V V3=2V
VAB = (V1 + V3) – V2 VAB = (10 + 2) - 6 VAB = 6V Observe que a força maior está empurrando a corrente para a direita.
V1=10V V2=6V V3=2V
VAB = V1 – (V2 + V3) VAB = 10 – (6 + 2) VAB = 2V Observe que a força maior está empurrando a corrente para a esquerda.
12V
I1 50A
12V
I2 50A
12V
I3 50A
IT=150A
VT=12V
+
-
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chumbo-ácido, com diferentes valores de tensão, conectadas em paralelo, como mostra a figura abaixo:
As resistências internas relativamente pequenas das baterias são os únicos elementos de limitação da corrente no circuito série resultante. Essa corrente excede em muito as correntes usuais de operação da bateria de maior capacidade , resultando em uma rápida descarga de E1 e um impacto destrutivo na bateria de menor valor E2
Associação de geradores de corrente em série: Todas as fontes devem ter o mesmo sentido. Todas as fontes devem ter o mesmo valor
Associação de geradores de corrente em paralelo: Exemplos: 1) 2) 3)
V1 12V
Rint 1 0,03Ω
V2 6V
Rint 2 0,02Ω
E1 E2
I I = ∑V ∑R I = E1 – E2 = 12V – 6V = 6V Rint 1 + Rint 2 0,03 + 0,02 0,05 I = 120A
I1 I2 I3 IT
IT = I1 = I2 = I3
IT
I1 I2 I3 IT = I1 + I2 + I3
IT
I1 I2 I3 IT = I1 + I2 - I3
IT
I1 I2 I3 IT = I1 + I3 – I2
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EXERCÍCIOS Calcule o que se pede em cada diagrama: 1) 2)
3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)
6V
R1 2 Ω
R2 4 Ω 6V
I
V2
V1
6V 6V R1 6Ω
R2 3 Ω
I3
I1 I2
V2 V1
6V
6V
I1
3Ω 6Ω 6Ω
4Ω
I2 V1
6V
6V
3Ω
6V
4Ω 1Ω
2Ω
3Ω
V1
3Ω I2
I1
R3 40Ω
R7 20Ω
300V
R4 40Ω
R5=30Ω R2=10Ω
R1 10Ω
R6=30Ω
R8 20Ω
IT
R3 60Ω
R5 60Ω
R4=30Ω R2=10Ω
R1 20Ω
R7=30Ω
R6 60Ω
IT
80V
R3 100Ω
R4 80Ω 100V
R2=35Ω R1=20Ω
R6=25Ω
R5 80Ω
IT
R7=30Ω
R1 3Ω
R2 3Ω 16V
R6=2Ω
R3 12Ω
R5=2Ω
I1
V1
I2 I3
R4=10Ω
I4 V4 V3
R8 8Ω
R7=8Ω I6
I5
V2
10V R3=3Ω
R1 1Ω
R2 5Ω
IT
V1 I1
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RESULTADOS: 1) I 2A 2) I1 1A 3) I1 1.3A 4) I1 0.288A 5) I 8.3A 7) IT 0.89A 9) V1 16V V1 4V I2 2A I2 2A I2 0.795A V2 8V V2 8V I3 3A V1 8V V1 2.38V 6) I1 0A 8) IT 1A V3 4V VT 12V V1 6V V1 8.33V V4 4V V2 6V IT 1.66A I1 5.33A I2 5.33A I3 1.33A I4 2A I5 1A I6 1A
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DIVISOR DE TENSÃO E DE CORRENTE Divisor de corrente:
Conforme o nome sugere, a regra do divisor de corrente nos diz como uma corrente que entra em um conjunto de elementos em paralelos se divide entre esses elementos, porém a tensão é a mesma para todos.
No caso de dois elementos em paralelo com resistências iguais, a corrente se divide igualmente.
