1
Unidad 3. Resolución de sistemas mediante determinantes
BACHILLERATOMatemáticas aplicadas a las
Ciencias Sociales II
Resuelve
Página 81
■ Resuelve los siguientes sistemas y calcula el determinante de cada matriz de coeficientes:
a) x yx y
2 3 293 5–
+ ==
* b) x yx y
5 3 810 6 16
–– –
=+ =
* c) x yx y
4 175 2 19
+ =+ =
*
d) x yx y
9 6 76 4 11
––
=+ =
* e) x yx y
18 24 615 20 5
+ =+ =
* f ) x yx y
3 11 1288 7 46–
+ ==
*
a) x yx y
2 3 293 5–
+ ==4 2
331– = –11 ≠ 0 Solución: x = 4, y = 7
b) x yx y
5 3 810 6 16
–– –
=+ =
4 510
36––
= 0 Solución: x = 58
53+ λ, y = λ
c) x yx y
4 175 2 19
+ =+ =
4 45
12 = 3 ≠ 0 Solución: x = 5, y = –3
d) x yx y
9 6 76 4 11
––
=+ =
4 96
64–
– = 0 Sistema incompatible
e) x yx y
18 24 615 20 5
+ =+ =
4 1815
2420 = 0 Solución: x =
31
34– λ, y = λ
f ) x yx y
3 11 1288 7 46–
+ ==
4 38
117– = –109 ≠ 0 Solución: x =
1091 402 , y =
109886
BACHILLERATOUnidad 3. Resolución de sistemas mediante determinantes
2
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
1 Determinantes de orden dos
Página 82
1 Siendo A una matriz 2 × 2, justifica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:
a) Para que | A | = 0 es necesario que sus cuatro elementos sean 0.
b) Si los dos elementos de la segunda columna de A son 0, entonces | A | = 0.
c) Si las dos filas de A coinciden, entonces | A | = 0.
d) Si ac
bd = –15, entonces
ca
db = 15.
e) Si mn
37 = 43, entonces
mn
3070 = 430.
a) Falso, 11
00 = 0
b) Verdadero, porque en los dos sumandos del determinante aparece algún elemento de la segunda fila.
c) Verdadero: A = aa
aa
11
11
12
12f p → | A | = a11a12 – a11a12 = 0
d) Verdadero: ( ) ( )ca
db cb ad ad cb
ac
bd 15 15– – – – – –= = = = =
e) Verdadero: ( ) ·mn m n m n
mn
3070 70 30 10 7 3 10
37 10 43 430– –= = = = =
2 Calcula el valor de los siguientes determinantes y di por qué son cero algunos de ellos:
a) 134
62 b)
134
62– c)
111
00
d) 77
22
–– e)
321
1177 f )
14060
73
––
a) 134
62 = 2
b) 134
62– = –50
c) 111
00 = 0, porque tiene una columna de ceros.
d) 77
22
–– = 0, porque tiene sus dos filas iguales.
e) 321
1177 = 0, porque sus filas son proporcionales: (1.ª) · 7 = (2.ª).
f ) 14060
73
–– = 0, porque sus dos columnas son proporcionales: (2.ª) · (–20) = (1.ª).
BACHILLERATOUnidad 3. Resolución de sistemas mediante determinantes
3
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
3 Sean A = ln
mp
f p y | A | = –13. Calcula:
a) nl
pm b)
ln
mp7 7 c) |3A | d)
nl
pm
33
55
a) n
l
p
mln
mp–= = –(–13) = 13
b) ·ln
mp
ln
mp7 7 7= = 7 · (–13) = –91
c) | 3A | = · ·ln
mp
ln
mp
33
33 3 3= = 9 · (–13) = –117
d) · · ( ) · ·n
l
p
m
n
l
p
mln
mp
33
55
3 5 1 15–= = = (–15) · (–13) = 195
BACHILLERATOUnidad 3. Resolución de sistemas mediante determinantes
4
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
2 Determinantes de orden tres
Página 83
1 Calcula los siguientes determinantes:
a) 509
136
468
b) 91
0
012
301
–
a) 509
136
468
114–= b) 910
012
301
3– =
2 Halla el valor de estos determinantes:
a) 013
420
111
– b)
1000
47100
599110
a) 013
420
111
14–
= b) 1000
47100
599110
1000=
Página 85
3 Dados los determinantes
A = 583
416
999
B = 583
416
173–
C = 583
416
208
18
justifica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:
a) A = 0 porque su tercera columna es suma de las dos primeras.
b) B = 0 porque su tercera columna es diferencia de las dos primeras.
c) C = 0 porque su tercera columna es producto de las dos primeras.
a) Verdadero por la propiedad 9 de los determinantes. Si una matriz tiene una línea que es combinación lineal de las demás paralelas, entonces su determinante es cero.
b) Verdadero por la porpiedad 9 de los determinantes. Si una matriz tiene una línea que es combinación lineal de las demás paralelas, entonces su determinante es cero.
c) Falso, porque el producto de dos líneas no es una combinación lineal de ellas.
4 Justifica, sin desarrollar, estas igualdades:
a) 301
10
11
704
0–
= b) 428
192
7114
0– – –
= c) 72
27
49
94
17
710=
a) Tiene una fila de ceros (propiedad 2).
b) La 3.ª fila es proporcional a la 1.ª:
(3.ª) = (–2) · (1.ª) (propiedad 6)
c) La 3.ª fila es combinación lineal de las dos primeras:
(3.ª) = (1.ª) + 10 · (2.ª) (propiedad 9)
BACHILLERATOUnidad 3. Resolución de sistemas mediante determinantes
5
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
5 Sabiendo que x y z51
01
31
1= , calcula sin desarrollar los siguientes determinantes:
a) x y z3
51
301
331
b) /x y z5
11
501
53 51
c) x
xx
yy
y
zzz
2 51
21
2 31
++ +
++
a) x y z x y z3
51
301
331
3 51
01
31
= = 3 · 1 = 3
b) /x y z5
11
501
53 51
= 5 · 51
x y z
51
01
31
= 1 · 1 = 1
c) x
xx
yy
y
zzz
2 51
21
2 31
++ +
++
= x y z
51
01
31
= 1
BACHILLERATOUnidad 3. Resolución de sistemas mediante determinantes
6
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
3 Menor complementario y adjunto
Página 86
1 Halla dos menores de orden dos y otros dos menores de orden tres de la matriz M.
M =
24540
361
10
12213
57654
–
–
f pMenores de orden dos; por ejemplo:
M =
24540
36110
12213
57654
–
–
f p ,24
36 0
21
65 4= =
Menores de orden tres; por ejemplo:
M =
24540
36110
12213
57654
–
–
f p ,245
361
122
68110
213
654
21–
– –= =
2 Halla el menor complementario y el adjunto de los elementos a12, a33 y a43.
A =
0214
21
16
4325
6537
–f p
α12 = 214
325
537
= –2; A12 = (–1)(1 + 2) · α12 = –1 · (–2) = 2
α33 = 024
216
657
– = 108; A33 = (–1)(3 + 3) · α33 = 1 · 108 = 108
α43 = 021
211
653
– = 16; A43 = (–1)(4 + 3) · α43 = –1 · 16 = –16
BACHILLERATOUnidad 3. Resolución de sistemas mediante determinantes
7
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
4 Desarrollo de un determinante por los elementos de una línea
Página 87
1 Calcula el siguiente determinante aplicando la regla de Sarrus y desarrollándolo por cada una de sus filas y cada una de sus columnas:
35
9
728
164
––
Comprueba que se obtiene el mismo resultado en los siete casos.
Aplicando la regla de Sarrus:
359
728
164
––
= 3 · 2 · 4 + (–5) · 8 · (–1) + 7 · 6 · 9 – (–1) · 2 · 9 – 6 · 8 · 3 – 7 · (–5) · 4 = 456
Desarrollando por la 1.ª fila:
359
728
164
––
= 3 28
64 7
59
64 1
59
28–
––
– = 3 · (– 40) – 7 · (–74) – 1 · (–58) = –120 + 518 + 58 = 456
Desarrollando por la 2.ª fila:
359
728
164
––
= 5 78
14 2
39
14 6
39
78
– ––+ = 5 · 36 + 2 · 21 – 6 · (–39) = 180 + 42 + 234 = 456
Desarrollando por la 3.ª fila:
359
728
164
––
= 9 72
16 8
35
16 4
35
72
–– –
––+ = 9 · 44 – 8 · 13 + 4 · 41 = 396 – 104 + 164 = 456
Desarrollando por la 1.ª columna:
359
728
164
––
= 3 28
64 5
78
14 9
72
16
– –+ + = 3 · (– 40) + 5 · 36 + 9 · 44 = –120 + 180 + 396 = 456
Desarrollando por la 2.ª columna:
359
728
164
––
= –7 59
64 2
39
14 8
35
16
– –– –
–+ = –7 · (–74) + 2 · 21 – 8 · 13 = 518 + 42 – 104 = 456
Desarrollando por la 3.ª columna:
359
728
164
––
= –1 59
28 6
39
78 4
35
72
–– –+ = –1 · (–58) – 6 · (–39) + 4 · 41 = 58 + 234 + 164 = 456
BACHILLERATOUnidad 3. Resolución de sistemas mediante determinantes
8
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
2 Calcula los siguientes determinantes:
a)
7431
0070
3461
4799
–
b)
3102
1430
11
20
3452
––
a)
7431
0070
3461
4799
–
=(1) –7 741
341
479
– = –7 · 290 = –2 030
(1) Desarrollando por la 2.a columna.
b)
3102
1430
1120
3452
––
=(1) –2 143
112
345
2310
143
112
––
––+ = –2 · 28 + 2 · 28 = 0
(1) Desarrollando por la 4.a fila. También podríamos haber observado que la 4.a columna es igual a la suma de las otras tres; y, por
tanto, el determinante vale cero.
BACHILLERATOUnidad 3. Resolución de sistemas mediante determinantes
9
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
5 El rango de una matriz a partir de sus menores
Página 88
1 Calcula el rango de las siguientes matrices:
A =
1347
21
10
3033
0112
1101
4268
––
f p B =
426
12
235
10
1236
56
1223
358
16
f p C =
1101
01
01
0200
1100
1010
––
f p D =
2571
1120
033
2
178
2
––
–––f p
A =
1347
2110
3033
0112
1101
4268
––
f pTomamos el menor de orden 2:
13
21– = –7 ≠ 0. Las dos primeras filas son linealmente independientes.
La 3.ª fila es la suma de las dos primeras, y la 4.ª fila es la suma de la 2.ª y la 3.ª → ran (A ) = 2.
B =
42612
23510
1236
561223
35816
f pTomamos el menor de orden 2:
42
23 = 8 ≠ 0. Las dos primeras filas son linealmente independientes.
Tomamos menores de orden 3: 426
235
5612
= 8 ≠ 0 → Las 3 primeras filas son linealmente indepen-dientes.
Tomamos menores de orden 4:
42612
235
10
1236
561223
= 0;
42612
23510
561223
35816
= 0 → ran (B ) = 3.
C =
1101
0101
0200
1100
1010
––
f pTomamos el menor de orden 2:
11
10–
= 1 ≠ 0. Las dos primeras filas son linealmente independientes.
Como 020
110
101
02
11
–= = –2 ≠ 0 y
0101
0200
1100
1010
020
110
101
––
––
= , entonces ran (C ) = 4.
D =
2571
1120
0332
178
2
––
–––f p
Tomamos el menor de orden 2: 25
11 = –3 ≠ 0. Las dos primeras filas son linealmente independientes.
Como 251
110
032– = –9 ≠ 0 y la 3.ª fila es la suma de las dos primeras, entonces ran (D ) = 3.
BACHILLERATOUnidad 3. Resolución de sistemas mediante determinantes
10
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
6 Criterio para saber si un sistema es compatible
Página 89
1 Averigua si los siguientes sistemas son compatibles o incompatibles:
a) xxx
yyy
3
2
23
52
3
–
––+
===
* b) xxx
yyy
427
5
11
704
–+
+
===
* c) xx
y
y
zzz
23
2
120
–
–
++
===
* d) xx
y
y
zzz
23
2
125
–
–
++
===
*
a)
xxx
yyy
3
2
23
523
–
––+
===4 A =
312
231
–
–f p A' =
312
231
523
–
––f p
( )
| | ( )' '
8
8
ran A
A ran A
31
23 11 0 2
0 2
–≠ = =
= =4 El sistema es compatible.
b)
xxx
yyy
427
5
11
704
–+
+
===4 A = 'A
427
51
11
427
51
11
704
– –=f fp p | A' | = 147 ≠ 0 → ran (A' ) = 3 ≠ ran (A ) = 2
El sistema es incompatible.
c)
xx
y
y
zzz
23
2
120
–
–
++
===4 'A A
120
302
111
120
302
111
120
–
–
–
–= =f fp p
Calculamos el rango de A :
12
30 = – 6 ≠ 0 y | A | = 0 → ran (A ) = 2
Calculamos el rango de A' :
120
302
120
0= (pues la 1.ª y la 3.ª columna son iguales) → ran (A' ) = 2 = ran (A )
Como la 4.ª columna de A' y la 1.ª son iguales, necesariamente ran (A' ) = ran (A ); es decir, el siste-ma es compatible.
d)
xx
y
y
zzz
23
2
125
–
–
++
===4 A =
120
302
111
–
–f p A' =
120
302
111
125
–
–f p
Sabemos que ran (A ) = 2 (ver apartado anterior).
Calculamos el rango de A' :
120
302
125
= –30 ≠ 0 → ran (A' ) = 3 ≠ ran (A )
El sistema es incompatible.
BACHILLERATOUnidad 3. Resolución de sistemas mediante determinantes
11
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
7 Regla de Cramer
Página 90
1 Resuelve mediante la regla de Cramer:
a) xxx
yyy
zz2
3 54
248
9
––
––
+
++
===
* b) x y zx y zx y
28
2 3 10
––+ =
+ =+ =
*a)
xxx
yyy
zz2
3 54
248
9
––
––
+
++
===
4 | A | = 121
311
540
–– = –1 ≠ 0
| Ax | = ; | | ; | |A A248
9
311
540
7121
248
9
540
2121
311
248
95
––
–– –
–– –
––
––y z= = = = =
Por tanto: x = 7, y = 2, z = –5
b)
x y zx y zx y
28
2 3 10
––+ =
+ =+ =
4 | A | = 112
113
110
––
= – 6
| Ax | = ; | | ; | |A A2810
113
110
112
2810
110
112
113
2810
30 0 18––
––
– –y z= = = = =
Por tanto: x = 5, y = 0, z = 3
2 Resuelve aplicando la regla de Cramer:
a) x y zx y zx y z
2 5 3 42 3
5 7 11
––
+ =+ =
+ + =* b)
x y zy z
x y z
3 4 46
2 5 7 1
– –
–
=+ =
+ + =*
a)
x y zx y zx y z
2 5 3 42 3
5 7 11
––
+ =+ =
+ + =4 | A | =
215
521
317
–– = 13
| Ax | = ; | | ; | |A A4311
521
317
215
4311
317
215
521
4311
65 0 26––
–– –y z= = = = =
Por tanto: x = 5, y = 0, z = –2
b)
x y zy z
x y z
3 4 46
2 5 7 1
– –
–
=+ =
+ + =4 | A | =
302
415
117
– – = 0
Por tanto, ran (A ) < 3. Como hay menores de orden 2 distintos de cero, ran (A ) = 2.
A' = 302
415
117
461
– –
–f p → ran (A' ) = 3
Por tanto, este sistema es incompatible.
BACHILLERATOUnidad 3. Resolución de sistemas mediante determinantes
12
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
Página 91
3 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:
a) xx
yyy
zzz
32
327
130
–––
+++
===
*
b) xx
yyy
zzz
32
327
1310
–––
+++
===
*
a)
xx
yyy
zzz
32
327
130
–––
+++
===4 A = 'A
130
112
327
130
112
327
130
–––
–––
= ff pp
Calculamos el rango de A :
10
12
–– = –2 ≠ 0 y | A | = 0 → ran (A ) = 2
Calculamos el rango de A' :
130
112
130
–––
= 0 (la 1.ª y la 3.ª columna son iguales) → ran (A' ) = 2
El sistema es compatible indeterminado. Para resolverlo, podemos prescindir de la 2.ª ecuación:
8
8
x y zy z
x y z x y z z
y z y z3 1
2 7 0
1 3 1 3 12
2 727
––
– – –
– –
+ =+ =
= = + = +
= =4
Soluciones: x = 1 + λ, y = 7λ, z = 2λ
b)
xx
yyy
zzz
32
327
1310
–––
+++
===4 A = 'A
130
112
327
130
112
327
1310
–––
–––
=f fp p Sabemos, por el apartado a), que ran (A ) = 2.
Calculamos el rango de A' :
130
112
1310
–––
= 20 ≠ 0 → ran (A' ) = 3 ≠ ran (A )
El sistema es incompatible.
