Download pdf - PENYELESAIAN NUMERIS MODEL KONTINU ARUS LALU … · persamaan diferensial parsial yang melibatkan turunan parsial. Ada dua jenis persamaan diferensial parsial, yaitu persamaan diferensial

i

PENYELESAIAN NUMERIS MODEL KONTINU

ARUS LALU LINTAS

Skripsi

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Oleh :

Bernadetta Ambar Sulistiyawati

NIM: 133114011

PROGRAM STUDI MATEMATIKA, JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2017

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ii

NUMERICAL SOLUTION TO A CONTINUOUS MODEL OF

TRAFFIC FLOWS

Thesis

Presented as a Partial Fulfillment of the Requirements

to Obtain the Degree of Sarjana Sains

in Mathematics

By :


Student Number: 133114011

MATHEMATICS STUDY PROGRAM, DEPARTMENT OF MATHEMATICS

FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA

2017


SKRIPSI

PEi\YELESAIAI\ I\UMERIS MODEL KOI\TINU

ARUS LALU LII\TAS

Oleh:


NIM: 133i14011

Telah disetujui oleh:

Pembimbing

rfux/-4.,Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D. Tanggal 2l Februari 2017

111


SKRIPSI

PEI\YELESAIAN NUMERIS UNTUK MODEL KONTINU

ARUS LALU LINTAS

Dipersiapkan dan ditulis oleh:


NIM: 13311401I

Telah dipertahankan di depan Panitia Penguji

Pada tanggal 28 Februari 2017

dan dinyatakan telah memenuhi symat

Ketua

Susunan Panitia Penguji

Nama Lengkap

Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D.

Sekretaris Febi Sanjay4 M.Sc.

Anggota Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D.

........4W..

da-fu&",

Yogyakart4 28 Februari 2017

Fakultas Sains dan Teknologi

Tanda Tangan

i' - ti,!\.r i:,;',:.'-: :;'-.

**" inl nbf*,rtr &t ..- '; ii

l! fJ;5\ lbL"YrWtffi$L/-,a't)

i.,Mungkasi, S.Si., M.Math. Sc., Ph.D.)


PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini

tidak memuatkarya atau bagian orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam

kutipan atau daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

Yogyakarta, 28 Februai 2Al7

B ernadetta Ambar Sulistiyawati


vi

MOTTO

“Segala perkara dapat kutanggung didalam Dia yang memberi kekuatan

kepadaku” (Filipi 4:13)

“Visi tanpa tindakan hanyalah sebuah mimpi. Tindakan tanpa visi

hanyalah membuang waktu. Visi dengan tindakan akan mengubah

dunia!” (Joel Arthur Barker)

“Sesuatu mungkin mendatangi mereka yang mau menunggu, namun

hanya didapatkan oleh mereka yang bersemangat mengejarnya”

(Abraham Lincoln)


vii

HALAMAN PERSEMBAHAN

Karya ini kupersembahkan untuk:

Tuhan Yesus Kristus dan Bunda Maria yang senantiasa

menyertaiku

Mama, Papa dan Adik tercinta yang selalu mendukungku


viii

ABSTRAK

Arus lalu lintas dimodelkan dan diteliti dalam skripsi ini. Kemacetan

menjadi masalah lalu lintas yang sering terjadi di kota. Oleh karena itu, penulis

membahas model matematika yang berhubungan dengan arus lalu lintas.

Pembahasan mencakup bagaimana kondisi kepadatan lalu lintas yang dilihat dari

pergerakan kendaraan secara makro, bukan pegerakan setiap kendaraan.

Model matematika masalah arus lalu lintas berbentuk persamaan diferensial

parsial yang dapat ditulis dalam bentuk hukum konservasi. Model tersebut

diselesaikan dengan menggunakan teori linearisasi persamaan diferensial untuk

mencari solusi analitisnya. Selain itu, penulis akan menggunakan metode volume

hingga Lax-Friedrichs dan sistem relaksasi Jin-Xin untuk menyelesaikan model

tersebut secara numeris

Solusi analitis dan numeris akan disimulasikan dengan menggunakan

perangkat lunak MATLAB. Penelitian ini akan menguji metode mana yang dapat

digunakan untuk menyelesaikan masalah arus lalu lintas jika dibandingkan dengan

solusi analitisnya. Analisis hasilnya dengan melihat simulasi yang dihasilkan dan

seberapa besar erornya. Semakin kecil nilai erornya maka semakin baik metode

numeris yang digunakan.

Kata kunci: arus lalu lintas, persamaan diferensial parsial, hukum kekekalan,

volume hingga, metode Lax-Friedrichs, sistem relaksasi Jin-Xin


ix

ABSTRACT

A traffic flow is modeled and studied in this thesis. A traffic jam becomes the

problem that often occurs in a city. Therefore, the author discusses about the

mathematical models that is related to the traffic flow. It explores on traffic density

conditions seen from the macro movement of the vehicles, not each vehicles.

Mathematical model of traffic flow problem is in the form of partial

differential equations that could be written in the form of conservation laws. The

model is solved using linearization theory of differential equations to find analytical

solutions. In addition, the author uses Lax-Friedrichs finite volume method and Jin-

Xin relaxation system to solve the model numerically.

Analytical and numerical solutions to the model are simulated using

MATLAB software. This study examines the methods which could be used to solve

the traffic flow problem if it is compared with the analytical solution as the previous

solution. The results are analyzed by viewing the simulation outcomes along with

the errors. The smaller the errors, the better the numerical method that is used.

Keywords: traffic flow, partial differential equations, conservation laws, finite

volume, Lax-Friedrichs method, Jin-Xin relaxation system


x

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus yang telah

mencurahkan rahmat dan roh kudusNya sehingga penulis dapat mengerjakan dan

menyelesaikan skripsi ini dengan baik. Skripsi ini dibuat dengan tujuan memenuhi

syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Program Studi Matematika,

Fakultas Sains dan Teknologi, Univesitas Sanata Dharma.

Penulis menyadari bahwa penulis melibatkan banyak pihak untuk

membantu dalam menghadapi berbagai macam tantangan, kesulitan, dan hambatan.

Oleh karena itu pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada:

1. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D., selaku dekan Fakultas

Sains dan Teknologi dan dosen pembimbing skripsi.

2. Bapak Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D., selaku Kaprodi Matematika.

3. Ibu M. V. Any Herawati, S.Si., M.Si., selaku Dosen Pembimbing

Akademik.

4. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, SJ., Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc.,

Bapak Dr. rer. nat. Herry P. Suryawan, S.Si., M.Si., dan Ibu Lusia

Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si. selaku dosen-dosen Prodi Matematika

yang telah memberikan banyak pengetahuan kepada penulis selama proses

perkuliahan.

5. Bapak/Ibu dosen/karyawan Fakultas Sains dan Teknologi yang telah

berdinamika bersama selama penulis berkuliah.

6. Kedua orang tua dan adik yang telah membantu dan mendukung saya

selama proses pengerjaan skripsi.

7. Teman-teman Matematika 2013: Inge, Yui, Sorta, Melisa, Agung, Laras,

Ezra, Yuni, Rey, Dion, Wahyu, Indra, Bintang, Tia, Lya, Andre, Sisca,

Natali, Yola, Sari, Dita, dan Kristo yang selalu memotivasi, memberi

masukan dan keceriaan, dan masih banyak yang tidak bisa disebutkan satu

persatu. Terima kasih atas kebersamaan dan kekompakan ini.

8. Kakak-kakak, teman-teman dan adik-adik: Vincent, Kak Chandra, Kak

Happy, Arka, Monic, Kak Lia, Tessa, Vania, Cicil, Kak Arum, Kak Yohan,


Kak Tika, Kak Kristin, dan yang lainnya, terimakasih untuk semangat dan

dukungannya selama penulis berkuliah dan menulis skripsi ini.

9. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu per satu dalam proses

penulisan skripsi ini.

Semoga segala perhatian, dukungan, bantuan dan cinta yang telah diberikan

mendapatkan balasan dari Tuhan Yesus Kristus. Penulis menyadari bahwa masih

banyak kekurangan dalam penulisan skripsi ini. Oleh karena itu, penulis

mengharapkan kritik dan saran demi penyempurnaan skripsi ini. Harapan penulis,

semoga skripsi ini bermanfaat bagi pembaca dan menjadi referensi belajar yang

baik.

Yogyakarta, 28 Februai 2017

Bernadetta Ambar Sulistiawati

x1


LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN

PUBLIKASI KARYA ILMIAH TINTUK KEPENTINGAN AKADEMIS

Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma:

Nama : Bernadetta Ambar Sulistiyawati

Nomor Mahasiswa : 133114011

Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan

Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul:

PENYELESAIAN NUMERIS MODEL KONTINU ARUS LALU LINTAS

beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikan

kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma hak untuk menyimpan,

mengalihkan dalam bentuk media lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan data,

mendistribusikan secara terbatas, dan mempublikasikannya di Intemet atau media

lain untuk kepentingan akademis tanpa perlu meminta izin dari saya maupun

memberikan royalti kepada saya selama tetap mencatumkan nama saya sebagai

penulis.

Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenamya.

Dibuat di Yogyakarta

Pada tanggal: 28 Februari2017

Yang menyatakan

cM(Bemadetta Ambar Sulistiyawati)

x1.l


xiii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ............................................................................................ i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING................................................... iii

HALAMAN PENGESAHAN ............................................................................. iv

HALAMAN KEASLIAN KARYA ...................................................................... v

MOTTO ............................................................................................................. vi

HALAMAN PERSEMBAHAN ......................................................................... vii

ABSTRAK ....................................................................................................... viii

ABSTRACT ....................................................................................................... ix

KATA PENGANTAR ......................................................................................... x

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI ............................... xii

DAFTAR ISI .................................................................................................... xiii

BAB I PENDAHULUAN ............................................................................................... 1

A. Latar Belakang .......................................................................................... 1

B. Rumusan Masalah ..................................................................................... 4

D. Tujuan Penulisan ....................................................................................... 5

E. Manfaat penulisan ..................................................................................... 5

F. Metode Penulisan ...................................................................................... 5

G. Sistematika Penulisan ................................................................................ 6

BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL....................................................................... 8

A. Turunan ..................................................................................................... 8

B. Integral .................................................................................................... 12

C. Penurunan Numeris ................................................................................. 15

D. Klasifikasi Persamaan Diferensial ........................................................... 17

E. Metode Karakteristik ............................................................................... 19


xiv

F. Metode Volume Hingga .......................................................................... 21

G. Metode Garis ........................................................................................... 23

H. Matriks Jacobian ..................................................................................... 24

I. Nilai Eigen dan Vektor Eigen .................................................................. 25

BAB III PENYELESAIAN MODEL ARUS LALU LINTAS ................................ 28

A. Hubungan Kecepatan, Kepadatan, dan Arus Lalu Lintas.......................... 28

B. Model Deterministik Arus Lalu Lintas .................................................... 30

C. Linearisasi Model Lalu Lintas ................................................................. 38

D. Gelombang Kepadatan Lalu Lintas .......................................................... 49

E. Interpretasi Gelombang Lalu Lintas ......................................................... 53

F. Contoh Arus Lalu Lintas yang Hampir Seragam ...................................... 54

G. Metode Karakteristik Lalu Lintas Tidak Seragam .................................... 58

H. Lalu Lintas dari Lampu Merah ke Hijau .................................................. 64

I. Hubungan Linear Antara Kecepatan dan Kepadatan ................................ 74

J. Nilai Kepadatan Awal Tidak Konstan ..................................................... 79

K. Solusi Analitis ......................................................................................... 85

BAB IV SIMULASI NUMERIS ARUS LALU LINTAS ........................................ 89

A. Metode Volume Hingga Lax–Friedrichs .................................................. 89

B. Sistem Relaksasi Jin–Xin ........................................................................ 93

C. Eror Solusi Numeris ................................................................................ 99

D. Simulasi Solusi Analitis dan Numeris .................................................... 100

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN .................................................................... 106

A. Kesimpulan ........................................................................................... 106

B. Saran ..................................................................................................... 106

DAFTAR PUSTAKA .................................................................................................. 107

LAMPIRAN .................................................................................................................. 109


1

BAB I

PENDAHULUAN

Dalam bab ini akan dibahas tentang latar belakang, rumusan masalah,

batasan masalah, tujuan penulisan, manfaat penulisan, metode penulisan, dan

sistematika penulisan skripsi ini.

A. Latar Belakang

Dalam kehidupan sehari–hari, kita sering menjumpai suatu model

matematika yang berbentuk persamaan, baik linear ataupun nonlinear, serta sistem

persamaan linear maupun nonlinear yang memuat diferensial, integral, dan

persamaan diferensial biasa ataupun persamaan diferensial parsial. Model

matematika tersebut dapat diselesaikan dengan dua cara, yaitu penyelesaian analitis

dan penyelesaian bukan analitis. Penyelesaian analitis adalah penyelesaian model

matematika dengan menggunakan teori atau metode analisis matematika yang telah

ada sedemikian sehingga hasil yang diperoleh merupakan penyelesaian eksak.

Penyelesaian bukan analitis adalah penyelesaian model matematika dengan metode

pendekatan diskret sehingga penyelesaian yang diperoleh merupakan penyelesaian

pendekatan, dan bukan penyelesaian eksak. Penyelesaian pendekatan diskret itu

disebut penyelesaian numeris.

Penyelesaian numeris adalah penyelesaian yang dicari dengan

menggunakan metode numeris. Metode numeris merupakan salah satu bagian dari

matematika dengan cara masalah matematika diformulasikan sedemikian rupa


2

sehingga dapat diselesaikan dengan pengoperasian aritmetika (Chapra dan Chanale,

2010). Perkembangan komputer digital yang pesat menyebabkan metode numeris

banyak digunakan untuk menyelesaikan masalah nyata, yang penyelesaian

eksaknya sangat sulit diperoleh, khususnya model matematika dalam bentuk

persamaan diferensial.

Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang melibatkan turunan dari

satu atau lebih variabel terikat yang berhubungan dengan satu atau lebih variabel

bebas. Ada dua jenis persamaan diferensial berdasarkan banyaknya variabel bebas,

yaitu persamaan diferensial biasa yang hanya melibatkan turunan biasa dan

persamaan diferensial parsial yang melibatkan turunan parsial. Ada dua jenis

persamaan diferensial parsial, yaitu persamaan diferensial parsial linear dan

nonlinear. Beberapa contoh model dari persamaan diferensial parsial adalah model

arus lalu lintas di jalan yang ramai, aliran darah yang melalui dinding tabung elastis,

dan gelombang kejut sebagai kasus khusus dari teori umum dinamika gas dan

hidrolika (Wazwaz, 2009). Dalam skripsi ini akan dibahas mengenai persamaan

diferensial parsial untuk model kontinu arus lalu lintas.

Undang – Undang No. 22 Tahun 2009 mengatur tentang Lalu Lintas dan

Angkutan Jalan. Lalu lintas adalah gerak kendaraan dan orang di ruang lalu lintas

jalan, sedangkan rambu lalu lintas adalah bagian perlengkapan jalan yang berupa

lambang, huruf, angka, kalimat dan/atau panduan yang berfungsi sebagai

peringatan, larangan, perintah, atau petunjuk bagi pengguna jalan. Lampu lalu lintas

adalah lampu yang mengendalikan arus lalu lintas bagi pengguna jalan raya di

persimpangan jalan, tempat penyeberangan bagi pejalan kaki, dan tempat lalu lintas

lainnya.


3

Adanya lampu lalu lintas diharapkan dapat mengurangi kemacetan dan

memperlancar aliran lalu lintas. Walaupun demikian, tidak bisa dijamin bahwa

kemacetan dapat teratasi dengan adanya lampu lalu lintas. Masalah transportasi

yang paling sering terjadi beberapa tahun terakhir ini adalah kemacetan lalu lintas.

Dalam skripsi ini tidak akan dibahas bagaimana cara mengatasi kemacetan lalu

lintas, namun bagaimana cara merumuskan model deterministik untuk arus lalu

lintas secara kontinu.

Model kontinu arus lalu lintas secara umum adalah

𝜕𝜌

𝜕𝑡+𝜕

𝜕𝑥(𝜌𝑢) = 0

dengan 𝜌(𝑥, 𝑡) adalah kepadatan lalu lintas dan 𝑢(𝜌(𝑥, 𝑡)) adalah kecepatan

kendaraan yang bergantung pada variabel waktu (𝑡) dan panjang ruas jalan (𝑥)

serta domain ruangnya merupakan interval tertutup [𝑎, 𝑏]. Pada skripsi ini kita akan

menemukan kepadatan kendaraan setelah lampu menyala merah menjadi hijau

dalam satu dimensi yang diilustrasikan oleh Gambar 1.

Gambar 1 Ilustrasi masalah lalu lintas pada perempatan jalan.

Persamaan di atas disebut persamaan diferensial parsial yang berhubungan dengan

kepadatan lalu lintas dan kecepatan kendaraan. Kepadatan lalu lintas adalah jumlah


4

kendaraan yang menempati jalur lalu lintas setiap satuan waktu dan panjang ruas

jalan. Kecepatan kendaraan adalah jarak yang ditempuh kendaraan setiap satuan

waktu.

Penyelesaian persamaan diferensial parsial tersebut memiliki dua

komponen penting yang tidak diketahui, yaitu kepadatan lalu lintas dan kecepatan

kendaraan. Secara umum, penyelesaian model kontinu arus lalu lintas tersebut

cukup sulit diselesaikan secara analitis, sehingga diperlukan penyelesaian numeris

untuk memecahkannya. Banyak metode numeris yang dapat digunakan untuk

memecahkannya, antara lain metode volume hingga Lax-Friedrichs dan sistem

relaksasi Jin-Xin. Pada skripsi ini akan dibandingkan antara metode volume hingga

Lax-Friedrichs dan sistem relaksasi Jin-Xin untuk melihat metode mana yang

paling baik dengan eror sekecil mungkin. Referensi utama tentang masalah arus

lalu lintas dalam skripsi ini adalah Haberman (1998). Sedangkan untuk metode

volume hingga Lax-Friedrichs merujuk pada LeVeque (1992, 2002) dan sistem

relaksasi Jin-Xin merujuk pada Yohana (2012).

B. Rumusan Masalah

Perumusan masalah yang akan dibicarakan pada tugas akhir ini adalah:

1. Bagaimana memodelkan secara kontinu arus lalu lintas dalam bentuk persamaan

diferensial parsial?

2. Bagaimana menyelesaikan model kontinu arus lalu lintas secara numeris?

3. Bagaimana perbandingan tingkat eror antara metode volume hingga Lax-

Friedrichs dan sistem relaksasi Jin-Xin?


5

C. Batasan Masalah

Pembahasan masalah dalam skripsi ini dibatasi pada penyelesaian

persamaan diferensial parsial untuk model kontinu arus lalu lintas yang pergerakan

kendaraannya hanya satu arah pada ruas jalan, dengan asumsi kendaraan tidak

saling mendahului.

D. Tujuan Penulisan

Tujuan dari penulisan skripsi ini, yaitu

1. Memodelkan dan menyelesaikan persamaan arus lintas yang kontinu.

2. Membandingkan eror antara metode volume hingga Lax-Friedrichs dan sistem

relaksasi Jin-Xin, jika diterapkan pada model kontinu arus lalu lintas.

E. Manfaat penulisan

Dengan memodelkan persamaan arus lalu lintas secara kontinu, kita dapat

menyimulasikan pergerakan kendaraan satu arah pada ruas jalan yang bergantung

pada waktu dan panjang ruas jalan.

F. Metode Penulisan

Metode yang digunakan penulis dalam penulisan skripsi ini adalah metode

studi pustaka, yaitu dengan membaca dan mempelajari buku-buku atau jurnal-

jurnal yang berkaitan dengan persamaan diferensial parsial untuk model kontinu

arus lalu lintas satu arah serta praktek simulasi numeris.


6

G. Sistematika Penulisan

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

B. Rumusan Masalah

C. Batasan Masalah

D. Tujuan Penulisan

E. Manfaat Penulisan

F. Metode Penulisan

G. Sistematika Penulisan

BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL

A. Turunan

B. Integral

C. Penurunan Numeris

D. Klasifikasi Persamaan Diferensial

E. Metode Karakteristik

F. Metode Volume Hingga

G. Metode Garis

H. Matriks Jacobian

I. Nilai Eigen dan Vektor Eigen

BAB III PENYELESAIAN NUMERIS ARUS LALU LINTAS

A. Hubungan Kecepatan, Kepadatan, dan Arus Lalu Lintas

B. Model Deterministik Arus Lalu Lintas

C. Linearisasi Model Arus Lalu Lintas


7

D. Gelombang Kepadatan Lalu Lintas

E. Interpretasi Gelombang Lalu Lintas

F. Contoh Arus Lalu Lintas yang Hampir Seragam

G. Metode Karakteristik Lalu Lintas Tidak Seragam

H. Lalu Lintas dari Lampu Merah ke Hijau

I. Hubungan Linear antara Kecepatan dan Kepadatan

J. Nilai Kepadatan Awal Tidak Konstan

K. Solusi Analitis

BAB IV SIMULASI NUMERIS ARUS LALU LINTAS

A. Metode Volume Hingga Lax-Friedrichs

B. Sistem Relaksasi Jin-Xin

C. Eror Solusi Numeris

D. Simulasi Solusi Analitis dan Numeris

BAB V PENUTUP

A. Kesimpulan

B. Saran

DAFTAR PUSTAKA

LAMPIRAN


8

BAB II

PERSAMAAN DIFERENSIAL

Pada bab ini akan dipaparkan landasan teori yang digunakan dalam skripsi

ini, yaitu turunan, integral, penurunan numeris, klasifikasi persamaan diferensial,

metode karakteristik, metode garis, matriks Jacobian, dan nilai eigen serta vektor

eigen.

A. Turunan

Dalam subbab ini akan dijelaskan definisi dan contoh dari turunan, hubungan

turunan dan fungsi kontinu, serta aturan Leibniz.

Definsi 2.1.1

Diberikan fungsi 𝑓: 𝐷𝑓 ⊆ ℝ → ℝ dan 𝑎 ∈ 𝐷𝑓.

Turunan / derivatif dari fungsi 𝑓 di titik 𝑎 didefinisikan sebagai

𝑓′(𝑎) = limℎ→0

𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)

ℎ

dengan syarat bahwa nilai limit tersebut ada.

Definisi 2.1.2

Definisi lain untuk turunan, jika diambil subtitusi 𝑥 = 𝑎 + ℎ dan ℎ = 𝑥 − 𝑎 maka

ℎ → 0 jika dan hanya jika 𝑥 → 𝑎, sehingga

𝑓′(𝑎) = lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)

𝑥 − 𝑎

Jika nilai 𝑓′(𝑎) ada, maka fungsi 𝑓 dikatakan mempunyai turunan atau derivatif di

titik 𝑎.


9

Contoh 2.1.1

Tentukan turunan fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 3𝑥 di 𝑥 = 2.

Penyelesaian:

𝑓′(2) = limℎ→0

𝑓(2 + ℎ) − 𝑓(2)

ℎ

= limℎ→0

(2 + ℎ)2 − 3(2 + ℎ) − (22 − 3 ∙ 2)

ℎ

= limℎ→0

4 + 4ℎ + ℎ2 − 6 − 3ℎ + 2

ℎ

= limℎ→0

ℎ2 + ℎ

ℎ

= limℎ→0

ℎ + 1 = 1.

Definisi 2.1.3

Diberikan fungsi 𝑓: 𝐷𝑓 ⊆ ℝ → ℝ , maka turunan atau derivatif dari fungsi 𝑓 untuk

setiap titik 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 adalah

𝑓′(𝑥) = limℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ

atau

𝑓′(𝑥) = lim𝑦→𝑥

𝑓(𝑦) − 𝑓(𝑥)

𝑦 − 𝑥

dengan syarat bahwa nilai limit tersebut ada.

Contoh 2.1.2

Tentukan turunan fungsi 𝑓′(𝑥) jika diketahui 𝑓(𝑥) = 𝑥3.

Penyelesaian:

𝑓′(𝑥) = limℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ


10

= limℎ→0

(𝑥 + ℎ)3 − 𝑥3

ℎ

= limℎ→0

𝑥3 + 3𝑥2ℎ + 3𝑥ℎ2 + ℎ3 − 𝑥3

ℎ

= limℎ→0

3𝑥2ℎ + 3𝑥ℎ2 + ℎ3

ℎ

= limℎ→0

3𝑥2 + 3𝑥ℎ + ℎ2 = 3𝑥2.

Contoh 2.1.3

Tentukan turunan pertama fungsi 𝑓(𝑥) =𝑥+1

𝑥+2.

