Probleme pregatitoare pentru O.B.M si O.I.M
Profesor pregatitor: Ce‡a∇Lu√u
Materia: ALGEBRA
Problema 1. Fie a, b, c > 0 astfel ıncat a+ b+ c ≥ abc. Sa se arate ca
a2 + b2 + c2 ≥ abc√
3.
OBM 2001
Problema 2. Sa se arate ca, oricare ar fi numerele reale pozitive a, b, c esteadevarata inegalitatea:∑
cyc
(b+ c− a)(c+ a− b) ≤√abc(√a+√b+√c).
Baraj OIM 2000
Problema 3. Fie a1, a2, . . . , an numere ıntregi pozitive distincte. Sa searate ca
a21 + a2
2 + . . .+ a2n ≥
2n+ 13
(a1 + a2 + . . .+ an).
Problema 4. Fie a, b, c trei numere reale pozitive. Sa se arate ca
a+ b+ c
3− 3√abc ≤ max{(
√a−√b)2; (
√b−√c)2; (
√c−√a)2}.
USA TST 2000
Problema 5. Fie a, b, c numere reale strict pozitive astfel ıncat abc = 1. Sase arate ca
1a3(b+ c)
+1
b3(c+ a)+
1c3(a+ b)
≥ 32.
OIM 1995
Problema 6. Fie a1, a2, . . . , an > 0 astfel ıncat a1 + a2 + . . .+ an = 1. Sase arate ca
a1
1 + a2 + . . .+ an+ . . .+
an1 + a1 + . . .+ an−1
≥ n
2n− 1.
OBM 1984
Problema 7. Sa se arate ca oricare ar fi numerele a1, a2, . . . , a5 > 0 are locinegalitatea:
a1
a2 + a3+
a2
a3 + a4+ . . .+
a5
a1 + a2≥ 5
2.
USA TST 2001
Problema 8. Fie a, b, c > 0 astfel ıncat a2 + b2 + c2 = 3. Aratati ca
a2
b+ c+
b2
c+ a+
c2
a+ b≥ 3
2.
ONM SL 2008
Problema 9. Fie a, b, c > 0 astfel ıncat abc = 1. Sa se arate ca(a− 1 +
1b
)(b− 1 +
1c
)(c− 1 +
1a
)≤ 1.
OIM 2000
Problema 10. Sa se rezolve ın multimea numerelor strict pozitive ecuatia:
xy + yx = 1 + xy.
Problema 11. Sa se arate ca pentru orice numere reale strict pozitivea, b, c, are loc
a√a2 + 8bc
+b√
b2 + 8ca+
c√c2 + 8ab
≥ 1.
OIM 2001
Problema 12. Fie a, b, c numere reale pozitive. Sa se arate ca
2(a+ b)3a+ 6b+ 9c
+6(b+ c)
5a+ 2b+ 3c+
3(c+ a)2a+ 8b+ 6c
≥ 32.
Problema 13. Fie a, b, c ≥ 0 astfel ıncat a2 + b2 + c2 + abc = 4. Sa sedemonstreze ca
0 ≤ ab+ bc+ ca− abc ≤ 2.
2
USA TST 2002
Problema 14. Determinati toate functiile f : R→ R care verifica relatia:
f(x3 + y3) = xf(x2) + yf(y2), ∀x, y ∈ R.
ONM 2009
Problema 15. Fie a1, a2, . . . , an, b1, b2, . . . , bn numere reale strict pozitiveastfel ıncat
(a21 + a2
2 + . . .+ a2n − 1)(b21 + b22 + . . .+ b2n − 1) > (a1b1 + . . .+ anbn)2.
Sa se arate ca
a21 + a2
2 + . . .+ a2n > 1, b21 + b22 + . . .+ b2n > 1.
USA TST 2004
Problema 16. Fie P ∈ C[X] un polinom monic avand radacinile inclusestrict ın discul unitate. Sa se arate ca exista z ∈ C cu |z| = 1 astfel ıncat|P (z)| ≥ 1.
ONM 1991
Problema 17. Sa se arate ca printre termenii sirului definit prin an =[n√
2] + [n√
3],∀n ∈ N, exista o infinitate de numere pare si o inifinitate denumere impare.
ONM 2006
Problema 18. Fie x, y, z > 0 astfel ıncat x+ y + z = 3. Sa se arate ca√x+√y +√z ≥ xy + yz + zx.
Russia TST 2002
Problema 19. Sa se arate ca sirul de numere pozitive (an)n≥1 ce sartisfacerelatia an+1 =
√6− 2a2
n, ∀n ≥ 1, este constant.ONM SL 2002
Problema 20. Fie a, b, c numere reale strict pozitive astfel ıncat a2 + b2 +c2 + 2abc = 1. Sa se arate ca
ab+ bc+ ca ≤ a+ b+ c
2.