Ex.: No caso de 3 ou mais elementos em paralelo de mesmo valor, a corrente se dividirá
igualmente entre todos os elementos, porém a tensão é a mesma para todos. No caso particular de apenas duas resistências em paralelo, mesmo com valores
diferentes, podemos aplicar as seguintes formulas: IR1 = R2 x IT IR2 = R1 x IT R1 + R2 R1 + R2
Ex.: Se os elementos em paralelo tiverem resistências diferentes, o elemento de menor
resistência será percorrido pela maior fração da corrente. No caso de 3 ou mais elementos em paralelo de valores diferentes, a corrente se
dividirá entre todos os elementos inversamente proporcional à sua resistência, e a tensão é a mesma para todos.
20V
5A
1A R1 20Ω
R2 5Ω
4A
10Ω 10Ω
2A
10V 1A 1A
R3 15Ω
R2 6Ω
R1 10Ω
2,5A 1A 1,5A 15V
5A
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Divisor de Tensão:
Conforme o nome sugere, a regra do divisor de tensão nos diz como uma tensão que é aplicada em um conjunto de elementos em série se divide entre esses elementos, porém a corrente é a mesma em todos os elementos. A tensão entre os terminais dos elementos resistivos divide-se na mesma proporção que os valores de resistência. Para resolução das quedas de tensão em cada resistor, pode ser usado a lei de Ohm ou pela seguinte equação: EX.:
EXERCÍCIOS 1) Determinar a tensão de V1 para o circuito abaixo usando a regra do divisor de tensão:
20V
R2 3Ω
R1 6Ω
R3 1Ω
12V
6V
2V
12V
20V
R1 20Ω V1
R2 60Ω
Vx = Rx x VT RT
VR1 = R1 x VT RT VR1 = 6 x 20 10 VR1 = 12V
VR2 = R2 x VT RT VR2 = 3 x 20 10 VR2 = 6V
VR3 = R3 x VT RT VR3 = 1 x 20 10 VR3 = 2V
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2) Usando a regra dos divisores de tensão, para um circuito série com 3 resistores (R1=2KΩ , R2=5KΩ e R3=8KΩ) alimentado com 45V, determinar o valor de VR1 e VR3 : 3) Para o circuito abaixo, calcular o valor de V1 usando o método divisor de tensão : 4) Para o circuito abaixo, calcular o valor de VR2 usando o método divisor de tensão: 5) Calcular o valor de IR2 usando o método divisor de corrente:
45V
R2 5Ω
R1 2Ω
R3 8Ω
V1=_______
R2 2Ω
R1 4Ω
V = 27V
R3 3Ω
R4 5Ω
VR2 =____
6A
R1 4KΩ
R2 8KΩ
IR2=____
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6) Determinar o valor das correntes I1 , I2 e I3 usando o método divisor de corrente: 7) Usando a regra do divisor de corrente, calcular o valor de R1: 8) Determinar o valor de I1 no circuito abaixo:
I1
I2
I3 I=12A
I1=21mA
I=27mA
R1
R2
7Ω
42mA
R1 6Ω
R2 24Ω
IR1=_________ R3
48Ω
R1=2Ω
R2=4Ω
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LEIS DE KIRCHHOFF 1ª Lei de Kirchhoff - Lei dos NÓS
“A somatória das correntes que chegam a um nó é igual a somatória das correntes que dele saem”.
ΣI chegam = ΣI saem Σ = somatória (soma ou subtração)
Ex.:
I1 + I2 + I5 = I3 + I4
2ª Lei de Kirchhoff - Lei das MALHAS
“A somatória das forças eletromotrizes e contra-eletromotrizes ao longo de uma malha de um circuito é igual a soma algébrica dos produtos R x I em todos os resistores da malha”.
Σ V = Σ R * I Ex.: Fazendo o percurso indicado pela corrente I1, de A para B, temos: VAB = +V1 - R1 * I1 - R2 * I1 - V2 - R3 * I1 Σ V = Σ R * I V1 – V2 = (R1+R2+R3) * I1 Exemplos: 1) Calcule a tensão em todos os resistores e a corrente total.