Penyelesaian:

𝑓′(𝑥) = lim𝑦→𝑥

𝑓(𝑦) − 𝑓(𝑥)

𝑦 − 𝑥

= lim𝑦→𝑥

𝑦 + 1𝑦 + 2 −

𝑥 + 1𝑥 + 2

𝑦 − 𝑥

= lim𝑦→𝑥

(𝑦 + 1)(𝑥 + 2) − (𝑥 + 1)(𝑦 + 2)(𝑥 + 2)(𝑦 + 2)

𝑦 − 𝑥

= lim𝑦→𝑥

𝑥𝑦 + 2𝑦 + 𝑥 + 2 − 𝑥𝑦 − 2𝑥 − 𝑦 − 2(𝑥 + 2)(𝑦 + 2)

𝑦 − 𝑥

= lim𝑦→𝑥

𝑦 − 𝑥(𝑥 + 2)(𝑦 + 2)

𝑦 − 𝑥

= lim𝑦→𝑥

1

(𝑥 + 2)(𝑦 + 2)

=1

(𝑥 + 2)2 .


11

Teorema 2.1.1

Jika 𝑓(𝑥) mempunyai turunan atau terdiferensial di 𝑥 = 𝑎, maka 𝑓(𝑥) kontinu di

𝑥 = 𝑎.

Bukti dapat dilihat pada buku karangan Hallet. H, Gleason, McCallum, dkk yang

berjudul Calculus (Single and Multi Variable).

Teorema 2.1.2

Jika 𝑓 dan 𝑔 kedua fungsi yang mempunyai turunan, maka fungsi komposisi 𝑓 ∘ 𝑔

juga mempunyai turunan yaitu

(𝑓 ∘ 𝑔)′(𝑥) = 𝑓′(𝑔(𝑥))𝑔′(𝑥)

dengan menggunakan notasi Leibniz, rumus di atas dapat dibagi menjadi dua kasus

yaitu:

Kasus 1. Jika 𝑦 = 𝑓(𝑢) fungsi terhadap 𝑢 dan 𝑢 = 𝑔(𝑥) fungsi terhadap 𝑥 yang

keduanya terdiferensial, maka

𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑑𝑦

𝑑𝑢∙𝑑𝑢

𝑑𝑥.

Kasus 2. Jika 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) fungsi terhadap 𝑥 dan 𝑦 yang terdiferensial dengan 𝑥 =

𝑔(𝑡) dan 𝑦 = ℎ(𝑡) fungsi terhadap 𝑡 yang juga terdiferensial maka

𝑑𝑧

𝑑𝑡=𝜕𝑧

𝜕𝑥∙𝑑𝑥

𝑑𝑡+𝜕𝑧

𝜕𝑦∙𝑑𝑦

𝑑𝑡.

Bukti dapat dilihat pada buku karangan Hallet. H, Gleason, McCallum, dkk yang

berjudul Calculus (Single and Multi Variable).

Contoh 2.1.1

Tentukan turunan (𝑑𝑦

𝑑𝑥) jika diketahui 𝑦 = 𝑢2 + 3𝑢 dan 𝑢 = 3𝑥2 + 5𝑥 − 1.

Penyelesaian:


12

Dipandang

𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑑(𝑢2 + 3𝑢)

𝑑𝑢∙𝑑(3𝑥2 + 5𝑥 − 1)

𝑑𝑥,

𝑑𝑦

𝑑𝑥= (2𝑢 + 3) ∙ (6𝑥 + 5).

Karena 𝑢 = 3𝑥2 + 5𝑥 − 1, maka didapat 𝑑𝑦

𝑑𝑥= (2(3𝑥2 + 5𝑥 − 1) + 3) ∙ (6𝑥 + 5).

Contoh 2.1.2

Diketahui 𝑧 = 𝑥3 + 3𝑥𝑦, dengan 𝑥 = 5𝑡2 dan 𝑦 = 𝑡2 + 7𝑡. Tentukan 𝑑𝑧

𝑑𝑡.

Penyelesaian:

𝑑𝑧

𝑑𝑡=𝜕(𝑥3 + 3𝑥𝑦)

𝜕𝑥∙𝑑(5𝑡2)

𝑑𝑡+𝜕(𝑥3 + 3𝑥𝑦)

𝜕𝑦∙𝑑(𝑡2 + 7𝑡)

𝑑𝑡,

𝑑𝑧

𝑑𝑡= (3𝑥2 + 3𝑦) ∙ 10𝑡 + 3𝑥 ∙ (2𝑡 + 7),

𝑑𝑧

𝑑𝑡= 30𝑥2𝑡 + 30𝑦𝑡 + 6𝑥𝑡 + 21𝑥.

B. Integral

Dalam subbab ini akan dijelaskan definisi dan contoh dari integral tak tentu dan

integral tertentu.

Definisi 2.2.1

Integral suatu fungsi dapat didefinisikan sebagai invers/anti turunan fungsi yang

dinotasikan oleh ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥), yang artinya integral fungsi 𝑓(𝑥) terhadap 𝑥.

Contoh 2.2.1

Tentukan integral dari fungsi 𝑓(𝑥) = 2𝑥.

Penyelesaian:


13

∫2𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥2 + 𝑐, 𝑐 ∈ ℝ.

Definsi 2.2.2

Misalkan 𝑔 adalah fungsi bernilai real yang terdefinisi pada interval [𝑎, 𝑏] dan

𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛−1, 𝑥𝑛 dengan 𝑎 = 𝑥0 < 𝑥1 < 𝑥2 < ⋯ < 𝑥𝑛−1 = 𝑏 yang

merupakan partisi pada [𝑎, 𝑏], 𝑓 dikatakan terintegral Riemann pada interval [𝑎, 𝑏]

jika limit berikut ada

∫ 𝑓(𝑥)𝑏

𝑎

𝑑𝑥 = lim‖∆𝑥‖→0

∑𝑓(𝑥𝑗∗)(𝑥𝑗 − 𝑥𝑗−1)

𝑛

𝑗=1

dengan ‖∆𝑥‖ = max1≤𝑗≤𝑛(𝑥𝑗 − 𝑥𝑗−1) dan 𝑥𝑗∗ ∈ [𝑥𝑗−1, 𝑥𝑗] disebut titik evaluasi

(𝑡𝑎𝑔).

Jumlahan Riemann didefinisikan sebagai

∑𝑓(𝑥𝑗∗)(𝑥𝑗 − 𝑥𝑗−1)

𝑛

𝑗=1

.

Definisi 2.2.3

Jika 𝑓 merupakan fungsi kontinu pada interval tertutup [𝑎, 𝑏], kita dapat membagi

interval tertutup [𝑎, 𝑏] menjadi 𝑛 sub interval yang lebarnya sama yaitu ∆𝑥𝑖 =

(𝑏 − 𝑎) 𝑛⁄ dengan 𝑖 = 1,2,3… , 𝑛. Diambil 𝑥0(= 𝑎), 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛(= 𝑏) menjadi

titik sampel dari subinterval dan 𝑥1∗, 𝑥2

∗, … , 𝑥𝑛∗ sembarang titik sampel dari

subinterval sehingga 𝑥𝑖∗ yang terletak pada subinterval ke-𝑖 [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖]. Maka integral

tertentu dari fungsi 𝑓 pada interval tertutup [𝑎, 𝑏] didefinisikan sebagai

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎

= lim𝑛→∞

∑𝑓(𝑥𝑖∗)∆𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

.


14

Contoh 2.2.2

Tentukan integral fungsi 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 3 pada interval tertutup [0,3] dengan

menggunakan definisi.

Penyelesaian:

Bagi interval [0,3] kedalam 𝑛 subinterval yang sama panjang dengan

∆𝑥𝑖 =𝑏 − 𝑎

𝑛=3

𝑛.

Ambil titik sampel 𝑥𝑖∗ = 𝑎 + ∆𝑥𝑖𝑖 = 0 +

3

𝑛𝑖 =

3𝑖

𝑛.

Jadi, 𝑓(𝑥𝑖∗) = 𝑓(𝑥𝑖) = 2 (

3𝑖

𝑛) − 1 =

6𝑖

𝑛− 1.

Kemudian, jumlahan Riemman didapat

∑𝑓(𝑥𝑖∗)∆𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

=∑(6𝑖

𝑛− 1)

3

𝑛

𝑛

𝑖=1

=3

𝑛∑(

6𝑖

𝑛− 1)

𝑛

𝑖=1

=3

𝑛(∑

6𝑖

𝑛

𝑛

𝑖=1

−∑1

𝑛

𝑖=1

)

=3

𝑛(6

𝑛∑𝑖

𝑛

𝑖=1

−∑1

𝑛

𝑖=1

) =3

𝑛(6

𝑛

1

2𝑛(𝑛 + 1) − 𝑛)

=9(𝑛 + 1)

𝑛− 3 = 6 +

9

𝑛.

Jadi,

∫ (2𝑥 + 1)𝑑𝑥3

0

= lim𝑛→∞

(6 +9

𝑛) = 6.


15

C. Penurunan Numeris

Dalam subbab ini akan dijelaskan definisi deret Taylor dan hampiran metode

numeris.

Teorema 3.3.1

Misalkan 𝑓 fungsi kontinu dan terdiferensial takhingga kali. Fungsi 𝑓 dapat

dideretkan secara Taylor di sekitar titik 𝑥 = 𝑐 dengan 𝑐 ∈ ℝ, yaitu

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑐) +𝑓′(𝑐)

1!(𝑥 − 𝑐) +

𝑓′(𝑐)

2!(𝑥 − 𝑐)2 +

𝑓′(𝑐)

3!(𝑥 − 𝑐)3 +⋯.

Kasus khusus untuk nilai 𝑐 = 0, deret Taylor disebut deret Maclaurin.

Bukti dapat dilihat pada buku karangan Dale Varberg, dkk yang berjudul Kalkulus

Edisi Kesembilan Jilid 2.

Teorema 3.3.2 (Teorema Taylor dengan suku sisa Lagrange)

Jika 𝑓, 𝑓′, 𝑓′′, … , 𝑓(𝑛) kontinu pada interval [𝑎, 𝑏] dan 𝑓(𝑛+1) kontinu pada interval

(𝑎, 𝑏) maka untuk setiap 𝑥 dan 𝑐 dalam [𝑎, 𝑏] terdapat bilangan 𝜉 di antara 𝑥 dan 𝑐

sehingga berlaku

𝑓(𝑥) = ∑𝑓𝑘(𝑐)

𝑘!(𝑥 − 𝑐)𝑘 + 𝐸𝑛

𝑛

𝑘=0

dengan 𝐸𝑛 =𝑓(𝑛+1)(𝜉)

(𝑛+1)!(𝑥 − 𝑐)𝑛+1.

Bukti dapat dilihat pada buku karangan Dale Varberg, dkk yang berjudul Kalkulus

Edisi Kesembilan Jilid 2.

Definisi 3.3.2

Dipandang fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥). Turunan fungsi 𝑦 terhadap variabel 𝑥 didefinisikan

oleh


16

𝑓′(𝑥) = lim∆𝑥→0

𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)

∆𝑥.

Tidak semua fungsi dapat diturunkan secara langsung karena sering kali hanya

diketahui beberapa titik pada data awal, fungsi tidak diketahui secara eksplisit atau

fungsi mempunyai bentuk yang sangat rumit. Oleh karena itu, dalam perhitungan

turunan fungsi dapat diselesaikan dengan metode numeris yang hasilnya berupa

hampiran mendekati nilai turunan sebenarnya tetapi dengan eror yang sekecil

mungkin. Contoh-contoh di bawah ini merupakan fungsi yang sulit untuk

diturunkan secara langsung, antara lain

(1) 𝑓(𝑥) =cos𝑥+𝑒−𝑥−

3𝑥

sin𝑥

√sin(4𝑥3)+𝑥2 tan(5𝑥)

(2) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 ln(8𝑥3)𝑒(5𝑥2+3𝑥+2)

Tiga hampiran metode numeris yaitu

1. Hampiran beda maju

Dipandang fungsi 𝑓 = 𝑓(𝑥). Turunan 𝑦 terhadap variabel 𝑥 didefinisikan

oleh


𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)

∆𝑥,

atau untuk ∆𝑥 tertentu menjadi

𝑓′(𝑥) ≈𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)

∆𝑥.

2. Hampiran beda mundur


oleh


𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥 − ∆𝑥)

∆𝑥,


17


𝑓′(𝑥) ≈𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥 − ∆𝑥)

∆𝑥.

3. Hampiran beda pusat


oleh


𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥 − ∆𝑥)

2∆𝑥,


𝑓′(𝑥) ≈𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥 − ∆𝑥)

2∆𝑥.

D. Klasifikasi Persamaan Diferensial

Dalam subbab ini akan dijelaskan definisi dan contoh dari persamaan diferensial,

persamaan diferensial biasa, dan persamaan diferensial parsial.

Definisi 2.4.1

Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang melibatkan turunan satu atau

lebih variabel terikat yang berhubungan dengan satu atau lebih variabel bebas.

Contoh 2.4.1

Beberapa contoh di bawah ini merupakan persamaan diferensial:

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 𝑦 + 2,

(2.4.1)

𝜕𝑢

𝜕𝑡+𝜕𝑢

𝜕𝑥= 𝑓(𝑢),

(2.4.2)

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2+ 2𝑦 (

𝑑𝑦

𝑑𝑥)2

= 0, (2.4.3)


18

𝜕2𝑣

𝜕𝑦2−𝜕2𝑣

𝜕𝑥2−𝜕2𝑣

𝜕𝑥𝜕𝑦= 0. (2.4.4)

Definisi 2.4.2

Persamaan diferensial biasa adalah persamaan diferensial yang hanya melibatkan

turunan biasa terhadap satu variabel bebas.

Contoh 2.4.2

Contoh dari persamaan diferensial biasa terdapat pada persamaan (2.4.1) dan

(2.4.3). Persamaan (2.4.1) adalah persamaan diferensial biasa order satu dengan 𝑡

merupakan variabel bebas, sedangkan 𝑦 merupakan variabel terikat. Persamaan

(2.4.3) adalah persamaan diferensial biasa tingkat dua dengan 𝑥 merupakan variabel

bebas sedangkan 𝑦 merupakan variabel terikat.

Definisi 2.4.3

Persamaan diferensial parsial adalah persamaan diferensial yang menyatakan

hubungan antara turunan/derivatif parsial dengan variabel-variabel bebasnya.

Contoh 2.4.3

Contoh dari persamaan diferensial biasa terdapat pada persamaan (2.4.2) dan

(2.4.4). Persamaan (2.4.2) adalah persamaan diferensial parsial order satu dengan 𝑡

dan 𝑥 merupakan variabel bebas, sedangkan 𝑢 merupakan variabel terikat.

Persamaan (2.4.4) adalah persamaan diferensial biasa tingkat dua dengan 𝑥, 𝑦, dan

𝑧 merupakan variabel bebas, sedangkan 𝑣 merupakan variabel terikat.


19

E. Metode Karakteristik

Definisi 2.5.1

Persamaan diferensial parsial dikatakan linear jika:

a) tidak ada perkalian antara variabel-variabel tak bebas dengan dirinya sendiri

atau dengan turunan-turunannya,

b) tidak ada fungsi transendental (trigonometri, logaritma, eksponensial,

siklometri, hiperbolik) yang terlibat dari fungsi dalam variabel-variabel tak

bebas.

Definisi 2.5.2

Tingkat atau order dalam persamaan diferensial parsial didefinisikan sebagai

tingkat dari turunan tertinggi yang muncul pada persamaan diferensial parsial.

Definisi 2.5.3

Dipandang persamaan diferensial parsial linear order satu berikut

𝑎(𝑥, 𝑦)𝑢𝑥 + 𝑏(𝑥, 𝑦)𝑢𝑦 + 𝑐(𝑥, 𝑦)𝑢 = 𝑓(𝑥, 𝑦).

Kurva-kurva yang memenuhi persamaan diferensial biasa yaitu

𝑑𝑥

𝑎(𝑥, 𝑦)=

𝑑𝑦

𝑏(𝑥, 𝑦)

disebut kurva karakteristik persamaan diferensial tersebut.

Catatan: notasi 𝑢𝑥 bermakna 𝜕𝑢(𝑥, 𝑦) 𝜕𝑥⁄ .

Penurunan persamaan diatas dapat dilihat pada buku karangan Lokenath Debnath

yang berjudul Nonlinear Partial Differential Equations for Scientists and Engineers.

Misalkan persamaan diferensial biasa diatas mempunyai penyelesaian ℎ(𝑥, 𝑦) = 𝑘,

dengan membuat transformasi

𝜉 = 𝑥,


20

𝜂 = ℎ(𝑥, 𝑦),

maka

𝑢𝑥 =𝜕𝑢(𝑥, 𝑦)

𝜕𝑥=𝜕𝑢

𝜕𝜉

𝜕𝜉

𝜕𝑥+𝜕𝑢

𝜕𝜂

𝜕𝜂

𝜕𝑥,

atau

𝑢𝑥 = 𝑢𝜉 . 1 + 𝑢𝜂ℎ𝑥,

atau

𝑢𝑥 = 𝑢𝜉 + 𝑢𝜂ℎ𝑥,

dan

𝑢𝑦 =𝜕𝑢(𝑥, 𝑦)

𝜕𝑦=𝜕𝑢

𝜕𝜉

𝜕𝜉

𝜕𝑦+𝜕𝑢

𝜕𝜂

𝜕𝜂

𝜕𝑦,

atau

𝑢𝑥 = 𝑢𝜉 . 0 + 𝑢𝜂𝜂𝑦,

atau

𝑢𝑥 = 𝑢𝜂𝜂𝑦,

atau

𝑢𝑥 = 𝑢𝜂ℎ𝑦.

Contoh 2.5.1

Tentukan penyelesaian dari persamaan 𝑢𝑥 + 𝑦𝑢𝑦 = 𝑥 dengan 𝑢(1, 𝑦) = cos 𝑦.

Penyelesaian:

Karakteristik dari persamaan tersebut diberikan oleh

𝑑𝑥

1=𝑑𝑦

𝑦,


21

∫𝑑𝑥 = ∫𝑑𝑦

𝑦,

𝑥 + 𝑘 = ln 𝑦,

𝑒𝑥𝑒𝑘 = 𝑦,

𝑦 = 𝑐𝑒𝑥 atau c = 𝑦𝑒−𝑥.

Kemudian, ditransformasi menjadi

𝜉 = 𝑥 atau 𝑥 = 𝜉,

𝜂 = 𝑦𝑒−𝑥 atau 𝑦 = 𝜂𝑒𝑥.

Persamaan diferensial parsial tersebut menjadi

𝑢𝜉 = 𝜉,

sehingga,

𝜕𝑢

𝜕𝜉= 𝜉,

∫𝜕𝑢 = ∫𝜉𝜕𝜉,

𝑢 =𝜉2

2+ 𝑔(𝜂) =

𝑥2

2+ 𝑔(𝑦𝑒−𝑥),

dan u(1, 𝑦) = cos 𝑦 =1

2+ 𝑔(𝑦𝑒−1).

Misal 𝑧 =𝑦

𝑒 maka 𝑦 = 𝑒𝑧 didapat 𝑔(𝑧) = cos 𝑒𝑧 −

1

2.

Jadi, penyelesaiannya 𝑢 =𝑥2

2+ 𝑐𝑜𝑠(𝑦𝑒−𝑥) −

1

2.

F. Metode Volume Hingga

Pada subbab ini akan dijelaskan skema upwind dan skema volume hingga

secara numeris untuk model persamaan diferensial parsial hiperbolik order satu.


22

1. Skema Upwind

Dipandang persamaan diferensial hiperbolik order satu yaitu

𝑞𝑡 + 𝑐𝑞𝑥 = 0

dengan 𝑐 ∈ ℝ+ (arah rambatannya ke kanan).

Skema upwind untuk persamaan diatas adalah

𝑄𝐼𝑛+1 = 𝑄𝐼

𝑛 −∆𝑡

∆𝑥(𝐹𝑖+1 2⁄

𝑛 − 𝐹𝑖−1 2⁄𝑛 ).

Fluks upwind untuk 𝐹𝑖−1 2⁄𝑛 dan 𝐹𝑖+1 2⁄

𝑛 didefinisikan sebagai

𝐹𝑖+1 2⁄𝑛 ≈ 𝑓(𝑞(𝑥𝑖, 𝑡

𝑛)),

𝐹𝑖+1 2⁄𝑛 ≈ 𝑐𝑞(𝑥𝑖, 𝑡

𝑛),

𝐹𝑖+1 2⁄𝑛 ≈ 𝑐𝑄𝑖

𝑛,

dan

𝐹𝑖−1 2⁄𝑛 ≈ 𝑓(𝑞(𝑥𝑖−1, 𝑡

𝑛)),

𝐹𝑖−1 2⁄𝑛 ≈ 𝑐𝑞(𝑥𝑖−1, 𝑡

𝑛),

𝐹𝑖−1 2⁄𝑛 ≈ 𝑐𝑄𝑖−1

𝑛 .

2. Skema Volume Hingga

Dipandang persamaan diferensial parsial berbentuk hukum kekekalan

hiperbolik

𝑞𝑡 + 𝑓(𝑞)𝑥 = 0

Diambil nilai 𝑄𝑖𝑛 sebagai pendekatan nilai rata-rata interval ke-𝑖 pada waktu ke

𝑡𝑛 sebagai berikut

𝑄𝑖𝑛 =

1

∆𝑥∫ 𝑞(𝑥, 𝑡𝑛)𝑑𝑥𝑥𝑖+1 2⁄

𝑥𝑖−1 2⁄


23

dengan ∆𝑥 = 𝑥𝑖+1

2

− 𝑥𝑖−1

2

, yang fluks volume hingganya pada 𝑥 = 𝑥𝑖+1

2

diberikan oleh

𝐹𝑖+12

𝑛 =1

∆𝑡∫ 𝑓(𝑞(𝑥𝑖, 𝑡))𝑑𝑡𝑡𝑛+1

𝑡𝑛

maka

𝑄𝑖𝑛+1 − 𝑄𝑖

𝑛

∆𝑡+

𝐹𝑖+12

𝑛 − 𝐹𝑖−12

𝑛

∆𝑥= 0,

atau


𝑛

∆𝑡= −

𝐹𝑖+12

𝑛 − 𝐹𝑖−12

𝑛

∆𝑥,

atau


𝑛 = −∆𝑡

𝐹𝑖+12

𝑛 − 𝐹𝑖−12

𝑛

∆𝑥,

atau

𝑄𝑖𝑛+1 = 𝑄𝑖

𝑛 −∆𝑡

∆𝑥(𝐹

𝑖+12

𝑛 − 𝐹𝑖−12

𝑛 ).

G. Metode Garis

Metode garis merupakan teknik secara umum untuk menyelesaikan

persamaan diferensial parsial dengan menggunakan beda hingga yang berhubungan

dengan turunan pada ruang dan persamaan diferensial biasa pada turunan waktu.

Definisi 2.6.1

Persamaan diferensial parsial order satu dikatakan hiperbolik jika matriks Jacobian

dari fungsi fluks dapat didiagonalkan dan semua nilai eigennya bernilai real.


24

Definisi 2.6.2

Dipandang persamaan diferensial parsial hiperbolik order satu dalam domain ruang

0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿 dan domain waktu 𝑡 > 0

𝑢𝑡 + 𝑣𝑢𝑥 = 0 (2.6.1)

Persamaan di atas disebut persamaan adveksi linear dengan 𝑣 adalah konstanta yang

menyatakan kecepatan arus. Aproksimasi metode garis pada persamaan (2.6.1)

yaitu:

𝑑𝑢𝑖𝑑𝑡

= −𝑣𝑢𝑖 − 𝑢𝑖−1

∆𝑥 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛

dengan ∆𝑥 =𝐿

𝑛.

Catatan: Persamaan dapat ditulis sebagai persamaan diferensial biasa jika

persamaan hanya bergantung pada satu variabel bebas (𝑡).

H. Matriks Jacobian

Diketahui = 𝑓() yang terdiri dari 𝑛 buah persamaan dengan =

(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛) yaitu

=

[ 𝑓1()

𝑓2()...

𝑓𝑛()]

, (2.7.1)

atau dapat ditulis sebagai


25

𝑦1 = 𝑓1(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛),

𝑦2 = 𝑓2(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛),...

𝑦𝑛 = 𝑓𝑛(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛).

(2.7.2)

Matriks Jacobian didefinisikan sebagai

𝐽(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) =

[ 𝜕𝑦1𝜕𝑥1

⋯𝜕𝑦1𝜕𝑥𝑛

⋮ ⋱ ⋮𝜕𝑦𝑛𝜕𝑥1

⋯𝜕𝑦𝑛𝜕𝑥𝑛]

. (2.7.3)

Determinan Jacobian didefiniskan sebagai

|𝐽| = |𝜕(𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑛)

𝜕(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛)|. (2.7.4)

I. Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Definisi 2.8.1 (Leon, 2001)

Misalkan 𝑨 adalah suatu matriks 𝑛 × 𝑛. Skalar 𝜆 disebut sebagai suatu nilai eigen

atau nilai karakteristik (characteristic value) dari 𝑨 jika dan hanya jika terdapat

suatu vektor tak nol x, sehingga 𝑨x = 𝜆x. Vektor x disebut vektor eigen atau

vektor karakteristik yang berkorespondensi dengan 𝜆.

