Univerzitet u Beogradu

Matematički fakultet

Seminarski rad iz Metodike nastave matematike2Tema: Obrtna tela

Student Profesor Jelena Vlajković 51/04 dr.Zoran Lučić

Beograd 2008

2

1. O S N O V N I P O J M O V I

Obrtna površ je površ koju obrazuje jedna linija (prava, kriva, izlomljena) koja se rotira oko jedne stalne prave. Linija koja izvodi kretanje naziva se izvodnica ili generatrisa, a stalna prava osa rotacije.

Svaka tačka M generatrise MNP u toku kretanja opisuje krug čija je ravan normalna na osu rotacije xy, a čiji centar O leži na toj osi (sl 1).

Odatle sledi da su svi preseci obrtne površi sa ravnima normalnim na osu rotacije krugovi: M1MM2, N1NN2, P1PP2. Ti krugovi se nazivaju paralele obrtne površi.

Preseci obrtne površi sa ravnima koje prolaze kroz osu rotacije xy jesu meridijani te površ: M1N1P1, M2N2P2.

Svaka kriva trasirana na obrtnoj površi, može se uzeti za njenu generatrisu. Međutim, za generatrisu se najčešće uzima jedan od meridijana obrtne površi.

Telo ograničeno jednom obrtnom površi, ili delom obrtne površi i ravnima normalnim na osu rotacije, naziva se obrtno ili rotaciono telo.

1.1. VALJAK

Površ obrazovana kretanjem prave koja ostaje stalno paralelna samoj sebi naziva se cilindrična površ.

3

Zakon kretanja prave, tj. generatrise može se odrediti tako što se uzima da ona u toku kretanja stalno seče jednu krivu, tzv. vodilju ili direktrisu. Vodilja cilindrične površi može da bude prosta ili složena. Cilindričnu površ kojoj je vodilja prosta linija i nigde ne seče samu sebe nazivamo prostom. U protivnom slučaju, cilindričnu površ nazivamo složenom. Ako je vodilja cilindrične površi otvorena linija odgovarajuću cilindričnu površ nazivamo otvorenom; u protivnom cilindričnu površ nazivamo zatvorenom (sl 2).

Ako se za direktrisu cilindrične površi uzme krug čija je ravan normalna na generatrisu, dobija se prava kružna cilindrična površ. Ako ta ravan nije normalna na generatrisu dobija se kosa kružna cilindrična površ.

Prava kružna cilindrična površ je obrtna površ čija je osa rotacije normalna

na ravni kruga i prolazi kroz njegov centar.Kada se prava kružna cilindrična površ preseče dvema ravnima normalnim

na osu rotacije, onda obe ravni i obrtna cilindrična površ ograničavaju telo koje se naziva pravi kružni valjak ili samo pravi valjak (sl 3).

Kada se kosa kružna cilindrična površ preseče dvema ravnima, paralelnim sa ravnima direktrise, dobija se kosi kružni valjak.

Pravi valjak može postati i rotiranjem pravougaonika ABCD oko jedne njegove stranice, npr. AB. Pri tom stranice BC i AD opisuju krugove koji se nazivaju osnove ili baze valjka. Prava AB je osa valjka, a odsečak ose, AB=h, je visina valjka.

Iz načina postanka pravog valjka neposredno sleduje: a) Preseci pravog valjka sa ravnima normalnim na osu su podudarni krugovi.

b) Presek pravog valjka sa ravni koja prolazi kroz njegovu osu je pravougaonik čije su dve stranice generatrise valjka, a ostale dve prečnici osnova. v) Presek pravog valjka sa ravni koja je paralelna njegovoj osi je pravougaonik čije su dve stranice generatrise, a ostale dve tetive osnova (sl.4).

4

Ravan paralelna osi pravog valjka, čije je rastojanje od ose jednako poluprečniku osnove, sadrži jednu generatrisu valjka i sa cilindričnom površi nema drugih zajedničkih tačaka. Ta ravan se naziva dodirna ili tangentna ravan pravog valjka (sl 4). Dodirna ravan ima sledeće osobine: a) Ravan koja prolazi kroz osu pravog valjka i generatrisu, duž koje dodirna ravan dodiruje cilindričnu površ, normalna je dodirnoj ravni. b) Prava duž koje dodirna ravan seče ravan bilo koje osnove pravog valjka predstavlja dirku kruga u osnovi. v) Prava koja leži u dodirnoj ravni, a nije paralelna sa generatrisom valjka, naziva se dodirna prava. Ona ima samo jednu tačku zajedničku sa cilindričnom površi, tj. tačku u kojoj seče generatrisu koja leži u dodirnoj ravni.

1.2. KUPA

Ako se prava kreće tako da stalno prolazi kroz jednu istu tačku, onda se nastala površ naziva konusna površ. Tačka kroz koju prolazi prava naziva se vrh konusne površi, a sama pokretna prava izvodnica ili generatrisa. Kretanje generatrise se određuje tako što se uzima da ona u toku kretanja stalno seče jednu krivu, koja se naziva vodilja ili direktrisa (sl 5). Vodilja konusne površi može da bude prosta ili složena. Konusnu površ kojoj je vodilja prosta linija i nigde ne seče samu sebe nazivamo prostom. U protivnom slučaju konusnu površ nazivamo složenom. Ako je vodilja konusne površi otvorena linija odgovarajuću konusnu površ nazivamo otvorenom; u protivnom slučaju konusnu površ nazivamo zatvorenom (sl 6).

