1
Para as 2 questões a seguir use o enunciado:
Pesquisas mostram que, em modalidades que exigem bom condicionamento
aeróbico, o coração do atleta dilata, pois precisa trabalhar com grande volume de
sangue.
Em um esforço rápido e súbito, como um saque no tênis, uma pessoa normal pode
ter o pulso elevado de 70 a 100 batimentos por minuto; para um atleta, pode se
elevar de 60 a 120 bpm, como mostra o gráfico abaixo.
01. A expressão da função f que, a cada t segundos, 0 ≤ t ≤ 4, faz corresponder o
número f(t), de batimentos cardíacos do atleta é
a) f(t) = 15t + 60
b) f(t) = 10t + 80
c)
≤≤+<≤+
=42,8010
20,6020)(
tset
tsettf
d)
≤≤+<≤+
=42,6015
20,6020)(
tset
tsettf
e)
≤≤+<≤+
=42,8010
20,6015)(
tset
tsettf
Resposta: C
2
Para 0 ≤ t < 2 f(t) = ax + b P(0, 60) 60 = b Q(2, 100) 100 = 2a + b 100 = 2a + 60 a = 20 f(t) = 20t + 60 Para 2 ≤ t ≤ 4 f(t) = at + b Q(2, 100) 100 = 2a + b R(4, 120) 120 = 4a + b
80
10202
1204
1002
==→=
=+=+
b
aa
ba
ba
f(t) = 10t + 80
02. Se o aumento dos batimentos cardíacos de uma pessoa normal ocorre de forma
linear, então os números de batimentos cardíacos do atleta e de uma pessoa normal
serão iguais, após quantos segundos do momento do saque?
a) 0,8
b) 0,78
c) 0,75
d) 0,64
e) 0,6
Resposta: A Para atleta: f(t) = 20t + 60 Para pessoa normal: f(t) = at + b P(0, 70) 70 = b S(4, 100) 100 = 4a + 70 4a = 30 a = 7,5 f(t) = 7,5t + 70 Para que sejam iguais:
3
20t + 60 = 7,5t + 70 12,5t = 10 t = 0,8 s
03. Seja f: R → R uma função definida por f(x) = mx + p. Se f passa pelos pontos
A(0,4) e B(3,0), então f-1 passa pelo ponto
a) (8, -2)
b) (8, 3)
c) (8, -3)
d) (8, 2)
e) (8, 1)
Resposta: C f(x) = ax + b A(0, 4) 4 = b B(3, 0) 0 = 3a + 4 -4 = 3a a = -4/3 f(x) = -4x/3 + 4
)3,8(
34
12
4
2412)8(
4
8.312)8(
4
312)(
4
123
41233
44
43
4
43
4
1
1
1
−
−=−=−=
−=
−=
−−=
−=−
−=−
+−=
+−=
−
−
−
P
f
f
xxf
xy
yx
yx
yx
xy
4
04. Na figura a seguir, tem-se o gráfico de uma reta que representa a quantidade,
medida em mL, de um medicamento que uma pessoa deve tomar em função de seu
peso, dado em kgf, para tratamento de determinada infecção.
O medicamento deverá ser aplicado em seis doses.
Assim, uma pessoa que pesa 85kgf receberá em cada dose:
a) 7 mL
b) 9 mL
c) 8 mL
d) 10 mL
Resposta: B f(x) = ax + b A(25,12) 12 = 25a + b B(65, 40) 40 = 65a + b
5
mL
f
f
xxf
b
b
b
ab
a
a
ba
ba
96
54
5410
540
10
55
10
595)85(
10
5585
10
7)85(
10
55
10
7)(
10
55
10
17512010
17512
10
72512
251210
7
40
28
2840
1225
4065
=
==−=
−=
−=
−=−=
−=
−=
−=
==
=
−=−−=+
05. Um grande poluente produzido pela queima de combustíveis fósseis é o SO2
(dióxido de enxofre). Uma pesquisa realizada na Noruega e publicada na revista
"Science" em 1972 concluiu que o número (N) de mortes por semana, causadas pela
inalação de SO2, estava relacionado com a concentração média (C), em mg/m3, do
SO2 conforme o gráfico a seguir: os pontos (C, N) dessa relação estão sobre o
segmento de reta da figura.
