Versão On-line ISBN 978-85-8015-075-9Cadernos PDE
OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE
Produções Didático-Pedagógicas
Aprendendo Geometria Plana com o Uso do GeoGebra
PDE – Programa de Desenvolvimento Educacional – SEED/PR
FICHA PARA IDENTIFICAÇÃO PRODUÇÃO DIDÁTICA – PEDAGÓGICA
TURMA - PDE/2013
Título: APRENDENDO GEOMETRIA PLANA COM O USO DO GEOGEBRA
Autor ANA APARECIDA VIEIRA PALHANO
Disciplina/Área MATEMÁTICA
Escola de Implementação do
Projeto e sua localização
ESCOLA ESTADUAL DOM ORIONE
Município da escola CURITBA
Núcleo Regional de Educação CURITIBA
Professor Orientador MARGIO CEZAR LOSS KLOCK
Instituição de Ensino Superior UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ
Resumo
Diante das dificuldades apresentadas pelos alunos, essa
unidade didática foi pensada como material auxiliar no
processo ensino-aprendizagem da Matemática, mais
especificamente da geometria plana, aprofundando os
conceitos de área e perímetro através do Software de
Geometria Dinâmica, o GeoGebra. Além disso, espera-se
despertar o interesse e o prazer pelo estudo da Matemática
como um todo, aplicando a tecnologia informática de forma
lúdica, dinâmica e contextualizada com atividades variadas,
entre elas a composição e decomposição de figuras
geométricas planas utilizando o Tangram.
Palavras - chave GEOMETRIA PLANA, GEOGEBRA E TICs.
Formato do Material Didático UNIDADE DIDÁTICA
Público Alvo
ALUNOS DO 9º ANO (SALA DE APOIO)
Aprendendo Geometria Plana com o Uso do GeoGebra
PDE – Programa de Desenvolvimento Educacional – SEED/PR
APRESENTAÇÃO
O programa de Desenvolvimento Educacional do Estado Paraná – PDE/PR é
uma iniciativa do governo estadual que disponibiliza aos professores, em parceria
com Instituições de Ensino Superior, uma formação continuada diferenciada onde
desenvolverá produções didáticas visando à melhoria da qualidade do processo
ensino-aprendizagem da Escola de Educação Básica da Rede Pública Estadual do
Paraná. Nesta perspectiva, essas escolas dispõem hoje de laboratórios de
informática, possibilita a inclusão digital na prática pedagógica, contribuindo assim
para que o processo educativo torne-se mais atraente e dinâmico.
A dificuldade e a falta de motivação pelo aprendizado de Matemática nos
educandos levam a uma reflexão pessoal e profissional. É preciso compreender
como propiciar aos alunos condições para uma aprendizagem qualitativa e dar
significado à Matemática. Diante dessa realidade emerge a pergunta: Como
despertar o interesse pelo processo ensino-aprendizagem, e ao mesmo tempo
proporcionar oportunidades para a compreensão de conteúdos de geometria plana?
Esta unidade didática, direcionada ao ensino de Geometria Plana do 9º Ano
do Ensino Fundamental – Sala de Apoio,foi elaborada no intuito de auxiliar o
docente a criar meios para motivar o educando a refletir e perceber o que de fato
está por trás das construções geométricas e auxiliá-los nas justificativas. Para isso,
foram propostas atividades com a utilização de novas tecnologias, o Software de
Geometria Dinâmica, o GeoGebra (www.geogebra.org, 2013), versão 4.2, no qual
deve-se explorar cinco atividades:
Atividade 1 – Conhecendo o Software GeoGebra.
Atividade 2 – Explorando algumas ferramentas do GeoGeobra.
Atividade 3 – Revisando figuras geométricas planas com o Tangram.
Atividade 4– Construindo e explorando conceitos de área e perímetro na
malha quadriculada e no plano cartesiano.
Atividade 5 – Áreas de figuras compostas.
Esta unidade didática foi pensada e construída para ser utilizada por um
professor interessado em incrementar sua prática pedagógica, incluindo a tecnologia
informática nas aulas de Matemática com conteúdos de Geometria plana.
Aprendendo Geometria Plana com o Uso do GeoGebra
PDE – Programa de Desenvolvimento Educacional – SEED/PR
ATIVIDADE 1 – CONHECENDO O SOFTWARE GEOGEBRA
Qual a importância do software GeoGebra?
Serve para construir pontos, segmentos, polígonos, circunferências, nomear
objetos e perceber que pode interagir com o que está construindo, movimentando
objetos livres.
Ao abrir o software, visualiza-se a sua interface (figura 1) composta por:
1. Barra do menu: composta pelos comandos arquivo, editar, exibir, opções,
ferramentas, janela e ajuda.
2. Barra de ferramentas: formada por 12 ícones ou ferramentas.
3. Janela de álgebra: localizada no lado esquerdo da interface.
4. Janela de visualização ou geométrica: localizada no lado direito da interface.
5. Campo de entrada.
Figura 1 – Interface do geogebra.
Caso seja necessário reativar a “janela de álgebra” ou “janela de
visualização”, basta ir ao item “Exibir” do menu e clicar com o botão esquerdo do
mouse sobre a opção desejada. Da mesma forma para ativar/desativar os eixos e a
malha clique com o botão esquerdo sobre a seta da “janela de visualização”.
Aprendendo Geometria Plana com o Uso do GeoGebra
PDE – Programa de Desenvolvimento Educacional – SEED/PR
BARRA DE FERRAMENTAS
A barra de ferramentas está divida em 12 ícones, os quais quando
selecionados ficarão com uma moldura azul. Ao clicar com o botão esquerdo no
triângulo situado no canto inferior direito , abre-se uma janela com as demais
funções relacionadas a esse ícone. Caso você queira utilizar uma dessas funções,
que estão nesses menus implícitos, basta selecionar e clicar com o botão esquerdo
sobre a opção desejada. A função selecionada fica explicitada na barra de
ferramentas. Para realizar as construções geométricas na janela de visualização,
primeiro clica-se com o botão esquerdo no ícone desejado e depois na janela
geométrica.
1º ícone: MOVER
Figura 2 – Ícone mover objeto
2º Ícone: NOVO PONTO
Figura 3 – Ícone novo ponto
Aprendendo Geometria Plana com o Uso do GeoGebra
PDE – Programa de Desenvolvimento Educacional – SEED/PR
3º Ícone: RETA DEFINIDA POR DOIS PONTOS
Figura 4 – Ícone reta definida por dois pontos
4º Ícone: RETA PERPENDICULAR
Figura 5 – Ícone reta perpendicular
Passe o mouse pelos demais ícones desvendando a barra de ferramentas e
conhecendo as funções de cada um deles. Observe que ao clicar com o botão
direito do mouse sobre a janela de visualização, abre-se uma janela onde aparecem
diversas funções, sendo que algumas delas também são realizadas pelos ícones da
barra de ferramentas.
