GEOMETRIOleh :
Ni Wayan Ratna Kirani (33)X MS 7
SMA Negeri 1 UBUD
Om Swastyastu
Peta konsep
Masalah Otentik
Titik Sudut
Sudut
Sisi
Bidang Sudut
Titik SudutRusuk
Bidang
Diagonal Bidang
Diagonal Ruang
OBJEK GEOMETRI
Jarak dan Sudut antar Titik, Garis,
Bidang
Bangun Datar
Jarak dan Sudut antar Titik, Garis,
Bidang
Bangun Ruang
Dimensi 2 Dimensi 3
UnsurUnsur
A. Kedudukan Titik, Garis, dan Bidang
Titik merupakan sesuatu yang mempunyai kedudukan, namun tidak mempunyai ukuran. Namun pada hal ini, titik diberi nama dengan menggunakan huruf kapital
seperti A, B, atau C, dan seterusnya.
Garis adalah himpunan titik-titik yang anggotanya terdiri dari lebih dari satu buah titik. garis diberi nama dengan menggunakan huruf kecil seperti g, h, k, dan seterusnya, atau dua buah huruf kapital
seperti AB, AC, BC, dan seterusnya.
Bidang adalah himpunan garis-garis yang anggotanya terdiri dari lebih dari satu buah garis. Bidang
mempunyai ukuran panjang dan lebar serta diberi nama dengan menyebutkan titik-titik sudut dari bidang
tersebut (memakai huruf α, β, γ , dan seterusnya).
a. Kedudukan Titik terhadap Garis
Gambar 1. Garis dan titik
Gambar 2. Titik pada garis
Gambar di samping merupakan gambar titik dan garis. Pada gambar ini, titik C berada di luar garis h. Jadi, garis h tidak
melalui titik C.
Gambar 2 yaitu terdapat gambar titik pada garis. Pada gambar di samping,
titik B terletak pada garis g. Jadi, garis g melalui titik B.
b. Kedudukan Titik terhadap Bidang
Gambar 3. Bidang dan titik
Gambar 4. Titik pada bidang
Gambar di samping merupakan gambar titik dan bidang. Pada gambar ini, titik D berada di luar bidang α. Jadi, titik D
tidak berada di dalam bidang α.
Gambar 4 yaitu terdapat gambar titik pada bidang. Pada gambar di samping, titik A dan titik B terletak pada garis g
dan berada di dalam bidang α.
c. Kedudukan Garis terhadap Garis Lain
Ket :(a) Garis g dan h terletak
pada bidang α, tetapi kedua garis hanya mempunyai satu titik persekutuan, yaitu titik A.
(b) Garis g dan h terletak pada bidang α, tetapi kedua garis tersebut tidak mempunyai titik persekutuan.(c) Garis g dan h terletak pada bidang α, tetapi kedua garis tersebut
tidak mempunyai titik persekutuan dan saling berhimpitan. (d) Garis s terletak pada bidang α dan garis h menembus bidang α,
kedua garis tidak mempunyai titik persekutuan.
d. Kedudukan Garis terhadap Bidang
Ket :(a) Garis pada bidang
Garis g terletak pada bidang α. Dengan kata lain, bidang α memuat garis g.
(b) Garis sejajar dengan bidang
Garis g pada luar bidang α sejajar dengan bidang α.(c) Garis memotong atau menembus bidang
Garis g dan garis h memotong dan menembusberturut-turut bidang α di titik A.
e. Kedudukan Bidang terhadap Bidang Lain.
Ket :(a) Dua bidang sejajar
Bidang α dan bidang β sejajar dan tidak memiliki garis persekutuan.
(b) Dua bidang berpotongan Bidang α dan bidang β mempunyai satu garis
persekutuan, yaitu garis AB. Garis persekutuan itu disebut garis perpotangan bidang α dan bidang β.
A. Menemukan Konsep Jarak Titik, Garis, dan Bidang
1. Jarak Antara Titik dan Titik
2. Jarak Antara Titik dan Garis
Jarak antara titik A dan titik B sama dengan panjang ruas garis AB.
Jarak antara titik A dan garis g sama dengan panjang ruas garis AP
dengan titik P pada garis g sehingga tegak lurus dengan garis g.
A. Menemukan Konsep Jarak Titik, Garis, dan Bidang
3. Jarak Antara Titik dan Bidang
4. Jarak Antara Dua Garis Sejajar
Ruas Garis AA tegak lurus terhadap bidang α, yang artinya
ruas garis AA tegak lurus terhadap semua garis pada bidang α yang
melalui titik A.
Jarak antara garis g dan garis h yang sejajar sama dengan panjang
ruas garis TT’ yang tegak lurus dengan garis g dan h.
A. Menemukan Konsep Jarak Titik, Garis, dan Bidang
5. Jarak Antara Garis dan Bidang
6. Jarak Antara Dua Bidang Sejajar
Jarak antara garis k dan bidang α sama dengan panjang ruas AB yang tegak lurus
dengan garis k dan bidang α. Cara menentukan jarak pada gambar
disamping yaitu dengan memilih titik A sembarang pada garis k.
Jarak antara bidang β dan bidang α sama dengan panjang ruas garis AB yang tegak
lurus dengan bidang β dan bidang α. Jarak pada bidang ini ditentukan dengan
memilih titik A sembarang pada bidang β.
C. Sudut
Sudut adalah suatu besaran yang dibangun oleh sinar yang diputar dengan pusat perputaran suatu titik tertentu dari suatu posisi awal ke suatu posisi terminal. Sudut merupakan bagian penting dari suatu bangun ruang (trigonometri) dan hampir semua trigonometri memiliki sudut keduali lingkaran.