3
ONM SL 2002
Problema 21. Determinati n ∈ N∗ astfel ıncat sa existe x1, x2, . . . , xn ∈[0,∞) cu proprietatea
(1 + x1)(1 + x2) . . . (1 + xn)(x1 + x2 + . . .+ xn) = 2n2x1x2 . . . xn.
ONM SL 2002
Problema 22. Sirul (an)n≥1 este definit prin a1 = 1, a2 = 3 si
an+2 = (n+ 3)an+1 − (n+ 2)an,∀n ≥ 1.
Gasiti valorile lui n pentru care an se divide prin 11.OBM 1990
Problema 23. Sa se determine toate functiile f : R→ R pentru care
f(xf(x) + f(y)) = (f(x))2 + y,∀x, y ∈ R.
OBM 1997, 2000
Problema 24. Fie sirul (an)n≥1 definit prin a1 = 20, a2 = 30 si an+1 =3an − an−1,∀n ≥ 2. Sa se gaseasca valorile lui n pentru care numarul1 + 5anan+1 este patrat perfect.
OBM 2002
Problema 25. Sirul (xn)n≥1 este definit prin x1 = 3, x2 = 2 iar
xn−1xn+1 = x2n + 5, ∀n ≥ 2.
Aratati ca toti termenii sirului sunt numere ıntregi pozitive.
Problema 26. Gasiti functiile f : R→ [0,∞) pentru care
f(x2 + y2) = f(x2 − y2) + f(2xy), ∀x, y ∈ R.
Baraj OIM 1997
Problema 27. Fie n ≥ 3 numar natural, iar x este un numar real astfelıncat numerele x, x2 si xn au aceeasi parte fractionara. Sa se arate ca x estenumar ıntreg.
ONM 1997
4
Problema 28. Fie xi ≥ 1, i = 1, 2, . . . , n, numere reale. Sa se arate ca
11 + x1
+1
1 + x2+ . . .+
11 + xn
≥ n
1 + n√x1x2 . . . xn
.
OIM SL 1997
Problema 29*. Sa se arate ca pentru orice a1, a2, . . . , an numere reale, areloc inegalitatea:
n∑i,j=1
ij
i+ j − 1aiaj ≥
(n∑i=1
ai
)2
.
AMM 1991
Problema 30. Fie x, y, z ≥ 0 astfel ıncat x+ y + z + xyz = 4. Sa se arateca
x+ y + z ≥ xy + yz + zx.
Olimpiada India 1997
Problema 31. Sa se arate ca, pentru orice numar real x si orice n natural,are loc inegalitatea:
[nx] ≥ [x]1
+[2x]
2+ . . .+
[nx]n,
unde [x] este partea ıntreaga a numarului real x.Putnam 1983
Problema 32*. Aratati ca, pentru orice numere reale strict pozitive a, b, c,are loc inegalitatea:(
1 +1a
)b(1 +
1b
)c(1 +
1c
)a≥ 1 +
1ab+ bc+ ca
.
rev. Arhimede 2002
Problema 33. Aratati ca oricare ar fi numere reale strict pozitive, are locinegalitatea
2a+ b+ c)2
2a2 + (b+ c)2+
(2b+ c+ a)2
2b2 + (c+ a)2+
(2c+ a+ b)2
2c2 + (a+ b)2≤ 8.
USAMO 2003
5
Problema 34. Fie a, b, c. Sa se gaseasca toate tripletele (x, y, z) de numerereale pozitive astfel ıncat x+y+z = a+b+c si a2x+b2y+c2z+abc = 4xyz.
OIM SL 1995
Problema 35. Aratati ca numarul√10012 + 1 +
√10022 + 1 + . . .+
√20002 + 1
este irational.China TST 2005
Problema 36. Aratati ca pentru orice numere reale strict pozitive a, b, c,avem
b+ c− a)2
(b+ c)2 + a2+
(c+ a− b)2
(c+ a)2 + b2+
(a+ b− c)2
(a+ b)2 + c2≥ 3
5.
Olimpiada Japonia 1997
Problema 37. Fie p un polinom cu coeficienti reali pozitivi. Aratati ca,
daca inegalitatea p(
1x
)≥ 1p(x)
este adevarata pentru x = 1, atunci ea este
adevarata pentru orice x > 0.RMT ’80
Problema 38. Sa se determine functiile f : N∗ → N∗ pentru care
xf(x) + yf(y) = (x+ y)f(x2 + y2), ∀x, y ∈ N∗.
Canada TST 2002
Problema 39. Fie a1, a2, . . . , an, b1, b2, . . . , bn numere reale pozitive. Sa sedemonstreze ca
(a1a2 . . . an)1/n) + (b1b2 . . . bn)1/n ≤ ((a1 + b1)(a2 + b2) . . . (an + bn))1/n.