BACHILLERATOUnidad 3. Resolución de sistemas mediante determinantes
13
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
4 Resuelve estos sistemas:
a)
x
xx
yy
y
zzz5
3546–
++++
====
* b) xxx
yyy
322
463
4231–
+++
===
*
a)
x
xx
yy
y
zzz5
3546–
++++
====
_
`
a
bbb
bb
A = 'A
1015
1101
0111
1015
1101
0111
3546– –
=f fp p
Como 101
110
011
= 2 ≠ 0 → ran (A ) = 3
Calculamos el rango de A' :
| A' | = 0 → ran (A' ) = 3
El sistema es compatible determinado. Para resolverlo, podemos prescindir de la última ecuación y aplicar la regla de Cramer:
x = 2
354
110
011
22= = 1; y =
2
101
354
011
24 2= = ; z =
2
101
110
354
26 3= =
Solución: x = 1, y = 2, z = 3
b)
xxx
yyy
322
463
4231–
+++
===4 A = 'A
32
463
322
463
42312– –
=f fp p
Como | A' | = –309 ≠ 0, entonces ran (A' ) = 3 ≠ ran (A ).
El sistema es incompatible.
BACHILLERATOUnidad 3. Resolución de sistemas mediante determinantes
14
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
8 Sistemas homogéneos
Página 92
1 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:
a) xxx
yyy
zz
3 52
000
––+
++
===
* b) xxx
yyy
zzz5
39
000
–
–
–
–+ +
===
*
c)
xxxx
yyyy
zzzz
2
2
114
16
4
25
0000
–
–
–
–
+++
+
+
====
* d) xxx
yyy
z
ztt
35
2000
––
––
+ +
+
===
*
a)
xxx
yyy
zz
3 52
000
––+
++
===4 | A | =
311
521
110
–– = –5 ≠ 0 → ran (A ) = 3 = n.º de incógnitas
El sistema solo tiene la solución trivial: x = 0, y = 0, z = 0
b)
xxx
yyy
zzz5
39
000
–
–
–
–+ +
===4 | A | =
111
115
139
–
–
–
– = 0
Seleccionamos el menor 11
11–
= 2 ≠ 0 → ran (A ) = 2
Podemos suprimir la 3.ª ecuación y pasar la z al segundo miembro:
x y zx y z
x zy z3 2
––
––
=+ =
==
3
Soluciones: x = –λ, y = –2λ, z = λc)
xxxx
yyyy
zzzz
2
2
114
16
4
25
0000
–
–
–
–
+++
+
+
====
_
`
a
bbb
bb
121
1141
412
––
– = –18 → ran (A ) = 3 = n.º de incógnitas
El sistema solo tiene la solución trivial: x = 0, y = 0, z = 0
d)
xxx
yyy
z
ztt
35
2000
––
––
+ +
+
===
_
`
a
bb
bb A =
131
111
501
021
––
––
f p
131
111
501
––
= –14 ≠ 0 → ran (A ) = 3
Para resolverlo, pasamos la t al 2.° miembro:
x y zx y tx y z t
5 03 2–
–
+ + ==
+ =4
x =
tt t t
14
02
111
501
147
2–
––
––= = ; y =
tt t t14
131
02
501
147
2– ––= = ; z =
tt
14
131
111
02
140 0
–
––
–= =
Soluciones: x = λ, y = –λ, z = 0, t = 2λ
BACHILLERATOUnidad 3. Resolución de sistemas mediante determinantes
15
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
2 Resuelve.
a)
x
xx
yyyy
zzz
2
35
3
2
0000–
–
–+
+++
====
*
b)
x
xx
yyyy
zzzz
2
35
3
23
0000–
–
–+
++++
====
*
c)
x
xx
yyy
z
z
ttt2 2
3
32
0000
–++
+
+++
====
*
d)
x
xx
yyy
z
z
ttt2 2
3
329
0000
–++
+
+++
====
*a)
x
xx
yyyy
zzz
2
35
3
2
0000–
–
–+
+++
====
_
`
a
bb
bb
A =
1011
2135
3120–
–
–f p
Calculamos el rango de A :
≠ ; ;10
21 1 0
101
213
312
0101
215
310
0– –
– –
–= = =
Por tanto, ran (A ) = 2. El sistema es compatible indeterminado.
Para resolverlo, podemos prescindir de las dos últimas ecuaciones y pasar la z al segundo miembro:
x y z
y zx z y z z zy z
2 3 3 2 3 2 5– ––
– – – ––
==
= + = ==
4
Soluciones: x = –5λ, y = –λ, z = λ
b)
x
xx
yyyy
zzzz
2
35
3
23
0000–
–
–+
++++
====
_
`
a
bbb
bb
El menor asociado a las 1.ª, 2.ª y 4.ª ecuaciones es:
≠101
215
313
3 0–
–= → ran (A ) = 3 = n.º de incógnitas
El sistema tiene solución única, que es la solución trivial por ser homogéneo.
Solución: x = 0, y = 0, z = 0
BACHILLERATOUnidad 3. Resolución de sistemas mediante determinantes
16
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
c)
x
xx
yyy
z
z
ttt2 2
3
32
0000
–++
+
+++
====
_
`
a
bbb
bb
A =
1012
0112
3003
0121
–f p ; | A | = 0
101
011
300
= –3 ≠ 0 → ran (A ) = 3 < n.º de incógnitas
El sistema es compatible indeterminado. Para resolverlo, podemos prescindir de la 4.ª ecuación y pasar la t al segundo miembro:
x z
y tx y t
z x t ty tx t y t t t
3 0
2
3 33
2 2 3
–
–
–
– – – – –
==
+ =
= = === = =
4
Soluciones: x = –3λ, y = λ, z = λ, t = λ
d)
x
xx
yyy
z
z
ttt2 2
3
329
0000
–++
+
+++
====
_
`
a
bbb
bb
| A | = ≠
1012
0112
3003
0129
24 0–
–= → ran (A ) = 4 = n.º de incógnitas
El sistema tiene solución única, que es la solución trivial por ser homogéneo.
Solución: x = 0, y = 0, z = 0, t = 0
BACHILLERATOUnidad 3. Resolución de sistemas mediante determinantes
17
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
9 Discusión de sistemas mediante determinantes
Página 94
1 Discute y resuelve.
a) x
axx
yyy
az
z4 6
01
0– –+
+
+
+
===
* b) x
kxx
yyy
k
5 31316
–+
+
===
*a)
xaxx
yyy
az
z4 6
01
0– –+
+
+
+
===4 A = a
a1
1
114
06
–f p ; A' = aa1
1
114
06
010
– –f p
| A | = 4a 2 – 5a – 6 = 0 → a = ± ± ±8
5 25 968
5 1218
5 11+ = = a
a
2
43–
=
=• Sia = 2, queda:
A' = 121
114
206
010
– –f p Tomamos el menor: 12
11– = –3 ≠ 0 → ran (A ) = 2
A
121
114
010
– – = 3 ≠ 0 → ran (A' ) = 3 ≠ ran (A ) → El sistema es incompatible.
• Sia = – 43 , queda:
A' = //1
3 41
114
3 406
010
– ––
–f p Tomamos el menor: /13 4
11 4
1– –
–= ≠ 0 → ran (A) = 2
A
/1
1
114
010
3 4 – –– = 3 ≠ 0 → ran (A' ) = 3 ≠ ran (A ) → El sistema es incompatible.
• Sia ≠ 2 y a ≠ –3/4 → ran (A ) = ran (A' ) = n.º de incógnitas = 3, el sistema es compatible determinado. Lo resol-vemos:
x = a a
a
a aa
4 5 6
010
114
06
4 5 66 4
– –
– –
– ––
2 2= ; y = a a
aa
a aa
4 5 6
1
1
010
06
4 5 66
– –
–
– ––
2 2=
z = a a
a
a a4 5 6
1
1
114
010
4 5 63
– –
– –
– –2 2=
Solución: , ,xa a
a ya a
a za a4 5 6
6 44 5 6
64 5 6
3– ––
– ––
– –2 2 2= = =
BACHILLERATOUnidad 3. Resolución de sistemas mediante determinantes
18
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
b)
xkxx
yyy
k
5 31316
–+
+
===4 A' = k
k1
5
113
1316
–f p A
| A' | = 3k 2 – 11k + 10 = 0 → k = ± ±6
11 121 1206
11 1– = k
k
2
35
=
=• Sik = 2, queda:
A' = 125
113
21316
–f p
A
Tomamos el menor: 12
11– = –3 ≠ 0 → ran (A ) = ran (A' ) = 2 = n.º de incógnitas
El sistema es compatible determinado.
Para resolverlo, podemos prescindir de la 3.ª ecuación:
x yx y
22 13–
+ ==4 Sumando: 3x = 15 → x = 5
y = 2 – x = 2 – 5 = –3
Solución: x = 5, y = –3
• Sik = 35 , queda:
A' = //1
5 35
113
5 31316
–f p
A
/1
5 311 3
8–
–= ≠ 0 → ran (A ) = ran (A' ) = 2 = n.º de incógnitas
El sistema es compatible determinado.
Para resolverlo, podemos prescindir de la 3.ª ecuación:
x y
x y35
35 13–
+ =
=4 Sumando: 8x x
38
344
844
211= = =
y = x35
35
211
623– – –= =
Solución: x = , y211
623–=
• Sik ≠ 2 y k ≠ 35 → ran (A' ) = 3 ≠ ran (A ), el sistema es incompatible.
BACHILLERATOUnidad 3. Resolución de sistemas mediante determinantes
19
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
2 Discute y resuelve, en función del parámetro a, el siguiente sistema de ecuaciones:
( )( ) ( )a xa x
ya y
11 1
00
––
++ +
==
*
( )( ) ( )a xa x
ya y
11 1
00
––
++ +
==4 A =
aa a
11
11
–– +
e o
| A | = (a – 1) a11
11+ = (a – 1)(a + 1 – 1) = a(a – 1) = 0
aa
01
==
• Sia = 0, queda:
x yx y
00
––
+ =+ =
4 y = x → Sistema compatible indeterminado.
Soluciones: x = λ, y = λ
• Sia = 1, queda:
yy
02 0
==4 Sistema compatible indeterminado.
Soluciones: x = λ, y = 0
• Sia ≠ 0 y a ≠ 1 → ran (A ) = 2
El sistema tiene solo la solución trivial: x = 0, y = 0
BACHILLERATOUnidad 3. Resolución de sistemas mediante determinantes
20
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
10 Cálculo de la inversa de una matriz
Página 95
1 Calcula la inversa de cada una de las siguientes matrices:
A = 112
105
133
––
– –
–f p B =
21
12
––
e o
Calculamos la inversa de la matriz A:
| A | = –1 ≠ 0 → existe A –1
αij ⎯⎯→ (A i j ) ⎯⎯→ (A j i ) ⎯⎯→ A –1 = | |A1 (A j i )
8 8 8 A1583
952
531
1583
952
531
1595
853
321
1595
853
321
–
––
–
–
–––
–––
–––
–––
–––
–––
1– =f f f fp p p p
Calculamos la inversa de la matriz B:
| B | = –3 ≠ 0 → existe B –1
αij ⎯⎯→ (B i j ) ⎯⎯→ (B j i ) ⎯⎯→ B –1 = | |B1 (B j i )
8 8 8 B21
12
21
12
21
12 3
1 21
12
––
– – ––
– ––
1– =e e e eo o o o
2 Calcula la inversa de estas matrices:
A = 12
47
e o B = 401
125
013
–f p
Calculamos la inversa de la matriz A:
| A | = –1 ≠ 0 → existe A –1
αij ⎯⎯→ (A i j ) ⎯⎯→ (A j i ) ⎯⎯→ A –1 = | |A1 (A j i )
8 8 8 A74
21
74
21
72
41
72
41–
––
––
–1– =e e e eo o o o
Calculamos la inversa de la matriz B:
| B | = 3 ≠ 0 → existe B –1
αij ⎯⎯→ (B i j ) ⎯⎯→ (B j i ) ⎯⎯→ B –1 = | |B1 (B j i )
8 8 8 B131
1124
2218
131
112
4
2218
112
31221
14
831
112
31221
14
8––
– –
– –
––
– –
––
– –
––1– =f f f fp p p p
BACHILLERATOUnidad 3. Resolución de sistemas mediante determinantes
21
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
Ejercicios y problemas resueltos
Página 96
1. Rango de matrices a partir de sus menores
Hazlo tú. Estudia el rango de las siguientes matrices según los valores del parámetro k :
a) M = fk
k13 6
4
39
6
264
––
––
–
–p b) N = f
kk
121
11
1
1p c) P = k
1211
131
1
2812
11
1––
––
–
f pa) El menor formado por las tres primeras columnas es:
k
k13 6
4
396
––
–– = 9k 2 – 36k + 36 → 9k 2 – 36k + 36 = 0 → k = 2
•Sik ≠ 2 → ran (M ) = 3 •Sik = 2:
M = 132
264
396
264
––
––
–
–f p
Todas las columnas son porporcionales, luego ran (M ) = 1.b) Hallamos los valores que anulan el determinante de N:
|N | = k
k121
11
1
1 = k 2 – 3k + 2 = 0
kk
21
==
• Sik ≠ 2 y k ≠ 1 → ran (N ) = 3• Sik = 2:
N = 121
211
121
f p 12
21 = –3 ≠ 0 → ran (N ) = 2
• Sik = 1:
N = 121
111
111
f p 12
11 = –1 ≠ 0 → ran (N ) = 2
c) Resolvemos la ecuación |P | = 0:
|P | = k
1211
1311
2812
11
1––
––
–
(1.ª)
(2.ª) – 2 · (1.ª)
(3.ª) + (1.ª)
(4.ª) + (1.ª)
= 8k k k k
1000
1502
2430
111
2
502
430
11
28 16 0 2
– – – ––+ = + = = =
• Sik ≠ 2 → ran (P ) = 4• Sik = 2 → ran (P ) < 4
P =
1211
1311
2812
1121
––
––
–
f p 12
13– = –5 ≠ 0 → ran (P ) ≥ 2
121
131
281–
––
= –15 ≠ 0 → ran (P ) = 3
BACHILLERATOUnidad 3. Resolución de sistemas mediante determinantes
22
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
Página 97
2. Regla de Cramer
Hazlo tú. Resuelve aplicando la regla de Cramer.
a) x yx y
7 5 83 2 9
–– –– =
+ =* b)
x y zx yx y z
z43
5 3 18
5 55 3
––
––
+ ==
+ =*
a) | A | = 73
52––
= –1; | Ax | = 89
52––
= –29; | Ay | = 73
89– – = –39
x = , y129 29
139 39
––
––= = =
Solución: (29, 39)
b) | A | = 115
11
1
103
––
– = 0
11
11– = –2 ≠ 0 → ran (A ) = 2
Quitamos la 3.a ecuación por ser combinación lineal de las anteriores:
x y zx y
43
––+ =
=*
Pasamos z al segundo miembro para tener el mismo número de incógnitas que de ecuaciones. Hace-mos z = λ (parámetro).
lx y
x y43–
+ = +=
*
| Ax | = | |;l
ll
lA4
311 7
11
43 1– – – – –y
+= =
+=
Soluciones: ,l l2
72
1+ +d n
3. Estudio de la compatibilidad de un sistema
Hazlo tú. Estudia el siguiente sistema según los valores de k y resuélvelo cuando sea posible:
x y zx yx zx y z k
zy
431
3 4
3 43 43 4
–– ––
+ ==
+ =+ + =
*Buscamos el valor de k para el cual | A' | = 0.
| A' | =
k
1113
1104
1011
431
––
(1.ª)
(2.ª) – (1.ª)
(3.ª) – (1.ª)
(4.ª) – 3 · (1.ª)
=
k k
1000
121
1
1124
41312
211
124
1312
––
––––
––
–––
= = 15 – 3k = 0 → k = 5
• Sik ≠ 5 → ran (A' ) = 4 → el sistema es incompatible.
• Sik = 5 → ran (A ) = ran (A' ) = 3, ya que 111
110
101
––
= –3 ≠ 0
BACHILLERATOUnidad 3. Resolución de sistemas mediante determinantes
23
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
El sistema es compatible determinado. Para resolverlo, eliminamos la cuarta ecuación y aplicamos la regla de Cramer:
x3
431
110
101
38
38
–
––
––= = = ; y
3
111
431
101
31
–
–
–= = ; z
3
111
110
431
35
–
–
–= =
Solución: , ,38
31
35– –d n
Página 98
4. Discusión de sistemas aplicando el teorema de Rouché
Hazlo tú. Discute los siguientes sistemas de ecuaciones y resuélvelos cuando sean compatibles:
a) xxx
yy
ay
zaz
z
aa2
1
1
–+++
+++
===
* b)
xx
mxx
yyy
zzzz
232
2460
––
–
++
+
+
====
*a) | |8
aa
aa A
aa a a
121
11
1
1
1
1
121
11
1
13 2
–– –2= = +f p = 0
aa
21
==
• Sia ≠ 2 y a ≠ –1 → ran (A ) = 3 = ran (A' ) → el sistema es compatible determinado.
