Download ppt - NUMERICKÁ ANALÝZA PROCESů

NUMERICKÁ ANALÝZA PROCESů

NAP8

Metoda sítí s aplikací na parabolické a eliptické rovnice

Metodicky de facto totéž, co v minulé přednášce jen jiné příklady:

Neustálený rychlostní profil při oscilačním toku v trubce (parabolická rovnice pro cylindrický s.s.)

Teplotní pole (parabolická rovnice) a elektrické pole (eliptická rovnice) při přímém ohmickém ohřevu.

Identifikace parametrů modelu popisovaného metodou konečných diferencí použitím algoritmu Nelder Mead (fminsearch)

Rudolf Žitný, Ústav procesní a zpracovatelské techniky ČVUT FS 2010

NAP8 Oscilační tok v trubce

Mordechai Ardon

Při řešení neustáleného toku stlačitelné tekutiny v trubce nebyl ověřován radiální rychlostní profil. Tiše jsme předpokládali, že rychlostní profil odpovídá ustálenému toku (a že se třeba v laminárním režimu vyvine parabolický profil). Při rychle se měnícím axiálním gradientu tlaku to tak není. Mírou odchylky je frekvence tlakových pulzací a Womersleyho číslo

Wo R

NAP8 Oscilační tok v trubcePrototypem oscilační toku je například tok krve v cévním systému. Pulzace tlaku vyvolává srdce (systola-diastola, opakující se s frekvencí cca 1Hz) a v cévách s větším průměrem (aorta) dochází k tomu, že krev u stěny teče opačným směrem než někde uprostřed. Je tomu tak proto, že největší rychlost a tedy i kinetická energie je největší u osy trubky, takže setrvačnost kapaliny překoná i opačně působící gradient tlaku při jeho náhlé změně. Naproti tomu, u stěny, kde je rychlost menší, nemusí gradient tlaku překonávat tak velkou hybnost kapaliny, a směr toku bude víceméně poslušně sledovat směr gradientu tlaku.

Když zanedbáme stlačitelnost kapaliny a tuhou trubku, popisuje celý problém Navierova Stokesova rovnice pro složku rychlosti kapaliny ve směru osy trubky, zapsaná v cylindrickém souřadném systému

*

* * *

zrychlení axiální gradient tlaku vazké síly (laminár)

( )u p u

rt x r r r

V nekonečně dlouhé trubici musí být příčná složka rychlosti nulová a z NS rovnice v radiálním směru plyne, že gradient tlaku dp/dr=0, jinými slovy, tlak p nezávisí na poloměru. Axiální gradient tlaku pak může být pouze funkcí času t.

NAP8 Oscilační tok v trubcePokud je gradient tlaku konstantní, vyvine se po jisté době parabolický rychlostní profil *

2( ) 2 (1 ), r

u r u r rR

Pokud je gradient tlaku harmonicky oscilující funkcí času, budou i rychlosti proudění harmonickou funkcí času, se stejnou frekvencí , jen fázově posunuté. Radiální rychlostní profil je pro tento speciální případ vyjádřen Besselovou funkcí J0 s komplexním argumentem

3/2 3/20 0

3/2 3/20 0

( ) ( )( , ) ((Re( ) 1)sin Im( )cos )

( ) ( )p

J i Wor J i Woru r t u t t

J i Wo J i Wo

kde r je bezrozměrný poloměr, je úhlová frekvence sinusových oscilací gradientu tlaku a Wo je Womersleyho číslo

Wo R

Toto analytické řešení uvádím spíš jen pro zajímavost (v praxi se využívá při modelování toku krve v artériích), v dalším textu se zaměříme na numerické řešení, které je použitelné pro zcela libovolný časový průběh axiálního gradientu tlaku.

Když je Wo<<1 můžeme předpokládat, že rychlostní profil je parabolický a docela přesně sleduje časové (pomalé) změny gradientu tlaku. Pak ani není nutné použít numerické řešení a třeba i změny průtoku lze počítat z běžné formy Bernoulliho rovnice.

NAP8 Oscilační tok v trubceNavier Stokesovu rovnici upravme zavedením bezrozměrného poloměru a času,

* 2

2, ,

r t R pr P

R R x

1

( )u u

P rr r r

Diferenční přepis této rovnice na ekvidistantní síti uzlových bodů (pro jeden časový krok )

1 2 i-1 i i+1 N

r <0,1> r

0

1 1 1 1 1 12

1( ( ) ( ) (2 ))

2i i

i i i i i i i i i ii

u uP u r r u r r u r r r

r r

1 10

1 11 12 2 2

1 11 1

( (2 ))2 2 2

i i ii

i i

i i i i ii i i

ia c db

r r

r r r r uu u u P

r r r r

A to je soustava lineárních algebraických rovnic s tridiagonální maticí soustavy (vektor b i je diagonála, di je vektor pravé strany)

11 1

01

1 22 2

1 4 4( )

cb d

uu u P

r r

Na ose symetrie Na stěně 0Nu

Zkuste si to odvodit: na ose je problém s dělením poloměrem r1 – musíte použít limitní přechod (třeba l’Hopitalovo pravidlo)