I1
I2
I5
I3
I4
A B
V1 R1 R2 V2 R3
I1
VAB
5V
10V
R1=10Ω R2=20Ω
12V
R4=10Ω
R3 30Ω
8V
VR1 = R1 * IR1 VR1 = 10 * 128,57m VR1 = 1,2857V
VR2 = R2 * IR2 VR2 = 20 * 128,57m VR2 = 2,5714V
VR3 = R3 * IR3 VR3 = 30 * 128,57m VR3 = 3,8571V
VR4 = R4 * IR4 VR4 = 10 * 128,57m VR4 = 1,2857V
Σ V = Σ R * I IT = Σ V = 12 – 5 – 8 + 10 = 9 Σ R 10 + 20 + 30 + 10 70 IT = 128,57mA
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2) Calcule a tensão e a corrente em todos os resistores.
3° Passo: Calcular a queda de tensão de cada resistor do último circuito usando a Lei de
Ohm. 4° Passo: Como o RB foi formado pelo paralelo de RA com R4, a VRA e VR4 é a mesma de
RB. Portanto a VR4 = 2,499V. Calcular a corrente de R4 e de RA usando a Lei de Ohm.
5° Passo: Como RA foi formado pela série de R2 + R3, a IR2 e a IR3 = 83,3mA. Calcular a
VR2 e a VR3.
6V
R1=10Ω
R5=20Ω R6=10Ω
R2 20Ω
R7 5Ω R3
10Ω
R4 30Ω
5V 11V 12V
6V
R1=10Ω
R5=20Ω R6=10Ω
R7 5Ω
R4 30Ω
5V 11V 12V
RA 30Ω
6V
R1=10Ω
R5=20Ω R6=10Ω
R7 5Ω
RB 15Ω
5V 11V 12V
VR1 = R1 * IR1 VR1 = 10 * 166,66m VR1 = 1,666V
VRB = RB * IRB VRB = 15 * 166,66m VRB = 2,499V
VR5 = R5 * IR5 VR5 = 20 * 166,66m VR5 = 3,333V
VR6 = R6 * IR6 VR6 = 10 * 166,66m VR6 = 1,666V
VR7 = R7 * IR7 VR7 = 5 * 166,66m VR7 = 0,833V
IRA = VRA RA IRA = 2,499 30 IRA = 83,3mA
IR4 = VR4 R4 IR4 = 2,499 30 IR4 = 83,3mA
VR2 = R2 * IR2 VR2 = 20 * 83,3m VR2 = 1,666V
VR3 = R3 * IR3 VR3 = 10 * 83,3m VR3 = 0,833V
2° Passo: Resolver o paralelo de RA com R4. RB = R = 30 n 2 RB = 15Ω
3° Passo: Calcular a IT pela 2ª Lei de Kirchhoff Σ V = Σ R * I IT = Σ V = 5 + 11 – 12 + 6 __ = 10 Σ R 10 + 15 + 20 + 10 + 5 60 IT = 166,66mA
1° Passo: Resolver a série R2 + R3. RA = 20 + 10 RA = 30Ω
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6° Passo: É aconselhável montar uma tabela para termos certeza de todos valores calculados:
R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 V 1.666V 1.666V 0.833V 2.499V 3.333V 1.666V 0.833V I 166.66mA 83.3mA 83.3mA 83.3mA 166.66mA 166.66mA 166.66mA
Exercícios
A) Calcular a corrente I1 e indicar seu sentido nos circuitos abaixo:
1) 2)
__________________________________________________________________________________________________
B) Calcular a V (tensão) e I (corrente) em todos os resistores: 3) 4)
5)
___________________________________________________________________________ 6) Calcule um resistor que colocado entre os pontos X e Y, faça percorrer por R2 uma corrente de 160mA:
10V