Putnam 2002
Problema 40. Fie a1, a2, . . . , an numere reale strict pozitive astfel ıncata1 + a2 + . . .+ an < 1. Sa se arate ca
a1a2 . . . an(1− (a1 + a2 + . . .+ an))(a1 + a2 + . . .+ an)(1− a1)(1− a2) . . . (1− an))
≤ 1nn+1
.
6
OIM SL 1997
Problema 41. Fie x, y, z > 0 astfel ıncat a+ b+ c = 1. Sa se arate ca
0 ≤ ab+ bc+ ca− 2abc ≤ 727.
OIM 1983
Problema 42. Fie sirul (an)n≥1 definit prin a1 = 1, a2 = −1 si an =−(an−1 + 2an−2),∀n ≥ 3. Sa se demonstreze ca numarul 2n+1 − 7a2
n−1 estepatrat perfect.
OIM SL ’80
Problema 43. Fie x, y, z > 0 astfel ıncat xyz = 1. Sa se arate ca
x3
(1 + y)(1 + z)+
y3
(1 + z)(1 + x)+
z3
(1 + x)(1 + y)≥ 3
4.
OIM SL 1997
Problema 44. Sa se arate ca daca P,Q sunt polinoame cu coeficienti com-plecsi astfel ıncat P (P (X)) = Q(Q(X)) atunci P = Q.
Baraj OIM 2000
Problema 45. Fie n ≥ 1 un numar ıntreg pozitiv si x1, x2, . . . , xn numerereale astfel ıncat |xk+1 − xk| ≤ 1, ∀k ≥ 1, 2, . . . , n− 1. Sa se arate ca
n∑k=1
|xk| −
∣∣∣∣∣n∑k=1
xk
∣∣∣∣∣ ≤ n2 − 14
.
Baraj OIM 2000
Problema 46*. Sa se arate ca nu exista functie f : (0,∞)→ (0,∞) astfelıncat
f(x+ y) ≥ f(x) + yf(f(x)),∀x, y ∈ (0,∞).
Baraj OIM 2001
Problema 47. Gasiti toate polinoamele cu coeficienti reali P (x) astfel ıncat
P (x)P (2x2 − 1) = P (x2)P (2x− 1), ∀x ∈ R.
7
Baraj OIM 1997
Problema 48. Fie P (X), Q(X) doua polinoame monice si ireductibile ıninelul Q[X]. Presupunem ca polinoamele P (X) si Q(X) au radacinile α siβ, iar α + β este numar rational.Sa se arate ca polinomul P 2(X) − Q2(X)are o radacina rationala.
Baraj OIM 1997
Problema 49. Aratati ca pentru orice numar ıntreg pozitiv n, polinomul
f(X) = (X2 +X)2n
+ 1
este ireductibil ın Z[X].Baraj OIM 1998
Problema 50. Sa se arate ca pentru orice numere reale pozitive astfel ıncatx1x2 . . . xn = 1, are loc inegalitatea:
1n− 1 + x1
+1
n− 1 + x2+ . . .+
1n− 1 + xn
≤ 1.
Baraj OIM 1999
Problema 51. Fie a un numar real pozitiv si (xn)n≥1 este un sir de numerereale astfel ıncat x1 = a si
xn+1 ≥ (n+ 2)xn −n∑k=1
kxk,∀n ≥ 1.
Sa se arate ca exista un numar ıntreg pozitiv n astfel ıncat xn > 1999!.
Baraj OIM 1999
Problema 52. Fie a, n numere naturale, iar p este un numar prim astfelıncat p > |a| + 1. Sa se arate ca polinomul f(X) = Xn + aX + p esteireductibil ın Z[X].
Olimpiada India 1997
Problema 53. Sa se arate ca polinomul
P (X) = (X2 + 12)(X2 + 22) . . . (X2 + n2) + 1
este ireductibil ın Z[X].
8
Olimpiada Japonia 1999
Problema 54. Sa se arate ca polinomul
P (X) = Xp−1 +Xp−2 + . . .+X + 1
este ireductibil ın Z[X].clasica
Problema 55. Sa se arate ca polinomul
P (X) = (X2 + 1)2n
+X2n+1
este ireductibil ın Z[X].
Problema 56. Sa se detmine toate polinoamele P ∈ C[X] pentru care
P 2(x)− P 2(y) = P (x− y)P (x+ y), ∀x, y ∈ C.
clasica
Problema 57. Sa se gaseasca polinoamele P ∈ R[X] pentru care
P (X)P (X + 1) = P (X2).
clasica
Problema 58. Sa se arate ca polinomul f ∈ Z[X] definit prin
f(X) = Xn + 5Xn−1 + 3
este ireductibil ın Z[X].OIM 1993
Problema 59. Sa se arate ca polinomul f ∈ Z[X] definit prin
f(X) = (X2 + 2)n + 5(X2n−1 + 10Xn + 5)
este ireductibil ın Z[X].clasica
Problema 60. Fie P,Q doua polinoame de grad p respectiv q avandcoeficinetii 1 si 2002. Daca P divide Q atunci p+ 1 divide q + 1.