Para cada valor de a distinto de –1 y 2, tenemos un sistema con solución única, que por la regla de Cramer es:
xa a
aa
aa
3 2
1
1
11
1
1– –
–
2=+
; y = a a
aa a
3 2
121
1
1
1
1– –
–
2 +; z =
a aa
aa
3 2
121
11
1
1– –
–
2 +
Solución: , ,aa
aa
a11
21–
– ––
+d n
Son tres planos que se cortan en un punto.
• Sia = –1:
xxx
yyy
zzz
2211–
–––
++
+
+
===4 A' =
121
111
111
211–
–––f p
≠ ( )
≠ ( )'8
8 ran A
ran A
12
11
121
111
211
1 0 2
3 0 3–
––
–= =
= =4 El sistema es incompatible.
Son tres planos que se cortan dos a dos.
• Sia = 2:
xxx
yyy
zzz
22
2 21
1++
+
+
===+
+ 4 A' = 121
112
121
121
f p
12
11 = –1 ≠ 0 → ran (A ) = 2
BACHILLERATOUnidad 3. Resolución de sistemas mediante determinantes
24
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
Como la columna de términos independientes es igual a la columna de coeficientes de z, tenemos que ran (A' ) = 2 = ran (A ), el sistema es compatible indeterminado.
Para resolverlo, tomamos las dos primeras ecuaciones y pasamos z al segundo miembro:
xx
yy
zz2 2
12
++
++
==4 → x = 1 – λ, y = 0, z = λ
Los planos se cortan en una recta.
b) Empezamos estudiando el rango de A', ya que puede ser 4:
| A' | = m
12
1
1110
1132
2460
––
–
= 12 – 12m = 0 → m = 1
• Sim ≠ 1 → ran (A' ) = 4 ≠ ran (A ), el sistema es incompatible.
• Sim = 1:
121
110
112
–––
= – 6 ≠ 0 → ran (A ) = 3 = ran (A' ) → el sistema es compatible determinado.
Quitando la tercera ecuación:
xxx
yy
zzz
22
240
–
––++ =
==4 Aplicamos la regla de Cramer y obtenemos: x = 2, y = 1, z = 1
Los planos se cortan en un punto.
Página 99
5. Cálculo de la matriz inversa
Hazlo tú. Dada esta matriz:
A = aa
104
0
1
13
–
–f p
a) Halla los valores de a para los cuales A es regular.
b) Para a = 2, halla la matriz inversa de A.
a) | A | = aa
104
0
1
13–
– = –a 2 + 4a – 3 → –a 2 + 4a – 3 = 0
aa
31
==
A es regular para a ≠ 3 y a ≠ 1.
b) a = 2:
| A | = 1
A = ( )8 8A A104
021
132
712
1223
812
712
8
121
232
–
–
––
–
––
–
–
–
––ij
1–= =f f fp p p
BACHILLERATOUnidad 3. Resolución de sistemas mediante determinantes
25
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
6. Sistemas homogéneos
Hazlo tú. Discute y resuelve:
xxx
yy
ay
zzz3
34
000
–+++
++
===
*Es un sistema homogéneo, luego siempre es compatible. Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes:
| A | = a
113
13
114
– = 20 – 2a → 20 – 2a = 0 → a = 10
• Sia ≠ 10 → ran (A ) = 3 = ran (A' ) → el sistema es compatible determinado.
Para cada valor de a distinto de 10, tenemos un sistema con solución única: (0, 0, 0), la solución trivial.
• Sia = 10 → ran (A ) = 2 = ran (A' ) → el sistema es compatible indeterminado.
Para resolverlo, tomamos las dos primeras ecuaciones y pasamos z al segundo miembro como parámetro:
xx
yy
zz3 –
++
==3
Soluciones: x = 2λ, y = –λ, z = λ
BACHILLERATOUnidad 3. Resolución de sistemas mediante determinantes
26
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
Ejercicios y problemas guiados
Página 100
1. Propiedades de los determinantesSi c1, c2 y c3 son las columnas 1.ª, 2.ª y 3.ª de una matriz cuadrada de orden 3 tal que |c1 c2 c3 | = 7, calcular:
a) |c3 c1 c2 | b) | 3c1 c2 + c1 – c3 | c) |c1 + 2c3 c2 2c3 – c1 |
a) | c3 c1 c2 | = (–1)2 | c1 c2 c3 | = 7
b) | 3c1 c2 + c1 –c3 | = 3(–1) | c1 c2 + c1 c3 | = –3 | c1 c2 c3 | = –21
c) | c1 + 2c3 c2 2c3 – c1 | = | c1 c2 + c1 4c3 | = 4 | c1 c2 + c1 c3 | = 28
2. Resolver una ecuaciónHallar el valor de x para el cual | 2B | = 160 siendo B la matriz:
B = x
xx x
134
2
121– 2
+f p
| 2B | = 23 | B | → 23 | B | = 160 → | B | = 20
| B | = x
xx x
134
2
121– 2
+ = x 3 – x 2 + x – 1 = 20 → x 3 – x 2 + x – 21 = 0 →
→ (x – 3)(x 2 + 2x + 7) = 0 → x = 3
3. Sistema compatible para cualquier valor del parámetroSea el sistema de ecuaciones:
axxx
yay
y
zz
az
a
a2
22–
––
+ +++
===
+*
a) Comprobar que es compatible para cualquier valor de a.
b) Calcular su solución en forma matricial en el caso a = 0.
c) Resolver para a = 1 utilizando el método de Gauss.
a) | A | = a
aa
21
1
1
11–
– = –a 3 – 1 = 0 → a = –1
•Sia ≠ –1 → ran (A ) = 3 = ran (A' ) → el sistema es compatible determinado, tiene solución única. •Sia = –1:
xxx
yyy
zzz
2121
–
– – –
++
++
===4
12
11
– = –3 ≠ 0 → ran (A ) = 2
Añadimos la columna de términos independientes:
121
111
121
–
– – = 0 → ran (A' ) = 2 = ran (A )
El sistema es compatible indeterminado, tiene infinitas soluciones.Por tanto, el sistema es compatible para cualquier valor de a.
BACHILLERATOUnidad 3. Resolución de sistemas mediante determinantes
27
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
b) a = 0:
·xyz
021
101
110
220––=f ff p pp
A · X = B → X = A –1 B
A –1 = 112
111
122
––
–
––f p
X = ·112
111
122
220
44
6
––
–
–– –
––=f ff p pp
c) a = 1:
xxx
yyy
zzz
2321
––
–+ +
++
===4
121
111
111
321
––
–f p (1.ª)
(2.ª) – 2 · (1.ª)
(3.ª) – (1.ª)
100
132
110
382
––
– ––
f p
(1.ª)
(2.ª)
3 · (3.ª) – 2 · (2.ª)
100
130
112
38
10– – –f p → x = –3, y = 1, z = 5
4. Resolver una ecuación matricial
Dada la matriz A = fm
m2
01
01
0
0
–
–p:
a) Calcular los valores de m para los que A tiene inversa.
b) Para m = 1, calcular la matriz X que verifica XA + X – 2A = 0.
a) | A | = m
m201
01
0
0
–
– = m 2 – 2m → m 2 – 2m = 0
mm
02
==
A tiene inversa si m ≠ 0 y m ≠ 2.
b) XA + X – 2A = 0 → X (A + I ) = 2A → X = 2A (A + I )–1
Para comprobar que este paso es válido, veamos si (A + I )–1 existe.
A + I = 201
101
010
100
010
001
101
111
011
–
–
–
–+ =f f fp p p
| A + I | = –1, luego tiene inversa.
(A + I )–1 = 211
110
111
––
––f p
X = 2A (A + I )–1 = 2201
101
010
211
110
111
622
200
220
–
–
––
––
–
–=f f fp p p
BACHILLERATOUnidad 3. Resolución de sistemas mediante determinantes
28
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
Ejercicios y problemas propuestos
Página 101
Para practicar
Determinantes.
1 Calcula el valor de estos determinantes:
a) 111
876
101–
b) 325
41
3
615
––
– c)
701
87
0
031
– d) 02
3
304
120
–
a) 111
876
101–
= 0 b) 325
413
615
––
– = 0 c)
701
870
031
– = –25 d) 023
304
120
– = 10
2 Si mp
nq = –5, ¿cuál es el valor de cada uno de los siguientes determinantes? Justifica las respues-
tas:
a) m n
np q
q3 3+ +
b) pq
mn c)
nq
mp
33
––
d) pq
mn
22 e)
/mp
n mmq
1 f )
mp
mp
55
a) m n
n
p q
q
3 3+ +
( )1=
m
n
p
q
( )2=
mp
nq = –5
b) p
q
m
n
p
m
q
nmp
nq–
( ) ( )2 3= = = –(–5) = 5
c) nq
mp
nq
mp
mp
nq
33 3 3
–– –
( ) ( )4 3= = = 3 · (–5) = –15
d) p
q
m
n
p
q
m
n
p
m
q
nmp
nq
22
2 2 2–( ) ( ) ( )4 2 3= = = = –2 · (–5) = 10
e) /
mpn mmq m
mmp
nq
mp
nq
1 1 ·( )4= = = –5
f ) mp
mp
55 = 0, pues las dos columnas son proporcionales.
(1) Si a una fila le sumamos otra multiplicada por un número, el determinante no varía.
(2) El determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta.
(3) Si cambiamos de orden dos filas o dos columnas, el determinante cambia de signo.
(4) Si multiplicamos una fila o una columna por un número, el determinante queda multiplicado por ese número.
BACHILLERATOUnidad 3. Resolución de sistemas mediante determinantes
29
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
3 Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) a
311
411
51–
–
– = 0 b)
a
aa
10
1
16
2
130
–
–
–+ = 0
c) a
202
123
122
= 0 d) a
aa
111
12
1
2
+ = 0
a) a
311
411
51–
–
– = 7 – 7a = 0 → a = 1
b) a
aa
10
1
16
2
130
–
–
–+ = a 2 + 2a – 3 = 0 → a = 1, a = –3
c) a
202
123
122
= 4a 2 – 12 = 0 → a = 3 , a = – 3
d) a
aa
111
12
1
2
+ = –a 3 – a 2 + 6a = 0 → a = –3, a = 0, a = 2
4 ¿Qué valor de a anula estos determinantes?:
a) a
a10
111
11 b)
a
aa
10
12
0
112
––
–
c) aa
1
1
11
1
220+
d) aa
a a
11
0
101
12
1– – –
– –2
+
a) a
a10
111
11 =
aa
a1
0
101
10– = (a – 1)(a – 1) = (a – 1)2 = 0 → a = 1
b) a
aa
10
12
0
112
––
– = 2(a – 1)(a – 2) + a + a(a – 2) = 2(a – 1)(a – 2) + a(a – 1) =
= (a – 1)(3a – 4) = 0 a
a
1
34
=
=
c) aa
1
1
11
1
220+
= aa
11
0
10
202
––
= (1 – a)(–2 – 2a) = –2(1 – a)(1 + a) = 0 aa
11–
==
d) aa
a a
11
0
101
12
1– – –
– –2
+ =
a
a a
100
111
11
1–– –2
+ = (a + 1)(a 2 – a) =
= a(a + 1)(a – 1) = 0 aa
a1
1
0
–==
=
BACHILLERATOUnidad 3. Resolución de sistemas mediante determinantes
30
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
5 Sabiendo que ax
by
cz
1 1 1 = 5, calcula el valor de los siguientes determinantes:
a) / / /
ax
by
cz
17
2
17
2
17
2+ + + b) c a
z xb cy z
cz
0 0 1––
––
c) x
a xx
yb y
y
zc z
z
12
2
12
2
12
2
– – –+ + + d) x
azc
yb
2 2 2– – –
a) / / / / / / / / /
ax
by
cz
ax
by
cz x y z
ax
by
cz
17
2
17
2
17
2
1
2
1
2
1
2
172
172
172
21
1 1 10
21 5
25·
( ) ( )1 2+ + + = + = + = =
(1) Descomponemos el determinante en suma de dos.
(2) Sacamos 21 factor común de la 3.ª fila. El 2.° determinante es 0, pues las dos primeras filas son
proporcionales.
b) c az x
b cy z
cz
0 0 1––
––
= (1.ª) – (3.ª)
(2.ª) + (3.ª)
(3.ª)
columnas
ax
by
cz
ax
by
cz
1 1 1 1 1 15
–––
– –( )1= =
(1) Sacamos –1 factor común de la 1.ª columna.
c) x
a x
x
y
b y
y
z
c z
z
12
2
12
2
12
2
– – –+ + + =
(1.ª)
(2.ª) – (3.ª)
(3.ª)
filas
x
ax
y
by
z
cz
x
ax
y
by
z
cz
1
2
1
2
1
22
1 1 1– – – – – –( )1= =
= (1.ª) + (3.ª)
(2.ª)
(3.ª)
filas
ax
by
cz
21 1 1
= 2 · 5 = 10
(1) Sacamos factor común el 2 de la 3.ª fila.
d) xa
zc
yb
2 2 2– – – = 2 x
azc
yb
ax
cz
by
ax
by
cz
1 1 12
1 1 12
1 1 1– – – –= = = –2 · 5 = –10
Rango de una matriz
6 Estudia el rango de las siguientes matrices:
a) 122
034
112
22
1
––f p b)
1231
1102
2351
–
f p
a) El rango es 3, ya que el determinante 122
112
221
–– = 15 ≠ 0.
BACHILLERATOUnidad 3. Resolución de sistemas mediante determinantes
31
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
b) 4.a fila = 2.a fila – 1.a fila.
3.a fila = 1.a fila + 2.a fila.
Por tanto: ran
1231
1102
2351
–
f p = ran 12
11
23
–e o
Como 12
11–
= 3 ≠ 0 → El rango es 2.
7 Halla el rango de estas matrices:
a) A = f
3614
51005
12
10
–p b) B = f
141
250
360
123
114
–p
c) C = f
2002
1020
0211
01
00
–
––
–p d) D = f
102
217
013
32
0––
– p
a) A =
3614
51005
1210
–f p Tomamos un menor de orden 2 distinto de cero:
05
10 = –5 ≠ 0 → ran (A ) ≥ 2
Las dos últimas filas son linealmente independientes.
Veamos si la 2.a fila depende linealmente de las dos últimas:
614
1005
210
– = 0 → La 2.a fila depende linealmente de las dos últimas.
Veamos si la 1.a fila depende de las dos últimas:
314
505
110
= 10 ≠ 0. Por tanto, ran (A) = 3.
b) B = 141
250
360
123
114
–f p
Tomamos un menor de orden 2 distinto de cero: 41
50 = –5 ≠ 0
Las dos primeras columnas son linealmente independientes. Luego, ran (B ) ≥ 2.
Veamos si la 3.a columna depende linealmente de las dos primeras:
141
250
360
25
36= = –3 ≠ 0. Por tanto, ran (B ) = 3.
BACHILLERATOUnidad 3. Resolución de sistemas mediante determinantes
32
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
c) C =
2002
1020
0211
0100
–
––
–f p Calculamos | C |:
| C | =
2002
1020
0211
0100
–
––
– =
filas(1.ª)
(2.ª)
(3.ª)
(4.ª) – (1.ª)
2000
1021
0211
0100
2021
211
100
–
––
–––
–( )1= =
= 2(2 – 1) = 2 ≠ 0 → ran (C ) = 4
(1) Desarrollamos por la 1.a columna.
d) D = 102
217
013
320
––
–f p
Tomamos un menor de orden 2 distinto de cero: 10
21 ≠ 0
Las dos primeras filas son linealmente independientes.
Veamos si la 3.a fila depende linealmente de las dos primeras:
102
217
013
––
= –3 – 4 + 7 = 0
102
217
320– = – 8 – 6 + 14 = 0
La 3.ª fila depende linealmente de las otras dos.
Por tanto, ran (D ) = 2.