R2 20Ω
R1 10Ω
5V
I1 5V
R2 10Ω
R4 6Ω
10V
I1 R1=10Ω
R3=6Ω
R5=12Ω
10V
R4=10Ω
R7=10Ω
R2=20Ω R4=20Ω
R1=40Ω
R6=10Ω 20V 20V
R2 20Ω
R1 12Ω
R3 10Ω
R5 40Ω
R6 20Ω
R3 10Ω
R5 10Ω
10V 5V
5V 20V
20V
R1=20Ω R2=5Ω
R3=30Ω R4=20Ω
R5 10Ω
R1=30Ω
20V
160mA R2 75Ω
X
Y
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7) Calcule a V e a I em todos os Resistores: RESPOSTAS : 1) 166.66mA 3) V (V) I (A) 4) V (V) I (A) 5) V (V) I (A) 6) 113,2Ω 7) V (V) I (A)
R1 10,85 0,904 R1 8,4 0,21 R1 1,17 R1 3,75 0,3752) 576.923mA R2 9,12 0,456 R2 11,92 0,596 R2 0,294 0,0588 R2 2,49 0,124
R3 9,12 0,912 R3 8,07 0,803 R3 1,76 R3 0 0R4 ---- ---- R4 1,398 69,9m R4 1,17 R4 2,49 0,249R5 6,19 0,154 R5 2,1 0,21 R5 0,588 R5 3,75 0,187R6 6,19 0,309 R6 1,398 139m I t 58,8mA R6 3,75 0,187R7 4,65 0,465 I t 0,807A V t 5V I t 0,375AI t 1,37A R t 24,78Ω R t 85Ω R t 26,66ΩR t 14,58Ω
R1=10Ω R2=20Ω
R3=20Ω R5=20Ω
R6=20Ω
R4 10Ω
10V 10V
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CONVERSÃO DE LIGAÇÃO DE RESISTORES ESTRELA – TRIÂNGULO
Há combinações especiais de três resistores que não podem ser simplificadas como os circuitos série,
paralelo e misto. Podemos resolve-las aplicando regras especiais. Uma destas ligações é a estrela e podemos encontra-la das formas abaixo. Este tipo de ligação é também conhecido com Y ou T.
Outro tipo é chamado ligação triângulo e também recebe as denominações ∆ (delta) ou π (pi).
CONVERSÃO ESTRELA-TRIÂNGULO
É possível converter um tipo de ligação em outro. Para fazer a conversão de uma ligação em ESTRELA para TRIÂNGULO basta:
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CONVERSÃO TRIÂNGULO-ESTRELA
Ex.: Req entre A e B? O circuito ao lado possui as estrelas formadas pelos resistores:
E os triângulos formados pelos resistores:
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Para encontrar a Req entre A e B temos que converter uma das estrelas para triângulo ou um dos triângulos para estrela. Teoricamente, qualquer uma das conversões pode ser feita, mas temos que optar por aquela que irá nos trazer uma maior simplificação. Vamos escolher o triângulo formado pelos resistores:
Substituindo o triângulo pela estrela no circuito teremos:
Após a conversão, o circuito se transformou num circuito misto, que nós conhecemos bem.
Agora podemos calcular Req entre A e B com facilidade.
