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5/11/2018 Parabola Ejercicios - slidepdf.com

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Tópicos de Geometría Analítica.

10122009

Tema 25. Parábolas con vértice fuera del origen.

A diferencia de las Parábolas con Vértice en el Origen las cuales solo pueden abrirse

hacia cuatro lados (por lo menos las más simples), desde el punto de origen decualquier sistema coordenado cartesiano, el resto de parábolas pueden estarcolocadas en cualquier lugar del mismo, pero igual que las otras se abren hacia cuatrolados (arriba, abajo, derecha e izquierda), a estas últimas se les designa con el

nombre de Parábolas con Vértice Fuera del Origen.

Don René Descartes decía:

Caso 1. Si la parábola se abre a la derecha serelaciona con la ecuación:

(y-k) 2 = 4p(x-h)

Caso 2. Si la parábola se abre a la izquierda se relaciona con la ecuación:

(y-k) 2 = – 4p(x-h)

Caso 3. Si la parábola se abre hacia arriba se relaciona con la ecuación:

(x-h) 2 = 4p(y-k)

Caso 4. Si la parábola se abre hacia abajo se relaciona con la ecuación:

(x-h) 2 = – 4p(y-k)

Esta vez será solo teoría. Resolvamos un problema…

http://iguerrero.wordpress.com/2009/12/10/topicos-de-geometria-analitica-36/







http://iguerrero.files.wordpress.com/2009/12/parabola-vfo.png






Sea la ecuación: (y-3) 2 = – 8(x+2) ¿Qué datos puedes obtener con solo analizar la ecuación?

Solución.

1. La ecuación se “parece” al caso 2, entonces la parábola tiene su Vértice Fuera del Origen y

además se abre a la izquierda.

2. La Longitud del Lado Recto (4p) de la parábola es de 8 unidades.

3. La distancia del Vértice al Foco (valor de p) de la parábola es:

|4p|=|8|; p=|8/4|= 2 Unidades.

4. Las coordenadas del Vértice de la parábola son: P(h, k), es decir: P(-2, +3). Son los

números que forman un binomio con la X y la Y de la ecuación.

5. Si el valor de p es 2 quiere decir que la parábola tiene su Foco a 2 unidades a la izquierda

del Vértice , por lo tanto sus coordenadas serán: F(-4, 3).

6. Igual que el punto anterior, la Directríz estará desplazada a 2 unidades, solo que hacia la

derecha del Vértice por lo tanto su ecuación será:

X=0, coincidiendo exactamente con el eje Y del sistema coordenado.

Ahora bien, con todos estos datos ya puedes “ver” la gráfica correspondiente la cual seríasemejante a la que te muestro arriba.

Pero… ¿A qué conclusión nos lleva todo esto?

La conclusión inmediata es que con solo analizar una ecuación puedes darte cuenta de que

figura se trata, y cuáles son sus características particulares.

Otra forma de saber lo mismo es graficando la ecuación, pero es más sencillo A-NA-LI-ZAR las

expresiones, tal es uno de los objetivos de la Geometría A-NA-LI-TI-CA.

http://iguerrero.files.wordpress.com/2009/12/parabola-vfo-problema1.png




4122009

Tema 24. Distancia entre dos rectas paralelas.

Si alguien te preguntara ¿Cuál es la distancia existente entre el par de rieles de la vía del ferrocarril? Lo más probable es que la obtendrías midiendo con una cinta de un riela otro formando una perpendicular entre ambos, lo cual está bien, solo que esa es laantigua geometría de Euclides, la cuestión es: ¿cómo hacer lo mismo aplicando la

geometría moderna de R. Descartes que ya sabemos que es más exacta y no requiere

reglas escuadras ni compaces?

Te diré tres formas de hacerlo aplicando la Geometría Analítica .

Si ya sabes calcular la distancia de un punto a una

recta te resultará sencillo determinarla entre dos rectas que sonPARALELAS . Veamos unproblema.

Hallar la distancia entre las rectas:

1) y=2x+1; 2) y=2x-4

Solución…

Puesto que ambas rectas están expresadas de la forma: y=mx+b es fácil determinar su

pendiente (m), que en este caso es 2 Para que sean paralelas recuerda que su pendiente debeser igual (coeficiente de x).

De lo anterior deducimos que una recta PERPENDICULAR a las otras dos tendría unapendiente: m = -1/2

Un punto de una de las dos rectas, por ejemplo de: y=2x+1 sería:

Si x=1; entonces: y=(2)(1)+1=2+1=3; por lo tanto las coordenadas de uno de sus puntos son:

P(1, 3)





Entonces si ya conocemos las coordenadas de un punto P(1, 3) y ya tenemos la ecuación de la

otra recta: y=2x-4 que es PARALELA podemos aplicar la fórmula de Descartes para calcular ladistancia entre un punto y una recta, solo necesitamos expresar la ecuación de la recta 2) en la

forma general para saber cuáles son los valores: A, B y C.

Procedamos pues…

y=2x-4

-2x+y+4=0; por lo tanto: A=-2; B=1; C=4

Ahora sí, sustituyendo datos en la fórmula de Descartes…

d= |(-2)(1)+(1)(3)+4|/±√[(-2)2+(1)2]

d= |-2+3+4|/±√[4+1]

d= |5|/±√5

d= 5/±2.23

d = ± 2.24 Unidades.

