§ 1 Perfekte Zahlen § 2 Befreundete und Gesellige Zahlen § 3 Fazit § 4 Quellenverzeichnis
Perfekte Zahlen et. al.
Pascal Appel
Proseminar:Implementierung mathematischer Algorithmen
16. Januar 2014
§ 1 Perfekte Zahlen § 2 Befreundete und Gesellige Zahlen § 3 Fazit § 4 Quellenverzeichnis
Inhaltsverzeichnis I
1 § 1 Perfekte Zahlen§ 1.1 Was sind Vollkommene Zahlen?§ 1.2 Darstellungsarten
§ 1.2.1 Darstellungsart von Euklid§ 1.2.2 Darstellungsart von Eaton§ 1.2.3 Summe der ersten ung. nat. Zahlen zur 3. Pot.§ 1.2.4 Summe der ersten naturlichen Zahlen§ 1.2.5 Vergleich der Darstellungsarten
§ 1.3 Existenz ungerader vollkommener Zahlen§ 1.4 Abundante und Defiziente Zahlen
§ 1.4.1 Was sind Abundante und Defiziente Zahlen?§ 1.4.2 Beispiele§ 1.4.3 Verallgemeinerung abundanter und defizienter Zahlen
§ 1.5 Verallgemeinerung vollkommener Zahlen§ 1.5.1 Was ist eine x-fach vollkommene Zahlen?§ 1.5.2 Bestimmung x-fach vollkommener Zahlen
§ 1 Perfekte Zahlen § 2 Befreundete und Gesellige Zahlen § 3 Fazit § 4 Quellenverzeichnis
Inhaltsverzeichnis II
2 § 2 Befreundete und Gesellige Zahlen§ 2.1 Befreundete und Gesellige Zahlen?
§ 2.1.1 Was sind Befreundete und Gesellige Zahlen?§ 2.1.2 Beispiele
§ 2.2 Satz von Thabit ibn Qurrah
3 § 3 Fazit
4 § 4 Quellenverzeichnis
§ 1 Perfekte Zahlen § 2 Befreundete und Gesellige Zahlen § 3 Fazit § 4 Quellenverzeichnis
§ 1.1 Was sind Vollkommene Zahlen?
§ 1.1 Was sind Vollkommene Zahlen?
Definition 1.1 (Vollkommene Zahlen)
Eine naturliche Zahl n wird vollkommene Zahl (auch perfekteZahl) genannt, wenn sie gleich der Summe σ∗(n) aller ihrer(positiven) Teiler außer sich selbst ist. Aquivalent ist einevollkommene Zahl n eine Zahl, die halb so groß ist wie dieSumme ihrer positiven Teiler (sie selbst eingeschlossen), d. h.σ(n) = 2n. [Vollkommene Zahl, WikipediaDE]
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§ 1.1 Was sind Vollkommene Zahlen?
§ 1.1 Was sind Vollkommene Zahlen?
Beispiel 1.1
1 6 hat die Teiler 1, 2, 3 und 6. Es gilt: 1 + 2 + 3 = 6
2 28 hat die Teiler 1, 2, 4, 7, 14 und 28. Es gilt:1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28
3 496 hat die Teiler 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248 und 496. Esgilt: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496
4 8128 hat die Teiler 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 254, 508, 1016,2032, 4064 und 8128. Es gilt:1+2+4+8+16+32+64+127+254+508+1016+2032+4064 =8128
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§ 1.1 Was sind Vollkommene Zahlen?
§ 1.1 Was sind Vollkommene Zahlen?
Die ersten 10 vollkommenen Zahlen sind:
1 6
2 28
3 496
4 8.128
5 33.550.336
6 8.589.869.056
7 137.438.691.328
8 2.305.843.008.139.952.128
9 2.658.455.991.569.831.744.654.692.615.953.842.17610 191.561.942.608.236.107.294.793.378.084.303.638.130.997.321.548.169.216
Im Folgenden betrachte ich nur die ersten 7 vollkommenen Zahlen,da sonst der Rechenaufwand zu groß ware.
