Osnove regulacijske tehnike

prof. dr.sc. Dario Matikaprof. dr.sc. Dario Matika

mr.sc. Dalibor Brnobić

Uvod

POJMOVI

� REGULACIJA – izvođenje nečeg po nekom

planu

� Regula (lat.) – obveza koja određuje način rada i

ponašanjaponašanja

� Regulirati

� značiti uspostaviti pravilan odnos među mehanizmima (stroj, aparat, uređaj, sprava i sl.),

� održavati proces u zadanim okvirima, ali tako da se promjene neke fizikalne veličine odvija po određenom zakonu (algoritmu funkcioniranja sustava)

Primjer - PROIZVODNJA

Energija

Materijali ROBA

TSRad

Kapital

Informacije

USLUGA

TS - TRANSFORMACIJSKI SUSTAV

TSREGULIRATI

SUŠTINA

� To su svrsishodni procesi koje regulira

čovjek da bi zadovoljio svoje potrebe

� To je organizirani skup djelovanja

sastavljen od:sastavljen od:

� Radnih operacija, i

� Operacija upravljanja

� I radne operacije i operacije upravljanja mogu

se djelomično ili u potpunosti odvijati uz

pomoć tehničkih uređaja

ZAMJENA ČOVJEKOVA RADA

� Mehanizacija – je zamjena čovjekova rada u

radnim operacijama sa tehničkim uređajima

� Automatizacija - je zamjena čovjekova rada u

operacijama upravljanja tehničkim uređajimaoperacijama upravljanja tehničkim uređajima

� Automatska regulacija – je zapravo promjena

neke fizikalne veličine po određenom zakonu

bez neposrednog sudjelovanja čovjeka

Što je potrebno regulirati?

� Početak, redoslijed i završetak radnih operacija

� Opskrbljivanje potrebnom

OBJEKT UPRAVLJANJA

potrebnom energijom i materijalom

� Odvijanje procesa sa stajališta iznosa neophodnih parametara

Paletizacija

Primjer – Programska regulacija

� Y=Y(x1, x2, …,xi ,.. xn)

� gdje su: xi – veličine

koje karakteriziraju

stanje objekta u tijeku regulacijskog procesaregulacijskog procesa

� PROGRAMATOR RADA

Servo-sustavi Miješalice Rezači

Robot - JASTOG

Robot - JASTOG

� Pokretan robot s 8 nogu po uzoru na jastoga� Predviđen za autonomno praćenje dna u

rijekama i/ili obalnom morskom pojasu s robusnom adaptacijom na neregularan oblik dna, djelovanje morske struje i valovitost priobalja.

� Algoritam upravljanja oponaša gibanje pravog jastoga.

� Aktuatorska i senzorska arhitektura je od visoko modulariziranih komponenata i male cijene zbog velikog broja jedinki u jatu.

Glista (lumprey) - biomimetički podvodni robot

Robot - GLISTA

� Robot glista namijenjen je za operacije autonomnog daljinskog praćenja u vodnom stupu s robusnim sustavom upravljanja po dubini/visini stupa, te velikom manevarskom sposobnošću.velikom manevarskom sposobnošću.

� Algoritam upravljanja oponaša gibanje gliste (zmijice).

� Aktuatorska i senzorska arhitektura su od visoko modulariziranih komponenata i iste su kao i za robot-jastoga.

Muha robot

Antenna azimuth position control system:

a. system concept;b. detailed layout;c. schematic;d. functional block diagram

MATEMATIČKI OPIS

Jednadžbe i integrali

� Proučavat ćemo linearne kontinuirane

sustave automatskog upravljanja

Moramo znati rješavati:� Moramo znati rješavati:

� Nehomogene linearne diferencijalne jednadžbe prvog i drugog reda

� Određene i neodređene integrale

Primjer – Lift (Elevator)

a. U početku su a. U početku su

upravljani od strane

operatora

b. Danas su potpuno

automatski – regulira

se pozicija i brzina

POSITION CONTROLE SYSTEM

ULAZ / IZLAZ

4

0

UKUPNI ODZIV SUSTAVA

UKUPNI ODZIV SUSTVA

PRIJELAZNI

(Transient

USTALJENI

(Steady – State

= +

(Total Response)

(Transient Response)

(Steady – State Response)

Yukupni odziv = Yprijelazni + Yustaljeni

Prisutna je greška (Steady - State Error)

PROBLEM – kako izračunati odziv sustava?

