Sumário EQUAÇÃO GERAL DA RETA ................................................................................................................................. 2
Casos especiais .................................................................................................................................................... 2
Determinação da equação geral de uma reta a partir de dois de seus pontos .................................................. 2
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 2
Determinação do ponto de intersecção entre duas retas .................................................................................. 3
EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA ........................................................................................................................... 3
Coeficientes da equação reduzida ...................................................................................................................... 3
Determinação da equação reduzida de uma reta .............................................................................................. 3
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 4
POSIÇÃO RELATIVA ENTRE DUAS RETAS DO PLANO CARTESIANO ..................................................................... 4
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 4
OUTRAS FORMAS DE EQUAÇÃO DE RETA ........................................................................................................... 5
Equação segmentária .......................................................................................................................................... 5
Equação paramétrica .......................................................................................................................................... 5
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 5
DISTÂNCIA ENTRE UMA RETA E UM PONTO FORA DELA ................................................................................... 5
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 5
GABARITO ........................................................................................................................................................... 5
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 5
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 2
AULA 01
EQUAÇÃO GERAL DA RETA
A toda reta de um plano cartesiano xOy, com 0, 0O ,
está associado a uma equação do tipo
0ax by c
Em que , ,a b c , 0a ou 0b e ,x y
representa um ponto qualquer desta reta.
Obs.1: Um ponto pertence a uma reta se, e somente se,
ele for uma das soluções de sua equação geral.
Casos especiais
• 0a
Quanto 0a temos que independentemente do
valor de x o valor de y será igual a c
yb
, assim a
reta representada por essa equação terá o valor de
y constante para todo x . Isto fica
representado no plano cartesiano por uma reta
perpendicular ao eixo Oy , conforme representa a
figura a seguir.
Obs.2: Nesses casos as retas são chamadas de retas
horizontais.
• 0b
Quanto 0b temos que independentemente do
valor de y o valor de x será igual a c
xa
, assim a
reta representada por essa equação terá o valor de
x constante para todo y . Isto fica
representado no plano cartesiano por uma reta
perpendicular ao eixo Ox , conforme representa a
figura a seguir.
Obs.3: Nesses casos as retas são chamadas de retas
verticais.
Determinação da equação geral de uma
reta a partir de dois de seus pontos Uma equação geral da reta que passa pelos pontos
,a aA x y e ,b bB x y pode ser obtida pela condição
de alinhamento de um ponto qualquer, ,x y , do
plano e os pontos A e B, ou seja, uma equação geral
da reta que passa pelos pontos A e B é dada por
1
1 0
1
a a
b b
x y
x y
x y
Obs.4: Uma equação geral também pode ser obtido
pela regra prática apresentada em “O estudo do
ponto”.
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS
1.1. Verifique se os pontos 2, 3A e 4, 5B
pertencem a reta r de equação 2 3 5 0x y
1.2. Represente em um plano cartesiano xOy, com
0, 0O , a reta dada por cada uma das equações a
seguir.
a) 3 2 6 0x y
b) 2 5 0x y
c) 2 6 0x
d) 6 9 0y
1.3. Determine uma equação geral da reta que passa
pelos pontos 2, 3A e 1, 1B .
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1.4. Calcule a área do triângulo determinado pela reta
de equação 2 3 18 0x y e os eixos
coordenados.
1.5. Determine uma equação geral da reta suporte da
mediana AM do triângulo de vértices 1, 2A ,
2, 5B e 4, 3C .
AULA 02
Determinação do ponto de intersecção
entre duas retas Todo ponto de intersecção entre duas retas tem que
satisfazer as equações das duas retas, portanto para
determinar o ponto de intersecção entre duas retas
basta resolver o sistema formado pelas equações das
mesmas.
EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA Uma equação geral de uma reta pode ser reescrita na
forma a c
y xb b
, sempre que 0b . Se
substituirmos a
b por m e
c
b por n, teremos a
equação reduzida da reta, que será escrita como
segue.
y mx n
Coeficientes da equação reduzida • Coeficiente angular (m)
O coeficiente angular, ou declividade da reta, tem
relação com o ângulo formado entre a reta e o
semieixo positivo das abscissas conforme ilustra a
figura a seguir.
O coeficiente angular de uma reta pode ser obtido a
partir de uma das seguintes fórmulas:
➢ a
mb
, quando fornecido uma equação
geral da reta
➢ b a
b a
y y ym
x x x
, quando fornecidos dois
pontos da reta
➢ tgm , quando fornecido a medida do
ângulo formado pelo semieixo positivo das abscissas
e a reta.
• Coeficiente linear (n)
O coeficiente linear representa onde a reta corta o
eixo das ordenadas, ou seja, o ponto 0, n sempre
pertence a reta dada.
Determinação da equação reduzida de
uma reta A determinação da equação reduzida de uma reta é
usualmente feita de duas formas.
• A partir de uma equação geral
Para determinar a equação reduzida a partir
da equação geral basta isolar a variável y da
mesma.
• A partir de um ponto 0 0,x y e do
coeficiente angular m.
Para determinar a equação reduzida de uma
reta basta utilizar a seguinte fórmula
TAREFA 1 – No capítulo “O estudo da reta” fazer as
questões do Praticando em Sala de Aula (PSA) de 1 a 13.
Determinação da equação geral
Perceba que para determinar a equação
geral de uma reta basta conhecer dois de seus
pontos e utilizar a condição de alinhamento. Assim,
quando uma questão solicitar a determinação da
equação geral de uma dada reta, procure primeiro
determinar dois de seus pontos.
