LUNES 7 DE ABRIL DEL 2014
VOLUMEN 1, Nº 1
250 estudiantes de institucio-
nes de educación superior de
Medellín, como la Escuela de
Ingeniería de Antioquia, la U.
de Medellín, Eafit, UPB y la
U. de Antioquia, se vincula-
ron a este evento que solo se
había hecho en la U.N.
Jorge Cossio, profesor titular
de la Escuela de Matemáticas
de la Universidad Nacional de
Colombia en Medellín y uno
de los coordinadores académi-
cos del concurso, destacó que
el propósito del evento es ayu-
dar a generar gusto por las
matemáticas. Según él, las
matemáticas no son aburridas
y son una disciplina que sirve
para interpretar el mundo y
ejercitar el pensamiento.
Y aseguró: “El concurso solo
se trata de sentarnos y divertir-
nos resolviendo integrales.
Proponemos una de las opera-
ciones que enseñamos en los
cursos de matemáticas en las
universidades, damos un tiem-
po para resolverla, y el estu-
diante clasifica o se elimina de
la siguiente ronda”.
Por su parte, Carlos Mario
Sierra, director académico de
la Sede Medellín, dijo que este
tipo de eventos tiene una im-
portancia mayúscula para la
Universidad porque permite
que se visualice a nivel regional
y nacional. “Ojalá hubiesen
concursos de estos sobre otras
temáticas, porque es una forma
magnífica de aprender”.
LA GUÍA MANGA DEL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
El concepto es un curso de
cálculo diferencial e integral de
primero de universidad: deriva-
das y reglas de derivación,
integrales, teorema fundamen-
tal de calculo, temas de integra-
ción, serie de Taylor, derivadas
parciales, entre otros.
Sara acaba de empezar como
periodista en el diario “La Ver-
dad”. Quiere tratar temas de
actualidad, como asuntos inter-
nacionales o política, ¿pero es
suficientemente perspicaz?
Menos mal que su actual jefe,
Eduardo, le enseñará a analizar
las noticias a través del cálculo.
En La Guía Manga del Cálculo
Diferencial e Integral aprende-
rás junto con Sara que el cálcu-
lo es algo más que una asigna-
tura que hay que aprobar en la
escuela. Descubrirás que el
cálculo es una herramienta
eficaz para analizar comporta-
mientos físicos, pautas econó-
micas, y otros muchos fenóme-
nos cotidianos, como la proba-
bilidad, la estadística, las cur-
vas de oferta y demanda, la
influencia de la contaminación
en la economía, y la gradua-
ción del shochu (un licor japo-
nés).
Informes matemáticos
The Math Master
CONCURSO DE MATEMÁTICAS:
PARA APRENDER EL MIEDO A LAS MATEMÁTICAS
Jorge Cossio, profesor titu-
lar de la Escuela de Mate-
máticas, señaló que las
matemáticas no son abu-
rridas y son una disciplina
que sirve para interpretar
el mundo y ejercitar el
CONTENIDO:
USO DE LAS FUNCIONES
INTEGRALES
NOTICIAS ÁREA 1
MÉTODO DE LAS INTE-
GRALES
APLICACIÓN DE LA IN-
TEGRAL
Editado por:
Fuentes Moreno Karla
Nieto Hernández Shara
Karina
Navarro Gallegos Miguel
Harán
Valdés Carreón Fernando
La integral definida es un concepto utili-
zado para determinar el valor de las áreas
limitadas por curvas y rectas. Dado el
intervalo [a, b] en el que, para cada uno
de sus puntos x, se define una función f
(x) que es mayor o igual que 0 en [a, b],
se llama integral definida de la función
entre los puntos a y b al área de la por-
ción del plano que está limitada por la
función, el eje horizontal OX y las rectas
verticales de ecuaciones x = a y x = b.
La integral definida de la función entre
los extremos del intervalo [a, b] se denota
como:
Propiedades de la integral definida
La integral definida cumple las siguientes
propiedades:
-Toda integral extendida a un intervalo de
un solo punto, [a, a], es igual a cero.
-Cuando la función f (x) es mayor que
cero, su integral es positiva; si la función
es menor que cero, su integral es negati-
va.
-La integral de una suma de funciones es
igual a la suma de sus integrales tomadas
por separado.
-La integral del producto de una constan-
te por una función es igual a la constante
por la integral de la función (es decir, se
puede «sacar» la constante de la integral).