Contoh 2.8.1

Tentukan nilai eigen jika diketahui

𝑨 = (4 −21 1

) dan x= (21).

Penyelesaian:


26

Karena

𝑨x= (4 −21 1

) (21) = (

63) = 3 (

21) = 3x.

Dari persamaan ini terlihat bahwa 𝜆 = 3 adalah nilai eigen dari 𝑨 dan x merupakan

vektor eigen dari 𝜆. Sesungguhnya, sembarang kelipatan taknol dari vektor eigen x

akan menjadi vektor eigen, karena

𝑨(𝛼𝐱) = 𝑨𝛼𝐱 = 𝛼𝑨𝐱 = α𝜆𝐱 = 𝜆(𝛼𝐱)

Jadi, sebagai contoh (4,2)𝑇 juga vektor eigen milik 𝜆 = 3. Hal ini dapat di lihat dari

(4 −21 1

) (42) = (

126) = 3 (

42).

Contoh 2.8.2

Carilah nilai-nilai eigen dan vektor eigen yang bersesuaian dengan matriks

𝑨 = (3 23 −2

)

Penyelesaian:

Persamaan karakteristiknya adalah

|3 − 𝜆 23 −2 − 𝜆

| = 0,

atau 𝜆2 − 𝜆 − 12 = 0.

Jadi, nilai-nilai eigen dari 𝑨 adalah 𝜆1 = 4 dan 𝜆2 = −3. Untuk mencari vektor

eigen yang dimiliki oleh 𝜆1 = 4, kita harus menentukan ruang nol dari 𝑨 − 4𝑰.

𝑨 − 4𝑰 = (−1 23 −6

)

Dengan menyelesaikan (𝑨 − 4𝑰)𝐱 = 𝟎, kita mendapatkan

𝐱 = (2𝑥2, 𝑥2)𝑇 = 𝑥2(2,1)

𝑇


27

Jadi semua kelipatan tak nol (2,1)𝑇 adalah vektor eigen milik 𝜆1 dan (2,1)𝑇

adalah suatu vektor eigen untuk ruang eigen yang bersesuaian dengan 𝜆1. Dengan

cara yang sama, untuk mendapatkan vektor eigen bagi 𝜆2, kita harus menyelesaikan

Pada kasus ini, (−1,3)𝑇 adalah basis untuk 𝑁(𝑨 + 3𝑰) dan sembarang kelipatan

taknol dari (−1,3)𝑇 adalah vektor eigen milik 𝜆2. Di sini, 𝑁 melambangkan

ruang nol.


28

BAB III

PENYELESAIAN MODEL ARUS LALU LINTAS

A. Hubungan Kecepatan, Kepadatan, dan Arus Lalu Lintas

Dalam masalah arus lalu lintas, ada tiga variabel dasar lalu lintas yaitu

kecepatan kendaraan, kepadatan lalu lintas, dan arus lalu lintas. Untuk

menunjukkan ketiga hubungan variabel tersebut, ada salah satu kemungkinan yang

terjadi yaitu situasi lalu lintas yang sederhama. Misalkan, lalu lintas pada jalan yang

sama bergerak dengan kecepatan konstan 𝑢0 dan kepadatan lalu lintas konstan 𝜌0.

Ilustrasi ditunjukan oleh Gambar 3.1.

Gambar 3.1 Lalu lintas kendaraan konstan.

Karena kecepatan setiap kendaraan konstan maka jarak antar kendaraan

akan tetap konstan. Oleh karena itu, kepadatan lalu lintas tidak akan berubah seperti

jumlah kendaraan yang diamati oleh pengamat per jamnya. Setelah waktu 𝜏 jam,

setiap kendaraan bergerak sejauh 𝜏𝑢0, yaitu pergerakan pengemudi dalam

kendaraan akan sama dengan kecepatan kendaraan dikalikan dengan waktu. Jadi,

jumlah kendaraan dalam jarak 𝜏𝑢0 adalah banyaknya kendaraan yang diamati oleh

pengamat yang melewati posisi pengamat setelah waktu 𝜏 jam (lihat Gambar 3.2).

Pengamat


29

Gambar 3.2 Jarak kendaraan yang bergerak dengan kecepatan konstan dalam

waktu 𝜏 jam.

Misalkan 𝜌0 adalah banyaknya kendaraan per mil dan 𝜏𝑢0 adalah jarak

pergerakan kendaraan, maka 𝜌0𝜏𝑢0 adalah banyaknya kendaraan yang melewati

pengamat setelah waktu 𝜏 jam. Jumlah kendaraan per jam disebut arus lalu lintas.

Secara matematis arus lalu lintas didefinisikan oleh

𝑞 = 𝜌0𝑢0. (3.1.1)

Persamaan tersebut telah diturunkan dari masalah yang telah

disederhanakan. Hal ini digunakan untuk menunjukkan hukum dasar dari masalah

lalu lintas bahwa arus lalu lintas sama dengan kepadatan lalu lintas dikalikan

dengan kecepatan kendaraan. Jika variabel pada lalu lintas bergantung pada 𝑥 dan

𝑡 seperti 𝑞(𝑥, 𝑡), 𝜌(𝑥, 𝑡), 𝑢(𝑥, 𝑡) maka dapat ditunjukkan bahwa

𝑞(𝑥, 𝑡) = 𝜌(𝑥, 𝑡)𝑢(𝑥, 𝑡). (3.1.2)

Persamaan (3.1.2) dapat ditunjukkan dengan memisalkan jumlah kendaraan

yang melewati 𝑥 = 𝑥0 dengan perbedaan waktu ∆𝑡 yang sangat kecil seperti waktu

antara 𝑡0 dan 𝑡0 + ∆𝑡. Jika ∆𝑡 sangat kecil, maka kendaraan bergerak lambat. 𝜌 dan

𝑢 adalah fungsi kontinu yang bergantung pada 𝑥 dan 𝑡, sehingga 𝜌(𝑥, 𝑡) dan 𝑢(𝑥, 𝑡)

dapat didekati sebagai fungsi konstan dengan nilai 𝑥 = 𝑥0 dan 𝑡 = 𝑡0. Perbedaan

𝑢𝑜𝜏

Pengamat


30

waktu ∆𝑡 yang sangat kecil dan kendaraan melewati ruas jalan yang sempit maka

arus lalu lintas dapat diaproksimasi dengan 𝑢(𝑥, 𝑡)∆𝑡 yang melalui pengamat,

seperti yang ditunjukkan pada Gambar 3.3. Oleh karena itu, banyaknya kendaraan

yang melewati ruas jalan dapat diaproksimasi dengan 𝑢(𝑥, 𝑡)∆𝑡𝜌(𝑥, 𝑡) sehingga

arus lalu lintas diberikan oleh persamaan (3.1.2). Fungsi konstan 𝑢0 dan 𝜌0 tidak

membutuhkan modifikasi seperti fungsi 𝑢(𝑥, 𝑡) dan 𝜌(𝑥, 𝑡). Akibatnya, ada tiga

variabel dasar dalam masalah lalu lintas yaitu kepadatan lalu lintas 𝜌(𝑥, 𝑡),

kecepatan kendaraan 𝑢(𝑥, 𝑡), dan arus lalu lintas 𝑞(𝑥, 𝑡) yang sesuai pada

persamaan (3.1.2).

Gambar 3.3 Aproksimasi perbedaan pergerakan kendaraan dalam waktu ∆𝑡.

B. Model Deterministik Arus Lalu Lintas

Misalkan kondisi awal untuk kepadatan arus lalu lintas (𝜌(𝑥, 𝑡)) dan

kecepatan kendaraan (𝑢(𝑥, 𝑡)) diketahui pada panjang jalannya yang tak terhingga.

Pergerakan setiap kendaraan didefinisikan dengan persamaan diferensial biasa

order satu, yaitu:

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝑢(𝑥, 𝑡)

(3.2.1)

dengan 𝑥(0) = 𝑥0.

𝑢∆𝑡


31

Persamaan (3.2.1) menyatakan persamaan yang bergantung pada posisi

setiap kendaraan pada waktu tertentu. Penyelesaian dari persamaan tersebut berupa

fungsi kepadatan lalu lintas (𝜌(𝑥, 𝑡)). Akibatnya, kecepatan kendaraan

mempengaruhi kepadatan lalu lintas.

Diketahui interval panjang ruas jalan dari 𝑥 = 𝑎 sampai 𝑥 = 𝑏 seperti pada

Gambar 3.4.

Gambar 3.4 Kendaraan yang masuk dan keluar dari ruas jalan.

Jadi, jumlah kendaraan (𝑁) pada interval 𝑥 = 𝑎 sampai 𝑥 = 𝑏 adalah

𝑁 = ∫ 𝜌(𝑥, 𝑡) 𝑑𝑥.𝑏

𝑎

(3.2.2)

Jika tidak ada ruas jalan lain yang digunakan untuk masuk dan keluarnya

kendaraan, maka jumlah kendaraan dari 𝑥 = 𝑎 sampai 𝑥 = 𝑏 akan berubah yang

perubahannya hanya dipengaruhi oleh posisi di 𝑥 = 𝑎 dan 𝑥 = 𝑏. Jumlah kendaraan

akan berkurang jika kendaraan-kendaraan keluar dari daerah melalui 𝑥 = 𝑏, tetapi

jumlah kendaraan akan bertambah jika kendaraan-kendaraan masuk ke dalam

daerah melalui 𝑥 = 𝑎. Perubahan jumlah kendaraan (𝑑𝑁

𝑑𝑡) yaitu jumalhkendaraan

dalam waktu tertentu yang masuk ke daerah melalui 𝑥 = 𝑎 dikurangi dengan


32

jumlah kendaraan dalam waktu tertentu yang keluar dari daerah melalui 𝑥 = 𝑏

dirumuskan dengan

𝑑

𝑑𝑡𝑁 =

𝑑

𝑑𝑡∫ 𝜌(𝑥, 𝑡) 𝑑𝑥𝑏

𝑎

,

𝑑𝑁

𝑑𝑡= 𝑞(𝑎, 𝑡) − 𝑞(𝑏, 𝑡),

(3.2.3)

dengan 𝑞(𝑥, 𝑡) adalah perubahan jumlah kendaraan tiap satuan waktu. Penyelesaian

persamaan (3.2.3) tersebut sulit untuk dicari dengan cara langsung sehingga

diselesaikan sebagai berikut

𝑁(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑁(𝑡)

∆𝑡≈ 𝑞(𝑎, 𝑡) − 𝑞(𝑏, 𝑡) ,

𝑁(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑁(𝑡) ≈ 𝑞(𝑎, 𝑡)∆𝑡 − 𝑞(𝑏, 𝑡)∆𝑡 , (3.2.4)

dengan 𝑁(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑁(𝑡) adalah perubahan jumlah kendaraan antara waktu 𝑡 dan

𝑡 + ∆𝑡.

Jika 𝑞(𝑥, 𝑡) adalah perubahan jumlah kendaraan yang melewati ruas jalan

pada waktu tertentu, maka ∫ 𝑞(𝑥, 𝑡)𝑑𝑡𝑡1

𝑡0 adalah jumlah kendaraan yang melewati

ruas jalan pada waktu tertentu antara 𝑡 = 𝑡0 dan 𝑡 = 𝑡1. Pada penurunan pendekatan

nya, 𝑡 + ∆𝑡 = 𝑡1 dan 𝑡 = 𝑡0 yang integralnya mendekati 𝑞(𝑥, 𝑡)∆𝑡, sehingga

𝑁(𝑡1) − 𝑁(𝑡0) = ∫ 𝑞(𝑎, 𝑡)𝑑𝑡𝑡1

𝑡0

−∫ 𝑞(𝑏, 𝑡)𝑑𝑡𝑡1

𝑡0

= ∫ (𝑞(𝑎, 𝑡) − 𝑞(𝑏, 𝑡))𝑡1

𝑡0

𝑑𝑡. (3.2.5)

Persamaan (3.2.5) dibagi dengan 𝑡1 − 𝑡0 dan diambil limit 𝑡1 mendekati 𝑡0 didapat


33

𝑁(𝑡1) − 𝑁(𝑡0) = ∫ (𝑞(𝑎, 𝑡) − 𝑞(𝑏, 𝑡))𝑡1

𝑡0

𝑑𝑡,

𝑁(𝑡1) − 𝑁(𝑡0)

𝑡1 − 𝑡0=∫ (𝑞(𝑎, 𝑡) − 𝑞(𝑏, 𝑡))𝑡1

𝑡0𝑑𝑡

𝑡1 − 𝑡0,

lim𝑡1→𝑡0

𝑁(𝑡1) − 𝑁(𝑡0)

𝑡1 − 𝑡0= lim

𝑡1→𝑡0

∫ (𝑞(𝑎, 𝑡) − 𝑞(𝑏, 𝑡))𝑡1

𝑡0𝑑𝑡

𝑡1 − 𝑡0,

𝑑𝑁(𝑡1)

𝑑𝑡1=

𝑑

𝑑𝑡1∫ (𝑞(𝑎, 𝑡) − 𝑞(𝑏, 𝑡))𝑡1

𝑡0

𝑑𝑡. (3.2.6)

Menurut Teorema Fundamental Kalkulus, persaman (3.2.6) menghasilkan

𝑑𝑁(𝑡1)

𝑑𝑡1= 𝑞(𝑎, 𝑡) − 𝑞(𝑏, 𝑡). (3.2.7)

Di sini 𝑡1 dapat berada di sembarang waktu 𝑡 sehingga notasi 𝑡1 dapat digantikan

dengan notasi 𝑡 jadi diperoleh

𝑑𝑁(𝑡)

𝑑𝑡= 𝑞(𝑎, 𝑡) − 𝑞(𝑏, 𝑡).

(3.2.8)

Dengan mengkombinasikan antara persamaan (3.2.1) dan (3.2.8) diperoleh

𝑑

𝑑𝑡∫ 𝜌(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥𝑏

𝑎

= 𝑞(𝑎, 𝑡) − 𝑞(𝑏, 𝑡) . (3.2.9)

Persamaan di atas menunjukkan bahwa tidak ada kendaraan yang masuk atau keluar

tanpa melalui batas dan perubahan banyaknya kendaraan hanya terjadi pada batas

lalu lintas. Hal ini bukan berarti bahwa banyaknya kendaraan antara 𝑥 = 𝑎 dan 𝑥 =

𝑏 konstan. Jadi, persamaan (3.2.9) disebut hukum konservasi berbentuk integral

yang menunjukkan panjang lalu lintasnya berhingga di antara 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏.


34

Contoh:

Misalkan 𝑥 menuju ±∞ sehingga aliran kendaraan menuju nol pada jalan layang

yang takhingga panjangnya yaitu

lim𝑥→±∞

𝑞(𝑥, 𝑡) = 0

Dengan menggunakan persamaan (3.2.9) didapat

𝑑

𝑑𝑡∫ 𝜌(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥∞

−∞

= 0,

atau∫ 𝜌(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥∞

−∞

= 𝑐,

dengan 𝑐 adalah konstan.

Persamaan tersebut menunjukkan bahwa jumlah kendaraan akan tetap konstan pada

sepanjang waktu, tetapi hanya bisa diselesaikan jika kondisi awal jumlah kendaraan

adalah 𝑁0 atau kondisi awal kepadatan lalu lintas 𝜌(𝑥, 0) diketahui, sehingga:

∫ 𝜌(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥∞

−∞

= 𝑁0 = ∫ 𝜌(𝑥, 0)𝑑𝑥∞

−∞

.

Hukum konservasi berbentuk integral pada persamaan (3.2.9) disebut hukum

konservasi lokal pada posisi setiap jalan. Permasalahan yang diselesaikan dengan

tiga cara itu, titik akhir pada ruas jalan adalah 𝑥 = 𝑎 dan 𝑥 = 𝑏 yang merupakan

kondisi (variabel terikat) tambahan. Dari keterangan di atas, persamaan (3.2.9)

harus diganti dengan turunan parsial yaitu

𝜕

𝜕𝑡∫ 𝜌(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥𝑏

𝑎

= 𝑞(𝑎, 𝑡) − 𝑞(𝑏, 𝑡). (3.2.10)

Diasumsikan 𝑥 = 𝑎 dan 𝑥 = 𝑏 adalah posisi yang tetap pada setiap waktu (lihat

persamaan 3.2.9).


35

(1) Perhatikan integral konservasi dari kendaraan dalam interval yang kecil

pada jalan layang dari 𝑥 = 𝑎 sampai 𝑥 = 𝑎 + ∆𝑎.

Persamaan (3.2.10) menjadi

𝜕

𝜕𝑡∫ 𝜌(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥𝑎+∆𝑎

𝑎

= 𝑞(𝑎, 𝑡) − 𝑞(𝑎 + ∆𝑎, 𝑡)

1

−∆𝑎

𝜕


𝑎

=1

−∆𝑎(𝑞(𝑎, 𝑡) − 𝑞(𝑎 + ∆𝑎, 𝑡))

lim∆𝑎→0

1

−∆𝑎

𝜕


𝑎

= lim∆𝑎→0

1

−∆𝑎(𝑞(𝑎, 𝑡) − 𝑞(𝑎 + ∆𝑎, 𝑡))

lim∆𝑎→0

𝜕

𝜕𝑡

1

−∆𝑎∫ 𝜌(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥𝑎+∆𝑎

𝑎

= lim∆𝑎→0

𝑞(𝑎, 𝑡) − 𝑞(𝑎 + ∆𝑎, 𝑡)

−∆𝑎 (3.2.11)

Pada persamaan (3.2.10), ruas kanan adalah definisi turunan dari 𝑞(𝑎, 𝑡)

terhadap 𝑎 yaitu 𝜕

𝜕𝑎𝑞(𝑎, 𝑡). Sedangkan, ruas kiri adalah limitnya yang

ditunjukkan dengan dua cara, yaitu:

a. Integral adalah luas daerah di bawah kurva 𝜌(𝑥, 𝑡) antara 𝑥 = 𝑎 dan

𝑥 = 𝑎 + ∆𝑎. Dengan ∆𝑎 yang cukup kecil, maka jumlah kendaraan

antara 𝑥 = 𝑎 dan 𝑥 = 𝑎 + ∆𝑎 adalah

1


𝑎

≈ − 𝜌(𝑎, 𝑡) (3.2.12)

Oleh karena itu, persamaan (3.2.11) dapat diturunkan menjadi

𝜕

𝜕𝑡𝜌(𝑎, 𝑡) +

𝜕

𝜕𝑎𝑞(𝑎, 𝑡) = 0.

(3.2.13)


36

b. Fungsi 𝑁(, 𝑡), jumlah kendaraan di jalan raya di antara sembarang

posisi tetap 𝑥0 dan variabel posisi 𝑥 yaitu:

𝑁(, 𝑡) ≡ ∫ 𝜌(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥

𝑥0

. (3.2.14)

Kelajuan rata-rata kendaraan antara 𝑎 dan 𝑎 + ∆𝑎 setiap mil adalah

1


𝑎

=𝑁(𝑎 + ∆𝑎, 𝑡) − 𝑁(𝑎)

−∆𝑎,

lim∆𝑎→0

1


𝑎

= lim∆𝑎→0

𝑁(𝑎 + ∆𝑎, 𝑡) − 𝑁(𝑎)

−∆𝑎.

Dengan menggunakan Teorema Fundamental Kalkulus didapat

𝜕𝑁(𝑎, 𝑡)

𝜕𝑎= 𝜌(𝑎, 𝑡).

(3.2.15)

Persamaan (3.2.10) dapat diselesaikan juga dengan menggunakan

metode (a) atau (b). Karena persamaan (3.2.10) mengandung semua nilai

𝑎, maka 𝑎 dapat digantikan dengan 𝑥 yaitu

𝜕

𝜕𝑡𝜌(𝑥, 𝑡) +

𝜕

𝜕𝑥[𝑞(𝑥, 𝑡)] = 0,

(3.2.16)

atau

𝜕𝜌

𝜕𝑡+𝜕𝑞

𝜕𝑥= 0.

(3.2.17)

Persamaan ini disebut persamaan diferensial parsial yang menunjukkan

hubungan antara kepadatan lalu lintas dan arus lalu lintas yang

diasumsikan bahwa jumlah kendaraan tetap pada waktu tertentu yang

disebut hukum konservasi.

(2) Penurunan persamaan yang berbentuk hukum konservasi


37

Perhatikan hukum konservasi berbentuk integral pada persamaan (3.2.10) untuk

berhingga ruas garis pada jalan layang antara 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏. Diambil turunan

parsial terhadap 𝑏, yaitu 𝑏 = 𝑎 + ∆𝑎 yang dibagi dengan ∆𝑎 dan diambil limit

∆𝑎 → 0, didapat

𝜕𝜌(𝑏, 𝑡)

𝜕𝑡= −

𝜕

𝜕𝑏(𝑞(𝑏, 𝑡)).

(3.2.18)

Karena 𝑏 merepresentasikan sembarang posisi di jalan raya sehingga 𝑏 dapat

digantikan dengan 𝑥. Jadi, persamaan tersebut memenuhi persamaan hukum

konservasi seperti pada persamaan (3.2.16).

(3) Penurunan hukum konservasi pada ruas jalan yang panjangnya berhingga

antara 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 yang hubungannya dengan ruas kanan pada persamaan

(3.2.16) .

𝑞(𝑎, 𝑡) − 𝑞(𝑏, 𝑡) = −𝜕

𝜕𝑡∫ [𝑞(𝑥, 𝑡)]𝑑𝑥𝑏

𝑎

. (3.2.19)

Dari persamaan (3.2.16) didapat

∫ [𝜕𝜌(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑡+𝜕𝑞(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑥]

𝑏

𝑎

𝑑𝑥 = 0. (3.2.20)

Persamaan di atas dapat diturunkan terhadap 𝑏 seperti pada persamaan

(3.2.16), yang akan didapat seperti pada kasus (1) dan (2). Persamaan (3.2.20)

adalah definisi dari beberapa kuantitas integral yang hasilnya selalu nol untuk

setiap nilai yang bebas yang diambil limitnya. Fungsi yang diintegralkan yang

hasilnya nol untuk sembarang interval adalah fungsi nol. Oleh karana itu,

didapat persamaan (3.2.10).

Dari ketiga metode tersebut terbukti bahwa


38

𝜕𝜌

𝜕𝑡+𝜕𝑞

𝜕𝑥= 0.

(3.2.21)

Persamaan (3.2.21) sesuai jika tidak ada jalan yang masuk ataupun keluar yang

menginterpretasikan hukum konservasi dalam berbagai situasi dengan tidak

adanya lalu lintas. Secara umum, jika 𝜌 adalah kepadatan dari kuantitas lokal

dan 𝑞 adalah arus dari kuantitas batas persimpangan maka persamaannya seperti

pada persamaan (3.2.21). Namun masalah arus lalu lintas didefinisikan sebagai

𝑞 = 𝜌𝑢.

Oleh karena itu, hukum konservasi dapat ditulis sebagai

𝜕𝜌

𝜕𝑡+𝜕

𝜕𝑥(𝜌𝑢) = 0.

(3.2.22)

Persamaan tersebut merupakan persamaan diferensial parsial untuk

masalah lalu lintas yang berhubungan dengan kepadatan lalu lintas dan

kecepatan kendaraan.

C. Linearisasi Model Lalu Lintas

Dipandang model deterministik arus lalu lintas berbentuk persamaan

diferensial parsial

𝜕𝜌

𝜕𝑡+𝜕

𝜕𝑥(𝜌𝑢) = 0,

(3.3.1)

atau

𝜕𝜌

𝜕𝑡+𝜕𝑞

𝜕𝑥= 0.

(3.3.2)

Persamaan (3.3.2) dapat diturunkan menjadi


39

𝜕𝜌

𝜕𝑡+𝜕𝑞

𝜕𝜌

𝜕𝜌

𝜕𝑥= 0.

Karena 𝑞 merupakan fungsi yang hanya bergantung pada 𝜌 maka

𝜕𝜌

𝜕𝑡+𝑑𝑞

𝑑𝜌

𝜕𝜌

𝜕𝑥= 0, (3.3.3)

dengan 𝜌 adalah fungsi kontinu non linear.

Diketahui nilai awal kepadatan lalu lintas

𝜌(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥).

Persamaan diferensial parsial untuk arus lalu lintas tersebut tidak dapat

diselesaikan dengan menggunakan integral seperti contoh di bawah ini apabila

diketahui nilai awal 𝜌(0) = 𝜌0 yang dapat diselesaikan mirip dengan cara

menyelesaikan persamaan diferensial biasa.

Contoh 1

Akan diselesaikan

𝜕𝜌

𝜕𝑡= 0.

Persamaan diferensial tersebut dapat langsung diintegralkan, yaitu

∫𝜕𝜌 = 0∫𝜕𝑡,

𝜌 = c,

dengan 𝑐 ∈ ℝ.

Diketahui 𝜌(0) = 𝜌0 maka penyelesaian pada Contoh 1 adalah

𝜌 = 𝜌0.

