TUGAS FISIKA MATEMATIKA IIIPersamaan Laplace (Suhu Bagian Tetap
pada Pelat Persegi Panjang)
Disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Fisika Matematika
IIIDisusun oleh :Triyani(k2309079)Abdul AzisN(k2310001)Afanin Nur
K(k2310003)Alex Gandung P(k2310005)
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKANUNIVERSITAS SEBELAS
MARETSURAKARTA2012
Persamaan Laplace (Suhu Keadaan Tetap pada Pelat Persegi
Panjang)Kita akan menyelesaikan masalah berikut. Sebuah persegi
panjang pelat logam memiliki dua sisi yang panjang dan bagian yang
terjauh pada 0o serta bagian dasar pada 100o (ditunjukkan pada
gambar 2.1). Lebar dari pelat adalah 10 cm. Temukan distribusi
temperatur bagian tetap di dalam pelat. (Masalah ini adalah masalah
matematik yang identik dengan menemukan masalah potensial
elektrostatik pada daerah 0 0; lihat Soal 5). Kemudian kita
menghilangkan solusi meliputi cos kx ketika T = 0 saat x = 0. Hal
ini hanya e-ky tetapi nilai k tetap ditentukan. Ketika x = 10 kita
memiliki T = 0, ini akan benar ketika sin (10k) = 0, yaitu jika k =
n/10 untuk n = 1,2,.... hal itu untuk semua integral n, dengan
solusi(2.8)T=e-ny/10sin nx/10memberikan batas kondisi pada tiga
sisi T = 0.Pada akhirnya, kita harus memiliki T = 100 ketika y = 0,
kondisi ini tidak dipuaskan oleh persamaan (2.8) untuk setiap n.
Akan tetapi kondisi linier dari solusi seperti persamaan (2.8)
adalah solusi dari (2.1), mari kita mencoba untuk menemukan
kombinasi pada T = 100 ketika y = 0. Dalam rangka untuk mengikuti
semua kemungkinan, kita tulis seri terbatas untuk T, yaitu sebagai
berikut.(2.9)Untuk y = 0, kita harus memiliki T = 100, dari
persamaan (2.9) dengan y = 0 kita peroleh(2.10)Tetapi ini hanya
seri Fourier untuk f(x) = 100 dengan l = 10. Kita dapat menemukan
koefisian b, kita peroleh(2.11)
Kemudian (2.9) menjadi(2.12)
Persamaan (2.12) dapat digunakan untuk perhitungan jika tidak
terlalu kecil ketika serinya menyatu dengan cepat. Untuk comtoh,
pada x = 5 (diamater dari sebuah plat) dan y = 5 , kita
dapatkan
(2.13)
Jika suhu pada tepi bawah bukanlah fungsi f(x) tetapi 100o
(dengan ketiga sisi pada 0o seperti sebelumnya) kita dapat
menyelesaikan soalnya dengan cara yang sama. Kita hanya perlu
mengembangkan f(x) yang diketahui pada seri sinus Fourier dan
mensubstitusi koefisiennya ke dalam (2.9). Kemudian, mari kita
anggap plat berhingga yang tingginya 30 cm dengan tepi atas pada T
= Oo, dan dimensi lain dan suhu seperti pada Gambar 2.1. Kita tidak
lagi mempunyai alasan untuk mengabaikan penyelesaian sejak y
menjadi tak terhingga. Kita sekarang mengganti dengan kombinasi
linear yang bernilai nol ketika y = 30. Cara yang paling mudah
untuk menyelesaikannya adalah dengan menggunakan
kombinasi(2.14)
(yaitu dan ). Kemudian, ketika y = 30, (2.14) memberikan seperti
yang kita inginkan. Sekarang (2.14) hanya merupakan sinh (lihat Bab
2, Bagian 12), jadi untuk plat berhingga, kita dapat menuliskan
persamaannya sebagai [bandingkan (2.9)](2.15)
Setiap batas dari seri ini adalah nol pada ketiga sisi T = 0
dari plat. Ketika y = 0, kita ingin T = 100:(2.16)
dimana atau . Kita dapatkan , selesaikan dan substitusi ke dalam
(2.15) untuk mendapatkan distribusi suhu pada plat berhingga
:(2.17)
Dalam (2.12) dan (2.17) kita telah menemukan fungsi T (x, y)
memenuhi keduanya (2.1) dan semua kondisi batas yang diberikan.
Untuk wilayah dibatasi dengan suhu batas tertentu, itu adalah fakta
eksperimental (dan juga dapat ditampilkan matematis-lihat Soal 16
dan Bab 14, Soal 11.38) bahwa hanya ada satu T (x, y) yang memenuhi
persamaan Laplace dan kondisi batas yang diberikan. Jadi (2.17)
adalah solusi yang diinginkan untuk plat persegi panjang. Hal ini
juga dapat menunjukkan bahwa hanya ada satu solusi untuk plat
semi-takberhingga tersedia pada ; dengan demikian (2.12) adalah
solusi untuk kasus itu. Ini mungkin membuat Anda bertanya-tanya
mengapa kita mengambil konstanta dalam (2.5) menjadi - k2 dan apa
yang akan terjadi jika kita mengambil + k2 sebagai gantinya. Sejauh
mendapatkan solusi dari persamaan diferensial yang bersangkutan itu
akan menjadi sempurna benar untuk menggunakan + k2, kita akan
mendapatkan gantinya dari (2.7): (2.18)
[Kita menganggap bahwa k adalah riil; sebuah imajiner k di
(2.18) hanya akan memberikan kombinasi dari solusi (2.7) lagi.