-Al permutar los límites de una integral,
ésta cambia de signo.
-Dados tres puntos tales que a < b < c,
entonces se cumple que (integración a
trozos):
Para todo punto x del intervalo [a,b] al
que se aplican dos funciones f (x) y g (x)
tales que f (x) £ g (x), se verifica que:
crochips ópticos, lo que permitirá
muchas aplicaciones prácticas,
como el desarrollo de ordenado-
res analógicos completamente
ópticos o nuevos sistemas de
procesamiento óptico de imáge-
nes. El artículo técnico es Ale-
xandre Silva et al., “Performing
Mathematical Operations with
Metamaterials,” Science 343:
160-163, 10 Jan 2014. Más infor-
mación con énfasis en el procesa-
miento de imágenes en Ari
Sihvola, “Enabling Optical Ana-
log Computing with Metamate-
rials,” Science 343: 144-145, 10
Jan 2014.
En sistemas ópticos se pueden
implementar operaciones mate-
máticas utilizando lentes en una
configuracón apropiada. Para su
diseño se usan las técnicas de
óptica de Fourier, que permiten
Los metamateriales ópticos
permiten diseñar medios ópti-
cos con un índice de refracción
efectivo a medida. Gracias a
ello se pueden diseñar sistemas
de procesamiento completa-
mente ópticos que ejecuten
funciones matemáticas sobre
los pulsos ópticos incidentes.
Alexandre Silva (Univ. de
Pennsylvania, Filadelfia,
EEUU) y varios colegas publi-
can en Science simulaciones
numéricas de varios diseños
que implementan derivadas
parciales (de primer y de segun-
do orden), integrales y convolu-
ciones de la curva envolvente
de pulsos ópticos.
En principio, nada impide que
los nuevos diseños puedan ser
realizados en laboratorio, e
incluso implementados en mi-
implementar cualquier fun-
ción. El problema es que inte-
grar en microchips ópticos
estos dispositivos es difícil,
pues su tamaño es grande
comparado con la longitud de
onda de la luz.
El nuevo artículo resuelve
estos problemas con dos pro-
puestas alternativas, por un
lado, usar metamateriales con
una microestructura en una
escala inferior a la longitud de
onda de la luz incidente y, por
otro lado, el uso de capas al-
ternas diseñadas para imple-
mentar determinadas funcio-
nes de Green espaciales. Am-
bas opciones ofrecen gran
flexibilidad y son prometedo-
ras, tanto en el espectro óptico
(infrarrojo, visible o ultraviole-
ta).
OPERACIONES MATEMÁTICAS SOBRE PULSOS ÓPTICOS USANDO METAMATERIALES
THE MATH MASTER
Desde su origen, la noción de integral ha res-
pondido a la necesidad de mejorar los métodos
de medición de áreas subtendidas bajo líneas y
superficies curvas. La técnica de integración se
desarrolló sobre todo a partir del siglo XVII,
paralelamente a los avances que tuvieron lugar
en las teorías sobre derivadas y en el cálculo
diferencial.
INTEGRAL DEFINIDA
PÁGINA 2
Vamos a darle al tema una vuelta de tuer-
ca más. Dada una función definida me-
diante una integral, ¿qué ocurre si la fun-
ción que aparece dentro de la integral
depende ? Es decir, si nuestra tiene esta
forma:
donde la función depende de (que es la
variable de ) además de depender de ,
¿cómo calculamos su derivada?
Para este caso necesitamos utilizar la
conocida como Fórmula de Leibniz, que
nos dice cómo calcular dicha derivada.
Fórmula de Leibniz
Dada la función
podemos calcular su derivada utilizando
la siguiente fórmula:
Como podemos ver, la fórmula de Leib-
niz es la generalización del TFC 1 que es
la integral de la derivada parcial
de respecto de x.
sistemas de automatización inte-
gral de viviendas y edificios, en
relación con la gestión técnica
de múltiples funciones.
Mediante el uso de maquetas y
bajo el enfoque pedagógico del
Aprender Haciendo, se dotó a
los estudiantes con herramientas
para diseñar y desarrollar pro-
yectos básicos de automatiza-
ción integral, al aprender sobre
configuración, programación e
implantación del protocolo
KNX, uno de los más extendi-
dos en el mercado.