Satuan besar sudut yang lain adalah sebagai berikut:1. 1 derajat = 60’ atau 1’=1/60 derajat2. 1’=60” atau 1”= (1/60)’3. 1 derajat = 3.600” atau 1” = 1/3.600 derajat
Jenis-Jenis Sudut
a. Sudut 0 derajat adalah jika kaki-kakinya berimpit dengan jarak putar 0 derajat.
b. Sudut lancip adalah suatu sudut yang dibangun oleh perputaran yang kurang dari seperempat lingkaran tetapi tidak sama dengan nol, sehingga besar sudut lancip berkisar 0 derajat dan 90 derajat
c. Sudut siku-siku adalah suatu sudut yang dibangun oleh perputaran sebesar seperempat lingkaran, sehingga besar sudut siku-siku adalah 90 derajat.
d. Sudut lurus adalah suatu sudut yang dibangun oleh perputaran sebesar setengah lingkaran, sehingga sudut lurus besarnya 180 derajat.
e. Sudut tumpul adalah suatu sudut yang dibangun oleh perputaran diantara seperempat lingkaran dan setengah lingkaran, sehingga sudut tumpul besarnya berkisar antara 90 derajat dan 180 derajat.
f. Sudut refleks adalah suatu sudut yang dibangun oleh perputaran di antara setengah lingkaran dan satu lingkaran, sehingga sudut refleks besarnya
g. Sudut 360 derajat, jika kaki-kakinya kembali berimpit setelah jarak putarnya satu putaran penuh.
a. Sudut Antara Dua Garis
Perhatikan gambar di atas. Sudut antara garis g dan garis h yang berpotongan dengan sudut lancipyang dibentuk berpotongan denfan garis g dan garis h. Pada gambar di
samping, (g, h) = ABC
b. Sudut Antara Garis dan Bidang
Perhatikan gambar di atas. Garis g tegak lurus dengan bidang V, sudut antara garis g dan bidang V adalah sudut tumpul yang dibentuk oleh garis g dengan proyeksi garis
g pada bidang V. (g, V) = (g, g’) = θ
c. Sudut Antara Dua Bidang
Perhatikan gambar di atas. Bidang V dan bidang W berpotongan di garis VW. Sudut antara bidang V dan
bidang W adalah sudut yang terbentuk oleh garis g pada bidang R dan garis h pada bidang S yang keduanya tegak
lurus pada garis VW.
Contoh 1Soal :
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Tentukan jarak antara titik H ke garis diagonal sisi AC?
Pembahasan :Titik H dengan garis AC tegak lurus di titik O (titik tengah diagonal sisi AC). Jadi, jarak H ke garis AC = panjang HO.
Perhatikan gambar di samping untuk pembahasannya.
Jadi, jarak antara titik H ke garis diagonal sisi AC adalah 4√6 cm.
Contoh 2Soal :
Perhatikan ganmar di samping. Jika panjang rusuk kubus di atas adalah 8 cm dan titik X merupakan pertengahan antara rusuk PQ. Maka hitung jarak titik X ke bidang RSTU
Pembahasan :Perhatikan gambar di bawah ini.
Titik X ke bidang RSTU merupakan panjang garis dari titik X ke titik Z (garis XZ) yang tegak lurus dengan bidang RSTU. XZ = ½ PW =4√2 cm
Contoh 3Soal :
Pembahasan :Perhatikan gambar berikut.Letak garis AD, AH dan sudut yang terbentuk adalah sebagai berikut.Selanjutnya ambil segitiga ADH dengan siku-sikunya di titik D.
tan α = sisi depan : sisi samping = DH : ADtan α = 8 cm : 8 cm = 1Sudut dengan nilai tan sama dengan satu adalah 45°
Contoh 4Soal :
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk √3 cm dan T pada AD dengan panjang AT = 1 cm. Tentukanlah jarak A pada BT.
Pembahasan :
Contoh 5Soal :
Kubus ABCD.EFGH memiliki rusuk 4 cm. Sudut antara AE dan bidang AFH adalah α. Berapakah nilai sin α ?
Pembahasan :Posisi AE dan bidang AFH pada kubus sebagai berikut .Selanjutnya ambil segitiga AEP dengan siku di titik E.
Panjang EP adalah setengah dari panjang diagonal sisi yaitu 2 √2 cm. Panjang AP
Sinus sudut α dengan demikian adalah
Latihan Soal
1. Pada kubus atau balok, berapa jumlah :a. Titik sudut (T)b. Bidang/sisi (S)c. Rusuk (R)d. Selidiki apakah berlaku rumus Euler : S + T = R + 2
2. Pada kubus ABCD.EFGH, sebutkan :a. Diagonal bidangb. Diagonal ruangc. Bidang diagonal
3. Gambarlah kubus ABCD.EFGH yang rusuknya 4 cm. Bidang ABFE frontal, AB horizontal, sudut sudut dan perbandingan proyeksi 1/2
Latihan Soal
4. Diketahui limas tegak M.PQRS, alas PQRS berbentuk persegi panjang dengan PQ = 8 dan QR = 6, MM’ tegak lurus
bidang alas, M’ pusat bidang alas dan MP = 13. Hitung :a. Volumeb. Luas permukaan
5. Pada kubus ABCD.EFGH, panjang rusuk 8 cm. α adalah sudut antara garis AD dengan garis diagonal ruang HB. Tentukan nilai tan α, sin α dan cos α
Om Santih, Santih, Santih, Om
Terima kasih
Recommended