Pero… qué tal si comprobamos el resultado anterior encontrando dos puntos por donde paseuna perpendicular a ambas rectas y aplicamos la fórmula de la distancia entre dos puntos,también ¡Obvio! de R. Descartes.

Hagámoslo…

Ya tenemos un punto P(1, 3) y la pendiente: m=-½ de la recta PERPENDICULAR a ambas

rectas PARALELAS entonces podemos conocer la ecuación de la recta que pasa por dicho

punto. Sustituyamos pues ambos datos en la fórmula y-y 1=m(x-x 1 ) de Descartes para

determinar la ecuación.

y-3=-1/2(x-1)

y=-1/2x+1/2+3

y=-1/2x+7/2

Ok´ ya tenemos la ecuación de la recta que pasa por P(1, 3) y que es PERPENDICULAR a

ambas PARALELAS, ahora tenemos que encontrar las coordenadas del otro punto mismo queresulta de la intersección de la PERPENDICULAR con la recta 2) y=2x-4

Igualando ambas ecuaciones…

y = y

2x-4 = -½x+7/2

2x+½x = 7/2+4

2.5x = 3.5+4

2.5x = 7.5

x = 7.5/2.5

x = 3



Sustituyendo en la ecuación 2)

y = 2x-4 = (2)(3) – 4 = 2

Bien entonces las coordenadas del puntode intersección (o de cruce) de la PERPENDICULARcon la otra recta PARALELA son: Q(3, 2)

Ahora sí, apliquemos la fórmula de la distancia entre dos puntos: d=√[(x 2 -x 1 ) 2 +(y 2 -y 1 )

2 ]

Sustituyendo datos…

d = √[(3-1)2 +(2-3)2 ]

d = √[(2)2 +(-1)2 ]

d = √[4 + 1]

d = √5

d = 2.23 Unidades.

Como podrás observar el resultado es prácticamente igual, la pequeña diferencia se da por lasdecimales que se recortan al momento de estar dividiendo las fracciones, si utilizas todas las

decimales el resultado es exactamente el mismo.

Pero, pero, pero… hay otra manera todavía más sencilla de hacerlo, simplemente utiliza lafórmula:

En donde: b 1 y b 2 son los términosindependientes de ambas ecuaciones y m es la pendiente de las rectas paralelas.

Sustituyendo datos…

d = [b 1-b 2 ] / ±√[1+m2 ]

d = [1-(- 4)] / ±√[1+2 2 ]

d = [1+4] / ±√[1+4]

d = 5 / ±√5

d = ± 2.24 Unidades.

Bueno… ¿y físicamente todo lo anterior en dónde diablos puedes aplicarlo?

Si por ejemplo necesitaras calcular la distancia entre dos banquetas paralelas, entre dos rieles

de las vías del tren, entre dos paredes paralelas, entre dos galaxias en forma de espiral por lascuales pasan dos paralelas, etc., en cualquier lugar en donde existan dos cosas u objetos que

parezcan dos rectas PARALELAS.



Solo por practicar calcula la distancia entre ambas rectas representadas por las ecuaciones:

…………………..

1) y=-4x-2

2) y=-4x+3

…………………..

1) y=(1/2)x + 1

2) y=(1/2)x +4

…………………..

1) y=x+3

2) y=x-5

…………………..




Tema 23_c. Distancia de un punto a una Recta.

¿Que cómo lo hizo don René Descartes?

¡Bah! Como no tenía nada más importante que hacer (debes saber que en el año 1620(±) no había computadoras, internet para “chatear”, cine, “discos”, y demásdistractores comunes de la actualidad), entonces inventó una fórmula (¡Bendito Dios!)para calcular más fácil, rápidamente y con precisión (sin reglas, escuadras ni compás)la distancia de un punto a unarecta. Es la fórmula que te muestro a continuación.

Pero… ¿Cómo interpretarla? ¿Quién demonios es A, B y C? y ¿quién es X e Y? ¿Y qué con

las dos barritas verticales que encierran al numerador?

A, B y C, son los coeficientes de la ecuación general de la recta hacia la cual quieres

determinar la distancia (la pared). X e Y son las coordenadas del punto desde el cual quierescalcular la distancia (o sea tu persona); las dos barritas verticales que encierran al numerador

indican un valor absoluto, es decir que no importa el signo del resultado de la operación.

Para nuestro caso tenemos el punto: P(1, 6) y la recta: y=x-2, entonces…

Primero convirtamos la ecuación y=x-2 que está expresada de la

forma y=mx+b, a la formaAx+By+C=0 (forma General de la ecuación de una recta). Parahacerlo simplemente “pasamos” todos los términos del lado izquierdo del signo igual.

y=x-2, trasponiendo y reacomodando términos quedaría…

-x+y+2=0; por lo tanto: A=-1; B=1 y C=2


http://iguerrero.files.wordpress.com/2009/11/distpuntorecta3.png

http://iguerrero.files.wordpress.com/2009/11/distpuntorecta3.png




Y del punto P(1, 6); x=1; y=6; sustituyendo en la fórmula quedaría:

d= |(- 1)(1)+(1)(6)+2| / ±√[( -1)2 +(1)2 ] d = |- 1+6+2| / ±√[1+1] d =|7| / ±√2 d = 7 / ±1.4142

d = 4.94 Unid. (Metros, centímetros, kilómetros o lo que se te pegue la gana en unidades delongitud).