La automatización de cualquier
proceso productivo influye de
Renca, enero de 2014. Ahondar
en mecanismos de ahorro energé-
tico, seguridad, confort, comuni-
caciones y mantenimiento de
instalaciones fue el objetivo del
segundo curso de “Domótica con
Sistemas de Control KNX y Ra-
dio Frecuencia”, organizado por
el Área de Electricidad y Electró-
nica de INACAP Renca.
De un total de casi 40 postulan-
tes, ocho alumnos de la Sede
consiguieron un cupo gracias a
su destacado rendimiento en sus
programas de estudio y participa-
ron en la capacitación teórico-
práctica que buscaba transmitir la
incidencia y características de los
forma decisiva en el incremen-
to de la productividad, acor-
tando tiempos y aumentando
la calidad del producto final.
Este curso es de gran relevan-
cia, ya que “complementa su
formación profesional en el
ámbito de sistemas domóticos
y de automatización de edifi-
cios (inmótica). A futuro,
además les permitirá realizar
un curso resumido para la
obtención de la certificación
KNX Partner, lo cual es muy
positivo”, afirma el Director
de Carrera Área Electricidad y
Electrónica de INACAP Ren-
ca, Mario Sanhueza Cruzat.
INACAP RENCA REALIZA SEGUNDO CURSO DE DOMÓTICA Y AUTOMATIZACIÓN DE EDIFICIOS CON SISTEMAS KNX
nes online y esperar el resultado. Así,
‘Mathway’ no sólo nos muestra todas las
operaciones necesarias para resolver un
problema, sino que también incluye una
breve explicación de cómo se hace y la
representación gráfica del ejercicio reali-
zado, si la tuviera. Por otro lado, pode-
mos seleccionar ejemplos de problemas
ya resueltos en el extenso listado facilita-
do y dividido en las diferentes ramas de
las matemáticas. Junto a la resolución de
operaciones matemáticas, también se
ofrece un glosario de términos, una exce-
lente colección de fórmulas y teoremas y
un servicio de calculadora. ‘Mathway’
cuenta con una versión app gratuita para
Android, iPhone, iPod Touch y iPad.
DESCUBRE PI Y REALIZA OPERACIONES MATEMÁTICAS CON ‘MATHWAY’
‘Mathway’ es una herramienta gratuita
que permite resolver problemas de mate-
máticas básicas, álgebra, trigonometría y
cálculo, desde operaciones sencillas co-
mo, por ejemplo, integrales de funciones
trigonométricas. No es necesario regis-
trarse, basta con elegir el tipo de ejercicio
que queremos realizar, incluir los datos
matemáticos en el editor de operacio-
PÁGINA 3 VOLUMEN 1, Nº 1
DERIVADA DE UNA INTEGRAL II: LA FÓRMULA DE LEIBNIZ
Desde muy pequeños aprendemos a me-
dir longitudes, áreas y volúmenes, lo cual
nos provee información valiosa sobre el
mundo que nos rodea, sirviendo de base
para la solución de múltiples problemas
de la vida real. Este proceso de medición
se puede generalizar al mundo de las
funciones matemáticas, dando lugar a
la teoría de la medida, dentro de la cual
se pueden enmarcar conceptos como el
de probabilidad y el de integral. En este
trabajo se expone el desarrollo detallado
de los principales teoremas relacionados
con la Integral de Riemann y la integral
de Lebesgue, presentando una construc-
ción en forma de árboles, en donde
se muestran los caminos necesarios
para realizar las demostraciones ex-
puestas. Por Robinson Ernesto Calvo
Cano.
A partir del teorema funda-
mental del cálculo integral es
posible definir un método para
calcular la integral definida de
una función f (x) en un inter-
valo [a, b], denominado regla
de Barrow:
Se busca primero una función
F (x) que verifique que F (x) =
f (x).
La relación entre derivada e
integral definida queda esta-
blecida definitivamente por
medio del denomina-
do teorema fundamental del
cálculo integral, que establece
que, dada una función f (x), su
función integral asociada F (x)
cumple necesariamente que:
Se calcula el valor de esta
función en los extremos del
intervalo: F (a) y F (b).
El valor de la integral definida
entre estos dos puntos vendrá
entonces dado por:
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO INTEGRAL
modificado la notación de la variable
independiente de x a t. Esta función, sim-
bolizada habitualmente por F (x), recibe
el nombre de función integral o, tam-
bién, función área pues cuando f es ma-
yor o igual que cero en [a, b], F (x) nos da
el área.
