Versão On-line ISBN 978-85-8015-075-9Cadernos PDE
OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE
Produções Didático-Pedagógicas
Ficha para identificação da Produção Didático-pedagógica – Turma 2013
Título: Unidade Didática: Estudo Matemático – Deficiência Visual
Autor: Loraci Soares Chaise
Disciplina/Área: Matemática/Educação Especial/Educação Inclusiva.
Escola de Implementação do Projeto e sua localização:
Colégio Estadual Castro Alves – EFM
Município da escola: Pato Branco
Núcleo Regional de Educação: Pato Branco
Professor Orientador: Orientadora: Prof. Me. Eglecy do Rocio Lippmann
co-orientação: Prof. Dra. Cleonice Terezinha Fernandes
Instituição de Ensino Superior: Universidade Estadual do Centro-Oeste – UNICENTRO, Guarapuava PR
Relação Interdisciplinar:
Resumo O objetivo geral deste projeto de intervenção é Proporcionar aos alunos do CAEDV no município de Pato Branco – PR a construção das Relações trigonométricas no triângulo retângulo a partir do relógio de orientação de tempo. E para dar conta deste objetivo delimitamos alguns objetivos específicos: - Buscar informações sobre o relógio e seu funcionamento;- Identificar estratégias adequadas para fazer uso do relógio de orientação de tempo na disciplina de matemática para o aluno com deficiência visual e; -Contribuir para novas reflexões acerca do uso das relações trigonométricas do triângulo retângulo a partir do relógio. Ao longo da experiência profissional na disciplina de matemática com alunos cegos me deparei com algumas dificuldades principalmente nas situações trigonométricas. A partir disso e levando em consideração que o aluno cego aprende a partir do tato é que vi a possibilidade de ensinar matemática ou mais especificamente a trigonometria através do uso do relógio de orientação do tempo. Partindo desse preceito é que a problemática deste estudo é: é possível que o aluno com deficiência visual aprenda a resolver situações problemas através do uso do relógio de orientação de tempo? O Projeto de desenvolvimento educacional (PDE), será aplicado a aluno com deficiência visual que frequentam o CAEDV no Colégio Estadual Castro Alves, tendo como objetivo geral analisar, aplicar e compreender a matemática para deficiente visual a partir do relógio de orientação de tempo.
Palavras-chave:
(3 a 5 palavras)
Matemática, Materiais Concretos, Trigonometria, Deficiência Visual, Triângulo Retângulo
Formato do Material Didático: Caderno Pedagógico
Público:
Alunos com deficiência visual
SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO – SEED
SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO – SUED
PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE
PROJETO DE INTERVENÇÃO PEDAGÓGICA NA ESCOLA – PDE 2013
UNIDADE DIDÁTICA: ESTUDO MATEMÁTICO – DEFICIÊNCIA VISUAL
LORACI SOARES CHAISE
Pato Branco – PR
Dezembro/2013
DADOS DE IDENTIFICAÇÃO
Professor PDE: Loraci Soares Chaise
Área PDE: Matemática
NRE: Pato Branco
Professor Orientador: Prof. Me. Eglecy do Rocio Lippmann
co-orientação: Prof. Dra. Cleonice Terezinha Fernandes
IES Vinculada: Universidade Estadual do Centro-Oeste – UNICENTRO,
Guarapuava PR
Área de conhecimento: Educação Especial
Relação Interdisciplinar: Matemática, Física, Artes e História.
Escola de Implementação: Colégio Estadual Castro Alves
Público Objeto da Intervenção: Alunos com deficiência visual
APRESENTAÇÃO DA UNIDADE DIDÁTICA
Esta unidade didática discorre sobre o ensino da matemática e tem
como objetivo principal dar suporte para a aplicação do projeto de intervenção
com alunos de deficiência visual na disciplina de matemática nas relações
trigonométricas no triângulo através do uso do relógio como orientação de
tempo.
A matemática é considerada uma ciência complexa que exige leitura,
interpretação, identificação de dados, compreensão, resolução e análise do
que foi proposto.
Entende-se sabemos que existe ensino somente se houver
aprendizagem significativa e sob a orientação dos PCNs e concordando com
Celso Antunes (2000, p.43) temos que:
A orientação proposta nos PCNs está situada nos princípios construtivistas e apóia em um modelo de aprendizagem que reconhece a participação construtivista do aluno, a intervenção dos professos nesse processo e a escola como um espaço de formação e informação em que a aprendizagem de conteúdos e o desenvolvimento de habilidades operatórias favoreça a inserção do aluno na sociedade que o cerca e, progressivamente, em um universo cultural mais amplo. Para que essa orientação se transforme em uma realidade concreta é essencial a interação do sujeito com o objeto a ser conhecido e, assim à multiplicidade na proposta de jogos concretiza e materializa essas interações.
Para que o aluno tenha gosto/compreensão pela matemática, se faz
necessário construir diversos caminhos a serem percorridos pedagogicamente
para soluções em sala, e estender esta compreensão para atuação no
cotidiano da sala de aula. Mas, como compreender a matemática, exposta
quase que exclusivamente em desenhos planificados, ou seja, apenas de
maneira visual se o aluno for cego?
Segundo Ponte, Brocardo e Oliveira (2003, p.23) “na disciplina de
matemática como em qualquer outra disciplina escolar, o envolvimento do
aluno é uma condição fundamental da aprendizagem.”.
Assim como as letras, os números também são aleatórios a natureza
humana, aprendemos e apreendemos num processo de formação
(psico)intelectual porque temos „mecanismos‟ cerebrais que permitem esta
efetivação, por isso a necessidade de estudos, pesquisas e propostas para
este desencadeamento.
Para Suzana Herculano-Houzel (2012, p.1) “Nas últimas décadas as
pesquisas em Neurociências vêm contribuindo para um conhecimento inédito
de como o cérebro se desenvolve e funciona. Conhecimento fundamental para
os diversos campos da ciência, em especial o da Educação.”
De acordo com Nicida (2012) A Neurociência busca compreender o
funcionamento do sistema nervoso, integrando suas diversas funções
(movimento, sensação, emoção, pensamento e outros). Sabe-se que o sistema
nervoso é plástico, ou seja, é capaz de se modificar sob a ação de estímulos
ambientais. Esse processo, denominado de plasticidade do sistema nervoso,
ocorre graças à formação de novos circuitos neurais, à reconfiguração da
árvore dendrítica e à alteração na atividade sináptica de um determinado
circuito ou grupo de neurônio. É essa característica de constante
transformação do sistema nervoso que nos permite adquirir novas habilidades
motoras, cognitivas e emocionais, e aperfeiçoar as já existentes.
Partindo desse pressuposto, faz-se necessário um olhar diferenciado
para alunos que aprendem de modo diferenciado, ainda que possuam recursos
táteis e auditivos, concentração, atenção e percepção importantes no processo
de ensino aprendizagem da matemática.