Exactamente lo mismo que con el procedimiento descrito en los temas anteriores.

¿¡Qué tal!? A poco no es más sencillo…

sOLo pOr pRAcTICAr reSUeLVe LOs sIGUIeNTes eJErCIciOS .Leer el resto de esta

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Categorías : Geometría Analítica.


27112009

Tema 23_b. Distancia de un punto a una Recta.

¿Entonces cómo lo hizo? ¿Cómo determinó Descartes la pendiente (m) de la recta que

es perpendicular a la recta: y=x-2?

¡Fácil! ¿Recuerdas el tema de perpendicularidad entre dos rectas?

http://iguerrero.wordpress.com/2009/12/02/topicos-de-geometria-analitica-34/#more-19262




http://iguerrero.wordpress.com/2009/12/02/topicos-de-geometria-analitica-34/#respond



http://iguerrero.wordpress.com/category/geometria-analitica/
















Dos rectas expresadas de la forma: y=mx+b sonperpendiculares entre sí, si sus pendientes son inversas y de signo contrario (o recíprocamente

inversas y de signo contrario), es decir, si por ejemplo una tiene pendiente igual a: 2, la otradeberá tener una pendiente igual a: -1/2. Otro ejemplo: si una tiene una pendiente de 4/5 la otra

tendrá una pendiente de -5/4 Por lo tanto para el caso que tenemos en donde conocemos la

recta y=x-2; cuya pendiente es 1 (coeficiente de x) la perpendicular a ella debe tener unapendiente de: – (1/1)= -1

Entonces ya tenemos los datos necesarios para determinar la ecuación de la recta

perpendicular a la recta: y=x-2, y son: P(1, 6) y m=-1; los cuales sustituyéndolos en la fórmula

de Descartes: y-y 1=m(x-x 1 ) quedaría:

y-6=-1(x-1)

y = -x+1+6 y = -x+7

Bien… ya tenemos las dos ecuaciones que nos permiten determinar las coordenadas del

punto de intersección de las rectas que representan.

1) y = x-2 2) y = -x+7

Al colocar las dos ecuaciones (juntándolas de la manera anterior) se forma un sistema deecuaciones lineales de primer grado, mediante el cual, al resolverlo, se determina un valor

para x y otro para y , que son precisamente las coordenadas del punto de intersección entreambas rectas. Para hacerlo utilizaremos el método de igualación,pero igual puedes utilizar

otro procedimiento por ejemplo el de reducción.

Si y=y, entonces:

x-2=-x+7; resolviendo quedaría…Leer el resto de esta entrada »

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23112009

Tema 23_a. Distancia de un punto a una Recta.

Si alguien te preguntara ¿Cuál es la distancia de ti hacia la pared más próxima,

contestarías midiéndola en línea recta hacia qué punto de ella?

Lo cierto es que cuando se trata de distancias el que pregunta (o contesta) debe sermuy claro en su cuestionamiento (o respuesta), porque no es igual medirla de ti alpunto más alto de una pared, o al más bajo o hacia un lado o hacia otro.

Si el que te pregunta no especificara el lugar de la pared alque quisiera saber la distancia, entonces, lo más lógico es medirla en línea “recta” al punto dela pared más cercano a ti.

Entonces, de la figura… ¿Cuál de las tres rectas determina la distancia de la persona a la pared mostrada?

Evidentemente la recta dos.

Ahora bien, la recta 2 tiene una característica “especial” respecto de las demás,esPERPENDICULAR de la pared hacia ti (o viceversa). Entonces, cuando se trate de medir

físicamente la distancia de una persona hacia una pared de la cual no se especificó ningún

punto, la medición debe hacerse siempre en forma perpendicular.

Todo lo anterior expresado “matemáticamente” significaría que:

La distancia de un punto a una recta siempre tiene que medirse en forma perpendicular a los objetos a los que se hace referencia.

Y si la pregunta fuera… ¿Cuál es la distancia de tu cabeza a la pared? Obvio, tendrías quetrazar una perpendicular de la pared hacia tu cabeza.

Y si la pregunta fuera… ¿Cuál es la distancia de tu rodilla a la pared? Obvio, tendrías quetrazar una perpendicular de la pared a tu rodilla.

Etc, etc, etc.





Ahora bien, si relacionamos lo anterior con don René Descartes, tendríamos que colocar todo

en un Sistema Coordenado Cartesiano de la siguiente manera…Leer el resto de estaentrada »

La distancia de un punto a una recta siempre tiene que medirse en forma

perpendicular a los objetos a los que se hace referencia.

Y si la pregunta fuera… ¿Cuál es la distancia de tu cabeza a la pared? Obvio, tendrías que

trazar una perpendicular de la pared hacia tu cabeza.

Y si la pregunta fuera… ¿Cuál es la distancia de tu rodilla a la pared? Obvio, tendrías que

trazar una perpendicular de la pared a tu rodilla.

Etc, etc, etc.