Contoh 2

Akan diselesaikan


40

𝜕𝜌

𝜕𝑡= −𝜌 + 2𝑒𝑡 .

Persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan variabel terpisah

𝜕𝜌

𝜕𝑡+ 𝜌 = 2𝑒𝑡.

Faktor integralnya 𝜇(𝑡) = 𝑒∫𝑑𝑡 = 𝑒𝑡.

Persamaan tersebut dikali dengan 𝑒𝑡 menjadi

𝑒𝑡𝜕𝜌

𝜕𝑡+ 𝑒𝑡𝜌 = 2𝑒2𝑡,

𝜕

𝜕𝑡(𝑒𝑡𝜌) = 2𝑒2𝑡,

∫𝜕(𝑒𝑡𝜌) = 2∫𝑒2𝑡𝜕𝑡,

𝑒𝑡𝜌 = 𝑒2𝑡 + 𝑐,

𝜌 = 𝑒𝑡 + 𝑐𝑒−𝑡.

Diketahui 𝜌(0) = 𝜌0 maka

𝑒0 + 𝑐𝑒0 = 𝜌0,

1 + 𝑐 = 𝜌0,

𝑐 = 𝜌0 − 1.

Penyelesaian pada Contoh 2 adalah

𝜌 = 𝑒𝑡 + (𝜌0 − 1)𝑒−𝑡.

Contoh 3

Akan dicari penyelesaian persamaan diferensial


41

𝜕𝜌

𝜕𝑡= −𝑥𝜌.

Karena 𝜌 adalah fungsi yang bergantung pada 𝑥 dan 𝑡 maka persamaan diferensial

parsial tersebut dapat diselesaikan dengan metode variabel terpisah yaitu

𝜕𝜌

𝜌= −𝑥 𝜕𝑡,

∫𝜕𝜌

𝜌= ∫−𝑥 𝜕𝑡,

ln|𝜌| = −𝑥𝑡 + 𝑐,

𝑒ln|𝜌| = 𝑒−𝑥𝑡+𝑐,

𝑒ln|𝜌| = 𝑒−𝑥𝑡𝑒𝑐.

Dimisalkan 𝑒𝑐 = 𝑐3 maka

𝑒ln|𝜌| = 𝑐3𝑒−𝑥𝑡,

𝜌 = 𝑐3𝑒−𝑥𝑡.

Untuk nilai 𝑥 konstan yang lain mungkin bervariasi, oleh karena itu penyelesaian

persamaan diferensial parsial tersebut adalah

𝜌(𝑥, 𝑡) = 𝑐3(𝑥)𝑒−𝑥𝑡.

Diketahui kondisi awal 𝜌(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥) berarti

𝑐3(𝑥)𝑒0 = 𝑓(𝑥),

𝑐3(𝑥) = 𝑓(𝑥).

Jadi, didapat penyelesaiannya yaitu

𝜌(𝑥, 𝑡) = 𝑓(𝑥)𝑒−𝑥𝑡.

Misalkan diketahui nilai awal dari kepadatan lalu lintas konstan yang tidak

bergantung pada variabel 𝑥 yaitu


42

𝜌(𝑥, 0) = 𝜌0.

Dengan kata lain, kepadatan lalu lintas tetap konstan karena semua kendaraan

bergerak dengan kecepatan yang sama. Akibatnya, nilai akhir kepadatan lalu lintas

akan tetap konstan seperti nilai awalnya

𝜌(𝑥, 𝑡) = 𝜌0.

Kepadatan lalu lintas yang konstan tersebut merupakan kepadatan di titik

ekuilibrium. Jika kepadatan lalu lintas relatif konstan, persamaan diferensial

tersebut dapat diselesaikan dengan perturbasi atau usikan, misalkan

𝜌(𝑥, 𝑡) = 𝜌0 + 𝜀𝜌1(𝑥, 𝑡), (3.3.4)

dengan 𝜀 adalah konstan yang cukup kecil dan |𝜀𝜌1| ≪ 𝜌0 yang disebut perturbasi

kepadatan lalu lintas.

Asumsikan nilai awal kepadatan lalu lintas adalah fungsi terhadap 𝑥

diketahui dan mendekati konstan 𝜌0, sehingga

𝜌(𝑥, 0) = 𝜌0 + 𝜀𝑓(𝑥). (3.3.5)

Persamaan (3.3.5) juga merupakan perturbasi kepadatan lalu lintas yang nilai

awalnya diketahui yaitu 𝜌(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥) sehingga persamaan (3.3.4) dapat

disubstitusikan ke dalam persamaan (3.3.3) menjadi

𝜕

𝜕𝑡(𝜌0 + 𝜀𝜌1) +

𝑑𝑞

𝑑𝜌(𝜌0 + 𝜀𝜌1)

𝜕

𝜕𝑥(𝜌0 + 𝜀𝜌1) = 0,

𝜀𝜕𝜌1𝜕𝑡

+𝑑𝑞

𝑑𝜌(𝜌0 + 𝜀𝜌1)𝜀

𝜕𝜌1𝜕𝑥

= 0,

𝜕𝜌1𝜕𝑡

+𝑑𝑞

𝑑𝜌(𝜌0 + 𝜀𝜌1)

𝜕𝜌1𝜕𝑥

= 0. (3.3.6)

Dengan ekspansi deret Taylor diperoleh


43

𝑑𝑞

𝑑𝜌(𝜌0 + 𝜀𝜌1) =

𝑑𝑞

𝑑𝜌(𝜌0) + 𝜀𝜌1

𝑑2𝑞

𝑑𝜌2(𝜌0) +

(𝜀𝜌1)2

2!

𝑑3𝑞

𝑑𝜌3(𝜌0) +

(𝜀𝜌1)3

2!

𝑑4𝑞

𝑑𝜌4(𝜌0)

+ ⋯.

Order tingkat tinggi dalam ekspansi deret Taylor diabaikan. Oleh karena itu,

didapat

𝑑𝑞

𝑑𝜌(𝜌0 + 𝜀𝜌1) =

𝑑𝑞

𝑑𝜌(𝜌0).

Dari ekspansi deret Taylor maka persamaan (3.3.6) menjadi

𝜕𝜌1𝜕𝑡

+𝑑𝑞

𝑑𝜌(𝜌0)

𝜕𝜌1𝜕𝑥

= 0, (3.3.7)

atau

𝜕𝜌1𝜕𝑡

+ 𝑐𝜕𝜌1𝜕𝑥

= 0 (3.3.8)

dengan 𝑐 = 𝑑𝑞 𝑑𝜌⁄ (𝜌0).

Selanjutnya, kita akan menyelesaikan persamaan (3.3.8) yang terkait dengan

linearisasi masalah lalu lintas. Kondisi awal kepadatan lalu lintas adalah usikan

awal kepadatan lalu lintas yang diketahui

𝜌1(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥).

Didefinisikan koordinat ruang lain yaitu 𝑥′ yang bergerak dengan kecepatan

konstan 𝑐. Diasumsikan dua sistem koordinat 𝑥 dan 𝑥′ yang asalnya sama di 𝑡 = 0

(lihat Gambar 3.5)


44

Gambar 3.5 Kendaraan bergerak dengan kecepatan 𝑐

Setelah waktu 𝑡, sistem koordinat berpindah pada jarak 𝑐𝑡 karena kendaraan

bergerak dengan kecepatan konstan 𝑐 yang diilustrasikan oleh Gambar 3.6.

Gambar 3.6 Ilustrasi 𝑥′ yang bergerak dengan kecepatan 𝑐.

Oleh karena itu, jika 𝑥′ = 0 maka 𝑥 = 𝑐𝑡. Di sisi lain pada 𝑥′, 𝑥 = 𝑥′ + 𝑐𝑡 atau

𝑥′ = 𝑥 − 𝑐𝑡. Persamaan diferensial parsial yang dihasilkan dari linearisasi arus lalu

lintas yang bergerak pada sistem koordinat akan diselidiki apa yang terjadi. Sebagai

gantinya, penyelesaiannya bergantung pada 𝑥 dan 𝑡 atau 𝑥′ dan 𝑡. Pengubahan

variabel yang melibatkan turunan parsial dilakukan untuk memudahkan dalam

menjelaskan perbedaan notasi setiap variabel yang digunakan. Variabel 𝑥′ dan 𝑡′

Bergerak dengan kecepatan 𝑐

𝑐

𝑥 = 0

𝑥′ = 0

𝑡 = 0

𝑥 = 0

𝑥′ = 0

𝑡 = 0 𝑥

𝑐𝑡 𝑥′

𝑥′


45

dengan 𝑡′ = 𝑡 digunakan untuk bergeraknya sistem koordinat. Akibatnya,

pengubahan variabel yang digunakan adalah

𝑥′ = 𝑥 − 𝑐𝑡,

𝑡′ = 𝑡.

Aturan rantai turunan parsial dilakukan untuk menyatakan persamaan

diferensial parsial dalam bentuk variabel baru yaitu

𝜕

𝜕𝑥=

𝜕

𝜕𝑥′

𝜕𝑥′

𝜕𝑥+𝜕

𝜕𝑡′

𝜕𝑡′

𝜕𝑥,

𝜕

𝜕𝑥=

𝜕

𝜕𝑥′1 +

𝜕

𝜕𝑡′0,

𝜕

𝜕𝑥=

𝜕

𝜕𝑥′.

dan

𝜕

𝜕𝑡=

𝜕

𝜕𝑥′

𝜕𝑥′

𝜕𝑡+𝜕

𝜕𝑡′

𝜕𝑡′

𝜕𝑡,

𝜕

𝜕𝑡=

𝜕

𝜕𝑥′(−𝑐) +

𝜕

𝜕𝑡′1,

𝜕

𝜕𝑡= −𝑐

𝜕

𝜕𝑥′+𝜕

𝜕𝑡′.

Walaupun 𝑡 = 𝑡′ tetapi 𝜕

𝜕𝑡≠

𝜕

𝜕𝑡′ karena hasil tersebut diperoleh dari definisi dua

turunan parsial. 𝜕

𝜕𝑡 merupakan turunan terhadap waktu pada titik 𝑥 = 0, sedangkan

𝜕

𝜕𝑡′ merupakan turunan terhadap waktu terhadap titik 𝑥′ yang bergerak dengan

kecepatan 𝑐. Perubahan waktu mungkin berbeda pada kedua sistem tersebut. Hal

itu menekankan pada pentingnya memaparkan variabel waktu yang baru 𝑡′, yang

menyatakan perbedaan notasi antara titik 𝑥 dan titik 𝑥′.


46

Oleh karena itu, persamaan (3.3.8) pada sistem koordinat yang bergerak

dengan kecepatan 𝑐 menjadi

−𝑐𝜕𝜌1𝜕𝑥′

+𝜕𝜌1𝜕𝑡′

+ 𝑐𝜕𝜌1𝜕𝑥′

= 0,

𝜕𝜌1𝜕𝑡′

= 0.

Persamaan diferensial parsial tersebut mempunyai penyelesaian

𝜕𝜌1 = 0𝜕𝑡′,

∫𝜕𝜌1 = ∫0𝜕𝑡′,

𝜌1 = konstan.

Untuk nilai 𝑥 yang berbeda, nilai 𝜌1 juga kemungkinan tidak konstan tetapi 𝜌1

adalah fungsi terhadap 𝑥′,

𝜌1 = 𝑔(𝑥′)

dengan 𝑔(𝑥′) merupakan fungsi yang berubah–ubah terhadap 𝑥′. Variabel aslinya

adalah

𝜌1 = 𝑔(𝑥 − 𝑐𝑡). (3.3.9)

Subtitusikan persamaan (3.3.9) ke persamaan (3.3.8). Dengan menggunakan aturan

rantai diperoleh

𝜕𝜌1𝜕𝑥

=𝑑𝑔

𝑑(𝑥 − 𝑐𝑡)

𝜕(𝑥 − 𝑐𝑡)

𝜕𝑥,

𝜕𝜌1𝜕𝑥

=𝑑𝑔

𝑑(𝑥 − 𝑐𝑡),

dan

𝜕𝜌1𝜕𝑡

=𝑑𝑔

𝑑(𝑥 − 𝑐𝑡)

𝜕(𝑥 − 𝑐𝑡)

𝜕𝑡,


47

𝜕𝜌1𝜕𝑡

= −𝑐𝑑𝑔

𝑑(𝑥 − 𝑐𝑡).

Sehingga terbukti bahwa persamaan (3.3.8) dipenuhi oleh persamaan (3.3.9).

Walaupun demikian, persamaan (3.3.8) melibatkan turunan parsial yang

bergantung terhadap 𝑥 dan 𝑡 yang dapat diintegralkan pada sistem koordinat yang

bergerak dengan kecepatan 𝑐. Penyelesaian secara umum persamaan (3.3.8)

mengandung fungsi yang berubah-ubah, seperti pada Contoh 3. Penyelesaian

umumnya adalah

𝜌1(𝑥, 𝑡) = 𝑔(𝑥 − 𝑐𝑡).

Tetapi 𝜌1(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥), sehingga 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥). Akibatnya, penyelesaian dari

persamaan diferensial parsial dipenuhi dengan kondisi awal

𝜌1(𝑥, 𝑡) = 𝑓(𝑥 − 𝑐𝑡),

𝜌(𝑥, 𝑡) = 𝜌0 + 𝜖𝑓(𝑥 − 𝑐𝑡). (3.3.10)

Jika kendaraan bergerak dengan kecepatan konstan, maka kepadatan lalu

lintas tetap sama. Kepadatan lalu lintas tersebut menyebar seperti gelombang yang

disebut gelombang kepadatan lalu lintas dengan kecepatan gelombang 𝑐. Perlu

dingat bahwa kecepatan kendaraan mungkin berbeda dari kecepatan saat kendaraan

tersebut bergerak. Sepanjang kurva yang 𝑥 − 𝑐𝑡 = konstan, maka kepadatan lalu

lintas akan tetap sama. Garis tersebut disebut karakteristik dari persamaan

diferensial parsial

𝜕𝜌1𝜕𝑡

+ 𝑐𝜕𝜌1𝜕𝑥

= 0.


48

Dalam kasus ini, karakteristik adalah semua garis lurus dengan kecepatan

𝑐, dengan 𝑐 = 𝑑𝑥 𝑑𝑡⁄ . Ilustrasi karakteristik yang bermacam-macam pada diagram

ruang dan waktu ditunjukkan pada Gambar 3.7. Masing–masing karakteristik,

kepadatan lalu lintas sama dengan nilai kepadatan lalu lintas itu sendiri saat 𝑡 = 0.

Perlu diingat bahwa 𝜌1 akan tetap konstan sepanjang karakteristik, tetapi 𝜕𝜌1 𝜕𝑡⁄

dan 𝜕𝜌1 𝜕𝑥⁄ mungkin tidak sama dengan nol yang diilustrasikan pada Gambar 3.8.

Gambar 3.7 Karakteristik dari 𝜕𝜌1 𝜕𝑡⁄ + 𝑐 𝜕𝜌1 𝜕𝑥⁄ = 0.

Gambar 3.8 Variasi kepadatan lalu lintas.

Berdasarkan ilustrasi di atas 𝜕𝜌1 𝜕𝑡⁄ mungkin tidak sama dengan nol karena nilai

dari 𝜌1 mungkin bervariasi dengan nilai 𝑥 tertentu. Demikian pula, 𝜕𝜌1 𝜕𝑥⁄ tidak

𝑥

𝑥 = 𝑐𝑡 𝑡

𝑥1 𝑥0

𝑥 tertentu

𝑡 tertentu

𝜌1= 𝑓(𝑥1)

𝜌0= 𝑓(𝑥0)


49

mungkin nol karena nilai dari 𝜌1 mungkin berubah dengan nilai 𝑡 tertentu. Dalam

Gambar 3.7 dan 3.8 diasumsikan 𝑐 > 0 yaitu

𝑐 =𝑑𝑞

𝑑𝜌(𝜌0).

(3.3.11)

Diagram Dasar Lalu Lintas Jalan diperlihatkan pada gambar 3.9. Kemungkinan,

gradien yang positif berarti kepadatan lalu lintas lebih kecil daripada kapasitas jalan

yang bersesuaian, dan gradien yang negatif berarti kepadatan lalu lintas lebih besar

daripada kapasitas jalan yang bersesuaian. Gradien dikatakan signifikan jika usikan

yang diberikan cukup kecil pada kepadatan lalu lintas yang seragam yang bergerak

dengan kecepatan konstan yang sama dengan gradiennya seperti pada persamaan

(3.3.11). Gelombang kecepatan kendaraan dapat bernilai positif atau negatif.

Gambar 3.9 Kurva kepadatan lalu lintas : kapasitas jalan.

D. Gelombang Kepadatan Lalu Lintas

Sebuah lalu lintas dikatakan padat jika nilai kepadatannya lebih besar

daripada nilai kepadatan optimal pada kapasitas jalan. Sedangkan, lalu lintas

dikatakan tidak padat adalah jika nilai kepadatannya lebih kecil daripada nilai

𝑞 kapasitas

𝜌

jalan

𝜌𝑚𝑎𝑥


50

kepadatan optimal (lihat Gambar 3.10). Hal tersebut dapat disimpulkan bahwa lalu

lintas padat dimana usikan kepadatan bergerak dengan kecepatan yang bernilai

negatif ketika berlawanan arah dengan lalu lintas yang tidak padat, sesuai dengan

definisi dan Diagram Dasar Lalu Lintas Jalan pada Gambar 3.9.

Gambar 3.10 Lalu lintas yang padat dan tidak padat

Diasumsikan kepadatan lalu lintas hampir seragam pada situasi lalu lintas

yang padat. Kondisi awal kepadatannya diilustrasikan oleh Gambar 3.11 dimana

garis putus-putus mengilustrasikan kondisi awal kepadatan yang mendekati konstan

dan titik pada grafik mengilustrasikan minimum relatif atau maksimum relatif dari

kepadatannya. Pada kasus sebelumnya, menunjukkan bahwa kepadatan akan tetap

konstan jika pengamat bergerak dengan kecepatan 𝑐 bernilai negatif. Akibatnya,

kepadatannya konstan sepanjang karakteristik, yang diilustrasikan oleh diagram

ruang dan waktu pada Gambar 3.12.

padat Tidak

padat

𝜌

𝑞


51

Gambar 3.11 Lalu lintas padat yang hampir seragam.

Gambar 3.12 Karakteristik 𝜕𝜌1 𝜕𝑡⁄ + 𝑐 𝜕𝜌1 𝜕𝑥⁄ = 0.

Posisi dari maksimum relatif ditandai dengan garis tebal dan minimumnya

ditandai dengan garus putus–putus. Misalkan kepadatan awalnya ditunjukkan oleh

Gambar 3.13a, yang kemudian setelah waktu 𝜏 kepadatan bergerak mundur dengan

jarak |𝑐𝜏|, dengan 𝑐 = (𝜕𝑞 𝜕𝜌⁄ )(𝜌0) yang ditunjukkan oleh Gambar 3.14b.

Gambar 3.13a Kondisi awal kepadatan lalu lintas.

𝜌(𝑥, 0)

𝑥 = 0 𝑥

𝑥 = 0

𝑡

𝑥

𝜌(𝑥, 0)

𝑥 = 0 𝑥


52

Gambar 3.14b Gelombang kepadatan bergerak mundur.

Kepadatan bergerak mundur dengan kecepatan konstan 𝑐 akan meningkat

dalam waktu yang kontinu. Gelombang kepadatan pengendara tanpa mengubah

bentuknya. Untuk membuat sketsa kepadatan 𝜌 yang bergantung pada fungsi 𝑥 dan

𝑡 membutuhkan sketsa berdimensi tiga dan hal tersebut tidak selalu mudah untuk

digambar. Sebagai contohnya, 𝑥 sumbu horizontal, 𝜌 sumbu vertikal, dan 𝑡 sumbu

yang arahnya ke kertas yang diperoleh dari Gambar 3.14. Kepadatan akan tetap

sama pada sepanjang lintasan dengan kecepatan 𝑐, dengan 𝑐 < 0. Variasi dari

kepadatan lalu lintas tampak bergerak mundur walaupun sebenarnya tidak ada

kendaraan yang bergerak mundur.

Gambar 3.14. Sketsa tiga dimensi (𝜌, 𝑥, 𝑡).

𝜌(𝑥, 0)

𝑥 = 0 𝑥

𝜌 𝑡

𝑥


53

E. Interpretasi Gelombang Lalu Lintas

Dipandang persamaan diferensial parsial untuk masalah arus lalu lintas

setelah perturbasi

𝜕𝜌1𝜕𝑡

+ 𝑐𝜕𝜌1𝜕𝑥

= 0, (3.5.1)

Misalkan kepadatan lalu lintas diukur dari pengamat yang bergerak bukan dari

kendaraan yang bergerak di lalu lintas. Posisi dari pengamat ditentukan oleh 𝑥 =

𝑥(𝑡). Kepadatan lalu lintas diukur dari pengamat yang bergantung pada waktu yaitu

𝜌1(𝑥(𝑡), 𝑡). Laju perubahan kepadatan bergantung dari variasi lalu lintas dan

pengamat yang bergerak, dengan turunan rantai pada persamaan diferensial parsial

maka berlaku

𝑑

𝑑𝑡𝜌1(𝑥(𝑡), 𝑡) =

𝜕𝜌1𝜕𝑡

+𝑑𝑥

𝑑𝑡

𝜕𝜌1𝜕𝑥.

(3.5.2)

Suku pertama pada ruas kanan 𝜕𝜌1

𝜕𝑡 merepresentasikan perubahan kepadatan lalu

lintas pada posisi yang tetap dan 𝑑𝑥

𝑑𝑡

𝜕𝜌1

𝜕𝑥 merepresentasikan perubahan yang sesuai

fakta bahwa pengamat bergerak pada daerah dengan kemungkinan kepadatan yang

berbeda. Dengan membandingkan antara perubahan kepadatan yang bergerak

bersama pengamat seperti pada persamaan (3.5.2) dengan persamaan diferensial

parsial untuk perturbasi kepadatan lalu lintas seperti pada persamaan (3.5.1). Hal

tersebut akan terlihat jelas jika pengamat bergerak dengan kecepatan 𝑐, yang berarti

jika

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝑐

(3.5.2)

maka,


54

𝑑𝜌1𝑑𝑡

= 0. (3.5.3)

Jadi, 𝜌1 adalah fungsi yang konstan. Pengamat yang bergerak dengan kecepatan 𝑐

tidak akan mempengaruhi pengukuran pada kepadatannya, seperti pada kseimpulan

subbab 3.3. Dengan kata lain, konsep yang sama dapat digunakan untuk

menyelesaikan masalah lalu lintas nonlinear, yaitu

𝜕𝜌

𝜕𝑡+𝑑𝑞

𝑑𝜌

𝜕𝜌

𝜕𝑥= 0.

Persamaan (3.5.3) dapat diperoleh penyelesaian secara aljabar dengan mudah yaitu

dengan cara mengintegralkan yang diperoleh 𝜌1 = 𝑐, dimana 𝑐 konstan. Dari

persamaan (3.5.3) didapat 𝜌1 = 𝛽 pada sepanjang 𝑥 = 𝑐𝑡 + 𝛼, dimana 𝛼 dan 𝛽

konstan. Untuk garis lurus yang berbeda misalkan 𝛼 konstan, maka 𝜌1 dapat pula

nilai konstan yang berbeda. Jadi, 𝛽 konstan bergantung pada 𝛼 konstan, yaitu 𝛽 =

𝑓(𝛼), yang mana 𝛽 adalah fungsi yang berubah–ubah terhadap 𝛼 atau

𝜌1 = 𝑓(𝑥 − 𝑐𝑡)

Penyelesaian tersebut identik dengan penyelesaian pada persamaan (3.3.10) yang

diperoleh dari transformasi persamaan diferensial parsial untuk sistem koordinat

yang bergerak dengan kecepatan 𝑐.

F. Contoh Arus Lalu Lintas yang Hampir Seragam

Misalkan kondisi awal dari kepadatan lalu lintas bernilai konstan untuk

jalan tol yang hampir takterbatas yang diilustrasikan pada Gambar 3.15. Arus lalu

lintas yang masuk harus bernilai 𝜌0𝑢(𝜌0), arusnya bersesuaian dengan kepadatan


55

yang seragam 𝜌0 sehingga banyaknya kendaraan per jam yang masuk lalu lintas

akan tetap seragam.

Gambar 3.15 Jalan raya yang lebar hampir takterbatas (hanya kendaraan yang

masuk saat 𝑥 = 0).

Perhatikan interval dari jalan raya antara jalan masuk dan titik 𝑥 = 𝑎 untuk

membuktikan pernyataan tersebut dengan menggunakan integral hukum konservasi

𝑑

𝑑𝑡∫ 𝜌(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥𝑎

0

= −𝑞(𝑎, 𝑡) + 𝑞(0, 𝑡).