8 Estudia el rango de las siguientes matrices según el valor del parámetro que aparece en ellas:
a) A = fa
213
111
02– p b) B = f
aa1
1
12
1
02
2–
–– p c) C = fa
a2
3
131
42
–
–p d) D = f a
a
111
1
1
11– p
a) | A | = a
213
111
02– = 2a – 6 + 4 – a = a – 2 = 0 → a = 2
•Sia = 2 → Como | A | = 0 y 111
2 = 1 ≠ 0 → ran (A ) = 2
•Sia ≠ 2 → | A | ≠ 0 → ran (A ) = 3
b) | B | = a
a11
121
022
––
– = 4a 2 – 2 – 2a + 2 = 4a 2 – 2a = 0 → 2a(2a – 1) = 0 a
a
0
21
=
=
Observamos que 11
02– = 2 ≠ 0 → ran (B ) ≥ 2
BACHILLERATOUnidad 3. Resolución de sistemas mediante determinantes
33
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
•Sia = 0 → | B | = 0 → ran (B ) = 2
•Sia = 21 → | B | = 0 → ran (B ) = 2
•Sia ≠ 0 y a ≠ 21 → | B | ≠ 0 → ran (B ) = 3
c) | C | = aa2
3
131
42
–
– = 12 – a 2 – 12 – 9a + 8 + 2a = –a 2 – 7a + 8 = 0 →
→ a = ±2
7 49 322
7 812
7 9– –
±–±+ = =
aa
81–=
=
Observamos que 31
42– = 10 ≠ 0 → ran (C ) ≥ 2
Por tanto:
•Sia = 1 → | C | = 0 → ran (C ) = 2
•Sia = – 8 → | C | = 0 → ran (C ) = 2
•Sia ≠ 1 y a ≠ – 8 → | C | ≠ 0 → ran (C ) = 3
d) | D | = aa
111
1
1
11– = –a 2 + 1 + 1 + a – 1 – a = –a 2 + 1 = 0
aa
11–
==
•Sia = 1 → D = 8111
11
1
111
11
11– –f p ≠ 0 → ran (D ) = 2
•Sia = –1 → D = 8111
111
111
11
11
––f p ≠ 0 → ran (D ) = 2
•Sia ≠ 1 y a ≠ –1 → | D | ≠ 0 → ran (D ) = 3
Teorema de Rouché. Regla de Cramer
9 Aplica el teorema de Rouché para averiguar si los siguientes sistemas son compatibles o incompa-tibles:
a) xxx
yyy
45 2
615
–––
++
===
* b) xxx
yyy
zzz
22
32
23
0––
–––
––
+ ===
* c) xxx
yyy
zzz
2
3
35
306
– ––
–
+
++
===
*
d) xxx
yy
zzz
23
23
215
– –+ +
+
===
* e)
xx
x
yyyy
zzz
2
2
3
720
10
– ––
+
+
+
+
====
* f ) xxx
yyy
zzz2
3
3
11
5– –
––
+
+
+
+
===
*
a)
xxx
yyy
45 2
615
–––
++
===4 A' =
145
112
615
–––
f p
A
Como 14
11–
= 5 ≠ 0 y | A' | = 0, tenemos que: ran (A) = ran (A' ) = 2 = n.º de incógnitas.
El sistema es compatible determinado. Para resolverlo, podemos prescindir de la tercera ecuación:
8x y
x yx x
y x6
4 15 5 1
1 4 1 4 5–
–Sumando:
– – – – –=
+ == =
= = =4 4 Solución: x = 1, y = –5
BACHILLERATOUnidad 3. Resolución de sistemas mediante determinantes
34
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
b)
xxx
yyy
zzz
22
32
23
0––
–––
––
+ ===4 A' =
121
112
132
230
––
–––
––f p
A
Tenemos que | A | = 0 y que 12
11– = –3 ≠ 0 → ran (A ) = 2
Como 121
112
230
––
–– = –3 ≠0 → ran (A' ) = 3 ≠ ran (A ) = 2
Por tanto, el sistema es incompatible.
c)
xxx
yyy
zzz
2
3
35
306
– ––
–
+
++
===4 A' =
213
351
111
306
– ––
–f p
A
Como | A | = 0 y 21
35– – = –7 ≠ 0, tenemos que ran (A ) = 2.
Además, 213
351
306
– – = 0. Luego ran (A' ) = 2 = ran (A ) < n.º de incógnitas.
El sistema es compatible indeterminado. Para resolverlo, podemos prescindir de la tercera ecuación:
x y zx y z
x z yx z y
x yz y x y y t
2 3 35 0
2 3 35
3 25 5 3 2 3 7
–– –
– ––
Sumando:+ =+ =
=+ =
= += + = + + = +4 4
Soluciones: x = 3 + 2λ, y = λ, z = 3 + 7λ
d)
xxx
yy
zzz
23
23
215
– –+ +
+
===4 A' =
123
110
231
215
– –f p
A
Como | A | = 0 y 23
10 = –3 ≠ 0, tenemos que ran (A ) = 2.
Como 123
110
213
– = 6 ≠ 0 → ran (A' ) = 3 ≠ ran (A ) = 2
Por tanto, el sistema es incompatible.
e)
xx
x
yyyy
zzz
2
2
3
7201
0
– ––
+
+
+
+
====
_
`
a
bb
bb
A' =
1102
1213
1710
2010
– ––f p
A
Como 110
121
171
– – = 5 ≠ 0 y | A' | = 0, tenemos que ran (A ) = ran (A' ) = 3 = n.º de incógnitas.
El sistema es compatible determinado.
BACHILLERATOUnidad 3. Resolución de sistemas mediante determinantes
35
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
Para resolverlo, podemos prescindir de la 4.ª ecuación. Aplicamos la regla de Cramer:
x = 5
201
121
171
515 3–
– –
= = ; y = 5
110
201
171
510 2–
–– –= = ; z =
5
110
121
201
55 1
–– = =
Solución: x = 3, y = –2, z = 1
f )
xxx
yyy
zzz2
3
3
11
5– –
––
+
+
+
+
===4 A' =
112
311
113
115
– –––f p
A
Como | A | = –14 ≠ 0, tenemos que ran (A ) = ran (A' ) = 3 = n.º de incógnitas.
El sistema es compatible determinado.
Lo resolvemos mediante la regla de Cramer:
x = 14
115
311
113
140 0
–
–– – –
–= = ; y =
14
112
115
113
1414 1
–
–– –
––= = ; z =
14
112
311
115
1428 2
–
– –
––= =
Solución: x = 0, y = –1, z = 2
10 Resuelve estos sistemas aplicando la regla de Cramer:
a) xx
yy
83
145
211–
+ ==
* b) xx
yy
z
z
ttt
120
––
––
+ + ===
*
c) xx
yyy
zz
32
3 2
20
1
–
–+ +
+
===
* d) xx
yy
zz
tt
42
– ––+ ++ =
=*
a)
xx
yy
83
145
211–
+ ==4 A' =
83
145
211–
e o → | A | = – 82 ≠ 0
A
x = ;82
211
145
82164 2
––
––= = y =
82
83
211
8282 1
– ––= =
Solución: x = 2, y = –1
b)
xx
yy
z
z
ttt
120
––
––
+ + ===4 A' =
110
110
101
111
120
––
––
f p → Tenemos que 110
110
101
––
= –2 ≠ 0.
A
x =
tt
t t t2
12
110
101
23
23
–
––
–
–– –
+
= = + ; y =
tt
t t t2
110
12
101
21
21
–
– –
–– –
+
= + =
BACHILLERATOUnidad 3. Resolución de sistemas mediante determinantes
36
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
z =
tt
t t t2
110
110
12
22
–
––
––
+
= =
Soluciones: , , ,l l l lx y z t2
32
1– –= + = = =
c)
xx
yyy
zz
32
3 2
201
–
–+ +
+
===
_
`
a
bb
bb A' =
320
113
012
201
–
–f p → | A | = 1 ≠ 0
A
x = 1
201
113
012
11 1–
–
– –= = ; y = 1
320
201
012
15 5– – –= = ; z =
1
320
113
201
17 7
–
– = =
Solución: x = –1, y = –5, z = 7
d)
xx
yy
zz
tt
42
– ––+ ++ =
=4 x y z t
x y z t42
11
11
– ––
–= ++ = +
4 = 2 ≠ 0
x =
z tz t
2
42
11
26 3
––
–++
= = ; y =
z tz t z t z t
2
11
42
22 2 2 1
–– – – – –
++
= + = +
Soluciones: x = 3, y = –1 – λ + μ, z = λ, t = μ
Página 102
11 Estudia y resuelve estos sistemas, cuando sea posible:
a) xx
yyy
zzz
3 001
–
–
++ +
===
* b) xxx
yyy
zzz
22
2
222
––
–
–––
++
++
===
*
c) xx
yyy
z
z
2 01
1– –
– – –
+ + ===
* d)
xx
x
y
yy
zzz2
56711
+
+
+++
====
*a)
xx
yyy
zzz
3 001
–
–
++ +
===4 A' =
310
111
111
001
–
–f p
A
Como | A | = – 6 ≠ 0, tenemos que: ran (A ) = ran (A' ) = 3 = n.º de incógnitas. El sistema es compatible determinado. Lo resolvemos mediante la regla de Cramer:
x = 6
001
111
111
62
31
–
–
––
–= = ; y = 6
310
001
111
64
32
–
–
–––= = ; z =
6
310
111
001
62
31
– ––= =
Solución: , ,x y z31
32
31– –= = =
BACHILLERATOUnidad 3. Resolución de sistemas mediante determinantes
37
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
b)
xxx
yyy
zzz
22
2
222
––
–
–––
++
++
===4 A' =
121
211
112
222
––
–
–––
f p
A
Como 12
21––
= –3 y | A | = 0, tenemos que ran (A ) = 2.
Además, 121
211
222
–– –
––
= 18 ≠ 0. Luego ran (A' ) = 3 ≠ ran (A ) = 2.
Por tanto, el sistema es incompatible.
c)
xx
yyy
z
z
2 011
– –– – –
+ + ===4 A' =
110
211
101
011
– –– – –
f p
A
Como | A | = 0, 11
21– – = 1 ≠ 0 y
110
211
011
– –– –
= 0, tenemos que:
ran (A ) = ran (A' ) = 2 < n.º de incógnitas El sistema es compatible indeterminado. Para hallar sus soluciones, podemos prescindir de la 1.ª
ecuación y resolverlo en función de y :
x y
y zx yz y
11
11
– –– – –
– ––
==
==
4 4
Soluciones: x = –1 – λ, y = λ, z = 1 – λ
d)
xx
x
y
yy
zzz2
56711
+
+
+++
====
_
`
a
bbb
bb
A' =
1102
1011
0111
56711
f p A
Tenemos que | A' | = 0 y 110
101
011
= –2 ≠ 0. Luego ran (A ) = ran (A' ) = 3 = n.º de incógnitas.
El sistema es compatible determinado. Para resolverlo, podemos prescindir de la 4.ª ecuación:
x2
567
101
011
24 2
– ––= = = ; y
2
110
567
011
26 3
– ––= = = ; z
2
110
101
567
28 4
– ––= = =
Solución: x = 2, y = 3, z = 4
BACHILLERATOUnidad 3. Resolución de sistemas mediante determinantes
38
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
12 Estudia y resuelve los siguientes sistemas:
a) x y zx y zx z
2 22 3 13 3
– – =+ + =
+ =* b)
x y zx y z
y zx y
22 7 0
12 3 0
– ––
+ + ==
+ =+ =
*a)
x y zx y zx z
2 22 3 13 3
– – =+ + =
+ =4 A' =
123
110
231
213
– –f p
A
Como | A | = 0 y 23
10 = –3 ≠ 0, tenemos que ran (A ) = 2.
Además, 123
110
213
– = 0. Luego ran (A' ) = 2 = ran (A ) < n.º de incógnitas.
El sistema es compatible indeterminado. Para resolverlo, podemos prescindir de la primera ecuación:
x y zx z
x y zx z
x z z
y z x z2 3 13 3
2 1 33 3
33 1
3
1 3 2 137
––
– –
– – – –
+ + =+ =
+ ==
= =
= =4 4 4 Hacemos z = 3λ.
Soluciones: x = 1 – λ, y = –1 – 7λ, z = 3λ
b)
x y zx y z
y zx y
22 7 0
12 3 0
– ––
+ + ==
+ =+ =
4 A' =
1102
1213
1710
2010
– ––f p
A
Como 110
121
171
– – = 5 ≠ 0 y | A' | = 0, tenemos que:
ran (A ) = ran (A' ) = n.º de incógnitas = 3 El sistema es compatible determinado. Para resolverlo, podemos prescindir de la 4.a ecuación. Aplicamos la regla de Cramer:
x = 5
201
121
171
515 3–
– –
= = ; y = 5
110
201
171
510 2–
–– –= = ; z =
5
110
121
201
55 1
–– = =
Solución: x = 3, y = –2, z = 1
BACHILLERATOUnidad 3. Resolución de sistemas mediante determinantes
39
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
13 Resuelve los siguientes sistemas homogéneos:
a) xxx
yyy
zzz
12 32
2000
––
––
+
+
===
* b)
xxxx
yyyy
zzzz
938
3
2
2
42
0000
–
–
+
++
+++
====
*a)
xxx
yyy
zzz
12 32
2000
––
––
+
+
===4
xxx
yyy
zzz12 2
000
23
––
–
–
+ ===
+ 4 A = 1112
123
112
––
–
–f p
Como | A | = 0 y 1 11 2– = –3 ≠ 0, entonces, ran (A ) = 2.
El sistema es compatible indeterminado. Para resolverlo, podemos prescindir de la 3.ª ecuación y pasar la z al segundo miembro:
x y zx y z2– –
+ ==3
x
zz z z z
3
12
3 3––
–––
= = = ; y
zz z z
3
11
32
32
––
––= = =
Soluciones: , ,l l lx y z3 3
2= = =
b)
xxxx
yyyy
zzzz
938
3
2
2
42
0000
–
–
+
++
+++
====
_
`
a
bb
bb
A =
9381
3112
2142
–
–
f p
Como 938
311
214
– = –35 ≠ 0, entonces ran (A ) = 3 = n.º de incógnitas.
El sistema solo tiene la solución trivial: x = 0, y = 0, z = 0.
Cálculo de la matriz inversa con determinantes
14 Halla la matriz inversa de las siguientes matrices:
a) M = 25
24
––
e o
b) N = 35
02–
e o
a) | M | = 2 ≠ 0 → la matriz M tiene inversa. La calculamos:
αij ⎯⎯→ (Mi j ) ⎯⎯→ (Mj i ) ⎯⎯→ M –1 = | |M1 (Mj i )
42
52
––e o ⎯→
42
52
– –e o ⎯→ 45
22
––e o ⎯→ M –1 =
21 4
522
––e o
M –1 = /2
5 211
––e o es la matriz inversa.
BACHILLERATOUnidad 3. Resolución de sistemas mediante determinantes
40
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
b) | N | = 6 ≠ 0 → la matriz N tiene inversa. La calculamos:
αij ⎯⎯→ (Ni j ) ⎯⎯→ (Nj i ) ⎯⎯→ N –1 = | |N1 (Nj i )
20
53–e o ⎯→
20
53
e o ⎯→ 25
03
e o ⎯→ N –1 = 1562 0
3e o
N –1 = / //
5 60
1 21 3e o es la matriz inversa.
15 a) Calcula la inversa de cada una de las siguientes matrices:
A =f 102
210
103p B = f
202
111
031p
b) Resuelve las ecuaciones AX = B y XB = A siendo A y B las matrices del apartado anterior.
a) | A | = 102
210
103
= 1 ≠ 0 → Existe A –1.
αij ⎯⎯→ (Ai j ) ⎯⎯→ (Aj i ) ⎯⎯→ | |
AA11– = (Aj i )
361
010
24
1–
––f p ⎯→
361
010
241
––
–f p ⎯→
302
614
101–
– –f p ⎯→ A –1 =
302
614
101–
– –f p
| B | = 202
111
031
= 2 ≠ 0 → Existe B –1.
αij ⎯⎯→ (Bi j ) ⎯⎯→ (Bj i ) ⎯⎯→ | |
BB11– = (Bj i )
213
626
202
– – –f p ⎯→
213
626
202
––
–
–f p ⎯→
262
120
36
2
–
–
––f p ⎯→ B –1 =
/ /131
1 210
3 23
1
–
–
––f p
b) AX = B → A –1 AX = A –1B → X = A –1B
X = A –1B = 302
614
101
202
111
031
402
413
19313–
– –
–
– –=f f fp p p
XB = A → XBB –1 = AB –1 → X = AB –1
X = AB –1 = / / / /1
02
210
103
131
1 210
3 23
1
435
3 211
7 23
6
–
–
––
– –
––=f f fp p p
BACHILLERATOUnidad 3. Resolución de sistemas mediante determinantes
41
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
16 Calcula la inversa de las siguientes matrices:
A = f111
210
011– –p B = f
752
11
1
21
0
–
–– – p
| A | = 111
210
011– –
= –1
αij ⎯⎯→ (Ai j ) ⎯⎯→ (Aj i ) ⎯⎯→ | |
AA11– = (Aj i )
8 8 8 A122
011
121
122
011
121
101
212
211
101
212
211
–– –
–
–––
––
–––
–– –
– –1– =f f f fp p p p
| B | = 752
111
210
–
–– – = 1
αij ⎯⎯→ (Bi j ) ⎯⎯→ (Bj i ) ⎯⎯→ | |
BB11– = (Bj i )
8 8 8 B121
243
352
121
243
352
123
245
132
123
245
132
––
–– 1– =f f f fp p p p
17 Halla los valores del parámetro t para los cuales las matrices A y B no son regulares y calcula:
a) A –1 si t = 1. b) B –1 si t = 2.