Ahora bien, si relacionamos lo anterior con don René Descartes, tendríamos que colocar todo

en un Sistema Coordenado Cartesiano de la siguiente manera…

Entendido lo anterior, sabiendo ya de que se trata cuandose habla de medir distancias de un punto a una recta, resolvamos un problema que les dio

muchísimos dolores de cabeza a los matemáticos antiguos, razón por la cual algunos

terminaron en el manicomio (es broma), se trata de lo siguiente…

Determinar la distancia existente entre el punto P(1,6) y la recta: y=x-2

Nota. El punto puede representar: un auto, una hormiga voladora, una mosca aterrizando, Ana

Sofía Henao (según mis alumnos), William Levy (según mis alumnas), una galaxia, Mamá campanita, la abuelita de Batman, o cualquier cosa que se te ocurra. La recta puede

representar una pared, una viga, una escalera, la trayectoria de un cohete, una “resbaladilla”,

un tobogán, el cable que sujeta a un poste, la cuerda con la que un vaquero de cachucha y

tenis lazó al caballo prieto azabache, etc, etc.

Primero dibuja un sistema coordenado, luego coloca en él el punto P (1, 6). En el mismo

sistema grafica la recta: y=x-2, te quedará algo como la siguiente figura.








¿Cómo habría hecho Euclides para medir la distancia del punto a la recta? ¡Bah! El santo señor simplemente habría encimado su transportador

sobre la recta para determinar los 90° en dirección al punto P, y con su regla habría medido ladistancia. ¿Sencillo? Sí, pero ya sabemos que esta forma de resolver problemas geométricos

es inexacta por mucho que los trazos se realicen con todos los cuidados. Cabe recordarte que

una de las cosas -y solo una- que buscan las matemáticas es la EXACTITUD en todos loscálculos. Lo anterior, desde luego, no resta absolutamente ningún mérito al gran trabajorealizado por el llamado “padre de la Geometría”, es solo que, las cosas deben ir perfeccionándose cada día.

Pero la naturaleza, Dios, o quien sabe quién diablos (para desgracia de todos los estudiantesde bachillerato que no les gustan las matemáticas), hizo que naciera Descartes el cuál

encontró, a diferencia de Euclides, una primera solución sin utilizar reglas, escuadras, nitransportadores.

Descartes sabía que para calcular la distancia entre dos puntos, aplicando una de susfórmulas, necesitaba conocer sus coordenadas.

Distancia= √[(x 2 -x 1 ) 2 + (y 2 -y 1 )

2 ]

Pero solo tenía uno, el punto P(1,6), el otro tenía que ser de la recta ¿pero cuál de todos?

Quizás ya lo adivinaste, es exactamente el punto en donde “choca” el segmento que inicia en elpunto P formando una recta perpendicular a la pared. Pero… ¿Cómo determinar ese punto?

A Descartes se le ocurrió la siguiente solución.

1. Haciendo pasar una recta por el punto P que fuera exactamente perpendicular a la recta:

y=x-2

2. Determinar la ecuación de la nueva recta. 3. Encontrar el punto de intersección (punto de cruce) entre ambas rectas.

Pero… ¡Oh problema! para aplicar esta solución tenía que determinar la ecuación de la nuevarecta, y ya sabemos que para hacerlo mediante la fórmula (también inventada por él)…

y- y 1= m (x- x 1 )

se requiere conocer las coordenadas de un punto (en este caso P(1, 6)) y la pendiente (m=?)

de la misma…

¿Entonces cómo lo hizo? ¿Cómo determinó la pendiente (m) de la recta que es perpendicular a

la recta: y=x-2?

Continuaremos en próxima ocasión…

http://es.wikipedia.org/wiki/Euclides




































20102009

La Parábola. Episodio 3.

Actualización: Octubre 19 de 2009 Fecha de publicación inicial: Diciembre 12 de 2007

El final.

Ahora bien en la “fórmula” de Descartes (X2=4pY) el valor de p siempre es la distancia queexiste del vértice al foco, y el foco para el caso de la parábolas con vértice en el origen puede

ser que esté en el eje de las X o en el de las Y, y puede ser también que tenga valor seapositivo o negativo, todo depende de cómo y hacia donde se abre la Parábola.

Si la Parábola se abre hacia arriba p es mayorque cero. Si se abre hacia abajo p es menor que cero. Si se abre hacia la derecha p es mayor

que cero. Si se abre hacia la izquierda p es menor que cero.

Todo lo anterior parte de un a-na-li-sis de las figuras.

Volviendo al problema que nos ocupa, si tenemos: Y=2X

2

, reacomodando términos es igual a:

X2=(1/2)Y, la cual se parece a: X2=4pY, ecuación que representa a una Parábola que se abre

hacia arriba o hacia abajo. También por simple inspección puedes ver que en ambos casos loscoeficientes de Y (términos que la “acompañan”) son: ½, y 4p. A partir de esto puedesigualarlos y obtener:

½ = 4p; (½)/4 = p; 1/8 = p; o bien: p = 1/8

Por lo tanto el Foco se encuentra a una distancia de 1/8 respecto del vértice y es positivo.