Ako je direktrisa konusne površi krug, a vrh jedna tačka na pravoj, koja je normalna na ravan kruga i prolazi kroz njegov centar, dobija se prava kružna konusna površ. Ako vrh leži na pravoj koja nije normalna na ravni kruga a prolazi kroz centar, dobija se kosa kružna konusna površ (sl 7). Prava kružna konusna površ je obrtna površ čija osa rotacije spaja vrh i centar kruga. Ako se prava kružna konusna površ preseče jednom ravni normalnoj na osu, onda ta ravan i deo kružne konusne površi obrazuju jedno obrtno telo koje se naziva prava kružna kupa ili samo prava kupa.

5

Prava kupa može postati i rotiranjem pravouglog trougla ABC oko jedne katete, npr. AB. Kateta AB u tom slučaju leži na osi kupe, njena dužina je visina kupe, AB=h, a krug koji obisuje kateta AC je osnova ili baza kupe (sl 8).

Kada se kosa kružna konusna površ preseče jednom ravni, koja je paralelna sa ravni direktrise, dobija se kosa kružna kupa.

Osobine nekih od preseka prave kupe sa ravni neposredno proizilaze iz načina postanka kupe: a) Presek prave kupe i ravni normalne njenoj osi je krug. b) Presek prave kupe i ravni koja prolazi kroz njenu osu je jednakokraki trougao čiji su kraci generatrise a osnovica prečnik osnove kupe. v) Ako se prava kupa preseče jednom ravni koja prolazi kroz vrh kupe i dve generatrise, presek je jednakokraki trougao čiji su kraci te generatrise, a osnovica tetive osnove kupe. Ravan koja prolazi kroz generatrisu prave kupe, a normalna je na ravan osnog preseka u kome se nalazi ta generatrisa, sa konusnom površi nema drugih zajedničkih tačaka sem tačaka te generatrise. Ta ravan se naziva dodirna ili tangentna ravan kupe (sl.13).

Dodirna ravan ima sledeće osobine: a) Prava, duž koje dodirna ravan seče ravan osnove prave kupe, dodiruje krug u osnovi kupe. b) Sve dodirne ravni nagnute su pod istim uglom prema bazi kupe. v) Prava koja leži u dodirnoj ravni i u njoj seče generatrisu dodiruje konusnu površ, tj. ima sa njom samo jednu zajedničku tačku.

1.3. ZARUBLJENA KUPA

6

Zarubljena kupa je deo kupe ograničen osnovom kupe, jednom ravni paralelnom sa osnovom i odgovarajućim delom konusne površi (sl.14). Osnova pune kupe, iz koje je dobijena zarubljena kupa, i krug u preseku kupe i date ravni nazivaju se osnove zarubljene kupe.

Generatrisa zarubljene kupe je generatrisa potpune kupe između obeju osnova. Visina zarubljene kupe je rastojanje među njenim osnovama. Prava zarubljena kupa je obrtno telo koje nastaje rotacijom pravouglog trapeza MO1OA oko kraka O1O. Drugi krak, MA, u tom slučaju predstavlja generatrisu. Paralelne strane trapeza, AO i MO1 opisuju krugove - osnove zarubljene kupe

1.4. LOPTA

Geometrijsko mesto tačaka u prostoru podjednako udaljenih od jedne iste tačke (centra) jeste jedna površ, koja se naziva sfera ili loptina površ. Telo ograničeno sferom naziva se lopta. Duž koja spaja centar sa jednom tačkom sfere jeste njen poluprečnik (radijus), a duž koja spaja dve proizvoljne tačke sfere je tetiva sfere. Tetiva koja prolazi kroz centar sfere naziva se prečnik (dijametar). Sfera može postati i rotiranjem polukruga oko njegovog prečnika. U tom slučaju centar polukruga je istovremeno i centar sfere, a njegov poluprečnik je i poluprečnik sfere. Prema tome, sfera je obrtna površ, a lopta obrtno telo. TEOREMA - Presek sfere i ravni je krug.

Dokaz - Za ravan koja prolazi kroz centar sfere to je očigledno. Zato se predpostavlja da ravan M ne prolazi kroz centar (sl.15). Iz centra sfere O povučena je normala OP na ravan Treba dokazati da su sve tačke na presečenoj liniji podjednako udaljene od tačke P. Zbog toga je na preseku uzeto nekoliko tačaka, A, B, C... Te tačke su spojene sa tačkom P i centrom O. PA, PB, PC... su projekcije jednakih duži, AO, BO, CO... (poluprečnici sfere) na istoj ravni, zbog čega je AP=BP=CP...Prema tome, presek sfere i ravni je krug sa centrom P. Posledice: a) Ako ravan ne prolazi kroz centar sfere, onda je poluprečnik preseka manji od poluprečnika sfere (AP<AO). b) Presek ima najveći poluprečnik ako njegova ravan prolazi kroz centar sfere.