O material concreto (no caso o relógio - presente como objeto principal
deste estudo), é um dos elementos possíveis de alavancar diversas
informações importantes para os envolvidos na construção da aprendizagem
que se pretende enfocar, a exemplo do que afirma Vigotski
(1997) sobre o indivíduo que apresenta uma deficiência visual e o fato do
mesmo poder contar com um processo de compensação desta deficiência.
Compensação esta que é de cunho social e não apenas do ponto de vista
biológico. Para este autor o ser humano aprende e se constitui na relação com
o outro, isto é, todo indivíduo só adquire sua condição humana ao ser inserido
em um meio social e cultural.
Sendo assim, os processos de compensação social da pessoa com
deficiência visual também se dirigem a sua relação com o outro, que na sua
maioria é composta por videntes. A compensação permite que a pessoa com
deficiência adapte-se à vida social construída historicamente, de tal modo
que a concepção social que se tem da deficiência influência na constituição do
indivíduo, já que é como se o defeito sensorial, neste caso, provocasse um
desvio social análogo ao mesmo.
Nas pessoas com deficiência visual o desenvolvimento dos sentidos
remanescentes e a noção espaço-temporal são aspectos significativos do
desenvolvimento da sua autonomia tanto intelectual quanto independência.
Estes permitem-lhes explorar a realidade que as rodeia e que está
ao seu alcance. Um dos aspectos que possibilita o desenvolvimento deste
sentido nas aulas de matemática é o uso de materiais manipulativos (SANTOS,
2008; SANTOS e CESAR, 2007).
A sala de aula é um elemento que contribui para a inclusão dos alunos
cegos. A organização dos alunos individualmente e em pequenos grupos, nos
quais se procuram fomentar as interações aluno-aluno, aluno-professor,
permite que os alunos se confrontem com diferentes perspectivas e cria
condições, não apenas para o desenvolvimento cognitivo, mas também de
competências sociais (César, 2003; Santos & César, 2007). Rönnbäck (2003) e
Santos e César (2007) consideram que os alunos cegos devem ser incluídos
em pequenos grupos, que incluam também alunos ditos normovisuais,
potencializando as oportunidades de participação de todo e qualquer aluno, tal
como subscrevem os princípios da educação inclusiva (César, 2003), nas
atividades da sala de aula. Importa, para que tal seja possível, que todos os
alunos tenham a possibilidade de desenvolver as mesmas tarefas, ainda que o
façam em níveis ou com ritmos diferentes.(CESAR, 2003).
Ao longo da experiência profissional no ensino de educação básica
regular comum na disciplina de matemática me deparei com alunos com
deficiência visual e para os quais não tinha formação e nem informação para
trabalhar, por vezes incluídos na sala de aula e excluídos do conteúdo, da
orientação e da equipe pedagógica.
Diante da inquietude profissional e na busca de melhoria da formação
teórico-metodológica na matemática e na educação especial para trabalhar
com alunos com deficiência visual, e levando em consideração que aluno cego
aprende pela sensibilidade tátil e a manipulação do concreto é que veio a
possibilidade de ensinar relações trigonométricas no triângulo retângulo através
do uso do relógio de orientação do tempo.
Enquanto profissionais da educação e membros da sociedade que nos
rodeia, temos a responsabilidade de garantir o acesso de todos os alunos às
experiências de aprendizagem ricas e diversificadas, que contribuam para a
construção do sucesso acadêmico. Assim, devemos proporcionar, tanto a
alunos com deficiência visual como a alunos designados por normovisuais,
experiências de aprendizagem que promovam o desenvolvimento de
competências matemáticas e sociais.
Partindo desse preceito a problemática deste estudo gira em torno da
seguinte questão: é possível que o aluno com deficiência visual possa
entender as relações trigonométricas no triângulo retângulo e aprender a
resolver situações problemas através do uso do relógio de orientação de
tempo.?
Os materiais que serão utilizados: relógio analógico como material
concreto base; soroban como material de apoio para resolução de situações
problemas; calculadora com sintetizador de voz; ábaco, figuras geométricas,
papel dobradura e o braile.
Tem como objetivo geral: Proporcionar aos alunos do CAEDV no
município de Pato Branco – PR a construção das relações trigonométricas no
triângulo retângulo a partir do relógio de orientação de tempo.
E como objetivos específicos:
Buscar informações sobre o relógio e seu funcionamento;
Identificar estratégias adequadas para fazer uso do relógio de orientação
de tempo na disciplina de matemática para o aluno com deficiência
visual.
Contribuir para novas reflexões acerca do uso das relações
trigonométricas do triângulo retângulo a partir de um material concreto,
o relógio analógico.
UNIDADE DIDÁTICA I – HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
A matemática é a ciência dos números e dos cálculos. Desde a
antiguidade, o homem utiliza a matemática para facilitar a vida e organizar a
sociedade. A matemática foi usada pelos egípcios na construção de pirâmides,
diques, canais de irrigação e estudos de astronomia. Os gregos antigos
também desenvolveram vários conceitos matemáticos. Atualmente, esta
ciência está presente em várias áreas da sociedade como, por exemplo,
arquitetura, informática, medicina, física, química etc. Podemos dizer, que em
tudo que olhamos existe a matemática. (fonte:
http://www.suapesquisa.com/matematica/).
No Brasil, o ensino de Matemática até o início do século XX era muito
restrito, limitado a estudos no Instituto Militar de Engenharia do Rio de Janeiro,
baseado no ensino tecnicista dos sistemas europeus, e a pesquisa era quase
inexistente. Com a chegada da República, uma forte influência francesa se
instalou nas bases educacionais, conduzidas principalmente pelo positivismo.
(GOMES E REGO, 2010, p.2).
A história da matemática cobre vários milênios. Começa tão
remotamente quanto a invenção do alfabeto, e novos capítulos estão sendo
acrescentados hoje. Essa visão geral deve ser pensada como um breve olhar
nesse vasto território. Pretende dar-lhe o sentimento geral do território e talvez
ajudá-lo a familiarizar com os marcos mais significativos. (GOMIDE e CASTRO,
2010).
Quase todas as evidências que temos em relação ao período a.C no
desenvolvimento da matemática vêm da Mesopotâmia, área entre os rios Tigre
e Eufrates, que agora é o Iraque, e do Egito, a terra no vale do Nilo, no
nordeste da África. É provável que um processo semelhante estivesse
ocorrendo ao mesmo tempo na China e na Índia, mas não tem muitas
evidencia sobre isso.
A forma dominante da matemática grega era a geometria, embora os
gregos também tenham estudado as propriedades dos números inteiros, a
teoria das razões, astronomia e mecânica. Os dois últimos temas eram tratados
muito em estilo geométrico e teórico. Não há divisão nítida entre matemática
pura e aplicada. A maior parte dos matemáticos gregos tinha pouco interesse
por aritmética prática ou por problemas de efetivamente medir comprimentos
ou áreas. Essas questões só aparecem relativamente tarde, e permaneceram ,
até certo ponto, como tradição separada (GOMIDE e CASTRO, 2010, p.15).