De todo lo anterior deducimos lo siguiente:

La Parábola tiene su eje sobre el eje de las Y; se abre hacia arriba, puesto que p es positivo;

las coordenadas del Foco son (0, 1/8); la longitud de su lado recto es:

I 4p I=I4(1/8)I=I4/8I=I1/2I=0.5;



La ecuación de la Directriz es: y=-1/8

Ves que fácil es, y todo lo anterior puedes determinarlo por simple inspección de laecuación particular de una Parábola, complementándolo con algunas operaciones matemáticas

sencillas.

The End.

Solo por practicar res uelve los siguientes ejercicios por simple inspección… nada de darlevalores a X y obtener valores de Y o viceversa. Solo aplica tu inteligencia y al ver la ecuación deduce: hacia donde se abre, la distancia del vértice al foco, la ecuación de la directriz y la longitud de su lado recto.

Y=X2

Y=5X2

X=4Y2

X=6Y2

Y=-X2

Y=-5X2

X=-4Y2 X=-6Y2

17102009


Sus partes y un problema resuelto.

La siguiente figura es una parábola con sus partes principales. Si te sirve apréndetelas de

memoria.

Foco. Es un punto localizado al

“interior” de la curvatura de la Parábola. Físicamente es el punto hacia donde se refleja o“rebota” todo aquello que “choca” con su cara. La distancia del vértice al foco se conoce

como p .

http://iguerrero.files.wordpress.com/2007/12/parabolavo.gif



Lado Recto. Es la distancia que hay entre dos puntos simétricos de la parábola con la

condición de que se mida pasando por el foco en forma paralela a la Directriz.

Directriz. Recta desplazada a la misma distancia p del vértice pero en sentido contrario.

Perpendicular al eje de la parábola.

Vértice. Punto desde donde se “abre” la Parábola. La Geometría Analítica de don RenéDescartes permitió trabajar con ocho casos de Parábolas (por lo menos son los más básicos).Las que se abren a la derecha, a la izquierda, hacia arriba y hacia abajo e igual número de

casos para cuando tienen su vértice fuera del origen.

Parábolas con vértice en el origen.

Según Descartes hay dos ecuaciones principales que rigen geométricamente a las parábolas

con vértice en el origen, a saber: Y 2 =4pX, y X

2 =4pY.

Después te explico cómo las obtuvo por el momento aprende a utilizarlas.

Grafiquemos la ecuación particular de una Parábola en la forma tradicional (dando valores a Xy obteniendo valores de Y).

Y=2X 2

Grafiquemos la ecuación particular de una Parábola en la forma tradicional (dando valores a X

y obteniendo valores de Y).

Y=2X 2

Asignando valores arbitrarios a X…

Si X=0; Y=2(0)2=0; entonces P1(0, 0)

Si X=1; Y=2(1)2=2; entonces P2(1, 2) Si X=2; Y=2(2)2=8; entonces P3(2, 8.0) Si X=3; Y=2(3)2=18; entonces P4(3, 18) Si X=-1; Y=2(-1)2=2; entonces P5(-1, 2) Si X=-2; Y=2(-2)2=8; entonces P6(-2, 8.0) Si X=-3; Y=2(-3)2=18; entonces P7(-3, 18)

Al ubicar todos los puntos en un sistema coordenadocomún se forma la siguiente figura.



Bien, hasta ahí lo común, pero, ¿existe otra manera de hacer lo mismo, que sea más ágil?

Pues sí, para tu beneplácito existe, solo tienes que a-na-li-zar la ecuación particular Y=2X 2 yrelacionarla con dos ecuaciones principales que inventó René Descartes (Y2=4pX, y X2=4pY).

¿A cuál de las dos ecuaciones principales se parece más la ecuación que graficamos? Esdecir: Y=2X2 se parecería más a: Y2=4pX, o a X2=4pY

Tal vez no encuentres mucho parecido con ninguna tal como está escrita la ecuación, pero si la“reacomodas” transponiendo términos de la siguiente manera:

Y=2X2, es exactamente lo mismo que si tuvieras: X2=(1/2)Y. Quizá ahora si notes mejor surelación con las ecuaciones de Descartes. ¿Entonces a cuál se parece más? ¿Acaso, a

X2=4pY?

Bien… espero que lo hayas determinado tú, voy a suponer que así fue.

Pero este tema no ha concluido, lo continuaremos en próxima ocasión.

13102009


Actualización: Octubre 13 de 2009 Fecha de publicación inicial: Diciembre 10 de 2007

El inicio…

Antes de explicar el siguiente tema, conviene que estudies el Tema 5, sobre todo laúltima parte del mismo.

Si ya lo revisaste, ahora te lo explicaré con mayor amplitud.

¿Qué es una Parábola?

Por ejemplo ésta… En aquel tiempo dijo Jesús a sus discípulos: “He aquí el que sembraba

salió a sembrar. Y sembrando, parte de la simiente cayó junto al camino; y vin…”

¡Alto ahí!…

La anterior es una parábola de Jesucristo, y ¡demonios! aquí estamos en Geometría Analítica,por lo tanto las parábolas que veremos serán exclusivamente figuras geométricas.







