PROGRAMA FRANCISCO EDUARDO MOURÃO SABOYA DE
PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA ESCOLA
DE ENGENHARIA UNIVERSIDADE FEDERAL
FLUMINENSE
Dissertação de Mestrado
OBTENÇÃO SIMPLIFICADA DE CURVAS TENSÃO-DEFORMAÇÃO CÍCLICAS A PARTIR DE
ENSAIOS MONÓTONOS.
RODRIGO DE PAULA DUARTE
AGOSTO DE 2015
RODRIGO DE PAULA DUARTE
OBTENÇÃO SIMPLIFICADA DE CURVAS TENSÃO -DEFORMAÇÃO CÍCLICAS A PARTIR DE ENSAIOS
MONÓTONOS.
Dissertação apresentada ao Programa
Francisco Eduardo Mourão Saboya de Pós -
Graduação em Engenharia Mecânica da UFF ,
como parte dos requisi tos para a obtenção do
t í tu lo de Mestre em Ciências em Engenharia
Mecânica.
Orientador: Heraldo Si lva da Costa Mattos (PGMEC/UFF )
UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE
NITERÓI, AGOSTO DE 2015
II
OBTENÇÃO SIMPLIFICADA DE CURVAS TENSÃO -DEFORMAÇÃO CÍCLICAS A PARTIR DE ENSAIOS
MONÓTONOS.
Esta dissertação foi julgada adequada para a obtenção do título de
MESTRE EM ENGENHARIA MECÂNICA
Área de concentração: Mecânica dos Sólidos
Aprovada em sua forma final pela Banca Examinadora formada pelos professores:
Prof. Heraldo Silva da Costa Mattos (Ph.D) Universidade Federal Fluminense
(Orientador)
Prof. João Marciano Laredo Reis (Ph.D.) Universidade Federal Fluminense
Prof. Pedro Manuel Calas Lopes Pacheco (D.Sc.) Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca (CEFET-RJ)
III
Dedico este trabalho
à minha noiva,
aos meus pais,
aos professores,
aos meus familiares,
e a todos os meus amigos.
IV
AGRADECIMENTOS
À Universidade Federal Fluminense, que me graduou como engenheiro
mecânico e me ofereceu inúmeras oportunidades de acesso ao conhecimento.
Ao Professor Heraldo Silva da Costa Mattos pela orientação, pelas palavras de
incentivo e pelo apoio constante.
Ao Curso de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica da Universidade Federal
Fluminense que me concedeu esta oportunidade.
À minha noiva Maíra Guzzo Rodrigues por todo o amor, amizade, compreensão
e apoio durante esta caminhada.
Aos meus pais José Duarte e Leia de Souza Paula Duarte que foram os
responsáveis pela minha formação, educação e também pelo apoio e amor em toda
minha vida e à minha irmã Luciana de Paula Duarte, pelo companheirismo e amizade.
A todos os meus familiares, amigos e colegas pela ajuda sempre presente e pelo
incentivo em continuar os estudos.
V
RESUMO
Uma definição adequada do comportamento elasto-plástico cíclico é uma etapa
fundamental em qualquer método para predição da fadiga de baixo ciclo numa estrutura
metálica. Em geral, as equações constitutivas mais realísticas para a plasticidade cíclica
são consideradas complexas demais para serem usadas em problemas mais simples de
engenharia, já que supostamente elas requerem simulações caras, usando códigos de
elementos finitos mais sofisticados. Muitos códigos comerciais consideram equações
constitutivas sofisticadas (como o modelo de Lemaitre-Chaboche). No entanto, todos
esses códigos requerem que o usuário forneça as propriedades do material, ou seja, as
constantes que caracterizam o material na teoria. Dentro dessas constantes, justamente
as relacionadas com os endurecimentos cinemático e isotrópico podem variar
amplamente, ainda que para um mesmo material, visto que elas dependem de fatores
microestruturais como, por exemplo, fases, tamanho de grão, etc. Desta maneira, essas
propriedades são de difícil caracterização em tabelas, pois há muitas variáveis
envolvidas. Além disso, durante testes, uma flexão importante pode ocorrer no
espécime devido ao desalinhamento das garras. No presente trabalho é apresentado um
procedimento experimental simplificado para identificar os parâmetros relacionados
com os endurecimentos cinemático e isotrópico, usando apenas um ensaio de tração, o
qual pode ser realizado em máquinas bastante simples. Ele é adequado em materiais
com endurecimento ou amolecimento cíclicos desprezíveis. Curvas cíclicas obtidas,
utilizando-se deste procedimento simplificado, são comparadas com curvas tensão
versus deformação obtidas em ensaios cíclicos, mostrando uma boa concordância nos
resultados.
VI
ABSTRACT
An adequate definition of the cyclic elasto-plastic behaviour is a basic step for
any method of low-cycle fatigue prediction of a metallic structure. Generally, the most
physically realistic constitutive theories of cyclic plasticity are considered too complex
to be used in simpler engineering problems, since they are supposed to require
expensive numerical simulations using sophisticate finite element codes. Many
commercial codes are able to account for sophisticated constitutive equations (such as
the Lemaitre-Chaboche model). Nevertheless, every existing commercial codes require
the user to provide the adequate material parameters that pondered in the constitutive
theory. The material constants related with the isotropic and kinematic hardening may
vary a lot, even for the same material, since they depend on many microstructural
factors, such as phases, grain size and so on. The experimental identification of these
variables require cyclic tests, which are not easy to perform. In some tests, due to some
misalignment of the grips, a non-negligible flexion of the specimen may occur. The
present work is concerned with the proposition of a simple experimental procedure to
identify all material parameters related with the isotropic and kinematic hardening in the
Lemaitre-Chaboche model using only one tensile test that can be performed in any
ordinary testing machine. This is true in particular cases with negligible cyclic softening
or hardening. The cyclic curves obtained using the simplified approach are compared
with the curves obtained in cyclic tests, showing a very good agreement on the results.
VII
SUMÁRIO Resumo ...................................................................................................................... V
Abstract ................................................................................................................... VI
Sumário .................................................................................................................. VII
Lista de Figuras ...................................................................................................... IX
Lista de Tabelas.................................................................................................... XIII
Lista de Símbolos ................................................................................................ XIV
1. Introdução ................................................................................................................ 1
1.1. Proposta do Presente Trabalho ............................................................................ 3
2. Referências Bibliográficas .................................................................................. 4
2.1. Conceitos fundamentais sobre ensaios trativo-compressivos cíclicos .............. 4
2.1.1. Tensão e Deformação ................................................................................ 6
2.1.2. Fenômenos durante ensaios em materiais metálicos ............................... 10
2.2. Modelo e identificação de coeficientes em ensaios uniaxiais em materiais
metálicos....................................................................................................................... 23
2.2.1. Equações do Modelo ............................................................................... 23
2.2.2. Identificação dos Coeficientes ................................................................ 23
3. Materiais e Métodos ............................................................................................ 28
3.1. Materiais Utilizados ............................................................................................ 28
3.2. Ensaios Cíclicos ................................................................................................... 29
3.2.1. Corpos de Prova para Ensaios Cíclicos ................................................... 29
3.2.2. Equipamentos para os Ensaios Cíclicos Trativo-Compressivos ............. 31
3.2.3. Cuidados durante a execução dos Ensaios Cíclicos ................................ 35
3.3. Ensaios Trativos .................................................................................................. 36
3.3.1. Corpos de Prova para Ensaios Trativos Monótonos ............................... 36
3.3.2. Equipamentos para os Ensaios Trativo ................................................... 37
3.3.3. Resultados e Análises .............................................................................. 41
4. Manuseio das Curvas ......................................................................................... 47
4.1. Obtenção da Curva de um Ensaio Cíclico ........................................................ 47
4.1.1. Considerações.......................................................................................... 47
VIII
4.1.2. Método para Obtenção da Curva Estabilizada ........................................ 48
4.1.3. Resultados para o Ciclo Estabilizado Simulado Inicial .......................... 52
4.2. Método Numérico Implementado ...................................................................... 52
4.2.1. Resumo das Instruções ............................................................................ 53
4.2.2. Detalhamento das Instruções ................................................................... 54
4.2.3. Código Comentado .................................................................................. 54
4.3. Comparação do Método...................................................................................... 65
4.3.1. Comparação do Método para o ASTM 6351. ......................................... 70
4.3.2. Comparação do Método para o ASTM 7075. ......................................... 73
5. Conclusão ................................................................................................................ 76
5.1. Conclusões e Sugestões para Trabalhos Futuros ............................................. 76
Referências Bibliográficas ..................................................................................... 78
IX
Lista de Figuras
Figura 1.1 - Geometria dos Corpos de Prova Padrão. Fonte: [1] 01
Figura 1.2. - Sistema de Alinhamento da garra. Fonte: [1] 02
Figura 2.1 - (a) Corpo de prova de seção circular; (b) Corpo de prova de seção
retangular. Fonte [2] 05
Figura 2.2 - Exemplo de uma máquina universal com parafuso e outra controlada por
um pistão. Fonte [4] 06
Figura 2.3 - Relação da Tensão e da Deformação sob um carregamento uniaxial.
Fonte [10] 08
Figura 2.4 - Comparação entre as curvas tensão vs deformação para um aço de baixo
carbono com uma liga de alumínio. Fonte: [5] 09
Figura 2.5 - Fenômeno do Endurecimento faz variar a tensão limite de escoamento
devido à plastificação. Fonte [1] 10
Figura 2.6 - Carregamentos prescritos. Fonte [1] 11
Figura 2.7 - Efeito Bauschinger. Fonte [1] 12
Figura 2.8 - Efeito Bauschinger para liga de alumínio ASTM 7050 a temperatura
ambiente. 13
Figura 2.9 - Liga de alumínio ASTM 7050 a temperatura ambiente. Ensaio cíclico com
deformação prescrita. Variação da tensão limite de escoamento. 13
Figura 2.10 - Curva Tensão vs Deformação em um ensaio cíclico em um liga ASTM
7050 a temperatura ambiente. 15
Figura 2.11 - Curva Tensão vs deformação plástica associada de um ensaio cíclico em
uma liga ASTM 7050. 15
X
Figura 2.12 - Tensão vs Deformação Plástica Acumulada de um ensaio cíclico em uma
liga ASTM 7050. 16
Figura 2.13 - Variação do segmento elástico no ensaio da liga ASTM 7050. Fonte: [1] 17
Figura 2.14 - Visualização das variáveis X e Y. Fonte: [1] 17
Figura 2.15 - Curva típica do endurecimento isotrópico versus deformação plástica
acumulada. Fonte: [1] 18
Figura 2.16 - Curva endurecimento cinemático vs deformação plástica, típica para
ensaios monótonos com temperatura constante. Fonte: [1] 18
Figura 2.17 - Evolução do endurecimento cinemático típica em ensaios cíclicos. Fonte:
[1] 18
Figura 2.18 - Fenômeno de Amolecimento Cíclico em amplitude de deformação
prescrita. Fonte: [1] 19
Figura 2.19 - Fenômeno de Amolecimento Cíclico em amplitude de tensão prescrita. 19
Figura 2.20 - Fenômeno de Endurecimento Cíclico com amplitude de deformação
prescrita. Fonte [1] 20
Figura 2.21 - Fenômeno de Endurecimento Cíclico com amplitude de tensão prescrita.
Fonte [1] 20
Figura 2.22 - Fenômeno de Adaptação Elástica. Fonte [1] 21
Figura 2.23 - Fenômeno de Acomodação Plástica. Fonte [1] 21
Figura 2.24 - Deformação plástica cíclica sem estabilização. Fonte [1] 22
Figura 2.25 - Endurecimento Cíclico numa liga ASTM 6351. 22
Figura 2.26 - Flexão do corpo de prova numa liga ASTM 6351. 22
Figura 2.27 - Carregamento com deformação prescrita para identificação dos
coeficientes. Fonte: [1] 23
Figura 2.28 - Identificação experimental de σy. Fonte: [1] 24
XI
Figura 2.29 - Comparação entre a curva experimental obtida e a curva para o ciclo
estabilizado. 25
Figura 3.1 - Corpos de Prova segundo a norma ASTM E606/E606M-12. Fonte [10] 29
Figura 3.2 - Geometria dos Corpos de Prova para Ensaios Cíclicos. Fonte [10] 30
Figura 3.3 - Sentido de laminação e de obtenção dos corpos de prova. Fonte [1] 31
Figura 3.4. Exemplo de um Equipamento para Ensaios Cíclicos. Fonte: Instron 32
Figura 3.5 - Extensômetro anexado a um corpo de prova 33
Figura 3.6 - (a) Esquemático de um extensômetro elétrico resistivo.
(b) Esquema de montagem em um corpo de prova. 33
Figura 3.7 - Diferentes modos de fixação segundo a norma ASTM E606/606M-12.