7

v) Ravan velikog kruga je simetrijska ravan sfere. g) Poluprečnici preseka, koji su podjednako udaljeni od centra sfere, međusobno su jednaki. Ravan koja sa sferom ima samo jednu zajedničku tačku naziva se tangentna ili dodirna ravan sfere. TEOREMA - Ravan koja stoji normalno na jednom poluprečniku sfere, u njegovoj krajnjoj tački, predstavlja tangentnu ravan sfere. Dokaz - Kroz krajnju tačku A poluprečnika OA date sfere postavljena je ravan normalna na OA (sl.16). Treba dokazati da ma koja tačka te ravni, sem tačke A, leži van sfere.

Proizvoljna tačka B ravni spojena je sa centrom sfere O. Pošto je OA<OB, jer je normala povučena iz date tačke na datu ravan kraća od ma koje kose duži povučene iz iste tačke do date ravni, sledi da tačka B, kao i ma koja druga tačka ravni , leži van sfere. Prava koja leži u tangentnoj ravni sfere i prolazi kroz dodirnu tačku naziva se dodirna prava ili tangenta sfere. Tangenta ima samo jednu zajedničku tačku sa sferom i normalna je poluprečniku koji prolazi kroz dodirnu tačku. TEOREMA - Dužine dirki sfere, povučenih iz jedne tačke van sfere, međusobno su jednake. Dokaz - Iz tačke S izvan sfere povučene su dirke SA, SB, SC... , a dodirne tačke A,B,C... spojeni su sa centrom O (sl.17).

Pravougli trouglovi AOS, BOS, COS... imaju zajedničku hipotenuzu, SO, i jednake katete, OA=OB , OC=... Prema tome, ovi trouglovi su podudarni, što znači da je SA=SB=SC..., a to je trebalo dokazati.

Kada se iz ma koje tačke van sfere povuku sve njene tangente, dobija se konusna površ koja dodiruje sferu, a naziva se opisana konusna površ. TEOREMA - Dodirne tačke svih generatrisa opisane konusne površi leže na jednom krugu sfere. Dokaz - Ako se u podudarnim trouglovima AOS, BOS, COS,...(sl.17) povuku visine iz temena A, B, C,... na zajedničku stranicu SO, one seku SO u jednoj istoj tački P. Pošto je AP normalna na SO, pb normalna na SO, CP normalna na SO , to prave AP, BP, CP leže u istoj ravni , koja je normalna na SO. Pošto je AP=BP=CP proizilazi da tačke A, B, C leže na krugu sa centrom u tački P.

8

1.5. DELOVI LOPTE

Ravan koja sadrži jednu unutrašnju tačku sfere seče tu sferu po kružnoj liniji i deli je na dve kalote, a odgovarajuću loptu na dva loptina odsečka kojima je presečni krug zajednička osnova. Rastojanje najudaljenije tačke kalote od ravni njene osnove naziva se visina kalote (sl.18). Ako sferu presečemo sa ravni koja sadrži njen centar dobijamo dve polusfere, a presek je velika kružna linija čiji je poluprečnik jednak poluprečniku sfere. Slično važi i za loptu, s tim što je sada presek veliki krug ograničen velikom kružnom linijom.

Deo lopte između dva paralelna kruga naziva se loptin sloj, pojas ili zona (sl.19). Deo lopte ograničen omotačem konusa, koji ima vrh u centru lopte, i pripadnom sfernom kalotom zove se loptin isečak .

9

2. P O V R Š I N E N E K I H O B R T N I H T E L A

2.1. POVRŠINA VALJKA

Za prizmu se kaže da je upisana u valjak ako su poligoni njenih osnova upisani u krugove koji obrazuju osnove valjka; prizma je opisana oko valjka ako su poligoni osnova prizme opisani oko krugova, tj. osnova valjka. Pretpostavlja se da je u datom valjku upisana pravilna prizma sa n stranica. Bočna površina, ili omotač te prizme je M1=pn*h, gde je pn obim njene osnove, a h visina prizme. Pri neograničenom udvajanju broja osnovnih ivica prizme njena visina ostaje nepromenjena, a obim pn teži svojoj granici - obimu kruga 2r, gde je r poluprečnik osnove valjka. Prema tome, granična vrednost omotača upisane prizme je 2rh i ta granična vrednost predstavlja bočnu površinu, ili omotač valjka: M = 2rh Omotač valjka je jednak proizvodu obima njegove osnove i visine. Površinu valjka sačinjava njegov omotač i površine osnova:P = 2rh + 2r2,ili P= 2r(r + h)

2.2. POVRŠINA KUPE

Piramida je upisana u datu kupu ako je poligon njene osnove upisan u krug, tj. osnovu kupe, a vrh se poklapa sa vrhom kupe. Piramida je opisana oko kupe ako je poligon njene osnove opisan oko kruga.