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+ Fonte de alimentação cc
+ Fonte de alimentação cc
A
B
R1 4Ω
R2 10Ω
R4 37Ω
R5 8,8Ω
R3 6Ω
A
B
R2 2KΩ
R1 1KΩ
R5 3K9Ω
R4 3K3Ω
R3 4K7Ω
Exemplo de aplicação do circuito “Ponte de Wheatstone”:
- Balança eletrônica - Detector de fumaça
EXERCÍCIOS : Calcular a Req entre A e B : 1) 2)
Detector de fumaça -
Ajuste de balanceamento
Para o circuito de alarme
NA
NF
C
Sensor de peso
-
Ajuste de balanceamento
Para o circuito conversor analógico / digital
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R3 10Ω
R2 45Ω
R5 30Ω
R1 3Ω
R4 2Ω
50V R4 5Ω
R3 4Ω
R5 2Ω
R2 6Ω
R6 3Ω
10V
R1 3Ω
R3 10Ω
R2 30Ω
R5 30Ω
R1 3Ω
R4 10Ω
50V
R4 4Ω
R2 2Ω R5 5Ω R1 1Ω
R3 3Ω
A B
R5 8Ω
R2 5Ω R4 8Ω R1 6Ω
R3 10Ω
A B
R7 5Ω
R6 5Ω
Calcular o Req , It , a V e a I em todos os resistores: 3) 4) 5) Calcular a Req entre os pontos A e B dos circuitos abaixo: 6) 7) RESPOSTAS : 1) 3) V (V) I (A) 4) V (V) I (A) 5) V (V) I (A) Req 10Ω R1 30 10 R1 4,5 1,5 R1 12,7 4,23 2) R2 30 0,7 R2 3,7 0,6 R2 17,6 0,6 Req 2,5KΩ R3 0 0 R3 3,7 0,9 R3 4,9 0,5 6) R4 20 10 R4 0 0 R4 37,3 3,7 Req 3Ω R5 20 0,7 R5 1,8 0,9 R5 32,4 1,08 7) It 10,7A R6 1,8 0,6 It 4,81A Req 5Ω Rt 4,67Ω It 1,51A Rt 10,38Ω Rt 6,6Ω
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36
R3 6Ω
R2 2Ω
R1 5Ω
6V
R4 4Ω
10V
12V
R3 6Ω
R2 2Ω
R1 5Ω
6V
R4 4Ω
10V
12V
M1 M2
I1 I2
EQUAÇÕES DE MAXWELL
As equações de malha de Maxwell podem ser consideradas como simplificação para soluções de problemas de redes pelas Leis de Kirchhoff. Esse método reduz o número de equações necessárias para a resolução do problema.
Dado o circuito abaixo vamos exemplificar o método de resolução por Maxwell:
1) Identificar as malhas com M1 (Malha 1) e M2 (Malha 2) como mostrado no circuito abaixo. 2) Desenhar em cada malha um laço com seta indicando a corrente I1 e I2 no sentido horário. Se estivermos
errados em nossa estimativa, o resultado da corrente terá um sinal negativo associado.
Em nosso circuito há um resistor (R1) que é comum para as duas malhas. Existem duas correntes fluindo pelo resistor comum R1, e sua corrente real é a soma algébrica das duas.
. Devemos notar que, para o nosso sentido horário estipulado para as correntes, I1 e I2 estão em sentidos opostos no R1, onde deveremos subtrair a menor da maior, com isso determinamos o seu sentido real da corrente.
3) Agora escrevemos a equação das tensões de Kichhoff para cada malha, percorrendo no mesmo sentido
que estipulado para as correntes e fazendo a somatória das tensões e resistências. M1 ΣV = ΣR x I1 – Rcomum x I2
+12 – 10 = (R2 + R1) x I1 – R1 x I2 2 = (2 + 5) x I1 – 5 x I2
2 = 7 x I1 – 5 x I2 M2 ΣV = ΣR x I2 – Rcomum x I1
+10 - 6 = (R1 + R3 + R4) x I2 – R1 x I1 4 = (5 + 6 + 4) x I2 – 5 x I1