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§ 1.2 Darstellungsarten
§ 1.2.1 Darstellungsart von Euklid
[1]
Abbildung: Euklid von Alexandria
griechischer Mathematiker
3. Jahrhundert v. Chr.
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§ 1.2 Darstellungsarten
§ 1.2.1 Darstellungsart von Euklid
[2]
Abbildung: Leonhard Euler
Schweizer Mathematiker
1707-1783
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§ 1.2 Darstellungsarten
§ 1.2.1 Darstellungsart von Euklid
Satz 1.1 (Darstellungsart von Euklid)
Fur n ∈ N gilt:
2n−1(2n − 1)
ist eine vollkommene Zahl,
falls 2n − 1 eine Primzahl (Mersenne-Primzahl) ist.
vgl. Vortrag Dame
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§ 1.2 Darstellungsarten
§ 1.2.1 Darstellungsart von Euklid
Beispiel 1.2
1 Fur n = 2: 1 + 2 + 3 = 6 = 22−1(22 − 1)
2 Fur n = 3: 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28 = 23−1(23 − 1)
3 Fur n = 5:1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496 = 25−1(25− 1)
4 Fur n = 7:1+2+4+8+16+32+64+127+254+508+1016+2032+4064 =8128 = 27−1(27 − 1)
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§ 1.2 Darstellungsarten
§ 1.2.1 Darstellungsart von Euklid
1 %% Darstellungsart von Euklid
2 clc ,clear;
3 tic
4 i=1; max=7;n=2; nichtprim =0; zeit_euklid=zeros(1,max);
5 while i<max+1
6 p=2^n-1;
7 for x=2:1:p-1
8 if mod(p,x)==0
9 nichtprim =1;
10 end
11 end
12 if nichtprim ==0
13 euklid =2^(n -1)*(2^n-1);
14 fprintf(’%25.0f\n’, euklid );
15 zeit_euklid(i)=toc;
16 i=i+1;
17 end
18 n=n+1; nichtprim =0;
19 end
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§ 1.2 Darstellungsarten
§ 1.2.2 Darstellungsart von Eaton
Satz 1.2 (Darstellungsart von Eaton, 1995/96)
Jede gerade vollkommene Zahl n > 6 hat die Darstellung
n = 1 +9
2k(k + 1)
mit k = 8j + 2 und einer nicht-negativen ganzen Zahl j .
Umgekehrt erhalt man nicht zu jeder naturlichen Zahl j einevollkommene Zahl.
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§ 1.2 Darstellungsarten
§ 1.2.2 Darstellungsart von Eaton
Beispiel 1.3
1 Fur j = 0: k = 2 und n = 28 (vollkommen)
2 Fur j = 1: k = 10 und n = 496 (vollkommen)
3 Fur j = 2: k = 18 und n = 1540 (nicht vollkommen)
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§ 1.2 Darstellungsarten
§ 1.2.2 Darstellungsart von Eaton
1 %% Darstellungsart von Eaton
2 clc ,clear;
3 perfekt =[6 ,28 ,496 ,8128 ,33550336 ,8589869056 ,137438691328];
4 tic
5 i=1; max=7;j=0; zeit_eaton=zeros(1,max);
6 fprintf(’%25.0f\n’, 6);
7 zeit_eaton(i)=toc;
8 i=i+1;
9 while i<max+1
10 k=8*j+2;
11 eaton =1+(9/2)*k*(k+1);
12 for x=1:1:7
13 if eaton== perfekt(x)
14 fprintf(’%25.0f\n’, eaton );
15 zeit_eaton(i)=toc;
16 i=i+1;
17 end
18 end
19 j=j+1;
20 end
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§ 1.2 Darstellungsarten
§ 1.2.3 Summe der ersten ung. nat. Zahlen zur 3. Pot.
Satz 1.3 (Summe der ersten ung. nat. Zahlen zur 3. Pot.)
Jede gerade vollkommene Zahl n > 6 hat die Darstellung
n =k∑
i=1
(2i − 1)3
mit einer geeigneten naturlichen Zahl k.
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§ 1.2 Darstellungsarten
§ 1.2.3 Summe der ersten ung. nat. Zahlen zur 3. Pot.
Beispiel 1.4
1 28 = 13 + 33
2 496 = 13 + 33 + 53 + 73
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§ 1.2 Darstellungsarten
§ 1.2.3 Summe der ersten ung. nat. Zahlen zur 3. Pot.