� Linearni vremenski nepromjenljiv sustav

(Linear Time Invariant System - LTIS)

� Takav sustav moguće je opisati uz pomoć

linearnih diferencijalnih jednadžbilinearnih diferencijalnih jednadžbi

� Simbolički zapis za sustav II – reda bio bi:

u(t) y(t)F(t, y, y’, y”) = 0

Lin.dif. jed. za sustav II - reda

y”+ay’+by=f(t)� Gdje je:

� a i b – koeficijenti (realni brojevi)� f(t) – neprekidna funkcija

� Ako je:� f(t)=0 – homogena diferencijalna jednadžba� U suprotnome je nehomogena diferencijalna

jednadžba

Opće rješenje:

y(t) = yhomogeno + ypartikularno = yho(t) + ypa(t)

Homogeno rješenjesastoji se isključivo iz

prirodnih modova

Partikularno rješenjepoprima formu

pobude

� Kako izgleda naš sustav?

� y(t)=g(t)*u(t) – Konvolucijski integral

pobude

u(t) y(t)g(t)

“Skladišta energije”

� Sustav najlakše oslobađa energiju po prirodnom modu (eksponencijalna funkcija) i najmanje otpora pruža signalu koji ima formu prirodnog moda

� Kako će se sustav ponašati ako posjeduje skladišta energije – oslobađa energiju?

u(t) y(t)g(t)

Prirodni mod (eksp.

funkcija)?????

ODZIV SUSTAVA

� PRORODNI ILI SLOBODNI ODZIV (eng. Natural Response)

� Sastoji se isključivo iz prirodnih modova

� FORSIRANI ILI PRINUDNI ODZIV (eng. Forced Response)

� Dobro je da pobuda bude iz klase eksponencijalnih funkcijamodova

� Pokazuje kako će se sustav ponašati odnosno kako će sustav trošiti u prošlosti sakupljenu energiju kada je prepušten sam

sebi: pobuda u(t)=0, za t<t0

� t0 – vrijeme do kada su se popunjavala skladišta energije

eksponencijalnih funkcija

� Sustav je pokrenut s punim skladištima energije

� pobuda u(t)≠0, za t≥t0

� Odziv sadrži komponente koje su posljedica djelovanja pobude

KOMPONENTE ODZIVA SUSTAVA

� PRIRODNI ODZIV – je rješenje homogene

diferencijalne jednadžbe koje se uvijek taži u

formi eksponencijalne funkcije

� FORSIRANI ODZIV - je partikularno rješenje

linearne diferencijalne jednadžbe za pobudu

iz klase eksponencijalnih funkcija

� UVJET: STABILNOST I TRAJNA POBUDA

Zašto?

� Ako se sustav nalazi u ravnotežnom stanju,

te ako njegova skladišta energije nisu prazna,

svaki kratkotrajni poremećaj impulsnog

karaktera pomaknut će sustav iz ravnoteže.karaktera pomaknut će sustav iz ravnoteže.

� Sustav će trošiti prije akumuliranu energiju na

gibanje kao posljedicu na koju je natjeran

kratkotrajnim poremećajem

� No, kada takav poremećaj ima prirodni mod

tada sustav:

Zašto?

a) Ne pruža otpor takvim signalima

b) Oslobađa svoju energiju

Učinak rezonancije:Učinak rezonancije:

� Nastupa kod prirodnih modova koji odgovaraju konjugirano-kompleksnim svojstvenim vrijednostima

� Naime, se sustav pobudi harmonijskim signalom čija frekvencija odgovara frekvenciji konjugirano-kompleksnog para svojstvenih vrijednosti, tada će nastupiti rezonancija

POJAČANJE SUSTAVA

Laplaceove transformacije

Po volji odabranoj funkciji f(t) može se

pridružiti druga funkcija F(s) pomoću

Laplaceove transformacije gdje je:

� f(t) – original ili gornja funkcija

� F(s) – slika originala ili donja funkcija

Transformacija

f'(t) F(s)

Λ

F(s)=Λ[f(t)]f'(t)

f(t)

{A}

F(s)

Λ[f(t)]

{B}

Λ-1

f(t)=Λ-1[F(s)]

Laplasov integral

0

( ) ( )st

F s e f t dt

∞−= ∫

Primjer br. 1:∞ ∞

Primjer br. 1:

( )t

f t e=

( ) ?F s =

0 0

( ) ( )st st t

F s e f t dt e edt

∞ ∞− −= = ⋅ =∫ ∫

1( )

1F s

s=

−

Rješenje

(1 ) (1 )

0 00 0 0

(1 )1 1 1

(1 )1 1 1 1

1

1

ps t p p s t

p s te

e dt dp s dt dp e dp e es s s s

dt dps

∞ ∞ ∞ ∞ ∞− −

= −

= = = − = = = | = | = − − − − =

−

∫ ∫ ∫

1 s−

[ ](1 ) (1 ) 01 1lim 1 ;

1 1

s t s

te e L

s s

− − ⋅

→∞ = − = − − −

(1 )lim lim 0

ts t

stt t

eL e

e

−

→∞ →∞= = → 1

( )1

F ss

=−

PONOVITI

� Laplasove transformacije

� Korištenje Laplasovih tablica

� Pravila primjene Laplasovih transformacija

� Inverzna Laplasova transformacija

Diferncijalne jednadžbe

� Kako koristiti Laplasove tablice?

