1
BAB 3Teori Dual
LMY : Slide 2
Teknik Penyelidikan Operasi
Pengenalan
Dual adalah tambahan kpd masalah PL yg ditakrifkan secara
terus dan sistematik drpd model PL asal atau Primal.
Taha (1997), dual ditakrifkan bagi pelbagai bentuk primal yang
bergantung kepada jenis pengoptimuman yang ingin
dilaksanakan (maksimum/ minimum), jenis kekangan (≤, ≥ dan =)
dan tanda bagi pembolehubah-pembolehubah (tidak negatif
atau tak terbatas).
2
LMY : Slide 3
Teknik Penyelidikan Operasi
Bentuk piawai bagi masalah primal
Maksimum atau minimumkan,
Tertakluk kepada:
Pembolehubah xj, j = 1, 2, …, n termasuklah pembolehubah lebihan dan kendur.
Ciri-ciri bagi bentuk piawai ini:
Semua kekangan adalah persamaan (dengan nilai di sebelah kanan tidak
negatif)
Semua pembolehubah tidak negatif
Jenis pengoptimuman mungkin pemaksimuman atau peminimuman
j
n
jj xcz ∑=
=1
mibxa ij
n
jij ,,2,1,
1L==∑
=
njx j ,,2,1,0 L=≥
LMY : Slide 4
Teknik Penyelidikan Operasi
Pembinaan Masalah dual
Pembolehubah dan kekangan bagi masalah dual boleh dibina secara
simetri daripada masalah primal seperti berikut (Taha, 1997):
Pembolehubah dual adalah ditakrifkan untuk setiap m persamaankekangan primal.
Kekangan dual adalah ditakrifkan untuk setiap n pembolehubah primal.
Pekali-pekali sebelah kiri bg satu kekangan dual adalah sama dengan
pekali kekangan (lajur) bg satu p’ubah primal. Bahagian sebelahkanannya adalah sama dengan pekali objektif bagi pembolehubah primal yang sama.
Pekali fungsi objektif bg dual adalah sama dengan bahagian sebelahkanan persamaan kekangan primal.
3
LMY : Slide 5
Teknik Penyelidikan OperasiRingkasan maklumat dalam bentuktablo
x1 c1 a11 a21 : : am1
x2 c2 a12 a22 : : am2
. . . . . . . . . . . . . . .
xj cj a1j a2j : : amj
. . . . . . . . . . . . . . .
xn cn a1m a2m : : amn
b1 b2 : : bm
y1 y2 : : ym
Pembolehubah dual
Pembolehubah Primal
bah.seb.kanan kekangan dual
pekali-pekali bah.seb.kiri bagi kekangan dual
kekangan ke j bagi dual
objektif dual
LMY : Slide 6
Teknik Penyelidikan OperasiPeraturan untuk menentukan jenis pengoptimuman, kekangan dan tanda pembolehubah
Masalah dual akan mempunyai m pembolehubah ( y1, y2, …, ym)
dan n kekangan (berdasarkan x1,x2…xn)
dual
objektif kekangan pembolehubahObjektifPiawai Primal
maksimum
minimum
minimum
maksimum
≥
≤
tak terbatas
tak terbatas
4
LMY : Slide 7
Teknik Penyelidikan Operasi
Contoh 1
y1
y2
Maks, z = 5x1 + 12x2 + 4x3 + 0s1
Tertakluk kepada:
x1 + 2x2 + x3 + s1 = 10
2x1 – x2 + 3x3 + 0s1 = 8
x1, x2, x3, s1 ≥ 0
Maks, z = 5x1 + 12x2 + 4x3
Tertakluk kepada:
x1 + 2x2 + x3 ≤ 10
2x1 – x2 + 3x3 = 8
x1, x2, x3 ≥ 0
P’ubah DualBentuk Piawai PrimalPrimal
Min : w = 10y1 + 8y2
Kekangan:x1: y1 + 2y2 ≥ 5x2 : 2y1 – y2 ≥ 12x3 : y1 + 3y2 ≥ 4s1 : y1 + 0y2 ≥ 0 (y1 ≥ 0, y2 tak terbatas)
y1, y2 tak terbatas
Dual
LMY : Slide 8
Teknik Penyelidikan Operasi