Charles H. Lehmann en su texto de Geometría Analítica -en desuso por culpa de Internet- define técnicamente a una Parábola como: el lugar

geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que su distancia de una recta fija situada en el plano es siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano y

que no pertenece a la recta. No. No es un trabalenguas.¿Entiendes la definición anterior?¡Bah! yo tampoco la entendí la primera vez que la leí. Recuerdo que me quedé con cara

de ¿¿¡¡Que qué!!??

Me pregunto… ¿Para qué diablos utilizar tantos tecnicismos?, acaso no es mejor decirle a unestudiante ¿Has visto una antena parabólica? Es igual que una parábola, solo que ésta últimase traza en el papel, mientras que la otra se construye físicamente.

Una Parábola es una curva que tiene una característica muy especial que a continuación terevelaré (es el Top-Secret y te lo voy a decir). Interpretémoslo físicamente para que te sea más

claro.

Resulta que todas las antenas parabólicas –¡Ojo con esto!- reflejan todo tipo de radiación

que reciben en su cara hacia un punto llamado FOCO . ¡No me refiero a ningún foco de losque consumen electricidad!

¿Y que es radiación?Leer el resto de esta entrada »




6102009

Tema 22. Otra fórmula de don René Descartes.

Actualización: Octubre 05 de 2009 Fecha de publicación inicial: Octubre 09 de 2007

¿De dónde sacó don René la fórmula:

Tg(a)=(m 2 -m 1 )/(1+m 2 m 1 )

¿La soñó, o le cayó una manzana y le nació la idea como a Newton?










http://iguerrero.files.wordpress.com/2007/12/parabola1.gif







En realidad no es complicado saber como llegó

don René a la fórmula anterior, solo se basó en los conocimientos de “Fulano de tal” suantecesor, cuando inventó la identidad:

TgΘ = Tg(α 2 –α 1 ) =

[tgα 2 –tgα 1 ]/[1+tgα 2 tgα 1 ]

A la cual llegaremos partiendo de nuestro problema particular con la relación:

Ángulo a = ángulo b menos ánguloc, o expresado con literales:

a = b – c .

Hagamos algunas manipulaciones algebraico/trigonométricas ¡¡¡Ufff!!! Se oye muy feo, dichode otra manera hagamos especulaciones matemáticas… ¡¡¡Recontra Ufff!!! Se escucha peor…

¡Bah! en realidad no es tan complicado.Leer el resto de esta entrada »




1102009

Tema 21b. Ángulo con que se cruzan dos rectas.

Actualización: Octubre 01 de 2009

Fecha de publicación inicial: Septiembre 28 de 2007

¿Con qué ángulo se cortan dos rectas? Veámoslo mediante un ejemplo práctico.











http://iguerrero.files.wordpress.com/2007/10/determinar-angulo.gif







Dos aviones siguen durante cierto tiempo trayectorias rectilíneas definidas por las siguientes ecuaciones:

Y=3X+1 Y=X- 1

Hallar su ángulo de intersección.

Si recuerdas ya vimos algo semejante en el Tema 13 (dos caminos que se cruzan) solo que ahíbuscábamos el punto de cruce (intersección) entre ambas rectas, en este caso podríamos

hacer lo mismo, pero además buscamos el ángulo con que se cruzan ambas trayectorias.Procedamos…

Grafiquemos las dos ecuaciones.

Graficar es simple, recuerda que solo tienes que asignar valores arbitrarios a X ¿Cuáles? Losque se te pegue la gana. Con esto obtendrás valores para Y . ¡Claro! si asignas un valor a

la X por ejemplo de 1,000, entonces tendrás que hacer circo, maroma y teatro para acomodareste valor de X en tu sistema coordenado e igual para el que resulte de Y junto con otros

valores pequeños que asignaras X .Las rectas resultantes son las trayectorias de los aviones.

Si por el punto de intersección trazas una paralela al eje X , obtendrás los ángulos b,y c. El ángulo a es el que buscamos.

Analiza los ángulos b y c. Te pregunto ¿el ángulo a se puede obtener a partir de los

ángulos b y c?

Te doy un minuto para que respondas antes de dar un “click” en: Leer el resto de esta entrada…Leer el resto de esta entrada »














http://iguerrero.files.wordpress.com/2007/09/aviones.gif

http://iguerrero.files.wordpress.com/2007/09/aviones.gif








22092009

Tema 21. Pendiente de la recta que se forma con dos puntos, conocidos ambos

(teoría y práctica).

Actualización: Septiembre 20 de 2009 Fecha de publicación inicial: Septiembre 21 de 2007

Determinemos la pendiente del pasamanos de una escalera , igual podría ser lapendiente de la torre inclinada de pisa, o del monte everest.

En Geometría Analítica la pendiente de una recta se determina conociendo las

coordenadas de dos de sus puntos Tema 7 , desde luego que hay más formas, pero eneste caso nos aplicaremos a saber ¿cuáles son esos dos puntos?, ¿cómodeterminarlos? y ¿cuál es la pendiente de la recta que los une?

¿Y de dónde vas a sacar dos puntos

si solo tienes el pasamanos?

Te lo explicaré a continuación.

En la imagen simplemente coloca el punto de origen de un sistema coordenado cartesiano en

cualquier lugar, ya sea en el pintarrón (si es que está proyectada la imagen en él) o en

cualquier otro lugar en donde esté la figura. De ahí traza los dos ejes del sistema. Luego pasapor el punto origen una recta que coincida con la superficie del pasamanos y sobre ella coloca

los dos puntos como en la figura.