9
Baraj OIM 2002
Problema 61*. Fie n ∈ N, n ≥ 2 si ai, bi ∈ R, 1 ≤ i ≤ n astfel ıncat
n∑i=1
a2i =
n∑i=1
b2i = 1,n∑i=1
aibi = 0.
Sa se demonstreze ca (n∑i=1
ai
)2
+
(n∑i=1
bi
)2
≤ n.
Baraj OIM 2007
Problema 62*. Aratati ca orice functie f : Q→ R cu proprietatea ca
|f(x)− f(y)| ≤ (x− y)2,∀x, y ∈ Q,
este constanta.
Baraj OIM 2007
Problema 63. Sa se determine termenul general al sirului (an)n≥0 definitprin a0 = a1 = 2 si an+2 = (−1)n+12an+1 − an,∀n ≥ 1.
Gazeta Matematica 2001
Problema 64. Fie a, b, c trei numere reale strict pozitive astfel ıncat abc =1. Sa se arate ca
1a3(b+ c)
+1
b3(c+ a)+
1c3(a+ b)
+4(ab+ bc+ ca)
(a+ b)(b+ c)(c+ a)≥ ab+ bc+ ca.
Mathematical Reflections 2007
Problema 65*. Sa se arate ca numarul 2007√
2 + 2007√
3 + . . . + 2007√
10 esteirational.
RMT 2006
Problema 66. Sa se gaseasca toate tripletele de numere ıntregi pozitive(m,n, p) astfel ıncat m+ n+ p = 2002 si sistemul de ecuatii
x
y+y
x= m,
y
z+z
y= n,
z
x+x
z= p
10
are cel putin o solutie ın multimea numerelor reale nenule.OIM SL 2002
Problema 67. Fie p un numar prim. Sa se arate ca polinomul
P (X) = Xp−1 + 2Xp−2 + 3Xp−3 . . .+ (p− 1)X + p
este ireductibil ın Z[X].Mathematics Magazine 2003
Problema 68. Fie x1, x2, . . . , xn numere reale strict pozitive. Aratati ca
x1
1 + x21
+x2
1 + x21 + x2
2
+ . . .+xn
1 + x21 + x2
2 + . . .+ x2n
<√n.
American Mathematical Monthly 2009
Problema 69. Sa se gaseasca toate functiile f : R→ R care satisfac
f(x2 − y2) = (x− y)(f(x) + f(y)), ∀x, y ∈ R.
Putnam & Beyond
Problema 70. Fie a, b, c numere reale strict pozitive. Sa se arate ca
a2 + bc
(b+ c)2+b2 + ca
(c+ a)2+c2 + ab
(a+ b)2≥ a
b+ c+
b
c+ a+
c
a+ b.
La Gaceta 2007
Problema 71. Fie x, y numere reale strict pozitive astfel ıncat
xy + y = yx + x.
Sa se arate ca x+ y ≤ 1 + xy.Mathematical Reflections 2007
Problema 72. Sa se arate ca exista o functie f : N → N astfel ıncat(f ◦ f)(n) = n2,∀n ∈ N.
Baraj OIM 1982
Problema 73. Sa se determine o functie f : N → N care ındeplinesteconditiile:
i) f(p) = p daca p este prim;
11
ii) f(mn) = f(m)f(n), ∀m,n ∈ N.clasica
Problema 74. Fie a, b, c numere reale pozitive astfel ıncat a + b + c = 3.Sa se arate ca
1a2
+1b2
+1c2≥ a2 + b2 + c2.
Baraj OIM 2006
Problema 75. Fie a, b, c numere reale strict pozitive astfel ıncat a2 + b2 +c2 = 3. Sa se arate ca
1a3
+1b3
+1c3≥ a3 + b3 + c3.
Problema 76. Sa se arate ca, daca x, y, z sunt numere reale strict pozitive,atunci are loc
1(x+ y)2
+1
(y + z)2+
1(z + x)2
≥ 94(xy + yz + zx)
.
Olimpiada Iran 1996
Problema 77. Fie a, b, c trei numere reale strict pozitive astfel ıncatab+ bc+ ca+ 2abc = 1. Sa se arate ca a+ b+ c ≥ ab+ bc+ ca.
Problema 78*. Fie a1, a2, . . . , an numere reale strict pozitive. Sa se arateca
n∑i=1
aii
∑1≤i,j≤n
aiaji+ j
≤∑
1≤i,j,k≤n
aiajaki+ j + k
.
Mathematical Reflections 2010
Problema 79. Sa se arate ca, daca f : N → N verifica f(n + 1) >f(f(n)), ∀n ∈ N, atunci f(n) = n,∀n ∈ N.
OIM SL ’80
Problema 80. Sa se gaseasca toate functiile injective f : N → N astfelıncat pentru orice n ∈ N avem
f(f(n)) ≤ n+ f(n)2
.