Contoh 2
y1
y2
Min, z = 15x1 + 12x2 + 0s1 + 0s2
Tertakluk kepada:
x1 + 2x2 - s1 = 3
2x1 – 4x2 + s2 = 5
x1, x2, x3, s1 ≥ 0
Min, z = 15x1 + 12x2
Tertakluk kepada:
x1 + 2x2 ≥ 13
2x1 – 4x2 ≤ 5
x1, x2 ≥ 0
P’ubah DualBentuk Piawai PrimalPrimal
Maks : w = 3y1 + 5y2
Kekangan:x1: y1 + 2y2 ≤ 15x2 : 2y1 – 4y2 ≤ 12s1 : -y1 ≤ 0 (atau y1 ≥ 0)s2 : y2 ≤ 0
Dual
5
LMY : Slide 9
Teknik Penyelidikan Operasi
Contoh 3
y1y2
Maks, z = 5x1 + 12x2 + 4x3 + 0s1 –MR1Tertakluk kepada:x1 + 2x2 + x3 + s1 + 0R1 = 102x1 – x2 + 3x3 + 0s1 + R1 = 8x1, x2, x3, s1 ≥ 0
Maks, z = 5x1 + 12x2 + 4x3Tertakluk kepada:x1 + 2x2 + x3 ≤ 102x1 – x2 + 3x3 = 8x1, x2, x3 ≥ 0
P’ubahDualBentuk Piawai PrimalPrimal
Min : w = 10y1 + 8y2
Kekangan:x1 : y1 + 2y2 ≥ 5x2 : 2y1 – y2 ≥ 12x3 : y1 + 3y2 ≥ 4s1 : y1 + 0y2 ≥ 0 (y1 ≥ 0)R1 : 0y1 + y2 ≥ -M (y2 ≥ -M atau tak terbatas)
Dual
LMY : Slide 10
Teknik Penyelidikan Operasi
Contoh 4
y1y2y3
Gantikan x1 = x’1 – x’’1Maks, z = 5x’1 – 5x’’1 + 6x2Tertakluk kepada:x’1 – x’’1 + 2x2 = 5-x’1 + x’’1 + 5x2 – s1 = 34x’1 – 4x’’1 + 7x2 + s2 = 8 x’1, x’’1, x2, s1, s2 ≥ 0
Maks, z = 5x1 + 6x2Tertakluk kepada:x1 + 2x2 = 5-x1 + 5x2 ≥ 34x1 + 7x2 ≤ 8x1 tak terbatas, x2 ≥ 0
P’ubahDualBentuk Piawai PrimalPrimal
Min : w = 5y1 + 3y2 + 8y3Kekangan:
x’1 : y1 - y2 + 4y3 ≥ 5x’’1 : -y1 + y2 - 4y3 ≥ -5x2 : 2y1 + 5y2 + 7y3 ≥ 6s1 : -y2 ≥ 0 (y2 ≤ 0)s2 : y3 ≥ 0y1 tak terbatas
Dualy1 - y2 + 4y3 = 5
6
LMY : Slide 11
Teknik Penyelidikan Operasi
Latihan
Tukarkan masalah primal berikut kepada dual:Maksimumkan, z = -5x1 + 2x2
Tertakluk kepada:
-x1 + x2 ≤ -2
2x1 + 3x2 ≤ 5
x1, x2 ≥ 0
Minimumkan, z = 6x1 + 3x2
Tertakluk kepada:
6x1 - 3x2 + x3 ≥ 2
3x1 + 4x2 + x3 ≥ 5
x1, x2, x3 ≥ 0
LMY : Slide 12
Teknik Penyelidikan Operasi
Latihan
Tukarkan masalah primal berikut kepada dual:Maksimumkan, z = 5x1 + 6x2
Tertakluk kepada:
x1 + 2x2 = 5
-x1 + 5x2 ≥ 3
x1 tak terbatas, x2 ≤ 0 (x2 adalah tak positif)
Minimumkan, z = 3x1 + 4x2 + 6x3
Tertakluk kepada:
x1 + x2 ≥ 10
x2 ≤ 0
x1, x3 ≥ 0
7
LMY : Slide 13
Teknik Penyelidikan Operasi
Jawapan
y1y2y3
Gantikan x1 = x’1 – x’’1Maks, z = 5x’1 – 5x’’1 + 6x2Tertakluk kepada:x’1 – x’’1 + 2x2 = 5-x’1 + x’’1 + 5x2 – s1 = 3x2 + s2 = 0 x’1, x’’1, s1, s2 ≥ 0
Maks, z = 5x1 + 6x2
Tertakluk kepada:x1 + 2x2 = 5-x1 + 5x2 ≥ 3x1 tak terbatas, x2 ≤ 0 (x2
adalah tak positif)
P’ubahDualBentuk Piawai PrimalPrimal
Min : w = 5y1 + 3y2Kekangan:
x’1 : y1 - y2 ≥ 5x’’1 : -y1 + y2 ≥ -5x2 : 2y1 + 5y2 + y3 ≥ 6s1 : -y2 ≥ 0 (y2 ≤ 0)s2 : y3 ≥ 0y1 tak terbatas
Dualy1 - y2 = 5
LMY : Slide 14
Teknik Penyelidikan Operasi
Hubungan di antara primal dan dual
Kekangan≥≤=
Pembolehubah≥ 0≤ 0
Tak terbatas
Masalah Pemaksimuman
Pembolehubah≤ 0≥ 0
Tak terbatas
Kekangan≥≤=
Masalah Peminimuman
8
LMY : Slide 15
Teknik Penyelidikan Operasi
Hubungan Primal dan Dual