¿Y físicamente? En este caso hay varias soluciones.

Se me ocurre que…

1. Si el pasamanos está en una pared puedes pegar dos tiras de cinta adhesiva (Masking

Tape) en ella (o en donde sea) simulando los ejes X e Y , ambas deben ser perpendicularesentre sí (90º entre sus ángulos). Después marca un punto en el pasamanos y mide la distancia

hacia de él hacia el eje X (verticalmente) y luego hacia el eje Y (horizontalmente), con lo cualobtendrás sus coordenadas (Punto P1). Haz lo mismo para otro punto (P2). Lo demás son

operaciones artméticas y algebraicas en tu cuaderno.


http://imagenesdeitalia.nirudia.com/photos/normal/imagenesdeitalia-20071125104032.jpg



http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f6/Everest_kalapatthar.jpg/300px-Everest_kalapatthar.jpg












2. Puedes marcar la pared simulando los dos ejes utilizando para ello una cuerda

impregnada de polvo de un color que contraste con el de la pared, la recta sería el pasamanos.

Cabe mencionar que los dos ejes coordenados (X e Y) puedes trazarlos en cualquier lugar del

pasamanos, ya sea al principio del mismo, a la mitad, o al final, en donde se acomoden mejor para medir distancias de los puntos a ellos.

En cualquier solución que apliques evita dañar la pared.

También puedes utilizar un transportador para determinar el ángulo del pasamanos respecto

del eje X y luego aplicas la fórmula m = tg α, o en su defecto puedes utilizar un instrumentollamado Inclinómetro o un Goniómetro , etc. puede haber más soluciones.Leer el resto deesta entrada »




18092009

Tema 20. Punto medio de la recta que se forma con dos puntos colocados en unSistema Coordenado Cartesiano.


Igual que en el tema anterior , el problema de calcular el Punto Medio de una recta esbastante sencillo, así se trate de un sistema bidimensional. En este caso simplementeforma un triángulo rectángulo –igual que debes haberlo hecho en otras ocasiones- yproyecta los catetos hacia cada uno de los ejes.

Veamos un ejemplo.

http://www.mayortec.com.mx/images/PVAF701M.jpg



http://www.bio-person.cl/images/Goniometro%204.jpg



























Dos hormiguitas (igual pueden ser dos planetas,dos personas, dos autos, dos galaxias) salen de su residencia (en este caso un agujero) y se

disponen a tomar el Sol colocándose a unos cuantos centímetros de él, tal como se muestra en la figura. Una tercera hormiguita no quiere alejarse mucho de su “casa” y se acomodaexactamente en el punto medio de la recta que se forma con las otras dos. ¿Cuáles son las coordenadas del dichoso lugar (Punto medio) en donde se colocó la última hormiguita?

Evidentemente la “casa” de la hormiguita es el punto de referencia, por lo tanto ahícolocaremos nuestro punto de origen de un Sistema Coordenado Cartesiano.

Proyectando los catetos del triángulo rectángulo que se forma hacia sus respectivos ejessimplemente calculamos el Punto Medio para cada caso.

Aplicando la regla que establecimos en el tema anterior:

X = (x1+x2)/2 = (-3+1)/2 = -2/2 = -1 Y = (y1+y2)/2 = (-2+3)/2 = 1/2 = .5

Entonces las coordenadas del Punto Medio son:

P.m. (-1, 0.5) Cms.

¿Complicado?

Si en lugar de los dos puntos extremos tuvieras un Punto medio y un punto extremo y quieres

determinar el otro punto extremo solo aplica las siguientes fórmulas: X1=(2)(Pmx)-X2 y Y1=(2)(Pmy)-Y2 obtenidas a partir de un simple despeje de las fórmulas para

el punto medio y con ello obtendrás el punto en cuestión, por ejemplo:

Hallar las coordenadas de un punto extremo de un segmento que tiene su punto medio en: (4, 2) y el otro extremo es: (9, 5)

Solución.

X=(2)(4)-9=8-9=-1 Y=(2)(2)-5=4-5=-1

Por lo tanto, las coordenadas del otro punto extremo del segmento son: (-1, -1)




http://iguerrero.files.wordpress.com/2007/09/hormiguitas.gif




Bien, te dejo algunos ejercicios para que practiques solo por divertirte…

Dos objetos están colocados en las siguientes coordenadas.

P1(-2, 3); P2(6, 9) P1(2, -3); P2(4, 3) P1(-1, 6); P2(7, 3) P1(-6, 0); P2(2, 4) P1(0, 4); P2(2, 7) P1(8, 2); P2(2, 3) P1(0, 0); P2(4, 4) P1(-2, 2); P2(2, 2) P1(6, 4); P2(-6, 5)

Únelos y encuentra en todos los casos el Punto Medio , aplicando las fórmulas utilizadas

para resolver el problema de las hormiguitas.




15092009

Tema 19. Punto medio del segmento que se forma con dos puntos colocados en

un sistema rectilíneo.


Este es uno de los temas más simples de la Geometría Analítica, tan sencillo y tanlógico que puedes preguntarle a un bebe de preescolar cuál es la mitad de una cuerda

estirada -en forma semejante a una recta- y seguro que te indicará el punto medio, sin

embargo ¡no hay de otra! ¡veámoslo!