Za bočnu površinu prave kupe, odnosno za omotač kupe uzima se granica kojoj teži bočna površina upisane ili opisane pravilne piramide pri neograničenom udvajanju broja njenih osnovnih ivica. Na osnovu ove definicije nalazi se obrazac za omotač kupe. Bočna površina pravilne piramide sa n stranica, koja je opisana oko kupe, data je obrascem

, gde je Pn obim njene osnove, a s dužina apoteme (sl.20). Pri

neograničenom udvajanju broja osnovnih ivica opisane pravilne piramide, njena bočna površina teži svojoj granici - bočnoj površini (omotaču) kupe. Pri tom dužina apoteme, s, koja je jednaka generatrisi kupe, ostaje neizmenjena, a obim Pn njene osnove teži svojoj granici - obimu kruga 2r, gde je r poluprečnik osnove kupe.

Prema tome, omotač prave kupe je , ili

10

M=rs Omotač prave kupe jednak je poluproizvodu obima osnove i generatrise. Površina prave kupe sastoji se iz površine omotača i površine osnove,P=rs+r2ili P=r(s + r)

2.3. POVRŠINA ZARUBLJENE KUPE

Bočna površina (omotač) prave zarubljene kupe jeste granica kojoj teže bočne površine pravilnih zarubljenih piramida upisanih ili opisanih oko date zarubljene kupe kada se broj osnovnih ivica tih piramida neograničeno udvaja (sl.21). Na slici je prikazana prava zarubljena kupa i pravilna zarubljena piramida (sa n strana), opisana oko te zarubljene kupe.

Bočna površina ove zarubljene piramide je gde su Pn i pn

obimi osnova pravilne zarubljene piramide, tj. obimi pravilnih poligona opisanih oko osnova zarubljene kupe, a s je, u isto vreme, generatrisa zarubljene kupe i apotema jedne bočne strane opisane zarubljene piramide. Ako broj n neograničeno raste, onda bočne površine zarubljenih piramida teže svojoj granici - omotaču prave zarubljene kupe. Međutim, granice obima pn i Pn su obimi krugova tj. osnova zarubljene kupe, pa je omotač M prave zarubljene

kupe , ili

M=s(R+r), gde su R i r poluprečnici osnove. Površina prave zarubljene kupe se sastoji iz površine omotača i površina obe osnove: P=s(R+r)+r2+R2 P=šR2+r2+s(R+r)ć

2.4. POVRŠINA LOPTE

Da bismo izračunali površinu lopte, moramo prvo da pokažemo da je: Bočna površina svakog od tri navedena tela jednaka je proizvodu visine tela i obima kruga čiji je poluprečnik jednak dužini normale na generatrisi, povučene iz njene sredine do preseka sa osom rotacije. Neka je (sl.22):

11

1) stranica CD pravougaonika ABCD opisuje bočnu površinu valjka; 2) hipotenuza AB pravouglog trougla ABC opisuje bočnu površinu kupe; 3) krak CD pravouglog trapeza ABCD opisuje bočnu površinu zarubljene kupe. Treba dokazati: 1) M1=AB2EF, gde je M1 bočna površina valjka, EF je normalno na CD, i F je sredina duži CD. 2) M2=AC2DE, gde je M2 bočna površina kupe, DE je normalno na AB, a D je sredina duži AB. 3) M3=AB2PLJ, gde je M3 bočna površina zarubljene kupe, PLJ je normalno na CD, a P je sredina duži CD. Dokaz: 1) Na osnovu površine omotača valjka dobijamo da je M=2ADAB, a uz to je EF=AD, dobija se neposredno M1=AB2EF.

2) Na osnovu površine omotača kupe dobijamo da je M2=CBAB. Međutim, pravougli trouglovi ABC i ADE su slični (jer imaju zajednički ugao kod temena A), odakle sledi: AC:AD=CB:DE, tj. CBAD=ACDE

Pošto je , to je , ili . Na osnovu

toga obrazac za M2 postaje

M2=AC2DE,što je trebalo dokazati. 3) Iz tačke P povučena je normala PF na AB, a iz tačke C normala CE na AD. Na osnovu površine omotača zarubljene kupe dobijamo da je M3=2CDFP, jer je

.

Iz sličnih pravouglih trouglova CED i FPLJ ( , kao uglovi sa normalnim kracima) nalazi se da je CD:PLJ=CE:FP, odakle je CDFP=PLJCE.Pošto je AB=CE dobija se da je CDFP=ABPLJ. Na osnovu toga obrazac za M3 glasi

M3=AB2PLJ,a to je i trebalo dokazati. Za površinu sfere, dobijenu rotiranjem polukruga oko jednog prečnika, uzima se granica kojoj teže površine, nastale rotiranjem oko istog prečnika

12

pravilne izlomljene linije upisane u datom polukrugu, kada broj stranica te linije neograničeno raste. U polukrugu upisana je pravilna izlomljena linija ABCDEK, sa n stranica (sl.23). Obrtna površ, nastala rotacijom te izlomljene linije, sastoji se od bočnih površi kupe, zarubljene kupe i valjka (ako je broj stranica izlomljene linije paran).

