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Multiplicando ambos os membros por q, fica:
9 + 9q2 – 30q = 0
Dividindo por 3 e ordenando, fica:
3q2 – 10q + 3 = 0, que é uma equação do segundo grau.
Resolvendo a equação do segundo grau acima
encontraremos q = 3 ou q = 1/3.
Como é dito que a PG é decrescente, devemos conside
apenas o valor
q = 1/3, já que para q = 3, a PG seria crescente.
Portanto, a PG é:
9/q, 9, 9q, ou substituindo o valor de q vem: 27, 9
O problema pede a soma dos quadrados, logo:
a2 + b
2 + c
2 = 27
2 + 9
2 + 3
2= 729 + 81 + 9 =
6.2 - Sabe-se que S = 9 + 99 + 999 + 9999 + ... + 999...9
onde a última parcela contém n algarismos. Nestas
condições, o valor de 10n+1
- 9(S + n) é:
A)1
*B) 10
C) 100
D) -1
E) -10
Solução:
Observe que podemos escrever a soma S como:
S = (10 – 1) + (100 – 1) + (1000 – 1) + (10000
(10n – 1)
S = (10 – 1) + (102 – 1) + (10
3 – 1) + (10
4–
1)
Como existem n parcelas, observe que o número (
somado n vezes,
resultando em n(-1) = - n.
Logo, poderemos escrever:
S = (10 + 102 + 10
3 + 10
4 + ... + 10
n ) – n
Vamos calcular a soma Sn = 10 + 102 + 10
3
, que é uma PG de primeiro termo a1 = 10, razão q = 10 e
último termo an = 10n . Teremos:
Sn = (an.q – a1) / (q –1) = (10n . 10 – 10) / (10
10) / 9
Substituindo em S, vem:
S = [(10n+1
– 10) / 9] – n
Deseja-se calcular o valor de 10n+1
- 9(S + n)
Temos que S + n = [(10n+1
– 10) / 9] – n + n = (10
9
Substituindo o valor de S + n encontrado acima, fica:
10n+1
– 9(S + n) = 10n+1
– 9(10n+1
– 10) / 9 = 10
10) = 10
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Multiplicando ambos os membros por q, fica:
10q + 3 = 0, que é uma equação do segundo grau.
Resolvendo a equação do segundo grau acima
Como é dito que a PG é decrescente, devemos considerar
q = 1/3, já que para q = 3, a PG seria crescente.
9/q, 9, 9q, ou substituindo o valor de q vem: 27, 9, 3.
logo:
= 729 + 81 + 9 = 819
se que S = 9 + 99 + 999 + 9999 + ... + 999...9
onde a última parcela contém n algarismos. Nestas
rve que podemos escrever a soma S como:
1) + (10000 – 1) + ... +
– 1) + ... + (10n –
Como existem n parcelas, observe que o número (– 1) é
3 + 10
4 + ... + 10
n
= 10, razão q = 10 e
10) / (10 – 1) = (10n+1
–
9(S + n)
n + n = (10n+1
– 10) /
encontrado acima, fica:
10) / 9 = 10n+1
– (10n+1
–
PENGE 1
1 .Conhecendo-se o baricentro B(3,5), do triângulo XYZ
onde X(2,5), Y(-4,6), responda:
a) Quais as coordenadas do vértice Z do triângulo
XYZ?
b) Qual o comprimento do segmento BZ?
2. Seja a reta y = -2x, determine:
a) As coordenadas do ponto P que está no segundo
quadrante, sobre a reta r e cuja distância ao ponto
(0,-1) é �10 unidades;
b) As coordenadas do ponto Q, sobre a reta r, que es
mais próximo do ponto (0,
PENGE 2
1-Sendo o ponto P(r - 12, 4r -
quadrantes ímpares e P’(s-12, 4s
dos quadrantes ímpares, determine:
a) O valor da distância entre P e P’.
b) Qual dos pontos está mais próximo da origem.
2. Considere o gráfico:
a) Obtenha uma equação da reta r
b) Obtenha uma equação da reta s que passa por P e é
perpendicular a r.
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se o baricentro B(3,5), do triângulo XYZ
4,6), responda:
) Quais as coordenadas do vértice Z do triângulo
) Qual o comprimento do segmento BZ?
2x, determine:
As coordenadas do ponto P que está no segundo
quadrante, sobre a reta r e cuja distância ao ponto
10 unidades;
As coordenadas do ponto Q, sobre a reta r, que está
mais próximo do ponto (0,-1).
- 6) pertencente a bissetriz dos
12, 4s-13) pertencente a bissetriz
dos quadrantes ímpares, determine:
a) O valor da distância entre P e P’.
ntos está mais próximo da origem.
Obtenha uma equação da reta r
Obtenha uma equação da reta s que passa por P e é
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c) Determine o ponto A de interseção de r com a reta
s obtida no item b
PENGE 3
PENGE 4
Questão 1
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Determine o ponto A de interseção de r com a reta
Questão 2
Verifique se o ponto P está mais próximo da reta r
reta s, considerando a figura abaixo.
PENGE 5
1)Sejam os pontos M(6,4) e N(4,8). Se C1 é a
circunferência que tem os segmentos MN com um
diâmetro, então a equação de C1 é?
2)Dada a circunferência de equação x2+y2 = 5. Deter
a posição relativa à circunferência dos pontos : A)
(1/2, 1) e C (1,2). Além disso determine se os pont
C são ou não colineares. Em caso negativo, determin
área do triângulo formado.
PENGE 6
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Verifique se o ponto P está mais próximo da reta r ou da
reta s, considerando a figura abaixo.
1)Sejam os pontos M(6,4) e N(4,8). Se C1 é a
circunferência que tem os segmentos MN com um
equação de C1 é?
2)Dada a circunferência de equação x2+y2 = 5. Determine
a posição relativa à circunferência dos pontos : A) (3, 1); B
(1/2, 1) e C (1,2). Além disso determine se os pontos A,B e
C são ou não colineares. Em caso negativo, determine a
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1)Identifique se representam e quais são as cônicas
de suas equações, determinando:
No caso de circunferência, o centro e o raio.
No caso de elipse ou hipérbole, os eixos e os focos
No caso de não representar uma cônica, justificar o
porquê.
a) 25x2 - 16y
2 = 400.
b) (x2/100) + (y
2/36) =1
c) 9x2 + 5y
2 − 45 = 0.
d) 0198422=+−−+ yxyx
e) 03041022=+−−+ yxyx
2)Faça o que se pede em cada item:
a)Sendo a elipse x2/36 + y
2/64 = 1, determine as
coordenadas seus eixos (maior e menor) e seus foco.
b)Sendo a circunferência (x-1)2 + (y-2)
2= 16 e a reta r: y =
2x-3, determine a posição relativa entre elas.
PENGE 7
Questão 3) Determine o(s) valore(s) de K(definido n
conjuntos dos reais) para que o ponto A(-2,K) pertença à
elipse 9x2+4y
2+18x-8y-23= 0
Questão 4)
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1)Identifique se representam e quais são as cônicas a partir
No caso de circunferência, o centro e o raio.
No caso de elipse ou hipérbole, os eixos e os focos.
cônica, justificar o
/64 = 1, determine as
menor) e seus foco.
= 16 e a reta r: y =
3, determine a posição relativa entre elas.
Questão 3) Determine o(s) valore(s) de K(definido no
2,K) pertença à
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