El punto medio es la mitad de la recta que se forma entre dos puntos. Así de fácil.

Tienes dos puntos en un sistema rectilíneo (una sola dimensión) y quieres encontrar el puntoque está colocado exactamente a la mitad entre los dos, a este punto se le llama: PuntoMedio.

Veamos un “raro” ejemplo para no fomentar el aburrimiento.

Sean dos bebes sumamente molestos porque nadie les da su chupón.














Uno está a 3 Mts. del chupón y el Otro está a 2 Mts. de él pero en la dirección contraria. Tú

quieres tranquilizarlos y les hablas colocándote exactamente en el punto medio entreambos. ¿Cuál es la coordenada en la que estás?

¡¡¡OBVIOOO!!!

Seguro que contarás los segmentos y concluirás que el punto medio está exactamente entre elchupón y el uno positivo, o dicho de otra manera estás en el Punto Mediocuya coordenada es:0.5, o bien ½.

Pero bueno… construyamos una regla que pueda servir tanto para este caso como paraaquellos en donde sea muy lento contar “rayitas” es decir, cuando los puntos se encuentrenmás alejados uno del otro. Te doy tres minutos para construirla…Leer el resto de estaentrada »

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11092009

Tema 18. Ángulo de la recta que se forma al unir dos puntos dados.


Vayamos directamente al grano. Resolvamos un problema.

Te doy dos puntos: P 1(2, 3); P 2 (5, 6) que pueden representar los lugares en donde están doscosas, por ejemplo dos autos, dos personas, dos planetas, dos hormigas, etc. Ubícalos en un

Sistema Coordenado Cartesiano y determina:


















1 ). Ángulo respecto al eje de las X, de la recta

que se forma al unir P 1 y P 2 .

2). Distancia (c) entre ambos puntos.

Solución.

1). Al colocar los puntos y unirlos mediante una recta resulta una gráfica como la de al lado,puedes prolongarla en sus extremos. Después –tal y como ya lo hemos hecho en otra ocasión-

formamos un triángulo rectángulo (catetos a, b y c). De inmediato podemos ver que se formaun ángulo θ (theta) entre la recta y el cateto adyacente (a).

Nota. Recuerda que puedes utilizar las letras que quieras para designar a los catetos y a la

hipotenusa del triángulo. Si no te gustan la a, b, y la c, utiliza otras, es perfectamente legal,

puedes estar completamente seguro que no irá la policía de los escrúpulos matemáticos por ti

(y si tienes un profesor que te dice que siempre deben ser: a, b y c; además en un ordenespecífico, simplemente ignora sus palabras).

A estas alturas debes saber –o recordar- que hay una identidad trigonométricadenominada Tangente , la cual es igual al Cateto Opuesto (b) entre el Cateto Adyacente (a),

matemáticamente:

Tg θ = Cat.Op./Cat.Adyac.

Pero el Cateto Opuesto (b) es exactamente igual a Y2-Y1, y el Cateto Adyacente (a) esexactamente igual a X2-X1, por lo tanto:

Tg θ = (Y2-Y1)/(X2-X1)

Entonces sustituyendo las coordenadas de los puntos quedaría:

Tg θ = (6-3)/(5-2) = 3/3 = 1

Luego…Leer el resto de esta entrada »











http://iguerrero.files.wordpress.com/2009/09/anguloentredosrectas1.png







8092009

Tema 17. Perpendicularidad entre dos rectas.


Iniciemos nuestro estudio igual que lo hicimos en el tema anterior, determina la gráfica de lassiguientes ecuaciones.

Y=-2X+1 Y= (1/2)X-3

Al graficarlas obtendrás algo semejante a lo que

ves en la imagen de al lado. Ahora a-na-li-ce-mos lo que obtuviste.

¿Qué observas en la gráfica? ¿Las rectas se cruzan formando ángulos de 90º? Puedes medir con tu transportador.

Analizando las ecuaciones de las cuales se originaron ¿observas algo similar en ellas?Olvídate del tres y del uno, atiende solamente a los coeficientes de la X (el número que laacompaña). Tienes que encontrar una relación entre los dos números.

Antes de dar un “Clic” en Leer el resto de esta entrada… debes haber encontrado algo que escomún en ambas ecuaciones.

Del análisis del par de ecuaciones debiste haber determinado lo siguiente.

1). Los coeficientes de X son inversos. 2). Los coeficientes de X tienen signo contrario.

Cuando dos ecuaciones escritas de la forma: Y=mX+b tienen el coeficiente de X inverso y de

signo contrario, representan a dos rectas perpendiculares entre sí. Ahora bien ¿es suficientecon el análisis que hiciste?


http://iguerrero.files.wordpress.com/2009/09/problema1.png




A mi juicio sería suficiente con un buen a-ná-li-sis, sin embargo no nos quedaremos ahí y

comprobaremos lo que descubriste.

Pero… ¿Cómo hacerlo? ¿Cómo comprobar que efectivamente descubriste una propiedad entredos rectas?

Lo comprobaremos de la siguiente manera (no es la única forma de hacerlo).Leer el resto de

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