Fonte [10] 34
Figura 3.8 - Sistema de fixação com garra. Fonte Instron. 35
Figura 3.9 - Sistema de alinhamento da garra. Fonte [1] 36
Figura 3.10 - Geometria dos corpos de prova prismáticos utilizados nos ensaios trativos. 37
Figura 3.11 - Máquina de Ensaios Universal Shimadzu AG-100kNX. Fonte Shimadzu 38
Figura 3.12 - a)Teste 1, deslocamentos medidos com uma câmera de precisão;
b)Teste 2, deslocamentos medidos com um extensômetro. 39
Figura 3.13 - Adesivos para a obtenção dos deslocamentos. 39
Figura 3.14 - Vídeo-extensômetro do LED / LMTA. 40
Figura 3.15 - Esquemático com o funcionamento de um vídeo-extensômetro. 42
Figura 3.16 - Tensão x Deformação para os ensaios com a câmera e com o
extensômetro. 42
Figura 3.17 - Medição dos Módulos de Elasticidade a 0,02% e 0,2% de deformação. 43
Figura 3.18 - Deformação Plástica Associada. 44
XII
Figura 3.19 - Medição de v1 e v2. 45
Figura 4.1: Carregamentos e deformações prescritas. Fonte [1] 47
Figura 4.2: Primeira translação. 48
Figura 4.3: Segunda translação. 49
Figura 4.4: Restrição para o intervalo escolhido. 50
Figura 4.5: Rotação da curva. 50
Figura 4.6: Ciclo estabilizado. 51
Figura 4.7 - Interface para a entrada de dados. 53
Figura 4.8 - Curva Tensão x Deformação para o Ensaio de Tração Monótono da liga
ASTM 6351. 65
Figura 4.9 - Curva Tensão x Deformação para o Ensaio de Tração Monótono da liga
ASTM 7050. 66
Figura 4.10 - Simulação da Curva Tensão x Deformação para o Ensaio Trativo-
Compressivo Cíclico para a liga ASTM 6351. 66
Figura 4.11 - Simulação da Curva Tensão x Deformação para o Ensaio Trativo-
Compressivo Cíclico para a liga ASTM 7050. 67
Figura 4.12 - Curva Tensão x Deformação para o Ensaio Realizado Trativo-
Compressivo Cíclico para a liga ASTM 6351. 67
Figura 4.13 - Curva Tensão x Deformação para o Ensaio Realizado Trativo-
Compressivo Cíclico para a liga ASTM 7050. 68
Figura 4.14 - Curva Tensão x Deformação Plástica o Ensaio Cíclico Realizado para a
liga ASTM 6351. 68
Figura 4.15 - Curva Tensão x Deformação Plástica o Ensaio Cíclico Realizado para a
liga ASTM 7050. 69
Figura 4.16 - Intervalo onde o Ciclo é convergente para a liga ASTM 6151. 69
XIII
Figura 4.17 - Intervalo onde o Ciclo é convergente para a liga ASTM 7050. 70
Figura 4.18 - Comparação entre o Ensaio Cíclico Simulado e o Ensaio Cíclico Não
Estabilizado para a liga ASTM 6351. 71
Figura 4.19 - Comparação entre Ciclo Estabilizado e o Ensaio Cíclico Não Estabilizado
para a liga ASTM 6351. 71
Figura 4.20 - Comparação entre Ciclo Estabilizado e o Ensaio Cíclico Simulado para a
liga ASTM 6351. 72
Figura 4.21 - Comparação entre o Ensaio Cíclico Simulado e o Ensaio Cíclico Não
Estabilizado para a liga ASTM 7050. 73
Figura 4.22 - Comparação entre Ciclo Estabilizado e o Ensaio Cíclico Não Estabilizado
para a liga ASTM 7050. 74
Figura 4.23 - Comparação entre Ciclo Estabilizado e o Ensaio Cíclico Simulado para a
liga ASTM 7050. 74
XIV
Lista de Tabelas
Tabela 2.1 - Razão dimensional dos CPs adotados em diferentes normas. 5
Tabela 3.1 - Composição Química das Ligas de Alumínio. 28
Tabela 3.2 - Resultados dos Ensaios de Tração Monótonos. 45
Tabela 4.1 - Resultados do Ciclo Estabilizado Simulado. 52
Tabela 4.2 - Comparação dos Resultados para a liga ASTM 6351. 72
Tabela 4.3 - Comparação dos Resultados para a liga ASTM 7050 75
XV
Lista de Símbolos
L0 Comprimento inicial do corpo de prova;
D0 Diâmetro inicial do corpo de prova;
A0 Área inicial do corpo de prova;
F(t) Função força aplicada ao corpo de prova em relação ao tempo;
ΔL Alongamento do corpo de prova;
σ(t) Função Tensão aplicada ao corpo de prova em relação ao tempo;
ε(t) Função deformação aplicada ao corpo de prova em relação ao tempo;
1 Tensor identidade;
Tensor de Cauchy;
Tensor deformação;
Coeficiente de Poisson;
tr (·) Traço de um tensor;
Trabalho por unidade de volume em relação ao tempo;
ε0p Deformação plástica;
p0 Deformação plástica acumulada;
Y Endurecimento isotrópico;
X Endurecimento cinemático;
a, b Constantes referentes ao comportamento plástico do material;
S
Tensor desviador de tensão;
u Deslocamento em determinado ponto material;
XVI
sr componente radial da tensão;
sq
componente circunferencial da tensão;
sz
componente axial da tensão;
uS
tensão de ruptura;
ρ resistividade do material;
v1, v2 Parâmetros relacionados com o endurecimento isotrópico;
E Módulo de elasticidade do material.
1
CAPÍTULO 1
1. INTRODUÇÃO
1.1.PROPOSTA DO PRESENTE TRABALHO
O presente trabalho leva em consideração os modelos de elasto-platicidade
introduzidos por Lemaitre-Chaboche que vêm sendo utilizados amplamente em
pesquisas nessa área. No entanto, para o uso efetivo do modelo, é necessário medir
variáveis intrínsecas não somente ao material, como também ao elemento que será
utilizado na aplicação, pois muitas dessas variáveis também estão relacionadas com o
processo de fabricação da peça. Sendo assim, ensaios cíclicos trativo-compressivos,
atualmente, são uma etapa obrigatória para cada elemento analisado.
Devido às variações e à complexidade do modelo, o método de elementos finitos
tornou-se ferramenta frequentemente utilizada neste tipo de análise. Todavia, as
variáveis do material continuam sendo requeridas como entrada, novamente carecendo
de um ensaio cíclico trativo-compressivo.
Esse tipo de ensaio, ainda hoje, encontra uma série de dificuldades para a sua
realização que podem ser tanto econômicas, quanto práticas e humanas, e que acabam
tornando-se entraves para o desenvolvimento de pesquisas neste campo.
A possibilidade de ser executado um ensaio cíclico trativo-compressivo nem
sempre pode ser contemplada em todos os equipamentos, devido a limitações do próprio
equipamento ou a dificuldades na usinagem de um corpo de prova resistente à
flambagem. Os corpos de prova padrões devem possuir dimensões complexas de se
obter, nem sempre alcançáveis nos equipamentos de usinagem disponíveis, como o
corpo de prova padrão representado na figura 1.1.
2
Figura 1.1 – Geometria dos Corpos de Prova Padrão. Fonte: [1]
As limitações do equipamento de ensaio incluem as dificuldade de controle e as
deficiências da garra, que deve evitar o escorregamento e o desalinhamento, para que o
corpo de prova não flambe ou fleta, como mostrado na Figura 1.2, a seguir. Para um
controle efetivo, são necessárias experiência, acuidade e domínio do equipamento de
testes, este o qual muitas vezes não é bem manuseado nem mesmo pela equipe de
vendas do próprio fabricante.
Figura 1.2 – Sistema de Alinhamento da garra. Fonte: [1]
No presente trabalho, será demonstrada a possibilidade de gerar-se uma curva do
ciclo estabilizado a partir de uma curva obtida apenas em um ensaio de tração
monótono, utilizando-se um corpo de prova retangular, não havendo desta maneira a
preocupação com a flambagem do mesmo.
3
Por se tratar de um ensaio trativo monótono, dispensam-se os custos com a
fabricação de corpos de prova complexos e dos com um equipamento muito mais
dispendioso de recursos monetários e humanos, visto que é um ensaio que pode ser
executado em equipamentos vastamente conhecidos experimentados pela comunidade
científica.
Em seguida, para validação do método, as curvas obtidas serão comparadas com
curvas estabilizadas obtidas em ensaios cíclicos reais, realizados por Feliciano e da
Costa Mattos em [1], para um corpo de prova cilíndrico de dimensões padrão, feito em
alumínio.
No Capítulo 2, serão apresentados os conceitos fundamentais sobre ensaios
trativos, ensaios de carga e descarga e ensaios cíclicos, necessários para o bom
entendimento deste trabalho, concomitantemente à revisão bibliográfica.
O Capítulo 3 apresentará os materiais e métodos utilizados nos ensaios,
juntamente com as ponderações sobre cada método, explanações sobre equipamentos
para execução dos teste e para medição dos resultados.
O Capítulo 4 dissertará sobre o método numérico desenvolvido para facilitar a
obtenção de curvas de ensaios cíclicos trativo-compressivos a partir de um ensaio
monótono. Também será apresentado um programa desenvolvido em Visual Basic for
Applications de maneira que facilite a obtenção da simulação dessa curva e, ao final do
capítulo, será demonstrada uma comparação desse método aplicando-o em curvas
trativas monótonas e comparando-as às curvas obtidas em ensaios cíclicos reais,
realizados por Feliciano e da Costa Mattos em [1]. A partir dessas curvas, obtêm-se as
variáveis necessárias para o modelo de Lemaitre-Chaboche.
O Capítulo 5 apresentará a conclusão, recomendações para a réplica destes
ensaios e métodos, além de sugestões para trabalhos futuros.
4
CAPÍTULO 2
2.REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
2.1 Conceitos fundamentais sobre ensaios trativo-compressivos cíclicos
Os ensaios abordados no presente trabalho serão todos do tipo uniaxiais em
corpos de prova metálicos e este capítulo abordará uma visão geral sobre o
comportamento dos corpos de prova durante esses ensaios em carregamentos
monótonos e cíclicos que causem uma deformação permanente mensurável no corpo de
prova.
Nesses tipos de ensaio, um corpo de prova será submetido a um esforço
crescente em sua direção axial, que tenderá a alongá-lo ou a comprimi-lo. A história da
força em relação ao alongamento sofrida pelo material é anotada e, a partir dessa
relação, podem ser extraídas informações como por exemplo as tensões de escoamento,
tensões de ruptura do material, porcentagem de alongamento, porcentagem da área
reduzida, módulo de Young e o endurecimento sofrido pelo material. Esses parâmetros
são importantes para a seleção de materiais em qualquer aplicação de engenharia.
Desta maneira, para manter uma boa rastreabilidade entre ensaios e uma base de
comparação, tanto os ensaios quanto os corpos de prova devem seguir uma
padronização, um conjunto de normas que descrevem a geometria dos corpos de prova,
bem como eles devem ser confeccionados, juntamente como o ensaio deve ser
realizado. Uma gama de normas produzidas por sociedades profissionais no assunto,
como a American Society of Testing and Materials (ASTM), a British Standard, JIS
Standard e a DIN Standard, estão à disposição e sua escolha varia de acordo com a
região, padrão de medidas, disponibilidade, material e conveniência. Cada norma
contém uma variedade de padrões descritos para um grupo específico de materiais,
baseado nas suas dimensões e histórico de fabricação. Por exemplo, a norma ASTM E8
[2] é um método de teste padrão para ensaio trativos em materiais metálicos, mas a
norma ASTM B557 [3] descreve a padronização para ensaios trativos em corpos de
5
prova de alumínio forjado ou fundido e/ou ligas de magnésio. O objetivo deste trabalho,
no entanto, não será detalhar cada procedimento para se realizar esse tipo de ensaio.
Para tal, sugere-se consultar a seção 3 do Annual Book os ASTM Standards [4] e as
normas da Associação Brasileira de Normas Técnicas, a ABNT.
Um corpo de prova deve ser preparado em uma seção circular ou retangular
dentro do comprimento determinado, como ilustrado nas Figuras 2.1.a e 2.1.b
respectivamente, dependendo da norma utilizada. Ambas as pontas do corpo de prova
devem possuir comprimento suficiente para serem firmemente fixadas no equipamento,
de maneira que essa fixação não ocasione um estado triaxial de tensões, mas ainda
mantenha o corpo de prova preso durante o ensaio.
Figura 2.1 - (a) Corpo de prova de seção circular; (b) Corpo de prova de seção
retangular. Fonte: [2]
O comprimento inicial, L0, é padronizado e muda de país para país, mas varia de
acordo com o diâmetro inicial, D0, ou a área da seção inicial, A0, do corpo de prova,
como listado, a exemplo, na tabela 2.1. Na tabela, está exibida a proporção entre o
comprimento inicial pela área inicial, em corpos de prova a partir de uma placa com
seção retangular, , e do comprimento incial pelo diâmetro inicial, em corpos
de prova a partir de uma barra com seção circular, .
Tabela 2.1 - Razão dimensional dos CPs adotados em diferentes normas
Tipo ASTM BS DIN
Placa 4,5 5,65 11,3
Barra 4,0 5,0 10,0
6
Os equipamentos mais comuns usados para os ensaios de tração ou de tração e
compressão são as chamadas máquinas universais, que são equipamentos onde um
parafuso eletromecânico ou um servo eletro-hidráulico atua tracionando ou
comprimindo o corpo de prova. Atualmente, a maioria desses equipamentos funciona
em conjunto com um computador, que controla a intensidade e frequência da carga ou o
deslocamento desejado, dispondo graficamente os resultados obtidos. A Figura 2.2
exemplifica dois tipos de máquinas universais.
Figura 2.2 - Exemplo de uma máquina universal com parafuso e outra controlada por
um pistão. Fonte: [4]
2.1.1 Tensão e Deformação
Quando um corpo de prova é submetido a tensões externas, o metal sofrerá uma
deformação elástica e plástica. Normalmente, padroniza-se a apresentação dos
resultados do ensaio usando-se, no lugar da força, F(t), e do alongamento, ΔL, as
variáveis σ(t) e ε(t), definidas a seguir nas Equações 2.1 e 2.2, e que serão chamadas
daqui por diante de tensão e de deformação.
(2.1)
(2.2)
7
A unidade adotada para tensão no sistema internacional é o Pascal (1 Pa = 1
N/m2). Por tradição, a tensão é usualmente apresentada em MPa (1 MPa = 106 Pa = 1
N/mm2). Em alguns livros, a variável σ é chamada de tensão “de engenharia”, para
diferenciá-la da tensão “real” dada pela razão entre a força aplicada e a área real da
seção transversal deformada.
Essa relação entre a Tensão e a Deformação nos permite obter a história do
comportamento do material independentemente da geometria ou magnitude da força
aplicada, enquanto a deformação na seção útil for homogênea. Logo, basta ensaiar
algum tipo de corpo de prova padrão, cuidadosamente concebido para que a região útil
se comporte como uma barra solicitada axialmente com a deformação o mais
homogênea possível, para se obter uma curva válida para qualquer outra geometria
(seção transversal e comprimento). Vale a pena observar que, para deformações
pequenas (menores do que 5%, isto é ε < 0.05), a tensão “de engenharia” e a tensão
“real” podem ser confundidas. Para um leitor familiarizado com a Termomecânica dos
Meios Contínuos, vale a pena comentar que o corpo de prova é concebido de forma que
o tensor tensão de Cauchy, notado aqui como σ , seja dado numa base cartesiana com
uma das direções coincidentes com o eixo do corpo de prova, por:
(2.3)
onde σI é a tensão “real”, enquanto a deformação for homogênea. Se a deformação for
razoavelmente pequena (ε < 0.005), o tensor deformação linearizado, notado aqui como
ε , tem a seguinte forma
; 0 < v < 0,5 (2.4)
onde a variável v depende do processo. O papel desta variável e a sua dependência com
a história de deformação permanente do corpo de prova não serão discutidos neste
capítulo.
Através dessa relação de tensão e deformação, exemplificada na Figura 2.3,
pode ser, então, plotado o gráfico, onde é possível mensurar uma série de variáveis,
8
como o módulo de Young, o endurecimento cinemático, o endurecimento aniso ou
isotrópico e a tensão de escoamento, além de ser possível tirar conclusões sobre o que
ocorreu com o corpo de prova durante os ensaios, como o efeito Bauschinger, o
amolecimento ou endurecimento cíclico, viscosidade do metal e o envelhecimento.
