O Modelo Atômico de Bohr
A estrutura do átomo revelada.
O Espectro Atômico
Hidrogênio
Hélio
Mercúrio
Radiação Contínua
O Espectro AtômicoA assinatura do átomo
Produção e observação do espectro: Descarga elétrica passa através de gás
monoatômico contido em um tubo. Colisões com elétrons e mesmo entre si
levam os átomos a energias mais altas. Ao retornarem para o estado normal os
átomos liberam esse excesso de energia na forma de radiação eletromagnética.
Ao passar por uma rede de difração (ou prisma) o espectro é separado em seus comprimentos de onda e registrado em uma placa fotográfica para medição.
A natureza do espectro atômico: Ao contrário do espectro contínuo emitido
por corpos sólidos a altas temperaturas, o espectro atômico revela-se como um conjunto discreto de comprimentos de onda.
Emissão característica: Átomos de diferentes elementos
revelam espectros discretos específicos. Informação de grande importância
prática na identificação atômica. Contudo apresenta em geral grande
complexidade com espectros de centenas de linhas.
O átomo de HidrogênioA Série de Balmer
O espectro atômico do Hidrogênio O espectro do H é o mais simples. Parte do espectro característico do H se
localiza na região do visível. Observa-se que os ’s diminuem em
separações cada vez menores, indicando uma série que converge para um valor limite 0= 364,56 nm.
J. Balmer (1885) estabeleceu empiricamente a fórmula que reproduz os valores da série de linhas para n= 3, 4, 5 ...
42
2
0 n
n
A fórmula de Rydberg J.R. Rydberg (1890) desenvolveu
uma forma mais conveniente de expressar as séries em termos do recíproco do comprimento de onda ( = 1/)
Para a série de Balmer:
RH= (10.967.757 1) m-1 (por medidas espectroscópicas)
22
1
2
11
nRH
O Átomo de BohrModelo para o átomo de um elétron
Os postulados de Bohr (1913)1. O elétron orbita o núcleo em
movimento circular sob a ação da força coulombiana conforme as leis da mecânica clássica.
2. Só é possível ao elétron mover-se em órbitas para as quais o seu momento angular seja múltiplo inteiro de ћ (h/2).
3. Apesar do elétron estar constantemente acelerado, ele não irradia.energia eletromagnética na órbita permitida .
4. Radiação eletromagnética só é liberada quando o elétron “salta” de forma descontínua de uma órbita com energia Ei para outra com energia Ef, tal que a frequência da radiação emitida é dada por: = (Ei – Ef)/h.
Desenvolvimento do modelo Núcleo: carga +Ze e massa M Elétron: carga –e e massa m (m << M)
em órbita circular de raio r. Fc= mv2/r = (1/40).Ze2/r2 L= mvr= cte. Quantização: L= n.ћ (n= 1, 2, 3 ...)
Raio e velocidade das órbitas
Energia total E= U + K
2
22
04mZe
nr
n
Ze2
04
1v
r
ZeU
0
2
4
r
ZeK
0
2
8
A solução de BohrÁtomo nuclear estável e espectro explicados
Níveis discretos de energia
O Espectro atômico discreto Salto quântico do nível ni nf
Constante de Rydberg calculada pelo modelo para o H, com os valores conhecidos das constantes universais:
2220
42 1
2)4( n
emZEn
223
422
0
11
44
11
if
fi
nnc
emZ
hc
EE
c
22
2 111
if nnZRk
mch
meR 7
320
4
10096897,18
A solução de BohrA precisão do modelo para o átomo de Hidrogênio
Núcleo de massa finitaAté para o H (M 2000.m), a aproximação M é bastante razoável.
Contudo pode-se adotar a correção de massa finita do núcleo com (M 1836.m), substituindo o valor da massa do elétron pela sua massa reduzida nas equações:
m.M/(m+M) A Cte. de Rydberg corrigida:
RM R./m= 10.968.100 m-1
Valor que concorda com dados de medidas espectroscópicas em cerca de 3 partes por 100.000!RH= (10.967.757 1) m-1
Como apresentado antes.