1 %% Summe der ersten ung. nat. Zahlen zur 3. Potenz
2 clc ,clear;
3 perfekt =[6 ,28 ,496 ,8128 ,33550336 ,8589869056 ,137438691328];
4 tic
5 i=1; max=7; sumungnat =0;j=1; zeit_sumungnat=zeros(1,max);
6 fprintf(’%25.0f\n’, 6);
7 zeit_sumungnat(i)=toc;
8 i=i+1;
9 while i<max+1
10 sumungnat=sumungnat +(2*j -1)^3;
11 for x=1:1:7
12 if sumungnat == perfekt(x)
13 fprintf(’%25.0f\n’, sumungnat );
14 zeit_sumungnat(i)=toc;
15 i=i+1;
16 end
17 end
18 j=j+1;
19 end
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§ 1.2 Darstellungsarten
§ 1.2.4 Summe der ersten naturlichen Zahlen
Satz 1.4 (Summe der ersten naturlichen Zahlen)
Jede gerade vollkommene Zahl n hat die Darstellung
n =k∑
i=1
i =k(k + 1)
2
mit einer geeig. nat. Zahl k , d. h. k ist Mersenne-Primzahl.
Jede gerade vollkommene Zahl ist also auch eine Dreieckszahl.
vgl. Vortrag Heß
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§ 1.2 Darstellungsarten
§ 1.2.4 Summe der ersten naturlichen Zahlen
Beispiel 1.5
1 6 = 1 + 2 + 3 = 3∗42
2 28 = 1 + 2 + ...+ 7 = 7∗82
3 496 = 1 + 2 + ...+ 31 = 31∗322
§ 1 Perfekte Zahlen § 2 Befreundete und Gesellige Zahlen § 3 Fazit § 4 Quellenverzeichnis
§ 1.2 Darstellungsarten
§ 1.2.4 Summe der ersten naturlichen Zahlen
1 %% Summe der ersten nat. Zahlen
2 clc ,clear;
3 perfekt =[6 ,28 ,496 ,8128 ,33550336 ,8589869056 ,137438691328];
4 tic
5 i=1; max=7; sumnat =0;j=1; zeit_sumnat=zeros(1,max);
6 while i<max+1
7 sumnat=sumnat+j;
8 for x=1:1:7
9 if sumnat == perfekt(x)
10 fprintf(’%25.0f\n’, sumnat );
11 zeit_sumnat(i)=toc;
12 i=i+1;
13 end
14 end
15 j=j+1;
16 end
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§ 1.2 Darstellungsarten
§ 1.2.5 Vergleich der Darstellungsarten
Matlab
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§ 1.2 Darstellungsarten
§ 1.2.5 Vergleich der Darstellungsarten
Abbildung: Vergleich der Darstellungsarten
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§ 1.2 Darstellungsarten
§ 1.2.5 Vergleich der Darstellungsarten
Abbildung: Vergleich der Darstellungsarten (Zoom)
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§ 1.2 Darstellungsarten
§ 1.2.5 Vergleich der Darstellungsarten
Abbildung: Vergleich der Darstellungsarten (Zoom auf Beginn)
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§ 1.3 Existenz ungerader vollkommener Zahlen
§ 1.3 Existenz ungerader vollkommener Zahlen
Existieren ungeradevollkommene Zahlen???
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§ 1.3 Existenz ungerader vollkommener Zahlen
§ 1.3 Existenz ungerader vollkommener Zahlen
Existieren ungeradevollkommene Zahlen???
Vermutung: NEIN
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§ 1.3 Existenz ungerader vollkommener Zahlen
§ 1.3 Existenz ungerader vollkommener Zahlen
Eigenschaften einer solchen ungeraden vollkommenen Zahl z :
z hat die Form 12k + 1 oder 36k + 9
z besitzt mindestens 6 Primfaktoren
z besitzt mindestens 9 Primfaktoren, falls sie durch 3 teilbarist
falls z < 109118, ist z ganzzahlig durch p6 teilbar (p ist primund p > 10500) und besitzt mindestens 8 bzw. 11Primfaktoren
Zum heutigen Zeitpunkt ist bekannt: z > 10597. [OddPerfect]
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§ 1.4 Abundante und Defiziente Zahlen
§ 1.4.1 Was sind Abundante und Defiziente Zahlen?