Com base nos dados apresentados, a relação entre N e C (100 ≤ C ≤ 700) pode ser
dada por:
a) N = 100 - 700 C
b) N = 94 + 0,03 C
6
c) N = 97 + 0,03 C
d) N = 115 - 94 C
e) N = 97 + 600 C
Resposta: B f(x) = ax + b A(100, 97): 97 = 100a + b B(700, 115): 115 = 700a + b
CN
xxf
b
b
ab
a
a
ba
ba
03,094
94100
3)(
94397100
3.10097
10097100
3
600
18
18600
97100
115700
+=
+=
=−=
−=
−=
==
=
−=−−=+
06. O gráfico representa uma função f que descreve, aproximadamente, o movimento
(em função do tempo t em segundos) por um certo período, de um golfinho que salta
e retorna à água, tendo o eixo das abscissas coincidente com a superfície da água.
7
a) Sabendo que a parte negativa do gráfico de f é constituída por segmentos de
retas, determine a expressão matemática de f nos instantes anteriores à saída do
golfinho da água. Em que instante o golfinho saiu da água?
b) A parte positiva do gráfico de f é formada por parte de uma parábola, dada por:
f(t) = (- 3/4) t2 + 6t - 9.
Determine quantos segundos o golfinho ficou fora da água e a altura máxima, em
metros, atingida no salto.
Resposta: f(x) = ax + b a) A(0, -4) -4 = b B(1, -2) -2 = a + b -2 = a - 4 a = 2 f(x) = 2x – 4 P/ y = 0: 0 = 2x – 4 4 = 2x x = 2 b) f(t) = (- 3/4) t2 + 6t - 9. Aplicando Báskara: t1 = 2 e t2 = 6. O golfinho sai da água em t = 2 e retorna em t = 6. Logo ele fica fora da água por 4 segundos.
metrosy
y
y
a
bx
V
V
V
V
3
92412
94.64
4.3
4
2
36
4
3.2
6
2
2
=−+−=
−+−=
=−−=
−−=−=
07. Considere as funções f e g, ambas com domínio e contradomínio real, dadas por
f(x) = 5x - 2 e g(x) = x2 – 6x + 1, para qualquer x real. A respeito dessas funções,
assinale o que for correto.
01) A imagem de qualquer número racional, pela função f, é um número irracional.
02) A função g possui uma única raiz real.
8
04) Ambas as funções são crescentes no intervalo [0,+∞[ do domínio.
08) O gráfico da função f o g é uma parábola.
16) Ambas as funções possuem inversas.
Resposta: 09 01) f(x) = 5x - 2 f(a) = 5a - 2 , que é irracional 02) ∆ = b2 – 4ac ∆ = (-6)2 – 4.1.1 ∆ = 36 – 4 = 32 ∆ > 0, logo g tem 2 raízes reais. 04) g(x) não é crescente em todo o intervalo dado. 08) f o g = 5(x2 – 6x + 1) - 2 f o g = 5x2 – 30x + 5 - 2 que é função quadrática. Logo o gráfico é uma parábola. 16) g(x) não possui inversa.
08. Resolvendo a equação real 9x – 3x+1 - 4 = 0, têm-se:
a) x = 0
b) 3x = 4
c) x = 1
d) x = 2
e) 4x = 3
Resposta: B 9x – 3x+1 - 4 = 0 32x – 3x+1 – 4 = 0 Fazendo 3x = y y2 – 3y – 4 = 0 y1 = 4 e y2 = -1 (não serve) 3x = 4
09. Um barco parte de um porto A com 2x passageiros e passa pelos portos B e C,
deixando em cada um metade dos passageiros presentes no momento de chegada, e
recebendo, em cada um, 2x/2 novos passageiros. Se o barco parte do porto C com 28
passageiros e se N representa o número de passageiros que partiram de A, é correto
afirmar que:
a) N é múltiplo de 7
b) N é múltiplo de 13
c) N é divisor de 50
9
d) N é divisor de 128
e) N é primo
Resposta: D
128log
128.