A matemática teria surgido de necessidades práticas urgentes do
homem, como a demarcação de áreas, o levantamento de seu rebanho,
partindo para a valoração de objetos (dinheiro). Outros já definiam que a
matemática teria surgido do lazer de uma classe de sacerdotes ou de rituais
religiosos (IFRAH GEORGE, 2005)
O fato é que a matemática é presente em nosso dia a dia de tal forma
que não podemos, não devemos e, certamente, não queremos nos distanciar
dela.
As funções mais rotineiras de nossa vida têm sido realizadas por
computadores: desde uma conta até o controle de nosso dinheiro no banco,
nosso pagamento de salário, e muitas outras atividades são controladas por
máquinas que são por sua vez, apoiadas na matemática.
UTILIZAÇÃO DO MATERIAL CONCRETO
O movimento denominado de Matemática Moderna, foi um dos grandes
marcos na história do ensino da Matemática, promovendo uma série de
alterações curriculares em vários países, inclusive no Brasil. As bases
curriculares desse movimento valorizaram excessivamente os aspectos formais
dos conteúdos, atribuindo pouca importância às aplicações e aos aspectos
intuitivos, não fazendo ligação da Matemática com a vida real.(GOMES E
REGO, 2010, P.1)
Com a implantação dos referenciais Curriculares para a Educação
Básica em 1990, o Ministério da Educação buscou sistematizar ideias que
servem como princípios norteadores das reformas curriculares em todas as
esferas da educação na Brasil. Ao definir os objetivos do ensino de Matemática
os Parâmetros enfatizam a participação crítica do aluno, estabelecendo a
importância de conectar a Matemática com outras disciplinas, relacionando aos
temas transversais, ética, pluralidade cultural, trabalho e consumo. (GOMES E
REGO, 2010, p.1). O que de certa foram volta a resgatar a matemática
praticada antes do advento da matemática moderna acima citado, que era
extremamente fixada em memorização de fórmulas e teoremas, cujo uso
escolar não fazia conexão com o dia a dia do aluno.
Neste sentido os Parâmetros Curriculares Nacionais em Matemática -
PCNEM trazem uma ampla visão do ensino da Matemática, não apenas como
meio de levar o aluno a enxergar à Matemática como uma ciência, mas
também possibilitando a uma apropriação da linguagem das ciências naturais e
sociais, visando levá-lo a descrever diversos fenômenos e aprender a utilizar
conceitos e procedimentos matemáticos, bem como instrumentos tecnológicos
para enfrentar e resolver diversas situações-problema, a comunicar-se
matematicamente e argumentar sobre conjeturas.
Como se vê, uma tendência que se observa no nosso sistema de ensino
é uma maior abertura para a utilização de materiais concretos por parte de
professores das séries iniciais do ensino fundamental. Uma parcela dos
docentes acredita que o uso de metodologias utilizando jogos e material
concreto representa uma saída para a atual crise de ensino, entretanto, esta
aceitação parece diminuir bastante entre os docentes das séries mais
avançadas. (GOMES E REGO, 2010).
Carraher e Schilemann, apud Fiorentini e Miorim (1990, p.12) afirmam
que “não precisamos de objetos na sala de aula, mas de objetivos na sala de
aula, mas de situações em que a resolução de problemas implique a utilização
dos princípios lógico-matemáticos a serem ensinados”. A visão dos
pesquisadores citados demonstra uma preocupação com as condições em que
são usados os materiais manipuláveis em sala de aula.
Para Fiorentini e Miorim, o alerta de Carraher & Schilemann nos chama
a atenção no sentido de refletir profundamente sobre propostas que trazem a
utilização de materiais concretos, pois são várias propostas de ensino que
caracterizam situações bastante peculiares ao processo de ensino-
aprendizagem. Estes autores apontam que existem diversidades de opiniões
quanto ao uso de materiais manipuláveis para o ensino de Matemática, no
sentido de que “por trás de cada material, se esconde uma visão de educação,
de matemática, do homem e de mundo; ou seja, existe, subjacente ao material,
uma proposta pedagógica que o justifica”.
Yves Chevallard (1991) examina que o saber não chega à sala de aula
tal qual ele foi produzido no contexto científico. Ele passa por um processo de
transformação, que implica em lhe dar uma “roupagem didática” para que ele
possa ser ensinado. Isso acontece porque o objetivo da comunidade científica
e da escola é diferente. A Ciência cabe o papel de responder as perguntas que
são formuladas e necessárias de serem respondidas em um determinado
contexto histórico e social. Por outro lado, esses novos saberes precisam ser
comunicados à comunidade científica, em um primeiro plano, e à própria
sociedade, em um segundo plano.
Chevallard (1991) reflete que a Transposição Didática é feita por uma
Instituição „invisível‟, uma „esfera pensante‟ que ele nomeou de Noosfera. Tal
instituição é formada por pesquisadores, técnicos, professores, especialistas,
enfim, por aqueles que ligados a outras Instituições: Universidades, Ministérios
de Educação, Redes de Ensino; que irão definir que saberes devem ser
ensinados e com que roupagem eles devem chegar à sala de aula. No Brasil, o
resultado do trabalho da Noosfera aparece nos Referenciais Curriculares
(MEC, 1997, 2006), nos documentos que trazem as diretrizes curriculares e
orientam o ensino de uma determinada disciplina científica.
A teoria das situações didáticas foi proposta pelo francês Guy
Brousseau, no intuito de compreender as relações existentes entre alunos,
professores e o meio onde acontece o aprendizado (sala de aula). Brousseau
alega que cada conhecimento está ligado a um tipo de situação, através da
interação entre duas ou mais pessoas. Nessa teoria, o aluno é tratado como
um pesquisador, pois formula hipóteses, constrói modelos, conceitos,
estabelece teorias, faz comparações e o principal, participa ativamente no
processo de aprendizagem.
Para Brousseau (1986), a Didática da Matemática estuda atividades
didáticas que têm como objetivo o ensino da parte específica dos saberes
matemáticos, propiciando explicações, conceitos e teorias, assim como meios
de previsão e análise, incorporando resultados relativos aos comportamentos
cognitivos dos alunos, além dos tipos de situações utilizadas e os fenômenos
de comunicação do saber.
Poder-se-ia complementar que a Didática da Matemática seria, também,
a arte de conceber e conduzir condições que podem determinar a
aprendizagem de um saber matemático por parte de um sujeito.
Brousseau (1986) estudou mais profundamente as condições que
levariam um sujeito a usar seus conhecimentos para tomar decisões e a
estudar as razões dessas tomadas de decisões.