Lihat pula Soal 5.] Solusi (2.18) tidak akan ada gunanya untuk
masalah plat semi-takberhingga karena tidak satupun dari mereka
cenderung nol sebagai , dan kombinasi linear dari dan tidak dapat
nol baik di x = 0 dan x = 10. Namun, jika kita telah dianggap plat
semi-takberhingga dengan sisi panjang sejajar dengan sumbu x bukan
sumbu y, dan T = 100o sepanjang akhir pendek pada sumbu y, solusi
(2.18) akan menjadi yang dibutuhkan . Atau, untuk plat terbatas,
jika sisi 100o berada di sepanjang sumbu mereka, maka kita ingin
(2.18).
Gambar 2.2Akhirnya, mari kita lihat bagaimana untuk menemukan
distribusi suhu dalam plat jika dua sisi yang berdekatan diadakan
di 100o dan dua lainnya di 0o (atau, pada umumnya, jika ada nilai
yang diberikan untuk empat sisi). Kita dapat menemukan solusi untuk
masalah ini dengan kombinasi hasil yang kita telah diperoleh. Mari
kita sebut sisi pelat persegi panjang A, B, C, D (Gambar 2.2). Jika
sisi A, B, dan C terletak pada 0, dan D pada 100, kita dapat
menemukan distribusi suhu dengan cara yang sama yang kita gunakan
dalam mencari (2.17) jika kita mengambil sumbu x sepanjang D.
Selanjutnya misalkan untuk lempeng yang sama (Gambar 2.2) sisi A,
B, dan D yang terletak di 0o dan C pada 100o. Ini adalah jenis
masalah yang sama lagi, tapi kali ini kita ingin menggunakan solusi
dasar (2.18). [Atau untuk jalan pintas pekerjaan, kita bisa menulis
solusi seperti (2.17) dengan sumbu x diambil sepanjang C dan
kemudian pertukaran x dan y dalam hasil sesui dengan Gambar 2.2.]
Setelah memperoleh dua solusi (satu untuk C pada 100o dan satu
untuk D pada 100), mari kita tambahkan dua jawaban. Hasilnya adalah
solusi dari persamaan diferensial (2.1) (linieritas: jumlah dari
dua solusi adalah sebuah solusi). Suhu di perbatasan (sama seperti
di dalam) adalah jumlah suhu dari dua solusi yang kita tambahkan,
yaitu, 0o pada A, 0o pada B, 0o + 100o pada C, dan 100o + 0o pada
D. Hal ini mengingat syarat batas yang ingin dipenuhi. Dengan
demikian jumlah dari solusi dari dua masalah sederhana ini
memberikan jawaban yang lebih rumit.Sebelum memecahkan lebih banyak
masalah, mari kita berhenti sejenak untuk meringkas proses
pemisahan variabel yang pada dasarnya sama untuk semua persamaan
diferensial parsial akan kita bahas. Kita pertama mengasumsikan
solusi yang merupakan produk dari fungsi dari variabel independen
[seperti (2.2)], dan memisahkan persamaan diferensial parsial
menjadi beberapa persamaan diferensial biasa [seperti (2,5)]. Kita
memecahkan persamaan diferensial biasa; solusinya dapat berupa
fungsi eksponensial, fungsi trigonometri, kekuatan (positif atau
negatif), fungsi Bessel, polinomial Legendre, dan lain-lain. Setiap
kombinasi linear dari solusi dasar ini, dengan nilai-nilai dari
konstanta pemisahan, adalah solusi dari persamaan diferensial.
Masalahnya adalah untuk menentukan nilai-nilai dari konstanta
pemisahan dan kombinasi linear yang benar agar sesuai dengan batas
tertentu atau kondisi awal.Masalah untuk menemukan solusi dari
subjek persamaan diferensial yang diberikan kepada kondisi batas
yang diberikan disebut masalah nilai batas. Masalah tersebut sering
menyebabkan masalah nilai eigen. Ingat kembali (Bab 10, Pasal 4,
dan Pasal 12, akhir Bagian 2) bahwa dalam masalah (atau nilai
karakteristik) nilai eigen, ada parameter yang nilainya harus
dipilih sehingga solusi dari masalah memenuhi beberapa persyaratan
yang diberikan. Konstanta pemisahan yang kita telah gunakan hanya
merupakan suatu parameter; nilai mereka ditentukan dengan menuntut
bahwa solusi memenuhi beberapa kondisi batas. [Sebagai contoh, kita
menemukan sebelum (2.8) dengan mensyaratkan bahwa T = 0 ketika x =
10.] Nilai-nilai yang dihasilkan dari konstanta pemisahan disebut
nilai-nilai eigen dan solusi dasar persamaan diferensial [misalnya,
(2.8 )] sesuai dengan nilai eigen disebut fungsi eigen. Bisa juga
terjadi bahwa selain konstanta pemisahan ada parameter dalam
persamaan diferensial asli parsial (misalnya, E dalam persamaan
Schrodinger pada Soal 7.17). Sekali lagi, nilai yang mungkin dari
parameter ini untuk persamaan yang memiliki solusi pemenuhan syarat
tertentu, disebut nilai eigen, dan solusi yang sesuai disebut
fungsi eigen.
Contoh SoalFind the steady-state temperature distribution for
the semi infinite plate problem if the temperature of the bottom
edge is T = f(x) = x (in degrees, that is the temperature at x cm
is x degrees), the temperature of the other sides is 0 and the
width of the plate is 10 cm!Jawab:T = xy = e-kysinkx
Kemudian nilai bn diperoleh seperti berikut
Sehingga nilai bn tersebut disubstitusikan ke persamaan T
sehingga diperoleh nilai T sebagai berikut.