A = f tt
101
0
3
44
–p B = f
t
t11
010
01p
a) | A | = t 2 + 4t – 12 = 0 → t = ± ± ±2
4 16 482
4 642
4 8– – –+ = = tt
26–
==
A no es invertible para t = 2 ni para t = – 6.
Calculamos A –1 para t = 1:
A = 101
013
441–
f p → | A | = –7
αij ⎯⎯→ (Ai j ) ⎯⎯→ (Aj i ) ⎯⎯→ | |
AA11– = (Aj i )
8 8 8 A11124
454
131
1112
4
454
131
114
1
1253
44
171
114
1
1253
44
1
–––
–
–
–
––
––
–
–– –
––
–
––1– =f f f fp p p p
b) | B | = 1 – t 2 = 0 tt
11–=
=
B no es invertible para t = 1 ni para t = –1.
BACHILLERATOUnidad 3. Resolución de sistemas mediante determinantes
42
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
Calculamos B –1 para t = 2:
B = 112
010
201
f p → | B | = –3
αij ⎯⎯→ (Bi j ) ⎯⎯→ (Bj i ) ⎯⎯→ | |
BB11– = (Bj i )
8 8 8 B102
132
201
102
132
201
112
030
221
31
112
030
221–
––
–
–
––
–––
–– –
––
1– =f f f fp p p p
Para resolver
18 Discute los siguientes sistemas según los valores del parámetro m:
a) y z
x y mzx z
7 5 73 4 17 5 7
––
+ =+ + =
+ =* b)
mx y zx y zx y z
12 1
3 4 2 3
––
– –
+ =+ =
+ =*
c) x y zx y zx y z m
2 12 3
5 5 2
–––
+ =+ =+ =
* d) x y zx y mz
mx
62 2 6
0
+ + =+ + =
=*
a)
y zx y mzx z
7 5 73 4 17 5 7
––
+ =+ + =
+ =4 A' = m
037
740
5
5
717
––f p
A
El sistema tendrá solución si ran (A ) = ran (A' ), según el teorema de Rouché. Buscamos los valores que hacen | A | = 0:
| A | = m037
740
5
5 = 49m – 245 = 0 → m = 5
• Sim = 5 → 03
74 ≠ 0 → ran (A ) = 2
037
740
717
–– = – 49 + 196 – 147 = 0 → ran (A' ) = 2
El sistema es compatible indeterminado.• Sim ≠ 5 → ran (A ) = ran (A' ) = 3, el sistema es compatible determinado.
b)
mx y zx y zx y z
12 1
3 4 2 3
––
– –
+ =+ =
+ =4 A' =
m13
124
112
113
––
– –f p
A
| A | = m13
124
112
––
– = 4m – 4 + 3 – 6 – 4m + 2 = –5
Como | A | ≠ 0 para cualquier valor de m, ran (A ) = ran (A' ) = 3. El sistema es compatible deter-minado para todo m.
BACHILLERATOUnidad 3. Resolución de sistemas mediante determinantes
43
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
c)
x y zx y zx y z m
2 12 3
5 5 2
–––
+ =+ =+ =
4 A' = m
215
125
112
13–
–
–f p
A
| A | = 215
125
112
––
– = – 8 + 5 + 5 – 10 + 10 – 2 = 0
21
12– ≠ 0 → ran (A ) = 2
m
215
125
13–
–
– = – 4m – 5 + 15 + 10 + 30 – m = –5m + 50 = 0 → m = 10
• Sim = 10 → ran (A ) = ran (A' ) = 2. El sistema es compatible indeterminado.• Sim ≠ 10 → ran (A ) = 2 ≠ ran (A' ) = 3. El sistema es incompatible.
d)
x y zx y mz
mx
62 2 6
0
+ + =+ + =
=4 A' =
mm
12
120
1
0
660
f p
A
| A | = m
m12
120
1
0 = m (m – 2) = 0
mm
02
==
• Sim = 0 → A' = 120
120
100
660
f p
12
10 ≠ 0 → ran (A ) = ran (A' ) = 2 → El sistema es compatible indeterminado.
• Sim = 2 → A' = 122
120
120
660
f p
22
20 ≠ 0;
122
120
660
≠ 0 → ran (A ) = 2 ≠ ran (A' ) = 3 → El sistema es incompatible.
• Sim ≠ 0 y m ≠ 2 → ran (A ) = ran (A' ) = 3 → El sistema es compatible determinado.
19 Discute los siguientes sistemas homogéneos en función del parámetro a:
a) x ay zx y zx y z
2 4 07 0
12 0
–
–
+ =+ + =
+ =* b)
x zay z
x y az
03 0
4 0
–
–
=+ =
+ =*
a) Los sistemas homogéneos son siempre compatibles porque ran (A ) = ran (A' ). Pueden tener solu-ción única o infinitas soluciones. Estudiamos el rango de A :
| A | = a2
11
11
4712
–
– = 24 – 4 – 7a – 4 + 14 + 12a = 5a + 30 = 0 → a = – 6
BACHILLERATOUnidad 3. Resolución de sistemas mediante determinantes
44
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
• Sia = – 6 → ran (A ) = ran (A' ) = 2, porque 11
11– ≠ 0.
El sistema es compatible indeterminado.• Sia ≠ – 6 → ran (A ) = ran (A' ) = 3. El sistema es compatible determinado.
b) | A | = 104
011
131
–
– = –a 2 + 4a – 3 = 0
aa
13
==
• Sia = 1 → A = 104
011
131
–
–f p , 1
001 ≠ 0 → ran (A ) = ran (A' ) = 2
El sistema es compatible indeterminado.
• Sia = 3 → A = 104
031
131
–
–f p , 1
003 ≠ 0 → ran (A ) = ran (A' ) = 2
El sistema es compatible indeterminado.• Sia ≠ 1 y a ≠ 3 → ran (A ) = ran (A' ) = 3 El sistema es compatible determinado.
20 ¿Existe algún valor de a para el cual estos sistemas tengan infinitas soluciones?:
a) xxx
yayy
zzz
32
2 352
24
2
– –– –+
+ +
===
* b) xxx
yy
ay
zazz
aa2
1
1
–+++
+++
===
*a)
xxx
yayy
zzz
32
2 352
24
2
– –– –+
+ +
===
4 A' = a321
2
1
352
24
2
– –– –f p
A
| A | = 9a + 27 = 0 → a = –3• Sia = –3, queda:
A' = 321
231
352
24
2
––
–– –f p
Como 32
23
–– = –5 y
321
231
24
2
–– – = 20, entonces ran (A ) = 2 ≠ ran (A' ) = 3.
El sistema es incompatible.• Sia ≠ –3 → ran (A ) = ran (A' ) = 3 → El sistema es compatible determinado.Por tanto, no existe ningún valor de a para el que el sistema tenga infinitas soluciones.
b)
xxx
yy
ay
zazz
aa2
1
1
–+++
+++
===
4 A' = a
aa
a121
11
1
1
1
1
–f p
A
| A | = –a 2 + 3a – 2 = 0 → a = ± ±2
3 9 82
3 1–
– ––
–= aa
12
==
BACHILLERATOUnidad 3. Resolución de sistemas mediante determinantes
45
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
• Sia = 1, queda:
A' = 121
111
111
011
f p La 1.ª y la 3.ª ecuaciones son contradictorias, luego el sistema es incompatible.
• Sia = 2, queda:
A' = 121
112
121
121
f p Las columnas 1.ª, 3.ª y 4.ª son iguales, y 12
11 = –1 ≠ 0.
A
Por tanto, ran (A ) = ran (A' ) = 2. El sistema es compatible indeterminado.
• Sia ≠ 1 y a ≠ 2 → ran (A ) = ran (A' ) = 3 → El sistema es compatible determinado.
Por tanto, el sistema tiene infinitas soluciones para a = 2.
21 Discute los siguientes sistemas homogéneos en función del parámetro a:
a) xxx
yyy
zz
az
2
324
3000
–
–––
++ =
==
* b) x
axx
y
y
zz
az22
000–
+ +++
===
* c) ax
xx
yyy
zzz3
210 4
000
–+++
++
===
* d) xxx
yyy
zaz
z
343
324 6
000
––
+++ +
===
*a)
xxx
yyy
zz
az
2
324
3000
–
–––
++ =
==4 A =
a
213
124
13
–
–––
f p
Como es homogéneo, sabemos que ran (A ) = ran (A' ).
| A | = –5a – 25 = 0 → a = –5
• Sia = –5 → Como 21
12–
= 5 ≠ 0 → ran (A ) = ran (A' ) = 2
El sistema es compatible indeterminado.
• Sia ≠ –5 → ran (A ) = ran (A' ) = 3.
El sistema es compatible determinado, solo tiene la solución trivial: x = 0, y = 0, z = 0.
b)
xaxx
y
y
zz
az22
000–
+ +++
===4 A = a
a
1
2
101
12
–f p
Como es homogéneo, sabemos que ran (A ) = ran (A' ).
| A | = –a 2 – a + 6 = 0 → a = ± ±2
1 1 242
1 5– –
+ = aa
32–=
=
• Sia = –3 o a = 2 → Como 10
12 = 2 ≠ 0 → ran (A ) = ran (A' ) = 2
El sistema es compatible indeterminado.
• Sia ≠ –3 y a ≠ 2 → ran (A ) = ran (A' ) = 3.
El sistema es compatible determinado, solo tiene la solución trivial: x = 0, y = 0, z = 0.
BACHILLERATOUnidad 3. Resolución de sistemas mediante determinantes
46
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
c)
axxx
yyy
zzz3
210 4
000
–+++
++
===4 A =
a13
1210
114
–f p
Como es homogéneo, sabemos que ran (A ) = ran (A' ).
| A | = –2a – 5 = 0 → a = 25–
• Sia = – 25 → Como
12
11–
= 3 ≠ 0 → ran (A ) = ran (A' ) = 2
El sistema es compatible indeterminado.
• Sia ≠ – 25 → ran (A ) = ran (A' ) = 3
El sistema es compatible determinado, solo tiene la solución trivial: x = 0, y = 0, z = 0.
d)
xxx
yyy
zazz
343
324 6
000
––
+++ +
===4 A = a
343
324
1
6
––f p → | A | = 3a – 46 = 0 → a =
346
• Sia = 346 → Como
34
32 = – 6 ≠ 0 → ran (A ) = ran (A' ) = 2
El sistema es compatible indeterminado.
• Sia ≠ 346 → ran (A ) = ran (A' ) = 3.
El sistema es compatible determinado, solo tiene la solución trivial: x = 0, y = 0, z = 0.
22 Discute los siguientes sistemas según los valores del parámetro m:
a) mx
xx
yyy
zz
mzm4
2–
++
+++
===
* b) xxx
yy
my
zmz
z
mm2
1
1
–+++
+++
===
* c) xxx
ymy
y
zzz2
2
3
3
4
002
+++
+++
===
*
d) xx
mx
myyy
zzz
3454
+++
+++
===
* e)
xx
x
yyy
zzz
mz
32
2 3125–
––––
+++
+
====
* f )
xxxx
yyyy
zzzz
m
m
22
2
1
0
––
–––
+
+
++
====
*a)
mxxx
yyy
zz
mzm4
2–
++
+++
===4 A' =
m
mm1
1
111
11
4
2–f p
A
| A | = m 2 – 1 = 0 mm
11–
==
• Sim = 1, queda:
A' = 111
111
111
412–
f p Contradictorias → Sistema incompatible.
• Sim = –1, queda:
A' = 111
111
111
412
–
– ––f p Contradictorias → Sistema incompatible.
• Sim ≠ 1 y m ≠ –1 → ran (A ) = ran (A' ) = 3 = n.º de incógnitas. El sistema es compatible determinado.
BACHILLERATOUnidad 3. Resolución de sistemas mediante determinantes
47
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
b)
xxx
yy
my
zmz
z
mm2
1
1
–+++
+++
===
4 A' = m
mm
m121
11
1
1
1
1
–f p
A
| A | = –m 2 + 3m – 2 = 0 → m = ± ±2
3 9 82
3 1–
– ––
–= mm
12
==
• Sim = 1, queda:
A' = 121
111
111
011
f p Contradictorias → Sistema incompatible.
• Sim = 2, queda:
A' = 121
112
121
121
f p . Las columnas 1.ª, 3.ª y 4.ª son iguales.
A
Como 12
11 = –1 ≠ 0 → ran (A' ) = ran (A ) = 2 < n.º de incógnitas.
El sistema es compatible indeterminado.
• Sim ≠ 1 y m ≠ 2 → ran (A ) = ran (A' ) = 3 = n.º de incógnitas.
El sistema es compatible determinado.
c)
xxx
ymy
y
zzz2
2
3
3
4
002
+++
+++
===4 A' = m
112
2
3
314
002
f p
A
| A | = –2m + 2 = 0 → m = 1
• Sim = 1, queda:
A' = 112
213
314
002
f p
Como 11
21 = –1 y
112
213
002
= –2 ≠ 0, entonces: ran (A ) = 2 ≠ ran (A' ) = 3
El sistema es incompatible.
• Sim ≠ 1 → ran (A ) = ran (A' ) = 3 = n.º de incógnitas. El sistema es compatible determinado.
d)
xx
mx
myyy
zzz
3454
+++
+++
===4 A' =
m
m11 3
1
111
454
f p
A
| A | = m 2 – 4m + 3 = 0 → m = ± ± ±2
4 16 122
4 42
4 2– = = mm
31
==
BACHILLERATOUnidad 3. Resolución de sistemas mediante determinantes
48
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
• Sim = 3, queda:
A' = 113
331
111
454
f p Contradictorias → Sistema incompatible.
• Sim = 1, queda:
A' = 111
131
111
454
f p . La 1.ª y la 3.ª fila son iguales.
Además, 11
13 = 2 ≠ 0. Luego, ran (A ) = ran (A' ) = 2 < n.º de incógnitas.
El sistema es compatible indeterminado.• Sim ≠ 3 y m ≠ 1 → ran (A ) = ran (A' ) = 3 = n.º de incógnitas. El sistema es compatible determinado.
Página 103
23 Dada la matriz A = f xx
104
0
1
13
–
–p, halla:
a) Los valores de x para los que la matriz A posee inversa.
b) La inversa de A para x = 2.
a) xx
104
0
1
13–
– = –x 2 + 4x – 3 = 0 → x = 3, x = 1
A posee inversa si x ≠ 3 y x ≠ 1.
b) | A | = 104
021
132
–
– = 1
αij ⎯⎯→ (Ai j ) ⎯⎯→ (Aj i ) ⎯⎯→ | |
AA11– = (Aj i )
8 8 8 A712
1223
812
712
1223
812
712
8
121
232
712
8
121
232
– – – ––
–
––
–
–
–
––
–
–
–
––1– =f f f fp p p p
24 Dada la matriz A = f223
133
122– – –p:
a) Calcula A (2I – A ).
b) Justifica si existen las matrices inversas de A y 2I – A.
c) ¿Para qué valor de k se verifica A –1 = kI – A ?
a) A (2I – A ) = 223
133
122
2100
010
001
223
133
122
223
133
122
023
113
124
100
010
001– – –
–– – – – – –
–––
––= =f f f f f f fp p pp p p p
b) A (2I – A ) = I → A y 2I – A tienen inversa y cada una es la inversa de la otra: A –1 = 2I – A (2I – A )–1 = Ac) k = 2
BACHILLERATOUnidad 3. Resolución de sistemas mediante determinantes
49
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
25 Dada A = 21
32
e o, halla X tal que AXA = 12
13
e o.
AXA = 8 X A A12
13
12
13
1 1– –=e eo o
Calculamos A –1:
21
32 1=
A = ( ) ( )8 8 8A A A21
32
23
12
23
12
21
32–
––
–ij ji
1–= = =e e e eo o o o
X = 21
32
12
13
21
32
11
21–
––
– – –=e e e eo o o o
26 Dadas las matrices A = 11
12–
–e o y B = 21
10
e o, encuentra la matriz X tal que AXB = 10
31–
e o.