A Teoria de Brousseau esclarece a integração das dimensões
epistemológicas, cognitivas e sociais no campo da Educação Matemática
permitindo, assim, a compreensão das interações sociais que ocorrem na sala
de aula entre alunos e professores, das condições e da forma com que o
conhecimento matemático pode ser apropriado e aprendido. Segundo ele, o
controle destas condições permitiria reproduzir e aperfeiçoar os processos de
aquisição do conhecimento matemático escolar.
Brousseau associa sua teoria a quatro vertentes norteadoras: ação,
formulação, validação e institucionalização. Veja:
Ação: momento da tomada de decisões, os saberes são colocados em
prática com o objetivo de resolver os problemas propostos
Formulação: o conhecimento implícito é transformado em explícito, as
estratégias usadas são explicadas.
Validação: a estratégia apresentada precisa ser provada dentro de um
determinado contexto.
Institucionalização: ocorre a validação da atitude matemática. É um
resumo de todo o processo que foi construído durante o trabalho.
A Epistemologia Genética defendida por Piaget, explica o quanto é
importante a utilização do material concreto na formalização do conhecimento,
pois é através da teoria cognitiva do desenvolvimento que encontramos
argumentos que respondem como se processa o raciocínio matemático.Piaget
(1976), no livro “Psicologia e Pedagogia” argumenta de maneira sólida sobre a
razão pelo qual o método de ensino pela descoberta exige que o aluno
manipule algo.
Para Cristiano Muniz (2009) no brincar podemos encontrar tanto a
aplicação do conhecimento escolar, quanto do conhecimento espontâneo, que
são os dois tipos de conhecimentos considerados como participantes da cultura
infantil. A presença de uma trama entre diferentes modos de conhecimento
matemático no brincar pode revelar como o aluno estabelece as relações
complexas entre a reprodução do conhecimento escolar e o uso de sua
potencialidade criativa (espontânea) para construir e resolver situações-
problema matemáticas. E mais, devemos tomar o brincar como espaço onde os
alunos comunicam entre elas suas maneiras de pensar e onde tentam explicar
e validar seus processos lógicos dentro do grupo que participa da atividade
lúdica, o que é essencial para seu desenvolvimento matemático.
Os alunos jogando, mesmo quando em atividades solitárias,
desenvolvem atividades matemática cuja riqueza merece ser conhecida pelos
educadores. Há um processo de criação ou resolução de problemas que o
lança a colocar em cena suas capacidades cognitivas, sejam conhecimentos já
adquiridos, seja sua capacidade de criar e de gerenciar novas estratégias do
pensamento. Neste processo, o aluno pode utilizar conhecimentos
matemáticos adquiridos na escola ou, ainda, utilizar conceitos e procedimentos
que não são tratados no contexto escolar.
Muniz (2009) destaca que por muito tempo desenvolveu-se a crença de
que, para aprender matemática, o sujeito, em especial o aluno, não pode e não
deve manipular o corpo ou parte dele. Este fato faz parte de uma cultura sobre
a relação matemática e corpo que extrapola os muros da escola. Acreditava-se
que, porque os objetos matemáticos são de natureza abstrata, a manipulação
corporal-material se constituiria num obstáculo a tal abstração, levando a crer
que o sujeito que manipula o concreto, em especial os dedos nas contagens,
jamais conceberia os seres matemáticos.
Os dedos, de tão fácil acesso, seriam o primeiro obstáculo na
construção do número pelo aluno. Sempre tendo acesso aos dedos, o
estudante iria sempre testemunhar as quantidades sobre os dedos, nunca
sentindo a necessidade de construir o conceito de número, ficando para
sempre escrava da manipulação concreta sobre os dedos.
Desta forma, a manipulação dos dedos deveria ser valorizada na prática
pedagógica como sendo uma das competências mais importantes na
construção do número pelo aluno: contando nos dedos os alunos podem
construir uma base simbólica que é essencial no processo de construção do
número, assim como na estruturação do número no sistema de numeração
decimal. Por outro lado, a contagem nos dedos podem permitir o
desenvolvimento de primeiras estratégias de contagem e operacionalização
matemática, ainda mais ao assumirmos o limite dos dez dedos das mãos,
organizados em cinco dedos em cada. Estas construções serão decisivas para
a história de aprendizagem e desenvolvimento futuro dos alunos. Neste sentido
o trabalho tátil-digital diário dos cegos para apropriação do mundo que o cerca,
toma uma proporção interessante, até um privilégio, se comparado aos
normovisuais.
Neste contexto também cabe citar as atividades lúdicas que podem
permitir que desenvolvam habilidades que promovam experiências inteligentes
e reflexivas capazes de produzir conhecimento. Marcelo (1992, apud. Rêgo e
Rêgo 2004), sintetiza que o uso dos jogos no ensino viabiliza os aspectos
afetivos, sociais e cognitivos do aluno.
Segundo os PCNs no Ensino Fundamental, a Matemática não deve ser
vista apenas como pré-requisito para estudos posteriores. É preciso que o
ensino da disciplina esteja voltado à formação do cidadão que utiliza cada vez
mais conceitos matemáticos em sua rotina.
De acordo com as Diretrizes Básicas da Educação de Matemática (2011,
p.49) entende-se por Conteúdos Estruturantes os conhecimentos de grande
amplitude, os conceitos e as práticas que identificam e organizam os campos
de estudos de uma disciplina escolar, considerados fundamentais para a sua
compreensão. Constituem-se historicamente e são legitimados nas relações
sociais.
Os Conteúdos Estruturantes propostos nestas Diretrizes Curriculares,
para a Educação Básica da Rede Pública Estadual, são:
Números e Álgebra
Grandezas e Medidas
Geometrias
Funções
Para o Ensino Fundamental e Médio, o Conteúdo Estruturante
Geometrias se desdobra nos seguintes conteúdos:
• geometria plana
• geometria espacial
• geometria analítica
• noções básicas de geometrias não-euclidianas
As ideias geométricas abstraídas das formas da natureza, que aparecem
tanto na vida inanimada como na vida orgânica e nos objetos produzidos pelas
diversas culturas, influenciaram muito o desenvolvimento humano. Em torno
dos anos 300 a.C., Euclides sistematizou o conhecimento geométrico, na obra
já citada Elementos. Seus registros formalizaram o conhecimento geométrico
da época e deram cientificidade à Matemática. Nessa obra, o conhecimento
geométrico é organizado com coesão lógica e concisão de forma, constituindo
a Geometria Euclidiana que engloba tanto a geometria plana quanto a espacial
No Ensino Médio, deve-se garantir ao aluno o aprofundamento dos
conceitos da geometria plana e espacial em um nível de abstração mais
complexo. Nesse nível de ensino, os alunos realizam análises dos elementos
que estruturam a geometria euclidiana, através da representação algébrica, ou
seja, a geometria analítica plana. Neste caso, é imprescindível o estudo das
distâncias entre pontos, retas e circunferências; equações da reta, do plano e
da circunferência; cálculos de área de figuras geométricas no plano e estudo
de posições. (DCEs, 2011, p.56).