Aprendendo Geometria Plana com o Uso do GeoGebra
PDE – Programa de Desenvolvimento Educacional – SEED/PR
ATIVIDADE 2 - EXPLORANDO ALGUMAS FERRAMENTAS DO GEOGEBRA.
Orientações: lembre-se de responder as questões ao lado das figuras geométricas
ativando o ícone ”Inserir texto” . Após salve na sua pasta selecionando no
Menu Principal, a opção ARQUIVO, clicando com o botão esquerdo em GRAVAR
COMO, e nomeando-o conforme o exemplo: Beatriz_atividade2_exercício1.
1) Abra um arquivo novo exibindo os eixos cartesianos (eixo X e eixo Y), e também,
a malha quadriculada (clique na janela de visualização). Marque um ponto
qualquer no plano cartesiano, selecionando o ícone “Novo Ponto” ,e
responda:
a) O que aparece na janela de álgebra? O que significa cada elemento
(algarismos e letras)?
b) Marque 10 pontos alinhados horizontalmente e bem próximos um do outro.
Depois os aproxime até uni-los. Qual figura geométrica formou? Como essa
figura pode ser definida?
c) É possível estender essa figura, infinitamente, tanto para a direita quanto
para a esquerda?
d) É possível determinar a sua medida?
e) Para concluir a atividade elabore um texto definindo a figura formada pelos 10
pontos, citando suas características.
2) Utilize o ícone “Reta definida por dois pontos” , e construa uma reta.
a) Como se chama o espaço compreendido entre os pontos A e B?
b) É possível construir essa figura utilizando outra ferramenta do software
GeoGebra? Se for possível construa e diga o que aparece na janela de
álgebra?
c) Mude a cor e a espessura da figura clicando sobre ela com o botão direito do
mouse e selecionando o item propriedades.
3) Selecione a ferramenta “semirreta definida por dois pontos” , e construa
uma semirreta. Observando a figura formada, complete:
Semirreta é uma parte da linha _____________ que tem início, mas não tem
_____________.
Aprendendo Geometria Plana com o Uso do GeoGebra
PDE – Programa de Desenvolvimento Educacional – SEED/PR
4) Comparando as figuras construídas, assinale a resposta na característica
correta. A tabela está disponível para download e preenchimento no link:
https://sites.google.com/site/annapalhano/sala-apoio---9o-ano
Característica Figura
Infinita
Infinita num sentido
Infinita nos dois sentidos
Finita nos dois sentidos
Não tem começo
Não tem fim
Reta
Semirreta
Segmento
5) Para fazer uma nova atividade, clique em “Arquivo” e depois em “Novo”.
a) Selecione a ferramenta “Segmento definido por dois pontos” e construa
um triângulo qualquer.
b) O que aparece na janela de álgebra à medida que você vai construindo o
triângulo?
c) Selecione a ferramenta “Mover” e clique com o botão esquerdo sobre
um dos vértices do triângulo, segure e arraste. O que acontece na janela de
visualização e de álgebra?
6) Abra um arquivo novo:
a) Construa um triângulo com a ferramenta “Polígono regular” , localizada
no 5º ícone da barra de ferramentas, marcando dois pontos na janela de
visualização. Abrirá uma janela “Polígono regular” onde se deve digitar o
número de vértices. O que você observa na “janela de álgebra” com relação a
medida dos lados do polígono? Como se chama esse triângulo com relação
as medidas dos seus lados?
Aprendendo Geometria Plana com o Uso do GeoGebra
PDE – Programa de Desenvolvimento Educacional – SEED/PR
b) Selecione a ferramenta “Mover” , clique sobre o polígono com o botão
esquerdo do mouse, segure e arraste. O que acontece?
Obs.: Para não deformar a figura evite clicar sobre os lados e sobre os vértices.
c) Selecione o ícone “Mover janela de visualização” , clique com o botão
esquerdo do mouse em um lugar qualquer da “janela de visualização”, segure
e arraste. O que você observa?
d) Selecione o ícone “Mover” , clique com o botão esquerdo do mouse sobre
o vértice A, segure e arraste. O que acontece?
e) Clique com o botão direito do mouse sobre o polígono, selecione propriedades,
mude para a cor vermelho, e altere o preenchimento utilizando a régua
transparência.
f) Agora, construa novos polígonos regulares: quadrado, pentágono, hexágono e
heptágono. O que você observou quanto a medida dos lados?
Então, polígonos regulares apresentam todos os lados ______________.
7) Vamos aprender como girar uma figura geométrica:
a) Abra um arquivo novo onde estejam ativados os eixos e a malha
quadriculada.
b) Selecione a ferramenta “Polígono rígido” , e marque os pontos: A (2,5);
B (2,2); C (6,2). Ligue o último ponto ao primeiro, fechando o polígono. Qual a
classificação da figura formada de acordo com as medidas de seus lados?
c) Ative o ícone “Rotação em torno de um ponto” . Após, com o botão
esquerdo, clique sobre o ponto que representa o centro de rotação do
triângulo.
OBS.;O que é centro de rotação? É o primeiro ponto na ordem alfabética, por
exemplo, entre os pontos A e B, o ponto A é o centro de rotação.
Aprendendo Geometria Plana com o Uso do GeoGebra
PDE – Programa de Desenvolvimento Educacional – SEED/PR
d) Depois clique com o botão esquerdo sobre o ponto seguinte (B), segure e
arraste. Repare que ao clicar no ponto B aparece a expressão: Ponto B:
ponto sobre Círculo [A, (...)].
e) Com o ícone “Polígono” , construa uma figura com as seguintes
coordenadas: A (2,5); B (4,7); C (6,5); D (6,2); E (2,2). Que figura formou?
f) Comparando as duas figuras construídas o que você observa quanto as
medidas dos seus lados?
Podemos concluir que Polígonos Irregulares apresentam lados com medidas
___________.
8) Ative a ferramenta “Semirreta Definida por Dois pontos” e crie duas
semirretas de origem A (semirreta AB e semirreta AC), conforme a figura abaixo.
Figura 6 – Modificado/Extraído de Araújo, 2010.
Ative o ícone “Ângulo” , clique com o botão esquerdo sobre a semirreta
AB e depois sobre a semirreta AC. Note que aparece a medida do ângulo. Selecione
o ícone “Mover” e clique com o botão esquerdo sobre o ponto C, segure e
arraste, alterando de forma a obter os ângulos abaixo:
- Ângulo nulo: medida zero.
- Ângulo agudo: medida entre o° e 90°.
- Ângulo reto: medida igual a 90°.