Penyelesaian optimal dual boleh diperolehi dari tablo simpleks atauPenyelesaian optimal dual boleh diperolehi secara terus dari tablosimpleks optimal primalContoh:
Min : w = 10y1 + 8y2
Kekangan:
y1 + 2y2 ≥ 5
2y1 – y2 ≥ 12
y1 + 3y2 ≥ 4
y1 ≥ 0
y2 tak terbatas
Maks, z = 5x1 + 12x2 + 4x3 + 0s1
Tertakluk kepada:
x1 + 2x2 + x3 + s1 = 10
2x1 – x2 + 3x3 + 0s1 = 8
x1, x2, x3, s1 ≥ 0
Maks, z = 5x1 + 12x2 + 4x3
Tertakluk kepada:
x1 + 2x2 + x3 ≤ 10
2x1 – x2 + 3x3 = 8
x1, x2, x3 ≥ 0
DualBentuk Piawai PrimalPrimal
LMY : Slide 16
Teknik Penyelidikan Operasi
Penyelesaian dengan kaedah Simpleks
Primal: tablo optimum
Asas
z
x2x1
x1
0
0 1
x2
0
1 0
x3
3/5
-1/5 7/5
x4
29/5
2/5 1/5
R1
-2/5 + M
-1/5 2/5
Penyelesaian
54 4/5
12/5 26/5
Dual: tablo optimum
Asas
w
s3y"2y1
y1
0
0 0 1
y'2
0
0 -1 0
y"2
0
0 1 0
s1
-26/5
-7/5 2/5 -1/5
s2
-12/5
1/5 -1/5 -2/5
s3
0
1 0 0
R1
26/5 - M
7/5 -2/5 1/5
R2
12/5 -M
-1/5 1/5 2/5
R3
-M
-1 0 0
Peny.
54 4/5
3/5 2/5 29/5
Penyelesaian optimal bagi dual
w = 54 4/5, y1 = 29/5, y2 = y2’ – y2’’ = -2/5
9
LMY : Slide 17
Teknik Penyelidikan Operasi
Masalah Primal
MaksimumZ = 5x1 + 12x2 + 4x3
Kekanganx1 + 2x2 + x3 ≤ 102x1 - x2 + 3x3 = 8 x1 , x2 , x3 ≥ 0
MaksimumZ = 5x1 + 12x2 + 4x3 + 0s1
Kekanganx1 + 2x2 + x3 + s1 =102x1 - x2 + 3x3 = 8x1 , x2 , x3, s1 ≥ 0
MaksimumZ = 5x1 + 12x2 + 4x3 + 0s1 – MR1Kekanganx1 + 2x2 + x3 + s1 =102x1 - x2 + 3x3 + R1= 8 x1 , x2 , x3, s1, R1 ≥ 0
LMY : Slide 18
Teknik Penyelidikan Operasi
Masalah Dual
Minimum w = 10y1+ 8y2
Kekangan y1 + 2y2 ≥ 5
2y1 - y2 ≥ 12
y1 + 3y2 ≥ 4
y1 ≥ 0
y2 ≥ -My2 tak terbatas,
Bentuk piawai
Min w = 10y1 + 8y2 + 0s1 + 0s2 + 0s3 + MR1 + MR2 + MR3
Kekangan y1 + 2y2 - s1 + R1 = 52y1 - y2 - s2 + R2 = 12 y1 + 3y2 – s3 + R3 = 4 y1,s1, s2, s3, R1, R2, R3 ≥ 0, y2 tak terbatas
"2
'22 yyy -=
Gantikan persamaan (1) ke dalam model LP tersebut dan akan menghapuskan
ketaksamaan y2 tak terbatas dengan y’2, y’’2 ≥ 0
(1)
10
LMY : Slide 19
Teknik Penyelidikan Operasi
Hubungan Primal dan Dual
Maklumat ini boleh diperolehi dari tablo optimal dengan persamaan:Pekali pada persamaan-Z yang optimal bagi pembolehubah penyelesaianpermulaan dalam primal = Perbezaan antara bahagian sebelah kiri dan kanankekangan dual yang berkaitan dengan pembolehubah permulaan tersebutPembolehubah bagi penyelesaian awal adalah s1 dan R1. Pekali (optimal) pada persamaan Z bagi pembolehubah ini adalah 29/5 dan -2/5 + M.Kekangan dual bagi s1 adalah y1 ≥ 0, R adalah y2 ≥ -M
Jadi: 29/5 = y1 - 0 , y1 = 29/5-2/5 + M = y2 - (-M) , y2 = -2/5
Dari tablo optimal dual dapatkan penyelesaian bagi primalPembolehubah permulaan dual, R1 R2 R3
Pekali pers-w optimal 26/5 -M 12/5-M -MKekangan berkaitan x1 ≥ M x2 ≥ M x3 ≥ MJadi x1=26/5, x2=12/5 dan x3=0 (sama seperti tablo primal optimal)
sama seperti tablo dual optimal
LMY : Slide 20
Teknik Penyelidikan OperasiKenapa perlu menyelesaikan masalah primal dengan menyelesaikan dual?