FUNCIÓN INTEGRAL
Considerando una función f continua en
[a, b] y un valor x Î [a, b], es posible defi-
nir una función matemática de la forma:
donde, para no inducir a confusión, se ha
“Investigaciones de Matemáticas e Ingenierías”
THE MATH MASTER
LA MEDICIÓN ,UNA APROXIMACIÓN DESDE LAS MATEMÁTICAS
PAGINA 4
Interpretación geométrica de la función
integral o función área.
Isaac Barrow (1630-1677)
esfera dada posiciones angulares. Tam-
bién se podría usar sen2 directamente,
sino que tiene un cuadro de la haversine
eliminado la necesidad de calcular cua-
drados y raíces cuadradas. El término
haversine fue, al parecer, acuñado en un
texto de navegación por sólo una aplica-
ción.
De hecho, la tabla antigua que se conser-
va de los valores de seno, desde las cuarta
-quinto Siddhantas siglo de la India, era
una tabla de valores para el seno y solo
seno verso. El versine aparece como un
paso intermedio en la aplicación de la
fórmula media de ángulo sen2 = ver-
sin/2, derivada por Ptolomeo, que se
utilizó para la construcción de dichas
tablas.
La función seno ordinaria a veces históri-
camente llamado el seno recto, para con-
trastarlo con el seno verso. El significado
de estos términos es evidente si uno mira
a las funciones en el contexto original
para su definición, un círculo de la uni-
dad, que se muestra a la derecha. Para
una cuerda AB vertical del círculo uni-
dad, el seno del ángulo? AC es la distan-
cia. Por otro lado, el seno verso de? es el
CD distancia desde el centro de la cuerda
del centro del arco. Por lo tanto, la suma
de cos = OC y versin = CD es el radio
OD = 1 - Ilustrado esta manera, el seno
es vertical, mientras que el versine se
volcó sobre su lado, ambos son distancias
de C en el círculo.
Esta figura también ilustra la razón por la
versine a veces se llama el Sagitta, que en
latín flecha, desde el sahem el árabe del
mismo significado. Si el arco BAD es
visto como un "arco" y la cuerda AB
como su "cadena", a continuación, el
CD versine es claramente el "eje de la
flecha".
De acuerdo adicionalmente con la
interpretación de la sinusoidal como
"vertical" y el seno verso como
"horizontal", sagita es también un
sinónimo obsoleto para el eje de absci-
sas.
Un período de un versine o, más co-
múnmente, una forma de onda haver-
sine también se utiliza comúnmente
en el procesamiento de la señal y la
teoría de control como la forma de un
pulso o una función de ventana, por-
que sin problemas "se enciende" de
cero a uno y de nuevo a cero. En estas
aplicaciones, se le da aún otro nom-
bre: filtro de coseno alzado o función
Hann.
DERIVADAS E INTEGRALES: HISTORIA Y APLICACIONES
Históricamente, el seno verso era conside-
rada una de las funciones trigonométricas
más importantes, pero se ha caído de la
popularidad en los tiempos modernos
debido a la disponibilidad de las compu-
tadoras y calculadoras científicas. Versin
es la diferencia entre dos cantidades casi
iguales, por lo que un usuario de una
tabla trigonométrica para solo el coseno
necesitaría una muy alta precisión para
obtener el versine, haciendo tablas separa-
das para la última conveniente. Incluso
con un ordenador, los errores de redon-
deo que sea recomendable utilizar la fór-
mula sen2 para los pequeños?. Otra ven-
taja histórica de la versine es que siempre
es no negativo, por lo que su logaritmo se
define en todas partes excepto para el
ángulo único en el que es-por lo tanto
cero, uno podría usar tablas logarítmicas
para multiplicaciones en las fórmulas que
implican versines.
El haversine, en particular, era importan-
te en la navegación, ya que aparece en la
fórmula haversine, que se utiliza para
calcular con precisión distancias en una
THE MATH MASTER PAGINA 5
THE MATH MASTER PÁGINA 6
THE MATH MASTER PÁGINA 7
CARRERAS EN ÁREA 1
En el mes de agosto comenzará una nueva eta-
pa para los alumnos que actualmente cursan el
último año de preparatoria, ya que iniciaran su
carrera universitaria, por lo que les traemos las
opciones de carrera que los alumnos de área 1
han tomado.