NAP8 Oscilační tok v trubceTato tridiagonální soustava algebraických rovnic se dá velmi efektivně řešit faktorizací, algoritmizovanou např. v MATLABovské funkci tridag

function u = tridag(a,b,c,r,n) bet=b(1); u(1)=r(1)/bet; for j=2:n gam(j)=c(j-1)/bet; bet=b(j)-a(j)*gam(j); u(j)=(r(j)-a(j)*u(j-1))/bet; end for j=n-1:-1:1 u(j)=u(j)-gam(j+1)*u(j+1); end

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

u>0

u<0

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-4

-3

-2

-1

0

1

2 q()-průtok

Úplný výpis MATLABovského programu bude uveden až za okamžik. Zde je jen ukázka typického časového průběhu průtoku, který jak patrno není ve fázi se zadaným harmonickým průběhem gradientu tlaku.

Druhý obrázek (radiální rychlostní profil) dokumentuje existenci zpětného toku v ose trubky – pro harmonicky oscilující gradient tlaku by to měla být Besselova funkce J0.

2

t

R

*rr

R

2

1 3sin(10 )R p

Px

NAP8 Bernoulliho rovniceZ praktického hlediska má asi největší význam posouzení toho, do jaké míry ovlivní změna rychlostního profilu Bernoulliho rovnici. Otázka: Mohu použít následující tvar Bernoulliho rovnice pro výpočet časově proměnné střední rychlosti (nebo průtoku)?

2 2

2

třecí ztráty odpovídajícíodpovídá konstantní gradient tlaku=0 v trubce slaminárnímu toku rychlosti po průřezu jako libovoná konstantním ((pístový tok) funkce časuprůřezem

8( )

2

u u p u

t x x R

Hagen Poisseuille)

Odchylka predikovaných rychlostí nebo průtoků závisí na tom, jak velké jsou oscilace tlaku; srovnání s přesným (numerickým) řešením ukazuje, že amplituda průtoků je dle Bernoulliho rovnice, založené na tlakových ztrátách odpovídajících parabolickému rychlostního profilu, zhruba o 10% vyšší (parabolický profil má menší tlakovou ztrátu). Lepší přesnosti se dá dosáhnout aproximací rychlostního profilu polynomem 4 stupně, viz následující text...

uPu

8)(

Tatáž Bernoulliho rovnice, ale zapsaná s bezrozměrným časem a gradientem tlaku2

2,

t R pP

R x

Jistá nesrovnalost takto napsané Bernoulliho rovnice je v tom, že zrychlení se odvozuje z předpokladu konstantního radiálního profilu rychlosti, zatímco třecí ztráty z představy parabolického profilu rychlosti.

Rovnici si odvoďte z rovnováhy sil působících na váleček kapaliny o poloměru R a tloušťce dx.

8 8( )

0

( ) (0) ( ) tu u e P t e dt

ověřte, že to je analytické řešení (odvodí se metodou variace konstant z řešení homogenní rovnice)

NAP8 Přibližné řešení NS rovniceVyjděme z Navier Stokesovy rovnice ve tvaru použitém pro numerické řešení (s bezrozměrným časem a radiální souřadnicí)

* 2

2, ,

r t R pr P

R R x

1

( )u u

P rr r r

a hledejme přibližné řešení ve tvaru, který zajistí automatické splnění okrajových podmínek v ose a na stěně

2 2 41 2

parabolický stěnová funkcerychlostní profil

( , ) ( )(1 ) ( )( )u r c r c r r

Tento rychlostní profil by měl v každém časovém kroku splnit počáteční podmínky (pro čas =0), vyjádřené např. dvojicí hodnot c1(0), c2(0), a také Navier Stokesovu rovnici

2 2 4 21 21 2(1 ) ( ) 4 (4 16 )

c cr r r P c c r

a to pro libovolné hodnoty r a pro libovolnou zadanou funkci P()

(1)

NAP8 Přibližné řešení NS rovnicePorovnáním koeficientů u mocnin poloměru r (r0, r2, r4) získáme soustavu obyčejných diferenciálních rovnic

11 24( )

cP c c

1 2216

c cc

2 0c

Eliminace c2() z první rovnice

11

16 4

3 3

cc P

a jejím řešením je16

31 1( ) ( (0) )

4 4

P Pc c e

Funkce c2() plyne z algebraické rovnice vzniklé sečtením předchozích 3 rovnic.

1 20 4 12P c c

2 1

1( ) ( 4 )

12c P c

Lze zkusit například tyto varianty:

a) c2=0 (ignorujeme druhou a třetí rovnici), řešení

b) ignorujeme třetí rovnici a řešíme soustavu 2 rovnic metodou vlastních čísel

c) eliminujeme c2 z prvních dvou rovnic předpokládajíce přibližnou platnost třetí rovnice (přibližně konstantní c2 v řešeném časovém kroku)

V následujícím textu rozebereme variantu c), protože je nejjednodušší:

41( ) (2 (0) )

4 4

P Pc u e

Teď ovšem máme problém, protože jsme získali soustavu tří diferenciálních rovnic pro pouze dvě neznámé c1,c2. A ty tři rovnice jsou lineárně nezávislé, takže přesné řešení (c1(),c2()) asi existovat nebude, můžeme jen hledat přijatelný kompromis.

pro konstantní gradient tlaku P

Limitní případ pro má řešení c1()=-P/4 a c2()=0 což správně odpovídá plně vyvinutému parabolickému rychlostnímu profilu.