12
Baraj OIM 2004
Problema 81. Fie a1, a2, a3, a4 lungimile laturilor unui patrulater, iar seste semiperimetrul sau. Aratati ca
4∑i=1
1s+ ai
≤ 29
∑1≤i<j≤4
1√(s− ai)(s− aj)
.
Baraj OIM 2004
Problema 82. Sa se afle toate numerele reale x > 1 astfel ıncat n√
[xn] estenumar ıntreg pentru orice numar ıntreg pozitiv n ≥ 2.
Problema 83. Fie a, b, c numere reale poztive astfel ıncat a+ b+ c = 3. Sase arate ca
(3− 2a)(3− 2b)(3− 2c) ≤ a2b2c2.
Baraj OBMJ 2005
Problema 84*. Fie (an)n≥1 un sir de numere reale pozitive astfel ıncatan+1 = a2
n − 2,∀n ≥ 1. Sa se arate ca an ≥ 2, ∀n ≥ 1.
Mathematical Reflections 2006
Problema 85. Sa se arate ca, daca a, b, c sunt numere reale pozitive, atunciare loc inegalitatea:
(ab+ bc+ ca)3 ≤ 3(a2b+ b2c+ c2a)(ab2 + bc2 + ca2).
Mathematical Reflections 2006
Problema 86. Fie x, y, z numere reale pozitive. Sa se arate ca
x4(y + z) + y4(z + x) + z4(x+ y) ≤ 112
(x+ y + z)5.
Mathematical Reflections 2006
Problema 87. Sa se arate ca sirul (an)n≥1 definit prin an = 3n−2n, ∀n ≥ 1nu contine trei termeni ın progresie geometrica.
Baraj OIM 1994
13
Problema 88. Sa se determine toate polinoamele P (x) pentru care
2P (2x2 − 1) = P 2(x)− 2,∀x ∈ R.
Baraj OIM 1990
Problema 89. Fie x1, x2, . . . , xn numere reale pozitive care satisfac
n∑i=1
xi =n∑i=1
1xi.
Sa se arate can∑i=1
1n− 1 + xi
≤ 1.
American Mathematical Monthly 1994
Problema 90. Fie f : N∗ → N∗ o functie care verifica f(n+1) > f(n), ∀n ≥1 si f(f(n)) = 3n,∀n ≥ 1. Sa se determine f(1992).
Baraj OIM 1992
Problema 91*. Sa se gaseasca cea mai mica constanta c > 0 astfel ıncatpentru orice n ≥ 1 si a1, a2, . . . , an > 0 are loc inegalitatea
n∑k=1
k∑kj=1 1/aj
≤ cn∑k=1
ak.
American Mathematical Monthly 2005
Problema 92. Fiind dat un numar ıntreg pozitiv n, gasiti minimul expresiei
E(x1, x2, . . . , xn) =x3
1 + x32 + . . .+ x3
n
x1 + x2 + . . .+ xn,
unde x1, x2, . . . , xn sunt numere ıntregi distincte si pozitive.
American Mathematical Monthly 2003
Problema 93. Fie (an)n≥1 si (bn)n≥1 doua siruri de numere naturale astfelıncat an+1 = nan + 1 si bn+1 = nbn − 1 pentru orice n ∈ N∗. Sa se arate cacele douasiruri pot avea numai un numar finit de termeni ın comun.
OIM SL 1984
14
Problema 94. Daca x1, x2, . . . , xn ∈ R si a ∈ [0, π/2] astfel ıncat
n∑k=1
sinxk ≥ n sin a,
atuncin∑k=1
sin(xk − a) ≥ 0.
Baraj OIM 1983
Problema 95. Fie a, b, c numere reale strict pozitive astfel ıncat a+b+c =1. Sa se arate ca
ab
c+ 1+
bc
a+ 1+
ca
b+ 1≤ 1
4.
RMT 1983
Problema 96. Fie P un polinom cu coieficienti reali astfel ıncat P (sin t) =P (cos t),∀t ∈ R. Sa se demonstreze ca exista un polinom Q cu coeficientireali astfel ıncat P (X) = Q(X4 −X2).
Baraj OIM 1983
Problema 97. Fie n ≥ 4 un numar ıntreg si a1, a2, . . . , an numere realestrict pozitive astfel ıncat a2
1 + a22 + . . .+ a− n2 = 1. Sa se arate ca
a1
a22 + 1
+a2
a23 + 1
+ . . .+an
a21 + 1
≥ 45
(a1√a1 + a2
√a2 + . . .+ an
√an)2.
Baraj OIM 2002
Problema 98. Sa se determine toate functiile f : R→ R care verifica
f(x+ y) + f(x)f(y) = f(xy) + f(x) + f(y), ∀x, y ∈ R.
clasica
Problema 99. Fie x, y, z numere reale strict pozitive astfel ıncat
1a+ b+ 1
+1
b+ c+ 1+
1c+ a+ 1
≥ 1.