Os jogos constituem uma forma interessante de propor problemas, pois
permitem que estes sejam apresentados de modo atrativo e favorecem a
criatividade na elaboração de estratégias de resolução e busca de soluções.
Propiciam a simulação de situações- problema que exigem soluções vivas e
imediatas, o que estimula o planejamento das ações; possibilitam a construção
de uma atitude positiva perante os erros, uma vez que as situações sucedem-
se rapidamente e podem ser corrigidas de forma natural, no decorrer da ação,
sem deixar marcas negativas. (PCNs - Terceiro e Quarto Ciclos do Ensino
Fundamental)
Neste contexto, o trabalho com Jogos Matemáticos pode vir a se tornar
uma alternativa para a elaboração de estratégias didáticas que objetivem a
otimização do processo de ensino-aprendizagem de Matemática, no que diz
respeito à assimilação de técnicas de criação de algoritmos e utilização do
raciocínio lógico-matemático na resolução de problemas. Os Jogos de
Estratégia sempre despertaram curiosidade na maioria das pessoas quer pela
simplicidade de suas regras quer pelo desafio de descobrir a melhor maneira
de vencer o jogo.
Quando o educando joga, além de estar aprendendo a conviver e a
respeitar seus colegas, ela desenvolve habilidades matemáticas. O recurso é
rapidamente aceito pelas crianças, pois não encerra o aspecto de obrigação
ditada pelo professor.
UNIDADE DIDÁTICA II - SISTEMA BRAILLE
HISTÓRIA DA MEDIÇÃO DO TEMPO
Existem diversas maneiras de se medir o tempo. Atualmente, a mais
comum delas talvez seja nosso velho conhecido: o relógio. Apesar de bastante
comum, o relógio ainda é bem recente comparado as outras formas de se
medir o tempo.
Foto: Loraci Soares Chaise
Em tempos mais remotos as maneiras de se medir a passagem do
tempo dependiam quase que exclusivamente dos recursos presentes na
natureza, como: observação das estações do ano, tempo de cheia dos rios e
observação dos astros, principalmente do sol.
Os antigos egípcios e mesopotâmicos, observando o sol,
compreenderam que este deixava um sobra sobre os objetos, e desta forma,
entenderam que era possível usar esse fato para se medir a passagem do
tempo. Daí foram criados os primeiros relógios de sol.
A clepsidra, outro instrumento utilizado para se medir o tempo, possuía
uma vantagem em relação ao relógio de sol, pois não dependia da existência
do dia para funcionar. Ela consiste em dois recipientes contendo água,
colocados em níveis diferentes, de maneira que água de um passe para o
outro, respeitando-se uma determinada escala de tempo Fonte:
http://descobrindoahistoria2011.blogspot.com.br/2012/04/medidas-de-
tempo.html
INTRODUÇÃO A NOÇÃO DO SISTEMA BRAILLE
Neste estudo a retoma da história do sistema Braille aparece pela
necessidade de contextualizar o leitor. Mas vale ressaltar que os alunos cegos
estudantes de trigonometria, nesta altura de sua escolarização, já dominam o
sistema Braille, que funciona para eles como a caneta para os normovisuais –
trata-se do seu registro normal da língua materna e no caso, da linguagem
matemática.
Relativamente ao histórico do Braille, no ano de 1809, na cidade de
Coupvray, Paris, nasceu Louis Braille, um jovem que revolucionaria o processo
de ensino-aprendizagem de pessoas cegas. Cego desde os cinco anos de
idade, ingressou em 1819 no Instituto Real dos Jovens Cegos, em Paris, onde
desenvolveu um novo sistema de leitura e escrita, que utilizava pontos
salientes perceptíveis ao tato, tendo como base a denominada escrita noturna
ou sonografia, desenvolvida pelo militar francês Charles Barbier de La Serre. O
sistema de leitura e escrita desenvolvido por Louis recebeu o nome de Sistema
Braille em homenagem ao seu criador e é utilizado por pessoas com deficiência
visual até os dias atuais (RESENDE e RESENDE FILHO, 2012, p.7).
O Sistema Braille é composto de seis pontos em relevo dispostos em
duas colunas e três linhas, possibilitando a construção de 63 combinações
diferentes de pontos (64 sinais, se se considerar a cela vazia), que são
organizados em uma tabela denominada Ordem Braille, constituída por sete
séries: cinco contendo 10 símbolos, uma contendo sete sinais e outra contendo
seis símbolos (BRASIL, 2006a). Esses sinais são empregados na leitura e
escrita de textos literários em diversos idiomas, além de outras áreas,
compreendendo o conjunto de símbolos pertinentes à matemática, as ciências,
à música, dentre outras (CERQUEIRA, 2009b).
No Brasil, o Sistema Braille foi adotado em 1854 no Imperial Instituto dos
Meninos Cegos (atual Instituto Benjamin Constant – IBC), no Rio de Janeiro,
devido aos esforços de José Álvares de Azevedo, um jovem cego brasileiro
que aprendeu o Sistema Braille na França (CERQUEIRA et al., 1996)
A importância do braile para crianças com deficiência visual é evidente,
uma vez que esse conhecimento permite que ela desenvolva sua
personalidade, aptidões, bem como suas capacidades mental e física, pois
possibilita a interação com o conhecimento organizado (CERQUEIRA, 2009a).
Além disso, o ensino do Braille para crianças sem deficiência visual pode
proporcionar o enriquecimento cognitivo e pessoal da criança, com a aquisição
de um novo meio de comunicação (Braille) e a valorização da diversidade
humana. (RESENDE e RESENDE FILHO, 2012, p.7).
Os resultados esperados com relação ao uso do Braille na disciplina de
matemática com alunos do CAEDV são:
interesse dos alunos: o aprendizado do Braille deve despertar a
curiosidade natural da criança, de modo que ela possa descobrir um
novo sistema de escrita, as diversas formas de percepções sensoriais e
a vasta diversidade humana que compõem nossa sociedade;
reconhecimento da diferença: o conhecimento do braile e do universo da
criança cega permite estimular o respeito à diversidade humana;
expansão dos conhecimentos aprendidos: conhecimento do braile e do
universo da criança deficiente visual pela comunidade escolar e familiar,
contribuindo para a construção de uma sociedade mais inclusiva
UNIDADE DIDÁTICA III – ADAPTAÇÃO DOS RECURSOS
Os recursos disponíveis podem ser adaptados para suprir lacunas na
aquisição de informações pelo estudante deficiente visual. O manuseio de
diferentes materiais possibilita treinamento da percepção tátil, facilitando a
discriminação de detalhes e suscitando a realização de movimentos delicados
com os dedos.
