Obtenção e Obtenção e Tratamento de Tratamento de
DadosDados
Laboratório de Engenharia
Engenheiro determina e utiliza constantemente dados
experimentais para:
•Testar predições teóricas
•Analisar performances de processos
•Determinar modelos matemáticos (equações empíricas)
para projeto de equipamentos
•Etc.
O significado das conclusões obtidas a partir de nossos
dados dependerá
•Qualidade dos dados
•Metodologia de cálculo: modelos e métodos
Qualidade dos resultados :
Grau de exatidão requerida é estabelecido pelo uso que será
dado a esses dados
Pesquisa completas : no tempo e custo disponível
Medidas: como processar resultados?
Número de medidas: replicatas
• MedidaMedida : resultado de uma medição, acompanhado da unidade conveniente.
• Usualmente: 3
• Porém isto depende da incerteza da medição e da dificuldade de obtenção do dado (custo e tempo)
Exemplo de resultados em triplicata
0
20000
40000
60000
80000
100000
120000
140000
160000
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Deformação
Ten
são
(Pa)
0
500
1000
1500
2000
2500
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1Deformação
Te
ns
ão
(P
a)
Textura de géis lácteos e de goiaba
Tipos de erros
SISTEMÁTICOSSISTEMÁTICOS ACIDENTAIS ou ALEATÓRIOSACIDENTAIS ou ALEATÓRIOS
• Instrumentais: calibração
• Método usado
• Pessoais
• Ambientais
Podem ser corrigidos ou Podem ser corrigidos ou parcialmente compensadosparcialmente compensados
•Pessoais: imperícia, cansaço ou distração.• Enganos (fortuitos) na leitura das escalas.•Diferenças grandes entre as amostras (produtos naturais)
Conduzem a resultados díspares dos Conduzem a resultados díspares dos restantesrestantes
(necessidade de realizar várias medidas (necessidade de realizar várias medidas experimentais)experimentais)
GROSSEIROSGROSSEIROS
• Falhas do operador: engano na leitura da medida ou troca de unidades
Mais cuidado na realização das medidasMais cuidado na realização das medidas
Avaliação da dispersão dos dados
EXATIDÃOEXATIDÃO PRECISÃOPRECISÃO
(medida (medida exataexata mas mas não precisanão precisa)) (medida (medida precisaprecisa mas mas não exata, não exata, ou sejaou seja,,a medida pode não estar próxima a medida pode não estar próxima ao valor real, mas o desvio entre ao valor real, mas o desvio entre as medidas é baixoas medidas é baixo ))
Erros SistemáticosErros Sistemáticos Erros Acidentais ou AleatóriosErros Acidentais ou Aleatórios
………………..afetada………....afetada………..
Exemplos
Incerteza nas medidas
Erro: diferença entre valor medido e o real
Desvio: diferença entre o valor medido
e o que mais se aproxima do real -
dispersão dos valores
Erros e desvios: diferença
Valor médio ou média aritmética:Valor médio ou média aritmética:
xx x x
1 2... n
n
x1, x2, …, xn – medidas experimentais
n – número de medidas
Desvio de cada medida:Desvio de cada medida:
xxii
Interpretação das medidas: valor médio e desvio
Dispersão
Desvio médio (Desvio médio (mm)) Desvio absoluto (Desvio absoluto (aa))
Desvio padrão (Desvio padrão ())n
n
1ii
m)(máxia
)1n(
)2i
x(x
n pequeno (menor que 10)n pequeno (menor que 10)
n elevado n elevado (distribuição normal)(distribuição normal)
Interpretação das medidas: desvio padrão, médio e absoluto
iânciavar2
34%34%
2 DP
Média
1 DP 1 DP
68,3%
2 DP
95,5%
3 DP 3 DP
99,7%
Interpretação das medidas: distribuição normal
Método Student
Quando o número de pontos experimentais que se conta
para calcular a media é baixo, a estimativa do descio padrão
por não da uma boa estimativa do 1
)( 2
n
xxs i
x