De acuerdo a las encuestas, la carrera más soli-
citada en esta área es Arquitectura ya que 4 per-
sonas han tomado la decisión de cursar esta
asombrosa carrera. 3 de ellas buscarán lugar en
las escuelas publicas que ofrecen esta carrera
mientras que la última optará por la opción
privada.
En segundo lugar se encuentran empatadas
las carreras de Ingeniería Mecatrónica e In-
geniería en Sistemas Computacionales, con
2 personas de cada carrera buscando lugar
en escuelas públicas.
Las personas restantes competirán por un lu-
gar en las carreras de Actuaría, Diseño Gráfi-
co, Animación Digital, Psicología y Medici-
na.
Por último hay un individuo de esta área que
ya tiene su lugar asegurado en la UAM para
la carrera de Ingeniería Mecánica, aunque
competirá en otra opción por la carrera de
Ingeniería en Sistemas Automotrices.
THE MATH MASTER PÁGINA 8
Área 1 tiene muchas peculiaridades,
son el grupo más pequeño del Cole-
gio Salesiano con 14 alumnos en su
aula, las personas que estudian en
esta área, en su mayoría, tienen la
decisión de estudiar carreras muy
relacionadas con las matemáticas,
etc.
Pero lo que llama la atención de este
pequeño grupo es la ausencia cons-
tante de un alumno en particular:
José Carlos Farrera.
Este alumno es considerado el indivi-
duo con más faltas de toda la prepa-
ratoria IUCE, se puede decir que ha
faltado toda la segunda parte del año
escolar, sin siquiera dejar entrever
una pequeña explicación.
Compañeros de su misma área han afirmado haberlo visto algunas
veces en las mañanas, incluso con los útiles que se necesitan en ese
día como la mochila y el portafolio de Dibujo Constructivo; hasta
por el chat pregunta a sus compañeros si hay algún examen que se
deba presentar y al cuestionarle cuando irá al colegio el responde
que irá al siguiente día.
Los maestros ya solo cuentan a los alumnos para pasar lista, al
conocer la curiosa situación de José Carlos y los alumnos aún se
cuestionan ¿Por qué faltará tanto Farrera y cómo pasará de año?
EL CURIOSO CASO DE JOSÉ CARLOS FARRERA
PÁGINA 9 VOLUMEN 1, Nº 1
PRESENTACIONES DE “EL CURIOSO INCIDENTE DEL PERRO A MEDIANOCHE”
Como primer trabajo de participación
se llevaron a cabo presentaciones
creativas del famoso libro “El curioso
incidente del perro a medianoche” y a
decir verdad la mayoría no decepcio-
naron.
Los mejores trabajos fueron hechos en
video, el primero de ellos fue un noti-
ciero llamado “Segundo Noticias”,
interpretado por los alumnos Karla
Fuentes Moreno, Shara Karina Nieto
Hernández, Miguel Harán Navarro
Gallegos y Fernando Valdés Carreón.
En dicho video se presentó la historia
del libro en un corto reportaje acerca
de el giro que da la vida de Christop-
her Boone al encontrar al perro muer-
to de la Señora Shears en su patio.
El equipo conformado por Iván
Joel Aceves Ramírez, María Fer-
nanda Borel Mejía, Iván Estévez
Daza y Karla Michelle Tinajero
López realizó también un video
donde se presenta la historia co-
mo tal pero resumida, desde el
descubrimiento del perro falleci-
do hasta la incógnita de la situa-
ción de Christopher después de
pasar su examen de bachillerato.
El último equipo conformado por
Andrea Alisson Alvis Ibarra, Ga-
briel Mijares, Luis Ángel Luna
Ramírez y María Paula Zamora
Vázquez realizó una adaptación
teatral de marionetas que, sincera-
mente, dejó un poco que desear.
El alumno Enrique Iván Ordoñez
Bravo realizó un comic del libro
que, desafortunadamente, no pu-
dimos observar.
THE MATH MASTER PÁGINA 10
CAMPEONES EN ÁREA 1
Los Juegos Intersalesianos, en su
edición 39, finalizaron el pasado 5
de abril de 2014 en las instalaciones
del Colegio Salesiano Ángela Sego-
via de Serrano, lugar donde se die-
ron cita las diferentes comunidades
Salesianas del país para las compe-
tencias deportivas de Fútbol, Bas-
quetbol, Voleibol y Atletismo, en
sus ramas Femenil y Varonil.