Recursos didáticos são todos os recursos físicos, utilizados com maior
ou menor frequência em todas as disciplinas, áreas de estudo ou atividades,
sejam quais forem as técnicas ou métodos empregados, visando auxiliar o
educando a realizar sua aprendizagem mais eficientemente, constituindo-se
num meio para facilitar, incentivar ou possibilitar o processo ensino-
aprendizagem.
O aproveitamento dos recursos didáticos está atrelado aos seguintes
fatores como capacidade do aluno, experiência do educando, técnicas de
emprego, oportunidade de ser apresentado, uso ilimitado, para resultar em
interesse.
De acordo com Cerqueira e Ferreira (2000)- Professores do Instituto
Benjamin Constant, na educação especial de deficientes visuais, os recursos
didáticos podem ser obtidos por uma das três seguintes formas:
Seleção: Dentre os recursos utilizados pelos alunos de visão normal,
muitos podem ser aproveitados para os alunos cegos tais como se
apresentam. É o caso dos sólidos geométricos, de alguns jogos e outros.
Adaptação: Há materiais que, mediante certas alterações, presta-se
para o ensino de alunos cegos e de visão subnormal. Neste caso estão os
instrumentos de medir, como o metro, a balança, os mapas de encaixe, os
jogos e outros.
Confecção: A elaboração de materiais simples, tanto quanto possível,
deve ser feita com a participação do próprio aluno. É importante ressaltar que
materiais de baixo custo ou de fácil obtenção podem ser frequentemente
empregados, como: palitos de fósforos, contas, chapinhas, barbantes,
cartolinas, botões e outros.
Critérios: Na seleção, adaptação ou elaboração de recursos didáticos
para alunos deficientes visuais, o professor deverá levar em conta alguns
critérios para alcançar a desejada eficiência na utilização dos mesmos, tanto
para estudantes cegos como para os estudantes de visão subnormal.
Tamanho: os materiais devem ser confeccionados ou selecionados em
tamanho adequado às condições dos alunos. Materiais excessivamente
pequenos não ressaltam detalhes de suas partes componentes ou perdem-se
com facilidade. O exagero no tamanho pode prejudicar a apreensão da
totalidade (visão global).
Significação Tátil: o material precisa possuir um relevo perceptível e,
tanto quanto possível, constituir-se de diferentes texturas para melhor destacar
as partes componentes. Contrastes do tipo: liso/áspero, fino/espesso, permitem
distinções adequadas.
Aceitação: o material não deve provocar rejeição ao manuseio, fato que
ocorre com os que ferem ou irritam a pele, provocando reações de desagrado.
Estimulação Visual: o material deve ter cores fortes e contrastantes
para melhor estimular a visão funcional do aluno com baixa visão.
Fidelidade: o material deve ter sua representação tão exata quanto
possível do modelo original.
Facilidade de Manuseio: os materiais devem ser simples e de
manuseio fácil, proporcionando ao aluno uma prática utilização.
Resistência: os recursos didáticos devem ser confeccionados com
materiais que não se estraguem com facilidade, considerando o frequente
manuseio pelos alunos.
Segurança: os materiais não devem oferecer perigo para os educandos.
Sendo assim, os modelos devem ser criteriosamente escolhidos e,
sempre que possível, sua apresentação ao aluno deve ser acompanhada de
explicações verbais objetivas. Objetos muito pequenos podem ser ampliados,
para que se tornem perceptíveis e a observação dos detalhes importantes.
Objetos situados a grandes distâncias, inacessíveis, precisam ser
apresentados na forma de modelagem. O formato de uma nuvem, do sol, da
lua, só pode ser apreendido pelos alunos através de modelos miniaturizados.
UNIDADE DIDÁTICA IV – APRESENTAÇÃO DO RELÓGIO AOS ALUNOS
Um relógio é um circuito que emite uma série de pulsos com uma
largura de pulso precisa e intervalos precisos entre esses pulsos consecutivos.
O intervalo de tempo entre o ciclo inicial e final correspondentes de dois pulsos
consecutivos é denominado tempo de ciclo do relógio. Em geral as freqüências
de pulso estão entre 1 e 500 MHz, correspondendo a ciclos do relógio de 1.000
nanossegundos a 2 nanossegundos. Para conseguir alta precisão, a freqüência
de relógio normalmente é controlada por um oscilador de cristal, que tem a
função de sincronizar e ditar a medida de tempo de transferência de dados no
computador. (CANDIDO, 2010).
Um relógio analógico é um relógio que utiliza grandezas físicas
continuas (apresentam um número infinito de estados) para representar a hora.
Pode ser a posição de um ponteiro acionado por engrenagens, a sombra de
um relógio solar, a quantidade de areia que cai num relógio de areia, etc.
Relógios analógicos são aqueles que têm ponteiros. Eles podem ser
automáticos (esse tipo "dá corda" automaticamente, com o movimento do
pulso) ou à pilha. Você pode diferenciá-los pelo movimento dos ponteiros
sendo que os automáticos deslocam os ponteiros de forma linear "varrendo a
escala" e nos movidos à pilha o ponteiro "pula" de um número para outro.
UNIDADE DIDÁTICA V: GEOMETRIA E TRIGONOMETRIA
Trigonometria
Hiparco de Niceia foi chamado de "o pai da trigonometria" pois na
segunda metade do século II a.C., fez um tratado em doze livros que se ocupa
da construção do que deve ter sido a primeira tabela trigonométrica, uma tábua
de cordas. Ptolomeu também construiu uma tabela de cordas que fornece o
seno dos ângulos de 0° a 90° com incrementos de 15". Evidentemente Hiparco
fez estes cálculos para usá-los em sua astronomia. (BOYER, 1996).
Hiparco de Nicéia (180-125 a.C) ficou conhecido como o pai da
trigonometria, por ter estudado e sistematizado algumas relações entre os
elementos do triângulo. Hiparco elaborou calendários para prever os eclipses e
movimentos dos astros com uma Matemática aplicada. (EVES, 2004, p.203).
O significado da palavra Trigonometria pode segundo Boyer (1996, p.6)
ser interpretado como medida de partes de um triângulo.
Boyer (1996, p.6) destaca que “os egípcios deixaram registrados em
papiros, como o Papiro de Ahmes, conhecido como Papiro Rind, que data de
aproximadamente 1650 a.C, 84 problemas, sendo que quatro deles fazem
menção ao ângulo”.
A trigonometria, como outros ramos da Matemática, não foi obra de
um só homem – ou nação. Teoremas sobre as razões entre lados de
triângulos semelhantes tinham sido conhecidos e usados pelos
antigos egípcios e babilônicos. (...) Com os gregos, pela primeira vez
encontramos um estudo sistemático de relações entre ângulos (ou
arcos) num círculo e os comprimentos das cordas que os
subentendem (BOYER, 1996, p.108).