Pode demostrar-se que o intervalo de confiança
para uma dada probabilidade P:
tabeladofatortn
stx pn
xpn ,1,1 ;
Distribuição do t de student
grau de liberdade/ P
0,5 0,7 0,9 0,95
1 1 1,963 6,3 12,7
2 0,816 1,386 2,92 4,303
3 0,765 1,250 2,353 3,182
4 0,741 1,190 2,132 2,776
5 0,727 1,156 2,015 2,571
Grau de liberdade= n-1
P= probalidade de achar a media
num intervalo de confiança eo
6,02,8
63,04,0.59,14/4,0.182,3
int%95;4;4,0;2,8
0
e
econfiânçadeervalopnsx ox
Incerteza Incerteza absoluta (mesma amostra)absoluta (mesma amostra)::
,
m
a
máxx
Incerteza Incerteza relativa (diferentes amostras)relativa (diferentes amostras)::
xx
xr
Apresentação do resultado Apresentação do resultado de uma medida:de uma medida:
xxx
Interpretação das medidas: Incerteza
xxxxx
x
- x + x
Resultado Resultado aceitávelaceitável
XXvv
Resultado Resultado não aceitávelnão aceitável
XXvv
Interpretação das medidas: avaliação dos resultados
Grandeza G é função das variáveis gGrandeza G é função das variáveis gi i (ex: propriedades físicas):(ex: propriedades físicas):
G = f ( g1, g2, ..., gn )
g1, g2, ..., gn – grandezas obtidas por medição direta
Valor médio da grandeza G:Valor médio da grandeza G:
G = f ( 1, 2, ..., n ) g g g
gi - incerteza absoluta da grandeza gi
iii ggg
Medidas indiretas: propagação de erros
Equação de Propagação de ErrosEquação de Propagação de Erros
i
n
i i
n gg
gggfG
1
21),...,(
Medidas indiretas: propagação de erros
Seja a função uma somatória:
iáveswzy
tesconsCBACwBzAyG
var,,
tan,,;
i
n
i i
n gg
gggfG
1
21),...,(
wCzByAG
Supor os erros sempre com o mesmo sinal:
estimativa conservadora
Função:iáveiswzyCteAwzAyG var,,;;/.
i
n
i i
n gg
gggfG
1
21),...,(
wwAyzzwAyywAzG )/()/()/( 2
Dividindo por G
ww
Ayzz
wAyz
wAyy
wAyz
wAzGG
2/
/
/
//
wwzzyyGG ////
Para esta função ( G=A.y.z/w): o erro de
relativo de G : somatória do erros relativos das
variáveis
Quando na função aparecem potencias :
32zAyG
32wAyG
i
n
i i
n gg
gggfG
1
21),...,(
zwyAyywAG ).3..().2.( 223
Dividindo por G
wwyyGG
zwAy
wyAy
wAy
ywAGG
/3/2/
.3...2./
32
22
32
3
Logo em geral:
edcba yyyyyAG 54321 ./...
5544332211 ////// yyeyydyycyybyyaGG
•As variáveis com maiores erros relativos terão maior
influencia na função G determinada
•Maior é a potencia a qual a variável está afetada maior
será a influencia do erro da medida desta variável
O Cálculo da Incerteza Incerteza
AbsolutaAbsoluta permite
determinar o número de
Algarismos SignificativosAlgarismos Significativos
da grandeza medida
Medidas indiretas: algarismos significativos
Natureza do instrumento(sensibilidade ou precisão do instrumento)
(valor da menor divisão da escala do
instrumento)
algarismos exatos+
1º algarismo duvidoso (metade da menor divisão)
Algarismos significativos
Algarismos significativos: definição
Exemplo…
l = 29,4 mm
algarismo avaliado (duvidoso)lido por estimativa
Algarismos significativos: exemplo
Medidas em equipamentos mais complexos: podem resultar
que a precisão da medida seja inferior a escala do elemento
de medida:
Exemplos :
• flutuação num manômetro instalado numa
tubulação causada pela variação da vazão de
fluido que escoa na mesma
•Mudanças rápidas nas características de
uma amostra( evaporação)
I - O algarismo zero só é significativo se situado à direita de um outro algarismo significativo (diferente de zero)
Exemplos…Exemplos…
0,00015 2 algarismos significativos
3600 4 algarismos significativos
Algarismos significativos: regras
Com quantas cifras significativas posso dar meu resultado????
Media da medida 15,04467????