- Ângulo obtuso: medida entre 90° e 180°.
- Ângulo raso: medida igual a 180°.
Aprendendo Geometria Plana com o Uso do GeoGebra
PDE – Programa de Desenvolvimento Educacional – SEED/PR
ATIVIDADE 3 - REVISANDO FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS COM O
TANGRAM
Tangram é um quebra cabeça formado por sete peças que têm formas
geométricas conhecidas. Os chineses o conhecem por “Tch’i Tch’iao pan”, que
significa “As sete tábuas da argúcia (habilidade, destreza)”.
Figura 7 – Modificado/Extraído de Giovanni, 2009.
ATIVIDADES
1) Construa na interface do GeoGebra as figuras que compõem o Tangram,
utilizando o ícone “Polígono rígido” , com as seguintes coordenadas:
TG1 (vermelho): A (1,1); B (1,5); C (3,3.)
TG2 ( verde-claro): D (2,6); E (6,6); E (4,4).
TP3 ( Amarelo): K (4,3); L(5,4); M (3,4).
TP4 (Preto): Q (8,6); R (8,4); S (7,5).
P (Rosa): G (2,1); H (3,2); I (5,2); J (4,1).
Q (Azul): T (8,3); U (9,4); V (10,3); D (9,2).
TM5 (Cinza): N (7, 3); (7,1); P (5,1).
Aprendendo Geometria Plana com o Uso do GeoGebra
PDE – Programa de Desenvolvimento Educacional – SEED/PR
Agora, nomeie os polígonos construídos e responda as questões ao lado das
figuras geométricas ativando o ícone “Inserir Texto” :
Vermelho (TG1):_________________
Verde claro (TG2):________________
Amarelo (TP3): __________________
Azul (Q):________________________
Preto (TP4):_____________________
Cinza (TM5):_____________________
Rosa (P):________________________
Salve esta atividade na sua pasta selecionando no Menu Principal, a opção
ARQUIVO, clicando com o botão esquerdo em GRAVAR COMO, e nomeando-o
conforme o exemplo: Beatriz_atividade2_exercício1.
2) Com base na tabela abaixo construa no GeoGebra triângulos e quadriláteros
possíveis de serem compostos com apenas quatro peças, cinco peças, seis
peças e sete peças do Tangram.
QUADRILÁTEROS
Nº de peças
do Tangram
Triângulos Quadrados Retângulos Paralelogramos Trapézios
2
o quadrado ao lado
3
Tabela 1 – Modificado/Extraído de Giovanni, 2009
A cada figura construída, apague as peças não utilizadas, salve a atividade
com o nome do polígono e o número de peças (ex.: Nome do aluno_atividade3_
exercício2_ triângulo4). Após use a ferramenta “desfazer” até retornar as sete
peças e recomece a construir as outras figuras.
Aprendendo Geometria Plana com o Uso do GeoGebra
PDE – Programa de Desenvolvimento Educacional – SEED/PR
ATIVIDADE 4 - CONSTRUINDO E EXPLORANDO CONCEITOS DE ÁREA E
PERÍMETRO NA MALHA QUADRICULADA E NO PLANO CARTESIANO.
Orientações: lembre-se de responder as questões ao lado das figuras geométricas
ativando o ícone ”Inserir Texto” . Após, salve na sua pasta selecionando no
Menu Principal, a opção ARQUIVO, clicando em GRAVAR COMO, e nomeando-o
conforme os exemplos: Nome do aluno_atividade4_Quadrado_exercício1.
Nome do aluno_atividade4_Retângulo_exercício6.
Nome do aluno_atividade4_Triângulo_exercício2.
Nome do aluno_atividade4_Paralelogramo_exercício4.
Nome do aluno_atividade4_Losango_exercício3.
Nome do aluno_atividade4_Trapézio_exercício1.
QUADRADO
1) Bia resolveu fazer quadros decorativos numa das paredes de sua cozinha usando
pastilhas quadradas, conforme mostra a figura.
a) Represente os quadros feitos por Bia na malha quadriculada do Geogebra.
b) Para saber quantas pastilhas ela usará em cada quadro, complete a tabela,
considerando uma pastilha como unidade de medida de área.
Quadro Nº de lado 1 Nº de lado 2 Nº total de
Q1
Q2
Q3
Q4
Q5
Aprendendo Geometria Plana com o Uso do GeoGebra
PDE – Programa de Desenvolvimento Educacional – SEED/PR
A = ____ X ____
A = _______
_______
c) Comparando os valores de l1, l2 e o número total de pastilhas de Q2 e Q3,
que relação você observa entre eles?
d) O que você observou em Q2 e Q3 vale para os demais quadros?
e) O número total de pastilhas representa a área do quadro. Qual a área de Q4?
Como você fez esse cálculo?
f) Como os lados do quadrado apresentam a mesma medida, ou seja, são iguais,
podemos representar l1 e l 2 simplesmente por l. Com isso, podemos considerar
que a fórmula para o cálculo da área do quadrado é:
colocando na forma de potência:
g) Se Bia fizer um quadro com lado 10, quantas pastilhas ela utilizará?
2) Bia gostou tanto da idéia dos quadros nas paredes que resolveu fazer um quadrado
no meio do chão da cozinha, utilizando agora lajotas coloridas. Para ajudar Bia nos
cálculos analise o quadrado de 1 m de lado.
a) De acordo com a figura 100 cm corresponde a quantos metros lineares?
b) Qual a área do quadrado em metros quadrados (m²)?
c) Qual a área do quadrado em centímetro quadrados (cm²)?
d) Quantos cm² têm um metro quadrado?
e) Agora, calcule quantas lajotas com dimensões 20 cm X 20 cm Bia precisará
comprar para construir um quadrado igual ao da figura no chão de sua cozinha.
Explique como você fez esse cálculo?
f) Represente na malha quadriculada do GeoGebra como ficará o quadrado com
lajotas coloridas.
Aprendendo Geometria Plana com o Uso do GeoGebra
PDE – Programa de Desenvolvimento Educacional – SEED/PR
A = _______
_______
P = ________________
RETÂNGULO
1) Observe o retângulo e complete as atividades abaixo:
a) Tomando como unidade de área o quadradinho com 1 cm² , complete: o
retângulo tem ____ quadradinhos de 1 cm², ou seja a sua área é _____cm². Se b
é a base e h é a altura, logo a fórmula da área do retângulo é:
Utilizando a fórmula, calcule a área do retângulo.
b) Perímetro corresponde ao contorno da figura, ou seja, a soma das medidas dos
lados no caso dos polígonos. Então, o perímetro do retângulo acima é ______
cm. Representando os lados por l podemos dizer que a fórmula do perímetro do
retângulo acima é:
2) Construa na malha quadriculada do GeoGebra 8 quadrados com área de 1 cm²
utilizando o ícone polígono e com o ícone “Mover” monte com eles um
retângulo com 2 cm de altura.
a) Qual a área do retângulo construído em cm²?
b) Qual seu perímetro?
c) Reposicione os quadrados para formar um novo retângulo que tenha o maior
perímetro possível;
Reposicione novamente os quadrados de maneira que o retângulo fique com o
menor perímetro possível.