NAP8 Vážená residua–přibližné řešení

Na těchto šedivých stránkách je uvedeno alternativní řešení vypočtu koeficientů c1(t), c2(t) metodou vážených reziduí.

Řešení metodou vážených reziduí je možná lepší (konzistentnější) než předchozí heuristické řešení.

NAP8

2 2 4 21 21 2( , ) (1 ) ( ) 4 (4 16 )

c cres r r r r P c c r

Dosazením získáme residuum NS rovnice 2 2 41 2( , ) ( )(1 ) ( )( )u r c r c r r

Funkce c1 c2 musí splňovat podmínku nulového váženého rezidua alespoň pro váhové funkce w1(r)=1 a w2(r)=r, tj. rovnice

03

16)(4

15

2

3

2 0),( 221

211

0

cccPd

dc

d

dcdrrres

11 2

1 2 2

0

1 1( , ) 0 4( ) 8 0

2 6

dc dcres r rdr P c c c

d d

V maticovém zápisu

P

P

c

c

c

c

d

d

2

1

2

1

44

3/44

6/12/1

15/23/2

1 1

2 2

3 7 3

15 45 154

c cd P

c cd

A to už je standardní formulace počátečního problému pro 2 rovnice

Vážená residua–přibližné řešení

NAP8

Z praktického hlediska je možná lepší řešit přímo průtoky2

2 2 41 2 1 2

0

22 4

2 2

0

( ) 2 ( (1 ( ) ) (( ) ( ) )) (3 ( ) ( ))6

( ) 2 (( ) ( ) ) ( )6

R

R

w

r r r Rq c c rdr c c

R R R

r r Rq c rdr c

R R

2 48 8 8( )

5 15 58w w

q qR d R dpg

q qdt dx


Po dosazení původních rozměrových veličin a doplnění zrychlení, které působí proti směru osy x, získáme soustavu dvou obyčejných diferenciálních rovnic pro průtoky

Pro konstantní gradient tlaku lze nalézt řešení evoluce vývoje průtoků v analytickém tvaru (řešením vlastních vektorů a vlastních čísel) jako lineární kombinaci exponenciálních funkcí.

NAP8

Speciální případ kdy gradient tlaku je konstantní a řešení je ustálené

4

4

8 8 8( )

5 15 58

( )8

0

w

w

q R dpg

q dx

R dpq g

dx

q


Je zřejmé, že řešení se redukuje na plně vyvinutý parabolický profil, stěnová složka mizí, a řešení splňuje Hagen Poisseuille zákon pro laminární tok v trubce s kruhovým průřezem.

NAP8 Bernoulliho rovniceZ rychlostního profilu získáme integrací průtok nebo střední objemovou rychlost

Tento výsledek je možné srovnat s analogickým řešením Bernoulliho rovnice

1 13 3 5

1 2

0 0

162 3

1 1

( ) 2 ( , ) 2 ( ( )( ) ( )( ))

( )1 4 ( ) ( ) ( ( ) ) ( (0) )

2 3 9 9 8

u ru r dr c r r c r r dr

c P Pc c e

( ) ( )( ) ( (0) )

8 8m

Bernoulli

P Pu u e

Porovnání výsledků přesného numerického řešení, Bernoulliho rovnice a aproximace radiálního rychlostního profilu polynomem 4-tého stupně je naprogramováno jako MATLABovský program…

kde exponent m=8 odpovídá konstantnímu, zatímco m=4 parabolickému radiálnímu rychlostnímu profilu v nestacionárním členu (du/dt).

NAP8 Bernoulliho rovniceNa počátku každého časového kroku (v čase =0) je obecně třeba zadat kompletní radiální rychlostní profil jako počáteční podmínku. Za předpokladu, že rychlostní profil je parabolický, stačí zadat jen průtok (nebo střední objemovou rychlost), v případě s rychlostním profilem 4 stupně musí být podmínky dvě, např. c1(0) a c2(0), nebo střední objemová rychlost a relativní velikost stěnového průtoku uw, z nichž lze koeficienty c1,c2 snadno spočítat

bezrozměrný poloměr

rychlostní profily pro stejnou

střední objemovou rychlost=1 m/s

1

2

(0) 2 (0)(1 (0))

(0) 6 (0) (0)w

w

c u u

c u u

16

31 1( ) ( (0) )

4 4

P Pc c e

2 1

1( ) ( 4 ( ))

12c P c

21

( )1( ) ( ( ) )

2 3

cu c

2 ( )

