Pesquisa Operacional Aplicada à Produção - UNESP / Campus de Guaratinguetá
Transporte em Tempo Mínimo
Prof. Fernando Augusto Silva Marins
Departamento de Produção
Faculdade de Engenharia – Campus de Guaratinguetá
UNESP
www.feg.unesp.br/~fmarins
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Introdução• Modelo do transporte a tempo mínimo se propõe a atender as demandas de diferentes mercados no menor tempo possível.
• Exemplos: produtos perecíveis devem ser transportados, ou quando suprimentos militares devem ser enviados às frentes de combate durante uma emergência.
• Admite-se a existência de m fábricas com capacidade de produção , ,que devem abastecer n depósitos com demandas tais que: .
• Seja o tempo gasto com o transporte do produto da fábrica i para o depósito j, independentemente da quantidade transportada.
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a a am1 2, , ,b b bn1 2, , , a bi j
j
n
i
m
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t ij
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Introdução
• Transportes das fábricas para os depósitos podem ser feitos simultaneamente, e todas as fábricas produzem um único produto.
• Para um plano de transporte: a entrega que for a mais demorada determinará o tempo requerido para se completar este plano de transporte.
• Deseja-se completar todas as entregas no menor tempo possível.
• T= tempo requerido para completar todas as entregas de um determinado plano de transporte para todo par (i, j), > 0,
Sendo = quantidade a ser transportada da fábrica i ao depósito j.
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ijtMaxT x ijx ij
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Transporte em Tempo Mínimo• Objetivo: encontrar que satisfaçam as restrições de oferta e demanda
e minimizem o tempo de entrega t.
• Algoritmo usa o mesmo tipo de quadro de resolução aplicado no “Stepping stone method”.
• Observações sobre as etapas de aplicação do algoritmo:
• Para achar uma solução básica viável inicial: usar um método análogo ao da regra do menor custo, aplicado aos tempos de entrega.
• Com um procedimento análogo ao do “Stepping Stone Method” podem ser encontradas soluções básicas viáveis melhores, se existirem.
• A regra para selecionar a variável não-básica, que se tornará variável básica na próxima solução básica viável, sofre modificações.
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x ij
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Algoritmo• Passo i: achar solução básica viável inicial com m+n-1 variáveis básicas
pela “regra do menor tempo de entrega”. ir ao Passo ii.
• Passo ii: calcular o tempo de entrega , , associado a solução básica viável atual. ir ao Passo iii.
• Passo iii: eliminar todas as variáveis não-básicas onde tij > T. (basta bloquear estes trajetos). ir ao Passo iv.
• Passo iv:
Colocar o valor - para a variável básica com tij = T.
Construir um ciclo de compensação com as variáveis básicas e uma das variáveis não-básicas que não tenha sido eliminada no Passo iii:
Colocar + ou - nas células que compõem o ciclo.
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ijtMaxT xij 0
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Algoritmo• Colocar + na célula não-básica escolhida pois ela deverá receber
unidades do produto das variáveis básicas “doadoras” associadas ao valor do ciclo.
• Se nenhum ciclo puder ser encontrado solução básica viável atual é ótima (FIM). Caso contrário ir para o Passo v.
• Passo v: aumentar mantendo as variáveis básicas do ciclo 0. Sairá da solução básica atual a variável básica que se anular primeiro e tem-se uma nova solução básica viável. Voltar ao Passo ii.
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Exemplo
• Achar o plano de entrega do problema de transporte a tempo mínimo, com a1 = 3, a2 = 7, a3 = 5, b1 = 4, b2 = 3, b3 = 4 e b4 = 4. Os tempos de transporte são:
• Resolução:
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D1 D2 D3 D4
O1 2 2 2 1
O2 10 8 5 4
O3 7 6 6 8
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Exemplo
• As células não básicas têm assim nenhuma será eliminada.
• A variável básica x21 tem o maior tempo de entrega colocar - nesta
célula e achar um ciclo: O2D1
• No ciclo: maior = 2, a variável não-básica O2D2 entra, saindo a variável básica x21. A nova solução básica viável está no quadro 2:
Quadro 2
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10tt,t,t,t,t,tMaxT 21323124232114 t ij 10
231322 DOeDO,básica) (não DO
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Exemplo
• O tempo de entrega T=8 da variável x22. As variáveis não básicas x21 e x34 serão eliminadas pois tem
• Novo ciclo (Não básica). O maior valor para é 2 e a nova solução básica está no quadro 3.
Quadro 3
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t ij 8
x x x e x22 24 14 12, ,
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Exemplo
• Tempo de entrega T=7, da variável básica x31.
• Novo ciclo (não básica) .O maior valor para é 2, o que implica que x12 sai para a entrada de x11 na nova solução básica. A
variável básica com o maior tempo de entrega x31 permaneceu
• Nesta solução atual (quadro 4) T = 7.• Quadro 4
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x x x e x31 32 12 11, ,
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Exemplo
• Tempo de entrega T=7, da variável básica x31.
• Novo ciclo: (Não básica)
• Maior valor para é 1 x14 será substituída por x 33 (quadro 5).
Quadro 5
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x x x x x e x31 11 14 24 23 33, , , ,
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Exemplo
• Tempo de entrega T=7, correspondente a variável básica x31.
• Não há ciclo a partir de x31.
• O quadro 5 representa, portanto uma solução ótima.
Quadro 5
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Exemplo
• Plano de entrega ótimo:
• Enviar 3 unidades de o1 para d1,
• Enviar 3 unidades de o2 para d3,
• Enviar 4 unidades de o2 para d4,
• Enviar 1 unidades de o3 para d1,
• Enviar 3 unidades de o3 para d2,
• Enviar 1 unidades de o3 para d3,
• Menor tempo possível: 7.
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