Esses fenômenos serão abordados mais a frente neste mesmo capítulo.
Figura 2.3 - Relação da Tensão e da Deformação sob um carregamento uniaxial. Fonte: [10]
Uma relação linear entre σ e ε, se a tensão for menor do que um certo valor
limite. Seguindo a Lei de Hook,
(2.5)
define-se o Módulo de Elasticidade ou Módulo de Young, E, do material, como a razão
entre a tensão σ e a deformação ε, como está mostrado na figura 2.3. Se a tensão for
superior a este valor limite, observa-se uma relação não linear entre σ e ε.
Ao continuar com o carregamento, ultrapassaremos o regime elástico e o
material irá começar a escoar justamente no início da deformação plástica. O momento
onde ocorre o escoamento pode ser observado diretamente da distensão da curva em
9
metais CCC, como ferro, aços de baixo carbono, molibdênio e titânio policristalino,
iniciando um fenômeno chamado estricção. Neste ponto, o escoamento atinge a tensão
de escoamento superior da estricção e é seguida por uma abrupta redução da tensão até
atingir o ponto de escoamento inferior da estricção. Nesta seção, o corpo de prova
continua se alongando sem uma mudança significativa nos níveis de tensões. Após
ultrapassar uma certa deformação durante a estricção, aumentos de tensão terão um
alongamento correspondente. Esse fenômeno está associado a uma pequena quantidade
de átomos intersticiais ou substitucionais. Quando a matriz é invadida por esses átomos,
a tensão necessária para deslocar as discordâncias do material naquela região aumenta.
Essa rigidez devido aos átomos intersticiais está associada ao ponto de escoamento
superior da estricção, e, quando a linha de deslocamento estiver livre de átomos como
soluto, a tensão cai abruptamente, onde está associada ao ponto de escoamento inferior
durante a estricção, como pode ser visualizado na Figura 2.4. Complementarmente, o
fenômeno de estricção também é afetado com a quantidade de átomos como solutos na
solução sólida e pela energia de interação entre os átomos solutos e as discordâncias.
Figura 2.4 - Comparação entre as curvas tensão vs deformação para um aço de baixo
carbono com uma liga de alumínio. Fonte: [5]
Por outro lado, os metais de estrutura cristalina CFC, como as ligas de alumínio,
não apresentam o fenômeno de estricção bem marcado como as estruturas CCCs. Eles
apresentam um transição suave na curva de tensão de engenharia versus deformação.
A determinação da tensão limite acima da qual existem deformações
irreversíveis é um problema experimental, pois depende, dentre outras coisas, da
10
precisão da medição de deformação utilizada. Para superar estas subjetividades, adota-
se um limite convencional σy correspondente a uma deformação permanente δp pré-
estabelecida e considerada pequena a ponto de poder ser desprezada (ver a figura 17).
Usualmente, para controle de qualidade de materiais, considera-se δp = 0,002
(alongamento permanente de 0,2% da seção útil do corpo de prova). No entanto, para
estudos envolvendo carregamentos cíclicos fora do limite elástico (fadiga plástica
oligocíclica), sugere-se usar um limite dez vezes menor δp = 0,0002 (alongamento
permanente de 0,02% da seção útil do corpo de prova).
2.1.2 Fenômenos durante ensaios em materiais metálicos
Ao ser ensaiado, o corpo de prova nos conta uma história e, através somente do
gráfico de Tensão versus Deformação é possível identificar o que ocorreu com o corpo
antes e durante o ensaio. Esses fenômenos podem apresentar-se de diversas maneiras,
como a variação do módulo de elasticidade, viscosidade, envelhecimento, estricção,
amolecimento, variação do limite de escoamento, efeito Bauschinger, amolecimento e
endurecimento cíclico.
Fazendo-se sucessivos carregamentos de carga e descarga com amplitude
crescente, verifica-se que o limite de elasticidade (também chamado de limite de
escoamento) é afetado pela plastificação. A tensão de escoamento no início de cada
novo ciclo de carga é sempre maior do que a tensão σy, caracterizando o fenômeno de
endurecimento, como nos mostra a Figura 2.5.
Figura 2.5 - Fenômeno do Endurecimento faz variar a tensão limite de escoamento
devido à plastificação. Fonte: [1]
11
Também pode ser realizado o ensaio de carga e alívio com cargas compressivas,
mas o procedimento se torna muito mais complexo, pois o corpo de prova deve ser
capaz de suportar as tensões compressivas de maneira que não ocorra o fenômeno da
flambagem. Combinando-se os ensaios trativos seguidos de ensaios compressivos,
temos os ensaios cíclicos trativos compressivos, que serão referidos apenas como
ensaios cíclicos.
Existem duas possibilidades para a realização de ensaios cíclicos, como
evidenciou Feliciano em [1]: (a) Ensaio com força (tensão) prescrita ou (b) Ensaio com
alongamento (deformação) prescrito. Em geral, carrega-se ciclicamente o corpo de
prova a baixas frequências para evitar efeitos de propagação de ondas que causem
deformações não homogêneas dentro da seção útil (sugere-se frequências sempre
menores do que 5 Hz). Também deve se tomar cuidado para evitar a flambagem do
corpo de prova, quando submetido a cargas compressivas. A figura 2.6 mostra os
diferentes tipos de carregamentos prescritos. É importante notar que trata-se de uma
representação esquemática e que várias formas de carregamento (triangular, senoidal,
etc.) podem ser aplicadas com diferentes valores médios (o carregamento não precisa
ser perfeitamente alternado). Nos comentários feitos a seguir, considera-se sempre que o
corpo de prova é inicialmente “virgem” e que, salvo comentários expressos, os ensaios
não apresentam influência dos fenômenos de viscosidade e nem de envelhecimento. Na
ausência destes fenômenos, a forma e a frequência (sempre abaixo de 5 Hz) do
carregamento influem muito pouco na curva tensão x deformação.
Figura 2.6 - Carregamentos prescritos. Fonte: [1]
12
É importante enfatizar novamente o fato de que um ensaio com o deslocamento
δ do sistema de carga prescrito é diferente de um ensaio com deslocamento prescrito do
corpo de prova, já que o sistema também se deforma. Para uma seção útil de
comprimento L, a deformação é sempre dada pela relação, a qual é diferente da relação
ε = ΔL/L ε = δ/L.
Havendo evolução da deformação plástica, o limite de escoamento à tração (σET)
e o limite de escoamento à compressão (σEC) se alteram a cada ciclo e não são
necessariamente iguais. A plastificação altera não somente o limite à tração, mas
também o limite à compressão, induzindo uma anisotropia no material. Este fenômeno é
conhecido como Efeito Bauschinger e está mostrado esquematicamente na figura 2.7. A
figura 2.8 mostra este fenômeno observado num ensaio real para uma liga de alumínio
ASTM 7050 a temperatura ambiente. Em geral, após uma tração, o limite de
escoamento à tração aumenta e o valor absoluto do limite de escoamento à compressão
diminui.
Figura 2.7 - Efeito Bauschinger. Fonte: [1]
Observa-se que, a cada ciclo, os valores limites σET e σEC para uma deformação
plástica fixa ε0p podem ser bastante diferentes, como está exemplificado na Figura 2.8.
A figura 2.9 mostra este fenômeno num ensaio real, efetuado a temperatura ambiente
por Feliciano em [1]. Portanto, os limites σET e σEC não dependem apenas da deformação
plástica, mas também da deformação plástica acumulada, definida da seguinte forma:
(2.6)
13
Figura 2.8 - Efeito Bauschinger para liga de alumínio ASTM 7050 a temperatura
ambiente.
Figura 2.9 - Liga de alumínio ASTM 7050 a temperatura ambiente. Ensaio cíclico com
deformação prescrita. Variação da tensão limite de escoamento.
A deformação plástica acumulada é uma grandeza positiva que caracteriza um
“caminho percorrido” num determinado número de ciclos. É simples verificar que, se
-500
-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
-0,004 -0,003 -0,002 -0,001 0 0,001 0,002 0,003 0,004
Tensão vs Deformação Plástica
14
εp > 0, ∀t (ensaio de tração estritamente monótono), então p(t) = ε
p(t), ∀t.
Analogamente, se εp < 0, ∀t (ensaio de compressão estritamente monótono), então p(t) =
-εp(t), ∀t.
A variável p é um parâmetro de grande importância no estudo da plasticidade
cíclica. Muitos problemas interessantes de integridade estrutural ocorrem em situações
onde a amplitude de deformação plástica é muito pequena, mas a deformação plástica
acumulada aumenta progressivamente. Nestes casos, embora aparentemente as
deformações permanentes sejam desprezíveis, quanto maior a deformação plástica
acumulada, maior a probabilidade de aparecimento de uma macrofissura, pois o
trabalho por unidade de volume,
(2.7)
é recuperável (fenômeno reversível). Daqui por diante, por definição, considera-se que,
para um corpo de prova “virgem” (corpo de prova sem anisotropia inicial, isto é, com as
tensões iniciais de escoamento à tração e à compressão de mesmo valor absoluto) as
condições iniciais são: p(t=0) = εp(t=0) = 0.
As curvas σ vs εp e σ vs p podem ser obtidas facilmente à partir da curva σ vs ε e
fornecem informações importantes na análise do endurecimento do corpo de prova em
ensaios cíclicos. Seja um conjunto experimental de n pares ordenados (σi, εi). Isto é:
; com t0 < t1 < t2 < ... < tn. No instante t0 supõe-se que a deformação
plástica ε0p e a deformação plástica acumulada p0 são conhecidas. Dado um par (σi, εi)
com i > 0, obtém-se a deformação plástica εip associada através da seguinte relação:
(2.8)
A deformação plástica acumulada pi, para i > 0, é obtida num ciclo de carga ou
de descarga, através das seguintes relações:
(2.9)
(2.10)
15
Isto é, o incremento da deformação plástica acumulada num processo de carga
ou de descarga a cada instante é igual ao módulo do incremento da deformação plástica.
A figura 2.11 mostra a curva tensão versus deformação plástica associada ao ensaio
feito numa Liga de alumínio ASTM 7050 a temperatura ambiente, mostrado na figura
2.10. A figura 2.12 mostra a curva tensão versus deformação plástica acumulada
associada ao ensaio mostrado na figura 2.10. A tensão acumulada seria a representação
do acúmulo de deformações a cada ciclo, o que resultará numa falha por fadiga devido
ao somatório dessas deformações sucessivas, por mais ínfimas que sejam.
Figura 2.10 - Curva Tensão vs Deformação em um ensaio cíclico em um liga ASTM
7050 a temperatura ambiente.
Figura 2.11 - Curva Tensão vs deformação plástica associada de um ensaio cíclico em
uma liga ASTM 7050.
-5,00E+02
-4,00E+02
-3,00E+02
-2,00E+02
-1,00E+02
0,00E+00
1,00E+02
2,00E+02
3,00E+02
4,00E+02
5,00E+02
-8,00E-03 -6,00E-03 -4,00E-03 -2,00E-03 0,00E+00 2,00E-03 4,00E-03 6,00E-03 8,00E-03
Tensão x Deformação
-5,00E+02
-4,00E+02
-3,00E+02
-2,00E+02
-1,00E+02
0,00E+00
1,00E+02
2,00E+02
3,00E+02
4,00E+02
5,00E+02
-4,00E-03 -3,00E-03 -2,00E-03 -1,00E-03 0,00E+00 1,00E-03 2,00E-03 3,00E-03 4,00E-03
Deformação Plástica Associada
16
Figura 2.12 - Tensão vs Deformação Plástica Acumulada de um ensaio cíclico em uma
liga ASTM 7050.
O efeito do processo de deformação plástica nos limites de escoamento a tensão
e a deformação pode ser melhor analisado definindo-se o conceito de Segmento
Elástico. Num dado instante t, o segmento elástico é o conjunto das tensões que não
causam escoamento.
Experimentalmente, observa-se que o processo de plastificação afeta o segmento
elástico, fazendo que ele aumente de tamanho e se translade. A Figura 2.13 mostra a
evolução do segmento elástico em alguns instantes do ensaio mostrado na figura 2.10. O
aumento de tamanho causado pelo processo de plastificação é chamado de
Endurecimento Isotrópico e a translação do Segmento Elástico (anisotropia induzida
pela plastificação) de Endurecimento Cinemático. Para facilitar a análise dos
endurecimentos, é interessante introduzir as variáveis X e Y definidas à partir da
seguinte mudança de variáveis:
(2.11)
(2.12)
Assim, temos que 2Y será o tamanho do Segmento Elástico e X será a coordenada do
centro do Segmento Elástico, como está ilustrado na Figura 2.14.
-5,00E+02
-4,00E+02
-3,00E+02
-2,00E+02
-1,00E+02
0,00E+00
1,00E+02
2,00E+02
3,00E+02
4,00E+02
5,00E+02
0,00E+00 1,00E-02 2,00E-02 3,00E-02 4,00E-02 5,00E-02 6,00E-02 7,00E-02
Tensão vs Deformação Plástica Acumulada
17
Figura 2.13 - Variação do segmento elástico no ensaio da liga ASTM 7050. Fonte: [1]
Figura 2.14 - Visualização das variáveis X e Y. Fonte: [1]
Experimentalmente verifica-se que os limites de escoamento à tração e à
compressão e, concomitantemente, X e Y, dependem da deformação plástica εp e da
deformação plástica acumulada p. Na ausência de fenômenos de envelhecimento e para
uma temperatura constante, é razoável considerar que o endurecimento cinemático e o
endurecimento isotrópico só dependem destas variáveis.
Em geral, numa temperatura constante, o endurecimento isotrópico só depende
da deformação plástica acumulada (ensaios monótonos ou não) e aumenta com até
atingir um valor de saturação, como mostrado na figura 2.15.
18
Figura 2.15 - Curva típica do endurecimento isotrópico versus deformação plástica
acumulada. Fonte: [1]
O comportamento da variável associada ao endurecimento cinemático é análogo,
no caso de ensaios monótonos à temperatura constante, como demonstra a Figura 2.16,
atingindo um valor máximo. No entanto, em ensaios não monótonos verifica-se que a
variável X, o endurecimento cinemático, depende fortemente tanto da deformação
plástica εp como de p, como mostra a Figura 2.17.