3) Construa três retângulos diferentes com área igual a 16 cm². E, depois responda as
perguntas abaixo:
a) É possível construí-los? Explique.
b) O que acontece com o perímetro?
Aprendendo Geometria Plana com o Uso do GeoGebra
PDE – Programa de Desenvolvimento Educacional – SEED/PR
c) Utilizando a ferramenta ”Mover” altere a figura de lado quatro de modo
que sua área fique reduzida pela metade. O que acontece com o perímetro?
4) Bia resolveu trocar o piso de sua sala. Ela pretende cobrir o chão com lajotas
quadradas tipo porcelanato. Veja a planta do chão da sala.
Analise a planta e determine o nº de lajotas que ela precisará comprar se utilizar
lajotas com as seguintes dimensões:
a) 25 cm X 25 cm?
b) 50 cm X 50 cm?
5) Para testar seu aprendizado acesse o endereço eletrônico e faça as atividades:
http://www.proativa.vdl.ufc.br/oa/construtora/construtora.html
6) Na interface do GeoGebra (plano cartesiano) construa:
a) Um triângulo com coordenadas: A (1,1); B (1,5); C (4,5). Una o último ponto ao
primeiro de forma a fechar o polígono.
b) Após construa outro triângulo com coordenadas: D (4,1); E (7,1); F (7,5).
c) Utilizando o ícone “Mover” una os dois triângulos. Que figura formou?
Calcule a área dessa figura usando a fórmula, considerando o lado do
quadradinho da malha medindo 1 cm.
Aprendendo Geometria Plana com o Uso do GeoGebra
PDE – Programa de Desenvolvimento Educacional – SEED/PR
TRIÂNGULO
1) No plano cartesiano do GeoGebra construa um retângulo com coordenadas iguais a:
A (1,5); B (5,5); C (1,3); D (1,3).
2) Ao lado construa o triângulo EFG, com vértices: E (7,5); F (7,3); e G (11,3).
3) Comparando as duas figuras o que você observa com relação às alturas? E, com
relação às medidas das bases?
4) Utilizando o ícone “MOVER” da barra de ferramentas, sobreponha as figuras
de maneira que o vértice F do triângulo, coincida com o vértice D do retângulo. O
que você pode afirmar com relação a área do triângulo, comparando-a com a área
do retângulo?
5) De acordo com o que você observou, se a fórmula da área do retângulo é igual a
A = b.h, como ficará a fórmula da área do triângulo?
6) Bia quer fazer um lenço triangular de seda.
Ela encontrou tecido com largura de 1,5 m.
a) Quantos metros de tecido terá que comprar?
b) Quantos lenços poderá confeccionar?
c) Porém, resolveu colocar um barrado de renda nos lados de mesma medida, e
viés no lado maior, o qual tem 99 cm de comprimento. Quanto de renda e viés
terá comprar?
d) Sobrou ou faltou tecido? Quanto?
e) Qual a área total do lenço feito por Bia?
Aprendendo Geometria Plana com o Uso do GeoGebra
PDE – Programa de Desenvolvimento Educacional – SEED/PR
A = _____ x _______
PARALELOGRAMO
1) No plano cartesiano do GeoGebra construa um paralelogramo (P) como o da figura
acima com coordenadas dos vértices iguais a: A (2,4); B ( 6,4); C (5,2); D (1,2).
2) Ao lado do paralelogramo construa um triângulo (T) e um trapézio (TR). As
coordenadas das figuras são:
Triângulo: E (8,4); F(8,2); G (7,2).
Trapézio: H (9,4); I (13,4); J (12,2); K (9,2).
a) O que você observa com relação às medidas das alturas das duas figuras?
b) Junte as duas figuras pelos lados que representam suas alturas. Que figura
formou? Ela é igual ao paralelogramo ABCD?
c) Mova o triângulo de forma que seu lado EG encaixe com o lado IJ do trapézio
ABCD. Que figura formou?
3) Comparando o paralelogramo ABCD com a figura formada da união do triângulo
com o trapézio, o que você pode afirmar com relação à área dessas figuras?
4) Com base nas observações feitas podemos concluir que a área do paralelogramo é
igual à área do _______________________. Sendo assim, podemos representar a
fórmula da área do paralelogramo por:
5) Calcule usando a fórmula a área do paralelogramo acima, considerando a medida
do comprimento do lado do quadradinho da malha igual a 1 cm.
Aprendendo Geometria Plana com o Uso do GeoGebra
PDE – Programa de Desenvolvimento Educacional – SEED/PR
A = _______________
LOSANGO
1) Construa um losango no plano cartesiano do GeoGebra com as coordenadas: A
(2,5); B (1,3); C (2,1); D (3,3). Onde D corresponde a diagonal maior (AC) e d a
diagonal menor (BD).
2) Cortando o losango em duas partes iguais pela diagonal menor obtemos dois
triângulos T1 e T2. Construa esses triângulos ao lado do losango e responda:
a) Movendo o triângulo T2 podemos compor um
paralelogramo?________________.
b) As áreas dessas figuras T1 e T2 são iguais? _________________.
c) Como a área do paralelogramo é b.h, ache a sua base e altura comparando
com as diagonais do losango. Dessa forma, b = ______ e h = ______, então a
fórmula do losango é:
3) Bia pretende desenhar um losango no plano cartesiano. Entre os pontos
indicados na malha, quais ela pode utilizar como vértices do losango para que
sua área seja 16 cm².
A (2,6): B (0,7); C (4,7); D (2,4); E (10,4); F (6,6); G (6,2); H (4,0); I (8,2); J (8,6);
K (10,1).
Aprendendo Geometria Plana com o Uso do GeoGebra
PDE – Programa de Desenvolvimento Educacional – SEED/PR
A = área do paralelogramo
2
A = ( )____
2
TRAPÉZIO
1) No plano cartesiano do GeoGebra construa um trapézio 1 de coordenadas:
A (3,4); B (5,4); C(5,2); D(1,2).
Complete:
a) A base menor(b) é representada pelo segmento __________________.
b) A base maior (B) é representada pelo segmento __________________.
c) A altura (h) é representada pelo segmento _______________________.
d) Agora coloque na figura as letra b , B e h nos lugares correspondentes.