Este año el Colegio Salesiano de
Santa Julia se llevó varios premios
y nuestros alumnos de Área 1 lle-
gan como campeones en varios de-
portes.
Miguel Harán Navarro Gallegos consi-
guió el primer lugar con el equipo de
Basquetbol, superando en la final al
equipo de Querétaro con marcador fi-
nal de 42-34.
Mientras que los alumnos Iván Joel
Aceves Ramírez, Luis Ángel Luna Ra-
mírez y Fernando Valdés Carreón lo-
graron la hazaña del tercer lugar en Fút-
bol, logro que no se conseguía desde
hace mucho tiempo a nivel Preparato-
ria, superando al equipo local, CASS,
por un marcador de 2-0 con goles de
Daniel Salazar.
Sin lugar a dudas Área 1 puede presu-
mir que tiene 4 campeones de los Jue-
gos Intersalesianos, que serán recorda-
dos por siempre
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THE MATH MASTER PÁGINA 13
SUSTITUCION
El método de integración por sustitución o por cambio de variable se basa en realizar un reemplazo de
variables adecuado que permita convertir el integrando en algo sencillo con una integral o antiderivada
simple. En muchos casos, donde las integrales no son triviales, se puede llevar a una integral de ta-
bla para encontrar fácilmente su primitiva. Este método realiza lo opuesto a la regla de la cadena en la
derivación. Vale la pena resaltar que este método se utiliza cuando no se mira a simple vista su primitiva
directa.
Si es una función derivable cuyo alcance es un intervalo I y f es continua en I en tal caso:
FRACCIONES PARCIALES
El método de las fracciones parciales
consiste en reducir un cociente de
polinomios en fracciones más sim-
ples, que permitan obtener de mane-
ra inmediata una integral o una
transformada de Laplace Inversa. El
requisito más importante es que el
grado del polinomio del denomina-
dor sea estrictamente mayor que el
grado del numerador.
Las integrales por fracciones parciales es
de la forma donde:
P(x) y Q(x) son polinomios
El grado de P(x) es menor que el de Q(x) Definimos fracciones parciales a la
función F(x) en la cual dicha fun-
ción depende de un numerador y un
denominador. Para que sea una
fracción parcial el grado del deno-
minador tiene que ser mayor al gra-
do del numerador.
En ocasiones, el cálculo de una integral
definida en un intervalo resulta tan com-
plicado que se hace casi irresoluble. En
estos casos, se puede aplicar un método
de integración numérica aproximada,
consistente en dividir el intervalo de defi-
nición en un conjunto de subintervalos
iguales, de manera que se trazan sus imá-
genes sobre la curva y se unen todos pun-
tos imagen mediante segmentos rectilí-
neos.
Siendo f (x) la función de origen, y [a, b]
el intervalo de integración, que se puede
dividir en n subintervalos iguales de am-
plitud h tales que a = x0 < x1 < x2 < ¿ <<
xn = b, la región limitada por la curva de
f (x) puede obtenerse aproximadamente a
partir de la siguiente expresión:
Esta ley se llama regla de los trapecios.
Evidentemente, cuanto mayor es el nú-
mero de intervalos escogido, más cerca
estará el valor obtenido del área real si-
tuada bajo la curva.
La integral de f (x) en el inter-
valo [a, b] coincide con el
valor del área R.
Por convenio, dicha área se
dice que es positiva cuando f
(x) ³ 0 en el intervalo, y negati-
va si f £ 0 en [a, b]. Cuando la
función tiene signo variable,
las partes de la misma situa-
das por encima del eje hori-
zontal añadirán valor positivo
al área global, y las que discu-
rran por debajo sumarán valo-
res negativos a la misma.
La integral de una función
continua entre los dos extre-
mos de un intervalo [a, b] y tal
que f (x) ³ 0 " x Î [a, b] coinci-
de con el área comprendida
entre dicha función, el eje
horizontal y las dos rectas que
delimitan los intervalos, de
ecuaciones x = a y x = b.
Este principio puede servir
también para calcular las
áreas comprendidas entre
curvas, por simples operacio-
nes aritméticas de adición y
sustracción.