Figura 2.16 - Curva endurecimento cinemático vs deformação plástica, típica para
ensaios monótonos com temperatura constante. Fonte: [1]
Figura 2.17 - Evolução do endurecimento cinemático típica em ensaios cíclicos. Fonte: [1]
19
Em muitos ensaios com deformação plástica mensurável o endurecimento
cinemático e o endurecimento isotrópico são tais que verifica-se o fenômeno de
amolecimento cíclico ou de endurecimento cíclico, mostrado esquematicamente nas
figuras 2.18, 2.19, 2.20 e 2.21. Nos materiais que apresentam amolecimento cíclico a
amplitude de tensão Δσ diminui durante alguns ciclos sucessivos em ensaios com
deformação prescrita, e, em ensaios com tensão prescrita, a amplitude de deformação
aumenta durante alguns ciclos sucessivos. No endurecimento cíclico, a amplitude de
tensão Δσ aumenta durante alguns ciclos sucessivos em ensaios com deformação
prescrita, e, em ensaios com tensão prescrita, a amplitude de deformação Δε diminui a
cada ciclo sucessivo.
Figura 2.18 - Fenômeno de Amolecimento Cíclico em amplitude de deformação
prescrita. Fonte: [1]
Figura 2.19 - Fenômeno de Amolecimento Cíclico em atitude de tensão prescrita. Fonte: [1]
20
Figura 2.20 - Fenômeno de Endurecimento Cíclico com amplitude de deformação
prescrita. Fonte: [1]
Figura 2.21 - Fenômeno de Endurecimento Cíclico com amplitude de tensão prescrita. Fonte: [1]
Após alguns ciclos com endurecimento ou amolecimento cíclico, a curva σ vs ε
tende a se estabilizar. Isto é, a resposta a uma solicitação periódica se torna também
periódica. Usualmente chama-se esta parte periódica da curva σ vs ε de ciclo
estabilizado.
A viscosidade pode fazer que o comportamento do corpo de prova num ensaio
cíclico dependa fortemente da frequência e da forma da solicitação. No presente
trabalho, abordaremos apenas os materiais elastoplásticos, os quais não sofrem
influência direta da taxa de deformação aplicada durante o carregamento enquanto são
ensaiados.
A resposta periódica pode ser perfeitamente elástica, cujo fenômeno é chamado
de Adaptação Elástica e está exemplificado na Figura 2.22, onde o ciclo estabilizado é
perfeitamente elástico, isto é, após alguns ciclos não há evolução da deformação plástica
e nem da deformação plástica acumulada. A amplitude de deformação plástica |εp| e a
deformação plástica acumulada, p, são limitadas.
21
A resposta periódica também pode apresentar alguma deformação plástica
cíclica ou apresentar um laço de histerese, cujo fenômeno é denominado de
Acomodação Plástica, exemplificado na Figura 2.23, onde o ciclo estabilizado apresenta
um laço de histerese. A amplitude de deformação plástica |εp| é limitada, mas a
deformação plástica acumulada, p, aumenta.
Figura 2.22 - Fenômeno de Adaptação Elástica
Figura 2.23 - Fenômeno de Acomodação Plástica. Fonte: [1]
Após o início da resposta periódica, quando acontece a estabilização, é possível
o aparecimento de uma macro-fissura por fadiga. Neste caso, as deformações deixam de
ser homogêneas na parte útil do corpo de prova e a resposta novamente deixa de ser
periódica. Se um ensaio com tensão prescrita não for puramente alternado, é possível
que não haja resposta periódica (estabilização), havendo um fenômeno de deformação
plástica cíclica progressiva até a ruptura, como mostrado na figura 2.24. Neste caso,
tanto a amplitude de deformação plástica, |εp|, quanto a deformação plástica acumulada,
p, aumentam progressivamente.
22
Figura 2.24 - Deformação plástica cíclica sem estabilização. Fonte: [1]
Nas figuras 2.25 e 2.26 a seguir, estão apresentados ensaios reais apresentando
os diferentes tipos de fenômenos descritos esquematicamente nas figuras anteriores.
Figura 2.25 - Endurecimento Cíclico numa liga ASTM 6351.
Figura 2.26 - Flexão do corpo de prova numa liga ASTM 6351.
-300,000
-200,000
-100,000
0,000
100,000
200,000
300,000
-0,00600 -0,00400 -0,00200 0,00000 0,00200 0,00400 0,00600
Tensão x Deformação
-300,000
-200,000
-100,000
0,000
100,000
200,000
300,000
-0,0020 -0,0010 0,0000 0,0010 0,0020
Tensão x Deformação Plástica
23
2.2 Modelo e identificação de coeficientes em ensaios uniaxiais em materiais
metálicos.
2.2.1 Equações do Modelo
Baseado nas observações fenomenológicas apresentadas anteriormente, Lemaitre
e Chaboche [5] e Marquis [6] propuseram as seguintes equações capazes de representar
o comportamento elasto-plástico do material:
(2.13)
(2.14)
(2.15)
(2.16)
(2.17)
(2.18)
2.2.2 Identificação dos Coeficientes
O objetivo desta seção é elucidar o procedimento básico, conforme foi
dissertado por Feliciano em [1], para se obter os coeficientes E, σy, a, b, v1, v2 a partir da
curva σ x ε experimental obtida num ensaio cíclico com amplitude de deformação
prescrita. Todos os coeficientes podem ser obtidos a partir de um único ensaio cíclico
com deformação prescrita perfeitamente alternada ( εmax = - εmin = ε0 )
Figura 2.27 - Carregamento com deformação prescrita para identificação dos
coeficientes. Fonte: [1]
24
Conforme foi comentado anteriormente neste capítulo, o módulo de elasticidade
será obtido a partir da região elástica na curva Tensão vs Deformação, utilizando-se o
métodos dos mínimos quadrados para os pares que se encontram na região cujos pares
ordenados apresentem tensão maior do que 20% e menor que 60% da máxima tensão
medida no primeiro quadrante do ensaio, já que pode haver um escorregamento no
aparelho, não percebido facilmente a olho nu. O método dos mínimos quadrados é a que
se segue na equação
(2.19)
O valor de σy é obtido conforme foi comentado no anteriormente neste capítulo.
É o ponto de intercessão entre a curva experimental e uma reta de inclinação E passando
pelo ponto ε = δp (cuja equação é σ = E(ε - δp )), conforme demonstra a Figura 2.28. A
escolha de δp irá depender do grau de precisão desejado, isto é, abaixo de que valor uma
deformação permanente pode ser desprezada. Em geral as normas sugerem δp = 0.002,
mas esta estimativa só é adequada se as deformações envolvidas forem muito maiores
do que 0.05. Se as deformações envolvidas forem muito menores do que 0.05, sugere-se
usar δp = 0.0002.
Figura 2.28 - Identificação experimental de σy. Fonte: [1]
Uma vez determinados os valores de E e de σy , é possível obter-se a curva σ x
εp, que é fundamental para a obtenção dos demais coeficientes. A curva σ x ε
p é obtida a
partir da curva σ x ε sabendo-se que
25
(2.20)
A Figura 2.26 é um exemplo de curva tensão vs deformação plástica associada
obtida a partir da curva tensão vs deformação na Figura 2.25 para uma liga ASTM
6351.
Em alguns ensaios, devido a erros de implementação (principalmente flexão do
corpo de prova devido a desalinhamento das garras) a curva σ x εp no ciclo estabilizado
pode não ser perfeitamente simétrica e o módulo de elasticidade pode parecer estar
variando.
Para a identificação experimental dos coeficientes, sugere-se trabalhar com uma
curva corrigida, baseada na parte trativa da curva (a deformação plástica máxima deve
ser igual (em módulo) à deformação plástica mínima e a tensão máxima deve ser igual
(em módulo) à tensão, conforme ilustrado na Figura 2.29 que apresenta a curva σ x εp
obtida para o corpo de prova de Alumínio ASTM 6351, que evidenciadamente sofreu
uma flexão, e sua respectiva curva corrigida.
Figura 2.29 - Comparação entre a curva experimental obtida e a curva para o ciclo
estabilizado.
Para a determinação dos coeficientes a e b, é necessário obter expressões
analíticas para X e Y. Por definição, a deformação plástica acumulada p e a deformação
plástica εp estão relacionadas da seguinte forma:
-300,000
-200,000
-100,000
0,000
100,000
200,000
300,000
-0,0020 -0,0015 -0,0010 -0,0005 0,0000 0,0005 0,0010 0,0015 0,0020
Tensão vs Deformação Plástica
Ensaio Cíclico Ciclo Estabilizado
26
(2.21)
Logo, quando tem-se que e a lei de evolução (2.16) para a
variável X pode ser expressa da seguinte maneira:
, na tração (2.22)
Usando-se a condição de contorno , obtém-se a seguinte
solução analítica para a equação (2.22):
Tração:
, se
(2.23)
Raciocinando de forma análoga à que foi feita para a tração, se , a lei de
evolução (2.16) para a variável X pode ser expressa da seguinte maneira:
, na compressão (2.24)
Usando-se a condição de contorno , obtém-se a seguinte
expressão analítica:
Compressão:
, se
(2.25)
A equação (2.17) também pode ser resolvida analiticamente, obtendo-se:
(2.26)
Das equações (2.14) e (2.15) segue que, se e (ou seja,
σ-X ≥ 0). Logo, usando-se a equação (2.17) é possível verificar que, quando Φ = 0 ⇒ σ =
X + Y.
Analogamente, se e (ou seja, σ-X ≤ 0 ). Neste caso,
usando-se a equação (2.17) é possível verificar que, quando Φ = 0 ⇒ σ = X -Y .
27
Tração: σ = X + Y
Compressão: σ= X – Y (2.27)
Logo, de (2.23), (2.26) e (2.27) segue que:
Tração:
, se
(2.28)
Compressão:
, se
(2.29)
Assim, para a obtenção a partir de ensaios experimentais das demais variáveis do
material, a, b, v1 e v2, recomenda-se acompanhar a dissertação de Feliciano em [1], onde
ele explica detalhadamente o procedimento para se obter essas variáveis. O objetivo
deste trabalho se restringe apenas em introduzir e elucidar o tema, como uma forma de
embasar o leitor para que este compreenda o método que será proposto no Capítulo 4.
28
CAPÍTULO 3
3.MATERIAIS E MÉTODOS
3.1. Materiais Utilizados
O material escolhido foi o alumínio, tanto pela facilidade de ser encontrado
comercialmente, quanto pela facilidade de ser ensaiado em laboratório e, assim, obter
estimativas para seu comportamento elasto-plástico e para suas propriedades. O
alumínio também é utilizado amplamente na indústria aeronáutica, que busca
infindavelmente otimizar o conhecimento de suas propriedades mecânicas.
Os ensaios trativos monótonos foram realizados com corpos de prova fabricados
em ligas de alumínio comum, facilmente encontradas no mercado e fornecidas na forma
de barras de seção retangular. Para a etapa de comparação para validação do método, os
ensaios foram realizados segundo o procedimento apresentado na dissertação de
Feliciano e Costa Mattos[1], cujos corpos de prova foram fabricados nas ligas ASTM
6351 e ASTM 7050. Esta, fornecida na forma de placas e aquela fornecida na forma de
barras. Esse tipo de pesquisa vem sendo desenvolvida no LMTA por mais de dez anos,
conforme foi apresentado no trabalho de Feliciano em [1], onde foram apresentados
estudos com observações fenomenológicas em ensaios uniaxiais em materiais
metálicos. Esse trabalho serve de base de estudo e, principalmente, para comparação
dos seus ensaios cíclicos trativo-compressivos com o método apresentado no Capítulo
4. Obtendo-se as curvas similares às encontradas por Feliciano em seu trabalho,
podemos assegurar que, ao aplicarmos a sua metodologia, encontraremos as mesmas
variáveis para o material.
Tabela 3.1 - Composição Química das Ligas de Alumínio
Mg Si K Fe Cu Zn Mn Al Total %
AL 7050 1,21 1,63 ND 0,41 6,89 ND 0,92 88,94 100
AL 6351 1,67 0,23 ND 0,50 2,40 10,45 0,60 85,25 100
29
3.2. Ensaios Cíclicos
3.2.1. Corpos de Prova para Ensaios Cíclicos
Para ensaios cíclicos trativo-compressivos, são necessários cuidados especiais
quanto aos corpos de prova durante a parte compressiva do ensaio. Sua geometria e a
carga aplicada devem ser tais que evitem a flambagem do corpo de prova durante a
compressão. A melhor seção para esse corpo de prova será aquela simétrica no dois
eixos. Deve-se considerar também o raio de giração do corpo, evitando seções muito
alongadas. Geralmente a seção desse corpo de prova costuma ser circular para garantir a
simetria em todas as direções e o trecho que sofrerá o alongamento deverá se estender
por cerca de 3 vezes o diâmetro da seção estudada e o corpo em si deve possuir cerca de
20 vezes o diâmetro, para que a seção estudada fique longe do esforço das garras e
possa garantir um estado biaxial de tensões.
A norma ASTM E606/ E606M-12 especifica as geometrias para a fabricação do
corpo de prova, conforme está ilustrado na Figura 3.1, para diferentes formas de
fixação, inclusive a por garras como foi a forma utilizada nos ensaios.
Figura 3.1 - Corpos de Prova segundo a norma ASTM E606/E606M-12. Fonte [10]
30
A geometria escolhida no trabalho de Feliciano e Costa Mattos[1] e utilizada
para os ensaios cíclicos foi conforme ilustrado na Figura 3.2, atendendo à norma ASTM
E606 / E606M-12.
Figura 3.2 - Geometria dos Corpos de Prova para Ensaios Cíclicos. Fonte [10]
Observando a geometria do corpo de prova, é possível notar que o seu processo
de usinagem demanda tempo e recursos financeiros. Para a sua usinagemm deve ser
observado o sentido de laminação do tarugo ou da barra, diminuir suas dimensões
principais e usiná-lo por torneamento em vários passes para se obter o diâmetro e
comprimento necessários para os ensaios, juntamente com o raio de adoçamento e o raio
de concordância pré-definido. Muitos desses passos requerem uma extenuada
experiência do torneiro mecânico ou, então a utilização de um Torno de Comando
Numérico para que o corpo atinja as dimensões no devido alinhamento e acabamento.
Posteriormente, deve-se lixar e polir o corpo de prova repetidamente para que este
adquira o acabamento superficial ideal.
Nota-se, portanto, que a obtenção dos corpos de prova para ensaios cíclicos
constitui-se em uma tarefa que demanda disponibilidade de tempo e de diferentes
aparelhos de usinagem, muitos deles com alto valor de mercado, e que requer arguta
performance e prática durante as operações de usinagem.