Karena nilai kepadatan lalu lintas konstan, dan sisi kiri bernilai nol maka arusnya

di 𝑥 = 𝑎 harus sama dengan arus saat masuk 𝑞(𝑎, 𝑡) = 𝑞(0, 𝑡). Tetapi, arus di 𝑥 =

𝑎 adalah 𝜌0𝑢(𝜌0) maka 𝑞(0, 𝑡) = 𝜌0𝑢(𝜌0). Dengan kata lain, arus yang masuk

sama dengan arus yang keluar, sehingga jumlah kendaraan akan tetap sama dengan

asumsi bahwa kepadatannya konstan. Disisi lain, misalkan arus dalam dari

kendaraan ditentukan untuk kepadatan yang seragam

𝑞(0, 𝑡) = 𝜌0𝑢(𝜌0) + 𝜖𝑞1(𝑡), (3.6.1)

dengan 𝑞1(𝑡) diketahui.

Sehingga, penyelesaian kepadatan lalu lintas dengan menggunakan

persamaan diferensial yang sama dengan subab sebelumnya.

Kendaraan

masuk


56

𝜕𝜌1𝜕𝑡

+ 𝑐𝜕𝜌1𝜕𝑥

= 0.

Persamaan di atas diturunkan dari

𝜌(𝑥, 𝑡) = 𝜌0 + 𝜖𝜌1(𝑥, 𝑡). (3.6.2)

Lalu lintas awal diasumsikan seragam, sehingga kondisi awalnya adalah

𝜌1(𝑥, 0) = 0.

Kasus ini dapat digeneralisasikan juga dalam kepadatan awal yang sedikit

berbeda dengan kasus yang serupa. Perlu diingat bahwa kondisi awal tersebut valid

untuk 𝑥 > 0. Kondisi awal tersebut harus dilengkapi dengan kondisi arusnya seperti

pada persamaan (3.6.1), yang disebut kondisi batas karena hal tersebut terjadi pada

batas jalan yang melewati jalur cepat saat 𝑥 = 0.

Penyelesaian umum untuk persamaan diferensial parsial tersebut telah

didapat yaitu

𝜌1(𝑥, 𝑡) = 𝑔(𝑥 − 𝑐𝑡),

𝜌1(𝑥, 𝑡) = 𝜌0 + 𝜖𝑔(𝑥 − 𝑐𝑡). (3.6.3)

Dengan menggunakan konsep karakteristik dengan asumsi lampu lalu lintas,

misalnya 𝑐 > 0. Karakteristik tersebut adalah garis 𝑥 − 𝑐𝑡 = konstan yang

diilustrasikan pada Gambar 3.16.


57

Gambar 3.16 Karakteristik yang kepadatannya konstan.

𝜌1 merupakan kepadatan yang konstan pada sepanjang garis. Hal tersebut dapat

dilihat dari Gambar 3.16 yang menunjukkan bahwa daerah yang diarsir adalah nilai

kepadatan 𝜌1 = 0 atau total kepadatannya 𝜌 = 𝜌0 saat 𝑡 = 0, sedangkan daerah

yang tidak diarsir adalah keadaan kendaraan yang masuk dalam tingkat yang tidak

seragam. Pada daerah tersebut, kepadatan lalu lintas hanya sedikit berbeda dengan

kepadatan yang seragam, seperti pada persamaan (3.6.3). Kepadatan lalu lintas saat

(𝑥, 𝑡) sama dengan kepadatan lalu lintas pada jalan masuk saat waktu 𝑥 𝑡⁄ ,

𝑥 − 𝑐𝑡 = 0 − 𝑐 (𝑡 −𝑥

𝑐).

𝑥 𝑐⁄ adalah waktu yang diperlukan gelombang untuk bergerak yang berjarak 𝑥

dengan kecepatan 𝑐. Oleh karena itu, kepadatan jalan masuk dalam waktu 𝑥 −

(𝑥 𝑐⁄ ) adalah kepadatan dengan jarak 𝑥 mil pada jalan raya dalam waktu 𝑡.

Kepadatan lalu lintas yang masuk dapat ditentukan dari arus lalu lintasnya, dengan

menggunakan persamaan (3.6.1) dan mengasumsikan 𝜌 mendekati 𝜌0.

Arus lalu lintas atau 𝑞(𝜌) = 𝑞(𝜌0 + 𝜖𝑔) dapat dinyatakan dengan

menggunakan metode deret Taylor yaitu

𝑞(𝜌) = 𝑞(𝜌0) + 𝜖𝑔(𝑥′𝑐𝑡)𝑞′(𝜌0) + 𝑂(𝜖

2).


58

Karena 𝑐 = 𝑞′(𝜌0), maka arus lalu lintas diatas diaproksimasi menjadi

𝑞(𝜌) = 𝑞(𝜌0) + 𝜖𝑔(𝑥′𝑐𝑡).

Jadi, perturbasi arus lalu lintas secara sederhana adalah perturbasi kepadatan

dengan kecepatan 𝑐 dalam waktu tertentu. Dalam kasus ini, perturbasi arus lalu

lintas diketahui saat jalan masuk 𝑞1(𝑡). Sehingga,

𝑞1(𝑡) = 𝑐𝑔(−𝑐𝑡), 𝑡 > 0

Jika dimisalkan 𝑧 = −𝑐𝑡, maka

𝑞1 (−𝑧

𝑐) = 𝑐𝑔(𝑧),

𝑔(𝑧) =1

𝑐𝑞1 (

−𝑧

𝑐).

∀𝑧 < 0

Akibatnya, total kepadatan kendaraan yang diberikan oleh persamaan (3.6.3) adalah

𝜌(𝑥, 𝑡) = 𝜌0 + 𝜖𝑞1 (𝑡 −

𝑥𝑐)

𝑐,

jika 𝑥 − 𝑐𝑡 < 0.

Atau dapat disimpulkan menjadi

𝜌(𝑥, 𝑡) = 𝜌0 + 𝜖𝑞1 (𝑡 −

𝑥𝑐)

𝑐, 𝑥 − 𝑐𝑡 < 0.

𝜌0 , 𝑥 − 𝑐𝑡 > 0.

Penyelesaian ini menunjukkan bahwa lalu lintas masuk saat 𝑡 = 0 yang menyebar

dengan kecepatan 𝑐 dan posisi 𝑥 dengan menempuh waktu 𝑥 𝑐⁄ .

G. Metode Karakteristik Lalu Lintas Tidak Seragam

Konservasi kendaraan dan Diagram Dasar Lalu Lintas Jalan pada Gambar

3.9 menghasilkan persamaan diferensial parsial nonlinear order pertama pada lalu

lintas adalah


59

𝜕𝜌

𝜕𝑡+𝜕𝑞(𝜌)

𝜕𝜌

𝜕𝜌

𝜕𝑥= 0. (3.7.1)

Penyelesaian dalam subbab sebelumnya dianggap mendekati persamaan

persamaan di atas yang kepadatannya hampir seragam. Lalu lintas ditunjukkan

secara bervariasi melalui gelombang kepadatan.

Dalam subbab ini akan dijelaskan bagaimana menemukan teknik untuk

menyelesaikan kepadatan lalu lintas yang hampir seragam. Diperhatikan kembali

pengamat yang bergerak dari beberapa model yang ditetapkan yaitu 𝑥(𝑡).

Kepadatan lalu lintas yang dilihat dari posisi pengamat akan berubah setiap waktu

bergantung pada perubahan posisi pengamat, yaitu

𝜕𝜌

𝜕𝑡=𝜕𝜌

𝜕𝑡+𝑑𝑥

𝑑𝑡

𝜕𝜌

𝜕𝑥.

(3.7.2)

Dari persamaan (3.7.1) dan (3.72) dapat dilihat bahwa kepadatan akan tetap konstan

dari sudut pandang posisi pengamat, sehingga

𝜕𝜌

𝜕𝑡= 0.

(3.7.3)

Persamaan (3.7.3) menghasilkan 𝜌 yang bernilai konstan jika

𝑑𝑥

𝑑𝑡=𝑑𝑞(𝜌)

𝑑𝜌≡ 𝑞′(𝜌). (3.7.4)

Pengamat harus bergerak dengan kecepatan 𝑞′(𝜌) sehingga kecepatan

gelombang kepadatan lalu lintas mendekati seragam akan menyebar. Karena

kecepatan bergantung pada kepadatan yang mana sangat bervariasi antara bagian

yang satu dengan lainnya, maka kecepatan tersebut disebut gelombang kecepatan

lokal. Jika pengamat bergerak pada gelombang kecepatan lokal, maka kepadatan

lalu lintas dari sisi pengamat akan terlihat konstan. Oleh karena itu, pasti ada


60

gerakan yang keluar dari pengamat yang mana pengamat akan mengukur kepadatan

lalu lintas tersebut konstan, yang diilustrasikan oleh Gambar 3.17.

Gambar 3.17 Garis sepanjang kepadatan lalu lintas tetap sama.

Persaman (3.7.3) dan (3.7.4) merupakan persamaan diferensial biasa, yang

kurvanya disebut karakteristik. Sepanjang karakteristik menunjukkan bahwa 𝜌

konstan; kepadatan akan tetap sama dengan posisi karakteristik yang berpotongan

pada data awal.

Dalam kasus ini, arus hampir seragam yaitu

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝑐.

Jadi, untuk semua kurva dalam karakteristik tersebut segaris lurus secara

paralel. Pada arus lalu lintas yang tidak seragam, pengamat bergerak pada

gelombang kecepatan lokal. Kepadatan lalu lintas akan tetap jika dilihat dari posisi

pengamat, sehingga gelombang kepadatan lokal dari sudut pengamat juga akan

tetap. Kecepatan yang dilihat dari sudut pandang setiap pengamat bergerak konstan.

Setiap pengamat bergerak dengan kecepatan konstan, tetapi pengamat yang lain

mungkin bergerak dengan kecepatan konstan yang berbeda, dikarenakan perbedaan

kepadatan lalu lintas awalnya. Setiap pergerakannya merupakan gelombang

𝑥

𝑡 Kepadatan

konstan


61

kecepatan lokal masing–masing pengamat. Setiap karakteristik bergaris lurus pada

kasus ini merupakan arus yang hampir seragam. Akan tetapi, jalan miring yang

terkait dengan pengaturan kecepatannya belum tentu sama dengan karakteristik

yang berbeda dan karakteristik tersebut juga belum tentu merupakan garis lurus

yang paralel.

Dimisalkan sebuah karakteristik yang berawal di posisi 𝑥 = 𝛼 pada jalan

raya, yang ditunjukkan oleh Gambar 3.18 dimana sepanjang kurva 𝑑𝑥 𝑑𝑡⁄ = 𝑞′(𝜌)

dan 𝑑𝜌 𝑑𝑡⁄ = 0 atau 𝜌 bernilai konstan. 𝜌 awal bernilai sama saat 𝑥 = 𝑎 misalnya

saat 𝑡 = 0. Jadi, salah satu jenis karakteristiknya adalah

𝜌 = 𝜌(𝛼, 0) ≡ 𝜌𝛼 .

𝜌𝛼 adalah konstan yang diketahui. Gelombang kecepatan lalu lintas didefinisikan

sebagai karakteristik yang bernilai konstan, yaitu 𝑑𝑥 𝑑𝑡⁄ = 𝑞′(𝜌𝛼).

Gambar 3.18 Karakteristik awal saat 𝑥 = 𝛼.

Akibatnya, karakteristik tersebut merupakan garis lurus yaitu

∫ 𝑑𝑥 = ∫ 𝑞′(𝜌𝛼)𝑑𝑡,

𝑥 = 𝑞′(𝜌𝛼)𝑡 + 𝑘,

dengan 𝑘 merupakan perpotongan 𝑥 dalam karakteristik, yang sama dengan 𝛼 saat

𝑡 = 0 dan 𝑥 = 𝑎. Akibatnya, persamaan di atas berubah menjadi

𝑥 = 𝛼 𝑥

𝑡


62

𝑥 = 𝑞′(𝜌𝛼)𝑡 + 𝛼.

Persamaan diatas meruapakan salah satu jenis karakteristik. Kepadatan lalu lintas

𝜌 bernilai konstan sepanjang garis lurus, yaitu

𝜌 = 𝜌𝛼 .

Apabila karakteristik awal berasal dari 𝑥 = 𝛽 maka persamaannya akan mirip untuk

𝑥 = 𝛼 dan juga disebut karakteristik garis lurus, yaitu

𝑥 = 𝑞′(𝜌𝛼)𝑡 + 𝛼.

Walaupun demikian, jalan miring yang berbeda menyebabkan kecepatan juga

berbeda jika 𝑞′(𝜌𝛼) ≠ 𝑞′(𝜌𝛽). Sebagai contohnya diilustrasikan oleh Gambar 3.19.

Gambar 3.19 Kemungkinan karakteristik garis lurus nonparalel.

Melalui cara ini kepadatan kendaraan di waktu yang akan datang dapat diprediksi

saat 𝑡 = 𝑡∗ pada posisi 𝑥 = 𝑥∗, dengan karakteristik dari ruang dan waktu harus

diperoleh (lihat Gambar 3.20).

𝛼 𝑥

𝑡

𝛽

𝜌 = 𝜌𝛼

𝜌 = 𝜌𝛽


63

Gambar 3.20 Menentukan kepadatan lalu lintas yang akan datang dengan

mengunnakan karakteristik.

Jika karakteristiknya sudah ditentukan dan sepanjang karakteristik tersebut

mempunyai kepadatan yang konstan maka kepadatan pada titik (𝑥∗, 𝑡∗) yang

kepadatan dapat aproksimasi dengan perpotongan 𝑥, yaitu

𝜌(𝑥∗, 𝑡∗) = 𝜌(𝛾, 0).

Teknik tersebut dinamakan metode karakteristik.

Kecepatan gelombang kepadatan atau 𝑑𝑞 𝑑𝜌⁄ menyatakan bahwa pada

kecepatan tertentu kepadatan lalu lintas akan tetap sama. Kita akan

mendeskripsikan sifat-sifat dari kecepatan gelombang kepadatan. Asumsikan

𝑑𝑞 𝑑𝜌⁄ menurun ketika 𝜌 meningkat atau kecepatan gelombang kepadatan

menurun ketika kepadatan lalu lintas meningkat. Selain itu, akan ditunjukkan

hubungan antara dua kecepatan yaitu kecepatan gelombang kepadatan dan

kecepatan kendaraan. Karakteristik kecepatan dapat ditentukan dari kecepatan dan

kepadatan lalu lintas. Karena diketahui 𝑞 = 𝜌𝑢(𝜌) maka

𝑑𝑞

𝑑𝜌= 𝜌

𝑑𝑢

𝑑𝜌+ 𝑢.

Hipotesis awal diketahui bahwa kendaraan bergerak lambat saat kepadatan lalu

lintas meningkat atau 𝑑𝑢 𝑑𝜌⁄ ≤ 0, yang diilustrasikan oleh Gambar 3.21.

𝛼 𝑥

𝑡

𝛽

(𝑥. , 𝑡. )

𝛾


64

Gambar 3.21 Hubungan 𝑢 dan 𝜌 𝑑𝑢 𝑑𝜌⁄ ≤ 0.

H. Lalu Lintas dari Lampu Merah ke Hijau

Misalkan kendaraan–kendaraan berhenti pada lalu lintas saat menyala

merah. Posisi tersebut berada pada 𝑥 = 0. Karena kendaraan berdempetan maka

𝜌 = 𝜌𝑚𝑎𝑥 untuk 𝑥 < 0. Asumsikan bahwa kendaraan takberhingga banyaknya dan

tidak bergerak walaupun sebenarnya barisannya berhingga dan mungkin bisa jadi

sangat panjang kemacetannya. Jika lampu lalu lintas tersebut mengehentikan

kendaraan yang cukup panjang, asumsikan pula bahwa 𝜌 = 0 untuk 𝑥 > 0, yang

kondisi awal kepadatannya diilustrasikan oleh Gambar 3.22.

Gambar 3.22 Distribusi kepatan awal lalu lintas.

Misalkan lampu lalu lintas menyala dari merah menjadi hijau saat 𝑡 = 0.

Persamaan diferensial parsial diturunkan dari konservasi kendaraan, yaitu

𝑢

𝜌

𝑥 = 0

𝜌𝑚𝑎𝑥

𝜌(𝑥, 0)

𝑥


65

𝜕𝜌

𝜕𝑡+𝑑𝑞

𝑑𝜌

𝜕𝜌

𝜕𝑥= 0. (3.8.1)

Diketahui kondisi awalnya yang merupakn fungsi yang diskontinu

𝜌(𝑥, 0) = 𝜌max0

jika 𝑥 < 0jika 𝑥 lainnya

Saat lampu lalu lintas berubah dari merah menjadi hijau maka kendaran akan

bergerak tetapi kendaraan yang berada cukup jauh dari lalu lintas juga akan mulai

bergerak sampai kembali berubah menjadi warna merah yang diilustrasikan pada

Gambar 3.23. Lalu lintas yang jarang dapat lebih jauh bebas bergerak;

kepadatannya menjadi lebih kecil dan berhubungan dengan penyelesaiannya yang

disebut gelombang rarefactive.

Gambar 3.23 Kepadatan lalu lintas setelah lampu merah (Gelombang

rarefactive).

Persamaan (3.8.1) dapat diselesaikan dengan metode karakteristik yang

telah dibahas pada subbab sebelumnya. Perlu diingat bahwa jika 𝑑𝑥 𝑑𝑡⁄ = 𝑑𝑞 𝑑𝜌⁄

maka 𝑑𝜌 𝑑𝑡⁄ = (𝜕𝜌 𝜕𝑡⁄ ) + (𝑑𝑥 𝑑𝑡⁄ )(𝜕𝜌 𝜕𝑥⁄ ) = 0. Jadi, kepadatan lalu lintas

𝜌(𝑥, 𝑡) konstan sepanjang karakteristik, yang diberikan oleh

𝑑𝑥

𝑑𝑡=𝑑𝑞(𝜌)

𝑑𝜌= 𝜌

𝑑𝑢

𝑑𝜌+ 𝑢. (3.8.2)

𝑥 = 0

𝜌(𝑥, 𝑡)


66

Kepadatan akan menyebar saat kecepatan 𝑑𝑞 𝑑𝜌⁄ . Karena 𝜌 konstan maka

kepadatan juga akan bergerak dengan kecepatan konstan. Karakteristiknya

berbentuk suatu garis lurus pada bidang 𝑥 − 𝑡

𝑥 =𝑑𝑞

𝑑𝜌(𝜌) + 𝑘, (3.8.3)

dengan setiap karakteristik yang mungkin mempunyai perbedaan integrasi 𝑘

konstan. Akan dianalisis bahwa perpotongan data awal saat 𝑥 > 0. Terdapat

𝜌(𝑥, 0) = 0, jadi 𝜌 = 0 sepanjang setiap garis sehingga

𝑑𝑥

𝑑𝑡=𝑑𝑞

𝑑𝜌|𝜌=0

= 𝑢(𝜌) + 𝜌𝑢′(𝜌)|𝜌=0 = 𝑢(0) = 𝑢max

Kurva karakteristik yang berpotongan pada sumbu 𝑥 > 0 pada setiap garis lurus

dengan kecepatan 𝑢max. Karena karakteristiknya muncul dari 𝑥 = 𝑥0 dengan 𝑥0 >

0 saat 𝑡 = 0 yaitu

𝑥 = 𝑢max𝑡 + 𝑥0 (𝑥0 > 0)

Karakteristik pertama pada daerah tersebut diawali saat 𝑥 = 0 yang karenanya 𝑥 =

𝑢max𝑡. Jadi, di bawah daerah kurva (𝑥 > 𝑢𝑚𝑎𝑥𝑡) kepadatannya bernilai nol;

sehingga tidak ada kendaraan yang melewati daerah tersebut. Pada waktu yang

bersamaan jika kendaraan berada cukup jauh dari lalu lintas, maka tidak ada

kendaraan yang melewatinya karena kepadatannya bernilai nol. Pada

kenyataannya, andaikan kendaraan seseorang berada pada posisi yang pertama dan

setelah lampu merah berubah menjadi hijau serta kepadatannya bernilai nol maka

seseorang tersebut akan bergerak dengan kecepatan 𝑢max. Seseorang tidak akan

mencapai titik 𝑥 dengan 𝑡 = 𝑥 𝑢max⁄ . Akibatnya, tidak ada kendaraan pada posisi

𝑥 saat 𝑡 = 𝑥 𝑢max⁄ .


67

Kemudian, akan dianalisis karakteristik pada perpotongan data awal untuk

𝑥 < 0 dengan kendaraan tetap berada pada posisi kepadatan yang maksimum 𝜌 =

𝜌max, yang sepanjang karakteristiknya ditentukan oleh persamaan (3.8.2),

𝑑𝑥

𝑑𝑡=𝑑𝑞

𝑑𝜌|𝜌=𝜌max

= 𝑢(𝜌) + 𝜌𝑢′(𝜌)|𝜌=𝜌max = 𝜌max𝑢′(𝜌max) < 0,

dengan 𝑢(𝜌max) = 0 sehingga 𝑢′(𝜌max) = 0, yang berarti kecepatannya bernilai

negatif. Kepadatan menjadi maksimum berarti lalu lintas berada pada keadaan

“berat”. Jadi, karakteristik ini berupa garis lurus paralel dengan kecepatan yang

bernilai negatif pada perpotongan dengan sumbu 𝑥 negatif,

𝑥 = 𝜌max𝑢′(𝜌max)𝑡 + 𝑥0(𝑥0 < 0).

Kondisi tersebut diilustrasikan pada Gambar 3.24 yang menyatakan bahwa

kendaraan masih berdempetan pada daerah yang diindikasikan pada bagian kiri

gambar, 𝑥 < 𝜌max𝑢′(𝜌max)𝑡.

Gambar 3.24 Konsidi lalu lintas sebelum dan sesudah lampu merah menjadi

hijau.

𝜌 = 𝜌max 𝜌 = 0

𝑥 = 0 𝑥

𝑡

𝜌 = 0 𝜌 = 𝜌max

𝑥 = 𝑢max𝑡

𝑥 = 𝜌max𝑑𝑢

𝑑𝜌|𝜌max

𝑡


68

Kendaraan mulai bergerak dengan beberapa waktu yang berhingga sebelum

mulai bergerak sesudah lampu merah menjadi hijau. Teori ini juga dapat digunakan

untuk kendaraan ke-𝑛 dengan sejumlah waktu yang sama dengan

𝑡 =(𝑛 − 1)𝐿

−𝜌max𝑢′(𝜌max)

dengan 𝐿 jarak antar kendaraan. Misalkan reaksi pengendara dan waktu percepatan

tidak diperhitungkan yang akan menjadi menarik untuk mengukur berapa lama

waktu tunggu pada lampu lalu lintas sebagai posisi kendaraan. Kemudian, akan

diuji apakah waktu tunggu bergantung linear pada posisi kendaraan. Dari data yang

ada didapat 𝑢′(𝜌max)

𝑢′(𝜌max) ≈∆𝑢

∆𝜌=

−6 m. p. h

60kendaraan

km

= −0.1km2

kendaraan. jam.

Hasil tersebut merupakan data yang diramalkan dari percobaan Lincoln Tunnel

dengan mengasumsikan 𝜌max = 225 kendaraan per kilometer diperoleh

𝑡 =𝐿

−𝜌max𝑢′(𝜌max)=

1

−𝜌max2𝑢′(𝜌max)=

1

0.1(225)2.

Waktu tunggu yang diprediksi untuk setiap kendaaraan yang berada di belakang

lalu lintas adalah

𝑡 =602

0.1(225)2= 0.71 detik.

Permasalahan yang dapat dihitung sejauh ini hanya daerah antara 𝜌 = 0 dan 𝜌 =

𝜌max. Untuk memperluas secara total dapat menggunakan metode karakteristik

karena hanya ada dua nilai kepadatan (lihat Gambar 3.25) yaitu

𝜌 = 𝜌max untuk 𝑥 < 𝜌max𝑢′(𝜌max)𝑡,


69

dan

𝜌 = 0 untuk 𝑥 > 𝑢max𝑡.

Gambar 3.25 Kepadatan lalu lintas saat lampu menyala merah.

Gambar 3.25 belum cukup kuat menjelaskan bahwa kepadatannya belum tentu

berada pada daerah ini yang merupakan daerah dengan kendaraan benar–benar

melalui lampu hijau, yaitu

𝜌max𝑢′(𝜌max)𝑡 < 𝑥 < 𝑢max𝑡.

Andaikan kepadatan lalu lintas awalnya bukan merupakan fungsi yang diskontinu

tetapi fungsi yang mulus antara 𝜌 = 0 dan 𝜌 = 𝜌𝑚𝑎𝑥 dengan nilai jarak ∆𝑥 yang

cukup kecil yang dekat dengan lalu lintas (lihat Gambar 3.26). Dengan ∆𝑥 yang

cukup kecil diharapkan solusi dari permasalah ini akan sama saat ∆𝑥 = 0.