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0 0y y m x x
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 2.1 Determine a equação reduzida da reta de
coeficiente angular 2 e que passa pelo ponto
0, 3 .
2.2 Determine a equação reduzida da reta que passa
pelos pontos 1, 2 e 1, 3 .
2.3 Determine a equação reduzida da reta que forma
um ângulo de medida 150° com o semieixo positivo
das abscissas e passa pelo ponto 2, 3 .
2.4
AULA 03
POSIÇÃO RELATIVA ENTRE DUAS RETAS
DO PLANO CARTESIANO Para o estudo das posições relativas entre duas retas
no plano cartesiano, vamos utilizar a forma reduzida
da equação da reta. Devemos lembrar que existem
três possibilidades de posições relativas entre duas
retas coplanares, são elas: coincidentes, paralelas e
concorrentes. Nos casos de retas concorrentes elas
podem ser perpendiculares ou oblíquas.
Considere duas retas não verticais, r e s, de equações
reduzidas r ry m x n e s sy m x n ,
respectivamente. A posição relativa entre essas duas
retas pode ser determinada analisando a tabela a
seguir.
Posição relativa Relações entre coeficientes
Coincidentes r s
r s
m m
n n
Paralelas r s
r s
m m
n n
Concorrentes oblíquas
1
r s
r s
m m
m m
Concorrentes perpendiculares
1r sm m
Obs.5: Uma reta vertical será paralela ou coincidente
com outra vertical e perpendicular com as retas
horizontais. Nesses casos a análise da posição relativa
é feita diretamente pela representação gráfica.
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 3.1. Demonstre que duas retas : r rr y m x n e
: s ss y m x n são perpendiculares se, e somente se,
1r sm m .
3.2. Determine a equação da reta paralela à reta
2 3 6 0x y e que passa pelo ponto 1, 2 .
3.3. Determine a equação da reta suporte da altura
relativa ao vértice A do triângulo de vértices 2, 3A ,
0, 0B e 1, 2C .
3.4. Considere um triângulo ABC de vértices 2, 1A ,
1, 3B e 3, 7C . Determine a medida da altura
relativa ao vértice B.
TAREFA 2 – No capítulo “Equação reduzida, coeficiente
angular e coeficiente linear” fazer as questões do
Praticando em Sala de Aula (PSA) 1, 3, 5, 7, 8, 10 e 12.
TAREFA 3 – No capítulo “Posições relativas entre duas
retas no plano” fazer as questões do Praticando em Sala
de Aula (PSA) 1, 2, 5, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 19 e 20.
Perpendicular, paralelo e equação da reta
Uma possível caminho para determinar a
equação reduzida de uma reta é conhecer um de seus
pontos, o coeficiente angular e utilizar 𝒚 − 𝒚𝟎 =
𝒎(𝒙 − 𝒙𝟎). Assim, quando for solicitado a equação
de uma reta paralela ou perpendicular a outra,
utilize a condição de perpendicularismo ou
paralelismo para obter o coeficiente angular e
obtendo mais um ponto você será capaz de obter a
equação da reta.
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AULA 04
OUTRAS FORMAS DE EQUAÇÃO DE RETA
Equação segmentária Uma reta que intersecta os eixos coordenados nos
pontos , 0P p e 0,Q q pode ter sua equação
escrita na forma
1x y
p q
Essa forma de escrever a equação é denominada
equação segmentária.
Equação paramétrica Quando as abscissas e as ordenadas dos pontos de
uma reta são escritas em função de um parâmetro
real t, essa reta terá sua equação escrita na forma
paramétrica, conforme segue.
, com
x tt
y t
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 4.1. Reescreva a equação de reta 2 3 12 0x y nas
formas reduzida e segmentária.
4.2. Reescreva a equação de reta 2 1
,3
x tt
y t
na
forma geral.
4.3. Calcule a área do triângulo determinado pela reta
de equação 2 3 18 0x y e os eixos coordenados.
AULA 05
DISTÂNCIA ENTRE UMA RETA E UM
PONTO FORA DELA A distância entre uma reta e um ponto fora dela é a
medida do segmento de reta perpendicular à reta
com extremidades na reta e no ponto dado. Dados
uma reta : 0r ax by c e um ponto 0 0,A x y ,
fora dessa reta, a distância entre o ponto A e a reta r
pode ser calculada por
0 0
, 2 2A r
a x b y cd
a b
.
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 5.1. Calcule, em cada item a seguir, a distância entre o
ponto e a reta fornecidas.
a) 1, 2A e :3 4 7 0r x y
b) 3, 0A e :2 3 7 0r x y
5.2. Considere um triângulo ABC de vértices 2, 1A ,
1, 3B e 3, 7C . Determine a medida da altura
relativa ao vértice B.
GABARITO
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS
1.1. A r e B r
1.2.
a) Gráfico
b) Gráfico
c) Gráfico
d) Gráfico
1.3. 2 3 5 0x y
1.4. 27
1.5. 1 0x
2.1. 2 3y x
TAREFA 6 – No capítulo “Distância entre ponto e reta”
fazer as questões do Praticando em Sala de Aula (PSA)
de 1 a 5, 7, 8 e 13.
TAREFA 4 – No capítulo “Interseção de duas retas e
equação segmentária” fazer as questões do Praticando
em Sala de Aula (PSA) 6, 7, 8, 10, 11, 12 e 14.
TAREFA 5 – No capítulo “Equações paramétricas de
uma reta” fazer as questões do Praticando em Sala de
Aula (PSA) de 1 a 6.