AXB = 10
31–
e o → A –1AXBB –1 = A –1 10
31–
e o B –1 → X = A –1 10
31–
e oB –1
Calculamos A –1:
11
12 1––
=
A = ( ) ( )8 8 8A A A11
12
21
11
21
11
21
11–
––
–ij ji
1–= = =e e e eo o o o
Calculamos B –1:
21
10 1–=
B = ( ) ( )8 8 8B B B21
10
01
12
01
12
01
12–
––jiij
1–= = =e e e eo o o o
X = 21
11
10
31
01
12
52
83– –
––=e e e eo o o o
27 Resuelve la ecuación AXB = C siendo:
A = 34
23
e o B = 21
32
e o C = 11
11
e o
AXB = C → A –1AXBB –1 = A –1CB –1 → X = A –1CB –1
Calculamos A –1 y B –1 (| A | = 1 y | B | = 1 → existen A –1 y B –1):
(αij) = ( ) ( )8 8 8A A A32
43
32
43
34
23
34
23–
––
––
–ij ji
1–= = =f f e ep p o o
(αij) = ( ) ( )8 8 8B B B23
12
23
12
21
32
21
32–
––
––
–ij ji
1–= = =e e e eo o o o
Por tanto:
X = A –1CB –1 = 34
23
11
11
21
32
11
11
21
32
11
11–
––
–– – –
––
–= =e e e e e eo o o o o o
BACHILLERATOUnidad 3. Resolución de sistemas mediante determinantes
50
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
28 Dadas las matrices:
A = 2
101
15
––
e o B = 31
01
10
–e o C = 13
21–
e o D = 82
––f p
halla la matriz X que verifica (AB t + C )X = D.
(AB t + C )X = D → (AB t + C )–1 (AB t + C )X = (AB t + C )–1D → X = (AB t + C )–1D
• SeaE = AB t + C = 21
01
15
301
110
13
21
72
20
13
21
61
01
––
––
––
––
––+ = + =e f e e e eo p o o o o
•Calculamos E –1 (| E | = 6 ≠ 0 → existe E –1):
(αij) = ( ) ( )8 8 8E E E10
16
10
16
11
06 6
1 11
06
––
– ––
–– –
–– –ij ji
1–= = =e e e eo o o o
• Portanto:
X = (AB t + C )–1D = E –1D = //6
1 11
06
4 310 3
82 6
1 820
–– –
–– = =e e e fo o o p
29 Halla X tal que 3AX = B, siendo:
A = f101
010
211p B = f
111
001
211p
3AX = B → X = 31 A –1B
Calculamos A –1 (| A | = –1 ≠ 0 → existe A –1):
(αij) = ( ) ( )8 8 8A A A102
111
101
102
111
101
111
010
21
1
11
1
010
211–
––
–
–––
–
––
––
––
–ij ji
1–= = =f f f fp p p pPor tanto:
X = ·//
/// /
31
111
010
211
111
001
211
31
110
211
001
1 31 30
2 31 31 3
00
1 3
––
– – –= =f f f fp p p p
30 Dadas las siguientes matrices:
A = m00
420
441
f p B = 11
10
21
–e o C = 01
12
11–
e o
a) ¿Para qué valores de m existe A –1?
b) Para m = 1, halla la matriz X tal que XA + B = C.
a) | A | = mm00
2421
441
=
Existe A –1 si m ≠ 0.
b) XA + B = C → XA = C – B → X = (C – B )A –1
/100 1
100 1
420
44
21 20
42
––
1–
=f fp p
BACHILLERATOUnidad 3. Resolución de sistemas mediante determinantes
51
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
C – B = 01
12
11
11
10
21
10
22
12–
––
– ––=e e eo o o
X = (C – B )A –1 = /100
21 20
421
36
10
22
12
10 1
9–– –
– ––
– –=e f eo p o
31 Sean las matrices A = k1
0 121–
e o y B = fk0
13
12p.
a) Determina para qué valores de k la matriz AB tiene inversa.
b) Resuelve la ecuación ABX = 3I para k = 0, donde I es la matriz unidad de orden 2.
a) AB = k k k k1
0211
013
12
62
2 41– =
+ +e f eo p o
8k k
k k6
22 4
1 3 2 032– – –
+ += = =
Existe (AB )–1 para k ≠ – 32 .
b) ABX = 3I → X = 3(AB )–1
k = 0 → AB = 62
41
e o
62
41
1–
=e o /1 2
123
––
e o
X = / /
31 21
23
3 23
69
––
––= ee oo
32 Escribe en la forma habitual estos sistemas y resuélvelos si es posible:
a) 11
31
21– –
e o fx
y
zp =
40e o b) f
132
111
––
p xye o = f
401p
a) l
lxx
yy
xz
x yx y
3 2 40
3 4 2– –
––
+ + ==
+ ==4 4
x =
ll l l11
31
4 2 31
44
44
–
––
–– –= = + ; y =
ll l l
4
11
4 2
44 3
44 3
–
–
–– –= + =
Soluciones: x = l4
4 + , y = l4
4 3– , z = λ
b)
xxx
yyy
32
401
––
+ ===4
13
11– ≠ 0 → ran (A ) = 2
132
111
401
––
= – 8 ≠ 0 → ran (A' ) = 3
Como ran (A ) ≠ ran (A' ), el sistema es incompatible.
BACHILLERATOUnidad 3. Resolución de sistemas mediante determinantes
52
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
33 Escribe las ecuaciones lineales del sistema AX = B, siendo A = f131
110
401–
–p y B = f
1152p, y
resuélvelo.
AX = B → xyz
131
110
401
1152–
–=f f fp p p
Multiplicando las matrices del primer término:
xxx
yy
z
z3
4 1152
–
–++
+ ===4
Resolvemos el sistema:
A' = 131
110
401
1152–
–f p
A B
| A | = 8 → ran (A ) = ran (A' ) = 3. Sistema compatible determinado.
x = 8
1152
110
401
88 1
–
= = ; y = 8
131
1152
401
816 2– = = ; z =
8
131
110
1152
824 3–
–
= =
Solución: x = 1, y = 2, z = 3
34 Expresa en forma matricial y resuelve utilizando la matriz inversa:
a) x
x
yyy
zz
2
23
202
+
+++
===
* b) xxx
yyy
zzz
22 3
32
1–
–
––
++ +
===
* c) x
x
yy z
z
12
3
––
+++
===
* d) x
x
yyy
zzz
232 2
344
+
+
+++
===
*
a)
x
x
yyy
zz
2
23
202
+
+++
===
_
`
a
bb
bb ·
xyz
202
111
031
202
=f f fp p p
A · X = B
| A | = 2 ≠ 0 → Existe A –1. La calculamos:
αij ⎯⎯→ (Ai j ) ⎯⎯→ (Aj i ) ⎯⎯→ A –1 = | |A1 (Aj i )
/ /
8 8 8 A213
626
202
213
626
202
262
120
36
2
131
1 210
3 23
1
– – – ––
–
– –
–
––
–
–
––1– =f f f fp p p p
Luego:
A · X = B → A –1 · A · X = A –1 · B → X = A –1 · B = / /1
31
1 210
3 231
20
1002
–
–
–– · =f f fp p p
Por tanto: x = 1, y = 0, z = 0
BACHILLERATOUnidad 3. Resolución de sistemas mediante determinantes
53
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
b)
xxx
yyy
zzz
22 3
32
1–
–
––
++ +
===4 ·
xyz
121
112
113
321–
–
––=f f fp p p
A · X = B
| A | = 11 ≠ 0 → Existe A –1. La calculamos:
αij ⎯⎯→ (Ai j ) ⎯⎯→ (Aj i ) ⎯⎯→ A –1 = | |A1 (Aj i )
8 8 8 A152
723
531
152
723
531
175
523
231
111
175
523
231
––
––
–––
–––
–
–
–
–– –
–
–
–– –
–
1– =f f f fp p p p Luego:
A · X = B → A –1 · A · X = A –1 · B → X = A –1 · B = ·111
175
523
231
321
111
112222
122
–
–– –
––
–
–
–
–= =f f f fp p p p
Por tanto: x = –1, y = 2, z = –2
c)
x
x
yy z
z
12
3
––
+++
===4
xyz
101
110
011
123
·––=f f fp p p
A · X = B
| A | = 2 ≠ 0 → Existe A –1. La calculamos:
αij ⎯⎯→ (Ai j ) ⎯⎯→ (Aj i ) ⎯⎯→ A –1 = | |A1 (Aj i )
8 8 8 A111
111
111
111
111
111
111
111
111
21
111
111
111
– –– –
–
–
–
––
–
––1– =f f f fp p p p
Luego:
A · X = B → A –1 · A · X = A –1 · B → X = A –1 · B = ·1111
111
111
12 1
46
22
32
231–
––
–– – –= =f f f fp p p p
Por tanto: x = 2, y = –3, z = 1
d)
x
x
yyy
zzz
232 2
344
+
+
+++
===4
xyz
101
232
112
344
· =f f fp p p
A · X = B
| A | = 3 ≠ 0 → Existe A –1. La calculamos:
αij ⎯⎯→ (Ai j ) ⎯⎯→ (Aj i ) ⎯⎯→ A –1 = | |A1 (Aj i )
8 8 8 A421
111
303
421
111
303
413
210
113
31
413
210
113–
– ––– –
–
–
– ––
–
– ––1– =f f f fp p p p
Luego:
A · X = B → A –1 · A · X = A –1 · B → X = A –1 · B = ·31
413
210
113
1
1
344
3
033
01
–
– –– = =f f f fp p p p
Por tanto: x = 0, y = 1, z = 1
BACHILLERATOUnidad 3. Resolución de sistemas mediante determinantes
54
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
35 Resuelve el siguiente sistema:
f211
011
52
1–– p f
x
y
zp + f
312
–p = f
41
1– p
·xyz
211
011
521
721–
– ––
=f f fp p p
A · X = B
| A | = 16 ≠ 0 → Existe A –1. La calculamos:
αij ⎯⎯→ (Ai j ) ⎯⎯→ (Aj i ) ⎯⎯→ A –1 = | |A1 (Aj i )
8 8 8 A355
179
222
355
179
222
312
572
592
161
312
572
592
––
–
– ––
–
–
–
–1– =f f f fp p p p
Por tanto:
A · X = B → X = A –1 · B = ·161
312
572
592
721
161
161616
111–
–––
– –= =f f f fp p p pLuego: x = 1, y = –1, z = 1
36 Estudia los siguientes sistemas de ecuaciones. Resuélvelos cuando sean compatibles e interpreta geométricamente las soluciones obtenidas:
a) xxx
ayyy
zaz
z
aaa
1
–
–––
++
===
+*
b) ( )( )
x zy a z
x a y az a
11 0
1–
–
+ =+ =
+ + =*
a) | A | = a
a111
11
1
1–
–––
= 1 – a 2 → 1 – a 2 = 0 → a = ±1
• Sia ≠ –1 y a ≠ 1 → ran (A ) = ran (A' ) = 3 → El sistema es compatible determinado.
Lo resolvemos usando la regla de Cramer:
; ;xa
a a ya
za1
11
11
2–
––
2
2= + + =+
=
• Sia = –1:
xxx
yyy
zzz
11
0
–
–
–––
–+
===
+ 4 11
11–
= 2 ≠ 0 → ran (A ) = 2
Añadimos la 4.ª columna y la 3.ª fila:
111
111
011
–
–––
= –2 ≠ 0 → ran (A' ) = 3
Luego, ran (A ) ≠ ran (A' ) → El sistema es incompatible.
BACHILLERATOUnidad 3. Resolución de sistemas mediante determinantes
55
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
• Sia = 1:
xxx
yyy
zzz
11
2
–
–
–+ +
===
+4 1
111– = –2 ≠ 0 → ran (A ) = 2
Añadimos la 4.ª columna y la 2.ª fila:
111
111
211–
= –2 ≠ 0 → ran (A' ) = 3
Luego, ran (A ) ≠ ran (A' ) → El sistema es incompatible.
Interpretación geométrica:
• Sia ≠ –1 y a ≠ 1, tenemos tres planos que se cortan en un punto.
• Sia = –1, el primer y el tercer plano son paralelos y el segundo los corta.
• Sia = 1, el primer y el segundo plano son paralelos y el tercero los corta.
b) | A | = a
aa
101
01
1
11
–– = –a 2 + 3a – 2 → a 2 – 3a + 2 = 0 → a = 2, a = 1
• Sia ≠ 1 y a ≠ 2 → ran (A ) = ran (A' ) = 3 → El sistema es compatible determinado.
Usando la regla de Cramer:
x = ; ;aa y
aa z
a21
21
21
––
–– –
–= =
• Sia = 1:
x z
yx z
101
+ ==
+ =4
Las ecuaciones 1.ª y 3.ª son iguales. Tomamos las dos primeras ecuaciones y pasamos z al segun-do miembro como parámetro.
x z
y10
+ ==4
Soluciones: x = 1 – λ, y = 0, z = λ
• Sia = 2:
x z
y zx y z
10
2 2
+ =+ =
+ + =4
10
01 = 1 ≠ 0 → ran (A ) = 2
Añadimos la 4.ª columna y la 3.ª fila:
101
011
102
= 1 ≠ 0 → ran (A' ) = 3
Luego, ran (A ) ≠ ran (A' ) → El sistema es incompatible.
Interpretación geométrica:
• Sia ≠ 1 y a ≠ 2, tenemos tres planos que se cortan en un punto.
• Sia = 1, dos planos son coincidentes y se cortan en una recta con el tercero.
• Sia = 2, los planos se cortan dos a dos.
BACHILLERATOUnidad 3. Resolución de sistemas mediante determinantes
56
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
37 Sea la matriz: A = fmmm
mm m
111
122
02
1
–––
++ +
p
a) Determina para qué valores de m la matriz es singular.
b) Resuelve, si es posible, el siguiente sistema para m = 1 y m = –1:
A f
x
y
zp = f
288p
a) | A | = ( ) ( )mmm
mm m
m mm m
m mm m
111
122
02
11
111
122
02
11
111
011
02
1
–––
– –++ +
= ++ +
= ++ +
=
= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )m mm
m mm
m m1 1111
011
02
11 1
111
011
00
11 1– –
–– 2+
+= + = + = 0 → m = ±1
A es singular para m = –1 y m = 1.
b)•Sim = –1 → A = 222
111
020
–––f p
El sistema queda:
x yx y zx y
2 22 2 82 8
11
02
–––
+ =+ + =+ =
4 = 2 ≠ 0 → ran (A ) = 2
Añadimos la 4.ª columna y la 3.ª fila:
111
020
288
= 12 ≠ 0 → ran (A' ) = 3
El sistema es incompatible.
• Sim = 1 → A = 000
133
022
f p El sistema queda:
yy zy z
23 2 83 2 8
=+ =+ =
4 Las ecuaciones 2.ª y 3.ª son iguales.
Nos quedamos con las dos primeras ecuaciones y tomamos x como parámetro.
yy z
23 2 8
=+ =
4
Soluciones: x = λ, y = 2, z = 1
BACHILLERATOUnidad 3. Resolución de sistemas mediante determinantes
57
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
38 a) Considera la matriz A = 12
01
11
–e o y calcula el rango de las matrices AA t y A tA.
b) Resuelve el sistema de ecuaciones lineales homogéneo cuya matriz de coeficientes es A tA.
c) Resuelve el sistema de ecuaciones lineales homogéneo cuya matriz de coeficientes es AA t.
a) A = 12
01
11–e o → A t =
101
211–
f p
A · A t = ·12
01
11
101
211
21
16
–
–=e f eo p o → ran (AA t ) = 2
A t · A = ·101
211
12
01
11
521
211
112–
–=f e fp o p → ran (A t A ) = 2
b) Como el rango es 2, seleccionamos el menor:
52
21 = 1 ≠ 0
Podemos suprimir la 3.a ecuación y pasar la z al segundo miembro:
x y zx y z
5 22
––
+ =+ =
4 → x = z, y = –3z
Soluciones: x = λ, y = –3λ, z = λc) Como ran (AA t ) = 2 = n.º de incógnitas, el sistema solo tiene la solución trivial: x = 0, y = 0.
Página 104
39 Dada la matriz:
A = f11
1
110
021
– p
determina B para que se verifique B – I = A tA–1.
A = 111
110
021
–f p ; A t = 110
112
101
–f p
Calculamos A –1:
| A | = 4 ≠ 0 → Existe A –1. La calculamos:
αij ⎯⎯→ (Ai j ) ⎯⎯→ (Aj i ) ⎯⎯→ A –1 = | |A1 (Aj i )
·8 8 8 A112
312
112
112
312
112
131
111
221
41
131
111
222
– –– –
–
–
–
––
–
––1– =f f f fp p p p
Calculamos A t · A –1:
A t · A –1 = · · ·41
110
112
101
131
111
222
41
345
103
602
–
–
––
– –
–=f f fp p p
B = A t · A –1 + I = · ·41
345
103
602
100
010
001
41
145
145
602
– –
–
–+ =f f fp p p
BACHILLERATOUnidad 3. Resolución de sistemas mediante determinantes
58
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
40 Estudia el rango de las siguientes matrices según los valores del parámetro que contienen:
a) A = f
k kk
k351 0
1002
2001
––
p b) B = f k k1
1
3
3
333
11
0–– p c) C = f
kk
k1
1
11
1
2
1
01– –
–p d) D =
t t t
12
116
11
3
00
9–
––– –
f p
a) | A | =
k kkk
351 0
1002
2001
–– –
=
filas(1.ª) – 2 · (4.ª)
(2.ª)
(3.ª)
(4.ª)
k kkk
k kkk
2351 0
5002
0001
235
500
––
––
––
( ) ( )1 2= =
= kk5
35–
– = – 40k = 0 → k = 0
(1) Desarrollamos por la 4.ª columna. (2) Desarrollamos por la 3.ª columna.