( )6 ( )w

cu

u

NAP8 Oscilační tok v trubceZadaný průběh gradientu tlaku , počítají se časové průběhy průtoků qfd (Finite Dif.), qb (Bernoulli), qode (Ordinary Dif.Eq.), včetně matic rychlostních profilů

nt=1501;nr=21;a=zeros(nr);b=zeros(nr);c=zeros(nr);d=zeros(nr);u=zeros(nr);ufd=zeros(nt,nr);uode=zeros(nt,nr);ub=zeros(nt,nr);qfd=zeros(nt);qb=zeros(nt);qode(nt)=0;t=zeros(nt);

tmax=3;dt=tmax/(nt-1);t=linspace(0,tmax,nt);% defince casoveho prubehu gradientu tlakup(1:nt)=-1-3*sin(10*t);r=linspace(0,1,nr);dr=1/(nr-1);dr2=dr^2;

%pocatecni rychlostni profil stabilizovanyfor i=1:nr u(i)=-p(1)/4*(1-r(i)^2);endumean0=-p(1)/8;c10=-p(1)/4;

for i=2:nr-1 a(i)=-(r(i)+r(i-1))/(2*r(i)*dr2); c(i)=-(r(i+1)+r(i))/(2*r(i)*dr2); b(i)=1/dt-a(i)-c(i); endb(1)=1/dt+4/dr2;c(1)=-4/dr2;d(1)=-p(1)+u(1)/dt;a(nr)=0;b(nr)=1;d(nr)=0;u(nr)=0;

for i=1:nt%finite differences for ir=1:nr-1 d(ir)=-p(i)+u(ir)/dt; end u(1:nr)=tridag(a,b,c,d,nr); q=0; for ir=1:nr q=q+u(ir)*r(ir); end q=2*3.141*dr*q; qfd(i)=q; ufd(i,1:nr)=u(1:nr);%bernoulli umean0=(umean0+p(i)/8)*exp(-8*dt)-p(i)/8; qb(i)=umean0*3.141; for ir=1:nr ub(i,ir)=2*umean0*(1-r(ir)^2); end%ODE c1(i)=(c10+p(i)/4)*exp(-16*dt/3)-p(i)/4; c2(i)=(-p(i)-4*c1(i))/12; qode(i)=3.141/2*(c1(i)+c2(i)/3); c10=c1(i); for ir=1:nr uode(i,ir)=c1(i)*(1-r(ir)^2)+c2(i)*(r(ir)^2-r(ir)^4); endend

)10sin(31)( P

NAP8 Oscilační tok v trubceVýsledky jsou znázorněny v grafechfigure(1)plot(t(1:nt),qfd(1:nt),'r',t(1:nt),qb(1:nt),'b',t(1:nt),qode(1:nt),'g')figure(2)hold offfor it=nt-100:50:ntplot(r(1:nr),uode(it,1:nr),'g',r(1:nr),ufd(it,1:nr),'r',r(1:nr),ub(it,1:nr),'b')hold onend

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7q-Bernoulli

2

t

R

*r

rR

q-diference

q-aproximace

NAP8 Přímý Ohmický ohřev

Ardon

Vnitřní (objemové) zdroje tepla vyvolané průchodem elektrického proudu nebo absorpcí mikrovlnného záření

2EQ

NAP8 Ohmický ohřev masa

TECTRA - LMG 95Měření výkonu

Teplotní sondy

REFLEX R232Nortech TS-RX4

MULTIPLEXER AGILENT 20CH 34901A

GPIB

Napájení 50 Hz, konstantní napětí

Rovinné nerezové elektrodyplátek masa

Je to podobný případ jako sušení zrna (podobné rovnice a metody řešení). Při elektrickém ohřevu ale musíme kromě parabolické rovnice vedení tepla (FK rovnice s akumulačním a zdrojovým členem) současně řešit eliptickou rovnici rozložení elektrického potenciálu.

Na obrázku je schema aparatury pro experimentální přímý ohmický ohřev plátku masa (sekaná), který je sevřen mezi nerezovými elektrodami. Napájení 24V, frekvence 50Hz. Měří se elektrický výkon, teploty masa (optická vlákna) a teploty elektrod (termočlánky).

Cílem je stanovení elektrické vodivosti masa a její závislost na teplotě.

Kdyby byl ohřev naprosto rovnoměrný (teploty v každém místě stejné) stačil by jednoduchý integrální model a vyhodnocení elektrické vodivosti přímo z výkonu a teploty (viz dále). Nerovnoměrný ohřev je ale nutné modelovat řešením FK rovnice s proměnným objemovým zdrojem tepla.

NAP8 Ohmický ohřev masa integrální model

Pokud by byla teplota masa všude stejná a intenzita elektrického pole E konstantní, bylo by možné napsat jednoduchou integrální bilanci

210 )()( ETTT

V

S

dt

dTc ap

E

S-povrch, V-objem vzorku

jejímž řešením je exponenciální nárůst teploty

)exp()()( 0 tc

R

R

AT

R

AtT

p

21

20

EV

SR

EV

STA a

Když je R>0 bude rychlost ohřevu klesat, pro R<0 bude exponenciálně růst (akcelerace ohřevu je ovlivněna vysokou teplotní citlivostí elektrické vodivosti , tj. vysokou hodnotou koeficientu 1).