31
Figura 3.3 - Sentido de laminação e de obtenção dos corpos de prova. Fonte [11]
3.2.2. Equipamentos para os Ensaios Cíclicos Trativo-Compressivos
Os equipamentos para Ensaios Cíclicos Trativo-Compressivos devem ser
capazes de executar esforços com força prescrita ou com deformação prescrita. A forma
mais segura para se executar esse tipo de ensaio é através de força prescrita, pois,
quando começa a estricção do corpo de prova, sua área diminui, diminuindo assim a
resistência à aplicação da força pela máquina. O equipamento correrá o risco de
processar essa informação e interpretá-la como uma redução na força aplicada,
aumentando então a força exercida. Com maior força exercida maior a estricção e mais
rápida será a diminuição de área, levando a um aumento mais rápido da força e gerando
um ciclo que rapidamente escalonará e culminará com o brusco rompimento do material
perante uma força cada vez maior, levando um maior desgaste e possíveis danos ao
32
equipamento. Um exemplo ilustrativo de um equipamento para ensaios cíclicos trativo-
compressivos pode ser visualizado na figura 3.4, a seguir.
Figura 3.4. Exemplo de um Equipamento para Ensaios Cíclicos. Fonte: Instron
A capacidade de mensurar com exatidão a força aplicada nas células de carga
também deve ser considerada, juntamente com a acurácia para se medir os
deslocamentos realizados no corpo de prova durante os ensaios. Essa medição dos
deslocamentos geralmente é realizada por extensômetros que podem ser dos mais
variados tipos, como extensômetros mecânicos, ópticos, acústicos e, os mais difundidos,
os elétrico-resistivos, cujo princípio de funcionamento se baseia em transformar
pequenas deformações em variações equivalentes em resistência elétrica, utilizando-se
33
de pontes de Wheatstone. Esses extesômetros devem ser afixados na seção útil do corpo
de prova, conforme ilustrado nas Figura 3.5 e Figuras 3.6a e 3.6b, tornando-se um
apêndice extra no corpo que pode resultar em uma leve alteração dos resultados obtidos.
Devido a essa possibilidade de alteração dos resultados, foram desenvolvidos
métodos que evitam o contato com o corpo de prova durante as medições de
deslocamento. Uma ponderação sobre um desses métodos será abordado mais adiante
no Capítulo 3, na subseção 3.3.2.
Figura 3.5 - Extensômetro anexado a um corpo de prova
Figura 3.6 - (a) Esquemático de um extensômetro elétrico resistivo.
(b) Esquema de montagem em um corpo de prova.
34
O tipo de fixação do corpo de prova com o equipamento também é um ponto a
se considerar. A norma ASTM E606/606M-12 exemplifica diferentes formas de fixar o
corpo de prova ao maquinário como as com o uso de um colar de fixação cilíndrico ou
cônico que servem para corpos com cabeça achatada. Temos também a fixação por
rosca que prenderá corpos com ponta roscada e a fixação por garras cônicas. Esses
modos de fixação estão ilustrados nas Figura 3.7 e Figura 3.8.
Figura 3.7 - Diferentes modos de fixação segundo a norma ASTM E606/606M-12.
Fonte [10]
35
Figura 3.8 - Sistema de fixação com garra. Fonte Instron.
O desalinhamento do CP é, certamente, o fator que mais introduz erros no
experimento. É possível utilizar técnicas mais ou menos caras para minimizar este
problema, como por exemplo, o uso de “strain gauges” em três pontos diferentes da
seção central, de forma a medir (e reduzir) os momentos fletores e (ou) o uso de garras
especiais. No entanto, estas alternativas são sofisticadas e limitam a identificação destes
coeficientes em laboratórios menos equipados.
3.2.3. Cuidados durante a execução dos Ensaios Cíclicos
Além da obtenção dos corpos de prova ser complexa, a execução dos ensaios
também deve levar em conta estes fatores em especial: a carga e o alinhamento das
garras.
A carga aplicada às garras de fixação deve ser maior que a carga do
carregamento para evitar o escorregamento do corpo de prova, mas uma alta tensão
pode ocasionar deformação e deslizamento da cabeça do corpo de prova. Somado a este
fato, também, deve-se considerar a axialidade das garras e alinhar seus eixos superiores
e inferiores, se possível com o auxílio de um sistema de alinhamento que ajuste sua
concentricidade e a sua angulação, conforme pode ser observado na Figura 3.9.
36
Figura 3.9 - Sistema de alinhamento da garra. Fonte [1]
3.3. Ensaios Trativos
3.3.1. Corpos de Prova para Ensaios Trativos Monótonos
Para ensaios cíclicos trativo monótonos, não temos mais a grande preocupação
quanto à flambagem do corpo de prova. Isso constitui uma grande diferença entre estes
teste em relação à obtenção, usinagem e preparação do corpo de prova, já que sua seção
não necessita mais ser simétrica, resistente à flambagem, com raio de giração adequado.
O corpo de prova para os ensaios trativos monótonos deve possuir seção homogênea ao
longo de seu comprimento e este mesmo comprimento deve ser grande o suficiente para
que a seção útil em análise esteja longe dos componentes de fixação, para que, assim, se
garanta um estado biaxial de tensões na região.
Para ilustrar a simplicidade dos corpos de prova e a facilidade de execução deste
ensaio, foi adquirida uma barra comercial de alumínio comum com seção retangular. A
barra "chata" foi cortada com lâmina serrilhada em partes iguais, cujas dimensões finais
padrão foram de 3,4mm x 25,3mm x 200mm, conforme ilustra a Figura 3.10. O
comprimento do corpo foi determinado de maneira que a deformação na seção útil
ficará homogênea e poderá ser assegurado um estado biaxial de tensões no centro do
corpo. Reforça-se o fato que, devido à essa geometria adotada para o corpo de prova,
apenas carregamentos trativos poderão aplicados, pois há a possibilidade da barra
flambar durante um ensaio compressivo.
37
Figura 3.10 - Geometria dos corpos de prova prismáticos utilizados nos ensaios trativos.
3.3.2. Equipamentos para os Ensaios Trativos Monótonos
Os equipamentos para ensaios trativos monótonos vêm sendo utilizados desde a
época de Leonardo Da Vinci, e constituem uma das bases fundamentais da engenharia
mecânica para o estudo das propriedades mecânicas dos materiais, sendo fonte de
estudo contínuo, além de estar presente uma grande parcela de instituições acadêmicas e
industriais.
Dessa maneira, devido à sua grande difusão no mercado, esse tipo de
equipamento pode ser encontrado por valores mais acessíveis, juntamente com o fato de
que, por já ter sido ser estudado e ensaiado repetidas vezes, uma base de conhecimento
do ensaio e do uso do equipamento já foi desenvolvida, ocasionando num grande
simplicidade em seu uso. Ou seja, os equipamentos para ensaios trativos monótonos são
mais baratos e mais simples de se operar, quando comparados com o maquinário para a
execução de ensaios cíclicos.
No presente trabalho, uma barra prismática de alumínio foi ensaiada duas vezes
em um carregamento axial trativo monótono com deslocamento do sistema prescrito em
1mm/min, em temperatura ambiente, para obtenção de um gráfico tensão versus
deformação e, a partir desses dados, ser possível obter seu módulo de elasticidade, sua
tensão limite de escoamento, o tamanho e as coordenadas do segmento elástico e os
valores para o endurecimento cinemático e isotrópico.
O equipamento para os ensaios de tração utilizado foi uma máquina universal de
ensaios Autograph AG-X da Shimadzu, com capacidade para 100kN, ilustrada na
Figura 3.11 e que se encontra no Laboratório de Ensaios em Dutos (LED / LMTA).
38
Esse modelo possui precisão de ±0,5% da força apresentada (para 1/100 até 1/1000 da
capacidade da célula de carga ). +/- 0,3% da força mostrada (para 1/1 até 1/100 da
capacidade da célula de carga ).
O corpo de prova foi afixado com o auxílio de garras de pressão, posicionadas
numa distância suficientemente longe do centro da peça para garantir um estado plano
de tensões na seção útil a ser estudada.
Figura 3.11 - Máquina de Ensaios Universal Shimadzu AG-100kNX. Fonte Shimadzu.
Para evitar interferências devido ao contato dos extensômetros elétrico-
resistivos, dois métodos foram utilizados para medir os deslocamentos durante os
ensaios. No primeiro ensaio, os deslocamentos foram mensurados com um vídeo
extensômetro, ou seja, uma câmera de precisão devidamente configurada com o
programa da máquina universal e, no segundo ensaio, os deslocamentos foram
mensurados justamente com um extensômetro elétrico-resistivo, conforme ilustrado
pelas Figuras 3.12a e Figura 3.12b. Os dois ensaios foram realizados de tal maneira com
o intuito de que seja possível comparar e avaliar a performance do vídeo extensômetro e
dos extensômetros de contato, para obtenção dos deslocamentos .
O vídeo-extensômetro é um equipamento capaz de executar medidas de
deformações através da captura contínua de imagens da amostra durante o ensaio,
usando uma ou mais câmeras de vídeo conectadas a um computador. Ele consiste em
um conjunto de equipamentos que captam o deslocamento das marcas colocadas no
corpo de prova, como os adesivos fixados no corpo na figura 3.12a e Figura 3.13. No
39
vídeo-extensômetro utilizado neste trabalho os principais elementos são: um par de
câmeras, um programa para processamento da imagem e para o controle da máquina de
ensaio, além de acessórios como suportes para a câmera e para a iluminação, entre
outros, como podem ser visualizados na Figura 3.14 e no esquemático da Figura 3.15.
Figura 3.12 - a)Teste 1, deslocamentos medidos com uma câmera de precisão;
b)Teste 2, deslocamentos medidos com um extensômetro.
Figura 3.13 - Adesivos para a obtenção dos deslocamentos.
40
Figura 3.14 - Vídeo-extensômetro do LED / LMTA.
Figura 3.15 - Esquemático com o funcionamento de um vídeo-extensômetro.
O outro tipo de extensômetro utilizado foi do tipo elétrico-resistivo, cuja fixação
deve ser executada através da aplicação de torque em parafuso de pressão
cuidadosamente, para que não haja escorregamento nem danos ao corpo de prova ou ao
instrumento. Os extensômetros elétrico-resistivos têm seu princípio de funcionamento
na medição da variação da resistência proporcionalmente à variação das dimensões do
corpo de prova.
No extensômetro, a resistência elétrica R de um condutor de seção transversal
uniforme A, comprimento L e resistividade do material ρ são dadas por:
(3.1)
Derivando e dividindo pela resistência total R, tem-se que:
(3.2)
41
A mudança na seção transversal, dA, acontece devido à deformação imposta
durante o ensaio na direção transversal ao eixo de aplicação da força e, pela
conservação de massas, temos que o diâmetro final do fio condutor, Øf, e,
consequentemente, dA serão então:
(3.3)
(3.4)
Assim, temos que:
(3.5)
Cada liga metálica, usada na fabricação do condutor, possui um fator
relacionado com a sua sensibilidade, Sa, tabelado e que será condizente com a taxa de
variação da sua resistência em função da deformação aplicada. Temos para Sa, então
que:
(3.6)
Da Equação 3.5, acima, podemos observar que a parcela 1+2ν é a parcela
relacionada com a variação nas dimensões e que a outra parcela,
, refere-se à
variação na resistividade. Fato este que, até então, acredita-se estar relacionado à
variação na mobilidade de elétrons livres.
3.3.3. Resultados e Análises
Para a etapa de execução dos ensaios, as deformações consideradas para a
obtenção das propriedades do alumínio foram menores do que 5%. Logo, é possível
considerar modelos de pequenas deformações e contabilizar as tensões de engenharia.
O primeiro ensaio, Ensaio 1, foi o realizado com o vídeo-extensômetro e o
segundo ensaio, Ensaio 2, foi o realizado com o extensômetro elétrico-resistivo. Os
resultados de cada um dos ensaios foram impressos em gráficos e estão ilustrados a
seguir.
42
Figura 3.16 - Tensão x Deformação para os ensaios com a câmera e com o
extensômetro.
Como pode ser observado na Figura 3.16, ambos os ensaios convergiram para
uma mesma curva tensão versus deformação com mínima diferença entre si, validando
o uso dos dois métodos para a obtenção dos deslocamentos. O gráfico considerado a
partir de então foi o do Ensaio 2, o ensaio com o extensômetro, pois este apresentava
um aspecto ligeiramente mais acurado e melhor apresentável.
Em seguida, foram realizadas as medições do Módulo de Elasticidade em dois
pontos de deformação. Como o alumínio é um material elastoplástico e os ensaios
foram realizados em temperatura ambiente constante, o módulo de elasticidade esperado
deverá ser constante, referente à inclinação da reta do regime elástico. Foram adotados
dois limites de escoamento para comparação, um a 0,02% de deformação permanente na
seção útil do corpo de prova e outro a 0,2%. Em geral, para controle de qualidade de
materiais, usa-se essa deformação permanente como 0,2%, mas para estudos
envolvendo carregamentos cíclicos fora do limite elástico (fadiga plástica oligocíclica),
é usado um limite dez vezes menor, ou seja, 0,02%.
Para identificação do Módulo de Elasticidade, foi obtido através da técnica de
mínimos quadrados apresentada a seguir:
(3.7)
No Capítulo 4, o procedimento numérico pondera sua escolha para pares que
estariam dentro da região elástica como aceitáveis todos os pares cujas tensões são
menores que 60% do valor da tensão máxima medida e no mínimo 20% da tensão
-100
0
100
200
300
-0,02 0 0,02 0,04 0,06 0,08 Ten
são
(M
Pa)
Deformação
Comparação Ensaio 1 x Ensaio 2
Ensaio 1: Câmera
Ensaio 2: Extensômetro
43
máxima, pois considera-se que o extensômetro pode sofrer um escorregamento durante
os ensaios.
As retas para o Módulo de Elasticidade foram plotadas e estão dispostas,
juntamente com as curvas de tensão versus deformação, na Figura 3.17. Mesmo este
ensaio não sendo um ensaio cíclico, o seu intuito futuro é ser trabalhado numericamente
para tornar-se o equivalente a um ensaio cíclico, como será abordado no Capítulo 4.
Sendo assim, foi considerada um deformação permanente de 0,02% e, para esse valor de
deformação plástica, pôde ser determinada a tensão de escoamento do material, que está
descrita na Tabela 3.2, adiante neste capítulo.
Figura 3.17 - Medição dos Módulos de Elasticidade a 0,02% e 0,2% de deformação.