2) Construa ao lado um novo trapézio 2 com as coordenadas:
E (7,4); F(11,4); G(9,2); H(7,2). Comparando as figuras construídas responda:
a) O que você observa ao comparar as bases menores? E, as maiores? E, com
as alturas?
b) Os trapézios são iguais? _______________. Então, são chamados de
trapézios congruentes.
c) Una os dois trapézios pelas alturas. Que figura formou? _________________.
d) Comparando o trapézio 1 com a figura formada:
d.1) Pode-se afirmar que a medida da altura do trapézio 1 e da figura formada
são iguais? ___________.
d.2) O comprimento da base do paralelogramo é igual a soma da medida da
base menor (b) e da base __________________ (B) do trapézio , ou seja
B + b. Sendo assim, a fórmula para o cálculo de área do paralelogramo
formado é: A = (B + b). h
d.3) A área do trapézio é igual à metade da área do paralelogramo? _________.
d.4) Com base nessas observações, a fórmula da área do trapézio é:
Aprendendo Geometria Plana com o Uso do GeoGebra
PDE – Programa de Desenvolvimento Educacional – SEED/PR
3) Para treinar o uso da fórmula calcule a área de um terreno com formato
trapezoidal, representando-o na interface do GeoGebra com as seguintes
coordenadas: A (1,1); B (7,1); C (4,4); D (1,4). Considere que os lados dos
quadrados da malha quadriculada apresentam 2m de comprimento.
4) Represente na interface do GeoGebra o trapézio isósceles abaixo. Após realize
as atividades pedidas.
a) Calcule a área do trapézio sem usar a fórmula, considerando que o lado do
quadradinho mede 1,5 cm. Demonstre o cálculo.
b) Agora use a fórmula e verifique se o resultado será o mesmo do exercício
anterior.
5) (Adaptado do Projeto Araribá, 8º ano, 2010). Desafio! Analise o trapézio
retângulo abaixo, recorte-o, represente e movimente as peças obtidas na interface
do GeoGebra, de modo a obter outro trapézio com base maior medindo 20 cm,
base menor 10 cm e lados não paralelos medindo respectivamente 8 cm e 6 cm.
6 cm
8 cm
6 cm 6 cm
Aprendendo Geometria Plana com o Uso do GeoGebra
PDE – Programa de Desenvolvimento Educacional – SEED/PR
ATIVIDADE 5 - ÁREA DE FIGURAS COMPOSTAS
Orientações: lembre-se de responder as questões ao lado das figuras geométricas
ativando o ícone ”Inserir Texto” . Após salve na sua pasta selecionando no
Menu Principal, a opção ARQUIVO, clicando em GRAVAR COMO, e nomeando-o
conforme os exemplos: Nome do aluno_atividade5_Quadrado_exercício1.
Nome do aluno_atividade5_Retângulo_exercício6.
Nome do aluno_atividade5_Triângulo_exercício2.
Nome do aluno_atividade5_Paralelogramo_exercício4.
Nome do aluno_atividade5_Losango_exercício3.
Nome do aluno_atividade5_Trapézio_exercício1
QUADRADOS
Orientações: Lembre-se de fechar o polígono unindo o último ponto ao primeiro.
Ativar os eixos e o quadriculado toda vez que iniciar um exercício.
1) Utilizando o ícone “Polígono rígido” construa um quadrado grande com as
seguintes coordenadas: A (2,4); B (5,3); C (4,0); D(1,1). Continuando a atividade
construa com o ícone “Polígono” um quadrado pequeno com as
coordenadas: E (1,5); F (3,5); G (3,3); H (1,3).
Figura 8 – Adaptado/Extraído de Projeto Araribá, 2010
Aprendendo Geometria Plana com o Uso do GeoGebra
PDE – Programa de Desenvolvimento Educacional – SEED/PR
a) Analisando as figuras o que você observa?
b) O quadrado maior pode ser movimentado, mantendo-se fixo o vértice que
está no centro do quadrado menor. Observe o que vai acontecendo enquanto
gira a figura. Após, determine a área comum entre os dois quadrados,
considerando o lado do quadrado menor medindo 10 cm e do quadrado maior
15 cm.
2) Utilizando o ícone “Polígono” construa um quadrado com as coordenadas A
(1,5); B (5,5); C (5,1); D (1,1). Após construa utilizando o ícone “Polígono rígido”
um quadrado menor com coordenadas E (5,3); F (7,1); G (9,3);
H (7,5).
Figura 9 – Adaptado/Extraído de Projeto Araribá, 2010
a) O que você observa ao analisar as figuras construídas?
b) Sabendo que o lado do quadrado maior mede 8 cm, determine a área do
quadrado menor.
Dica: movimente o quadrado menor até os seus vértices coincidirem com os
pontos médios do quadrado maior.
Aprendendo Geometria Plana com o Uso do GeoGebra
PDE – Programa de Desenvolvimento Educacional – SEED/PR
TRIÂNGULOS
1) (Adaptado do Projeto Araribá, 8º ano, 2010) No projeto de um condômino
fechado há uma praça triangular, representada conforme o desenho abaixo.
Cada quadradinho do projeto tem lado medindo 1 cm, ou seja, cada quadradinho
tem 1 cm² de área.
Figura 10 – Adaptado/Modificado de Projeto Araribá, 2010
a) Represente na interface do GeoGebra o desenho do projeto da praça. Utilize
o ícone “Polígono” para construir o retângulo com coordenadas:
A (1,6); B(1,0); C (8,0); D (8,6), e o triângulo com coordenadas: D (8,6);
E(7,0); F (1,3).
b) Calcule a área da praça (triângulo central).
Dica: extraia da área total do retângulo as áreas dos triângulos externos à
praça.
Aprendendo Geometria Plana com o Uso do GeoGebra
PDE – Programa de Desenvolvimento Educacional – SEED/PR
2) Utilizando o ícone “Polígono” construa o triângulo grande com as
coordenadas: A (3,5); B(5,1); C (1,1). E, com o ícone “Polígono rígido”
construa o triângulo menor com as coordenadas: D (4,3); E (6,3); F (5,3).
Figura 11 – Adaptado/Modificado de Projeto Araribá, 2010
Agora responda:
a) Gire o triângulo menor em torno do seu vértice que está no ponto médio do
lado do triângulo maior. O que você observa quando os três vértices do
triângulo menor coincidem com os pontos médios dos lados do triângulo
maior?
b) Calcule a área do triângulo maior, sabendo que o triângulo menor tem 25 cm²
de área.
RETÂNGULOS
1) (Projeto Araribá, 8º ano, 2010) Beatriz queria uma mesa que tivesse um lado
com 40 cm e a área do tampo com 6.400 cm². Querendo lhe fazer uma surpresa,
seu marido aproveitou algumas peças de madeira que tinha em casa e construiu
esta mesa conforme o desenho abaixo.