Následující numerické řešení je vlastně jen zpřesnění tohoto integrálního modelu a jeho analytického řešení.

měrná elektrická vodivost rostoucí lineárně s

teplotou

Zanedbání tepelné kapacity elektrod

NAP8 Ohmický ohřev masa numerický model

Schiele

NAP8

2H

z

hk

he

m-maso

T0kontaktní vrstva W × W

W

Geometrie: ohřívaný vzorek masa má tloušťku 2H a příčné rozměry W x W

Experimenty ukazují, že přímý ohmický ohřev je ovlivněn i elektrickým a termickým odporem kontaktní vrstvy, a že elektrické vlastnosti masa i této kontaktní vrstvy závisí nejenom na teplotě, ale i na přítlačné síle elektrod.

Pro jednoduchost budeme vliv kontaktních odporů i efekt působení tlaku zanedbávat.

Předpoklady:

Kontaktní odpor je zanedbatelný, takže teplota masa je stejná jako teplota elektrody v místě kontaktu. Stejný je i elektrický potenciál (zanedbáme elektrickou dvouvrstvu, polarizační efekty, elektrolýzu).

Maso je homogenní, a termofyzikální vlastnosti jsou konstantní. Teplotně závislá je pouze měrná elektrická vodivost.

Povrch masa je chlazen přirozenou konvekcí vzduchem (konstantní teplota vzduchu Ta) a kontaktem s elektrodou (elektroda je rovněž chlazena přirozenou konvekci vzduchem). Elektrická vodivost elektrod (ocel) je tak velká, že potenciál U je v celé elektrodě konstantní a žádný elektrický výkon se v ní negeneruje.

Metoda sítí – ohmický ohřev

NAP8 Metoda sítí – FK rovnice

2 2 2( ) ( ) ( ) ( )(( ) ( ) ( ) )p

T T T T U U Uc T

t z z x x y y z x y

Teplotní pole v mase popisuje FK rovnice se zdrojem tepla, který je úměrný kvadrátu intenzity elektrického pole (což je gradient potenciálu U).

TT 10)(

je měrná elektrická vodivost masa, která závisí lineárně na teplotě

Tuto rovnici je třeba doplnit počátečními podmínkami (konstantní teplota T0 v čase 0) a okrajovými podmínkami (přestup tepla na povrchu vzorku a teplota elektrod na ploškách z=0 a z=2H).

Rozložení teplot na povrchu elektrod je třeba stanovit současným řešením FK rovnice v elektrodách, ale tentokrát bez objemového zdroje tepla.


22

2

))(()(4

z

UTTT

Wz

T

t

Tc ap

3D řešení s 3D sítí uzlových bodů je časově náročné (cílem je identifikace parametrů 0 a 1 a optimalizační algoritmus bude tudíž vyžadovat opakované řešení této diferenciální rovnice). Je tudíž žádoucí formulaci zjednodušit převedením na 1D problém. Zbavit se derivací x,y v příčném směru lze integrací FK rovnice přes celý průřez (teplota T(t,x,y,z) je po integraci nahrazena střední teplotou v místě z T(t,z)). Zanedbáme teplotní závislost tepelné vodivosti a složky intenzity elektrického pole v příčném směru (na povrchu, který je elektricky izolovaný, i v ose musí být U/x i U/y nulové).

)( TTx

Ta

Tento člen vznikne integrací druhých derivací ve směrech x a y a použitím okrajových podmínek typu

x

y

z

W

WPoznámka: Techniku redukce dimenze problému integrací 3D rovnic přes méně důležité rozměry jste použili v předmětu Tepelné procesy nebo Přenos hybnosti, tepla a hmoty např. při stanovení teplotního profilu podél chladicího žebra nebo při převodu Prandtlových rovnic mezní vrstvy na Karmánovy integrální rovnice.


2 2

20 1

4( )p a

T T Ic T T

t z W T

220 1 0 1

2 20 1 0

( 2 )4( )

( )p a

I T TT Tc T T

t z W T

Objemový zdroj tepla je vyjádřen intenzitou elektrického pole (dominantní složkou U/z), která se podél souřadnice z mění (mění-li se teplota a tedy i elektrická vodivost). Alternativně lze tento člen vyjádřit pomocí hustoty elektrického proudu I [A/m2], která se dle souřadnice z nemění, závisí jen a pouze na čase

V takto formulované FK rovnici se vyskytuje pouze teplota (a ne elektrický potenciál). Nelinearitu zdrojového členu lze odstranit linearizací (ověřte Taylorovým rozvojem vzhledem k teplotě T0):

Hustotu elektrického proudu I (i když je konstantní) je třeba stanovit v každém časovém kroku řešením Laplaceovy rovnice elektrického potenciálu

0))((

z

UT

z

NAP8

Rámcové schéma numerického řešení (vývojový diagram)

Čtení geometrie a měřených dat (časy, výkony, teploty)

Použití algoritmu Nelder Mead pro minimalizaci součtu čtverců

odchylek numerické predikce (podprogram MODEL)

a měřených teplot a výkonů.Optimalizované parametry jsou 0 1

Hlavní program Podprogram MODEL

Počáteční podmínky (teploty a potenciál ve všech uzlech)