Também filósofos e matemáticos deixaram sua contribuição para a
trigonometria e, entre os principais constam Tales de Mileto (625 – 546 a.C),
considerado um dos sete sábios da Antiguidade. Viveu algum tempo no Egito
onde despertou a admiração ao calcular a altura da pirâmide de Quéopes sem
escalá-la, por meio da sombra provocada pelos raios de sol, numa vara de
tamanho conhecido e uma grande idéia, de razão. Quando retornou a Mileto,
trouxe na bagagem os conhecimentos obtidos no Egito sobre Astronomia e
geometria. Graças ao seu gênio versátil e sendo discípulo dos egípcios,
recebeu o titulo de primeiro matemático (EVES, 2004).
Na contemporaneidade a trigonometria não se limita apenas ao estudo
de triângulos. Desenvolve-se principalmente como resultado da interação entre
teorias matemáticas aplicáveis e técnicas acessíveis às necessidades da
demanda da época atual. Sua aplicação se estende a vários campos da
Matemática como a Análise, Eletricidade, Mecânica, Acústica, Música,
Topologia, Engenharia, dentre outros ramos.
GEOMETRIA
A geometria, na sua origem e no próprio nome, está relacionada com
as medições de terreno. Como nos conta Heródoto, a geometria foi apreendida
dos egípcios, onde era mais que uma simples medição de terreno, tendo tudo a
ver com o sistema de taxação de áreas produtivas. (D‟AMBRÓSIO, 2002,
p.36).
A etnografia privilegia o raciocínio qualitativo. Um enfoque
etnomatemático sempre está ligado a uma questão maior, de natureza
ambiental ou de produção, e a etnomatemática raramente se apresenta
desvinculada de outras manifestações culturais, tais como arte e religião. A
mesma se enquadra perfeitamente numa concepção multicultural e holística da
educação.
1º ENCONTRO
Apresentar os modelos de relógios analógicos, explorá-los os diferentes
modelos com o tato pelos alunos e nesse momento questioná-los:
- O que se mantém igual nos diferentes modelos de relógios?
- O que se representa diferente nos relógios observados?
- Qual a direção do giro dos ponteiros dos relógios?
- Analisar os ponteiros dos relógios que giram em sentido horário e numa
circunferência o ponto de partida em zero grau é anti-horário.
Foto: Loraci Soares Chaise
2º ENCONTRO
Comparar o tempo do relógio com os graus da circunferência.
O relógio aponta 12 horas e a circunferência tem um giro completo de
360 graus. Quantos graus corresponde cada hora?
Conversão de unidades:
A conversão é feita, usando-se a regra de três.
360º - 12 horas
x 1 hora 12 x = 360º .1
x = 360º 12
x = 30º
Uma hora corresponde a 30º.
Foto: Loraci Soares Chaise
360 = 12horas
X 1,5horas
12x = 1,5 . 360
X= 540
12
X= 45º
Foto; Loraci Soares Chaise
360 = 12horas
X 2 horas
X = 60º
Foto: Loraci Soares Chaise
360 = 12horas
X 3horas
12x = 3 . 360
X= 90º
Foto: Loraci Soares Chaise
Aplicações
1. Quanto vale, em graus, um tempo de duas horas?
2. Quanto vale, em hora, um arco de 90 graus?
3. Quanto vale, em minutos, um arco de 30 graus?
4. Quanto vale, em graus, 90 minutos?
5. Converta em horas os seguintes graus:
30 graus
a) 45 graus
b) 60 graus
c) 90 graus
d) 120 graus
e) 150 graus
f) 180 graus
3º ENCONTRO
Visualizar os quadrantes formados com os ponteiros do relógio; o
ponteiro da hora e ponteiros dos minutos. Agora trabalhar no primeiro
quadrante quando temos o ponteiro da hora marcando 3 horas e o ponteiro dos
minutos em 12 horas, temos um triângulo retângulo (ângulo reto).
O movimento dos ponteiros do relógio giram no sentido horário,
representar na geometria pelo sinal (-) negativo e o anti-horário representado
pelo (+) positivo.
Como já vimos que uma hora corresponde a 30 graus, observe no
relógio da hora que forma o eixo da circunferência, partindo de zero grau no
sentido anti-horário (+), e com o ponteiro dos minutos em 12 horas, temos o
primeiro quadrante.
Foto: Loraci Soares Chaise
Foto: Loraci Soares Chaise
Os eixos X e Y dividem a circunferência trigonométrica em quadro
quadrantes.
Foto: Loraci Soares Chaise
Ao girar o raio da circunferência, no sentido anti-horário, a partir da
posição de zero graus; este corta a circunferência em pontos distintos (será
feita análise de zero graus a 180 graus). Se traçarmos um segmento de reta
vertical desses pontos de cruzamento, até o eixo X, horizontal verificamos que
aparece uma distância entre a origem da circunferência e o ponto de
cruzamento do eixo X. Esta distância é chamada de cosseno do ângulo entre
o raio e o eixo de X (origem).
Essa distância vai diminuindo com o aumento do ângulo e o valor
máximo de 1 na posição zero graus, até se tornar zero a 90 graus. A partir
desse ângulo começa a aumentar negativamente até o valor máximo de mais
ou menos em 180 graus.
Observando agora a distância criada pelo deslocamento do raio da
circunferência, da posição vertical, ou seja, a distância do ponto de cruzamento
com a circunferência, até o eixo X (horizontal) essa distância é chamada de
seno do ângulo entre o raio e o eixo X (origem).
Verifica-se que a distância inicia em zero grau e vai aumentando até o
valor máximo de 90 graus, a partir daí vai diminuindo até atingir zero
novamente em 180 graus.
Na outra metade da circunferência, tudo ocorre simetricamente,
observando o sinal dos valores de acordo com os eixos cartesianos.
Foto: Loraci Soares Chaise
4º ENCONTRO
Informações arcos trigonométricos
Foto: Loraci Soares Chaise
Foto: Loraci Soares Chaise
No plano cartesiano XOY, uma circunferência de centro no ponto (0,0) o
raio igual a 1. Marcamos o arco trigonométrico sobre esta circunferência que
são os arcos que tem origem no ponto A (1,0). As medidas são positivas, se
percorridas no sentido anti horário, e negativas se percorridas no sentido
horário.
As medidas dos arcos trigonométricos com extremidades nos pontos
A,B,A‟,B‟.
Foto: Loraci Soares Chaise
Foto: Loraci Soares Chaise
Em graus:
Ponto A: 0º ou 360º
Ponto B: 90º
Ponto A‟: 180º
Ponto B‟: 270º
Foto: Loraci Soares Chaise
Em particular:
A: sen 0º ou 360º = 0
: cos 0º ou 360º = 1
B: sen 90º = 1
: cos 90º = 0
A‟: sen 180º = 0
: cos 180º = -1
B‟: sen 270º = -1
: cos 270º = 0
Foto: Loraci Soares Chaise
Foto: Loraci Soares Chaise
No eixo do x, abscissa tem: na posição O distância (OA), cos 0º = 1
Na posição O distância (AO‟),cos180º= -1
Foto: Loraci Soares Chaise
No eixo do y, ordenada tem: na posição O distância (OB) , sem 90º = 1
Na posição O distância(OB‟), sem 270º = -1
Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é
igual a soma dos quadrados da medida dos catetos (a2 =b2 +c2)
Foto: Loraci Soares Chaise
Foto: Loraci Soares Chaise
Observação
No ângulo BÂC = 90º
No ângulo ABC = 45º
No ângulo ACB = 45º
Considerando os triângulos ABC.
a = hipotenusa (lado oposto ao ângulo de 90º)
b, c = catetos
Sugestão para o(a) professor(a):
Fixar um EVA na mesa do(a) aluno(a) e fazer a montagem com o
material dourado como um quebra-cabeça, assim justifica o teorema de
Pitágoras.