•Sik = 0 → A = ≠8
0351
0000
1002
2001
051
102
201
0
––f p → ran (A ) = 3
•Sik ≠ 0 → | A | ≠ 0 → ran (A ) = 4
b) k k1
1
3
3
333–
= 6k – 18 → 6k – 18 = 0 → k = 3
•Sik = 3 → B = 8131
333
333
110
131
333
110–
––
–f p = 18 ≠ 0 → ran (B ) = 3
•Sik ≠ 3 → ran (B ) = 3
Por tanto, ran (B ) = 3 para cualquier valor de k.
c) Observamos que ran (C ) ≤ 3 porque solo hay tres filas.
11
01– = 1 ≠ 0 → ran (C ) ≥ 2
kk
111
2
1
01–
– = k 2 – 2k – 3 = 0
kk
31–
==
; k
k11
111
01– – = –k 2 + 1 = 0
kk
11–
==
•Sik = –1 → ran (C ) = 2
•Sik ≠ –1 → ran (C ) = 3
d) Observamos que ran (D ) ≤ 3 porque solo hay tres filas.
12
11 = –1 ≠ 0 → ran (D ) ≥ 2
t t
12
116
11
3–
–––
= t – 9 = 0 → t = 9; t t
12
116
00
9– – = t – 9 = 0 → t = 9
•Sit ≠ 9 → ran (D ) = 3
•Sit = 9 → ran (D ) = 2
BACHILLERATOUnidad 3. Resolución de sistemas mediante determinantes
59
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
41 Calcula el rango de estas matrices en función del parámetro t :
a) A = ft
t t22
1
1
1
1
212
2 p b) B = ft
t
tt t
t2
2 11
0
013
–– –+
+ p
c) C = f
t
t
t
tt
32
12
3030
21
2
–– –
++ p d) D = f t
521
242
184
9
2––
–p
a) Observamos que ran (A ) ≤ 3 porque solo hay tres filas.
22
12 = 2 ≠ 0 → ran (A ) ≥ 2
t
t22
1
1
212
= 2t 2 – 5t + 2 = 0 t
t
2
21
=
=;
tt2
2
1
1
212
2 = 2t 3 – 4t 2 – t + 2 = 0 ±
t
t
2
21
=
=
•Sit = 2 → ran (A ) = 2
•Sit ≠ 2 → ran (A ) = 3
b) | |Bt
t
tt t
t2
2 11
0
013
–– –
=+
+ = t (t 2 – 3t + 2) = 0 tt
t12
0==
=
•Sit = 0 → B = 8021
010
013
21
10–
–f p = –1 ≠ 0 → ran (B ) = 2
•Sit = 1 → B = 8123
120
004
23
20
–f p = – 6 ≠ 0 → ran (B ) = 2
•Sit = 2 → B = 8225
230
015
22
23
–f p = 2 ≠ 0 → ran (B ) = 2
•Sit ≠ 0, t ≠ 1 y t ≠ 2 → ran (B ) = 3
c) Observamos que ran (C ) ≤ 3 porque solo hay tres columnas.
21
03
– = – 6 ≠ 0 → ran (C ) ≥ 2
t t
t
321
303
21
2
–– –
+ = –9t + 18 = 0 → t = 2;
tt
t
21
2
030
12
– –
++ = –3t + 6 = 0 → t = 2
•Sit = 2 → ran (C ) = 2
•Sit ≠ 2 → ran (C ) = 3
d) Observamos que ran (D ) ≤ 3 porque solo hay tres filas.
52
24– = –24 ≠ 0 → ran (D ) ≥ 2
521
242
184
––
– = 0; t
521
242
9
2––
= 24 – 6t = 0 → t = 4
•Sit ≠ 4 → ran (D ) = 3
•Sit = 4 → ran (D ) = 2
BACHILLERATOUnidad 3. Resolución de sistemas mediante determinantes
60
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
42 Dada la matriz A = fx
xx
11
1
1
11
––
–p:
a) Resuelve la ecuación | A | = 0.
b) Calcula el rango de la matriz A según los valores de x.
a) | A | = x
xx
11
1
1
11
––
– = –x 3 + 3x + 2 = 0 → x = –1, x = 2
b) Si x = –1 → A = 111
111
111
f p → ran (A ) = 1
Si x = 2 → A = ≠8211
121
112
3 021
12
––
–
–– =f p → ran (A ) = 2
Si x ≠ –1 y x ≠ 2 → ran (A ) = 3
43 Dada la matriz A = f110
010
001p:
a) Encuentra la expresión general de A n donde n es un número natural cualquiera.
b) Razona que A n tiene inversa para cualquier n ≥ 1 y calcula dicha matriz inversa.
a) A 2 = ·110
010
001
110
010
001
110
010
001
120
010
001
2
= =f f f fp p p p
A 3 = A 2 · A = ·120
010
001
110
010
001
130
010
001
=f f fp p p
A n = n1
0
010
001
f p
b) | A n | = n1
0
010
001
= 1 ≠ 0 → A n tiene inversa.
n n1
0
010
001
1
0
010
001
–
1–
=f fp p
44 Discute los siguientes sistemas en función del parámetro y resuélvelos cuando sean compatibles:
a) ax
x
yy
ayaz2
000–
–+
++
===
* b) mx
xx
ymy
y
zzz2
010
– –+
+
+
+
===
*a)
ax
x
yy
ayaz2
000–
–+
++
===
_
`
a
bb
bb Este sistema es compatible por ser homogéneo.
A = a
aa0
1
11 2
0
0
––f p
BACHILLERATOUnidad 3. Resolución de sistemas mediante determinantes
61
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
| A | = a
aa0
1
11
020–
– = –2a 3 – 2a = 0 → a = 0
• Sia ≠ 0 → ran (A ) = ran (A' ) = 3 → Sistema compatible determinado. Solución: x = 0, y = 0, z = 0• Sia = 0:
yyx
000
––
===4
Las dos primeras ecuaciones son equivalentes. El sistema queda:
yx
00–
==3 Sistema compatible indeterminado.
Soluciones: x = 0, y = 0, z = λ
b)
mxxx
ymy
y
zzz2
010
– –+
+
+
+
===4
A = m
m12
1
1
11
1– –f p
| A | = m
m12
1
1
111
– – = –m 2 + 3m – 2 = 0 → m = 2, m = 1
• Sim ≠ 1 y m ≠ 2 → ran (A ) = ran (A' ) = 3 → Sistema compatible determinado.
Utilizando la regla de Cramer: x = , ,ym
zm
01
11
1–– –
= =
• Sim = 1:
A = 112
111
111
– –f p → 11
11– = –2 ≠ 0 → ran (A ) = 2
Añadimos la última columna.
112
111
010
– = 1 ≠ 0 → ran (A' ) = 3 → Sistema incompatible.
• Sim = 2:
A = 212
121
111
– –f p → 21
12– = –5 ≠ 0 → ran (A ) = 2
Añadimos la última columna.
212
121
010
– = 0 → ran (A' ) = 2
Sistema compatible indeterminado. Tomamos las dos primeras ecuaciones y pasamos z al segun-do miembro como parámetro.
xx
yy
zz
22
01– –
+ + ==4
Soluciones: x = , ,l l ly z5
15
3 2– – –= =
BACHILLERATOUnidad 3. Resolución de sistemas mediante determinantes
62
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
45 Discute y resuelve los siguientes sistemas:
a) l
l lx
xyy
zzz3
2 0
5–
+
+
+
===
* b) mx
xx
ymy
y
zm z
z22
212
2+++
+++
===
*
a)
ll l
x
xyy
zzz3
2 0
5–
+
+ +
===4 | A | =
ll l l0
1
0
3
211– 2= + = 0 → λ = –1, λ = 0
• Siλ ≠ –1 y λ ≠ 0 → ran (A ) = ran (A' ) = 3 → El sistema es compatible determinado. Usando la regla de Cramer obtenemos la solución :
x = ; ;l l
ll
ly z1
413
12–
+=
++ =
+• Siλ = 0:
zz
x y z
2 00
3 5–
==
+ + =
+4
Las dos primeras ecuaciones son equivalentes.
z
x y z0
3 5– =
+ + =4
Sistema compatible indeterminado. Pasamos y al segundo miembro como parámetro. Soluciones: x = –3μ + 5, y = μ, z = 0• Siλ = –1:
x z
y zx y z
2 01
3 5
–– – –+ =
=+ + =
4 A = 101
013
211
–– –f p →
10
01
–– = 1 ≠ 0 → ran (A ) = 2
101
013
015
–– – = 2 ≠ 0 → ran (A' ) = 3
Sistema incompatible.b)
mxxx
ymy
y
zm z
z22
212
2+++
+++
===4 | A | =
mm m2
2
1
1
1
1
2 = –m 3 + 3m 2 – 2m = 0 mm
m02
1==
=
• Sim ≠ 0, m ≠ 1 y m ≠ 2 → ran (A ) = ran (A' ) = 3 → El sistema es compatible determinado. Usamos la regla de Cramer y obtenemos la solución :
x = 0; y = ;m mm z
m mm2 1 2 1–
––
––
2
2
2=
• Param = 0, la matriz de coeficientes es:
A = 8022
101
101
02
10f p = –2 ≠ 0 → ran (A ) = 2
022
101
212
= 2 ≠ 0 → ran (A' ) = 3
Sistema incompatible.
BACHILLERATOUnidad 3. Resolución de sistemas mediante determinantes
63
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
• Param = 1, la matriz de coeficientes es:
A = 122
111
111
f p → 12
11 = –1 ≠ 0 → ran (A ) = 2
122
111
212
= –1 ≠ 0 → ran (A' ) = 3
Sistema incompatible.
• Param = 2, la matriz de coeficientes es:
A = 8222
121
141
22
12f p = 2 ≠ 0 → ran (A ) = 2
222
121
212
= 0 → ran (A' ) = 2
Sistema compatible indeterminado. Tomamos las dos primeras filas y pasamos z al segundo miembro como parámetro.
xx
yy
zz
22 2 4
21
++
++
==4
Soluciones: x = λ + 23 , y = –3λ – 1, z = λ
46 Discute el siguiente sistema y resuélvelo, si es posible, en el caso a = 4:
( )
x y ax a z ax y a a z a
y 2 11 2
–
– –– 2
=+ = ++ =
*
| A | = ( )
aa a
111
101
0
1
–
– –
2 = a(a – 1) = 0 → a = 0, a = 1
• Sia ≠ 0 y a ≠ 1 → ran (A ) = 3 = ran (A' ) → El sistema es compatible determinado.
• Sia = 0 → A = 111
101
000
–
–f p →
11
10–
= 1 ≠ 0 → ran (A ) = 2
111
101
010
–
– = 0 → ran (A' ) = 2
El sistema es compatible indeterminado.
• Sia = 1 → A = 111
101
000
–
–f p →
11
10–
= 1 ≠ 0 → ran (A ) = 2
111
101
132
–
– = 1 ≠ 0 → ran (A' ) = 3
El sistema es incompatible.• Sia = 4, se trata de un sistema compatible determinado. Lo resolvemos por Cramer:
Solución: x = , ,y z311
31
31–= =
BACHILLERATOUnidad 3. Resolución de sistemas mediante determinantes
64
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
Cuestiones teóricas
47 ¿Verdadero o falso? Justifica las respuestas y pon ejemplos.
a) Si c1, c2 y c3 son las columnas 1.ª, 2.ª y 3.ª de una matriz cuadrada de orden 3 tal que
|c1 c2 c3| = 5, entonces:
i) |c2 2c3 c1| = 10
ii) |c1 + c2 c2 – c1 c3| = 0
iii) |c1 + c3 c2 c3 + c1| = 5
iv) |–c2 2c1 – c3 c3 + c2| = 10
b ) El sistema 11
23
01
e o fx
y
zp
ab=c m es compatible indeterminado para cualquier valor de a y b.
c) Si el determinante de la matriz ampliada de un sistema de cuatro ecuaciones y tres incógnitas es distinto de cero, el sistema tiene solución única.
d) Si el rango de la matriz de coeficientes de un sistema es menor que el número de incógnitas, el sistema es compatible indeterminado.
a) i) Verdadero: ( )c c c c c c c c c2 2 1 2 10–2 3 1 2 3 1
21 2 3= = =
ii) Falso: c c c c c c c c c c c c c c c c2 2 2 10–1 2 2 1 3 1 2 2 3 1 2 2 3 1 2 3+ = + = + = = iii) Falso: c c c c c c c c 0 01 3 2 3 1 1 3 2+ + = + = iv) Verdadero: c c c c c c c c c c c c c c c2 2 2 2– – – – – –2 1 3 3 2 2 1 3 3 2 1 3 2 1 3+ = = = =
( ) ( )c c c c c c2 1 2 10– – –2 1 3 1 2 3= = =
b) Verdadero, ran (A ) = 2, y como solo hay dos filas, A' no puede tener más rango. Es compatible determinado para cualquier valor de a y b.
c) Falso, puede ser también incompatible. Por ejemplo:
x y zy zy z
x y
02 2 33 3 1
1– –
+ + =+ =+ =
=
4 Tiene | A' | = 7 ≠ 0, pero ran (A ) = 3 → El sistema es incompatible.
d) Falso, puede ser también incompatible. Por ejemplo:
x y zx y zx y z
32 2 2 43 3 3 5
+ + =+ + =+ + =
4 ran (A ) = 1, ran (A' ) = 2
BACHILLERATOUnidad 3. Resolución de sistemas mediante determinantes
65
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
48 En un sistema de igual número de ecuaciones que de incógnitas, el determinante de la matriz de coeficientes es igual a 0. Responde razonadamente a las siguientes preguntas:
a) ¿Puede ser compatible?
b) ¿Puede tener solución única?
c) ¿Se puede aplicar la regla de Cramer?
a) Sí, podría ser compatible indeterminado si ran (A ) = ran (A' ) < n.º de incógnitas.
b) No, pues al ser ran (A ) < n.º de incógnitas, el sistema no puede ser compatible determinado.
c) Sí, si es compatible, pasando al segundo miembro las incógnitas que sea necesario.
49 El rango de la matriz de coeficientes de un sistema homogéneo de cuatro ecuaciones y tres incóg-nitas es igual a 3. ¿Qué puedes decir de su solución? Razona tu respuesta.
Al ser el sistema homogéneo con 3 incognitas, tenemos que:
ran (A ) = ran (A' ) = n.º de incógnitas = 3
El sistema sería compatible determinado. Por tanto, tendría como solución única la solución trivial: x = 0, y = 0, z = 0.
Página 105
50 El rango de la matriz de coeficientes de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas es igual a 1. ¿Qué rango, como máximo, puede tener la matriz ampliada?
Como máximo, la matriz ampliada podrá tener rango 2.
51 Si en un sistema de cuatro ecuaciones y cuatro incógnitas se verifica que ran (A ) = ran (A' ) = 2, ¿se puede aplicar la regla de Cramer? En caso afirmativo, explica las transformaciones que hay que hacer en el sistema para aplicarla.
Sí se puede aplicar la regla de Cramer. Para ello, nos tenemos que quedar solo con las dos ecuaciones y las dos incógnitas con las que hemos formado el menor de orden 2 distinto de cero. Las dos incógnitas sobrantes pasan como parámetros al segundo miembro.
52 Sean A = f110
21
3– p, B = f
a
b
cp y C = f
ab
c
3
3
+
+p.
Justifica que si el sistema AX = B es compatible determinado, entonces el sistema AX = C tam-bién lo es.
Si AX = B es compatible determinado, entonces ran (A ) = ran (A' ) = 2.
Para ello, el siguiente determinante debe ser igual a cero:
abc
110
213– = 3a – 3b – 3c = 0
Calculamos el determinante de la matriz ampliada correspondiente al sistema AX = C :
a
bc
110
21
3
3
3–
+
+ = 3a – 3b – 3c
Los dos determinantes calculados tienen el mismo valor, luego este último vale cero. Por tanto, el sistema AX = C es compatible determinado ya que también verifica que ran (A ) = ran (A' ) = 2.
BACHILLERATOUnidad 3. Resolución de sistemas mediante determinantes
66
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
53 a) Demuestra que el siguiente sistema de ecuaciones tiene siempre solución para cualquier valor de α y β:
( )a b a
ba b
xxx
y zzz 3
–
– –
++
+ ===
*b) ¿Es posible que tenga infinitas soluciones para algún valor de α y β?
a)
( )a b aba b
xxx
y zzz 3
–
– –
++
+ ===
4 A' = a b a
ba b
111
100
11 3
–
– –
+f p
A
| A | = a b1
11
100
11
11
11
–
––
+= = –2 ≠ 0 → ran (A ) = ran (A' ) = 3
El sistema es compatible determinado para cualquier valor de α y β.
b) Por el apartado anterior sabemos que el sistema será siempre compatible determinado, luego la solu-ción siempre será única. No puede haber infinitas soluciones.