4 = 15 x I2 – 5 x I1 4) Como temos 2 incógnita em cada expressão (I1 e I2) devemos igualar uma delas para que possamos calcular a outra. M1 2 = 7 x I1 – 5 x I2 M2 4 = 15 x I2 – 5 x I1 Devemos inverter os termos de uma das expressões (M2). M1 2 = 7 x I1 – 5 x I2 M2 4 = -5 x I1 + 15 x I2
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37
R3 6Ω
R2 2Ω
R1 5Ω
6V
R4 4Ω
10V
12V
M1 M2
I1 I2
IR1
Igualar uma das incógnitas (I2). M1 2 = 7 x I1 – 5 x I2 (x3) M2 4 = -5 x I1 + 15 x I2 M1 6 = 21 x I1 – 15 x I2 M2 4 = -5 x I1 + 15 x I2 Executar a soma algébrica M1 6 = 21 x I1 – 15 x I2 M2 4 = -5 x I1 + 15 x I2 10 = 16 x I1 Calcular I1 I1 = 10 I1 = 0,625A 16
5) Tendo agora o valor de uma das incógnitas (I1) substituí-la em uma expressão e calcular a outra (I2). M1 2 = 7 x I1 – 5 x I2 2 = 7 x 0,625 – 5 x I2 2 = 4,375 – 5 x I2 5 x I2 = 4,375 – 2 I2 = 2,375 5 I2 = 0,475 A
6) Como já comentado que no Rcomum (R1) teremos 2 correntes (I1 e I2), temos que calcular sua corrente real e indicar seu sentido no circuito. No circuito exemplo, as correntes I1 e I2 calculadas são positivas portanto o sentido horário adotado está correto e para calcular a IR1 devemos subtraí-las (Maior menos Menor) e o sentido fica obedecendo a maior.
IR1 = I1 – I2 IR1 = 0,625 – 0,475 IR1 = 0,15 A
7) É possível agora identificar a corrente e a queda de tensão em cada resistor.
VR1 = R1 x IR1 VR1 = 5 x 0,15 VR1 = 0,75 V
IR1 = 0,15 A IR2 = 0,625 A IR3 = 0,475 A IR4 = 0,475 A
VR2 = R2 x IR2 VR2 = 2 x 0,625 VR2 = 1,25 V
VR3 = R3 x IR3 VR3 = 6 x 0,475 VR3 = 2,85 V
VR4 = R4 x IR2 VR4 = 4 x 0,475 VR4 = 1,9 V
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38
R1 12Ω
R6 6Ω
R2 10Ω
100V
R3 4Ω
6V
40V
R3 10Ω
R4 24Ω
R2 12Ω
R4 3Ω
R5 1Ω 10V R1 2Ω
R1 2Ω
R2 6Ω
R3 8Ω 10V
6V
R6 6Ω
R5 4Ω
R4 2Ω
IR2 VR4
R1 16Ω
R2 6Ω 10V
R4 4Ω
R3 8Ω
IR2
20V
R5 6Ω
VR4
EXERCÍCIOS:
1) Determinar a corrente em todos os resistores:
2) Determinar a corrente em todos os resistores:
3) No circuito abaixo calcular VR4 e IR2:
4) No circuito abaixo calcular VR4 e IR2:
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R7 1Ω
R1 6Ω
R5 2Ω
R3 10Ω
R6 5Ω
12V 12V
R2 4Ω
R4 8Ω
R1 10Ω
R2
V1 40V
R4 10Ω
R3 20Ω
CH1
VR2
5) Determinar a Tensão e a Corrente em cada resistor do circuito abaixo:
6) Estando a chave CH1 aberta, o resistor R2 está submetido a uma tensão VR2 = 10V e dissipa uma potência de 5W. Pede-se: a) Calcular o valor de R2. b) Calcular o valor de V1. c) Agora, fechando a chave CH1 e utilizando o valor de V1 calculado anteriormente, calcular a nova
potência dissipada por R2. 1) I (A) 2) I (A) 3) 4) 5) V (V) I (A)R1 4,74 R1 5,426 VR4 2V VR4 2,74V R1 5,058 0,843R2 5,047 R2 0,019 IR2 1A IR2 1,37A R2 6,04 1,51R3 0,307 R3 56,5m R3 5,902 0,590R4 0,128 R4 56,5m R4 6,08 0,76
R5 5,371 R5 1,686 0,8436) R6 0,037 R6 4,215 0,843a) 20Ω R7 0,843 0,843b) 20Vc) 2,17W
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