Foto: Loraci Soares Chaise
A área do quadrado construído sobre o lado maior do triângulo retângulo
é igual a soma das áreas dos quadrados construídos sobre os dois lados
menores desse triângulo
Foto: Loraci Soares Chaise
Foto: Loraci Soares Chaise
Sugestão:
Senhor(a) professor(a) proporcione em diferente materiais triângulos
para desenvolver a percepção tátil e maior possibilidades de informações.
Quadrado ABCD
Foto: Loraci Soares Chaise
A figura do quadrado ABCD com a dobradura realizada marcou uma
diagonal BD no quadrado inicial formando dois triângulos retângulos.
Foto: Loraci Soares Chaise
Desse modo, podemos relacionar a medida de um lado de um quadrado
qualquer com a medida de uma das diagonais aplicando o teorema de
Pitágoras.
Obs: l = medida do lado
d= medida da diagonal
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo .
Foto: Loraci Soares Chaise
(a2 = b2 + c2)
Substituindo pelos dados do triângulo:
d2 = l2 + l2
d2 = 2l2
d = Ѵ2l2
d = l Ѵ2
Observando a figura abaixo.
O triângulo equilátero ABC, a dobradura realizada marcou a altura (h). O AD é
a mediana relativa a BC, D é o ponto médio de BC, então temos que o
triângulo eqüilátero ABC.
Foto: Loraci Soares Chaise
RESUMO:
AD mediana relativa ABC
D ponto médio de BC
med (BC) = l
2
h = altura
Foto: Loraci Soares Chaise
Triângulo ADB (D é ângulo reto).
Usando teorema de Pitágoras:
(a2 =b2 +c2)
Substituindo pelos dados do triângulo retângulo ADB
(l)2 = (h)2 + (l)2
(2)2 h2 = l2 - l2
4
h2 = 3 l2
4
h = Ѵ3l2
Ѵ4
h = lѴ3
2
RESUMO: temos duas fórmulas
quadrado: d = l Ѵ2
triângulo eqüilátero: h = l Ѵ3
2
EXERCÍCIOS
1. Qual é a medida de uma diagonal de um quadrado que tem 12 cm de
lado?
2. Um triângulo eqüilátero cujos lados medem 10 cm, qual é a medida da
altura?
3. Qual é a medida da altura de um triângulo eqüilátero cujos lados medem
8Ѵ3cm?
6º ENCONTRO
Razões Trigonométricas
Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo.
Todo ângulo agudo de um triangulo retângulo, definem-se;
seno de um ângulo agudo = medida do cateto oposto medida da hipotenusa
cosseno de um ângulo agudo = medida do cateto adjacente medida da hipotenusa
tangente de um ângulo agudo = medida do cateto oposto medida do cateto adjacente
Então:
sen ᵝ = CO
H
cos ᵝ = CA
H
tg β= CO
CA
Foto: Loraci Soares Chaise
Foto: Loraci Soares Chaise
Foto: Loraci Soares Chaise
Construir seno, cosseno e tangente de 30 graus conforme figura
acima.
Observando a figura acima, identifique os valores de seno, cosseno e
tangente de 30 graus.
sen 30º = CO
H
Substituindo por dados da figura acima
sen 30º = l/2
l
seno 30º = l . 1 = 1_
2 l 2
Cosseno do ângulo de 30 graus
cos 30º = CA
H
cos 30º = h
l
Substitua o valor em h(altura) pelo valor da altura do triângulo eqüilátero para
confirmar o valor.
cos 30º = Ѵ3
2
Tangente do ângulo 30 graus
tg 30º= CO
CA
tg 30º = l/2
h
Substituir o valor no h pelo valor da altura do triângulo eqüilátero para confirmar
o valor.
tg de 30º = Ѵ3
3
EXERCÍCIOS
1-Determine os valores de X e Y dos seguintes dados:
ângulo de 30º
cateto oposto = Y
cateto adjacente = X
hipotenusa = 4
Desenhe o triângulo e calcule.
2-Um aluno está com sua bengala apoiada no chão com o ângulo de 30º, a
distância da ponta da bengala no chão e seu pé é de um metro. Qual o
comprimento da bengala?
Construir as relações trigonométricas de seno, cosseno e tangente de 60 graus, use o mesmo processo de substituição das relações trigonométricas de 30 graus
Foto: Loraci Soares Chaise
Foto: Loraci Soares Chaise
seno 60º = CO
H
Substituir pelos dados da figura acima e confira o resultado de seno.
seno 60º = Ѵ3
2 Substituir pelos dados da figura acima e confira o valor do cosseno de 60 graus
cos 60º = CA
H
cos 60º = 1
2
Substituir pelos dados da figura acima e confira o resultado da tangente.
tg 60º= CO
CA
tg 60º = Ѵ3
7º ENCONTRO
Construir as relações trigonométricas do seno, cosseno e tangente de
45º conforme os dados a figura e conferir com o valor
seno 45º = CO
H
sen 45º = Ѵ2 2
cos 45º = CA
H
cos 45 = Ѵ2
2
tg 45= CO CA
Foto: Loraci Soares Chaise
ATIVIDADES
Conforme os dados dos ângulos cosseno, seno e tangente faça um
resumo das soluções sistematizando os ângulos que tem o mesmo
resultado
2- Num triângulo retângulo da figura, calcule
a) sen ᵝ
b) cos ᵝ
c) tag ᵝ
3-Uma torre vertical com 100 metros de altura sob um ângulo de 60º. Qual a
distância aproximada que o separa dessa torre?
3
5
4
ᵝ
4-Uma escada de 10 metros é encostada em uma parede vertical, formando
com esta um ângulo de 30º. A que distância dessa parede está o pé da
escada?
5-Quantos graus percorre o ponteiro das horas de um relógio de 16:30 até as
17:10?
8º ENCONTRO
Para diagnosticar o entendimento do aluno será pelo:
Reconhecimento e utilização das semelhanças de triângulos na
conceituação das razões trigonométricas.
O cálculo do seno, cosseno e tangente nos exercícios propostos.
Resolução de situações problemas utilizando o seno, cosseno e
tangente de ângulos de 30, 45 e 60 graus.
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