Também foi plotado o gráfico da deformação plástica associada, que nos servirá
mais a frente durante a medição das variáveis para o Segmento Elástico e também no
procedimento para obtenção das curvas para ensaio cíclico no Capítulo 4. Ela está
ilustrada na Figura 3.18 e nos mostra somente as tensões referentes às tensões acima do
limite de escoamento do material para a sua condição de encruamento inicial. Ou seja,
ela demonstra apenas as deformações plásticas, definidas por:
(3.8)
0
50
100
150
200
250
-0,02 0 0,02 0,04 0,06 0,08
Ten
são
(M
Pa)
Deformação
Tensão x Deformação - Extensômetro
Tensão x Deformação
Módulo de Elasticidade 0,0002
Módulo de Elasticidade 0,002
44
Figura 3.18 - Deformação Plástica Associada.
Com as curvas obtidas, será executada uma simulação, no Capítulo 4, para torná-
la equivalente a um carregamento trativo-compressivo cíclico e, a partir dela, serão
medidos os parâmetros do material.
Os valores mensurados serão E, v1, v2, σy, onde v1 e v2 são parâmetros que estão
relacionados com o endurecimento isotrópico, cuja variável associada com o
endurecimento isotrópico será representada por Y, segundo observado na Equação 3.6.
Para temperatura constante, o endurecimento isotrópico só dependerá da deformação
plástica acumulada e aumentará junto com ela até atingir um valor de saturação, Ymáx.
Temos que:
Y = v1 (1-e(-v2 p)
) + σy (3.9)
A partir dessa equação, é possível observar que, para um valor muito grande de
p, somente a parcela referente a v1 e a σy será relevante e, assim, é possível obter Ymáx,
quando:
(3.10)
Utilizando-se um programa para obtenção de parâmetros através de pares
ordenados, pode-se observar que a assíntota horizontal convergirá para o valor de Ymáx,
sendo possível encontrar v1, como observado no gráfico plotado na Figura 3.19, sendo
possível, assim, obter os valores de v1, v2 e de Ymáx e, com esses valores, pode-se obter
0
10
20
30
40
50
60
70
0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07
σ-σ
y
εp
Deformação Plástica Associada
Def. Plástica
45
o endurecimento cinemático, X, através da equação para o ciclo estabilizado, como
demonstrado no Capítulo 4.
Figura 3.19 - Medição de v1 e v2.
Os resultados obtidos para os ensaios no Capítulo 3, estão demonstrados na
Tabela 3.2, a seguir:
Tabela 3.2 - Resultados dos Ensaios de Tração Monótonos.
σy 160 MPa
E 69 GPa
v1 19,75 MPa
v2 126,028 MPa
Ymáx 180,035 MPa
Em seguida, no Capítulo 4, com o gráfico da Tensão versus Deformação Plástica
Associada em mãos, será demonstrado que é possível simular um ensaio de
carregamento cíclico trativo e compressivo de maneira fiel à realidade e que permita a
obtenção das demais propriedades de um ensaio cíclico estabilizado para um mesmo
corpo de prova de mesmas propriedades.
Essa aquisição é importante para definir os parâmetros da etapa seguinte, onde
serão comparados com as propriedades obtidas em carregamentos cíclicos para a
validação do método. Por exemplo, quanto maior a deformação plástica acumulada,
46
maior a probabilidade de aparecimento de uma macro-fissura no material
experimentado.
47
CAPÍTULO 4
4.MANUSEIO DAS CURVAS
4.1 Obtenção da Curva de um Ensaio Cíclico
4.1.1 Considerações
O objetivo deste capítulo é apresentar um método numérico o qual demonstra ser
possível obter-se um gráfico de um ensaio cíclico a partir apenas de um gráfico obtido
por um ensaio de tração monótono. Como visto nos Capítulos 2 e 3, a execução dos
ensaios de tração são extremamente mais simples de ser efetuadas e requerem menor
quantidade de recursos financeiros e humanos, além requerer menor expertise para sua
execução e de menor trabalho para a confecção dos corpos de prova.
O carregamento cíclico para a aproximação simulada será considerado como um
carregamento cíclico de deformação prescrita, onde a amplitude de deformação será
constante, sua média será nula. Ou seja, a deformação máxima será igual à deformação
mínima. Para essas deformações, usaremos a nomenclatura de ε0p, obtendo, então, -ε0
p =
ε0p, como mostrado na Figura 4.1.
Figura 4.1: Carregamentos e deformações prescritas. Fonte [1]
48
A simulação considera também um carregamento sem endurecimento, nem
amolecimento cíclico e estabilizado no primeiro ciclo. Em geral, essa aproximação é
uma boa aproximação para materiais elasto-plásticos, que costumam estabilizar no
primeiro, segundo ou terceiro ciclo, não apresentando, assim, grandes desvios da
simulação.
Essa metodologia para o obtenção da curva estabilizada, partindo de uma curva
de um ensaio apenas trativo monótono, se dá manuseando-se uma curva de Tensão
versus Deformação Plástica, em apenas três passos, que serão descritos a seguir.
4.1.2 Método para Obtenção da Curva Estabilizada
Para o primeiro passo, será preciso estabelecer um intervalo de deformação
plástica, [-ε0p , ε0
p], para o gráfico. É importante notar que, como o intuito é obter as
constantes do material para os modelos de Lemaitre e Chaboche [5], o intervalo de
deformação deverá respeitar os limites para pequenas deformações. Outro ponto notório
também é que essa deformação não deve exceder a deformação referente ao limite de
tensão máximo.
No exemplo, esse intervalo foi escolhido para ε0p = ±10
-2, um valor o qual é
possível considerar modelos de pequenas deformações e contabilizar as tensões de
engenharia. A curva será transladada, então, para a esquerda, grafando-a a partir do
ponto -ε0p. Para efeito didático, a curva original será nomeada Curva 1, e a curva
modificada será nomeada Curva 2. A translação se dará da forma exibida na Figura 4.2
e demonstrada na seguinte equação:
(4.1)
49
Figura 4.2: Primeira translação
No segundo passo, deverão ser identificadas as tensões correspondentes para o
ponto +εp
0, nas Curvas 1 e 2, obtendo-se σ1(+ε0p) e σ2(+ε0
p). Com esses valores, deverá
ser aplicada a sua diferença a todos os valores de tensão da curva modificada, Curva 2,
transladando-a, desta maneira, para baixo. Observe, na Figura 4.3 e na equação abaixo,
que σ3(+ε0p) = σ1(+ε0
p).
Justamente essa translação é a que está relacionada com o endurecimento
cinemático, este que translada o segmento elástico no eixo 0y. Portanto, é razoável
realizar estimar esta aproximação em materiais cujo ciclo estabilizado aparece logo nos
primeiros ciclos.
σ σ
σ σ
(4.2)
0
50
100
150
200
250
-0,02 0 0,02 0,04 0,06 0,08
Curva 1
Curva 2
-50
0
50
100
150
200
250
-0,02 0 0,02 0,04 0,06 0,08
Curva 1
Curva 3
50
Figura 4.3: Segunda translação
Como foi estabelecido o intervalo de deformações plásticas entre + ε0p e - ε0
p,
deve-se restringir o gráfico à esse intervalo, eliminando os valores além, bem como os
valores negativos da Curva 3, como foi exemplificado na Figura 4.4.
Figura 4.4: Restrição para o intervalo escolhido
O terceiro passo se dará pela replicação da Curva 3 rotacionada em 180° em
torno do eixo 0z, como pode ser observado na Figura 4.5, visto que os níveis de tensão
alcançados na parte trativa do primeiro quadrante se repetem e são razoavelmente iguais
à parte compressiva no terceiro quadrante. Logo, para a rotação, simplesmente deve-se
fazer:
σ σ (4.3)
Figura 4.5: Rotação da curva
0
50
100
150
200
250
-0,015 -0,01 -0,005 0 0,005 0,01 0,015
Curva 1
Curva 3
-250
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
250
-0,015 -0,01 -0,005 0 0,005 0,01 0,015
Curva 1
Curva 3
Curva 4
51
Como o gráfico analisado se trata de um gráfico da Tensão versus Deformação
Plástica, não teremos a inclinação típica de um regime elástico durante o
descarregamento trativo para o carregamento compressivo e novamente durante a
transição da compressão para a tração. Nesses intervalos, no entanto, teremos uma reta
perpendicular ao eixo das abscissas, descrevendo o regime elástico como sendo um
regime sem deformações permanentes, essa reta denota, assim, o segmento elástico,
característico pelo endurecimento isotrópico e pelo endurecimento cinemático.
Tratando o gráfico, é obtida a curva de um ensaio cíclico para o material
ensaiado apenas por um ensaio de tração, como ilustrado na Figura 4.6. Desta curva,
então, podem ser extraídas as propriedades do material, como as constantes referentes
ao comportamento plástico do material, a e b, e o segmento elástico, como o
endurecimento isotrópico e o endurecimento cinemático.
Os valores para a e b, constantes constituintes do comportamento plástico do
material, não foram calculadas já que esta foi uma das propostas apresentadas no
trabalho do Feliciano e Costa Mattos, apresentada em [1]. Além disso, Feliciano nos
mostra que, apesar dos valores de a e b serem bem díspares, o aspecto do gráfico não é
alterado drasticamente.
Figura 4.6: Ciclo estabilizado
-250
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
250
-0,015 -0,01 -0,005 0 0,005 0,01 0,015
52
Essas propriedades, juntamente com o ciclo estabilizado serão fundamentais
para a obtenção da vida do material a fadiga e de previsões para um acoplamento
termomecânico e serão comparadas com as obtidas utilizando-se o método de ensaio
tradicional, com o intuito de validar este método.
Com o ciclo estabilizado, é possível calcular o segmento elástico do material
ensaiado, que são caracterizados pelo endurecimento isotrópico, Y, onde 2Y caracteriza
o tamanho do segmento, e pelo endurecimento cinemático, X, que dará a coordenada
posicionando o segmento. X e Y são obtidos através de:
(4.4)
(4.4)
4.1.3 Resultados para o Ciclo Estabilizado Simulado Inicial
Os resultados obtidos utilizando-se o procedimento para obtenção da curva
Tensão versus Deformação Plástica de um ciclo estabilizado estão dispostas na Tabela
4.1, a seguir:
Tabela 4.1 - Resultados do Ciclo Estabilizado Simulado.
σy 160 MPa
E 69 GPa
v1 19,75 MPa
v2 126,028
Ymáx 180,035 MPa
Xmáx 28,065 MPa
4.2 Método Numérico Implementado
Para maior facilidade no processamento dos dados dos ensaios, o passo a passo
descrito no Capítulo 4.1.2 foi implementado em um programa de processamento de
dados, utilizando a linguagem Visual Basic for Applications, comumente conhecida
como VBA. Seu código pode ser visualizado adiante, na seção 4.2.3, onde cada
instrução notável recebe comentários relevantes a que se destinam.
53
4.2.1 Resumo das instruções
O programa destina-se a receber como entrada os valores de um ensaio de
tração, sendo a Tensão em MPa inseridas na coluna "A" a partir da célula "A2" e os
valores de deformação na coluna "B" a partir da célula "B2" na aba "DADOS", como
pode ser visualizado na Figura 4.7.
Em seguida, ao apertar o botão "Gerar Gráfico", o código em VBA será
disparado, abrindo-se uma janela onde deverá ser inserida a deformação máxima para o
ensaio cíclico. Baseado nos dados de entrada, o programa definirá um valor máximo
aceitável para a deformação máxima. Caso o valor inserido na caixa não seja um valor
válido, o programa acusará o erro e encerrará suas iterações.
Figura 4.7 - Interface para a entrada de dados
Após entrar com a deformação máxima, o programa analisará os dados e
calculará o Módulo de Elasticidade, segundo a o método dos mínimos quadrados,
levando em conta somente os pares cujos valores de tensão se encontram no intervalo
entre 20% a 60% da tensão máxima informada, pois está sendo estimado que a parcela
referente à deformação elástica encontra-se por essa região.
54
Em seguida, com o Módulo de Elasticidade já calculado, a interação criará uma
nova tabela em uma nova aba com os dados repetidos para a tensão e processados para a
deformação plástica associada, utilizando a Equação 3.7. Também será informado o
módulo de elasticidade calculado e a Tensão de escoamento, seguindo a metodologia
apresentada no Capítulo 3.3.3 e exemplificado na Figura 3.17.
Com os dados necessários da tensão e da deformação plástica, é possível aplicar
o procedimento descrito no Capítulo 4.1.2, executando as duas translações, uma rotação
e a disposição dos dados na tabela criada ao longo das colunas "A" e "B". Após
arrumados os dados, gera-se o gráfico da Tensão versus Deformação Plástica,
juntamente com a medição do segmento elástico, obtendo-se Xmáx e Ymáx, como
demonstrado no Capítulo 4.1.
Conhecendo-se Ymáx, é possível mensurar v1, como descrito no Capítulo 3.3.3.
4.2.2 Detalhamento das Instruções
Inicialmente, criou-se uma aba chamada "DADOS" em uma planilha do
aplicativo Microsoft Office Excel 2007 e, para o cabeçalho, inseriu-se o texto "Tensão
MPa" na célula A1 e o texto "Deformação" na célula A2, para que os dados de entrada
sejam inseridos nas respectivas colunas com as dimensões indicadas.
Em seguida, foi inserido um botão como Controle de ActiveX, o qual foi
nomeado "Gerar Gráfico". Este controle foi configurado com o código VBA disposto a
seguir.
4.2.3 Código Comentado
i. Primeiramente, o código foi seccionado em diferentes partes
correspondentes a cada passo relevante. No início do código, deve-se declarar seu tipo e
desabilitar a atualização da tela enquanto ele estiver rodando para não exibir cada linha
sendo escrita, o que consumiria tempo e diminuiria o desempenho do processo. As
variáveis não declaradas são automaticamente reconhecidas como o tipo string.
Private Sub CommandButton21_Click()
Application.ScreenUpdating = False
55
ii. Na próxima instrução, abre-se uma caixa de diálogo que será preenchida
com a deformação máxima pretendida para ao ensaio cíclico, estabelecendo o intervalo
de deformação ou informando que a caixa não foi preenchida e encerrando o processo.
epmax = InputBox("Por favor, preencha a deformação máxima para o ensaio cíclico")
If IsEmpty(epmax) Or epmax = "" Then
MsgBox ("Por favor, entre com a deformação máxima para o ensaio cíclico")
Exit Sub
End If
iii. Na próxima seção, conta-se a quantidade de linhas inseridas na aba
"DADOS". Define-se i como a quantidade de linhas, que será um valor inteiro. A
variável i2 também será a quantidade de linhas e será usada posteriormente. iz será a
variável para encerrar o comando Do While.
Dim i As Integer
i = 1
iz = 0
Do While iz = 0
If IsEmpty(Sheets("DADOS").Range("A" & i)) Then
iz = 1
Else
i = i + 1
End If
Loop
i = i - 1
i2 = i
iv. A variável epmax está declarada como string, então precisaremos de
epmax2 como Double para realizar operações com ela. Assim, será checado se o valor
inserido na caixa é um valor válido dentro dos limites inseridos nos dados de entrada.