Aprendendo Geometria Plana com o Uso do GeoGebra
PDE – Programa de Desenvolvimento Educacional – SEED/PR
Figura 12 – Adaptado de Projeto Araribá, 2010
No entanto, Beatriz queria uma mesa de superfície retangular. Então ela
pediu ao marido que mudasse o formato do tampo.
a) Com o ícone ”Polígono” , construa um retângulo que representa uma
parte do tampo da mesa, na interface do GeoGebra, utilizando as seguintes
coordenadas: A (4,3); B (9,3); C (9,1); D (4,1). Depois, construa a outra parte
com as coordenadas, com o ícone “Polígono rígido” : E (4,4); F (4,7);
G (6,7); H (6,4).
b) Agora, utilizando os recursos necessários, represente o que ele deverá fazer
para mudar o formato do tampo sem mudar a área da mesa. Após, demonstre
através do cálculo que a área não mudou.
c) Para proteger o tampo ela quer cobrir com um plástico transparente adesivo
rente à borda. Quantos metros de plástico ela usará, se a largura é de 40 cm?
Aprendendo Geometria Plana com o Uso do GeoGebra
PDE – Programa de Desenvolvimento Educacional – SEED/PR
2) (Adaptado do Projeto Araribá, 9º ano, 2010)O pentaminó é um conjunto de cinco
quadrados unidos entre si por seus lados, conforme mostra a figura:
a) Represente os pentaminós na malha quadriculada do GeoGebra utilizando o
ícone “Polígono rígido” .
b) Considerando que a medida do lado de cada quadradinho é 1 cm, ou seja,
cada quadradinho tem 1 cm² de área, qual é a área de cada pentaminó?
c) Movimente os pentaminós e forme um retângulo com lados 4 e 5, utilizando
os ícones “Mover” e “Rotação em Torno de um Ponto” .
Qual é a área do retângulo?
TRAPÉZIOS
1) (Projeto Araribá, 9º ano, 2010) Um terreno com o formato de trapézio será
repartido entre quatro irmãos. Todos os irmãos deverão ficar com um terreno de
mesma área. Represente na interface do GeoGebra como esse terreno poderá
ser repartido.
Dica: utilize o ícone “Polígono” para dividir a figura e pinte as partes de
cores diferentes.
Figura 13 – Adaptado/Extraído de Projeto Araribá, 2010
Aprendendo Geometria Plana com o Uso do GeoGebra
PDE – Programa de Desenvolvimento Educacional – SEED/PR
2) Represente o croqui do terreno abaixo na malha quadriculada do GeoGebra,
utilizando as seguintes coordenadas: A (2,4); B (2,1); C (10,1); D (7,4).
Figura 14 – Adaptado de Projeto Araribá, 2010
a) Quantos metros de muro deverão ser construídos para cercá-lo?
b) Represente no GeoGebra como proceder para calcular sua área
decomponha-o em dois triângulo de áreas diferentes, traçando a diagonal BD.
PARALELOGRAMO
1) Os triângulos desenhados abaixo têm, cada um, 2 cm² de área, e o quadrado
tem 4 cm² de área.
a) Represente no GeoGebra os polígonos com as coordenadas:
T1: A (3,3); B (3,1); C (4,1).
T2: D (5,3); E (5,1); F (6,1).
Q: G (7,3); H (9,3); I (9,1); J (7,1).
b) Movimente os polígonos, forme um paralelogramo e calcule a sua área.
Aprendendo Geometria Plana com o Uso do GeoGebra
PDE – Programa de Desenvolvimento Educacional – SEED/PR
LOSANGO
1) Com o ícone “Polígono rígido” construa os polígonos com as
coordenadas:
Retângulo: A (2,3); B (2,1); C (6,1); D (6,3).
Losango: E (6,2); F (8,3); G (10,2); H (8,1).
Se tudo ocorreu bem, sua figura ficará com o aspecto abaixo.
Feito isso, realize as atividades pedidas e responda:
a) Qual a área do retângulo? Considere a medida do lado do quadradinho da
malha igual a 10 cm.
b) Qual a área do losango?
c) Gire o losango, mantendo fixo o vértice que está no ponto médio do lado
menor do retângulo, até coincidir todos os vértices do losango com os pontos
médios dos lados do retângulo. Se recortarmos o losango, extraindo-o do
interior do retângulo, com os retalhos que sobram podemos construir outro
losango com área igual ao que foi retirado da figura? Justifique sua resposta.
Aprendendo Geometria Plana com o Uso do GeoGebra
PDE – Programa de Desenvolvimento Educacional – SEED/PR
TANGRAM ONLINE.
Acesse o link: http://www.geogebratube.org/material/show/id/56393 , clique em
ir para a versão do estudante, e realize as atividades abaixo:
1) No modelo do Tangram, cada quadradinho representa 1 cm². Calcule de duas
formas diferentes, utilizando em uma delas a fórmula, a área do:
a) Triângulo maior.
b) Triângulo menor.
c) Triângulo médio.
d) Quadrado.
e) Paralelogramo.
2) Movimente as peças do Tangram, gire-as se necessário, monte as figuras
geométricas mencionadas, e após calcule suas áreas em metros quadrados:
a) Quadrado formado pelos dois triângulos maiores.
b) Triângulo formado pelos 2 triângulos menores e pelo triângulo médio.
c) Quadrado formado pelas sete peças do Tangram.
d) Trapézio formado pelos dois triângulos menores e o quadrado.
e) Losango formado pelos dois triângulos menores.
Aprendendo Geometria Plana com o Uso do GeoGebra
PDE – Programa de Desenvolvimento Educacional – SEED/PR
ORIENTAÇÕES METODOLÓGICAS
Esta Unidade Didática é fundamentada na metodologia da pesquisa-ação,
onde o professor deixa de ser um mero observador, e passa a sujeito ativo no
desenvolvimento das atividades intervindo de forma inovadora no processo ensino-
aprendizagem, mediando quando necessário nas situações conflitantes que vão
surgindo.
Para a aplicação dessa unidade didática é necessário uma revisão inicial na
sala de aula envolvendo conceitos básicos de geometria plana, como: definição e
classificação de polígonos, ângulos e sua classificação, entre outros. No endereço
https://sites.google.com/site/annapalhano/sala-apoio---9o-ano está disponível uma
sugestão de atividade de revisão. Após, os alunos serão encaminhados ao
laboratório de informática. Paraná Digital ou do PROINFO para iniciarem as
atividades propostas por esse material.