Gambar 3.26 Kepadatan lalu lintas awal yang kontinu

Untuk ∆𝑥 ≠ 0 karakteristik dari 𝜌 = 0 dan 𝜌 = 𝜌max pada diagram ruang

diilustrasikan pada Gambarr 3.27 yang menjelaskan bahwa pasti terdapat

𝑥 = 0 𝑥 = 𝑢max𝑡

𝜌(𝑥, 𝑡), 𝑡 > 0

𝑥 = 𝜌max𝑑𝑢

𝑑𝜌|𝜌max

𝑡

∆𝑥

0 𝑥

𝜌max


70

karakteristik yang dekat dengan daerah asal. 𝜌 pada sepanjang garis akan bernilai

konstan

𝑥 =𝑑𝑞

𝑑𝜌𝑡 + 𝑥0.

𝑥0 nilainya sangat kecil yang merupakan posisi dari karakteristik saat 𝑡 = 0

sehingga dapat diabaikan. Kecepatan 𝑑𝑞 𝑑𝜌⁄ akan selalu berada pada nilai– nilai

yang bersesuaian antara 𝜌 = 0 dan 𝜌 = 𝜌max karena rentang 𝜌 kontinu antara 𝜌 =

0 dan 𝜌 = 𝜌max. Dengan kata lain, kecepatan 𝑑𝑞 𝑑𝜌⁄ lebih besar daripada

kepadatannya. Kecepatan gelombangnya akan berkurang jika kepadatannya

ditingkatkan. Terdapat nilai dengan kecepatan gelombang nol dan negatif, yang

sebagian karakteristiknya ditunjukkan oleh Gambar 3.29. Kemiringan garis lurus

akan berbeda dikarenakan jarak lalu lintas yang berbeda mulai tidak adanya

kendaraan yang berdempetan sampai meningkat sesuai perubahan waktu. Lampu

yang berubah dari merah menjadi hiaju menyebabkan lalu lintasnya “menyebar

keluar” atau “meluas”.

Gambar 3.27 Diagram ruang dan waktu dengan transisi cepat dari tidak ada

lalu lintas sampai lalu lintas berdempetan.

𝑥

𝑡

|∆𝑥|


71

Jika kepadatan lalu lintas awalnya merupakan fungsi yang diskontinu,

sesuai dengan kenyataannya pasti akan didapat kepadatan di daerah yang tidak

diketahui dengan mengasumsikan limit dari masalah kondisi awal kontinu tersebut

adalah ∆𝑥 → 0. Sepanjang karakteristiknya 𝜌 bernilai konstan,

𝑑𝑥

𝑑𝑡=𝑑𝑞

𝑑𝜌,

dengan karakteristik yang merupakan garis lurus 𝑥 = (𝑑𝑞 𝑑𝜌⁄ ) + 𝑥0.

Karakteristiknya tidak bersesuaian dengan 𝜌 = 0 dan 𝜌 = 𝜌max yang melalui 𝑥 =

0 dan 𝑡 = 0, disebut karakteristik fanlike pada daerah yang diilustrasikan oleh

Gambar 3.28.

Gambar 3.28 Karaktersitik fanlike

Setiap karakteristik kepadatannya bernilai konstan pada domain ruang dan

waktu. Gelombang kepadatan pada titik (𝑥, 𝑡) diketahui

𝑑𝑞

𝑑𝜌=𝑥

𝑡. (3.8.4)

𝜌 harus diperoleh dengan menyelesaikan persamaan (3.8.4). 𝑑𝑞

𝑑𝜌 merupakan fungsi

yang bergatung pada 𝜌 dengan 𝜌 fungsi terhadap 𝑥 dan 𝑡, walaupun dalam kasus

𝑡

𝑥


72

ini sebenarnya fungsi terhadap 𝑥 𝑡⁄ di daerah karakteristik fanlike. Kadang–kadang

dalam suatu permasalahan hanya diketahui 𝑑𝑞 𝑑𝜌⁄ seperti yang diilustrasikan oleh

Gambar 3.29.

Gambar 3.29 Diagram dasar lalu lintas di jalan.

Asumsikan bahwa 𝜌 meningkat tetapi 𝑑𝑞 𝑑𝜌⁄ menurun. Kepadatan dapat

didefinisikan secara grafis pada posisi di daerah karaktersitik fanlike sebagai

berikut, diberikan 𝑥 dan 𝑡. Persamaan (3.8.4) dapat digunakan untuk menghitung

𝑑𝑞 𝑑𝜌⁄ , yang diposisikan melawan gambar 𝜌 dengan nilai yang bersesuaian seperti

pada Gambar 3.29. Diagram dasar lalu lintas di jalan dapat digunakan sebagai cara

alternatif untuk menentukan kepadatan suatu grafik pada jalan tertentu di daerah

karakteristik fanlike.

Diberikan 𝑡 dan 𝑥. Garis lurus dari titik origin ke titik (𝑡, 𝑥) mempunyai

kemiringan yang sama dengan 𝑑𝑞 𝑑𝜌⁄ . Jadi, garis lurus harus mempunyai

kemiringan yang sama dengan kurva arus–kepadatan (𝑞 − 𝑝). Kepadatan dari

𝜌max

𝑢ma𝑥

𝑑𝑞

𝑑𝜌

−𝜌max𝑑𝑢

𝑑𝜌|𝜌max

𝜌


73

kurva 𝑞 − 𝑝 yang kemiringannya sama dengan 𝑥 𝑡⁄ dapat digunakan untuk

memperkirakan kepadatan lalu lintas, seperti yang diilustrasikan pada Gambar 3.30.

Gambar 3.30 Karateristik kepadatan lalu lintas pada daerah fanlike.

Ketika 𝑑𝑞 𝑑𝜌⁄ = 0, terjadi arus yang maksimum. Jadi, posisi dengan kepadatan

maksimum dapat diindikasikan dari gelombang kepadatan yang stasioner atau

kecepatan gelombang kepadatannya sama dengan nol. Setelah lampu menyala

merah menjadi hijau, arus maksimum terjadi saat 𝑥 = 0 seperti permasalahan yang

baru saja dibahas. Posisi pengamat pada lalu lintas menunjukkan bahwa hal ini

merupakan sebuah percobaan yang sederhana untuk mengukur arus lalu lintas yang

sampai akhirnya kendaraan akan berbaris ketika lampu kembali menyala merah.

Akibatnya, ketika lampu menyala hijau, dengan cara yang mudah dapat dihitung

arus lalu lintas di jalan. Perhitungan arus lalu lintas dari kendaraan akan konstan

dan sama dengan kemungkinan kapasitas maksimum jalan jika teori ini benar yaitu

𝑢 = 𝑢(𝜌).

𝜌

𝑞

(𝑡, 𝑥)

𝑡

𝑥


74

I. Hubungan Linear Antara Kecepatan dan Kepadatan

Asumsikan hubungan kurva kecepatan dan kepadatan linear, maka

𝑢(𝜌) =𝑢max𝜌max

(𝜌max − 𝜌) = 𝑢max (1 −𝜌

𝜌max), (3.9.1)

Hubungan tersebut memiliki empat sifat yang diilustrasikan pada Gambar 3.31

yaitu

(1) 𝑢(𝜌max) = 0,

(2) 𝑢(0) = 𝜌max,

(3) 𝑑𝑢

𝑑𝜌≤ 0,

(4) 𝑑𝑞 𝑑𝜌⁄ menurun ketika 𝜌 meningkat (karena 𝑑2𝑞 𝑑𝜌2 < 0)⁄ .

Gambar 3.31 Kurva kepadatan–kecepatan linear

Arus lalu lintas dapat dihitung pada kasus ini yaitu

𝑞 = 𝜌𝑢 = 𝑢max𝜌 (1 −𝜌

𝜌max). (3.9.2)

Diagram dasar parabola pada lalu lintas jalan merupakan hasil dari persamaan

(3.9.2) yang diilustrasikan pada Gambar 3.31 yang mempunyai kecepatan

gelombang kepadatan, yaitu

𝑢max

𝜌max

𝜌

𝑢 = 𝑢max(1 − 𝜌 𝜌max)⁄

kepadatan

𝑢(𝜌)

Kecepatan


75

𝑑𝑞

𝑑𝜌= 𝑢max (1 −

2𝜌

𝜌max). (3.9.3)

Hasil dari persamaan (3.9.3) merupakan gelombang kecepatan yang positif dan

negatif. Gelombang kecepatan akan berkurang jika kepadatan meningkat, misalnya

𝑑2𝑞 𝑑𝜌2⁄ < 0. Gelombang kepadatan stasioner akan menyebabkan aliran menjadi

maksimum karena kecepatan gelombang kepadatan sama dengan nol. Pada kurva

kecepatan–kepadatan yang linear ini, kepadatan arus lalu lintas akan menjadi

maksimal jika tepat setengah dari kepadatan maksimal, 𝜌 = 𝜌max 2⁄ dan

kecepatannya setengah dari kecepatan maksimum, 𝑢(𝜌max 2⁄ ) = 𝑢max 2⁄ . Oleh

karena itu, arus lalu lintas maksimumnya adalah

𝑞 (𝜌max2) =

𝜌max𝑢max4

.

Andaikan kecepatan diberikan oleh persamaan (3.9.1). Akan diselesaikan

kepadatan lalu lintas setelah lampu menyala merah menjadi hijau dengan kepadatan

awalnya sebagai berikut

𝜌(𝑥, 0) = 𝜌max 0

jika 𝑥 < 0, jika 𝑥 > 0.

Karakteristik sepanjang 𝜌 = 0 dan 𝜌 = 𝜌max dalam diagram ruang dan waktu

diilustrasikan pada Gambar 3.33. Dalam kasus ini akan dihitung kepadatan dalam

daerah fanlike, −𝑢max𝑡 < 𝑥 < 𝑢max𝑡 yang karakteristiknya diberikan oleh

𝑑𝑞

𝑑𝜌=𝑥

𝑡,

yang dimulai dari 𝑥 = 0 dan 𝑡 = 0. Kecepatan gelombang kepadatan diberikan oleh

persamaan (3.9.3) untuk menyatakan hubungan kepadatan dan kecepatan yang

linear, yaitu


76

𝑥

𝑡= 𝑢max (1 −

2𝜌

𝜌max),

didapat

𝜌 =𝜌max2

(1 −𝑥

𝑡𝑢max). (3.9.4)

Kepadatan secara linear bergantung pada 𝑥 dan 𝑡 di daerah karakteristik fanlike saat

waktu tertentu. Kepadatan saat 𝑡 = 0 dan waktu setelahnya dengan posisi yang

diketahui batas-batasnya pada kepadatan lalu lintas maksimum dan minimum yang

ditunjukkan pada Gambar 3.32 yang berarti bahwa kepadatan kendaraan akan

menyebar keluar.

Gambar 3.32 Kepadatan lalu lintas sebelum dan sesudah lampu menjadi hijau.

Misalkan pengamat yang tetap berada pada kepadatan konstan 𝜌max,

3𝜌max 4⁄ , 𝜌max 2⁄ , 𝜌max 4⁄ , dan 0. Setiap pengamat bergerak dengan kecepatan

konstan yang berbeda. Gelombang kecepatan bergantung linear dengan kepadatan

yang ditunjukkan oleh Gambar 3.33.

0 𝑥

𝜌(𝑥, 0) 𝜌max

0 𝑥

𝜌(𝑥, 𝑡) 𝜌𝑚𝑎𝑥

𝑡 > 0

𝑥 = −𝑢max𝑡 𝑥 = 𝑢max𝑡


77

Gambar 3.33 Perbedaan kecepatan gelombang kepadatan lalu lintas.

Kecepatan kendaraan diberikan oleh

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝑢(𝑥, 𝑡).

Ketika 𝑡 = 𝑥0 𝑢max⁄ kendaraan bergerak dengan kecepatan pada daerah fanlike

yaitu

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑢max (1 −

𝜌

𝜌max).

Kendaraan yang berada di belakang lalu lintas akan mulai bergerak yang kecepatan

awalnya nol dan perlahan-lahan akan meningkat. Kecepatan kendaraan bergantung

pada posisi dan waktu karena kepadatannya ditentukan oleh persamaan (3.9.4),

𝜌 =𝑢max2

+𝑥

2𝑡. (3.9.5)

Persamaan (3.9.4) merupakan persamaan diferensial biasa tak homegen tingkat satu

yang dapat diselesaikan dengan kondisi awal sebagai berikut

𝑡 =𝑥0𝑢max

, 𝑥 = −𝑥0. (3.9.6)

Salah satu metode untuk menyelesaikannya dengan cara memperhatikan persamaan

equidimensional tak homogen,

0 𝑥

𝜌(𝑥, 0) 𝜌max

0 𝑥

𝜌(𝑥, 𝑡) 𝜌max

𝑡 > 0


78

𝑡𝑑𝑥

𝑑𝑡−1

2𝑥 =

𝑢max2

𝑡.

Metode yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan ini sama dengan metode

yang digunakan untuk persamaan equidimensional tingkat dua yang penyelesaian

homogennya dalam bentuk 𝑥 = 𝑡𝑟adalah

𝑥 = 𝐵𝑡1 2⁄ .

dengan 𝐵 sembarang konstan. Penyelesaian akan proposional terhadap 𝑡𝑟 jika sisi

kanannya juga proposional terhadap 𝑡𝑟 (𝑟 ≠1

2). Penyelesaian yang didapat dengan

menggunakan metode substitusi adalah

𝐴 =𝑢max2

+1

2𝐴.

Penyelesaian umumnya adalah

𝑥 = 𝑢max𝑡 + 𝐵𝑡1 2⁄ .

Kondisi awal pada persamaan (3.9.6) untuk menentukan 𝐵 yaitu

−𝑥0 = 𝑥0 + 𝐵 (𝑥0𝑢max

)1 2⁄

,

𝐵 = −2𝑥0 (𝑢max𝑥0

)1 2⁄

= −2(𝑥0𝑢max)1 2⁄ .

Jadi, posisi kendaraan tersebut ditentukan oleh

𝑥 = 𝑢max𝑡 − 2(𝑥0𝑢max𝑡)1 2⁄

(3.9.7)

Kecepatan kendaraannya adalah

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝑢max − (

𝑢max𝑡)1 2⁄

(3.9.8)


79

J. Nilai Kepadatan Awal Tidak Konstan

Misalkan kondisi awal kepadatan

𝜌(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥).

Kepadatan awal yang tidak konstan tersebut dapat juga diselesaikan dengan

menggunakan metode karakteristik seperti cara untuk menyelesaikan permasalahan

lalu lintas dengan kepadatan awal konstan. Asumsikan bahwa 𝑢(𝜌) = 𝑢max (1 −

𝜌

𝜌max) dengan kecepatan gelombang kepadatan menentukan karakteristik sebagai

berikut

𝑑𝑥

𝑑𝑡=𝑑𝑞

𝑑𝜌= 𝑢max (1 −

2𝜌

𝜌max).

Karakteristik pada posisi 𝑥 = 𝑥0 adalah

𝑥 = 𝑢max (1 −2𝜌

𝜌max) 𝑡 + 𝑥0.

(3.10.1)

Sepanjang kepadatannya konstan maka nilainya akan sama saat 𝑡 = 0,

𝜌(𝑥, 𝑡) = 𝜌(𝑥0, 0) = 𝑓(𝑥0). (3.10.2)

Diasumsikan karakteristiknya tidak berpotongan seperti yang diilustrasikan oleh

Gambar 3.34.

Gambar 3.34 Karakteristik nonpararel yang tidak berpotongan.

𝑥

=x


80

Ada dua cara yang ekivalen dengan menggunakan metode karakteristik

untuk menentukan kepadatan lalu lintas terhadap fungsi 𝑥 dan 𝑡 yaitu:

a. Parameterisasi posisi awal sebagai fungsi terhadap 𝑥 dan 𝑡

Setiap karakteristik ditandai pada setiap posisinya, 𝑥0. Diberikan 𝑥 dan 𝑡, akan

dicoba untuk menemukan 𝑥0 yang merupakan contoh karakteristik melalui

titik (𝑥, 𝑡). Fungsi 𝜌 digantikan oleh 𝑥0 seperti pada persamaan (3.10.2)

dengan menjadi persamaan (3.10.1) yang hasil 𝑥0 merupakan fungsi terhadap

𝑥 dan 𝑡, yaitu

𝑥0 = 𝑥0(𝑥, 𝑡). (3.10.3)

Secara eksplisit, langkah ini tidak dapat diselesaikan untuk 𝑥0, misalnya

𝜌(𝑥, 0) =𝜌max

1 + 𝑒𝑥 𝐿⁄.

Maka karakteristiknya juga sama diperoleh seperti pada persamaan (3.10.1)

yaitu

𝑥 = 𝑢max (1 −2

1 + 𝑒𝑥0 𝐿⁄) 𝑡 + 𝑥0.

Masalah tersebut tidak dapat diselesaikan secara eksplisit dikarenakan

kepadatan suatu titiknya bergantung terhadap 𝑥0,

𝜌(𝑥, 𝑡) = 𝜌(𝑥0, 0) = 𝑓(𝑥0) = 𝑓(𝑥0(𝑥, 𝑡)). (3.10.4)

Dengan menyubstitusikan persamaan (3.10.3) ke persamaan (3.10.2)

menunjukkan bahwa adanya ketergantungan posisi dan waktu terhadap

kepadatan lalu lintas, seperti pada persamaan (3.10.4).

a) Parameterisasi posisi awal sebagai fungsi kepadatan awal


81

𝑥0 sebagai fungsi terhadap 𝜌 dengan menggunakan persamaan

(3.10.2), yaitu

𝑥0 = 𝑥0(𝜌). (3.10.5)

Persamaan (3.10.5) belum tentu dapat diselesaikan secara eksplisit untuk

mendapatkan 𝑥0. Namun, persamaan (3.10.5) dapat disubstitusikan ke

persamaan (3.10.1) yang hasilnya bergantung 𝑥, 𝑡, dan 𝜌, hal ini

menunjukkan bahwa 𝜌 merupakan fungsi terhadap 𝑥 dan 𝑡, seperti yang

diilustrasikan oleh Gambar 3.35.

Misalkan 𝑢(𝜌) = 𝑢max (1 −𝜌

𝜌max) dan

𝜌(𝑥, 0) =

𝜌max jika 𝑥 < 0,

𝜌max(𝑥 − 𝐿)2

𝐿2jika 0 < 𝑥 < 𝐿,

0 jika 𝐿 > 0.

Gambar 3.35 Kepadatan awal lalu lintas.

Karakteristik sesuai persamaan (3.10.1) yang mulai dari kepadatan konstan

jika 𝑥0 > 𝐿 atau 𝑥0 < 0, karena kecepatan gelombang kepadatan mudah

untuk dihitung

𝑑𝑞

𝑑𝜌|𝜌=0

= 𝑢max dan 𝑑𝑞


= −𝑢max.

Sehingga didapat dua kepadatan yang konstan yaitu

𝜌 = 0 jika 𝑥 > 𝑢max𝑡 + 𝐿,

𝜌max jika 𝑥 < −𝑢max𝑡.

𝜌max

𝑥 = 0 𝑥 = 𝐿 𝑥


82

Gambar 3.36 menunjukkan bahwa kepadatan lalu lintas belum ditentukan

pada domain ruang dan waktu.

Gambar 3.36 Karakteristik

Oleh karena itu, harus digunakan metode karakteristik yang

dijelaskan oleh cara (1) dan (2):

(1) 𝑥0(𝑥, 𝑡)

Persamaan (3.10.1) dipenuhi oleh karakteristik antara 0 < 𝑥0 < 𝐿

dengan

𝜌 =𝜌max(𝑥0 − 𝐿)

2

𝐿2.

(3.10.6)

Jadi, persamaan karakteristiknya adalah

𝑥 = 𝑢𝑚𝑎𝑥 (1 −2

𝐿2(𝑥0 − 𝐿)

2) 𝑡 + 𝑥0. (3.10.7)

Persamaan (3.10.7) menentukan 𝑥0 sebagai fungsi terhadap 𝑥 dan 𝑡

dan akan valid untuk semua 𝑥0 asalkan 0 < 𝑥0 < 𝐿, karena

persamaannya termasuk persamaan kuadratik yang lebih mudah

menunjukkan 𝑥0 − 𝐿 dengan 𝑥0 = 𝑥0 − 𝐿 + 𝐿 menjadi

(𝑥0 − 𝐿)22𝑢max𝑡

𝐿2− (𝑥0 − 𝐿) + 𝑥 − 𝐿 − 𝑢max𝑡 = 0.

Penyelesaian persamaan kuadratik ini dengan rumus ABC didapat

𝑥 𝑥 = 𝐿 𝑥 = 0

𝑥 = −𝑢max𝑡 𝑥 = 𝑢max𝑡 + 𝐿

𝜌 = 𝜌max 𝜌 = 0


83

𝑥0 − 𝐿 =1 ± √1 −

8𝑢max𝑡𝐿2

(𝑥 − 𝐿 − 𝑢max𝑡)

4𝑢max𝑡 𝐿2⁄.

(3.10.8)

Dengan menggunakan interval 𝑢max𝑡 < 𝑥 < 𝑢max𝑡 + 𝐿 maka tanda

negatif harus dipilih untuk kepadatan lalu lintas sebagai fungsi

terhadap 𝑥 dan 𝑡 dalam daerah yang bersesuaian dengan 0 < 𝑥0 <

𝐿, yang menyubstitusikan persamaan (3.10.8) ke persamaan

(3.10.6).

𝜌(𝑥, 𝑡)

=𝜌max𝐿2

(1 ± √1 −8𝑢max𝑡𝐿2

(𝑥 − 𝐿 − 𝑢max𝑡))

2

16𝑢max2𝑡2 𝐿4⁄.

(3.10.9)

Perlu dicatat bahwa 𝑥 mendekati ujung dari variasi daerah

kepadatan, kepadatan diketahui mendekati konstan. Secara khusus

dari persamaan (3.10.9) didapat

Ketika 𝑥 → 𝑢max𝑡, 𝜌 → 0.

Ketika 𝑥 → −𝑢max𝑡, 𝜌 →𝜌max

𝐿2

(1−√(1+4𝑢max𝑡 𝐿⁄ )2)2

16𝑢max2𝑡2 𝐿4⁄= 𝜌max.

Perlu diperiksa bahwa persamaan (3.10.9) memenuhi kondisi awal

yang diketahui. Hal tersebut tidak jelas penyelesaiannya karena saat

𝑡 → 0 baik pembilang maupun penyebutnya akan cenderung nol.

Teknik yang paling sederhana untuk menentukan limit 𝑡 → 0 pada

persamaan (3.10.9) dengan didekati limitnya pada pembilangnya

karena √1 − 𝑡 ≈ 1 −1

2𝑡 jika didekati 𝑡 → 0, sehingga untuk

interval awal antara 0 < 𝑥0 < 𝐿 didapat


84

𝜌(𝑥, 𝑡) →𝜌max𝐿2

[1 − (1 −4𝑢max𝑡𝐿2

(𝑥 − 𝐿))]

2

16𝑢max2𝑡2

𝐿4

.

(2) 𝑥0(𝜌)

Dengan menggunakan persamaan (3.10.6) sebagai cara alternatif

untuk menentukan 𝑥0 merupakan fungsi terhadap 𝜌 yaitu (𝑥0 −

𝐿)2 = 𝐿2𝜌 𝜌max⁄ atau 𝑥0 = 𝐿 ± 𝐿√𝜌 𝜌max⁄ . Tanda kurang harus

digunakan karena 0 < 𝑥0 < 𝐿 sehingga

𝑥0 = 𝐿 − 𝐿√𝜌 𝜌max⁄ = 𝐿 (1 − √𝜌 𝜌max⁄ ). (3.10.10)

Perlu dicatat bahwa besar 𝜌 bervariasi antara 0 dan 𝜌max sedangkan

besar 𝑥0 bervariasi antara 0 dan 𝐿. Persamaan (3.10.10)

disubstitusikan ke persamaan (3.10.1) sehingga didapat

𝑥 = 𝑢max(1 − 2𝜌 𝜌max⁄ )𝑡 + 𝐿 (1 − √𝜌 𝜌max⁄ ).

Dapat dibentuk sebagai persamaan kudratik untuk √𝜌 𝜌max⁄ yaitu

(√𝜌 𝜌max⁄ )2

2𝑢max𝑡 + 𝐿 √𝜌 𝜌max⁄ + 𝑥 − 𝐿 − 𝑢max𝑡 = 0,

didapat

√𝜌 𝜌max⁄ =−𝐿 + √𝐿2 − 8𝑢max𝑡(𝑥 − 𝐿 − 𝑢max𝑡)

4𝑢max𝑡,

dengan memilih tanda positif pada rumus ABC tersebut karena

√𝜌 𝜌max⁄ > 0 yang kemudian persamaan diperoleh


85

𝜌(𝑥, 𝑡) =𝜌max

𝑢max2𝑡2[𝐿2 − 2√𝐿2 − 8𝑢max𝑡(𝑥 − 𝐿 − 𝑢max𝑡)

+ (√𝐿2 − 8𝑢max𝑡(𝑥 − 𝐿 − 𝑢max𝑡))2

].