Dim epmax2 As Double
56
epmax2 = epmax
If epmax2 > Sheets("DADOS").Range("B" & i).Value / 2 Then
MsgBox ("Limite de deformação suportado para este ensaio trativo é de " &
Sheets("DADOS").Range("B" & i).Value / 2)
Exit Sub
Else
End If
v. Neste passo, será criado o gráfico de Tensão versus Deformação na aba
"DADOS", que extrairá seus dados de "A2" até "B"i, mas antes deve-se primeiro
eliminar todos os gráficos da aba "DADOS".
Dim chtObj As ChartObject
Sheets("DADOS").Activate
For Each chtObj In ActiveSheet.ChartObjects
chtObj.Delete
Next
Charts.Add
ActiveChart.ChartType = xlXYScatterSmoothNoMarkers
ActiveChart.SetSourceData Source:=Sheets("DADOS").Range("A2:A" & i)
ActiveChart.Location Where:=xlLocationAsObject,
Name:=Sheets("DADOS").Name
With ActiveChart
.HasTitle = True
.ChartTitle.Text = "Tensão vs Deformação"
.Axes(xlValue).HasMajorGridlines = False
End With
ActiveChart.SeriesCollection(1).XValues = Sheets("DADOS").Range("B2:B" & i)
ActiveChart.SeriesCollection(1).HasDataLabels = False
ActiveChart.HasLegend = False
ActiveChart.Axes(xlValue).HasMajorGridlines = True
57
With ActiveChart.Parent
.Height = 325 'tamanho
.Width = 500 'tamanho
.Top = 200 'posição
.Left = 150 'posição
End With
vi. Agora, deve-se achar as linhas correspondentes a 20% de σmáx 60% de
σmáx para, em seguida, calcular o módulo de elasticidade E. Aqui, iz receberá os valores
de cada célula de tensão até chegar na linha correspondente a 60% e ii receberá o valor
da linha correspondente a 20%.
Dim maximo20 As Double
Dim maximo60 As Double
maximo20 = (2 / 10) *
Application.WorksheetFunction.Max(Sheets("DADOS").Range("A1:A" & i))
maximo60 = (6 / 10) *
Application.WorksheetFunction.Max(Sheets("DADOS").Range("A1:A" & i))
ii = 2
Do While iz <= maximo60
iz = Sheets("DADOS").Range("A" & ii).Value
If iz <= maximo20 Then
i = ii + 1
Else
End If
ii = ii + 1
Loop
iz = ii - 1
58
vii. Nesta parte, o objetivo será calcular E, definindo S como Tensão; E
como deformação; ee será o quadrado da deformação; Mod_E será o Módulo de
Elasticidade.
S = 0
E = 0
ee = 0
Se = 0
Mod_E = 0
Do While i <= iz
S = Sheets("DADOS").Cells(i, 1).Value
E = Sheets("DADOS").Cells(i, 2).Value
Se = Se + (S * E)
ee = ee + E * E
i = i + 1
Loop
Mod_E = Se / ee
'MsgBox ("E = " & Mod_E & "MPa")
viii. Nesta parte, será calculada a tensão de escoamento, denotada por Sy. i2
será o valor máximo referente à última linha das tensões informadas na entrada na aba
"DADOS". a e b serão valores que correrão as linhas até que seja encontrado o valor
dentro do intervalo referente a 99% ou 101% do Sy calculado teoricamente para uma
deformação de 0,02%.
Dim a As Integer
Dim b As Integer
Dim Sy As String
a = 2
b = 0
Do While a <= i2
59
If Sheets("DADOS").Cells(a, 1).Value >= 0.99 * Mod_E *
(Sheets("DADOS").Cells(a, 2).Value - 0.0002) And Sheets("DADOS").Cells(a,
1).Value <= 1.01 * Mod_E * (Sheets("DADOS").Cells(a, 2).Value - 0.0002) Then
Sy = Sheets("DADOS").Cells(a, 1).Value
'MsgBox Sy
'MsgBox ("Sy = " & Sy & " >= " & 0.99 * Mod_E * (Sheets("DADOS").Cells(a,
2).Value - 0.0002) & "; <= " & 1.01 * Mod_E * (Sheets("DADOS").Cells(a, 2).Value -
0.0002))
ab = a
a = i2
End If
a = a + 1
Loop
ix. Esta seção do programa criará uma nova aba, onde serão escritas os
valores calculados. Ela seguirá a ordem das abas com nome padrão sequencial, sem
apagar as antigas, e, em VBA, será identificada por WS_ep. Em seguida, calculará as
deformações plásticas e as escreverá na nova aba, na coluna "A" a partir da linha 2, e
copiará as tensões correspondentes da aba de entrada para a nova aba.
Dim p As Integer 'p será a linha do epmax'
Dim epmax3 As Double 'Ajudará no IF para achar a linha do ep'
Dim WS_ep As Worksheet
'WS_ep.Name = "S x ep"'
Set WS_ep = Sheets.Add(after:=Sheets(Sheets.Count))
With WS_ep.Range("B1:W1")
.Font.Bold = True
.WrapText = True
End With
p = 0
i = 2
iz = 0
60
Do While iz = 0
epmax2 = 2 * epmax + 2 * ((Sheets("DADOS").Cells(i, 1).Value) / Mod_E)
'OBS: A deformação plástica deve ir até 2*epmax, pois, quando houver a Translação1,
ela irá voltará até ep.'
epmax3 = epmax
If Sheets("DADOS").Cells(i, 2).Value > epmax2 Or
IsEmpty(Sheets("DADOS").Cells(i, 2).Value) Then
iz = 1
i = i - 1
Else
WS_ep.Cells(i, 2).Value = Sheets("DADOS").Cells(i, 2).Value -
(Sheets("DADOS").Cells(i, 1).Value / Mod_E)
If p = 0 And WS_ep.Cells(i, 2).Value >= epmax3 Then
'OBS: Procurando a linha do epmax, onde p será essa linha'
p = i
Else
End If
i = i + 1
End If
Loop
Sheets("DADOS").Range(Cells(1, 1), Cells(i, 1)).Copy
Destination:=WS_ep.Range("A1")
WS_ep.Range("B1").Value = "Deformação Plástica"
61
x. Neste ponto, será executada a primeira translação, conforme explicado no
Capítulo 4.1.2 e ilustrado na Figura 4.2.
Dim cell As Range
WS_ep.Range("D1").Value = "Translação1 [ep2]"
iz = 2
epmax2 = epmax
Do While iz <= i
WS_ep.Cells(iz, 4).Value = WS_ep.Cells(iz, 2).Value - epmax
If WS_ep.Cells(iz, 4).Value >= epmax2 Then
WS_ep.Range("A" & (iz + 1) & ":" & "D" & i).Clear
i = iz
Else
End If
iz = iz + 1
Loop
iz = iz - 1
xi. Agora, serão efetuadas a segunda translação, conforme ilustrado na
Figura 4.3, e, logo em seguida, a rotação, como na Figura 4.5. S_EC será a tensão máx
correspondente à Compressão, S_ET será a tensão máx correspondente à Tração X será
o endurecimento cinemático X será o endurecimento isotrópico. Esses valores serão
dispostos nas colunas "C", "E" e "F", e serão organizadas num passo posterior.
Dim Delta_S As Long
Dim S_EC As Long
Dim S_ET As Long
Dim X As Long
Dim Y As Long
62
WS_ep.Range("C1").Value = "Translação2 [Tensão2]"
WS_ep.Range("E1").Value = "Rotação [Tensão3]"
WS_ep.Range("F1").Value = "Rotação [ep]"
Delta_S = WS_ep.Cells(i, 1).Value - WS_ep.Cells(p, 1).Value
S_EC = (Sy - Delta_S)
MsgBox ("S_EC = " & S_EC & " MPa")
S_ET = WS_ep.Cells(p, 1).Value
MsgBox ("S_ET = " & S_ET & " MPa")
Y = (S_ET + S_EC) / 2
MsgBox ("Ymáx = " & Y & " MPa")
X = S_ET - Y
'MsgBox ("Xmáx = " & X & " MPa")
i = 2
Do While i <= iz
WS_ep.Cells(i, 3).Value = WS_ep.Cells(i, 1).Value - Delta_S 'Translação2'
WS_ep.Cells(i, 5).Value = -WS_ep.Cells(i, 3).Value 'Rotação'
WS_ep.Cells(i, 6).Value = -WS_ep.Cells(i, 4).Value 'Rotação'
i = i + 1
Loop
xii. Aqui, neste passo, serão deletadas as entradas negativas no gráfico
gerado, conforme explicado no procedimento do Capítulo 4.2, ilustrado na Figura 4.4.
WS_ep.Activate
WS_ep.Range("A" & (p + 1) & ":" & "B" & iz).Clear
63
xiii. Agora, organiza-se a disposição das informações para gerar-se o gráfico
da Tensão versus Deformação Plástica. É preciso inverter as posições das colunas
referentes à Tensão com as referentes à Deformação.
WS_ep.Columns("A:A").Insert Shift:=xlToRight,
CopyOrigin:=xlFormatFromLeftOrAbove '
WS_ep.Range("C1:C" & p).Copy Destination:=WS_ep.Range("A1")
WS_ep.Columns(3).EntireColumn.Delete
WS_ep.Range("E2:" & "E" & iz).Cut Destination:=WS_ep.Range("B" & (p + 1))
WS_ep.Range("F2:" & "F" & iz).Cut Destination:=WS_ep.Range("A" & (p + 1))
WS_ep.Range("C2:" & "C" & iz).Cut Destination:=WS_ep.Range("B" & (p + iz))
WS_ep.Range("D2:" & "D" & iz).Cut Destination:=WS_ep.Range("A" & (p + iz))
WS_ep.Cells((p + 2 * iz - 1), 1).Select
WS_ep.Range("C1:W1").Delete
WS_ep.Columns("A:W").HorizontalAlignment = xlCenter
WS_ep.Columns("A:W").VerticalAlignment = xlCenter
WS_ep.Columns("A:W").ColumnWidth = 12
xiv. Agora, finalmente, deve ser gerado o gráfico da Tensão versus a
Deformação Plástica.
Charts.Add
ActiveChart.ChartType = xlXYScatterSmoothNoMarkers
ActiveChart.SetSourceData Source:=WS_ep.Range("A2:B" & (p - 1 + 2 * (iz)))
ActiveChart.Location Where:=xlLocationAsObject, Name:=WS_ep.Name
With ActiveChart
.HasTitle = True
.ChartTitle.Text = "Tensão vs Deformação Plástica"
End With
64
ActiveChart.SeriesCollection(1).HasDataLabels = False
ActiveChart.HasLegend = False
With ActiveChart.Parent
.Height = 325 'tamanho
.Width = 500 'tamanho
.Top = 50 'posição
.Left = 200 'posição
End With
WS_ep.Range("M1").Value = "E ="
WS_ep.Range("N1").Value = Mod_E
WS_ep.Range("O1").Value = "MPa"
WS_ep.Range("M2").Value = "Sy ="
Dim S_Integer As Integer
S_Integer = Sy
Sy = Sy - S_Integer
WS_ep.Range("N2").Value = S_Integer + Sy
WS_ep.Range("O2").Value = "MPa"
WS_ep.Range("M3").Value = "Xmáx ="
WS_ep.Range("N3").Value = X
WS_ep.Range("O3").Value = "MPa"
WS_ep.Range("M4").Value = "Ymáx ="
WS_ep.Range("N4").Value = Y
WS_ep.Range("O4").Value = "MPa"
WS_ep.Range("M5").Value = "v1 ="
WS_ep.Range("N5").Value = Y - (S_Integer + Sy)
WS_ep.Range("O5").Value = "MPa"
65
xv. Ao final, é importante lembrar de habilitar novamente as atualizações da
tela, para que as alterações possam ser visualizadas novamente.
Application.ScreenUpdating = True
End Sub
4.3 Comparação do Método
Com o propósito de validar o método, a dissertação de Feliciano e Costa Mattos
[1], foi usada como referência, onde foram realizados ensaios tanto trativos monótonos,
quanto ensaios trativo-compressivos cíclicos.
As curvas dos ensaios de tração monótonos foram submetidas ao método
descrito no Capítulo 4.1.2, suas curvas tensão-deformação foram geradas e as
propriedades do material foram extraídas e comparadas com as obtidas pelos ensaios
realizados por Feliciano e Costa Mattos em [1].
Os materiais utilizados foram descritos no Capítulo 3.1 e os corpos de prova e o
método de ensaio no Capítulo 3.2. Sua curva referente ao ensaio de tração monótono
pode ser visualizada na Figura 4.8 e Figura 4.9.
Figura 4.8 - Curva Tensão x Deformação para o Ensaio de Tração Monótono da liga
ASTM 6351.
0,00
50,00
100,00
150,00
200,00
250,00
300,00
350,00
-0,01000 0,00000 0,01000 0,02000 0,03000 0,04000 0,05000 0,06000
66
Figura 4.9 - Curva Tensão x Deformação para o Ensaio de Tração Monótono da liga
ASTM 7050.
Com a aplicação do método descrito no Capítulo 4.1.2, as curvas cíclicas
simuladas obtidas foram as ilustradas nas figuras 4.10 e 4.11, a seguir.
Figura 4.10 - Simulação da Curva Tensão x Deformação para o Ensaio Trativo-
Compressivo Cíclico para a liga ASTM 6351.
-50,00
0,00
50,00
100,00
150,00
200,00
250,00
300,00
350,00
400,00
450,00
500,00
0,00000 0,00500 0,01000 0,01500 0,02000 0,02500 0,03000
-300,00
-200,00
-100,00
0,00
100,00
200,00
300,00
-0,002 -0,0015 -0,001 -0,0005 0 0,0005 0,001 0,0015 0,002
Tensão vs Deformação Plástica
67
Figura 4.11 - Simulação da Curva Tensão x Deformação para o Ensaio Trativo-
Compressivo Cíclico para a liga ASTM 7050.
Os resultados obtidos por Feliciano e Costa Mattos em [1] foram exemplificados
nas Figuras 4.12 e 4.13 para as Curvas de Tensão versus Deformação, e nas Figuras
4.14 e 4.15 para as Curvas de Tensão versus Deformação Plástica.
Figura 4.12 - Curva Tensão x Deformação para o Ensaio Realizado Trativo-
Compressivo Cíclico para a liga ASTM 6351.