Definition 1.2 (Abundante Zahlen)
Ist die Summe der echten Teiler σ∗(n) einer naturliche Zahl ngroßer als die Zahl selbst, so nennt man diese Zahl abundant.[Vollkommene Zahl, WikipediaDE, Kap. 5.1]
Definition 1.3 (Defiziente Zahlen)
Ist die Summe der echten Teiler σ∗(n) einer naturliche Zahl nkleiner als die Zahl selbst, so nennt man diese Zahl defizient.[Vollkommene Zahl, WikipediaDE, Kap. 5.1]
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§ 1.4 Abundante und Defiziente Zahlen
§ 1.4.2 Beispiele
Beispiel 1.5
1 Teiler der 12: 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16 > 12 (kleinsteabundante Zahl)
2 Teiler der 14: 1 + 2 + 7 = 10 < 14 (defiziente Zahl)
3 Teiler aller Primzahlen p: 1 < p (defiziente Zahl)
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§ 1.4 Abundante und Defiziente Zahlen
§ 1.4.3 Verallgemeinerung abundanter und defizienterZahlen
Definition 1.4 (n-abundante bzw. n-defiziente Zahlen)
Ist die Differenz n zwischen der Summe der echten Teiler σ∗(x)einer naturliche Zahl x und der Zahl selbst
gleich n, so nennt man x n-abundant.
gleich -n, so nennt man x n-defizient.
0-abundante bzw. 0-defizient sind vollkommene Zahlen. [TKS]
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§ 1.4 Abundante und Defiziente Zahlen
§ 1.4.3 Verallgemeinerung abundanter und defizienterZahlen
Matlab
Graphische Darstellung n-abundanter bzw. n-defizienterZahlen
Existieren mehr abundante oder defiziente Zahlen?
Zusammenhang n-abundante bzw. n-defiziente Zahlen undvollkommene Zahlen
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§ 1.5 Verallgemeinerung vollkommener Zahlen
§ 1.5.1 Was ist eine x-fach vollkommene Zahlen?
Definition 1.4 (x-fach vollkommene Zahlen)
Eine x-fach vollkommene Zahl n ist eine Zahl, deren Summeihrer echten Teiler σ∗(n) das x-fache der Zahl selbst ergibt.Die vollkommenen Zahlen sind die 1-vollkommenen Zahlen.Alle x-vollkommenen Zahlen mit x ≥ 2 sind insbesondereabundante Zahlen. [Vollkommene Zahl, WikipediaDE, Kap. 4]
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§ 1.5 Verallgemeinerung vollkommener Zahlen
Beispiel 1.6
120 besitzt Teiler 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40 und60.σ∗(120) =1+2+3+4+5+6+8+10+12+15+20+24+30+40+60 = 240240 = 2 ∗ 120, d. h. 120 ist 2-vollkommen.
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§ 1.5 Verallgemeinerung vollkommener Zahlen
§ 1.5.2 Bestimmung x-fach vollkommener Zahlen I
1 %% Bestimmung x-fach vollkommener Zahlen
2 clc ,clear;
3 tic
4 max =100000;
5 x=zeros(1,max);
6 for n=1:1: max
7 teiler=zeros(1,n);
8 j=1;
9 for i=1:1:n
10 if mod(n,i)==0
11 teiler(j)=i;
12 j=j+1;
13 end
14 end
15 summe =0;
16 for k=1:1:n
17 summe=summe+teiler(k);
18 end
19 summe=summe -n;
20 if mod(summe ,n)==0
§ 1 Perfekte Zahlen § 2 Befreundete und Gesellige Zahlen § 3 Fazit § 4 Quellenverzeichnis
§ 1.5 Verallgemeinerung vollkommener Zahlen
§ 1.5.2 Bestimmung x-fach vollkommener Zahlen II
21 x(n)= summe/n;
22 end
23 if x(n)~=0
24 fprintf(’%10.0f ist %2.0f-vollkommen .\n’,n,x(n))
25 end
26 end
27 toc
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§ 1.5 Verallgemeinerung vollkommener Zahlen
§ 1.5.2 Bestimmung x-fach vollkommener Zahlen
Abbildung: Ausgabe im Command Window
Matlab benotigt zum Uberprufen der ersten 100.000 naturlichenZahlen uber 18 Minuten.
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§ 2.1 Befreundete und Gesellige Zahlen?