Pengiraan masalah PL sangat bergantung kepada bilangan kekangan
berbanding dengan bilangan pembolehubah
Jika dual mempunyai bilangan kekangan yang sedikit berbanding
primal,adalah lebih efisien jika diselesaikan dual, di mana dari situ
penyelesaian primal boleh diperolehi.
11
LMY : Slide 21
Teknik Penyelidikan Operasi
Ciri-ciri umum hubungan primal-dual
Bagi sebarang pasangan penyelesaian tersaur dalam primal dan dual
nilai objektif bagi masalah maksimum ≤ nilai objektif bagi masalahminimum
Pada penyelesaian optimum
nilai objektif bagi masalah maksimum = nilai objektif bagi masalahminimum
Kesimpulan bagi penyelesaian primal-dual untuk contoh yang diberi:
Pada tahap/lelaran yang optimum, mak Z = min w = 54 4/5. Selarasdengan nilai optimum bagi kedua-dua masalah.
Masalah maksimum, nilai objektif mula dengan Z = -8M dan bertambahhingga optimum Z = 54 4/5. Sebaliknya, masalah minimum nilai objektifmula dengan w = 21M dan berkurangan sehingga nilai optimum w = 54 4/5.
LMY : Slide 22
Teknik Penyelidikan Operasi
Latihan
Pertimbangkan pengaturcaraan linear berikut:Maksimumkan, z = x1 + 5x2 + 3x3
Tertakluk kepada:
x1 + 2x2 + x3 = 3
2x1 – x2 = 4
x1, x2 , x3 ≥ 0
Tukarkan masalah primal di atas kepada dual
Jika diberi bahawa pembolehubah asas optimal primal adalah x1 danx3, kirakan penyelesaian dual optimal yang berkaitan denganpembolehubah asas optimal primal tersebut.
12
LMY : Slide 23
Teknik Penyelidikan Operasi
Contoh 1
Dapatkan penyelesaian dual bagi masalah primal berikut:Maks, z = 3x1 + 2x2 + 5x3Kekangan:
x1 + 3x2 + 2x3 ≤ 152x2 – x3 ≥ 52x1 + x2 – 5x3 = 10x1, x2, x3 ≥ 0
Penyelesaian dual yang sepadan:Min, w = 15y1 + 5y2 + 10y3Kekangan
y1 + 2y3 ≥ 33y1 + 2y2 + y3 ≥ 22y1 – y2 – 5y3 ≥ 5y1 ≥ 0, y2 ≤ 0, y3 tak terbatas
Tambah s1, tolak s2 dan tambahdua p’ubah buatan, R1 dan R2
LMY : Slide 24
Teknik Penyelidikan Operasi
Contoh 1: Tablo optimum primal
Peny. optimum : Z = 565/23, x3 = 15/23, x2 = 65/23, x1 = 120/23,
s1 = s2 = R1 = R2 = 0
120/237/23-17/2317/239/23001x1
65/23-1/239/23-9/232/23010x2
15/23-2/23-5/235/234/23100x3
565/23M+(9/23)M-(58/23)58/2351/23000z
Peny.R2R1s2s1x3x2x1Asas
13
LMY : Slide 25
Teknik Penyelidikan Operasi
Contoh 1 : Penyelesaian optimum dual
Kekangan primal pertama, ≤
Pekali, s1 = 51/23 = y1 – 0 = y1
Kekangan primal kedua, ≥
Pekali, s2 = -58/23 = y2 – 0 = y2 atau pekali, R1 = M-(58/23) = y2 - (-M) y2 = -58/23
Kekangan primal ketiga, =
Pekali, R2 = M+9/23= y3 - (-M) y3 = 9/23
Fungsi objektif dual optimum, w = 565/23
Semak jawapan:
Gantikan semua nilai (y1,y2,y3) dlm fungsi objektif dual
LMY : Slide 26
Teknik Penyelidikan Operasi
Contoh 2
Dapatkan penyelesaian dual bagi masalah primal berikut:Min, w = 3y1 + 2y2 + y3
Kekangany1 + y2 + y3 ≥ 4y2 – y3 ≤ 2y1+ y2 + 2y3 = 6y1, y2, y3 ≥ 0
Penyelesaian dual yang sepadan:Maks, z = 4x1 + 2x2 + 6x3