Primjer br. 2:Riješite diferencijalnu jednadžbu uz pomoć Laplaceove

transformacije:

't

y y e+ =(0) 3y =

( ) ?y t =

transformacije:

Rješenje:

5 1( )

2 2

t ty t e e

−= +

Rješenje:

� Laplasova transformacija

[ ]' 't t

y y e y y e + = → + = L L

� Teorem o deriviranju originala

Y’ sY(s) – Y(0)

Y Y(s)

� Teorem sličnosti (Laplasove tablice)

Laplasova transformacija

[ ]'t

y y e + = L L

Dobivamo:[ ] [ ]'

ty y e + = L L L

1( ) (0) ( )

1sY s y Y s

s− + =

−

3 2( )

( 1)( 1)

sY s

s s

−=

+ −

Rastavljanje na pribrojnike

� Metoda proporcionalnih razlomaka

1 23 2

( )( 1)( 1) 1 1

k ksy s

s s s s

−= = +

+ − + −

� Metoda rezidija

( ) ( )i

i is s

k s s y s=−

= + ⋅

Inverzna Laplasova transformacija

� Rezultat: 5 1

2 2( )1 1

Y ss s

= ++ −

� Inverzna transformacija:

� Rješenje:

[ ]1 1 15 1 1 1( )

2 1 2 1Y s

s s

− − − = + + − L L L

5 1( )

2 2

t ty t e e

−= +

Fizikalni model

m x ( t ) = ?

k

Primjer br. 3:

m

f ( t ) = s i n t

x ( t ) = ?

Z a d a n o : m = 1 k g

k = 2 N m - 1

1 ) S l u c a j : x ( 0 ) = 0 i x ´ ( 0 ) = 0

2 ) S l u c a j : x ( 0 ) = 2 i x ´ ( 0 ) = 4

Diferncijalna jednadžba sustava

( ) ( ) ( ) sinmx t kx t f t t+ = =&&

� Uvjeti: (0) 0x = (0) 0x =&

Laplasova transformacija

sint 2

2

1( ) ( )

1ms X s kX s

s+ =

+21s +

2

2 2 2

1 1( )( 2) ( )

1 ( 2)( 1)X s s X s

s s s+ = ⇒ =

+ + +

Rastavljanje na pribrojnike

1 2

2 2 2 2

1( )

( 2)( 1) 2 1

k kX s

s s s s= = +

+ + + +

2 2 2 2

1 1 1( )

( 2)( 1) 1 2X s

s s s s= = −

+ + + +

Inverzna Laplasova transformacija

2 2sin

aa t

s a+ò

1 1sin atò

1 1sin 2 t⋅ò

� Rješenje:

2 2

1 1sin at

s a a+ò 2

1 1sin 2

2 2t

s⋅

+ò

1( ) sin sin 2

2x t t t= − ⋅

Fizikalni model

Primjer br. 4:m

f ( t ) = s in t

x ( t ) = ?

k

B

4 3 1 4 k

Z a d a n o : m = 1 k g

k = 4 N m - 1

B = 4

x ( t ) = ? ; x ( 0 ) = 0 ; x ´ ( 0 ) = 0

2

2

4 3 1 4( ) cos sin ( ) ( )

25 25 5 25

14cos 3sin (5 4) ( )

25

t

t

x t t t t e S t

t t t e S t

−

−

= − + + + ⋅ ⋅ =

= − + + + ⋅ ⋅

Lekcije

1. Laplaceove transformacije

2. Matematičko opisivanje komponenti sustava

3. Analogne električne sheme

4. Prijenosne funkcije električnih mreža (Funkcija prijenosa)4. Prijenosne funkcije električnih mreža (Funkcija prijenosa)

5. Prijelazna karakteristika sustava

6. Prijenosne funkcije složenih sustava

7. Amplitudno-fazne frekvencijske karakteristike

8. Numerički i grafički kriteriji stabilnosti ravnotežnog stanja

9. Točnost sustava regulacije

10. Statički i dinamički pokazatelji regulacije

11. Topologija (struktura) regulatora

12. Upravljanje sustavima pomoću varijabli stanja