§ 2.1.1 Was sind Befreundete und Gesellige Zahlen?
Definition 2.1 (Befreundete Zahlen)
Zwei verschiedene naturliche Zahlen, bei denen die Summe derechten Teiler σ∗ der ersten Zahl die zweite und die der zweitenZahl die erste ist, nennt man ein befreundetes Zahlenpaar. Diekleinere von ihnen ist abundant und die großere ist defizient.[Vollkommene Zahl, WikipediaDE, Kap. 5.2]
Definition 2.2 (Gesellige Zahlen)
Werden mehr als zwei naturliche Zahlen benotigt, um auf dieseWeise wieder zur Ausgangszahl zuruckzukommen, spricht man vongeselligen Zahlen. [Vollkommene Zahl, WikipediaDE, Kap. 5.2]
§ 1 Perfekte Zahlen § 2 Befreundete und Gesellige Zahlen § 3 Fazit § 4 Quellenverzeichnis
§ 2.1 Befreundete und Gesellige Zahlen?
§ 2.1.2 Beispiele
Beispiel 2.1
220 und 284 sind das kleinste Paar befreundeter Zahlen.Es gilt: σ∗(220) = 284 und σ∗(284) = 220
12496, 14288, 15472, 14536 und 14264 sind gesellige Zahlen.Es gilt: σ∗(12496) = 14288, σ∗(14288) = 15472,σ∗(15472) = 14536, σ∗(14536) = 14264 und σ∗(14264) = 12496.
§ 1 Perfekte Zahlen § 2 Befreundete und Gesellige Zahlen § 3 Fazit § 4 Quellenverzeichnis
§ 2.1 Befreundete und Gesellige Zahlen?
[3]
Abbildung: Pythagoras von Samos
antiker griechischer Philosoph
570 v. Chr. - 510 v. Chr.
§ 1 Perfekte Zahlen § 2 Befreundete und Gesellige Zahlen § 3 Fazit § 4 Quellenverzeichnis
§ 2.1 Befreundete und Gesellige Zahlen?
[4]
Abbildung: Adrien-Marie Legendre
franzosischer Mathematiker
1752-1833
§ 1 Perfekte Zahlen § 2 Befreundete und Gesellige Zahlen § 3 Fazit § 4 Quellenverzeichnis
§ 2.1 Befreundete und Gesellige Zahlen?
Liste befreundeter Zahlen unterhalb von 10.000.000:
Nr. erste Zahl zweite Zahl Jahr Entdecker1 220 284 ?? Pythagoras(?)/Thabit2 1184 1210 1860 Paganini3 2620 2924 1747 Euler4 5020 5564 1747 Euler5 6232 6368 1747 Euler6 10744 10856 1747 Euler7 12285 14595 1939 Brown8 17296 18416 um 1300/um 1300/1636 Ibn-al-Banna/Farisi/Pierre de Fermat9 63020 76084 1747 Euler
10 66928 66992 1747 Euler...
100 9071685 9498555 1946 Escott101 9199496 9592504 1929 Gerardin/Poulet102 9206925 10791795 1967 Bratley/McKay103 9339704 9892936 1966 Lee104 9363584 9437056 um 1600/1638 Yazdi/Rene Descartes105 9478910 11049730 1967 Bratley/McKay106 9491625 10950615 1967 Bratley/McKay107 9660950 10025290 1966 Lee108 9773505 11791935 1967 Bratley/McKay
[TUFR]
§ 1 Perfekte Zahlen § 2 Befreundete und Gesellige Zahlen § 3 Fazit § 4 Quellenverzeichnis
§ 2.1 Befreundete und Gesellige Zahlen?
[5]
Abbildung: Henri Cohen
franzosischer Mathematiker
*1947
§ 1 Perfekte Zahlen § 2 Befreundete und Gesellige Zahlen § 3 Fazit § 4 Quellenverzeichnis
§ 2.1 Befreundete und Gesellige Zahlen?
Man kennt heute insgesamt 53 Ketten geselliger Zahlen:
46 der Lange 4
1 der Lange 5
2 der Lange 6
2 der Lange 8
1 der Lange 9
1 der Lange 28
Die langste bekannte Kette ist14316, 19116, 31704, 47616, 83328, 177792, 295488, 629072,589786, 294896, 358336, 418904, 366556, 274924, 275444,243760, 376736, 381028, 285778, 152990, 122410, 97946, 48976,45946, 22976, 22744, 19916, 17716.