Kekanganx1 + x3 ≤ 3x1 + x2 + x3 ≤ 2x1 - x2 + 2x3 ≤ 1x1 ≥ 0 , x2 ≤ 0, x3 tak terbatas
14
LMY : Slide 27
Teknik Penyelidikan Operasi
Contoh 2: Tablo optimum primal
21-101100y3
22-31300-1s2
2-120-2011y1
6-1-M3-M0-300-1w
Peny.R2R1s2s1y3y2y1Asas
Penyelesaian optimum primal:w = 6, y2 = y3 = 2, y1= 0
LMY : Slide 28
Teknik Penyelidikan Operasi
Contoh 2 : Penyelesaian optimum dual
Kekangan primal pertama, ≥
Pekali, s1 = -3 = -x1 – 0 x1 = 3 atau pekali, R1 = 3 - M = x1 - M x1 = 3
Kekangan primal kedua, ≤
Pekali, s2 = 0 = x2 – 0 = x2
Kekangan primal ketiga, =
Pekali, R2 = -1-M = x3 - M x3 = -1
Fungsi objektif dual optimum, z = 6
Semak jawapan:
Gantikan semua nilai (x1,x2,x3) dlm fungsi objektif dual
15
LMY : Slide 29
Teknik Penyelidikan Operasi
Latihan
Dapatkan penyelesaian dual bagi masalah primal berikut:
Maks, z = 5x1 + 2x2 + 3x3
Kekangan:
x1 + 5x2 + 2x3 = 30
x1 - 5x2 – 6x3 ≤ 40
x1, x2, x3 ≥ 0
101-1-8-100s1
3001251x1
15005+M7230z
Peny.s1R1x3x2x1Asas
BAB 4Kaedah Simpleks Dual
16
LMY : Slide 31
Teknik Penyelidikan Operasi
Kaedah Simpleks Dual
Kaedah yang bermula dengan keadaan tak tersaur tetapi optimumKaedah simpleks primal bermula tersaur tapi tak optimum. Kaedah ini mengekalkan keoptimuman dan dalam lelaran seterusnyaakan menghapuskan ketaktersauran.Kaedah ini penting dalam analisis kepekaan. Digunakan bagi mengatasi masalah ketaktersauran apabila perubahandilakukan.Contoh:
Minimumkan, Z = 2x1 + x2
Kekangan:3x1 + x2 ≥ 34x1 + 3x2 ≥ 6 x1 + 2x2 ≤ 3 x1, x2 ≥ 0
LMY : Slide 32
Teknik Penyelidikan Operasi
Kaedah Simpleks Dual
Tukar ke bentuk ≤ dan tambah pembolehubah kendur:
Minimumkan, Z = 2x1 + x2
Kekangan:-3x1 - x2 + x3 = -3-4x1 - 3x2 + x4 = -6 x1 + 2x2 + x5 = 3 x1, x2, x3, x4, x5 ≥ 0
Tablo simpleks:
Asas z x3 x4 x5
x1 -2 -3 -4 1
x2 -1 -1 -3 2
x3 0 1 0 0
x4 0 0 1 0
x5 0 0 0 1
Penyelesaian 0 -3 -6 3
Tak tersaur
17
LMY : Slide 33
Teknik Penyelidikan Operasi
Kaedah Simpleks Dual
Untuk mengekalkan keoptimuman dan memastikan ketersauran dalamlelaran berikutnya, 2 keadaan berikut perlu dipatuhi:
Keadaan ketersauran dual
Pembolehubah yang keluar adalah pembolehubah asas yang mempunyai nilai yang paling negatif.
Jika semua pembolehubah tak negatif, (tamat) penyelesaian optimum tersaur dicapai.
Keadaan keoptimuman dual
Pembolehubah yang masuk dipilih dari pembolehubah bukan asasseperti berikut:
LMY : Slide 34
Teknik Penyelidikan Operasi
Kaedah Simpleks Dual
– Dapatkan nisbah pekali bahagian sebelah kiri persamaan Z
dengan pekali yang sepadan dalam persamaan bagi
pembolehubah yang keluar. Abaikan nisbah yang berkaitan
dengan penyebut (denominator) positif/ sifar.
Pembolehubah yang masuk dipilih berdasarkan
– Nilai mutlak nisbah terkecil
Selepas memilih pembolehubah masuk dan keluar, operasi sepertibiasa dilakukan, dapatkan lelaran seterusnya.