Cyklus časových kroků

Cyklus iterací

Sestavení a řešení soustavy rovnic pro teplotní pole

Sestavení a řešení soustavy rovnic pro elektrický potenciál

Výpočet hustoty proudu I

Konec iterací

Konec cyklu časových kroků

Metoda sítí – program

NAP8 Metoda sítí – diskretizace FK

2 000 1 1

2 0 20 1

2 ( 2 )4( )

( )W P E P PP P

p a PP

T T T I T TT Tc T T

t h W T

Jednoduchá geometrie je dobrý předpoklad pro použití metody sítí nebo metody kontrolních objemů. Vzhledem k symetrii stačí řešit teplotní a potenciálové pole v intervalu z:<0,H>, který pokryjeme sítí N ekvidistantních uzlů. Každému uzlu přiřadíme teplotu TP a potenciál UP.

V metodě sítí požadujeme, aby v každém uzlu byla splněna příslušná diferenciální rovnice (počet podmínek je potom stejný jako počet neznámých). První a druhé derivace v diferenciálních rovnicích se nahradí konečnými diferencemi (numerickou aproximací derivací v bodě). Pro uzly P=2,3,…,N tudíž píšeme algebraické rovnice pro triádu sousedních teplot TW TP TE na nové hladině času

1 2 3 W P E N-1 N

Hh

NAP8 Metoda sítí – diskretizace FKSdružením členů u neznámých TW TP TE vyjádříme koeficienty soustavy rovnic s tridiagonální maticí

0 2 020 11

2 0 2 2 2 0 20 1 0 1

4 ( 2 )2 4[ ]

( ) ( )p p P a P

P W EP P

c c T T I TIT T T

t h W T h h t W T

bP cPaP dP

Tuto rovnici píšeme i pro uzel na ose, tj. pro P=N, s tím, že TE=TW=T=TN-1N-1, čímž , čímž

aplikujeme i okrajovou podmínku symetrie v ose (aplikujeme i okrajovou podmínku symetrie v ose (T/z=0). Okrajovou podmínku na elektrodě (P=1) je ovšem nutné vyjádřit jinak, ne metodou sítí (konečných diferencí), ale kontrolních objemů.

Metodu konečných diferencí lze použít v takových uzlech, kde je víceméně hladký průběh řešení, a kde nejsou výrazné nespojitosti koeficientů řešené diferenciální rovnice. Pokud to tak není, je vhodnější použít metodu kontrolních objemů, která vyšetřovanou oblast rozdělí na menší podoblasti (kontrolní objemy) z nichž každý obklopuje „svůj“ uzlový bod. Místo požadavku na splnění diferenciální rovnice v izolovaném uzlu se požaduje splnění diferenciální rovnice v „průměru“, ve smyslu integrální bilance kontrolního objemu.

NAP8

Kontrolní objem, který přiřadíme uzlu číslo 1 zahrnuje nalevo elektrodu, v pravé části maso. Z pravé části vtéká do kontrolní objemu entalpický tok T/z, z levé části odtéká tok povrchem elektrody. Jistá komplikace je v tom, že povrch elektrody Ae je větší než je průřez ohřívaného masa A=W2 a kontrolní objem má i svou tepelnou kapacitu, v níž převažuje tepelná kapacita elektrody. Velmi přibližnou integrální bilanci tohoto kontrolního objemu můžeme vyjádřit takto

2 00 1 1

0 20 1

( 2 )( ) ( )

2( )e e e

p e e a

h A A hI T TT Tc T T

A t z A T

Nahrazením derivací diferencemi získáme analogon (integrální bilanci kontrolního objemu)

Metoda sítí – diskretizace FK

0 2 021 0 1 11

1 20 2 0 20 1 1 0 1 1

( ) ( ) ( 2 )[ ]

2( ) 2( )p e e p e e ee e e e a

e

c h c h ATA A AT hI ThIT T

t A h A T h A t A T

tepelná kapacita elektrody vztažená

k průřezu masa

tepelné ztráty povrchem elektrody

b1c1 d1

he

1 2 3

NAP8

Okrajová podmínka na elektrodě bude asi největším zdrojem nepřesností numerické predikce, protože je založena na předpokladech, které zcela určitě nejsou splněny: například teplota elektrody není stejná, protože součinitel teplotní vodivosti není nekonečně velký (u nerezové oceli je docela malý cca 15 W/m/K). Asi by tedy nebylo správné uvažovat celkovou tepelnou kapacitu elektrody, ale jen její část (redukcí povrchu elektrody Ae). Nejistoty se týkají i součinitele přenosu tepla z povrchu elektrody do okolního vzduchu – jde o přirozenou konvekci. Nejistoty související s odhadem se ovšem týkají i chlazení povrchu masa, na horizontálním a na vertikálním povrchu určitě nebude stejné. V následujícím programu bude použita korelace, kterou navrhl Churchill


))(3.102.0(1

40

3 TTWWa

NAP8

Diskretizace rovnice pro elektrický potenciál i okrajové podmínky jsou mnohem jednodušší