-400,00
-300,00
-200,00
-100,00
0,00
100,00
200,00
300,00
400,00
-0,004 -0,003 -0,002 -0,001 0 0,001 0,002 0,003 0,004
Tensão vs Deformação Plástica
-300,000
-200,000
-100,000
0,000
100,000
200,000
300,000
-0,00600 -0,00400 -0,00200 0,00000 0,00200 0,00400 0,00600
Tensão x Deformação
68
Figura 4.13 - Curva Tensão x Deformação para o Ensaio Realizado Trativo-
Compressivo Cíclico para a liga ASTM 7050.
Figura 4.14 - Curva Tensão x Deformação Plástica o Ensaio Cíclico Realizado para a
liga ASTM 6351.
-5,00E+02
-4,00E+02
-3,00E+02
-2,00E+02
-1,00E+02
0,00E+00
1,00E+02
2,00E+02
3,00E+02
4,00E+02
5,00E+02
-8,00E-03 -6,00E-03 -4,00E-03 -2,00E-03 0,00E+00 2,00E-03 4,00E-03 6,00E-03 8,00E-03
Tensão x Deformação
-300,000
-200,000
-100,000
0,000
100,000
200,000
300,000
-0,00200 -0,00100 0,00000 0,00100 0,00200
Tensão x Deformação Plástica
69
Figura 4.15 - Curva Tensão x Deformação Plástica o Ensaio Cíclico Realizado para a
liga ASTM 7050.
Como pode-se ver, ambas as curvas, do ASTM 6351 e do ASTM 7075, para o
ensaio cíclico realizado sofreram uma distorção provocada pela flexão do corpo de
prova, muito provavelmente devido ao desalinhamento da garras de fixação do corpo de
prova no equipamento, já que é possível constatar que o módulo de elasticidade é menor
do que no início do ensaio.
Conforme foi investigado por Feliciano, é necessário utilizar um ciclo
estabilizado do alumínio, para obter valores exatos, contornando o problema da flexão
do corpo de prova. Isso se dará escolhendo o intervalo onde as curvas cíclicas
convergem para uma mesma posição, como ilustrado nas Figura 4.16 e 4.17.
Figura 4.16 - Intervalo onde o Ciclo é convergente para a liga ASTM 6351.
-5,00E+02
-4,00E+02
-3,00E+02
-2,00E+02
-1,00E+02
0,00E+00
1,00E+02
2,00E+02
3,00E+02
4,00E+02
5,00E+02
-0,00400 -0,00200 0,00000 0,00200 0,00400
Tensão x Deformação Plástica
-300,000
-200,000
-100,000
0,000
100,000
200,000
300,000
-0,0020 -0,0015 -0,0010 -0,0005 0,0000 0,0005 0,0010 0,0015 0,0020
Tensão vs Deformação Plástica
70
Figura 4.17 - Intervalo onde o Ciclo é convergente para a liga ASTM 7050.
Para o ciclo estabilizado, deve-se usar um mesmo intervalo de deformação, onde
é recomendado ajustá-lo para a parte positiva das deformações, referente à tração, já que
o problema da flambagem ocorre durante a compressão. Os primeiros ciclos têm um
peso maior para a sua seleção, já que nesses ciclos a deformação causada pela
flambagem foi menor do que nos ciclos posteriores.
4.3.1 Comparação do Método para o ASTM 6351.
Na Figura 4.18, foi comparado o ensaio cíclico simulado juntamente com o
ensaio cíclico real, mas devido à flexão do corpo de prova, como já discutido, a
simulação não foi convergente.
Em seguida, é comparado o Ciclo Estabilizado para a liga ASTM 6351 com o
ensaio Cíclico, na Figura 4.19, cujo corpo de prova sofreu flambagem. Também foi
comparado o Ciclo Estabilizado com o Ensaio Cíclico Simulado, na Figura 4.20, onde é
possível averiguar que houve uma grande semelhança entre as curvas.
-500
-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
500
-0,004 -0,003 -0,002 -0,001 0 0,001 0,002 0,003 0,004
Tensão vs Deformação Plástica
Ensaio Cíclico Ciclo Estabilizado
71
Figura 4.18 - Comparação entre o Ensaio Cíclico Simulado e o Ensaio Cíclico Não
Estabilizado para a liga ASTM 6351.
Figura 4.19 - Comparação entre Ciclo Estabilizado e o Ensaio Cíclico Não Estabilizado
para a liga ASTM 6351.
-300
-200
-100
0
100
200
300
-0,002 -0,0015 -0,001 -0,0005 0 0,0005 0,001 0,0015 0,002
Ensaio Cíclico Ensaio Simulado
-300,000
-200,000
-100,000
0,000
100,000
200,000
300,000
-0,0020 -0,0015 -0,0010 -0,0005 0,0000 0,0005 0,0010 0,0015 0,0020
Tensão vs Deformação Plástica
72
Figura 4.20 - Comparação entre Ciclo Estabilizado e o Ensaio Cíclico Simulado para a
liga ASTM 6351.
As variáveis do material foram mensuradas, tanto para o Ciclo Estabilizado,
quanto para o Ensaio Cíclico Simulado, e seus resultados foram comparados e podem
ser averiguados na Tabela 4.2, a seguir:
Tabela 4.2 - Comparação dos Resultados para a liga ASTM 6351
E σy Ymáx Xmáx v1 v2 a b
Ensaio Simulado
78381,98 237,90 246,00 12,00 8,10 0,001 19328,50 894,87
Ciclo Estabilizado
78381,98 239,75 247,77 12,77 8,02 0,001 19140,00 551,43
Erro 0,0% 0,8% 0,7% 6,1% 1,0% 0,0% 0,0% 38,4%
Comparando os resultados, pode-se concluir que a diferença percentual é muito
pequena para E, σy, Ymáx, Xmáx e v1. Para Xmáx, apesar da diferença percentual ter sido
grande o valor absoluto da diferença foi de apenas 0,77 MPa, um valor extremamente
aceitável para o método, visto as grandezas do ensaio. Essa justificativa também se
aplica aos valores medidos para "a" e "b", cuja equação possui uma sensibilidade alta e
-300,00
-200,00
-100,00
0,00
100,00
200,00
300,00
-0,0008 -0,0006 -0,0004 -0,0002 0 0,0002 0,0004 0,0006 0,0008
Tensão vs Deformação Plástica
73
uma pequena variação nos valores de entrada pode gerar grandes discrepâncias na saída,
porém, ainda assim, a ordem de grandeza dos valores permaneceu numa faixa aceitável.
Para o ensaio com o alumínio ASTM 6351 é possível aprovar a acurácia do método.
4.3.2 Comparação do Método para o ASTM 7050.
Na Figura 4.21, foi comparado o ensaio cíclico simulado juntamente com o
ensaio cíclico real, mas devido à flexão do corpo de prova, como já discutido, a
simulação não foi convergente.
Em seguida, é comparado o Ciclo Estabilizado para a liga ASTM 7050 com o
ensaio Cíclico, na Figura 4.22, cujo corpo de prova sofreu flambagem. Também foi
comparado o Ciclo Estabilizado com o Ensaio Cíclico Simulado, na Figura 4.23, onde é
possível averiguar que houve uma grande semelhança entre as curvas.
Figura 4.21 - Comparação entre o Ensaio Cíclico Simulado e o Ensaio Cíclico Não
Estabilizado para a liga ASTM 7050.
-500
-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
500
-0,004 -0,003 -0,002 -0,001 0 0,001 0,002 0,003 0,004
Tensão vs Deformação Plástica
Ensaio Cíclico Ensaio Simulado
74
Figura 4.22 - Comparação entre Ciclo Estabilizado e o Ensaio Cíclico Não Estabilizado
para a liga ASTM 7050.
Figura 4.23 - Comparação entre Ciclo Estabilizado e o Ensaio Cíclico Simulado para a
liga ASTM 7050.
-500
-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
500
-0,004 -0,003 -0,002 -0,001 0 0,001 0,002 0,003 0,004
Tensão vs Deformação Plástica
Ensaio Cíclico Ciclo Estabilizado
-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
-0,002 -0,0015 -0,001 -0,0005 0 0,0005 0,001 0,0015 0,002
Tensão vs Deformação Plástica
Ensaio Cíclico Estabilizado Ensaio Simulado
75
As variáveis do material foram mensuradas, tanto para o Ciclo Estabilizado,
quanto para o Ensaio Cíclico Simulado, e seus resultados foram comparados e podem
ser averiguados na Tabela 4.3, a seguir:
Tabela 4.3 - Comparação dos Resultados para a liga ASTM 7050
E σy Ymáx Xmáx v1 v2 a b
Ensaio Simulado
87399,37 276,28 294,00 36,00 17,72 0,001 19538,70 288,89
Ciclo Estabilizado
87399,37 279,26 300,86 36,96 21,60 0,001 23052,50 251,74
Erro 0,0% 1,1% 2,3% 2,6% 18,0% 0,0% 15,2% 12,8%
Comparando os resultados, pode-se concluir que a diferença percentual é muito
pequena para E, σy, Ymáx e Xmáx. Para v1, apesar da diferença percentual ter sido grande
o valor absoluto da diferença foi de apenas 3,88MPa, um valor extremamente aceitável
para o método, visto as grandezas do ensaio. Essa justificativa também se aplica aos
valores medidos para "a" e "b", cuja equação possui uma sensibilidade alta e uma
pequena variação nos valores de entrada pode gerar grandes discrepâncias na saída,
porém, ainda assim, a ordem de grandeza dos valores permaneceu numa faixa aceitável.
Para o ensaio com o alumínio ASTM 7050 é possível, mais uma vez, aprovar a acurácia
do método.
Sendo assim, o método que simula a obtenção de uma curva de um ensaio
cíclico trativo-compressivo a partir de um ensaio apenas trativo monótono mostrou-se
eficaz, cujos resultados apresentaram-se dentro de um limite aceitável, visto que o
ensaio real provavelmente sofreu influência de fatores como o desalinhamento das
garras que vieram a contribuir com a flambagem do corpo de prova.
76
CAPÍTULO 5
5.CONCLUSÃO
5.1. Conclusões e Sugestões para Trabalhos Futuros
Conforme visto anteriormente, o conhecimento do comportamento das
propriedades mecânicas dos materiais é extremamente importante para prever sua
resposta em aplicações de engenharia. A falta de seu conhecimento pode levar a
interpretações errôneas e a falhas gravíssimas.
O estudo da vida a fadiga depende diretamente da obtenção do ciclo estabilizado
trativo-compressivo, bem como estudos de acoplamentos termomecânicos em
carregamentos cíclicos.
O mesmo estudo é significativo nos casos de fadiga dos componentes
mecânicos. Uma ínfima parcela de deformação é acrescida durante cada ciclo,
resultando num aumento gradual da deformação plástica acumulada. Essa deformação, a
olho nu, torna-se muito difícil de ser percebida, mas, no decorrer de sucessivos ciclos,
ela avança para uma súbita falha do componente.
Sendo assim, o estudo de carregamentos cíclicos, mesmo possuindo notória
importância, por questões financeiras, mercadológicas e sócio-geográficas, nem todas as
instituições de ensino e pesquisa no país possuem recursos para a obtenção dos
equipamentos específicos para a realização de um ensaio trativo-compressivo. O
maquinário para a usinagem do corpo de prova resistente à flambagem, juntamente com
as máquinas capazes de realizar a compressão e a tração cíclica, representam grandes
investimentos e enormes ponderações quanto aos orçamentos das instituições.
Não somente a obtenção desses equipamentos, mas também sua operação,
calibragem, alinhamento e controle também são fatores importantíssimos, apesar de não
serem amplamente dominados pelos poucos pesquisadores inseridos nesse âmbito.
Sendo assim, o contínuo desenvolvimento de uma metodologia que possibilite o
uso de corpos de prova encontrados facilmente no meio comercial, bem como a
77
utilização de um maquinário mais simples e acessível, é imprescindível para a
disseminação da pesquisa e do conhecimento científico em nosso país. O método
introduzido neste trabalho, então, preenche essa lacuna, apresentando bons resultados,
como demonstrado nas figuras Figura 4.20 e Figura 4.23.
Finalmente, como uma sugestão para o contínuo desenvolvimento do presente
trabalho, é sugerido novos ensaios para validar o método em diferentes materiais. Ele,
também, torna possível simulações de ensaios cíclicos para estudos de fadiga em
polímeros, cujos corpos de prova geralmente são adquiridos sob a forma de placas. Uma
outra sugestão seria o desenvolvimento de um método equivalente para a simulação de
um ciclo trativo-compressivo também em materiais elasto-viscoplásticos.
78
Referências Bibliográficas
[1] Heraldo da Costa Mattos, Paulo Feliciano Soares Filho, Identificação Sistemática de
Propriedades da Elasto-Plasticidade e da Elasto-Viscoplasticidade Cíclicas;
[2] ASTM E8 / E8M - Standard Test Methods for Tension Testing of Metallic
Materials;
[3] ASTM B557 - Standard Test Methods for Tension Testing Wrought and Cast
Aluminum- and Magnesium-Alloy Products;
[4] Annual Book of ASTM Standards;
[5] Lemaitre J., Chaboche J.L., Mécanique des matériaux solides. Editions Dunod,
Paris, (1986) / J. L. Chaboche e J. Lemaitre. Mechanics of Solid Materials. Cambridge
University Press, U.K., 1990;
[6] Marquis, D., Modélisation et identification de l’écrouissage anisotrope des Métaux.
PhD thesis, University Paris 6, France (1979);
[7] Heraldo da Costa Mattos, Rubens Sampaio Filho, Uma Contribuicao a Formulacao
Termodinamica da Elastoplasticidade e da Elastoviscoplasticidade, 1988;
[8] Heraldo da Costa-Mattos, Pedro Manuel Calas Lopes Pacheco, Non-isothermal low-
cycle fatigue analysis of elasto-viscoplastic materials;
[9] Ciarlet, P.G. and Lions, J.L., 1990, "Handbook of Numerical Analysis", Vol.I,
North-Holland-Elsevier Science Pub;
[10] Coletânea de normas da American Society for Testing and Materials (ASTM) que
envolvem uma série de normas, entre elas:
i. ASTM E606 - 12 Standard Test Method for Strain-Controlled Fatigue Testing;
79
ii. ASTM 468 - 11 Standard Practice for Presentation of Constant Amplitude
Fatigue Test Results for Metallic Materials;
iii. ASTM 466 - 07 Standard Practice for Conducting Force Controlled Constant
Amplitude Axial Fatigue Tests of Metallic Materials.
[11] H.S. da Costa Mattos, I.N. Bastos, J.A.C.P. Gomes, A thermodynamically
consistent modelling of stress corrosion tests in elasto-viscoplastic materials, Corros Sci
80 (2014) 143–53.