Sa se arate caa+ b+ c ≥ ab+ bc+ ca.
15
Baraj OBMJ 2007
Problema 100. Pentru n ≥ 2 numar natural si xi ≥ 0, i = 1, 2, . . . n, sa sedetermine
maxn∏i=1
(1− xi),
dacan∑i=1
x2i = 1.
American Mathematical Monthly ’90, Baraj OIM 2007
Problema 101. Fie a, b, c numere reale strict pozitive, astfel ıncat ab+bc+
ca =13
. Sa se arate ca
a
a2 − bc+ 1+
b
b2 − ca+ 1+
c
c2 − ab+ 1≥ 1a+ b+ c
.
Gazeta Matematica 2001, Test OIM China 2006
Problema 102. Fie n ∈ N∗ si numerele x1, x2, . . . , xn numere reale pozitivesi y1, y2, . . . , yn numere reale strict pozitive, iar p ≥ 0. Sa se arate ca
xp+11
yp1+xp+1
2
yp2+ . . .+
xp+1n
ypn≥ (x1 + x2 + . . .+ xn)p+1
(y1 + y2 + . . .+ yn)p.
inegalitatea lui Radon
Problema 103. Fie a, b, c numere reale strict pozitive astfel ıncat a+b+c =1. Sa se arate ca
(a2 + b2)(b2 + c2)(c2 + a2) ≥ 8(a2b2 + b2c2 + c2a2)2.
Problema 104. Fie numerele pozitive α si β si x1, x2, . . . , xn ≥ 0 astfelıncat x1 + x2 + . . .+ xn = 1. Sa se arate ca
x31
αx1 + βx2+
x32
αx2 + βx3+ . . .+
x3n
αxn + βx1≥ 1n(α+ β)
.
Test de Selectie OIM Moldova, 2002
16
Problema 105. Sa se arate ca ın orice triunghi de laturi a, b, c au loc ine-galitatile:
a) (b+ c− a)(c+ a− b)(a+ b− c) + (a+ b)(b+ c)(c+ a) ≥ 9abc;
b)b+ c
a+c+ a
b+a+ b
c+
(b+ c− a)(c+ a− b)(a+ b− c)abc
≥ 7;
c) (a+ b)(b+ c)(c+ a)(b+ c− a)(c+ a− b)(a+ b− c) ≤ 8a2b2c2.
Mathematical Reflections 2007 & 2009
Problema 106. Fie x1, x2, ..., xn numere reale pozitive. Sa se arate ca
11 + x1
+1
1 + x1 + x2+ ...+
11 + x1 + ...+ xn
<
√1x1
+1x2
+ ...+1xn.
ONM 2005
Problema 107. Se considera ecutia {x{x}} = α, unde α ∈ (0, 1).
(a)Sa se arate ca ecutia are solutii rationale daca si numai daca ∃m, p, q ∈
Z, 0 < p < q, unde p si q sunt coprime, astfel ıncat α =(p
q
)2
+m
q.
(b)Sa se gaseasca o solutie a ecuatiei pentru α = 200420052 .
ONM 2005
Problema 108. Sa se gaseasca toate functiile f : R → R cu proprietateaca exista a ∈ R∗ (fix) astfel ıncat f(a+ x) = f(x)− x oricare ar fi x ∈ R.
Baraj OIM 2005
Problema 109. Sirul (an)n se numeste modular daca a0 = a, a1 = b, cua, b > 0 numere reale distincte si an = an+1 − an+2 oricare ar fi n ≥ 0. Sase arate printr-o demonstratie daca sirul modular este marginit.
IMO SL 2004
Problema 110. Sa se gaseasca cel mai mic m(n) ∈ R astfel ıncat oricare
ar fi xi > 0, 1 ≤ i ≤ n, n ≥ 2, cun∏i=1
xi = 1, inegalitatean∑i=1
1xi≤
n∑i=1
xri este
adevarata oricare ar fi r ≥ m(n).
17
Baraj OIM 2005
Problema 111. Sa se gaseasca toate functiile f : N∗ → N astfel ıncatoricare ar fi m,n numere ıntregi pozitive, numarul (m2 + n)2 este divizibilcu f2(m) + f(n).
Baraj OIM 2005
Problema 112. Fie f(X) = Xn+an−1Xn−1+. . .+a1X+a0 un polinom de
grad n ≥ 3 cu coeficienti ıntregi, ak+an−k par, pentru orice k = 1, 2, . . . , n−1si a0 este de asemenea numar par. Daca f = gh, unde g si h sunt polinoamecu coeficienti ıntregi , gradul lui g este cel mult gradul lui h si toti coeficientiilui h sunt impari, atunci aratati ca f are cel putin o radacina ıntreaga.
Baraj OIM 2007
Problema 113. Fie F multimea tuturor functiilor f : P(S) → R cuproprietatea ca, oricare ar fi X,Y ⊆ S, avem f(X ∩ Y ) = min(f(X), f(Y )),unde S este un o multime finita. Sa se determine
maxf∈F|Im(f)| .
