NRE: Cornélio Procópio Municipío: UraíNome do Professor: Marinez Pereira
dos Santos
e-mail:
[email protected]: Colégio Estadual Profª Regina
Tokano
Fone: (43) 3541-1326
Disciplina: Matemática Série: 1ªConteúdo Estruturante: FunçõesConteúdo Específico: Função QuadráticaRelação interdisciplinar 1: Educação FísicaRelação interdisciplinar 2: Física
Lançamento de projéteis, antenas parabólicas e campeonato
de futebol; o que eles têm em comum?
Fonte: bp2.blogger.com/.../s400/argentinabrasil5.jpg
Início de Campeonato Brasileiro de Futebol. Todos estão ansiosos
para o primeiro jogo. A escolha da rede de TV transmissora depende da
afinidade entre os telespectadores e os comentaristas e narradores e
também da qualidade das imagens captadas pelas antenas de TV,
principalmente as antenas parabólicas, presentes em um bom número de
lares brasileiros. Porém, existe algo em comum entre o campeonato de
futebol e as antenas parabólicas?
Apesar de a princípio não parecer, eles possuem!
Você já deve ter assistido a um jogo de futebol.
É torcedor de algum time?
Que tipo de emoção uma partida de futebol do seu time do coração
provoca em você?
1
O futebol é o esporte coletivo mais praticado no mundo. Nascido na
Inglaterra no século XIX e difundido rapidamente em todo mundo, chegou
ao Brasil através dos pés de ingleses expatriados. Aqui, o pai do futebol
foi Charles Miller, que tomou contato com o esporte na Inglaterra em seu
período de estudos. No seu retorno para o Brasil, trouxe consigo duas
bolas de futebol e formou o primeiro clube de futebol. O futebol
rapidamente se tornou a “paixão nacional” e comumente ouvimos a
expressão “país do futebol” quando se deseja fazer referência ao Brasil.
(Fonte: http://ptwikipedia.org/wiki/Futebol_no_Brasil)
Aqui, a importância do futebol é tão grande que criaram os
campeonatos estaduais e o Brasileiro. Apesar de este esporte ser
praticado em todo o país à longa data, apenas em 1971 se criou o
Campeonato Brasileiro em virtude das dificuldades de se organizar um
campeonato que abrangesse uma área tão grande como é a do Brasil. O
primeiro campeão brasileiro foi o Clube Atlético Mineiro.
O Campeonato Brasileiro, organizado pela CBF (Confederação
Brasileira de Futebol) congrega hoje 20 clubes tanto na Série A (1ª
divisão) quanto na Série B (2ª divisão) onde são disputadas as partidas em
turno e returno e a classificação é feita através de pontos corridos, sendo
que o Campeão, o Vice , 3º e 4º colocados têm acesso à Taça Libertadores
da América. Para a Série C (3ª divisão), são realizadas eliminatórias
regionais até a última fase o que permite a participação de clubes
pequenos e com orçamento baixo.
Porém, existe algo em comum entre o campeonato de futebol e as
antenas parabólicas?
No Brasileirão, como já foi dito, cada clube joga duas vezes com
outro em turno e returno. Supondo que apenas dois clubes participem do
campeonato, temos então, 2 partidas; se forem 3 os participantes, temos
6 partidas. Simbolizando por n o número de clubes participantes e p o
número de partidas, temos:
Número de clubes (n) Número de partidas (p)2 2(2-1)3 3(3-1)4 4(4-1)5 5(5-1)... ...n n(n-1)
2
Observando a tabela, vemos que o número de partidas é dado em
função do número de clubes participantes:
p(n) = n(n-1)
p(n) = n2 – n
Observando a tabela acima, verificamos que a função que nos
permite calcular o número de partidas a serem disputadas tem um
elemento com expoente 2. Essa função é denominada função polinomial
de 2º grau ou função quadrática. As funções de 2º grau têm a variável
independente com grau 2, isto é, o seu maior expoente é 2.
A função quadrática é função f de ℜ em ℜ onde a cada x ∈ ℜ se
associa o elemento ( ax2 + bx + c) ∈ ℜ , com a ∈ ℜ*, b ∈ ℜ e c ∈ ℜ
, f(x) = ax2 + bx + c, onde a ≠ 0. Como podemos observar, o fato de a ∈
ℜ* implica que existe um termo de 2º grau. Em geral, uma função
quadrática ou polinomial do 2º grau é expressa na forma f(x) = ax2 + bx +
c, onde a, b e c são coeficientes reais.
Exemplo: 2x2 – 7x + 3 = 0.
Nessa equação a variável é x e os coeficientes são:
a = 2 ( coeficiente de x2)
b = -7 (coeficiente de x)
c = 3 (coeficiente constante ou termo independente)
Sabemos que a deve ser diferente de zero, porém b e/ou c podem
ser nulos. Se b e c forem ambos diferentes de zero, a equação é chamada
de completa. Se b e/ou c forem nulos, a equação será chamada
incompleta.