§ 1 Perfekte Zahlen § 2 Befreundete und Gesellige Zahlen § 3 Fazit § 4 Quellenverzeichnis
§ 2.2 Satz von Thabit ibn Qurrah
§ 2.2 Satz von Thabit ibn Qurrah
[6]
Abbildung: Thabit ibn Qurrah
Abu l-Hasan Thabit ibn Qurra ibn Marwan as-Sabi’ al-Harrani
syrischer Mathematiker, Astronom, Astrologe, Magier,Physiker, Mediziner und Philosoph
826-901
§ 1 Perfekte Zahlen § 2 Befreundete und Gesellige Zahlen § 3 Fazit § 4 Quellenverzeichnis
§ 2.2 Satz von Thabit ibn Qurrah
§ 2.2 Satz von Thabit ibn Qurrah
Satz 2.1 (Satz von Thabit ibn Qurrah)
Sind drei Zahlen
p = 3 ∗ 2n−1 − 1, q = 3 ∗ 2n − 1 und r = 9 ∗ 22n−1 − 1
Primzahlen, so sind die beiden Zahlen
a = 2n ∗ p ∗ q und b = 2n ∗ rbefreundet.
Leider liefert dieser Satz fur n < 20000 nur in den Fallen n = 2,n = 4 und n = 7 die erforderlichen drei Primzahlen. [TUFR]
§ 1 Perfekte Zahlen § 2 Befreundete und Gesellige Zahlen § 3 Fazit § 4 Quellenverzeichnis
§ 3 Fazit
Mathematische Spielerei
beschaftigt Mathematiker schon seit Jahrtausenden
kann dieses Thema noch weiter ausfuhren
§ 1 Perfekte Zahlen § 2 Befreundete und Gesellige Zahlen § 3 Fazit § 4 Quellenverzeichnis
Vielen Dank fur IhreAufmerksamkeit
§ 1 Perfekte Zahlen § 2 Befreundete und Gesellige Zahlen § 3 Fazit § 4 Quellenverzeichnis
[Vollkommene Zahl, WikipediaDE] Vollkommene Zahl,WikipediaDE,http://de.wikipedia.org/wiki/Vollkommene_Zahl,Zugriff 27.11.2013
[Perfect Number, WikipediaEN] Perfect Number, WikipediaEN,http://en.wikipedia.org/wiki/Perfect_number,Zugriff 27.11.2013
[TUFR] TU Freiburg: Vollkommene, befreundete und geselligeZahlen, http://www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/vollkzahlen.html, Zugriff 09.01.2014
[OddPerfect] OddPerfect.org, http://www.oddperfect.org/,Zugriff 14.01.2014
[TKS] Torsten-Karl Strempel: n-abundante bzw. n-defizienteZahlen
§ 1 Perfekte Zahlen § 2 Befreundete und Gesellige Zahlen § 3 Fazit § 4 Quellenverzeichnis
[1] hirnwindungen.de: Euklid von Alexandria, http://www.hirnwindungen.de/wunderland/bilder/euklid.gif,Zugriff 09.01.2014
[2] Polotaia: Euler, Elenin und der 10-Franken-Schein -Interessante Aspekte, http://www.politaia.org/wp-content/uploads/2011/08/Leonhard_Euler.jpg,Zugriff 09.01.2014
[3] GWB - Geoinformationstechnologie Wissensbasis:Pythagoras von Samos,http://gwb.lfvt.de/temp/personen_bilder/15.jpg,Zugriff 14.01.2014
[4] mathematik.ch: Legendre Adrien Marie, http://www.mathematik.ch/mathematiker/Legendre.jpg,Zugriff 14.01.2014
§ 1 Perfekte Zahlen § 2 Befreundete und Gesellige Zahlen § 3 Fazit § 4 Quellenverzeichnis
[5] WikipediaDE: Henri Cohen, http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f6/Henri_Cohen.jpg, Zugriff14.01.2014
[6] Enzyklopadie des Islams: Thabit ibn Qurra, http://www.eslam.de/begriffe/t/images/thabit_ibn_qurra.gif,Zugriff 09.01.2014