A estimativa do erro me da quais são as cifras significativas
15,04 0,15
Estimativa do erro
(geralmente com dois cifras significativas0,15
Regras de arredondamento
Como descartar as cifras não significativas
•Quando a cifra significativa ( posição n) é maior que 5 se
acrescenta 1 na cifra n-1
•Quando é menor que 5 ( posição n) , a cifra em n-1 não é
alterada
•Quando é igual a cinco se arredonda para dar um número
impar Exemplo:
15,04444±0,15 15,04
15,0583±0,15 15,06
15,0453±0,15 15,05
15,0753±0,15 15,07
II- Operações:
1) Adição e subtraçãoAdição e subtração - número de casas decimais igual ao da parcela com menor número de casas decimais
ExemploExemplo 116,4 + 3,21 + 22,15 = 31,7 ≈ 31,8
ExemploExemplo 227,931 - 1,3 = 6,6 ≈ 6,6
6
31
Algarismos significativos: regras simplificadas
2) Multiplicação e divisãoMultiplicação e divisão - mesmo número de algarismos significativos do fator com menor número de algarismos significativos
ExemploExemplo 113,6 x 0,03 = 0, 108 ≈ 0, 1
ExemploExemplo 22700 : 15 = 46,6(6) ≈ 47
Algarismos significativos: regras simplificadas
i
n
i i
n gg
gggfG
1
21),...,(
Equação também é valida para erros padrão e
variância
Para calcular em forma mais exata o número de
cifras significativas de G: deveria utilizar a
anterior equação
Diferenças significativas entre resultados
• Uso do teste-F para avaliar diferenças significativas. Havendo diferenças significativas realizam-se testes de comparação múltipla: – Newman-Keuls (Newman, 1939, Keuls, 1952)– Tukey (Tukey, 1953) – Scheffé (Scheffé, 1953; 1959) – Dunnett (Dunnett, 1955)
• O teste de Tukey é o mais usado.
Tratamento de dados: análise gráfica
Representações gráficas são empregadas para:
•Ajudar a visualizar o processo
•Representação dos dados quantitativos , equação
teórica ou empírica
•Comparar os dados experimentais com modelos
teóricos ou empíricos
A forma do gráfico traduz o tipo de relação A forma do gráfico traduz o tipo de relação
matemática entre as variáveismatemática entre as variáveis
Um gráfico com a forma de uma retareta
fornece-nos a constante de linearidadeconstante de linearidade
entre duas variáveis em análise
Tratamento de dados: análise gráfica
Análise da dispersão das leituras
Pouco disperso Muito disperso
Análise de erros no método gráfico: mínimos quadrados e coeficiente de correlação (R2)
n
ii
n
ii
n
iii
yyxx
yyxxR
1
2
1
2
1
Análise gráfica: vantagens
Análise gráfica: regressão linear
Yi
i
X
Y
0
1 Coeficienteangular
Inclinaçãoda retaIntercepto Variável
Independente
Variável Dependente Yi=0+1Xi
Ŷi=b0+b1Xi
i =Yi-Ŷi
Modelo estimado
Resíduo
Análise gráfica: regressão linear( quadrados
mínimos)
2
1
2
1
)()( n
ii
n
ii ybxayY
ibxaY
•Foram realizadas medidas de y (variável dependente) vs. x( variável
independente )
•Propõe -se uma equação linear
•Y= variável estimada ; y=variável medida
O método minimiza a somatória dos quadrados
em função de a e b
0)(
0)(
2
2
b
yY
a
yY
ii
ii
n
i
n
ii
n
i
xx
yyxb
n
ya
1
2
1
1
)(
)(
;Resultam os valores de a e b
Encontrando os mínimos em
relação as constantes
Análise gráfica: regressão não-linear
Modelos não-lineares:
• Linearizável– Equação pode ser convertida em modelo
linear.
• Não linearizável– A transformada em modelo linear não é
possível.
Modelos não lineares “linearizáveis”
• Diversos modelos:
– Polinomial– Lei da potência– Exponencial– Logaritímico
Modelos não lineares: polinomial
• Linear:
• Parabólico:
• Cúbico e de ordens mais elevadas:
• Regressão linear múltipla.
ii bXaY
kikiiii XbbXbXbXbaY ...3
33
221
221 iii XbXbaY
Modelos não lineares: Lei da Potência
• Equação do tipo lei da Potência:
• Aplicando logaritmos:
Xii abY
ii XbaY log)log()log(
Modelos não lineares: Exponencial
• Modelo de crescimento exponencial:
• Linearizado:
Xbi aeY
ii bXaY )ln()ln(
Modelos não linearizáveis
• Alguns modelos não podem ser linearizados.
- Curva de inativação microbiana:
- Ou modelos de difícil linearização como resolução de equações diferenciais
XBeyP
1
1)(
Modelos não linearizáveis• Parâmetros do modelo (não linear) são
estimados por otimização usando critério dos mínimos quadrados
• Programas de quadrados mínimos não lineares: Statistica, Origin, etc.
2
1)( i
n
i i yYS
Modelos não linearizáveis: resolvendo o problema
• Usando o Excel...