01284
5622
282
22
:2
2
2.22
2
22
22.22
2
2222.222.2
22
222
2
22
22
22
2
22
22
1
21
2
2
2
2
22
2212
221
2
2
2
2
demúltiploéao
aa
aa
aa
aa
aFazendox
xxxxx
xxx
xxx
xx
xxxx
x
xx
xxx
−==−+
=+
=+
=
=+
=−+
=+−−+−
=+−−+−
=
+−−
+
+−+
−
−
10. Determine uma das soluções da equação 1000
110 42
=−x .
Resposta: x1 = 1 e x2 = - 1
11
1
34
1010
1000
110
21
2
2
34
4
2
2
−===
−=−
=
=
−−
−
xex
x
x
x
x
10
11. A inflação anual de um país decresceu no período de sete anos. Esse fenômeno
pode ser representado por uma função exponencial do tipo f(x) = a.bx, conforme o
gráfico a seguir.
Determine a taxa de inflação desse país no quarto ano de declínio.
Resposta: 60 f(x) = a.bx P/ (0, 960) 960 = a.b0 ⇒ a = 960 P/ (7; 7,5) 7,5 = 960.b7 b7 = 1/27 b = ½ f(x) = 960.(½)x P/ x = 4 f(4) = 960.(½)4 f(4) = 60
12. Ao resolver uma questão, José apresentou o seguinte raciocínio: "Como ¼ > 1/8
tem-se (1/2)2 > (1/2)3 e conclui-se que 2 > 3."
a) Identifique o erro que José cometeu em seu raciocínio, levando-o a essa
conclusão absurda.
b) Sem cometer o mesmo erro que José, determine o menor número m, inteiro e
positivo, que satisfaz à inequação 14
4
1
2
1+
>
mm
Resposta: a) Tem-se uma inequação de base a, com 0 < a < 1. Para resolvê-la deve-se inverter a desigualdade. Assim, (1/2)2 > (1/2)3, então, 2 < 3. b)
11
02
0422
04
22
224
2
1
2
1
4
1
2
1
2
2
224
14
>−+
>−+
>−+
+<
>
>
+
+
mm
m
mm
mm
mm
mm
mm
O menor inteiro positivo que satisfaz a inequação é 2.
13. A automedicação é considerada um risco, pois, a utilização desnecessária ou
equivocada de um medicamento pode comprometer a saúde do usuário: substâncias
ingeridas difundem-se pelos líquidos e tecidos do corpo, exercendo efeito benéfico ou
maléfico.
Depois de se administrar determinado medicamento a um grupo de indivíduos,
verificou-se que a concentração (y) de certa substância em seus organismos
alterava-se em função do tempo decorrido (t), de acordo com a expressão tyy 5,00 2−=
em que y³ é a concentração inicial e t é o tempo em hora. Nessas circunstâncias,
pode-se afirmar que a concentração da substância tornou-se a quarta parte da
concentração inicial após:
a) 1/4 de hora
b) meia hora
c) 1 hora
d) 2 horas
e) 4 horas
Resposta: E
12
42
2
22
24
2
5,02
5,00
0
5,00
=
−=−
=
=
=
−−
−
−
t
t
yy
yy
t
t
t
14. Na figura, os gráficos I, II e III referem-se, respectivamente, às funções y = ax, y =
bx e y = cx. Então, está correto afirmar que:
a) 0 < a < b < c
b) 0 < b < c < a
c) a < 0 < b < c
d) 0 < a < c < b
e) a < 0 < c < b
Resposta: D Pela análise direta das alternativas, percebe-se que a < c < b. Nas funções exponenciais tem-se sempre a base > 0. Então, 0 < a< c < b.
15. A trajetória de um salto de um golfinho nas proximidades de uma praia, do
instante em que ele saiu da água (t = 0) até o instante em que mergulhou (t = T), foi
descrita por um observador através do seguinte modelo matemático tttth 2,02.4)( −= ,
com t em segundos, h(t) em metros e 0 ≤ t ≤ T. O tempo, em segundos, em que o
golfinho esteve fora da água durante este salto foi
a) 1.
b) 2.