0))((

z

UT

z W P E

0)( wweEweP UUU

2

2

10

10

WPw

EPe

TT

TT

kde

0

2/1

N

rms

U

UU

Na elektrodě předepíšeme přímo polovinu napájecího napětí (střední hodnotu u napětí střídavého) a v ose symetrie nulu

NAP8 Program MATLAB

Feininger

NAP8 Ohmický ohřev MATLAB

function [vtime,vtemean,vtmmean,vpower] = fmeat ...(h,w,u,he,ae,rkm0,rkm1,rlamm,n,tmax,ntime,ta,tinit)

%% h - tloustka vzorku [m]% w - prurez vzorku W x W [m]% u - napeti [V] (rozdil potencialu na elektrodach)% he - tloustka elektrody% ae - pomer plochy elektrody a prurezu vzorku% rkm0,rkm1 - koeficienty el.vodivosti masa kappa=rkm0+rkm1*T% rlamm - tepelna vodivost masa% N -celkovy pocet uzlu (uzel N na ose symetrie)% tmax -max.cas% ntime-pocet casovych kroku% Ta - teplota vzduchu (okoli) ve stupnich Celsia% Tinit(N) - pocatecni rozlozeni teplot%% Vystupy:% vtime(ntime) - casy simulace% vtemean(ntime),... - stredni teplot v elektrode, a v mase% vpower(ntime),... - dissipovane vykony [W]%% numericka simulace % prostorove kroky a fixni hodnoty

dz=double(h/(n-1));dt=double(tmax/(ntime-1));rhom=980.;cpm=2700.;rlame=15.0;rhoe=7800.0;cpe=460.0;

% pocatecni profil teplot a vodivosti for i=1:n tv0(i)=tinit(i); end% pocatecni profil rozlozeni napeti resenim tridiagonalni soustavy av(1:n)=0; bv(1:n)=1; cv(1:n)=0; dv(n)=0; dv(1)=u/2; for i=2:n-1 tm2=(tv0(i-1)+tv0(i))/2; tp2=(tv0(i+1)+tv0(i))/2; dv(i)=0; rm2=(rkm0+rkm1*tm2); rp2=(rkm0+rkm1*tp2); av(i)=-rm2; cv(i)=-rp2; bv(i)=rm2+rp2; end uv0=tridag(av,bv,cv,dv,n);% Prekopirovani pocatecniho rozlozeni teplot a napeti

uv=uv0;tv=tv0;

% hustota elektrickeho proudu [A/m^2] cur=(uv(3)-uv(2))/dz*(rkm0+rkm1*(tv(3)+tv(2))/2);

Funkce fmeat, která popisuje numerickou predikci teplot i výkonů

řešení soustavy n-rovnic s tridiagonální maticí

soustavy

av-vektor pod diagonálou, bv-vektor diagonálních prvků a cv vektor prvků nad diagonálou matice

soustavy


% Cyklus casovych krokufor it=1:ntime vtime(it)=double(dt*(it-1));% cyklus iteraci na jedne hladine casu for iterat=1:2% Teplotni profil for i=2:n-1% maso alpha=(0.02+1.3*(w^3*(tv(i)-ta))^0.25)/w; av(i)=-rlamm/dz^2; cv(i)=-rlamm/dz^2; bv(i)=rhom*cpm/dt+2*rlamm/dz^2+4/w*alpha+cur^2*rkm1/(rkm0+rkm1*tv(i))^2; dv(i)=rhom*cpm*tv0(i)/dt+4/w*alpha*ta+cur^2*(rkm0+2*rkm1*tv(i))/(rkm0+rkm1*tv(i))^2; end% Rovnice v ose alpha=(0.02+1.3*(w^3*(tv(n)-ta))^0.25)/w; av(n)=-2*rlamm/dz^2; cv(n)=0; bv(n)=rhom*cpm/dt+2*rlamm/dz^2+4/w*alpha+cur^2*rkm1/(rkm0+rkm1*tv(n))^2; dv(n)=rhom*cpm*tv0(n)/dt+4/w*alpha*ta+cur^2*(rkm0+2*rkm1*tv(n))/(rkm0+rkm1*tv(n))^2;% Rovnice elektrody - korekce na odpor (zda se nevyznamna) alphae=(0.02+1.3*(w^3*(tv(1)-ta))^0.25)/w; alpha=1/(1/alphae+he/rlame); cv(1)=-rlamm/dz; bv(1)=rhoe*cpe*he*ae/dt+rlamm/dz+alpha*ae; av(1)=0; dv(1)=tv0(1)*rhoe*cpe*he*ae/dt+alpha*ae*ta;% Nova iterace teplot na hladine it tv=tridag(av,bv,cv,dv,n);