18
LMY : Slide 35
Teknik Penyelidikan Operasi
Penyelesaian masalah
310021x5
-6010-3-4x4
-3001-1-3x3
0000-1-2Z
RHSx5x4x3x2x1Asas
Pembolehubah yang keluar adalah x4 = -6.
---1/31/2Nisbah-610-3-4Pers. x4
000-1-2Pers. Zx5x4x3x2x1Pembolehubah
Pembolehubah yang masuk adalah x2 = 1/3 (nisbah terkecil).
LMY : Slide 36
Teknik Penyelidikan Operasi
Penyelesaian masalah
-112/300-5/3x5
20-1/3014/3x2
-101/310-5/3x3
20-1/30-1-2/3Z
RHSx5x4x3x2x1Asas
Pembolehubah yang keluar adalah x3 = -1.
----2/5Nisbah01/310-5/3Pers. x3
0-1/30-1-2/3Pers. Zx5x4x3x2x1Pembolehubah
Pembolehubah yang masuk adalah x1 = 2/5 (nisbah terkecil).
19
LMY : Slide 37
Teknik Penyelidikan Operasi
Penyelesaian masalah
011-100x5
6/50-3/54/510x2
3/501/5-3/501x1
12/50-1/5-2/500Z
RHSx5x4x3x2x1Asas
Penyelesaian optimum x1 = 3/5, x2 = 6/5, Z = 12/5
BAB 4Analisis Kepekaan
20
LMY : Slide 39
Teknik Penyelidikan Operasi
Analisis Kepekaan
Analisis kepekaan adalah bertujuan bagi mengkaji perubahan dalampenyelesaian optimum hasil dari perubahan dalam model asal.
Prosedur bagi analisis kepekaan:
1. Selesaikan masalah asal model PL dan dapatkan tablo optimum
2. Bagi perubahan yang dicadangkan pada model asal, kira semua elemen-elemen
baru tablo optimum dengan menggunakan pengiraan primal-dual.
3. Jika tablo baru tidak optimum, pergi langkah 4. Jika tak tersaur pergi langkah 5.
Jika keadaan optimum, berhenti.
4. Lakukan kaedah simpleks biasa dan dapatkan tablo baru penyelesaian optimum yang baru. (ataupun penyelesaian tak terbatas) Berhenti.
5. Lakukan kaedah simpleks-dual bagi mengatasi masalah ketaksauran (ataupun
penyelesaian tersaur tidak wujud) Berhenti.
LMY : Slide 40
Teknik Penyelidikan Operasi
Analisis Kepekaan
Terdapat 2 kategori:
Penyelesaian menjadi tak tersaur
Terjadi bila terdapat perubahan dalam jumlah sumber (bahagian kanan
kekangan) dan/atau terdapat pertambahan kekangan (kekangan baru).
Penyelesaian menjadi tidak optimum
Perubahan pada fungsi objektif dan/atau elemen-elemen tertentu pada
bahagian sebelah kiri kekangan ataupun aktiviti baru ditambah dalam model.
21
LMY : Slide 41
Teknik Penyelidikan Operasi
Contoh masalah
Maksimum Z = 3x1 + 2x2
Kekangan:
x1 + 2x2 + s1 = 6 (bahan A)
2x1 + x2 + s2 = 8 (bahan B)
-x1 + x2 +s3 = 1 (permintaan)
x2 + s4 = 2 (permintaan)
LMY : Slide 42
Teknik Penyelidikan Operasi
Perubahan yang mempengaruhi ketersauran
2 jenis perubahan:Perubahan jumlah sumber (bahagian kanan kekangan)Pertambahan kekangan baru
Perubahan jumlah sumber (bahagian kanan kekangan)Bahan mentah A diubah dari 6 menjadi 7 tan sehari. Perubahan bahagian sebelah kanan kekangan hanya mengubah bahagian sebelahkanan tablo optimum. Penyelesaian yang baru:
x2 2/3 -1/3 0 0 7 2
x1 = -1/3 2/3 0 0 8 = 3
x5 -1 1 1 0 1 2
x6 -2/3 1/3 0 1 2 0
Bahagian sebelah kanan kekal tak negatif, pembolehubah asas tak berubah. Nilai baru adalah x1 = 3, x2 = 2, x5 = 2, x3 = x4 =0, Z = 3(3) + 2(2) = 13
22
LMY : Slide 43
Teknik Penyelidikan Operasi
Perubahan yang mempengaruhi ketersauran
Perubahan jumlah sumber (bahagian kanan kekangan)Katakan bahan mentah A dan B berubah menjadi 7 dan 4 tan (sebelum ini 6 dan 8 tan).Perubahan bahagian sebelah kanan kekangan hanya mengubah bahagian sebelahkanan tablo optimum.