Neka je dužina apoteme izlomljene linije a i neka su M1,M2,M3,M4 i M5

površine omotača obrtnih površi, koje su nastale rotacijom duži AB, BC, CD, DE i EK. Na osnovu prethodno dobijenih rezultata proizilazi: M1=AF2a

M2=FG2a

M3=GP2a

M4=PLJ2a

M5=LJK2a Sabiranjem ovih jednakosti dobija se površina obrtne površi nastale rotacijom izlomljene linije ABCDEK oko AK:2a(AF+FG+GP+PLJ+LJK) = 2aAK. Ako broj stranica izlomljene linije, upisane u polukrugu, neograničeno raste, onda površina dobijena njenom rotacijom teži ka površini sfere. U isto vreme apotema pravilne izlomljene linije teži svojoj granici, tj. poluprečniku datog polukruga, koji istovremeno predstavlja poluprečnik sfere, R. To znači da je površina sfere P=2RAK, ili, pošto je AK=2R P=4R2 Površina sfere jednaka je četvorostrukoj površini njenog velikog kruga.

2.5. POVRŠINA DELOVA LOPTE

Kada se sfera preseče jednom ravni, dobija se deo sfere koji se naziva kalota (sl.24). Površina kalote određuje se, kako i površina lopte, rotiranjem pravilne izlomljene linije, upisane u krugu, oko prečnika tog kruga (sl.23).

13

Neka se rotira deo izlomljene linije ABC. Na taj način nastaju bočne površi kupe i zarubljene kupe, čije su veličine M1=AF2a; M2=GF2a odakle se sabiranjem dobija M=2a(AF+GF)= 2aAG. Ako broj stranica n pravilne izlomljene linije, upisane u luku AC, neograničeno raste, onda se iz poslednje jednakosti neposredno nalazi površina kalote

P=2Rh Na isti način se određuje površina tzv. sferne zone, tj. dela sfere koji nastaje kada se sfera preseče dvema paralelnim ravnima (sl.25). Površina zone može se odrediti i na osnovu obrasca za površinu kalote ako se uzme u obzir da je površina zone, u stvari, jednaka razlici površina dveju kalota, čije su visine h1 i h2. Na osnovu toga je površina zone P=2R(h2-h1), ili, pošto je h2-h1=h, gde je h visina zone, P=2Rh

14

3. Z A P R E M I N E N E K I H O B R T N I H T E L A

3.1. ZAPREMINA VALJKA

Zapreminu valjka pravog ili kosog predstavlja granica kojoj teže zapremine pravilnih prizama upisanim u datom valjku (ili opisanih oko njega), pri neograničenom udvajanju broja osnovnih ivica te prizme. Predpostavlja se da upisana prizma ima n stranica i neka je Bn površina njene osnove. Zapremina V te prizme je V=Bnh, gde je h visina i prizme i valjka. Ako se broj osnovnih ivica neograničeno udvaja, onda je granica kojoj teže površine Bn jednaka površini kruga r2, a granica zapremina upisanih prizama

V=r2h. Prema tome, zapremina valjka je V=r2h Zapremina valjka jednaka je proizvodu površine njegove osnove i visine.

3.2. ZAPREMINA KUPE

Zapremina kupe, prave ili kose, jednaka je granici kojoj teže zapremine pravilnih piramida upisanih u toj kupi ili opisanih oko nje, pri neograničenom udvajanju broja njenih osnovnih ivica. Pretpostavlja se da je oko kupe opisana pravilna piramida sa n strana (sl.20).

Ako je Bn površina osnove te piramide, onda je njena zapremina ,

gde h označava visinu i piramide i kupe. Ako se broj n neograničeno uvećava, onda Bn teži površini kruga, tj. površini osnove kupe, kao svojoj granici. Na osnovu toga zapremina kupe je

Zapremina kupe jednaka je trećini proizvoda površine njene osnove i visine.

3.3. ZAPREMINA ZARUBLJENE KUPE

Zapremina zarubljene kupe, prave ili kose, jednaka je razlici zapremina dveju kupa (sl.14). Neka je OO1=h i SO1=h1. Zapremina V zarubljene kupe u tom slučaju je

Iz sličnosti trouglova SAO i SMO1 dobija se

, odakle je

Smenom ovih vrednosti u prethodnoj jednačini proizilazi

, ili

15

3.4. ZAPREMINA LOPTE

Da bi smo odredili zapreminu lopte moramo prvo dokazati dve teoreme.

TEOREMA 1 Zapremina tela nastalog rotacijom trougla oko ose koja prolazi kroz jedno njegovo teme i leži u ravni trougla, ane seče ga, jednaka je proizvodu površine obrazovane rotacijom osnove trougla i jedne trećine njegove visine. Dokaz - Tu se razlikuju tri moguća slučaja. 1) Osa rotacije xy poklapa se sa jednom stranicom trougla, na primer AB (sl.26). U tom slučaju stranica BC, pri rotiranju oko ose xy, opisuje obrtnu površ kupe, čiji je poluprečnik osnove CE (CE je normalno na AB), a visina BE.

Zapremina te kupe je .