Áreas formadas por dos cur-
vas. Por consideraciones geo-
métricas, el área de la intersec-
ción se calcula restando a la
integral de f (x) en el intervalo
[-1, 1] el valor de la integral de
g (x) para ese mismo interva-
lo.
CALCULANDO EL ÁREA
Este método resulta indicado particular-
mente cuando v × du es más fácil de inte-
grar que u × dv.
INTEGRACIÓN POR PARTES
El método de la integración por partes se
emplea para simplificar el cálculo de la
integral de un producto de funciones que
puedan interpretarse como del tipo u
(x) × v¿ (x). La fórmula de la integración
por partes es la siguiente:
THE MATH MASTER
Aproximación del área de una función
por integración numérica.
INTEGRACIÓN NUMÉRICA
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SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA
Cuando calculamos áreas
de un círculo o una elipse
encontraremos integrales
que tengan la forma de:
Generalmente se traza el
dibujo de un diagrama en
donde aparezca un trián-
gulo rectángulo, colocando
un que vamos a inter-
pretar como uno de los
ángulos de este triángulo.
Para evaluar la integral se colo-
can los datos recibidos en ella en
los catetos/hipotenusa corres-
pondientes, y es allí en donde
utilizamos las sustituciones trigono-
métricas
Por medio de las identidades tri-
gonométricas para expresar de
la manera que mejor conven-
ga , , ,
etc.
Es parecido a utilizar el método
de Sustitución, solo que aquí sus-
tituimos con las identidades tri-
gonométricas.
EXPRESIONES CUADRÁTICAS
En ocasiones la integración
definida o indefinida de fun-
ciones de una variable se faci-
lita mediante las llamadas
fórmulas de reducción. Son
éstas una cierta forma de po-
ner en relación integrales
que, además de depender de
una determinada variable
independiente , también
son dependientes de un pará-
metro , con otras de la
misma (o parecida) especie
en las que ese parámetro apa-
rece reducido a otro menor,
esto es, fórmulas como
Otras veces los parámetros pueden ser más de uno.
Una ecuación es una expresión algebraica que
consta de dos miembros separados por un signo de
igualdad. Uno o ambos miembros de la ecuación
debe tener al menos una variable o letra, llamada
incógnita. Las ecuaciones se convierten en identi-
dades sólo para determinados valores de la(s) in-
cógnita(s); una ecuación cuadrática es un tipo de
ecuación particular en la cual la variable o incógni-
ta está elevada al cuadrado, es decir, es de segundo
grado. Un ejemplo sería:
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SUSTITUCIONES DIVERSAS
Se usa cuando se presentan expresiones racionales de senx, cosx ( y por lo tanto tanx , cotx ) y donde
no se pueden usar identidades trigonométricas. El objetivo es transformarlas a expresiones racionales
con una nueva variable para utilizar el método de fracciones parciales.
Usualmente para resolver una ecuación diferencial, primero la identificamos como una ecuación de
cierto tipo (separable o lineal, por ejemplo) y a continuación desarrollamos un procedimiento formado
por pasos matemáticos específicos al tipo de ecuación que produzca una solución a la ecuación. Pero
no es poco común que nos desoriente una ecuación diferencial porque no es de ninguna clase de ecua-
ciones que sabemos cómo resolver. Los procedimientos analizados en este subtema pueden ser útiles
es estos casos.
Por lo común, el primer paso para resolver una ecuación diferencial consiste en transformarla en otra
ecuación diferencial por medio de una sustitución.
Tipos de sustituciones:
1. Ecuaciones homogéneas
2. Ecuación de Bernoulli
3. Reducción a separación de variables utilizando fracciones parciales
THE MATH MASTER PÁGINA 16
THE MATH MASTER PÁGINA 17
CÁLCULO DE ÁREAS PLANAS
Para calcular un área plana, se efectúa la siguiente metodología:
1. Se trazan las curvas que limitan el área que sede sea conocer.
2. Se identifican los puntos en los que se cortan las curvas.
3. Se determina la zona de la que hay que calcular el área.
4. Se decide que variable conviene integrar
5. Se procede a integrar bajo los límites encontrados.
Ejemplos.
Hallar el área limitada por las siguientes condiciones:
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VOLÚMENES SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
Si una función se gira con respecto a un eje del plano se genera un volumen conocido como sólido de
Revolución y al eje se le llama eje de revolución.