Exemplos de equações incompletas:
a) 3x2 – 12 = 0 ⇔ 3x2 + 0x -12 = 0
Observamos que b = 0
b) 2x2 + 4x = 0 ⇔ 2x2 + 4x + 0 = 0
Observamos que c = 0
c) 2x2 = 0 ⇔ 2x2 + 0x + 0 = 0
Observamos que b = c = 0
Devemos atentar para o fato de que o termo de 2º grau está
presente em todas as funções completas ou incompletas.
3
Ainda sobre futebol!
Durante uma partida, é comum termos cobrança de escanteio.
Nesse tipo de jogada, a bola apresenta movimento análogo ao do
lançamento de projéteis, como por exemplo, uma bala sendo lançada
obliquamente por um canhão que esteja próximo à superfície da Terra. O
projétil sai do canhão com velocidade inicial (V0) diferente de zero. A
velocidade (V0) do projétil sempre é decomposta em duas componentes:
- uma vertical (V0y), com módulo, direção e sentido variando no
decorrer do tempo e tem como equação: V0y= V0. cos ;θ
- uma componente horizontal (V0x) que apresenta módulo, direção e
sentido constantes, tendo como equação: V0x= V0 . sen . θ
Fonte: FERRARO, 1991, p.143
O movimento em relação ao eixo Oy é um movimento
uniformemente variado, descrito sob a ação da gravidade e no eixo 0x é
um movimento uniforme. O movimento em relação ao eixo Oy tem como
equação 2.
.2
0
tgtvy y −=
. O valor de y não representa a distância
percorrida na vertical e sim a posição do corpo em relação ao eixo OY.
A velocidade vy varia com o tempo segundo a equação vy= v0y - gt.
4
Como o movimento em relação ao eixo Ox é um movimento
uniforme, a velocidade permanece constante e é dada por Vx = V0x.
Permanecendo constante o valor da velocidade, teremos o deslocamento
em relação ao eixo Ox dado por xvx= t. .
Observação: Estamos considerando os eixos como:
• Ox – eixo horizontal, orientado para a direita.
• Oy – eixo vertical, orientado para cima.
Atividade:
Durante um jogo de futebol, um dos jogadores cobrou uma falta
frontal ao gol adversário. Sabendo que a bola saiu dos pés do jogador com
velocidade de 30 m/s, o ângulo era 30º e que o gol ocorreu após 4 s daθ
bola ter sido chutada, determine a que distância do gol o jogador cobrou a
falta. (Adote g= 10m/s² e despreze a resistência do ar).
A equação do movimento em relação ao eixo 0Y é uma equação do
2º grau e descreve uma trajetória parabólica, como podemos observar no
gráfico acima. O termo “parabólica” vem de parábola, palavra que se
origina do grego parabole e é definida como uma seção cônica gerada
pela interseção de um plano paralelo a uma linha geradora do cone
(geratriz). (Fonte: http://pt.wiKipedia.org/wiki/par%C3%A1bola). Pode ser
também definida como o conjunto de pontos eqüidistantes de um ponto
dado (foco) e de uma reta dada (diretriz).
5
Fonte: membros.aveiro-digital.net/.../MATH061.jpg
As parábolas são utilizadas em diversos equipamentos, que são
presenças constantes em nosso dia-a-dia. Como exemplo pode-se citar: os
radares, que são compostos por uma antena transmissora/receptora, que
emite pulso eletromagnético, o qual é refletido quando atinge o alvo e
captado pela antena; os faróis dos veículos que utilizam lentes parabólicas
que ficam posicionadas na parte de trás dos faróis e que direcionam a luz
emitida pelos mesmos, e as antenas parabólicas comumente encontradas
nos telhados das residências e edifícios. Elas captam as ondas
eletromagnéticas emitidas pelos satélites artificiais que orbitam ao redor
da Terra. (Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/par%C3%A1bola)
Atividade:
Construa o gráfico da função que relaciona o número de partidas de cada
clube em função do número de participantes.
Analisando o gráfico do campeonato e do lançamento de projéteis,
percebemos que as concavidades são invertidas. Isto acontece porque o
coeficiente a pode apresentar-se da seguinte forma:
• a > 0, isto acarreta concavidade voltada para cima;
• a < 0, isto acarreta concavidade voltada para baixo.
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Analisemos agora, o gráfico abaixo. Percebemos que ele corta o eixo
Ox (abcissas), isto é, a parábola apresenta pontos de interseção com o
eixo x.
No gráfico acima, a parábola cortou o eixo 0x em dois pontos (x1,0)
e (x2,0). Devemos atentar para o fato de que os pares ordenados (x,y)
estão apresentando y=0; isto significa que x1 e x2 são os zeros ou raízes
da função.
Atividade
Encontre os zeros ou raízes das seguintes funções:
f(x)= x2 + 2x
f(x)= x2 -2x +6
Para a determinação dos zeros ou raízes da função é necessário
resolvermos a função quadrática e isto pode ser feito de formas diversas.