To znači da je zapremina celog obrtnog tela

Pošto je ECAB=ACBD (dvostruka površina trougla ABC), pa se zapremina obrtnog tela može izraziti na ovaj način:

16

gde je ECAC bočna površina kupe, koju obrazuje rotacijom oko ose xy stranica AC trougla ABC. 2) Osa rotacije xy ne poklapa se ni sa AC ni sa BC, i nije paralelna sa stranicom AB (sl.27). Stranica AB je produžena do preseka E sa osom xy. Zapremina tela nastalog rotacijom trougla ABC oko ose xy jednaka je razlici zapremina tela koja nastaju rotacijom trougla ACE i BCE oko ose xy. Razlika zapremine tih tela je

.

Pošto su trouglovi AA1E i BB1E slični, proizilazi

a sa slike se vidi

Rešavanjem ovih dveju jednačina dobija se

.

Smenom ovih obrasca u obrascu za zapreminu dobija se:

što je trebalo dokazati, jer (AA1+BB1) predstavlja bočnu površinu zarubljene kupe koja nastaje rotiranjem osnovice AB oko ose xy.

17

3) Osa rotacije paralelna je osnovici AB trougla ABC (sl.28). U ovom slučaju tražena zapremina koji opisuje stranica AB,umanjena za zbir zapremina kupa koje obrazuju stranice AC i BC rotacijom oko ose xy. Prema tome, zapremina obrtnog tela je u ovom slučaju

Pošto je 2ABDC površina koju opisuje osnovica AB trougla ABC, to je trebalo i dokazati. TEOREMA 2 Zapremina tela nastala rotacijom isečka pravilnog poligona oko ose koja leži u ravni poligona i prolazi kroz njegov centar, a ne seče ga, jednaka je proizvodu površine koju obrazuje odgovarajuća pravilna izlomljena linija i jedna trećina njene apoteme. Dokaz - Dat je isečak pravilnog poligona ABCDEO, ograničenog pravilnom izlomljenom linijom ABCDE i poluprečnicima AO i EO kruga opisanog oko te izlomljene linije (sl.29).

Zapremina tela koje nastaje rotiranjem isečka datog poligona oko ose xy jednaka je zbiru zapremina tela koje nastaju rotacijom oko ose xy trouglova AOC, BOC, COD i DOE. Ako se sa M1, M2, M3 i M4 označe površine nastale rotiranjem duži AB, BC, CD i DE oko ose xy, onda je na osnovu teoreme 1,tražena zapremina

gde je M površina koja nastaje rotacijom čitave izlomljene linije, a a je apotema te linije. Zapremina lopte, nastale rotacijom polukruga oko jednog prečnika, jeste granica kojoj teži zapremina obrtnog tela koje nastaje rotacijom oko iste ose pravilnog poligona upisanog u datom polukrugu kad broj stranica poligona neograničeno raste.

18

Kada broj stranica poligona neograničeno raste, onda površina koja postaje rotiranjem odgovarajuće pravilne izlomljene linije teži svojoj granici - površini

lopte 4R2, a apotema a poluprečniku lopte R, pa je zapremina lopte ,

ili

3.5. ZAPREMINA DELOVA LOPTE

1) Loptin isečak (sektor) nastaje rotacijom kružnog isečka oko ose xy na kojoj leži jedan od graničnih poluprečnika (sl.30). U kružnom isečku SAB upisan je isečak jednog pravilnog poligona, čijom rotacijom oko ose xy nastaje jedno obrtno telo. Zapremina tog tela je, na osnovu teoreme 2:

gde je M površina koju opisuje pravilna izlomljena linija ACDB rotacijom oko ose xy, a a je apotema te linije. Zapremina loptinog isečka je granica kojoj teži zapremina V1 kad broj strana pravilnog poligona neograničeno raste. Pošto u tom slučaju M teži površini

kalote, a a poluprečniku lopte R, zapremina isečka je , ili

,

gde je h visina kalote. 2) Loptin odsečak (segment) nastaje kada se lopta preseče jednom ravni koja ne prolazi kroz njen centar. U stvari, na taj način nastaju dva odsečka, a nas interesuje manji. Loptin odsečak ograničen je odgovarajućom kalotom i krugom - presekom lopte i ravni. Pri tom je visina h kalote u isto vreme i visina odsečka. Zapremina loptinog odsečka dobija se kada se od zapremine loptinog isečka SBAB1 oduzme zapremina kupe SBB1 (sl.30):

19

gde je r poluprečnik osnove odsečka. Pošto je iz pravouglog trougla ABA1, ,poslednja jednakost postaje

,odnosno

3) Loptin sloj je deo lopte ograničen sa dve ravni i odgovarajućim sfernim pojasom (sl. 31). Zapremina sloja dobija se oduzimanjem zapremina odgovarajućih odsečaka

pri čemu je visina sloja h = h2-h1

Sl. 31

20

4. K O N U S N I P R E S E C I

O presecima prave kružne kupe i ravni bilo je reči na početku ovog rada. Tada je utvrđeno da je presek ili jednakokraki trougao (kad ravan prolazi kroz osu, ili kroz dve generatrise i vrh), ili krug (kada je ravan normalna na osu rotacije). U ovom delu biće prikazani i neki drugi preseci kupe i ravni.Generatrisa kružne konusne površi je produžena preko vrha, što znači da njenom rotacijom oko ose rotacije xy postaje dvostruka kružna konusna površ. Ako se pretpostavi da je osa rotacije vertikalna, onda se može govoriti o donjoj i gornjoj konusnoj površi, odnosno o gornjoj i donjoj kupi.