Un volumen del sólido de revolución se conforma de la suma infinita de franjas unitarias de volumen y si se
genera haciendo girar a una función ( ) x f alrededor del eje x , se puede calcular por medio de:
donde a y b representan las rectas que lo limitan, es decir, son los extremos.
Ejemplos.
Calcular el volumen del sólido de revolución generado al hacer girar las siguientes funciones con los
límites marcados y el eje de revolución dado
THE MATH MASTER PÁGINA 19
ECUACIONES DIFERENCIALES SENCILLAS
ORDEN, GRADO Y SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL
THE MATH MASTER PÁGINA 20
SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES (DE PRIMER
Y SEGUNDO ORDEN)
Dependiendo del tipo de ecuación diferencial, conviene aplicar un método de resolución particular. Por su
ensilles, los más utilizados son el de la obtención de raíces del polinomio y el de separación de
variables.
Ejemplos.
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:
THE MATH MASTER PÁGINA 21
Nos sirve para poder resolver problemas y efectuar trabajos en los que se necesite cono-cer longitudes de curva, que por medio de regresión lineal o un programa como Excel se pueda llegar a la función y tener una precisión en el calculo de las distancias como de puen-tes. Además de que el poder conocer área, perímetro y volumen de cualquier figura, sin du-da nos ayuda. De aquí se desarrollo las imágenes en 3D. Como otros ejemplos tenemos:
En una Olla exprés se puede aplicar el cálculo diferencial como una razón de cambio y de propagación del vapor para saber cual es el tiempo estimado para tener en funcionamiento la olla antes de que salga el vapor de la tapa propagado por la presión. Para rellenar una de-terminada superficie con un material costoso, la superficie obviamente totalmente irregu-lar.
Si no se quiere comprar ese material en exceso que mejor que calcular por integrales esa superficie y ajustar la compra, para que la misma sea muy precisa.
APLICACIÓN DE LA INTEGRAL
Mazda
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Teléfono: 553-219-4768
Fax: 554-159-6832
Dirección: Hiroshima Japón
En el 2001, Mazda Motor Corporation exhibió el nuevo automóvil conceptual RX-8 en el North American International Auto Show, en Detriot. El RX-8 es impulsado por la iteración de un motor rotatorio Wankel. Aunque el ultimo automóvil produci-do en masa equipado con motor rotatorio que se vendió a nivel mundial fue el RX-7 y
los embarques a Estados Unidos terminaron en 1995, la Mazda Corporation tiene la
intención de restablecer el interés en automóviles de potencia rotaciorial a través de nuevos diseños como el RX-8.
“Revive el zoom zoom”
ver dónde crece y dónde decrece.
Derivada de una integral I: El TFC
El resultado que nos permite derivar una
función definida mediante una integral y
nos dice cuánto vale dicha derivada es
el teorema fundamental del cálcu-
lo (TFC). El primero que publicó una
demostración relacionada con el TFC
fue James Gregory, aunque lo que de-
mostró fue una versión restringida de este
resultado. Fue Isaac Barrow el primer que
demostró este teorema. Isaac Newton
terminó el trabajo con el desarrollo de la
teoría matemática subyacente.
¿Qué dice el TFC? Pues muy sencillo:
básicamente dice que la derivación y la
integración son procesos inversos. Pe-
ro además nos da una manera de calcular
integrales definidas.
Gracias a María José Martínez Sánchez
(tenista profesional) en su averiguación
se dio cuenta que la integral y la derivada
son procesos inversos, por lo que si reali-
zamos primero un proceso y luego el otro
obtendríamos la función inicial. Vamos,
digamos que nos quedaríamos igual. Pero
la cosa no es siempre así, depende de
varios detalles de la propia integral y de la
función inicial.
Es de gran importancia saberlo ya que así
sabemos estudio del crecimiento y decre-
cimiento de una función definida median-
te una integral. Como sabemos, el creci-
miento y decrecimiento de una función
derivable en un intervalo puede conocerse
mediante el estudio del signo de la prime-
ra derivada en dicho intervalo, por lo que
si nuestra función está definida mediante
una integral tendremos que derivarla para
CALCULAR LA DERIVADA DE UNA INTEGRAL
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María José Martínez Sánchez es
una tenista profesional nacida el 12
de agosto de 1892 en Ye-
cla (Murcia), España.