Para profundizar
54 Discute, en función de los parámetros a y b, el siguiente sistema de ecuaciones:
x ay zx y zx y z b
2 33 18 4
– – ––
+ + ==
+ + =*
| A | = a1
11
38
214–
– – = 6 – 3a = 0 → a = 2
• Sia ≠ 2 → ran (A ) = 3 = ran (A' ) → Sistema compatible determinado.
• Sia = 2, el sistema queda:
x y zx y zx y z b
2 2 33 18 4
– – ––
+ + ==
+ + =4
11
23– = –5 ≠ 0 → ran (A ) = 2
b
111
238
31
–– – = 25 – 5b = 0 → b = 5
Si b ≠ 5 → ran (A' ) = –3 ≠ ran (A ) = 2 → Sistema incompatible.
Si b = 5 → ran (A' ) = 2 = ran (A ) → Sistema compatible indeterminado.
BACHILLERATOUnidad 3. Resolución de sistemas mediante determinantes
67
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
55 Discute los siguientes sistemas en función del parámetro y resuélvelos cuando sean compatibles:
a)
kxxxx
kykyky
z
z
35
2
2001
––+
++
====
* b)
xmx
x
y
myy
zzzz
m
32
50
0––
+ ++
+
====
*a)
kxxxx
kykyky
z
z
35
2
2001
––+
++
====
_
`
a
bb
bb
| A' | =
k kkk
351 0
1002
2001
––
= – 40k = 0 → k = 0
• Sik ≠ 0 → ran (A' ) = 4 ≠ ran (A ) → Sistema incompatible.
• Sik = 0:
zxxx z
23 05 0
2 1
– ===
+ =
4 Las ecuaciones 2.ª y 3.ª son equivalentes, nos queda:
z
xx z
23 0
2 1
– ==
+ =4
El determinante de la matriz ampliada en este caso es:
031
102
201
– = 15 ≠ 0 → ran (A' ) = 3
Como ran (A ) < 3, el sistema es incompatible.
Este sistema no tiene solución para ningún valor de k.
b)
xmx
x
y
myy
zzzz
m
32
50
0––
+ ++
+
====
_
`
a
bb
bb
| A' | = m
m m
1
01
30
1
1211
50
0–– = 7m – m 2 = 0 → m = 7, m = 0
• Sim ≠ 0 y m ≠ 7 → ran (A' ) = 4 ≠ ran (A ) → Sistema incompatible.
• Sim = 0:
x y zzz
x y z
3 52 0
00
––
+ + ===
+ =
4
BACHILLERATOUnidad 3. Resolución de sistemas mediante determinantes
68
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
Las ecuaciones 2.ª y 3.ª son equivalentes, por tanto el sistema es equivalente a:
x y z
zx y z
3 52 0
0–
+ + ==
+ =4
El determinante de la matriz de coeficientes en este caso es:
101
301
121–
= 8 ≠ 0 → ran (A ) = 3 = ran (A' ) → Sistema compatible determinado.
Usando la regla de Cramer obtenemos la solución : x = , ,y z45
45 0= =
• Sim = 7:
x y zx z
y zx y z
3 57 2 0
7 70
––
+ + =+ =
=+ =
4 El menor formado por los coeficientes de las tres primeras ecuaciones es:
170
307
121–
= 56 ≠ 0 → ran (A ) = 3 = ran (A' ) → Sistema compatible determinado.
Nos quedamos solo con las tres primeras ecuaciones:
x y zx z
y z
3 57 2 0
7 7–
+ + =+ =
=4
Usando la regla de Cramer obtenemos la solución : x = , ,y z21
45
47– = =
56 Discute los siguientes sistemas:
a) xxx
yyy
zz
az b24
3 22
8–
– –++
+
+
===
* b) xxx
yy
ay
zaz
z
aab
21–+
++
+++
===
* c) xxx
y zzz
abc
3––+
+
===
* d) ax
xx
yay
z
z
bbb
211
–
– –++
+
===
+*a)
xxx
yyy
zz
az b24
3 228
–– –+
+
+
+
===4 A' =
a b
124
131
12
28
–– –f p
A
| A | = 5a = 0 → a = 0 •Sia = 0, queda:
A' = ; ≠ ;b b
124
131
120
28
12
13 5 0
124
131
28
–– –
– ––=f p = 5b + 20 = 0 → b = – 4
— Si a = 0 y b = – 4 → ran (A ) = ran (A' ) = 2 < n.º de incógnitas → El sistema es compatible indeterminado.
— Si a = 0 y b ≠ – 4 → ran (A ) = 2 ≠ ran (A' ) = 3 → El sistema es incompatible. •Sia ≠ 0 → ran (A ) = ran (A' ) = 3 = n.º de incógnitas → El sistema es compatible determinado,
cualquiera que sea el valor de b.
BACHILLERATOUnidad 3. Resolución de sistemas mediante determinantes
69
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
b)
xxx
yy
ay
zazz
aab
21–+
++
+++
===
4 A' = a
aa
ab
121
11
1
1
1–f p
A
| A | = –(a – 1)(a – 2) = 0 aa
12
==
• Sia = 1, queda:
A' = b
121
111
111
01f p Contradictorias, a no ser que b = 0.
— Si a = 1 y b ≠ 0 → Sistema incompatible. — Si a = 1 y b = 0, queda:
A' = 121
111
111
010
f p La 1.ª fila y la 3.ª son iguales.
12
11 ≠ 0 → ran (A ) = ran (A' ) = 2 < n.º de incógnitas → Compatible indeterminado.
• Sia = 2, queda:
A' = b
121
112
121
12f p La 1.ª columna y la 3.ª son iguales.
12
11 ≠ 0 → ran (A ) = 2;
b
121
112
12 = –(b – 1) = 0 → b = 1
— Si a = 2 y b ≠ 1 → ran (A ) = 2 ≠ ran (A' ) = 3 → El sistema es incompatible. — Si a = 2 y b = 1 → ran (A ) = ran (A' ) = 2 < n.º de incógnitas → El sistema es compatible
indeterminado.• Sia ≠ 1 y a ≠ 2 → ran (A ) = ran (A' ) = 3 = n.º de incógnitas → El sistema es compatible deter-
minado para cualquier valor de b.
c)
xxx
y zzz
abc
3––+
+
===4 A' =
abc
111
300
111
––f p
A
| A | = 6 ≠ 0 → ran (A ) = ran (A' ) = 3 = n.º de incógnitas → El sistema es compatible determinado para cualquier valor de a, b y c.
d)
axxx
yay
z
z
bbb
211
–
– –++
+
===
+ 4 A' = a
abb
b21
1
0
101
11
–
– –+f p
A
| A | = a 2 – a – 2 = 0 aa
12–=
=
• Sia = –1, queda:
A' = bb
b
121
110
101
11
–
––
– –+f p
BACHILLERATOUnidad 3. Resolución de sistemas mediante determinantes
70
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
12
11
–– ≠ 0 → ran (A ) = 2
bb
b
121
110
11
–
––
–+ = –3b = 0 → b = 0
— Si a = –1 y b ≠ 0 → ran (A ) = 2 ≠ ran (A' ) = 3 → El sistema es incompatible. — Si a = –1 y b = 0 → ran (A ) = ran (A' ) = 2 < n.º de incógnitas → El sistema es compatible
indeterminado.• Sia = 2, queda:
A' = bb
b
221
120
101
11
–
– –+f p
22
12 ≠ 0 → ran (A ) = 2
bb
b
221
120
11
–
–+ = 3b – 3 = 0 → b = 1
— Si a = 2 y b ≠ 1 → ran (A ) = 2 ≠ ran (A' ) = 3 → El sistema es incompatible. — Si a = 2 y b = 1 → ran (A ) = ran (A' ) = 2 < n.º de incógnitas → El sistema es compatible
indeterminado.• Sia ≠ –1 y a ≠ 2 → ran (A ) = ran (A' ) = 3 = n.º de incógnitas → El sistema es compatible
determinado para cualquier valor de b.
BACHILLERATOUnidad 3. Resolución de sistemas mediante determinantes
71
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
Autoevaluación
Página 105
1 Demuestra que la matriz B (y) no tiene inversa para ningún valor de y.
B (y) = fyyy
3 52 33 4
732
1266
+++
p
| B | = y
y
y
y
y
y
y
y
y
y y
3 52 33 4
732
1266
323
732
1266
534
732
1266
323
732
1266
323
732
1266
0 0·+++
= + = = = =
Luego B( y) no tiene inversa para ningún valor de y.
2 Discute en función de a el siguiente sistema y resuélvelo si a = 3:
x y z aax y z a
x ay z2 3
2 2 6
–––
+ =+ =+ =
*
A' = aa
aa
1
2
12
112
36
–––
f p A| A | = – 4 + a 2 + 2 – 4 + a – 2a = a 2 – a – 6 = 0
aa
23–=
=
• Sia ≠ –2 y a ≠ 3 → ran (A ) = ran (A' ) = 3 → El sistema es compatible determinado.
• Sia = –2:
A' = 122
122
112
26
6–
–
–––
––f p
12
11
–– = –1 ≠ 0 → ran (A ) = 2;
122
112
26
6
–
–––
–– = 30 ≠ 0 → ran (A' ) = 3
Como ran (A ) = 2 ≠ ran (A' ) = 3 → El sistema es incompatible.
• Sia = 3:
A' = 132
123
112
396
–––
f p
13
12–
= 5 ≠ 0 → ran (A ) = 2; 132
123
396
– = 0 → ran (A' ) = 2
Como ran (A ) = ran (A' ) = 2 < n.º de incógnitas → El sistema es compatible indeterminado.•Resolvemosahoraelsistemaparaa = 3:
x y zx y zx y z
33 2 92 3 2 6
–––
+ =+ =+ =
4 Sabemos que el sistema es compatible indeterminado. Eliminamos la 3.a ecuación, pasamos z al segun-
do miembro como parámetro y lo resolvemos aplicando la regla de Cramer:
BACHILLERATOUnidad 3. Resolución de sistemas mediante determinantes
72
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
x y zx y z
33 2 9
– –=+ = +
4
xz zz
13
12
39
12
515
–
– ––=
+= ; y =
zz z
5
13
39
54
–+
=
Soluciones: x = , ,l l ly z5
155
4– = =
3 Determina para qué valores de a existe la matriz inversa de M. Calcula dicha matriz inversa para a = 2.
M = aa
a222
11 1
1
––f p
• Lamatriztendráinversasisudeterminanteesdistintodecero.
| M | = aa
aa
a
a222
11 1
12
1
1
11 1
1
––
––= = –2(a 3 – a) = 0 → –2a(a 2 – 1) = 0 a
a
a1
1
0
–==
=
M tiene inversa si a ≠ 0, a ≠ 1 y a ≠ –1.
• Paraa = 2:
M = 242
112
211
––f p ; | M | = –12
(αij) = 351
666
622–
f p → (M ij ) = 351
666
622
––
–––
f p → (M ji ) = 36
6
562
162
––
–––
f p →
→ M –1 = 121– (M ji ) =
///
///
///
1 41 21 2
5 121 21 6
1 121 21 6
–
––
–f p
4 Halla en cada caso la matriz X que verifica la igualdad:
a) A –1 XA = B
b) (A + X )B = 1
siendo A = 32
11– –
e o y B = 12
11
–e o.
a) A –1 X A = B → AA –1 X AA –1 = ABA –1 → X = ABA –1
Calculamos A –1 (| A | = –3 + 2 = –1):
(αij) = 11
23
– –e o → (A ij ) = 11
23
––e o → (A ji ) =
12
13
– –e o → A –1 = | |
( )A
A1 12
13– –ji = e o
X = 32
11
12
11
12
13
54
21
12
13
96
117– –
–– – –
–– – – –= =e e e e e eo o o o o o
b) (A + X )B = I → AB + XB = I → XB = I – AB → XBB –1 = (I – AB ) B –1 →
→ X = (I – AB ) B –1 → X = B –1 – A
BACHILLERATOUnidad 3. Resolución de sistemas mediante determinantes
73
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
Calculamos B –1 (| B | = 1 + 2 = 3):
(αij) = 11 1
2–e o → ( Bij ) = ji )(8 B
11
21
12
11
––=e eo o → B –1 = ji )| | (
//
//B B1 1 3
2 31 31 3–= e o
X = //
//
//
//
1 32 3
1 31 3
32
11
8 34 3
2 34 3– – – –
– –=e e eo o o
5 a) Discute, en función de a, el siguiente sistema:
( )xx
ax
ayyy
zaz
z
aa
a
22 1–
+++
+++
===
++*
b) Resuelve el sistema anterior para el caso a = –1.
a) ( )
xx
ax
ayyy
zazz
aa
a
22 1–
+++
+++
===
++ 4 A' = ( )
a
aa
aaa
11 1
1
1
1
22 1–
++f p
A
| A | = a 3 – 3a + 2 = 0 = (a – 1)2(a + 2) = 0 aa
12–
==
• Sia = 1:
A' = 111
111
111
34
1–f p → Las tres ecuaciones resultantes son contradictorias.
El sistema es incompatible.• Sia = –2:
A' = 112
211
121
022–
––
–f p
Como 11
21–
= 3 y 112
211
022–
–
– = 0, entonces ran (A ) = ran (A' ) = 2 < n.º de incógnitas.
El sistema es compatible indeterminado.
• Sia ≠ 1 y a ≠ –2 → ran (A ) = ran (A' ) = 3 → El sistema es compatible determinado.
b) Para a = –1:
A' = 111
111
111
101–
––
–f p y sabemos que | A | = 4.
A
El sistema en este caso es compatible determinado. Lo resolvemos aplicando la regla de Cramer:
x = 4
101
111
111
42
21–
––
= = ; y = 4
111
101
111
42
21– –
–– –= = ; z =
4
111
111
101
40 0–
–
– = =
Solución: x = , ,y z21
21 0–= =
BACHILLERATOUnidad 3. Resolución de sistemas mediante determinantes
74
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
6 Demuestra que no hay valores de m para los que este sistema no tenga solución. Resuélvelo:
xxx
yy
my
zzz
23 2
3
357
+++
+++
===
*
xxx
yy
my
zzz
23 2
3
357
+++
+++
===4 A' =
m
111
23
123
357
f p
A
| A | = 4 – m = 0 → m = 4
• Sim = 4:
A' = 111
234
123
357
f p La 4.ª columna se obtiene sumando la 2.ª y la 3.ª. Luego, ran (A ) = ran (A' ). El sistema es compatible
indeterminado pues:
11
23 = 1 ≠ 0 → ran (A ) = ran (A' ) = 2
Lo resolvemos en este caso. Podemos prescindir de la 3.ª ecuación:
x y zx y z
x y zx y z
2 33 2 5
2 33 5 2
––
+ + =+ + =
+ =+ =
4 4
x = ;
zz
z1
35 2
23
1
––
–= + y =
zz
z1
11
35 2
2
––
–=
Soluciones: x = –1 + λ, y = 2 – λ, z = λ
• Sim ≠ 4 → ran (A ) = ran (A' ) = 3 = n.º de incógnitas. El sistema es compatible determinado.
Lo resolvemos en este caso:
x = m
mmm
4
357
23
123
44 1
– ––= =
y = m m4
111
357
123
40 0
– –= =
z = ( )m
mmm
mm
4
111
23
357
48 2
42 4 2
– ––
––= = =
Solución: x = 1, y = 0, z = 2
Por tanto, no hay ningún valor de m para el que el sistema no tenga solución.
BACHILLERATOUnidad 3. Resolución de sistemas mediante determinantes
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Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II
7 El rango de la matriz de los coeficientes de un sistema de cuatro ecuaciones con tres incógnitas es 3. ¿Qué rango puede tener la matriz ampliada? En base a ello, ¿cuántas soluciones tendrá el sistema?
La matriz ampliada es una matriz cuadrada de orden 4.
Su rango puede ser 3 (si | A' | = 0) o 4 (si | A' | ≠ 0).
•Siran (A ) = ran (A' ) = 3 = n.º de incógnitas → El sistema será compatible determinado.
•Siran (A ) = 3 ≠ ran (A' ) = 4 → El sistema será incompatible.
8 En un sistema homogéneo de tres ecuaciones y dos incógnitas, la matriz de los coeficientes tiene rango 2.
Di, razonadamente, cuántas soluciones tendrá el sistema.
En un sistema homogéneo el rango de la matriz de los coeficientes y el rango de la matriz ampliada siempre coinciden ya que al añadir una columna de ceros no cambia el rango.
Por tanto, tenemos que ran (A ) = ran (A' ) = 2 = n.º de incógnitas. El sistema será compatible determinado. Solo tiene una solución que es la trivial: x = 0, y = 0.