Neka je ugao između generatrise i ose xy. Ako je kupa pritom presečena jednom ravni koja gradi ugao b sa osom xy onda se mogu razmatrati sledeći slučajevi: 1) Ako je b>, onda ravan seče samo jednu polovinu konusne površi, tj. jednu njenu granu i to po jednoj zatvorenoj liniji. 2) U slučaju b=, ravan seče takođe samo jednu gnu, ali sada po jednoj otvorenoj krivoj koja se pruža neograničeno u jednom smeru (sl. 9). 3) Ako je b<, ravan seče obe grane, i to duž otvorene krive, koja se u oba smera pruža u beskonačnost. Može se pokazati da je presek u prvom slučaju elipsa, udrugom parabola, a u trećem hiperbola.

4.1. ELIPSA KAO KONUSNI PRESEK

Predpostavlja se da je b> i da ravan seče donju granu dvostruke kupe (sl.10). U kupi su upisane dve lopte: veća koja dodiruje prosečenu ravan s u nekoj tački F1, i druga, manja, koja dodiruje ravan s u tački F2.

Sl. 9

21

Neka veća lopta dodiruje konusnu površ po krugu a1a2, a manja po krugu b1b2.

Na krivoj duž koje ravan s seče konusnu površ uzeta je proizvoljna tačka M i kroz nju povučena odgovarajuća generatrisa te površi. Ova generatrisa seče krugove a1a2 i b1b2 u nekim tačkama A i B. Pri tome se nalazi MF1=MA, pošto su MF1 i MA dužine dveju dirki povučenih iz tačke M na donju loptu. Na isti način je MF2=MB, samo što je sada reč o gornjoj lopti. Sabiranjem izvedenih jednakosti dobija se MF1+MF2=MA+MB=AB Međutim, AB je generatrisa zarubljene kupe čije su osnove krugovi a1a2 i b1b2, a dužina takve generatrise je stalna. Prema tome, za sve tačke M krive koja leži u preseku ravni s i konusne površi zbir rastojanja MF1+MF2 je konstantan, što znači da je taj presek elipsa, čije su žiže F1 i F2.

4.2. PARABOLA KAO KONUSNI PRESEK

Ovde je reč o slučaju b=. Sada je u konusnoj površi upisana samo jedna lopta, koja dodiruje presečenu ravan s u nekoj tački F, a konusnu površ duž kruga a1a2. Na krivoj koja leži u preseku uzeta je

Sl. 10

Sl. 11

22

proizvoljna tačka M i kroz nju povučena odgovarajuća dirka konusne površi. Neka je A tačka u kojoj generatrisa seče krug a1a2. Iz tačke M je, dalje, povučeno MD normalno na pravu CE, u kojoj se seku ravan s i ravan r, koja prolazi kroz krug a1a2. Sada se neposredno nalazi MF=MA, jer su to dužine dirki povučenih iz tačke M na istu loptu. Sem toga je MA=MD, pošto duži MA i MD grade jednake uglove, =b, sa osom konusne površi, pa i sa ravni r koja je normalna na osu. Odavde se zaključuje da je MF=MD što znači da je proizvoljna tačka presečene krive, M, podjednako udaljena od stalne tačke F (žiže) i stalne prave CE (direktrise). Presek je u ovom slučaju parabola (sl. 11).

4.3. HIPERBOLA KAO KONUSNI PRESEK

Ovde se

razmatra slučaj b<. U obe grane konusne površi upisane su lopte koje dodiruju ravan s u nekim tačkama F1 i F2 i dodiruju konusnu površ duž krugova a1a2 i b1b2

(sl.12). Na dobijenoj presečenoj krivoj uzeta je proizvoljna tačka M i kroz nju povučena generatrisa konusne površi, koja seče krugove a1a2 i b1b2 u tačkama A i B. U tom slučaju je MF1=MA, jer su to dužine dirki povučenih iz spoljne tačke M na donju loptu. Iz istog razloga je MF2=MB, samo što je sada reč o gornjoj lopti. Oduzimanje dobijenih jednakosti nalazi se MF2-MF1=MB-MA=AB. Međutim, AB=AO+OB, što znači da je AB jednako zbiru generatrisa kupa sa osnovama a1a2 i b1b2, a taj zbir je stalan. Prema tome, za sve tačke M jedne grane preseka je razlika MF2-MF1

konstantna, što znači da je presek hiperbola, čije su žiže F1 i F2.Pošto se krug, elipsa, hiperbola i parabola javljaju kao preseci konusne

površi i ravni, ove krive se nazivaju zajedničkim imenom konusni preseci.