Penyelesaian yang baru:
x2 2/3 -1/3 0 0 7 10/3
x1 = -1/3 2/3 0 0 4 = 1/3
x5 -1 1 1 0 1 -2
x6 -2/3 1/3 0 1 2 -4/3
x5 dan x6 adalah negatif, penyelesaian adalah tak tersaur.
Gunakan kaedah simpleks dual. Penyelesaian optimum yang baru, x1=1, x2 = 2
dan Z = 7.
LMY : Slide 44
Teknik Penyelidikan Operasi
Perubahan yang mempengaruhi ketersauran
Pertambahan kekangan baru
Menghasilkan 2 keadaan sama ada:
Kekangan dipenuhi oleh penyelesaian semasa, kekangan sama ada
'nonbinding/redundant'. Penambahannya tidak memberi perubahan.
Kekangan tidak dipenuhi oleh penyelesaian semasa. Penyelesaian baru
dengan kaedah simpleks dual.
Katakan permintaan terhadap produk 1 tidak melebihi 4 tan.
Oleh itu, kekangan baru, x1 ≤ 4
Oleh kerana, penyelesaian semasa (x1 = 10/3, x2 = 4/3) memenuhi kekangan ini,
penyelesaian tak berubah.
23
LMY : Slide 45
Teknik Penyelidikan Operasi
Perubahan yang mempengaruhi ketersauran
Pertambahan kekangan baru
Katakan permintaan terhadap produk 1 tidak melebihi 3 tan.
Oleh itu, kekangan baru, x1 ≤ 3
Oleh kerana, penyelesaian semasa (x1 = 10/3, x2 = 4/3) tidak memenuhi
kekangan ini, maka kita perlu atasi ketaksauran.
Jadi tukar kekangan ke bentuk piawai:
x1 + x7 = 3, (1)
x7 ≥ 0
x1 adalah pembolehubah asas, gantikan ia dengan ungkapan pembolehubah
bukan asas (semua pembolehubah asas perlu digantikan dengan
ungkapan pembolehubah bukan asas)
LMY : Slide 46
Teknik Penyelidikan Operasi
Perubahan yang mempengaruhi ketersauran
Pertambahan kekangan baru
Dari baris x1,
x1 - (1/3)x3 + (2/3)x4 = 10/3
x1 = 10/3 + (1/3)x3 - (2/3)x4
Gantikan dalam (1)
10/3 + (1/3)x3 - (2/3)x4 + x7 = 3
(1/3)x3 - (2/3)x4 + x7 = -1/3
Tambahkan kekangan ini dalam tablo, selesaikan dengan kaedah simpleks
dual.
Penyelesaian optimum baru x2=3/2, x1=3, x5=5/2, x6=1/2,x4 =1/2, Z=12.
24
LMY : Slide 47
Teknik Penyelidikan OperasiPerubahan yang mempengaruhikeadaan optimum
Syarat optimum merujuk kepada pekali persamaan objektif.
Pekali persamaan objektif adalah perbezaan antara bahagian sebelah kiri
dan kanan kekangan dual.
Perubahan keadaan optimum adalah disebabkan oleh:
Perubahan fungsi objektif
Penggunaan sumber bagi setiap aktiviti
Ataupun kombinasi keduanya (tambah aktiviti baru).
Bagi setiap kes, apa yang diperlukan adalah menyemak keoptimuman
dengan mengira semula pekali persamaan z.
LMY : Slide 48
Teknik Penyelidikan OperasiPerubahan yang mempengaruhikeadaan optimum
Perubahan fungsi objektif
Nilai-nilai dual dikira dengan menggunakan pekali-pekali bagi pembolehubah
asas pada fungsi objektif.
Jadi,
Jika perubahan fungsi objektif melibatkan pekali bagi pembolehubah asas
semasa, tentukan nilai dual yang baru dan kira pekali-pekali persamaan z
yang baru.
Jika perubahan hanya melibatkan pembolehubah bukan asas sahaja,
gunakan nilai dual (dari tablo) dan kira pekali persamaan z yang terlibat
dengan pembolehubah bukan asas sahaja.
25
LMY : Slide 49
Teknik Penyelidikan OperasiPerubahan yang mempengaruhikeadaan optimum
Perubahan fungsi objektifKatakan, Z = 3x1 + 2x2 Z = 5x1 + 4x2
x1 dan x2 adalah asas bagi penyelesaian semasa. Nilai dual yang baru:(y1 y2 y3 y4) = (4 5 0 0) 2/3 -1/3 0 0
-1/3 2/3 0 0-1 2/3 1 0-2/3 1/3 0 1
= (1 2 0 0)Kira pekali persamaan z:
pekali x1 = y1 + 2y2 - y3 - 5 = 1(1) + 2(2) - 0 - 5 = 0pekali x2 = 2y1 + y2 + y3 + y4 - 4 = 2(1) +2 + 0+ 0 - 4 = 0pekali x3 = y1 - 0 = 1 - 0 = 1pekali x4 = y2 - 0 = 2- 0 = 2pekali x5 = y3 - 0 = 0pekali x6 = y4- 0 = 0
Semua pekali persamaan, z ≥ 0 (maksimum). Keadaan optimum tak berubah, hanya nilai Z berubah, Z = 5(10/3) + 4(4/3) = 22.