A aplicação da unidade didática será realizada utilizando o software de
Geometria Dinâmica, o GeoGebra, em dois encontros semanais. De posse do
material impresso, sugere-se que formem grupos de dois alunos de forma que um
execute os comandos e o outro leia e, posteriormente, reflitam sobre o construído,
mediados pelo professor, se necessário. E quando se tratar de pesquisar conteúdos
desconhecidos ou que tenham esquecido, o grupo poderá recorrer à internet. Ao
final de cada exercício o professor deve orientar o aluno a salvá-lo na sua pasta,
selecionando no Menu Principal, a opção ARQUIVO, clicando com o botão esquerdo
em GRAVAR COMO, e nomeando-o conforme o exemplo: Nome do
aluno_atividade2_exercício1.
Para que haja aprendizagem é necessário a elaboração de situações
problemas. A partir dessa perspectiva é que este material foi organizado da seguinte
forma:
Atividade 1 – Conhecendo o Software GeoGebra (Previsão - 2 aulas): tem a
intenção de apresentar aos alunos as funções básicas dos ícones da barra
ferramenta do software, as quais serão apresentadas pelo professor através do
projetor de imagens ou a lousa digital. Já os alunos com o Programa aberto no
computador, poderão interagir junto com o professor e tirar as dúvidas de como
utilizar cada um dos recursos disponíveis. Os slides da interface e dos ícones da
Aprendendo Geometria Plana com o Uso do GeoGebra
PDE – Programa de Desenvolvimento Educacional – SEED/PR
barra de ferramentas do GeoGebra estão disponíveis no endereço:
https://sites.google.com/site/annapalhano/sala-apoio---9o-ano.
Atividade 2 – Explorando algumas ferramentas do GeoGeobra (Previsão - 8 aulas, 8
atividades): esta atividade vem como forma de auxiliar no manuseio das ferramentas
do software para a realização das atividades posteriores. Os alunos terão que
aprender a construir pontos, segmentos, ângulos, retas, polígonos, construções no
plano cartesiano, nomear objetos, mudar formas e cores, e perceber que pode
interagir com o que está construindo, movimentando objetos livres, e ao mesmo
tempo revisar conceitos básicos de geometria plana.
Atividade 3 – Revisando figuras geométricas planas com o Tangram (Previsão - 11
aulas, 2 atividades): pretende-se de forma lúdica que os alunos construam,
identifiquem, mudem de cor e movimentem os polígonos. Também compreendam a
idéia de composição e decomposição de figuras de maneira informal, sem a
preocupação com o cálculo em si.
Atividade 4 – Construindo e explorando conceitos de área e perímetro na malha
quadriculada e no plano cartesiano (Previsão - 15 aulas, 27 atividades): vem com a
intenção de fazer com que os alunos compreendam que área é a medida de uma
superfície, e que essa medida pode ser expressa em diferentes unidades, conforme
a situação. Com a idéia de composição e decomposição de figuras pretende-se que
os alunos cheguem às fórmulas para os cálculos de áreas de figuras planas
conhecidas, como: quadrado, retângulo, paralelogramo, triângulo, losango e
trapézio.
Atividade 5 – Áreas de figuras compostas (Previsão - 19 aulas, 12 atividades): esta
atividade é uma ampliação e um aprofundamento das atividades anteriores, pois
será necessário compor e decompor as figuras em polígonos conhecidos para
facilitar o cálculo de suas áreas.
Como aparecerão diferentes soluções, várias maneiras de compor e
decompor uma mesma figura, é interessante pedir aos alunos que, em duplas,
apresentem as estratégias, os procedimentos e as soluções encontradas. Nesse
Aprendendo Geometria Plana com o Uso do GeoGebra
PDE – Programa de Desenvolvimento Educacional – SEED/PR
momento o professor pode aproveitar para discutir que não existe uma única
estratégia de resolução, enquanto que, os alunos poderão aprimorar suas
estratégias de cálculo de área e perímetro em diferentes situações-problemas.
No que se refere à avaliação, o professor poderá aplicar:
- Avaliações Diagnósticas (apêndice 1): serão realizadas antes e depois da
execução de todas as atividades da unidade didática, com a intenção de verificar se
houve uma aprendizagem significativa no que se refere ao estudo de área e
perímetro de figuras planas.
- Fichas de Autoavaliação (apêndice 2 ): o professor pode propor aos alunos o
preenchimento delas, após cada atividade, fazendo com que esses reflitam sobre o
seu envolvimento e desempenho na resolução delas.
- Fichas de Mapeamento (apêndice 3): o professor poderá fazer observações diretas
dos alunos nestas fichas, com o objetivo de acompanhar a mudança de atitudes
durante o desenvolvimento da unidade didática.
- Ficha de avaliação das atividades no GeoGebra (apêndice 4): o professor poderá
diagnosticar problemas que o aluno teve ao manusear o software na resolução das
atividades.
Aprendendo Geometria Plana com o Uso do GeoGebra
PDE – Programa de Desenvolvimento Educacional – SEED/PR
APÊNDICES
APÊNDICE 1 – Avaliação Diagnóstica Escola Estadual Dom Orione - Ensino Fundamental - Data:___/___/____
Aluno(a):____________________ nº: ____ 9º ano - Turma: ___
Avaliação diagnóstica
1) Complete a tabela observando os ângulos das figuras abaixo:
Figura Nºde
ângulos retos
Nºde ângulos agudos
Nºde ângulos obtusos
Total do
nº de ângulos
Nº de lados
Nome do polígono
a
b
c
d
e
f
g
h Você observou alguma relação entre o número de lados e o número de ângulos dos polígonos?
2)Calcule a área e o perímetro da figura abaixo e diga como se chama:
Aprendendo Geometria Plana com o Uso do GeoGebra
PDE – Programa de Desenvolvimento Educacional – SEED/PR
3) ( Adaptado da Nova Escola, 2011) Beatriz desenhou na malha quadriculada a peça de um jogo que tem em casa. Se Beatriz fizer um novo desenho desta peça, porém com os lados dobrados o que ocorrerá com o perímetro da nova figura?
a) Ficará multiplicado por 4
b) Ficará dividido por 4
c) Ficará multiplicado por 2
d) Ficará dividido por 7
Responda:
a) Qual a área da peça antes de dobrar?_____ E depois da dobra?_______
b) Calcule o perímetro antes da dobra? _____ E depois da dobra?_______
4) Qual o nome do polígono? Calcule a sua área.
5) ( OBMEP 2012) O retângulo abaixo, que foi recortado de uma folha de papel
quadriculado, mede 4 cm de largura por 5cm de altura. Qual é a área da região escura?
6) Calcule a área e o perímetro do triângulo.