Baraj OIM 2007
Problema 114. Sa se arate ca pentru n, p numere pozitive ıntregi, n ≥ 4si p ≥ 4, propozitia P(n, p) de mai jos este falsa
n∑i=1
1xpi≥
n∑i=1
xpi
pentru xi ∈ R, xi > 0, i = 1, . . . , n,n∑i=1
xi = n.
Baraj OIM 2007
Problema 115. Sa se arate ca functia f : N → Z definita mai jos esteinjectiva
f(n) = n2007 − n!.
OBM SL 2007
Problema 116. i) Sa se determine toate sirurile aritmetice infinite denumere pozitive ıntregi cu proprietatea ca exista N ∈ N astfel ıncat daca p
18
este prim, p > N , atunci termenul cu numarul p al sirului este de asemeneaprim.
ii) Sa se determine toate polinoamele f(X) ∈ Z[X], cu proprietatea caexista N ∈ N astfel ıncat pentru orice p > N , |f(p)| este de asemenea prim.
OBM SL 2007
Problema 117. Se considera sirul (an)n≥1 definit prin a1 = 2 si
an+1 =2 + an1− 2an
.
Sa se arate ca toti termenii acestui sir sunt nenuli.Olimpiada Suceava
Problema 118. Sa se determine numerele complexe x = 1+λi1−λi , cu λ ∈ Q,
care sunt radacini ale unitatii.Gazeta Matematica 1987
Problema 119. Fie x un numar complex astfel ıncat exista n ∈ N∗ cuproprietatea ca numerele xn, xn+1 ∈ Z, atunci x este numar ıntreg.
Gazeta Matematica 1994
Problema 120. Fie x ∈ C, x 6= 1. Definim sirul de numere complexe
(an)n≥1 prin an =xn − 1x− 1
. Daca trei termeni consecutivi ai sirului (an)n≥1
sunt numere ıntregi, atunci toti termenii acestui sir sunt numere ıntregi.
Problema 121. Fie x, y ∈ C, x 6= y. Definim sirul de numere complexe
an =xn − yn
x− y.
Daca patru termeni consecutivi din acest sir sunt numere ıntregi, atunci totitermenii sirului sunt numere ıntregi.
AMM 1993
Problema 122. Fie a, b, c, d numere reale cu suma lor egala cu 0. Sa searate ca
(ab+ ac+ ad+ bc+ bd+ cd)2 + 12 ≥ 6(abc+ abd+ acd+ bcd).
19
concurs international Kazakhstan 2006
Problema 123. Fie a, b, c numere reale strict pozitive astfel ıncat a+b+c =1. Sa se arate ca
(ab)5/4 + (bc)5/4 + (ca)5/4 <14.
ONM SL 2002
Problema 124. Fie a, b, c, d numere reale strict pozitive. Sa se arate ca
a
b+ 2c+ 3d+
b
c+ 2d+ 3a+
c
d+ 2a+ 3b+
d
a+ 2b+ 3c≥ 3
2.
OIM SL 1993
Problema 125. Fie a, b, c, d > 0 astfel ıncat ab + bc + cd + da = 1. Sa searate ca
a3
b+ c+ d+
b3
c+ d+ a+
c3
d+ a+ b+
d3
a+ b+ c≥ 1
3.
OIM SL 1990
Problema 126. Sa se demonstreze ca pentru orice numere reale a, b, c areloc inegalitatea ∏
cyc
(b+ c− a)2 ≥∏cyc
(b2 + c2 − a2).
Olimpiada Polonia 1992
Problema 127. Fie a, b, c numere reale strict pozitive astfel ıncat abc = 1.Sa se arate ca (
a− 1 +1b
)(b− 1 +
1c
)(c− 1 +
1a
)≤ 1.
OIM 2000
Problema 128. Fie a, b, c numere reale strict pozitive astfel ıncat abc = 1.Aratati ca
ab
a5 + b5 + ab+
bc
b5 + c5 + bc+
ca
c5 + a5 + ca≤ 1.
OIM SL 1996
20
Problema 129. Let n ≥ 2. Determinati cea mai buna constanta C astfelıncat este adevarata inegalitatea
∑1≤i<j≤n
xixj(x2i + x2
j ) ≤ C
∑1≤i≤n
xi
4
.
OIM 1999
Problema 130. Fie a, b, c, d numere reale pozitive astfel ıncat
11 + a4
+1
b4 + 1+
1c4 + 1
+1
d4 + 1= 1.
Sa se arate ca abcd ≥ 3.Olimpiada Letonia 2002
Problema 131. Sa se arate ca pentru orice numere reale pozitive cu x +y + z = 3, are loc inegalitatea
(1− x)2
1− x4+
(1− y)2
1− y4+
(1− z)2
1− z4≥ 0.