13
c) 4.
d) 8.
e) 10.
Resposta: E
10
22,0
2.2
2.4022,0
2,0
===−=
t
t
tt
ttt
t
16. Suponha que o modelo exponencial y = 363e0,03x, em que x = 0 corresponde ao
ano 2000, x = 1 corresponde ao ano 2001, e assim sucessivamente, e que y é a
população em milhões de habitantes no ano x, seja usado para estimar essa
população com 60 anos ou mais de idade nos países em desenvolvimento entre 2010
e 2050. Desse modo, considerando e0,3 = 1,35, estima-se que a população com 60
anos ou mais estará, em 2030, entre
a) 490 e 510 milhões.
b) 550 e 620 milhões.
c) 780 e 800 milhões.
d) 810 e 860 milhões.
e) 870 e 910 milhões.
Resposta: E y = 363e0,03x y = 363e0,03.30 y = 363e0,9 y = 363(e0,3)3 y = 363.1,353 y = 363.2,46 y = 892,98
17. Nos processos industriais, como na indústria de cerâmica, é necessário o uso de
fornos capazes de produzir elevadas temperaturas e, em muitas situações, o tempo
de elevação dessa temperatura deve ser controlado, para garantir a qualidade do
produto final e a economia no processo. Em uma indústria de cerâmica, o forno é
programado para elevar a temperatura ao longo do tempo de acordo com a função
14
≥+−
<≤+=
100,3205
16
125
2
1000,205
7
)(2 tparatt
tparattT , em que T é o valor da temperatura atingida pelo
forno, em graus Celsius, e t é o tempo, em minutos, decorrido desde o instante em
que o forno é ligado. Uma peça deve ser colocada nesse forno quando a temperatura
for 48 °C e retirada quando a temperatura for 200 °C. O tempo de permanência dessa
peça no forno é, em minutos, igual a
a) 100.
b) 108.
c) 128.
d) 130.
e) 150.
Resposta: D
utost
t
t
ttT
min205
728
205
748
205
7)(
=
=
+=
+=
)(50150
07500200
0605
8
125
01205
16
125
2
3205
16
125
2200
21
2
2
2
2
servenãotet
tt
tt
tt
tt
===+−
=+−
=+−
+−=
Tempo total = 150 – 20 = 130 minutos
18. Sobre a função quadrática f(x) = x2 – mx + (m + 3), onde m ∈ R, assinale o que
for correto.
01) Se m < –2 ou m > 6, f(x) admite duas raízes distintas.
02) Se m = 2, f(x) tem duas raízes iguais.
04) Se m = 4, f(x) tem um ponto de máximo em x = 2.
15
08) Se –2 < m < 6, f(x) não tem raízes reais.
16) Se m < –3, f(x) admite duas raízes distintas e positivas.
Resposta: 09 f(x) = x2 – mx + (m + 3) Delta: (- m)2 – 4.1.(m + 3) Delta: m2 – 4m – 12 m1 = - 2 e m2 = 6
Se m < –2 ou m > 6, f(x) admite duas raízes distintas Se -2 < m < 6 não admite raízes reais Se m = -2 ou m = 6 admite 1 raiz real Se m = 4: f(x) = x2 – 4x + 7
22
42
==
−=
V
V
x
a
bx
xV = 2 é ponto de mínimo
19. A função quadrática f(x) = ax2 + bx + c é tal que f(0) = 3, f(1) = 4 e f(–1) = 0.
Nessas condições, assinale o que for correto.
01) O gráfico de f(x) é uma parábola com a concavidade voltada para baixo.
02) f(x) não intercepta o eixo x.
04) f(x) > 0 para todo x no intervalo ]–1, 3[.
08) f(x) é decrescente no intervalo [0, ∞[.
16) A imagem de f(x) é { 1/ ≤∈ yRy }.
Resposta: 05 f(x) = ax2 + bx + c f(x) = 3, então c = 3 f(1) = 4, então a + b + 3 = 4 a + b = 1 f(-1) = 0, então a – b + 3 = 0 a – b = -3
−=−=+
3
1
ba
ba
a = -1 b = 2 f(x) = -x2 + 2x + 3
16
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y