Aprendendo Geometria Plana com o Uso do GeoGebra
PDE – Programa de Desenvolvimento Educacional – SEED/PR
APÊNDICE 2 – Ficha de Autoavaliação
Ficha de Autoavaliação do Aluno Data:__/__/____ Nome nº
Responda com o número 1 para SIM e 2 para NÃO 1 Realizei as tarefas no grupo
2 Entendi o objetivo da atividade
3 Cooperei com os outros elementos do grupo
4 Aceitei a opinião dos outros elementos do grupo
5 Fui capaz de mediar a discussão no grupo
6 Contribui com ideias para resolver as atividades
7 Fui perseverante na resolução das atividades
8 Escolhi estratégias apropiadas
9 Justifiquei as respostas e ideias
10 Utilizei os recursos adequados na resolução das atividades
11 Registrei os resultados
12 Cheguei às conclusões coerentes
13 Interagi com a turma
14 Gostei de trabalhar em grupo
Aprendendo Geometria Plana com o Uso do GeoGebra
PDE – Programa de Desenvolvimento Educacional – SEED/PR
APÊNDICE 3 – Ficha de Mapeamento
Ficha de Mapeamento dos Alunos Data: __/__/____
Nº Atitudes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Sociável Tem iniciativa
Troca saberes Interage
Resolução c/ajuda Resolução s/ajuda Mantém o foco
Propõe idéias Líder positivo Concilia
Retraído Brinca demais
Impõe ideias
Compete Desiste rápido
Espera ajuda do prof.
Aprendendo Geometria Plana com o Uso do GeoGebra
PDE – Programa de Desenvolvimento Educacional – SEED/PR
APÊNDICE 4 – Ficha de avaliação das atividades do software GeoGebra
Ficha de avaliação das atividades do software GeoGebra– Data: __/__/____
Nome nº
Responda com o número 1 para SIM e 2 para NÃO 1 Gostou de trabalhar com o software
2 Teve dificuldades em manusear o GeoGebra
3 Achou as atividades difíceis
4 Achou as atividades acessíveis
5 Gostou da apresentação das atividades
6 As orientações estão claras
7 Achou interessante trabalhar as atividades no GeoGebra
8 Facilitou compreender área
9 Facilitou compreender perímetro
10 Os conceitos básicos de geometria ficaram mais claros após a revisão
11
12
13
14
Críticas : 1)________________________________________________________________ 2)________________________________________________________________ 3)________________________________________________________________
Elogios : 1)________________________________________________________________ 2)________________________________________________________________ 3)________________________________________________________________ Sugestões : 1)________________________________________________________________ 2)________________________________________________________________ 3)________________________________________________________________
Aprendendo Geometria Plana com o Uso do GeoGebra
PDE – Programa de Desenvolvimento Educacional – SEED/PR
REFERÊNCIAS
ARAÚJO, L. C. L. de; NÓBRIGA, J. C.C. Aprendendo Matemática com o GeoGebra – São Paulo: Editora Exato, 2010. GIOVANNI Jr., J. R.; CASTRUCCI, B. A Conquista da Matemática. 8º ano. Edição renovada, São Paulo: FTD, 2009. p. 240 e 241. MUNHOS, A. F. da S. ;NAZARETH, H. R. ; TOLEDO, M. B. de A. Coleção Rumos e Desafios. 7ª série – 1ª ed. – São Paulo: Positivo, 2006. p. 103. MATHEUS, Aline dos Reis et al . Projeto Araribá: Matemática. 6ºano/ organizadora Editora Moderna; obra coletiva concebida, desenvolvida e produzida pela Editora Moderna; editor responsável Fabio Martins de Leonardo. – 3ª ed. – São Paulo: Editora Moderna, 2010. Guia e recursos didáticos. p. 15. ____ Projeto Araribá: Matemática. 7ºano/ organizadora Editora Moderna; obra coletiva concebida, desenvolvida e produzida pela Editora Moderna; editor responsável Fabio Martins de Leonardo. – 3ª ed. – São Paulo: Editora Moderna, 2010. p. 287. ____ Projeto Araribá: Matemática. 8ºano/ organizadora Editora Moderna; obra coletiva concebida, desenvolvida e produzida pela Editora Moderna; editor responsável Fabio Martins de Leonardo. – 3ª ed. – São Paulo: Editora Moderna, 2010. p. 143, 177 e 181. ____ Projeto Araribá: Matemática. 9ºano/ organizadora Editora Moderna; obra coletiva concebida, desenvolvida e produzida pela Editora Moderna; editor responsável Fabio Martins de Leonardo. – 3ª ed. – São Paulo: Editora Moderna, 2010. p. 168 e 175.
NOVA ESCOLA. Planos de aula 2 – Matemática. Edição especial. São Paulo:
Fundação Victor Civita, p. 52, janeiro 2011.
SITES CONSULTADOS
OBMEP, 2012. Disponível em: http://www.obmep.org.br/provas_static/pf1n2-2012.pdf Acessado em 20/07/2013
Aprendendo Geometria Plana com o Uso do GeoGebra
PDE – Programa de Desenvolvimento Educacional – SEED/PR
SOFTWARE GEOGEBRA. Disponível em: www.geogebra.org Acessado em 12/02/2013.
PARANÁ DIGITAL, disponível em: www.gestaoescolar.diaadia.pr.gov.br/modules/conteudo/conteudo.php?conyeudo=407 Acessado em 21/06/2013. PROINFO, disponível em: http://portal.mec.gov.br/index.php?Itemid=462 Acessado em 21/06/2013. ARTIGO: PESQUISA-AÇÃO, disponível em: Educar, Curitiba, n. 16. P. 181-191. 2000. Editora da UFPR. http://www.educaremrevista.ufpr.br/arquivos_16/irineu_engel.pdf Acessado em 21/06/2013. SUGESTÕES DE ATIVIDADES DE REVISÃO/TABELAS/SLIDES DO GEOGEBRA, disponíveis em: https://sites.google.com/site/annapalhano/sala-apoio---9o-ano Acessado em 21/10/2013. SIMULADOR DE CÁLCULO DE ÁREA, disponível em: http://www.proativa.vdl.ufc.br/oa/construtora/construtora.html Acessado em 21/07/2013. TANGRAM ONLINE, disponível em: http://www.geogebratube.org/material/show/id/56393 Acessado em 06/11/2013. SUGESTÕES DE SITES
INSTITUTO GEOGEBRA DE PORTUGAL
http://www.geogebra.ese.ipp.pt/
INFORMAÇÕES BÁSICAS SOBRE O GEOGEBRA
http://www.geogebra.org/help/docupt_BR.pdf
Aprendendo Geometria Plana com o Uso do GeoGebra
PDE – Programa de Desenvolvimento Educacional – SEED/PR
GEOGEBRA NO FACEBOOCK
http://www.facebook.com/geogebra
MATERIAIS PARA CONSULTA: ATIVIDADES FEITAS NO GEOGEBRA
http://www.geogebratube.org/material/