% Nove rozlozeni potencialu av(1:n)=0; bv(1:n)=1; cv(1:n)=0; dv(1)=u/2; dv(n)=0; for i=2:n-1 tm2=(tv(i-1)+tv(i))/2; tp2=(tv(i+1)+tv(i))/2; dv(i)=0; rm2=(rkm0+rkm1*tm2); rp2=(rkm0+rkm1*tp2); av(i)=-rm2; cv(i)=-rp2; bv(i)=rm2+rp2; end

uv=tridag(av,bv,cv,dv,n); cur=(uv(2)-uv(3))/dz*(rkm0+rkm1*(tv(3)+tv(2))/2);% konec cyklu iterace na hladine IT end% vyhodnoceni strednich teplot v casovem kroku itime tmm=0;% vyhodnoceni strednich vykonu (kontakt, maso / Watty) for i=1:n tmm=tmm+tv(i); end vtemean(it)=tv(1); vtmmean(it)=tmm/n; vpower(it)=cur*u*w^2;% konec cyklu casovych kroku - nova casova hladina tv0=tv; uv0=uv; endend

… pokračování funkce fmeat

elegantnější by bylo omezit počet iterací testováním rozdílu

vypočtených proudových hustot (while…). Mně se zdá, že 2 iterace

úplně stačí…

s tou rovnicí teplot elektrody je možné si

pohrát a zkoušet různé varianty…


function u = tridag(a,b,c,r,n) bet=b(1); u(1)=r(1)/bet; for j=2:n gam(j)=c(j-1)/bet; bet=b(j)-a(j)*gam(j); u(j)=(r(j)-a(j)*u(j-1))/bet; end for j=n-1:-1:1 u(j)=u(j)-gam(j+1)*u(j+1); end

… pro řešení soustavy rovnic s tridiagonální maticí soustavy byla použita pomocná procedura tridag

nnnn r

r

r

r

u

u

u

u

ba

cba

cba

cb

......

0...0

...

00

00

0...0

3

2

1

3

2

1

333

222

11


function sumsq = fdev(p,h,w,u,he,ae,rlamm,n,ta,wel,wmeat,wpower,ndata,timdata,teldata,tmdata,powerdata)% vypocet odchylek modelu - teplot i vykonu pro konkretni experiment% sumsq - soucet ctvercu odchylek% vstupy% p(1)=rkm0, p(2)=rkm1% wel,wmeat,wpower - vahove koeficienty pro soucet ctvercu% ndata pocet casovych kroku v datech% timdata(1:ndata) casy (predpoklad ekvidistantni vzorkovani)% teldata(1:ndata) teploty elektrod% tmdata(1:ndata) teploty masa (nebo sondy uprostred)% powerdata(1:ndata) vykon ve watech celkovytmax=timdata(ndata)-timdata(1);dtdata=tmax/(ndata-1);nmult=10;dt=dtdata/nmult;ntime=tmax/dt+1;% provedeni simulace pro pocatecni podminky teplot tinit(1)=teldata(1);for i=2:n tinit(i)=tmdata(1);end[vtime,vtemean,vtmmean,vpower] = fmeat (h,w,u,he,ae,p(1),p(2),rlamm,n,tmax,ntime,ta,tinit);sumsq=0;iv=0;for i=1:nmult:ntime iv=iv+1; sumsq=sumsq+wel*(vtemean(i)-teldata(iv))^2; sumsq=sumsq+wmeat*(vtmmean(i)-tmdata(iv))^2; sumsq=sumsq+wpower*(vpower(i)-powerdata(iv))^2;endend

Funkce fdev počítající odchylku predikce modelu a experimentálních dat

numerické řešení bude prováděno s 10x menším časovým krokem než je

vzorkování dat. To je otázka přesnosti-třeba vyzkoušet.

NAP8 Ohmický ohřev MATLABSkript čtení dat a volání optimalizační funkce fminsearch aplikované na fdev

% Fixni data h=0.01; w=0.02; u=24; he=0.002; ae=2; rlamm=0.71;% parametry site, a casovy krok n=101; tmax=50; ntime=101;% teploty ta=30; t0=30;% experimentalni data t, te,tm,power rdata=load('fmeat.load');% vahy wel=.1; wmeat=.1; wpower=1; [pnew,sums,exitflag]=fminsearch(@(x)fdev(x,h,w,u,he,ae,rlamm,n,ta,wel,wmeat,wpower,length(rdata),rdata(:,1),rdata(:,2),rdata(:,3),rdata(:,4)),[0.2,0.03])

0.000e+000 3.029e+001 3.075e+001 1.762e+001 5.000e-001 3.073e+001 3.140e+001 1.785e+001 1.000e+000 3.058e+001 3.198e+001 1.805e+001 1.500e+000 3.078e+001 3.157e+001 1.805e+001 2.000e+000 3.045e+001 3.203e+001 1.825e+001 2.500e+000 3.046e+001 3.331e+001 1.820e+001 3.000e+000 3.118e+001 3.337e+001 1.876e+001 3.500e+000 3.119e+001 3.334e+001 1.871e+001 ….

Vzorek dat souboru fmeat.load (čas, teploty

elektrod a masa, příkony…)

pnew je vektor identifikovaných

parametrů masa 0 1

počáteční odhadyindikátor úspěšnosti

fminsearch (překročení max. počtu kroků…)

použití anonymní funkce, viz. druhá přednáška NAP2

menší váha je přiřazena teplotám – věříme víc

predikovaným výkonům