LMY : Slide 50
Teknik Penyelidikan OperasiPerubahan yang mempengaruhikeadaan optimum
Perubahan fungsi objektifKatakan, Z = 3x1 + 2x2 Z = 4x1 + x2
x1 dan x2 adalah asas bagi penyelesaian semasa. Nilai dual yang baru:(y1 y2 y3 y4) = (1 4 0 0) 2/3 -1/3 0 0
-1/3 2/3 0 0-1 2/3 1 0-2/3 1/3 0 1
= (-2/3 7/3 0 0)Kira pekali persamaan z:
pekali x1 = y1 + 2y2 - y3 - 5 = 1(-2/3) + 2(7/3) - 0 - 5 = 4pekali x2 = 2y1 + y2 + y3 + y4 - 4 = 2(-2/3) +7/3 + 0+ 0 - 4 = 1pekali x3 = y1 - 0 = -2/3 - 0 = -2/3pekali x4 = y2 - 0 = 7/3- 0 = 7/3pekali x5 = y3 - 0 = 0pekali x6 = y4- 0 = 0
x3, pekali negatif, keadaan tidak optimum, lakukan kaedah simpleks. Dapatkanpenyelesaian baru. Penyelesaian optimum x3=2, x1=4, x5=5, x6=2, Z=16.
26
LMY : Slide 51
Teknik Penyelidikan OperasiPerubahan yang mempengaruhikeadaan optimum
Perubahan dalam penggunaan sumber bagi setiap aktiviti
Perubahan dalam penggunaan sumber hanya memberi kesan pada
keoptimalan penyelesaian, kesan pada bahagian kiri kekangan dual.
Bataskan hanya pada aktiviti yang bukan merupakan asas.
Perubahan pekali kekangan bagi asas memberi kesan pada matriks
songsang kesukaran dalam pengiraan.
Katakan, Z = 4x1 + x2
Aktiviti 2 bukan asas, ubah penggunaan bahan A dan bahan B bagi aktiviti 2
kepada 4 dan 3 tan (sebelum ini 2 dan 1 tan). Kekangan dual yang sepadan,
4y1 + 3y2 + y3 + y4 ≥ 1
Pekali baru, x2 = 4(0) + 3(2) + 1(0) + 1(0) - 1 = 5
Oleh kerana 5 ≥ 0, perubahan tidak memberi kesan pada penyelesaian
optimum.
LMY : Slide 52
Teknik Penyelidikan OperasiPerubahan yang mempengaruhikeadaan optimum
Menambah aktiviti baruKatakan, produk baru dihasilkan, produk 1b, sama jenis denganproduk 1 tetapi harga lebih murah, menggunakan 3/4 tan bahan A danbahan B setiap satu. Keuntungan setiap tan produk baru ini 1.5 (RM 000).
Katakan x7 bilangan tan produk baru yang dihasilkan ini
Maksimum Z = 3x1 + 2x2 + (3/2) x7
Kekangan x1 + 2x2 + (3/4)x7 ≤ 6 (bahan A)
2x1 + x2 + (3/4)x7 ≤ 8 (bahan B)
-x1 + x2 - x7 ≤ 1 (permintaan)
x2 ≤ 2 (permintaan)Kekangan dual yang sepadan:
(3/4)y1 + (3/4)y2 - y3 ≥ 3/2
27
LMY : Slide 53
Teknik Penyelidikan OperasiPerubahan yang mempengaruhikeadaan optimum
Menambah aktiviti baruBiarkan x7 sebagai bukan asas, pekali x7 (persamaan z) adalah,
(3/4)(1/3) + (3/4)(4/3) - (1)(0) - 3/2 = -1/4Negatif, bermakna penyelesaian masih boleh diperbaiki, belumoptimum.Tablo optimum diubah dengan menambah lajur x7. Kira lajur kekanganbagi x7
2/3 -1/3 0 0 3/4 1/4-1/3 2/3 0 0 3/4 = 1/4-1 1 1 0 -1 -1-2/3 1/3 0 1 0 -1/4
Dengan kaedah simpleks diperolehi penyelesaian optimum, x7=16/3, x1=2, x5=25/3, x6=2, Z=14.