K. Solusi Analitis

Dipandang persamaan masalah arus lalu lintas

𝜕𝜌

𝜕𝑡+𝜕(𝜌𝑢)

𝜕𝑥= 0

(3.11.1)

dengan 𝜌(𝑥, 𝑡) adalah kepadatan lalu lintas dan 𝑢(𝜌) adalah kecepatan kendaraan.

Kepadatan lalu lintas bergantung pada panjang ruas jalan (𝑥) dan waktu (𝑡),

sedangkan kecepatan kendaraan bergantung pada kepadatan lalu lintas (𝜌).

Dalam kasus ini, kecepatan kendaraan diberikan oleh fungsi

𝑢(𝜌) = 𝑢max (1 −𝜌

𝜌max)

(3.11.2)

dengan 𝑢max adalah kecepatan maksimum dan 𝜌max adalah kepadatan maksimum.

Jika kecepatan kendaraan mendekati nol maka kepadatan lalu lintas akan mencapai

maksimum. Sebaliknya, jika kepadatan lalu lintas mendekati nol maka kecepatan

kendaraan akan mencapai maksimum.

Misalkan persamaan (3.11.1) diubah menjadi

𝜕𝜌

𝜕𝑡+𝜕𝑞

𝜕𝑥= 0

(3.11.3)

dengan 𝑞 = 𝜌𝑢(𝜌).

Karena 𝑞 = 𝜌𝑢(𝜌), turunan pertama dari 𝑞 adalah

𝜕𝑞

𝜕𝜌= 𝑢max (1 −

2𝜌

𝜌max). (3.11.4)


86

Persamaan (3.11.3) dapat ditulis sebagai

𝜕𝜌

𝜕𝑡+𝜕𝑞

𝜕𝜌

𝜕𝜌

𝜕𝑥= 0,

𝜕𝜌

𝜕𝑡+𝑑𝑞

𝑑𝜌

𝜕𝜌

𝜕𝑥= 0, (3.11.5)

dan

𝑑𝜌

𝑑𝑡=𝜕𝜌

𝜕𝑡+𝜕𝜌

𝜕𝑥

𝜕𝑥

𝜕𝑡,

𝑑𝜌

𝑑𝑡=𝜕𝜌

𝜕𝑡+𝑑𝑥

𝑑𝑡

𝜕𝜌

𝜕𝑥.

(3.11.6)

Dari persamaan (3.11.5) dan (3.11.6) didapat

𝑑𝜌

𝑑𝑡= 0 (3.11.7)

maka diperoleh

𝑑𝑥

𝑑𝑡=𝑑𝑞

𝑑𝜌. (3.11.8)

Akan dicari nilai dari 𝑞𝜌 ketika 𝜌 = 0 dan 𝜌 = 𝜌max

𝑑𝑞

𝑑𝜌|𝜌=0

= 𝑢max (1 −0

𝜌max) = 𝑢max, (3.11.9)

𝑑𝑞


= 𝑢max (1 −𝜌max𝜌max

) = −𝑢max. (3.11.10)

Dari persamaan (3.11.8) dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan (3.11.9)

dan (3.11.10) yaitu

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝑢max,


87

𝑑𝑥 = 𝑢max𝑑𝑡,

∫𝑑𝑥 = ∫𝑢max𝑑𝑡,

𝑥 = 𝑢max𝑡,

𝑥

𝑡= 𝑢max, (3.11.11)

and

𝑑𝑥

𝑑𝑡= −𝑢max,

𝑑𝑥 = −𝑢max𝑑𝑡,

∫𝑑𝑥 = −∫𝑢max𝑑𝑡,

𝑥 = −𝑢max𝑡,

𝑥

𝑡= −𝑢max. (3.11.12)

Dari penjabaran persamaan (3.11.11) dan (3.11.12) diperoleh

𝑑𝑥

𝑑𝑡=𝑑𝑞

𝑑𝜌=𝑥

𝑡,

𝑑𝑞

𝑑𝜌=𝑥

𝑡,

𝑢max (1 −2𝜌

𝜌max) =

𝑥

𝑡,


88

𝑢max (𝜌max − 2𝜌

𝜌max) =

𝑥

𝑡,

𝜌max − 2𝜌 =𝑥𝜌max𝑡𝑢max

,

𝜌max 𝑡𝑢max − 2𝜌𝑡𝑢max = 𝑥𝜌max,

−2𝜌𝑡𝑢max = 𝑥𝜌max − 𝜌max 𝑡𝑢max,

𝜌 =𝑥𝜌max − 𝜌max 𝑡𝑢max

−2𝑡𝑢max,

𝜌 =𝜌max2

(1 −𝑥

𝑡𝑢max). (3.11.13)

Jadi, penyelesaian analitis dari persamaan (3.11.1) adalah

𝜌(𝑥, 𝑡) =

𝑢max jika

𝑥

𝑡≤ 𝑞′(𝑢max),

1

2 𝜌max(1−

𝑥

𝑢max𝑡) jika 𝑞′(𝑢max) ≤

𝑥

𝑡< 𝑞′(0),

0 jika 𝑥

𝑡≥ 𝑞′(0).

(3.11.14)


89

BAB IV

SIMULASI NUMERIS ARUS LALU LINTAS

Dalam bab ini akan disimulasikan secara analitis dan numeris model

deterministik arus lalu lintas dengan menggunakan metode volume hingga Lax-

Friedrichs dan sistem relaksasi Jin-Xin.

A. Metode Volume Hingga Lax–Friedrichs

Dalam subbab ini, akan diselesaikan masalah lalu lintas dengan

menggunakan metode volume hingga Lax–Friedrichs. Model lalu lintas berbentuk

persamaan diferensial parsial hukum kekalan yang bersifat hiperbolik, yaitu

𝜕𝜌

𝜕𝑡+𝜕𝑓(𝜌)

𝜕𝑥= 0.

(4.1.1)

Misalkan domain waktu didiskretkan menjadi

𝑡𝑛 = 𝑛. ∆𝑡, 𝑛 = 0,1,2,3, … .

Kemudian, domain ruang didiskretkan sebanyak berhingga sel menjadi

… , [𝑥𝑖−3 2⁄ , 𝑥𝑖−1 2⁄ ], [𝑥𝑖−1 2⁄ , 𝑥𝑖+1 2⁄ ], [𝑥𝑖+1 2⁄ , 𝑥𝑖+3 2⁄ ], … seperti ditunjukkan pada

Gambar 4.1.

Gambar 4.1 Diskretisasi domain ruang.

dengan ∆𝑥 = 𝑥𝑖+1

2

− 𝑥𝑖−1

2

atau ∆𝑥 = 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1.

𝑥𝑖

𝑥𝑖+1 2⁄

𝑥𝑖+1

𝑥𝑖+3 2⁄

𝑥𝑖+2 𝑥𝑖−1 𝑥𝑖−2

𝑥𝑖−1 2⁄ 𝑥𝑖−3 2⁄


90

Skema volume hingga dari persamaan (4.1.1) adalah

𝜌𝑖𝑛+1 = 𝜌𝑖

𝑛 −∆𝑡

∆𝑥(𝐹

𝑖+12

𝑛 − 𝐹𝑖−12

𝑛 ) (4.1.2)

dengan 𝜌𝑖𝑛 ≈ 𝜌(𝑥𝑖, 𝑡

𝑛) adalah pendekatan dari fungsi kepadatan lalu lintas dan

𝐹𝑖+1/2𝑛 ≈ 𝑓 (𝜌(𝑥𝑖+1/2, 𝑡

𝑛)) adalah fluks Lax–Friedrich yang digunakan dalam

perhitungan volume hingga. Selanjutnya, akan dicari fluks dari persamaan (4.1.2)

yaitu

𝐹𝑖+12

𝑛 =1

2(𝑓(𝜌𝑖+1

𝑛 ) + 𝑓(𝜌𝑖𝑛)) −

∆𝑥

2∆𝑡(𝜌𝑖+1

𝑛 − 𝜌𝑖𝑛)

=1

2(𝜌𝑖+1

𝑛 𝑢max (1 −𝜌𝑖+1𝑛

𝜌max) + 𝜌𝑖

𝑛𝑢max (1 −𝜌𝑖𝑛

𝜌max))

−∆𝑥

2∆𝑡(𝜌𝑖+1

𝑛 − 𝜌𝑖𝑛),

(4.1.3)

dan

𝐹𝑖−12

𝑛 =1

2(𝑓(𝜌𝑖

𝑛) + 𝑓(𝜌𝑖−1𝑛 )) −

∆𝑥

2∆𝑡(𝜌𝑖

𝑛 − 𝜌𝑖−1𝑛 )

=1

2(𝜌𝑖


𝜌max) + 𝜌𝑖−1

𝑛 𝑢max (1 −𝜌𝑖−1𝑛

𝜌max))

−∆𝑥

2∆𝑡(𝜌𝑖

𝑛 − 𝜌𝑖−1𝑛 ) .

(4.1.4)

Jadi, metode volume hingga untuk persamaan masalah arus lalu lintas didapat

dengan cara menyubstitusikan persamaan (4.1.3) dan (4.1.4) ke dalam persamaan

(4.1.2):


91


𝑛 −∆𝑡

∆𝑥[(1

2(𝜌𝑖+1


𝜌max)

+ 𝜌𝑖𝑛𝑢max (1 −

𝜌𝑖𝑛

𝜌max)) −

∆𝑥

2∆𝑡(𝜌𝑖+1

𝑛 − 𝜌𝑖𝑛))

− (1

2(𝜌𝑖


𝜌max) + 𝜌𝑖−1

𝑛 𝑢max (1 −𝜌𝑖−1𝑛

𝜌max))

−∆𝑥

2∆𝑡(𝜌𝑖

𝑛 − 𝜌𝑖−1𝑛 ))],

atau


𝑛 − [(1

2

∆𝑡

∆𝑥(𝜌𝑖+1


𝜌max)

+ 𝜌𝑖𝑛𝑢max (1 −

𝜌𝑖𝑛

𝜌max)) −

∆𝑡

∆𝑥

∆𝑥

2∆𝑡(𝜌𝑖+1

𝑛 − 𝜌𝑖𝑛))

− (1

2

∆𝑡

∆𝑥(𝜌𝑖


𝜌max)

+ 𝜌𝑖−1𝑛 𝑢max (1 −

𝜌𝑖−1𝑛

𝜌max)) −

∆𝑥

2∆𝑡

∆𝑡

∆𝑥(𝜌𝑖

𝑛 − 𝜌𝑖−1𝑛 ))],

atau


92


𝑛 −∆𝑡

2∆𝑥(𝜌𝑖+1


𝜌max) + 𝜌𝑖


𝜌max))

+1

∆𝑡(𝜌𝑖+1

𝑛 − 𝜌𝑖𝑛)

+∆𝑡

2∆𝑥(𝜌𝑖


𝜌max)

+ 𝜌𝑖−1𝑛 𝑢max (1 −

𝜌𝑖−1𝑛

𝜌max)) +

1

∆𝑡(𝜌𝑖

𝑛 − 𝜌𝑖−1𝑛 ),

atau


𝑛 −∆𝑡

2∆𝑥𝜌𝑖+1𝑛 𝑢max (1 −

𝜌𝑖+1𝑛

𝜌max) −

∆𝑡

2∆𝑥𝜌𝑖𝑛𝑢max (1 −

𝜌𝑖𝑛

𝜌max)

+1

2(𝜌𝑖+1

𝑛 − 𝜌𝑖𝑛) +

∆𝑡

2∆𝑥𝜌𝑖𝑛𝑢max (1 −

𝜌𝑖𝑛

𝜌max)

+∆𝑡

2∆𝑥𝜌𝑖−1𝑛 𝑢max (1 −

𝜌𝑖−1𝑛

𝜌max) −

1

2(𝜌𝑖

𝑛 − 𝜌𝑖−1𝑛 ),

atau


𝑛 −∆𝑡

2∆𝑥𝜌𝑖+1𝑛 𝑢max +

∆𝑡

2∆𝑥𝜌𝑖+1𝑛 𝑢max

𝜌𝑖+1𝑛

𝜌max−∆𝑡

2∆𝑥𝜌𝑖𝑛𝑢max

+∆𝑡


𝜌𝑖𝑛

𝜌max+1

2𝜌𝑖+1𝑛 −

1

2𝜌𝑖𝑛 +

∆𝑡


−∆𝑡


𝜌𝑖𝑛

𝜌max+∆𝑡

2∆𝑥𝜌𝑖−1𝑛 𝑢max

−∆𝑡


𝜌𝑖−1𝑛

𝜌max−1

2𝜌𝑖𝑛 +

1

2𝜌𝑖−1𝑛 ,

atau


93


𝑛 −∆𝑡


∆𝑡


𝜌𝑖+1𝑛

𝜌max+1

2𝜌𝑖+1𝑛 −

1

2𝜌𝑖𝑛

+∆𝑡

2∆𝑥𝜌𝑖−1𝑛 𝑢max −

∆𝑡


𝜌𝑖−1𝑛

𝜌max−1

2𝜌𝑖𝑛

+1

2𝜌𝑖−1𝑛 ,

atau

𝜌𝑖𝑛+1 = −

∆𝑡


∆𝑡


𝜌𝑖+1𝑛

𝜌max+1

2𝜌𝑖+1𝑛

+∆𝑡

2∆𝑥𝜌𝑖−1𝑛 𝑢max −

∆𝑡


𝜌𝑖−1𝑛

𝜌max+1

2𝜌𝑖−1𝑛 .

(4.1.5)

B. Sistem Relaksasi Jin–Xin

Persamaan (4.1.1) dapat dimodifikasi menjadi

𝜕𝜌

𝜕𝑡+𝜕𝑣

𝜕𝑥= 0

(4.2.1)

dengan tambahan satu persamaan lain. Persamaan (4.2.1) mempunyai sistem

relaksasi Jin–Xin, yaitu

𝜕𝜌

𝜕𝑡+𝜕𝑣

𝜕𝑥= 0 ,

𝜕𝑣

𝜕𝑡+ 𝑎

𝜕𝜌

𝜕𝑥= −

1

𝜀(𝑣 − 𝑓(𝜌)) ,

(4.2.2)

dengan 𝜀 bilangan positif yang cukup kecil yang merupakan parameter dari

relaksasi, 𝑣 adalah variabel yang sengaja dibuat untuk perhitungan dari sistem


94

relaksasi, dan 𝑎 bilangan positif konstan yang merupakan karakteristik kecepatan

dari sistem relaksasi dengan syarat 𝑎 − (𝑓′(𝜌))2≥ 0.

Untuk 𝜀 → 0, maka 𝑣 = 𝑓(𝑢) mengakibatkan sistem relaksasi (4.2.2) dapat

diaproksimasi menjadi

𝜕𝜌

𝜕𝑡+𝜕𝑓(𝜌)

𝜕𝑥= 0.

(4.2.3)

Misalkan domain ruang didiskretisasikan sebanyak berhingga sel, dengan ∆𝑥 =

𝑥𝑗+

1

2

− 𝑥𝑗−

1

2

, dimana 𝑥𝑗+

1

2

= 𝑗∆𝑥 +1

2∆𝑥 dan domain waktu didiskretisasikan

sebanyak berhingga langkah waktu, dengan ∆𝑥 = 𝑡𝑛+1 − 𝑡𝑛 untuk 𝑛 = 0,1,2, ….

Selanjutnya, dengan pendekatan dapat dibentuk 𝑤𝑗+

1

2

𝑛 = 𝑤 (𝑥𝑗+

1

2

, 𝑡𝑛) dan

didefinisikan menjadi

𝐷𝑥𝑤𝑗 =

𝑤𝑗+12+ 𝑤

𝑗−12

∆𝑥.

(4.2.4)

Pendiskretan hukum konservasi persamaan (4.2.2) terhadap domain ruang dan

langkah waktu dengan menggunakan metode garis adalah

𝜕𝜌𝑗

𝜕𝑡+1

∆𝑥(𝑣𝑗+12− 𝑣

𝑗−12) = 0,

𝜕𝑣𝑗

𝜕𝑡+1

∆𝑥𝑎 (𝜌

𝑗+12− 𝜌

𝑗−12) = −

1

𝜀(𝑣𝑗 − 𝑓𝑗) ,

(4.2.5)

dengan,

𝑓𝑗 =1

∆𝑥∫ 𝑓(𝜌)𝑥𝑗+12

𝑥𝑗−12

𝑑𝑥

= 𝑓 (1

∆𝑥∫ 𝜌𝑥𝑗+12

𝑥𝑗−12

𝑑𝑥) + 𝑂(ℎ2)


95

= 𝑓(𝜌𝑗) + 𝑂(ℎ2) (4.2.6)

Persamaan (4.2.6) merupakan kuantitas rata–rata dengan tingkat keakuratan 𝑂(ℎ2),

sehinggan sistem persamaan (4.2.5) dapat ditulis menjadi

𝜕𝜌𝑗

𝜕𝑡+1

∆𝑥(𝑣𝑗+12− 𝑣

𝑗−12) = 0,

𝜕𝑣𝑗

𝜕𝑡+1

∆𝑥𝑎 (𝜌

𝑗+12− 𝜌

𝑗−12) = −

1

𝜀(𝑣𝑗 − 𝑓(𝜌𝑗)) ,

(4.2.7)

Sistem relaksasi pada persamaan (4.2.2) mempuyai dua variabel karakteristik, yang

dapat diselesaikan dengan menggunakan penyelesaian metode karakteristik yaitu

𝑣 ± 𝑎12𝜌.

(4.2.8)

Dengan mengaplikasikan skema upwind order satu didapat

(𝑣 + 𝑎

12𝜌)

𝑗+12

= (𝑣 + 𝑎12𝜌)

𝑗,

(𝑣 − 𝑎12𝜌)

𝑗+12

= (𝑣 − 𝑎12𝜌)

𝑗+1 .

(4.2.9)

Penyelesaian 𝜌𝑗+

1

2

dan 𝑣𝑗+

1

2

adalah variabel yang tidak diketahui pada persamaan

(4.2.2) didapat

𝑣𝑗+12+ 𝑎

12𝜌𝑗+12= 𝑣𝑗 + 𝑎

12𝜌𝑗

𝑣𝑗+12− 𝑎

12𝜌𝑗+12= 𝑣𝑗+1 − 𝑎

12𝜌𝑗+1

(4.2.10)

sehingga

2𝑎12𝜌𝑗+12= 𝑣𝑗 + 𝑎

12𝜌𝑗 − 𝑣𝑗+1 + 𝑎

12𝜌𝑗+1,

2𝑎12𝜌𝑗+12= 𝑎

12𝜌𝑗 + 𝑎

12𝜌𝑗+1 + 𝑣𝑗 − 𝑣𝑗+1,


96

2𝑎12𝜌𝑗+12= 𝑎

12(𝜌𝑗 + 𝜌𝑗+1) + (𝑣𝑗 − 𝑣𝑗+1),

𝜌𝑗+12=𝑎12(𝜌𝑗 + 𝜌𝑗+1) + (𝑣𝑗 − 𝑣𝑗+1)

2𝑎12

,

𝜌𝑗+12=1

2(𝜌𝑗 + 𝜌𝑗+1) +

1

2𝑎−

12(𝑣𝑗 − 𝑣𝑗+1),

(4.2.11)

dan

2𝑣𝑗+12= 𝑣𝑗 + 𝑎

12𝜌𝑗 + 𝑣𝑗+1 − 𝑎

12𝜌𝑗+1,

2𝑣𝑗+12= 𝑣𝑗+1 + 𝑣𝑗 − 𝑎

12𝜌𝑗+1 + 𝑎

12𝜌𝑗 ,

2𝑣𝑗+12= (𝑣𝑗+1 + 𝑣𝑗) − 𝑎

12(𝜌𝑗+1 − 𝜌𝑗),

𝑣𝑗+12=(𝑣𝑗+1 + 𝑣𝑗) − 𝑎

12(𝜌𝑗+1 − 𝜌𝑗)

2,

𝑣𝑗+12=1

2(𝑣𝑗+1 + 𝑣𝑗) −

1

2𝑎12(𝜌𝑗+1 − 𝜌𝑗).

(4.2.12)

Dengan menyubstitusikan persamaan (4.2.1) dan (4.2.2) ke persamaan (4.2.7)

menggunakan pendekatan upwind semi diskret order pertama pada persamaan

(4.2.2) yaitu

𝜕

𝜕𝑡𝜌𝑗 +

1

∆𝑥(𝑣𝑗+12− 𝑣

𝑗−12) = 0,

𝜕

𝜕𝑡𝜌𝑗 +

1

∆𝑥([1

2(𝑣𝑗+1 + 𝑣𝑗) −

1

2𝑎12(𝜌𝑗+1 − 𝜌𝑗)]

− [1

2(𝑣𝑗−1 + 𝑣𝑗) −

1

2𝑎12(𝜌𝑗−1 − 𝜌𝑗)]) = 0,


97

𝜕

𝜕𝑡𝜌𝑗 +

1

∆𝑥(1

2𝑣𝑗+1 +

1

2𝑣𝑗 −

1

2𝑎12𝜌𝑗+1 +

1

2𝑎12𝜌𝑗 −

1

2𝑣𝑗−1 −

1

2𝑣𝑗

+1

2𝑎12𝜌𝑗−1 −

1

2𝑎12𝜌𝑗) = 0,

𝜕

𝜕𝑡𝜌𝑗 +

1

∆𝑥(1

2(𝑣𝑗+1 − 𝑣𝑗−1) −

1

2𝑎12(𝜌𝑗+1 − 2𝜌𝑗 + 𝜌𝑗−1)) = 0,

𝜕

𝜕𝑡𝜌𝑗 +

1

2∆𝑥(𝑣𝑗+1 − 𝑣𝑗−1) −

1

2∆𝑥𝑎12(𝜌𝑗+1 − 2𝜌𝑗 + 𝜌𝑗−1) = 0,

𝜌𝑗+1 − 𝜌𝑗

∆𝑡+

1

2∆𝑥(𝑣𝑗+1 − 𝑣𝑗−1) −

1

2∆𝑥𝑎12(𝜌𝑗+1 − 2𝜌𝑗 + 𝜌𝑗−1) = 0,

(4.2.13)

dan

𝜕

𝜕𝑡𝑣𝑗 +

1

∆𝑥(𝜌𝑗+12− 𝜌

𝑗−12) = −

1

𝜀(𝑣𝑗 − 𝑓(𝜌𝑗)),

𝜕

𝜕𝑡𝑣𝑗 +

1

∆𝑥([1

2(𝜌𝑗+1 + 𝜌𝑗) −

1

2𝑎−

12(𝑣𝑗+1 − 𝑣𝑗)]

− [1

2(𝜌𝑗−1 + 𝜌𝑗) −

1

2𝑎−

12(𝑣𝑗−1 − 𝑣𝑗)])

= −1


𝜕

𝜕𝑡𝑣𝑗 +

1

∆𝑥(1

2𝜌𝑗+1 +

1

2𝜌𝑗 −

1

2𝑎−

12𝑣𝑗+1 +

1

2𝑎−

12𝑣𝑗 −

1

2𝜌𝑗−1 −

1

2𝜌𝑗

+1

2𝑎−

12𝑣𝑗−1 −

1

2𝑎−

12𝑣𝑗) = −

1


𝜕

𝜕𝑡𝑣𝑗 +

1

∆𝑥(1

2(𝑣𝑗+1 − 𝑣𝑗−1) −

1

2𝑎−

12(𝜌𝑗+1 − 2𝜌𝑗 + 𝜌𝑗−1))

= −1



98

𝜕

𝜕𝑡𝑣𝑗 +

1

2∆𝑥(𝑣𝑗+1 − 𝑣𝑗−1) −

1

2∆𝑥𝑎−

12(𝜌𝑗+1 − 2𝜌𝑗 + 𝜌𝑗−1)

= −1


𝑣𝑗+1 − 𝑣𝑗

∆𝑡+

1

2∆𝑥(𝑣𝑗+1 − 𝑣𝑗−1) −

1

2∆𝑥𝑎−

12(𝜌𝑗+1 − 2𝜌𝑗 + 𝜌𝑗−1)

= −1

𝜀(𝑣𝑗 − 𝑓(𝜌𝑗)).