O caso do Deutério (D) Isótopo do H com 1 neutron: MD 2M Produz um deslocamento das linhas ()
do espectro para valores ligeiramente menores.
Linha H (vermelha) da série de Balmer para D:
O Experimento de Franck-HertzComprovação independente dos estados quantizados de energia do átomo
J. Franck e G. Hertz (1914) Tradução comentada - Copyright ©
Michael Richmond
Simulação do Experimneto de Franck-Hertz
Generalização das Regras de Quantização
Casos particularesPlanck: E= nh Bohr: L= nћ
Regras de Wilson e Sommerfeld (1916) Para todo sistema físico, cujas coordenadas
sejam funções periódicas do tempo, a condição de quantização de cada
coordenada ser tal que:
Sendo q a coordenada em questão e pq o momento associado a q.
Integração sobre um ciclo da coordenada.
hndqp qq
• Caso do OHS unidimensionalPartícula submetida a uma força tipo: F= -kx
Energia total:E= K + V
Neste caso:
e como
Temos finalmente:
Reproduzindo a Lei de quantização de Planck.
2
.
2
22 xk
m
pE x
nhmk
Edxpx
2
2mk
nhE
Generalização das Regras de Quantização
• Caso da partícula em órbita circularElétron atômico em órbita de raio r.
Momento angular: L= mvr= cte.
Neste caso:
Assim:
Temos finalmente:
Reproduzindo a lei de quantização de Bohr.
• Interpretação de de Broglie (1924)Para a regra de quantização de Bohr.
L= mvr = pr = nh/2πmas, p= h/λB
então: 2πr= nλB (n= 1, 2, 3 ...)
As órbitas permitidas, aos elétrons atômicos, são aquelas para as quais a circunferência contém, exatamente um número inteiro de comprimentos de onda de de Broglie.
Lddqpq
nhLdL
22
0
2
hnL
As ondas de de Broglie e as órbitas de Bohr
O Modelo de SommerfeldA estrutura fina do átomo de hidrogênio
Órbitas elípticasSemi-eixo maior: a
Semi-eixo menor: b
Distância entre focos: F1-F2= 2c
Excentricidade: e= c/a
Regras de Quantização
E uma 3ª equação p/força centrípeta.
...)3,2,1( nnLhnLd
...)3,2,1,0()1/( rrrr nnbaLhndrp
O Modelo de SommerfeldA estrutura fina do átomo de hidrogênio
A solução de Sommerfeld Forma e tamanho das órbitas:
Números quânticos:
n= nθ + nr
(principal)
nθ= 1, 2, 3 ...n (azimutal)
Energia total:
Estados degenerados de energia (mesmo n). Ou seja, mesma energia para diferentes órbitas com mesmo nº quântico principal.
n
nab
Ze
na
2
22
04
2220
42
2
1
4 n
eZE
O Modelo de SommerfeldRemovendo a degenerescência
Correção relativísticas da me
Cálculo de Bohr mostrou que: v/c ≈ 10-2
produz correções de ≈ (v/c)2 em me e E
Que é da ordem (10-4) de separação das linhas de estrutura fina, observadas no espectro do hidrogênio!
Velocidade média dos elétronsDependerá da elipcidade da órbita (nθ)
Recalculando a Energia total:
Onde,
É a constante de estrutura fina.
A estrutura fina do hidrogênio
As transições observadas são representadas pelas setas de linha cheia.
Transições permitidas são definidas pela seguinte regra de seleção:
nθi – nθf = 1
nnn
Z
n
eZE
4
311
2
1
4
22
2220
42
137
110297,7
4
1 32
0
c
e
O Princípio da CorrespondênciaUma justificativa para as regras de seleção
Enunciado de Bohr (1923)1. As previsões da teoria quântica para o comportamento de
qualquer sistema físico deve corresponder às previsões da física clássica no limite em que os números quânticos que especificam o estado do sistema se tornem muito, muito grandes.
2. Uma regra de seleção deve ser verdadeira para toda a faixa do número quântico considerado. Assim, qualquer regras que sejam necessárias para obter a correspondência no limite clássico (n grande) se aplica igualmente no limite quântico (n pequeno).