Apresentamos aqui uma dessas formas:
Imaginemos um quadrado de área )²(2 bax+ como o da figura
abaixo:
7
A área total do quadrado equivale a soma das áreas dos
quadriláteros da figura, isto é: ²4²²4)²2( bbxxabax ++=+
Vamos agora isolar o coeficiente c da equação da 2º grau:
cbxaxcbxax −=+⇒++ ²²
Multiplequemos agora os dois membros da equação por a4 :
acbabxbxa 4²²4²²4 ==+
Comparando a primeira equação com a última, percebemos que
falta apenas o termo b². Vamos então, acrescentá-lo aos dois membros da
última equação:
acbbabxxa 4²²4²²4 −=++ .
Observamos que o primeiro membro é igual a )²(2 bax+ , então
podemos escrever da seguinte forma:
acbbax 4²)²(2 ==+ .
Sendo o segundo membro positivo, podemos então extrair a raiz
quadrada:
acbbaxacbbax 4²24²)²2( −±=+⇔−=+
acbbaxacbbax 4²24²2 −±−=⇔−±=+
aacbb
xacbbax2
4²4²2
−±−=⇔−±−=
Temos então o conjunto solução da equação completa:
S = a
acbb2
4²−+− , a
acbb2
4²−−−
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Exemplo:
Resolver a equação: x² - 5x + 6 =0
Calculamos primeiro o valor numérico acb 4²− . Sabendo que a=1,
b=-5 e c=6 , temos: acb 4²− = ( ) 6.1.4²5 −− 12425 =−= >0.
Comoa
acbbx
24²−±−= ⇔
1.215±=x ou
215±=x
Chamando uma das raízes de x’ e a outra de x’’, obtemos:
326
215
' ==+=x
224
215
'' ==−=x
Então S = {2;3}, pois se atribuímos os valores 2 e 3 a x tornamos a
sentença 065² =+− xx verdadeira.
Verificamos que a expressão acb 4²− é um fator condicionante para
a solução da equação, pois se seu valor numérico for negativo, teremos
ℜ∉− acb 4² . Devido à sua importância, ela é denominada discriminante
e representada por ∆ (letra grega delta maiúscula). Sendo assim,
podemos escrever a solução da equação da seguinte forma:
S = a
b2
∆+− , a
b2
∆−−
Observação: Esta solução também é válida para as equações
incompletas.
Quando calculamos o valor do discriminante ( ∆), podem ocorrer as
seguintes situações:
1ª) ∆> 0; isto significa um ∆ positivo, o que leva a ∆ ser um número
real diferente de zero e a equação a ter duas raízes reais e distintas;
2ª) ∆= 0; isto significa um ∆ nulo, o que leva a ∆ ser igual a zero e a
equação possuir duas raízes reais e iguais;
3ª) ∆< 0; isto significa um ∆ negativo, o que leva a ∆não ser um
número real e a equação não possuir raízes reais.
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Atividade: Preencha a tabela abaixo com o discriminante e as raízes de
cada função:
Vamos agora, esboçar o gráfico da função 56² +−= xxy .
Para isso, vamos traçar a mediatriz do segmento dado pelos valores
de x’ e x’’ isto é, onde os valores de x correspondem a um mesmo valor
de y. A mediatriz obtida é nosso eixo de simetria. A interseção da parábola
com o eixo de simetria é denominado vértice da parábola e tem como
valor numérico a média aritmética de x’ e ‘’, isto é, 2
''' xxV
+= .
O vértice possui como coordenadas V = (xv, yv), onde xv e yv são
obtidos da seguinte forma:
vx
ab
2−= (abscissas) e vy
a4∆−= (ordenadas)
Se o ponto V (vértice da parábola) representar uma função
cbxaxxf ++= ²)( com a< 0, então a abscissa de V será o ponto de
máximo e a ordenada será o valor máximo da função f. Porém, se V
representar uma função cbxaxxf ++= ²)( com a> 0, a abscissa será o
ponto de mínimo e a ordenada o valor mínimo da função f.
Por exemplo: A função f(x) = x² - 6x tem vértice de coordenadas
V= (3,-9). Isto significa que:
• f(3) = -9 é o valor mínimo da função;
• 3 é o ponto de mínimo da função f.
Atividade:
Determine o valor máximo (mínimo) e o ponto de máximo (de mínimo) de
cada função abaixo:
Função Coeficiente (a)
Coeficiente (b)
Coeficiente (c)
Discriminante ( ∆)
Raízes
xxxf 2)( +=4013²)( +−= xxxf37²2)( +−= xxxf
32²)( −−= xxxf
10
a) f(x) = 2x² - 12x +10
b) f(x) = -x² + 4x + 5
c) f(x) = x² - 9
d) f(x) = 3x²
Depois de você ter recebido essas informações sobre parábolas e
algumas das aplicações em nosso cotidiano, responda sem vacilar:
Quem é o atual campeão brasileiro de futebol?
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<http://sandroatini.sites.uol.com.br/bhaskara.htm>. Acesso em: 12 jun.
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