(4.2.14)

Jadi, skema sistem relaksasi Jin–Xin pada sistem persamaan (4.2.7) adalah

𝜌𝑗+1 = 𝜌𝑗 −∆𝑡

2∆𝑥(𝑣𝑗+1 − 𝑣𝑗−1) +

∆𝑡

2∆𝑥𝑎12(𝜌𝑗+1 − 2𝜌𝑗 + 𝜌𝑗−1),

atau

𝜌𝑗+1 = 𝜌𝑗 −∆𝑡

2∆𝑥𝑣𝑗+1 +

∆𝑡

2∆𝑥𝑣𝑗−1 +

∆𝑡

2∆𝑥𝑎12𝜌𝑗+1 −

∆𝑡

∆𝑥𝑎12𝜌𝑗

+∆𝑡

2∆𝑥𝑎12𝜌𝑗−1,

atau

𝜌𝑗+1 = (1 −∆𝑡

∆𝑥𝑎12) 𝜌𝑗 −

∆𝑡

2∆𝑥𝑣𝑗+1 +

∆𝑡

2∆𝑥𝑣𝑗−1 +

∆𝑡

2∆𝑥𝑎12𝜌𝑗+1

+∆𝑡

2∆𝑥𝑎12𝜌𝑗−1,

(4.2.15)

dan

𝑣𝑗+1 = 𝑣𝑗 −∆𝑡

2∆𝑥(𝑣𝑗+1 − 𝑣𝑗−1) +

∆𝑡

2∆𝑥𝑎−

12(𝜌𝑗+1 − 2𝜌𝑗 + 𝜌𝑗−1)

−1


atau


99

𝑣𝑗+1 = 𝑣𝑗 −∆𝑡

2∆𝑥𝑣𝑗+1 −

∆𝑡

2∆𝑥𝑣𝑗−1 +

∆𝑡

2∆𝑥𝑎−

12𝜌𝑗+1 −

∆𝑡

∆𝑥𝑎−

12𝜌𝑗

+∆𝑡

2∆𝑥𝑎−

12𝜌𝑗−1 −

1

𝜀𝑣𝑗 +

1

𝜀𝑓(𝜌𝑗),

atau

𝑣𝑗+1 = (1 −1

𝜀) 𝑣𝑗 −

∆𝑡

2∆𝑥𝑣𝑗+1 −

∆𝑡

2∆𝑥𝑣𝑗−1 +

∆𝑡

2∆𝑥𝑎−

12𝜌𝑗+1

−∆𝑡

∆𝑥𝑎−

12𝜌𝑗 +

∆𝑡

2∆𝑥𝑎−

12𝜌𝑗−1 +

1

𝜀𝑓(𝜌𝑗).

(4.2.16)

Dalam skripsi ini, penentuan epsilon masih open problem. Penulis membatasi 𝜖 =

10−2.

C. Eror Solusi Numeris

Untuk sembarang fungsi 𝑓analitik yang didekati oleh 𝑓numeris dalam domain

ruang dan waktu mengahasilkan eror absolut yang didefinisikan sebagai

eror absolute = ∫Ω|𝑓analitis − 𝑓numeris|𝑑𝑥

dengan Ω adalah domain ruang yang diketahui.

Tidak semua model yang kontinu dapat selesaikan dengan mudah secara

analitis ataupun numeris sehingga perlu didiskretisasi terhadap domain ruang atau

waktu. Dalam perhitungan secara diskret, eror absolut pada kasus ini didefinisikan

sebagai

eror absolute =1

𝑁∑|𝜌analitis − 𝜌numeris|

dengan 𝜌analitis dan 𝜌𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑖𝑠 dalam bentuk vektor.

Disini 𝑁 adalah length(𝜌analitis) yaitu banyaknya komponen pada 𝜌analitis.


100

D. Simulasi Solusi Analitis dan Numeris

Dipandang model deterministik arus lalu lintas secara kontinu dalam

domain ruang −10 ≤ 𝑥 ≤ 10 dan domain waktu 𝑡 > 0

𝜕𝜌

𝜕𝑡+𝜕(𝜌𝑢(𝜌))

𝜕𝑥= 0

dengan nilai awal kepadatannya adalah

𝜌(𝑥, 0) = 2 jika 𝑥 < 0, 0 jika 𝑥 lainnya.

Nilai batas kepadatannya yaitu 𝜌(−10, 𝑡) = 2 dan 𝜌(10, 𝑡) = 0 untuk setiap 𝑡.

Kecepatan kendaraan didefinisikan sebagai

𝑢(𝜌) = 𝑢max (1 −𝜌

𝜌max).

Diasumsikan 𝜌max = 2 and 𝑢max = 2.

1. Simulasi Solusi Analitis

Pada bagian ini akan ditunjukkan simulasi dari solusi analitis yang

didapat dari skema persamaan (3.11.14). Pada simulasi ini diambil ∆𝑥 = 0.05

dan ∆𝑡 = 0.01∆𝑥 dan 𝑡final = 1. Gambar 4.2 menunjukkan solusi analitis untuk

masalah arus lalu lintas yang kepadatan di sebelah kiri lalu lintas semakin lama

akan menurun seiring berjalannya waktu.


101

Gambar 4.2 Solusi analitis kepadatan lalu lintas dengan ∆𝑥 = 0.05 dan

∆𝑡 = 0.01∆𝑥 setelah 1 detik saat lampu menyala merah menjadi hijau.

2. Simulasi Solusi Volume Hingga Lax-Friedrichs dan Erornya

Pada bagian ini akan ditunjukkan simulasi untuk solusi model arus lalu

lintas dengan menggunakan metode volume hingga Lax-Friedrichs yang

didapat dari skema persamaan (4.1.5). Pada simulasi ini diambil ∆𝑥 = 0.05 dan

∆𝑡 = 0.01∆𝑥 dengan 𝑡final = 1 yang ditunjukkan oleh Gambar 4.3 untuk

masalah arus lalu lintas yang kepadatan disebelah kiri lalu lintas semakin lama

akan menurun seiring berjalannya waktu. Gambar 4.4 menunjukkan eror dari

metode volume hingga Lax-Friedrichs yang dibandingkan dengan solusi

analitisnya. Hasil Eror yang dihasilkan oleh metode volume hingga Lax-

Friedrichs paling besar mencapai 0.4.


102

Gambar 4.3 Solusi volume hingga Lax-Friedrichs kepadatan lalu lintas

dengan ∆𝑥 = 0.05 dan ∆𝑡 = 0.01∆𝑥 setelah 1 detik saat lampu menyala

merah menjadi hijau.

Gambar 4.4 Eror dari solusi volume hingga Lax-Friedrichs kepadatan lalu

lintas.


103

3. Simulasi Solusi Sistem Relaksasi Jin-Xin dan Erornya

Pada bagian ini akan ditunjukkan simulasi untul solusi model arus lalu

lintas dengan menggunakan sistem relaksasi Jin-Xin yang didapat dari skema

persamaan (4.2.15) dan (4.2.15). Pada simulasi ini diambil 𝜀 = 10−2, ∆𝑥 =

0.05 dan ∆𝑡 = 0.01∆𝑥 dengan 𝑡final = 1 yang ditunjukkan oleh Gambar 4.5

untuk masalah arus lalu lintas yang kepadatan di sebelah kiri lalu lintas semakin

lama akan menurun seiring berjalannya waktu. Gambar 4.6 menunjukkan eror

dari sistem relaksasi Jin-Xin yang dibandingkan dengan solusi analitiknya.

Hasil eror yang dihasilkan sistem relaksasi Jin-Xin paling besar mencapai 0.1.

Gambar 4.5 Solusi relaksasi Jin-Xin kepadatan lalu lintas dengan ∆𝑥 =

0.05 dan ∆𝑡 = 0.01∆𝑥 setelah 1 detik saat lampu menyala merah menjadi

hijau.


104

Gambar 4.6 Eror dari solusi relaksasi Jin-Xin kepadatan lalu lintas.

Kombinasi solusi analitis dan numerisnya ditunjukkan oleh Gambar 4.7.

Dari hasil simulasi tersebut, dapat dilihat bahwa sistem relaksasi Jin-Xin

merupakan metode yang lebih akurat untuk menyelesaikan masalah arus lalu lintas

yang berbentuk persamaan diferensial parsial. Metode volume hingga Lax-

Friedrichs menghasilkan solusi yang grafiknya agak jauh dari grafik solusi

analatisnya dan eror yang dihasilkan relatif cukup besar hingga mencapai 0.4,

sedangkan sistem relaksasi Jin-Xin menghasilkan solusi yang grafiknya cukup

dekat dari grafik solusi analitiknya dan eror yang dihasilkan lebih kecil daripada

metode volume hingga Lax-Friedrichs yaitu hanya sebesar 0.1.


105

Gambar 4.7 Solusi analitik dan numeris kepadatan lalu lintas dengan ∆𝑥 =

0.05 dan ∆𝑡 = 0.01∆𝑥 setelah 1 detik saat lampu menyala merah menjadi hijau.


106

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN

A. Kesimpulan

Model deterministik arus lalu lintas berbentuk persamaan diferensial parsial

hiperbolik order satu yang lampu lalu lintasnya menyala dari merah menjadi hijau.

Dalam kasus ini, model arus lalu lintas tersebut didapatkan solusi analitis dan solusi

numerisnya dengan menggunakan metode volume hingga Lax-Friedrichs. Hasil

numeris yang diperoleh menunjukkan kesesuaian perilaku secara nyata pada arus

lalu lintas yang menyala dari merah menjadi hijau.

Lebih lanjut lagi, kepadatan kendaraan di belakang lampu merah lalu lintas

semakin lama akan menurun seiring berjalannya waktu. Dalam kondisi ini, solusi

sistem relaksasi Jin-Xin lebih akurat daripada solusi volume hingga Lax-Friedrichs

karena eror dari metode sistem relaksasi Jin-Xin lebih kecil daripada eror dari

metode volume hingga Lax-Friedrichs.

B. Saran

Masih banyak permasalahan lalu lintas yang belum diselesaikan hingga saat

ini, misalnya saat lampu lalu lintas dari hijau ke kuning atau kuning ke merah, dan

lain-lain. Saran dari penulis bagi pembaca dan adik-adik tingkat yang ingin

mengerjakan tugas akhir adalah dengan dasar teori yang mirip dapat menyelesaikan

permasalahan arus lalu lintas yang lainnya.


107

DAFTAR PUSTAKA

Banda, M. K. dan Seaid, M. (2005). Higher-order relaxation schemes for hyperbolic

systems of conservation laws. J. Numer. Math.13 171.

Bober, W., Tsai. C., dan Masory, O. (2009). Numerical and Analytical Methods

with MATLAB. New York: Taylor and Francis Group, LLC.

Chapra, S. C. dan Canale, R. P. (2010). Numerical Methods for Engineers. Sixth

Edition. New York: McGraw-Hill Companies, Inc.

Chartier, T.P. dan Greenbaum. A. (2012). Numerical Methods: Design, Analysis,

and Computer Implementations of Algorithms. New Jersey: Princeton

University Press.

Coleman, M. P. (2013). An Introduction to Partial Differential Equations with

MATLAB. 2nd. Edition. New York: Taylor and Francis Group, LLC.

Gunawan, P. H. (2014). The conservative upwind scheme for simple traffic flow

model. Prosiding Seminar Nasional Matematika

Haberman, R. (1998). Mathematical Models: Mechanical Vibrations, Population

Dynamics, Traffic Flow. Englewood Cliff: Prentice – Hal, Inc.

Hallet, H., Gleason, A. M., McCallum, W. G, dkk. (2005). Calculus (Fourth

Edition). USA: John Wiley & Son, Inc.

Jin, S. dan Xin, Z. (1995). The relaxation schemes for systems of conservation laws

in arbitrary space dimensions Comm. Pure Appl. Math. 48 235

Kreiss, H. O. dan Scherer, G. (1992). Method of lines for hyperbolic differential

equations. SIAM Journal on Numerical Analysis, 29 (3): 640-646

LeVeque, R. J. (2002). Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems.

Cambridge: Cambridge University Press.

LeVeque, R. J. (1992). Numerical Methods for Conservation Laws. Basel:

Birkhauser.


108

Leon, S. J. (2001). Aljabar Linear dan Aplikasinya. Jakarta: Erlangga.

Mattheij, R. M. M., Rienstra, S. W. dan Boonkkamp, J. H. M. t. T. (2005). Partial

Differential Equation: Modeling, Analysis, Computation. Philadelphia:

SIAM.

Raharjo, R. (2014). Model Matematika untuk Masalah Arus Lalu Lintas.

Yogyakarta: Universitas Sanata Dharma.

Schiesser, W. E. dan Griffiths, G. W. (2009). A Compendium of Partial Differential

Equation Models: Method of Lines Analysis with Matlab. Cambridge:

Cambridge University Press.

Sulistiyawati, B. A. dan Mungkasi, S. (2017). Jin-Xin relaxation method for solving

a traffic flow problem in one dimension. Jurnal of Physics: Conference

Series 795(1): 012041.

Toro, E. F. (1999). Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics.

Berlin: Springer.

Varberg, D., Purcel, E. J., dan Rigdon, S. E., Kalkulus Edisi Kesembilan Jilid 2.

Jakarta: Erlangga.

Wazwaz, A. M. (2009). Partial Differential Equations and Solitary Waves Theory.

Berlin: Springer.

Yohana, E. (2012). Adjoint-based optimization for optimal control problems

governed by nonlinear hyperbolic conservation laws. MSc Thesis

(Johannesburg: University of the Witwatersrand).


109

LAMPIRAN

Berikut ini merupakan code pada program MATLAB untuk solusi analitis

dan solusi numeris beserta erornya dengan setiap metode yang digunakan dalam

menyelesaikan persamaan diferensial parsial untuk model deterministik arus lalu

lintas.

1. Solusi Analitis

clc close all clear all tf=1; %waktu final L=10; dx=0.05; %lebar sel dt=0.01*dx; %langkah waktu t=0:dt:tf; %disktritasisasi waktu x=-L:dx:L; %disktritasisasi ruang nt=length(t); %Banyaknya elemen dalam waktu diskrit nx=length(x); %Banyaknya elemen dalam ruang diskrit rho=zeros(nt,nx); %Membentuk matriks awal untuk rho umax=2; % Nilai kecepatan di rho=rho maksimum rhomax=2; % Nilai kepadatan di u= u maksimum % Nilai awal for i=1:nx if x(i)<0 rho(1,i)=2; else rho(1,i)=0; end end

% Nilai batas rho(:,1)=2; rho(:,nx)=0;

for n=1:nt-1 for i=1:nx-1 rho(n,i)=x(i)./t(n); %Nilai dari x/t % Hasil nilai rho dengan syarat tertentu if rho(n,i) < -umax; rho(n,i)=2; elseif rho(n,i) >= umax; rho(n,i)=0; else rho(n,i)=rhomax/2*(1-rho(n,i)/umax); end end plot(x,rho(n,:))


110

ylim([-0.1 2.5]) pause(0.000001) %hold on xlabel('x') ylabel('rho') %title('Grafik antara x dan rho') end

2. Metode Volume Hingga Lax-Friedrichs dan Erornya

clc close all clear all tf=1; L=10; dx=0.05; %lebar sel dt=0.01*dx; %langkah waktu t=0:dt:tf; %diskritisasi waktu x=-L:dx:L; %diskritisasi ruang nt=length(t); %Banyaknya elemen dalam waktu diskrit nx=length(x); %Banyaknya elemen dalam ruang diskrit rho=zeros(nt,nx);%Membentuk matriks awal untuk kepadatan solusi

Lax-Friedrichs p=zeros(nt,nx); %Membentuk matriks awal untuk kepadatan solusi

analitik u=zeros(nt,nx); %Membentuk matriks awal untuk kecepatan error_mv=zeros(nt,nx); %error dari solusi Lax-Friedrichs umax=2; %Nilai kecepatan maksimum rhomax=2; %Nilai kepadatan maksimum

% Nilai awal for i=1:nx if x(i)<0 rho(1,i)=2; p(1,i)=2; u(1,i)=umax*(1-rho(1,i)/rhomax); else rho(1,i)=0; p(1,i)=0; u(1,i)=umax*(1-rho(1,i)/rhomax); end end

% Nilai batas rho(:,1)=2; p(:,1)=2; rho(:,nx)=0; p(:,nx)=0; hold on for n=1:nt-1 for i=2:nx-1 rho(n+1,i)=x(i)./t(n+1); if rho(n+1,i) < -umax; rho(n+1,i)=2; elseif rho(n+1,i) >= umax;


111

rho(n+1,i)=0; else rho(n+1,i)=rhomax/2*(1-rho(n+1,i)/umax); end %F Kiri untuk p Fkip=((u(n,i)*p(n,i)+u(n,i-1)*p(n,i-1))/2)-

((dx/(2*dt))*(p(n,i)-p(n,i-1))); %F Kanan untuk p Fkap=((u(n,i+1)*p(n,i+1)+u(n,i)*p(n,i))/2)-

((dx/(2*dt))*(p(n,i+1)-p(n,i))); p(n+1,i)=p(n,i)-(dt/dx)*(Fkap-Fkip); error_mv(n+1,i)=norm(rho(n+1,i)-p(n+1,i)); end end for k=1:2 if k==1 plot(x,p(nt,:),'k--') %legend('Lax-Friedrichs Method') ylim([-0.1 2.5]) else figure plot(x,error_mv(nt,:),'m') %legend( 'error') ylim([min(min(error_mv))-0.1 max(max(error_mv))+0.1]) end pause(1) end

3. Sistem Relaksasi Jin-Xin dan Erornya

clc close all clear all tf=1; %Waktu Final L=10; dx=0.05; %lebar sel dt=0.01*dx; %Langka Waktu t=0:dt:tf; %disktritasisasi wakktu x=-L:dx:L; %disktritasisasi ruang nt=length(t); %Banyaknya elemen dalam waktu diskrit nx=length(x); %Banyaknya elemen dalam ruang diskrit rho=zeros(nt,nx); %Membentuk matriks awal untuk kepadatan solusi

Jin-Xin rhoa=zeros(nt,nx); %Membentuk matriks awal untuk kepadatan solusi

analitik v=zeros(nt,nx); %Membentuk matriks awal untuk v umax=2; %Nilai kecepatan maksimum rhomax=2; %Nilai kepadatan maksimum epsilon=10e-2; %Usikan yang diberikan a=zeros(nt,nx); %Membentuk matriks awal untuk a error_jx=zeros(nt,nx); %Membentuk matriks awal untuk error

Relaksasi Jin-Xin figure

% Nilai awal


112

for i=1:nx if x(i)<0 rho(1,i)=2; rhoa(1,i)=2; v(1,i)=rho(1,i)*umax*(1-rho(1,i)/rhomax); else rho(1,i)=0; rhoa(1,i)=0; v(1,i)=rho(1,i)*umax*(1-rho(1,i)/rhomax); end end

% Nilai batas rho(:,1)=2; rho(:,nx)=0;

%Nilai dari v = f(rho) dan nilai a=(f'(rho))^2 for n=2:nt-1 for i=2:nx-1 rhoa(n,i)=x(i)./t(n); %Nilai dari x/t % Hasil nilai rho dengan syarat tertentu if rhoa(n,i) < -umax; rhoa(n,i)=2; elseif rhoa(n,i) >= umax; rhoa(n,i)=0; else rhoa(n,i)=rhomax/2*(1-rhoa(n,i)/umax); end a=(umax*(1-2*rho(n-1,i)/rhomax)).^2; rho(n,i)=rho(n-1,i) - dt/(2*dx)*(v(n-1,i+1)-v(n-1,i-1)) +

sqrt(a)*dt/(2*dx)*(rho(n-1,i+1)-2*rho(n-1,i)+rho(n-1,i-1)); v(n,i)=v(n-1,i) - a*dt/(2*dx)*(rho(n-1,i+1)-rho(n-1,i-1))

+ sqrt(a)*dt/(2*dx)*(v(n-1,i+1)-2*v(n-1,i)+v(n-1,i-1))-

dt/epsilon*(v(n-1,i)-rho(n-1,i)*umax*(1-rho(n-1,i)/rhomax)); error_jx(n,i)=norm(rho(n,i)-rhoa(n,i)); end rhoa(n,1)=2; %Nilai batas rho analitik untuk t=tn dan x=0 rhoa(n,nx)=0; %Nilai batas rho analitik untuk t=tn dan x=L rho(n,1)=2; %Nilai batas rho untuk t=tn dan x=0 rho(n,nx)=0; %Nilai batas rho untuk t=tn dan x=L v(n,1)= rho(n,1)*umax*(1-rho(n,1)/rhomax);%Nilai batas v untuk

t=tn dan x=0 v(n,nx)= rho(n,nx)*umax*(1-rho(n,nx)/rhomax); %Nilai batas v

untuk t=tn dan x=L end

for k=1:2 if k==1 plot(x,rho(nt-1,:),'k--') %legend('Jin-Xin solution') ylim([-0.1 2.5]) else figure plot(x,error_jx(nt-1,:),'m') %legend('error')


113

ylim([min(min(error_jx))-0.1 max(max(error_jx))+0.1]) end pause(1) end

4. Kombinasi Solusi Analitis dan Numeris

clc close all clear all tf=1; %Waktu Final L=10; dx=0.05; %lebar sel dt=0.01*dx; %Langka Waktu t=0:dt:tf; %disktritasisasi wakktu x=-L:dx:L; %disktritasisasi ruang nt=length(t); %Banyaknya elemen dalam waktu diskrit nx=length(x); %Banyaknya elemen dalam ruang diskrit rho=zeros(nt,nx); %Membentuk matriks awal untuk kepadatan solusi

Jin-Xin rhoa=zeros(nt,nx); %Membentuk matriks awal untuk kepadatan solusi

analitik v=zeros(nt,nx); %Membentuk matriks awal untuk v p=zeros(nt,nx); %Membentuk matriks awal untuk p u=zeros(nt,nx); %Membentuk matriks awal untuk u umax=2; %Nilai kecepatan maksimum rhomax=2; %Nilai kepadatan maksimum epsilon=10e-2; %Usikan yang diberikan a=zeros(nt,nx); %Membentuk matriks awal untuk a error_jx=zeros(nt,nx); %Membentuk matriks awal untuk error

Relaksasi Jin-Xin error_mv=zeros(nt,nx); %Membentuk matriks awal untuk error Lax-

Frierichs % Nilai awal for i=1:nx if x(i)<0 rho(1,i)=2; rhoa(1,i)=2; p(1,i)=2; u(1,i)=umax*(1-rho(1,i)/rhomax); v(1,i)=rho(1,i)*umax*(1-p(1,i)/rhomax);

else rho(1,i)=0; rhoa(1,i)=0; p(1,i)=0; u(1,i)=umax*(1-p(1,i)/rhomax); v(1,i)=rho(1,i)*umax*(1-rho(1,i)/rhomax); end end

% Nilai batas rhoa(:,1)=2; rhoa(:,nx)=0; rho(:,1)=2; p(:,1)=2;


114

rho(:,nx)=0; p(:,nx)=0;

%Nilai dari v = f(rho) dan nilai a=(f'(rho))^2 for n=2:nt-1 for i=2:nx-1 rhoa(n,i)=x(i)./t(n); %Nilai dari x/t % Hasil nilai rho dengan syarat tertentu if rhoa(n,i) < -umax; rhoa(n,i)=2; elseif rhoa(n,i) >= umax; rhoa(n,i)=0; else rhoa(n,i)=rhomax/2*(1-rhoa(n,i)/umax); end a=(umax*(1-2*rho(n-1,i)/rhomax)).^2; rho(n,i)=rho(n-1,i) - dt/(2*dx)*(v(n-1,i+1)-v(n-1,i-1)) +

sqrt(a)*dt/(2*dx)*(rho(n-1,i+1)-2*rho(n-1,i)+rho(n-1,i-1)); v(n,i)=v(n-1,i) - a*dt/(2*dx)*(rho(n-1,i+1)-rho(n-1,i-1))

+ sqrt(a)*dt/(2*dx)*(v(n-1,i+1)-2*v(n-1,i)+v(n-1,i-1))-

dt/epsilon*(v(n-1,i)-rho(n-1,i)*umax*(1-rho(n-1,i)/rhomax)); Fkip=((u(n-1,i)*p(n-1,i)+u(n-1,i-1)*p(n-1,i-1))/2)-

((dx/(2*dt))*(p(n-1,i)-p(n-1,i-1))); %F Kanan untuk p Fkap=((u(n-1,i+1)*p(n-1,i+1)+u(n-1,i)*p(n-1,i))/2)-

((dx/(2*dt))*(p(n-1,i+1)-p(n-1,i))); p(n,i)=p(n-1,i)-(dt/dx)*(Fkap-Fkip); error_jx(n,i)=norm(rho(n,i)-rhoa(n,i)); error_mv(n,i)=norm(rhoa(n,i)-p(n,i)); end rhoa(n,1)=2; %Nilai batas rho analitik untuk t=tn dan x=0 rhoa(n,nx)=0; %Nilai batas rho analitik untuk t=tn dan x=L rho(n,1)=2; %Nilai batas rho untuk t=tn dan x=0 rho(n,nx)=0; %Nilai batas rho untuk t=tn dan x=L v(n,1)= rho(n,1)*umax*(1-rho(n,1)/rhomax);%Nilai batas v untuk

t=tn dan x=0 v(n,nx)= rho(n,nx)*umax*(1-rho(n,nx)/rhomax); %Nilai batas v

untuk t=tn dan x=L end % Grafik kombinasi solusi analitik dan numeris beserta erornya plot(x,rhoa(nt-1,:),'k-', x,p(nt-1,:),'b.-', x,rho(nt-1,:),'r*-') legend('Solusi analitik', 'Solusi Lax-Friedrichs', 'Solusi

Jin-Xin') ylim([-0.1 2.5]) xlabel('x') ylabel('rho')