Olimpiada Rusia ’80
Problema 132. Sa se arate capentru orice numere reale pozitive a1, a2, . . . , anavem
1a1
+2
a1 + a2+ . . .+
n
a1 + a2 + . . .+ an< 4
(1a1
+1a2
+ . . .+1an
).
Olimpiada Sovietica 1986
Problema 133. Fie p ≥ 5 un numar prim. Sa se gaseasca numarul poli-noamelor ireductibile din Z[X] care sunt de forma
xp + pxk + pxl + 1, k > l, k, l ∈ {1, 2, . . . , p− 1}.
Baraj OIM 2006
Problema 134. Fie p, q doua numere ıntregi, q ≥ p ≥ 0. Consideram n ≥ 2un numar natural si definim sirul de numere reale (an)n≥0 prin a0 = 0, a1 ≥0, an = 1 astfel ıncat
ak ≤ak−1 + ak+1
2, k = 1, 2, . . . , n− 1.
21
Sa se arate ca
(p+ 1)n∑k=1
apk ≥ (q + 1)n∑k=1
aqk.
Baraj OIM 2006
Problema 135. Fie a, b, c numere reale strict pozitive astfel ıncat abc = 1.Sa se arate ca
a
b+b
c+c
a+ 3 ≥ a+ b+ c+ ab+ bc+ ca.
Crux Mathematicorum 2008
Problema 136. Sa se arate ca pentru orice m,n ≥ 2,m 6= n numerenaturale, numarul m
√2− n√
2 nu poate fi rational.clasica
Problema 137. Fie (an)n≥1 un sir convex si crescator. Sa se arate ca acestsir nu contine nicio progresie artimetica infinita.
Baraj OIM 1993
Problema 138. Fie (cn)n≥1 un sir de numere reale si an este un sir definitastfel:
an =n∑k=1
(n− k + 1)ck,∀n ≥ 1.
Sa se arate ca sirul an este convex daca si numai daca cn ≥ 0.clasica
Problema 139. Fie (an)n≥1 un sir convex. Sa se arate ca
a1 + a3 + . . .+ a2n+1
n+ 1≥ a2 + a4 + . . .+ a2n
n.
inegalitatea lui Nanson
Problema 140. Sa se arate ca un sir neconstant de numere naturale nenulean este o progresie aritmetica daca si numai daca exista a > 0 astfel ıncat
an+1 = an +[an
n+ a
],∀n ∈ N.
Olimpiada ’90
22
Problema 141. Fie p ≥ 2 numar natural. Sa se arate ca pentru orice k ∈ Nexista n ∈ N astfel ıncat
[ p√n]− [ p+1
√n] = k.
Baraj OIM ’80
Problema 142. Fie x, y, z numere reale strict pozitive astfel ıncat1x
+1y
+
1z
= 1. Sa se arate ca
∑cyc
√x+ yz ≥ √xyz +
∑cyc
√x.
Concurs ”77 ture”
Problema 143. Sa se gaseasca toate functiile f : N→ N pentru care
f(m+ f(n)) = n+ f(m+ 2005),∀m,n ∈ N∗.
Problema 144. Sa se arate ca, daca un polinom f de grad n are radacinilereale, coeficietii pozitivi, iar primul si ultimul coeficient al lui f este 1, atuncif(2) ≥ 3n.
Problema 145. Fie a1, a2, . . . , an numere reale, iar S este o submultime alui {1, 2, . . . , n}. Sa se arate ca(∑
i∈Sai
)2
≤∑
1≤i≤j≤n(a1 + a2 + . . .+ ai)2.
Baraj OIM 2004
Problema 146. Fie a1, a2, . . . , an > 0 astfel ıncat a1 + a2 + . . . + an = 1.Sa se arate ca
n∑i=1
ai1 + a1 + . . .+ ai
<1√2.
Teste de pregatire OIM 2008
23
Problema 147. Fie a, b, c numere reale strict pozitive. Sa se arate ca
a2
b+b2
c+c2
a≥ a+ b+ c+
4(a− b)2
a+ b+ c.
OBM 2005
Problema 148. Sa se arate ca nu exista functie bijectiva f : N→ N astfelıncat
f(mn) = f(m) + f(n) + 3f(m)f(n),∀m,n ∈ N.
OBM 1991
Problema 149. Fie a, b, c, d ∈[−π
2,π
2
]numere reale astfel ıncat
sin a+ sin b+ sin c+ sin d = 1
si
cos 2a+ cos 2b+ cos 2c+ cos 2d ≥ 103.
Sa se arate ca a, b, c, d ∈[0,π
6
]OBM 1985
Problema 150. Sa se determine toate functiile f : N→ N astfel ıncat
2n+ 2001 ≤ f(f(n)) + f(n) ≤ 2n+ 2002, ∀n ≥ 0.
OBM 2002
Mult SUCCES ın rezolvarea problemelor!
24
Recommended