Sl. 12

23

5. U Z A J A M N I P O L O Ž A J L O P T E I D R U G I H T E L A

5.1. LOPTA I POLIEDRI

Za poliedar čija sva temena pripadaju sferi kaže se da je upisan u sferu, a za sferu da je opisana oko poliedra. Poliedar čije sve strane dodiruju sferu je opisan oko sfere, a sfera je u njega upisana. Za sferu upisanu u poliedar važi sledeći opšti rezultat: Ako se u poliedar može upisati sfera, njen centar se nalazi u tački preseka simetralnih ravni svih uglova diedra datog poliedra. Ako je u poliedar upisana sfera tada je centar te sfere jednako udaljen od svih strana diedra, što znači da pripada simetralnim ravnima uglova diedra. Da bi se u prizmu mogla upisati sfera potrebno je i dovoljno da se u njen normalni presek može upisati krug, čiji je prečnik jednak visini prizme.(sl.32) Da bi se u piramidu mogla upisati sfera dovoljno je da nagibni uglovi bočnih strana prema osnovi piramide budu jednaki (sl.33).

Ako se oko poliedra može opisati sfera, tada njen centar leži u tački preseka simetralnih ravni svih ivica poliedra. Ako je oko nekog poliedra opisana sfera sa centrom u tački O, tada je tačka O jednako udaljena od svih temena poliedra. Ona zbog toga pripada simetralnim ravnima svih ivica poliedra. Za piramidu i sferu opisanu oko nje važi sledeće tvrđenje:

Sl. 32

Sl. 33

24

Da bi se oko piramide mogla opisati sfera dovoljno je da se oko njene osnove može opisati krug.

5.2. LOPTA I OBRTNA TELA

Lopta je upisana u prav valjak ako osnove i sve izvodnice valjka dodiruju loptu. To je moguće ako je prečnik osnove valjka jednak visini valjka (sl.34). Lopta je upisana u pravu kupu ako osnova i sve izvodnice kupe dodiruju loptu. To je uvek moguće (sl.35).

Lopta je opisana oko valjka ako su osnova valjka preseci lopte. Oko svakog pravog valjka može se opisati lopta (sl.36).

Sl. 34

Sl. 36

Sl. 35

Sl. 37

25

Lopta je opisana oko kupe ako je osnova kupe presek lopte i ako vrh kupe pripada odgovarajućoj sferi. Oko svake kupe može se opisati lopta (sl.37).

26

6. S A D R ŽA J

1. O S N O V N I P O J M O V I.............................................................................21.1. VALJAK......................................................................................................21.2. KUPA.........................................................................................................31.3. ZARUBLJENA KUPA....................................................................................41.4. LOPTA.......................................................................................................41.5. DELOVI LOPTE...........................................................................................5

2. P O V R Š I N E N E K I H O B R T N I H T E L A............................................72.1. POVRŠINA VALJKA.....................................................................................72.2. POVRŠINA KUPE........................................................................................72.3. POVRŠINA ZARUBLJENE KUPE...................................................................82.4. POVRŠINA LOPTE......................................................................................82.5. POVRŠINA DELOVA LOPTE......................................................................10

3. Z A P R E M I N E N E K I H O B R T N I H T E L A......................................113.1. ZAPREMINA VALJKA.................................................................................113.2. ZAPREMINA KUPE....................................................................................113.3. ZAPREMINA ZARUBLJENE KUPE...............................................................113.4. ZAPREMINA LOPTE..................................................................................123.5. ZAPREMINA DELOVA LOPTE....................................................................13

4. K O N U S N I P R E S E C I............................................................................154.1. ELIPSA KAO KONUSNI PRESEK................................................................154.2. PARABOLA KAO KONUSNI PRESEK..........................................................164.3. HIPERBOLA KAO KONUSNI PRESEK.........................................................16

5. U Z A J A M N I P O L O Ž A J L O P T E I D R U G I H T E L A..................175.1. LOPTA I POLIEDRI....................................................................................175.2. LOPTA I OBRTNA TELA............................................................................17

6. S A D R ŽA J....................................................................................................19

7. L I T E R A T U R A :.......................................................................................20

27

7. L I T E R A T U R A :

[1] Stjepan Mintaković: Zbirka zadataka iz stereometrije, Zavod za izdavanje uxbenika, Sarajevo, 1965. [2] Dr Ivan M. Bandić, Dr Milica Ilić - Dajović: Matematika za III razred gimnazije prirodno-matematičkog smera, Zavod za uxbenike i nastavna sredstva, Beograd, 1973. [3] Dr Jovan D. Kečkić: Matematika sa zbirkom zadataka za III razred srednje škole, Naučna knjiga, Beograd, 1992. [4] Rade M. Dacić, Zoran A. Ivković, Dragomir I. Lopandić, Pavle M. Miličić: Matematika za II razred zajedničke osnove srednjeg usmerenog obrazovanja, Naučna knjiga, Beograd, 1978..[5] Mr Vene T. Bogoslavov: Zbirka rešenih zadataka iz matematike III, Zavod za uxbenike i nastavna sredstva, Beograd, 1983.

28